Maxima and Minima Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $z = xy$.
આપેલ છે કે $x + y = 8$,તેથી $y = 8 - x$.
$z$ માં $y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $z = x(8 - x) = 8x - x^2$.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $z$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dz}{dx} = 8 - 2x$.
$\frac{dz}{dx} = 0$ લેતા,$8 - 2x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ: $\frac{d^2z}{dx^2} = -2$.
કારણ કે $\frac{d^2z}{dx^2} < 0$ છે,તેથી વિધેય $z$ ને $x = 4$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
$x = 4$ ને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y = 8 - 4 = 4$ મળે છે.
તેથી મહત્તમ મૂલ્ય $z = xy = 4 \times 4 = 16$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 1 + 2x^2 + 2^2 x^4 + \dots + 2^{10} x^{20}$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2x^2$ અને પદોની સંખ્યા $n = 11$ છે.
$f(x) = \frac{1((2x^2)^{11} - 1)}{2x^2 - 1} = \frac{(2x^2)^{11} - 1}{2x^2 - 1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f'(x) = 0 + 2(2x) + 2^2(4x^3) + \dots + 2^{10}(20x^{19})$.
$f'(x) = 4x + 16x^3 + \dots + 2^{10}(20x^{19}) = 4x(1 + 2(2x^2) + 3(2x^2)^2 + \dots + 10(2x^2)^9)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક ક્રાંતિક બિંદુ મળે છે કારણ કે કૌંસમાં રહેલું પદ તમામ $x \neq 0$ માટે ધન પદોનો સરવાળો છે.
$x < 0$ માટે $f'(x) < 0$ અને $x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
પ્રથમ વિકલિત કસોટી મુજબ,$f(x)$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
આમ,$f(x)$ ને બરાબર એક ન્યૂનતમ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x + \sin(2x)$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 1 + 2\cos(2x)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $1 + 2\cos(2x) = 0 \Rightarrow \cos(2x) = -\frac{1}{2}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$2x$ ની કિંમતો $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$ હોઈ શકે છે.
તેથી,$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = -4\sin(2x)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર $f''(x)$ ની નિશાની તપાસો:
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$f''(\frac{\pi}{3}) = -4\sin(\frac{2\pi}{3}) = -4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3} < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = \frac{2\pi}{3}$ માટે,$f''(\frac{2\pi}{3}) = -4\sin(\frac{4\pi}{3}) = -4(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3} > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = \frac{\pi}{3}$ પર કિંમત શોધતા: $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $(10 - x)$ છે.
વિધેય $f(x) = 2x + (10 - x)^2$ લો.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$f'(x) = 2 + 2(10 - x)(-1) = 2 - 20 + 2x = 2x - 18$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$2x - 18 = 0 \implies x = 9$.
ન્યૂનતમ કિંમત ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન મેળવો:
$f''(x) = 2$.
અહીં $f''(9) = 2 > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 9$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી,બે ભાગ $x = 9$ અને $10 - x = 1$ છે.

(C) ધારો કે વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{x}$ છે.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $1 = \frac{1}{x^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$,તેથી $x = \pm 1$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ: $f''(x) = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ માટે,$f''(1) = 2 > 0$,તેથી વિધેયને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ થાય છે.
$x = -1$ માટે,$f''(-1) = -2 < 0$,તેથી વિધેયને $x = -1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે,જ્યાં $f(-1) = -2$ થાય છે.

(A) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h$ અને શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $x$ છે.
ગોળાની ભૂમિતિ પરથી,ગોળાના કેન્દ્રથી શંકુના પાયા સુધીનું અંતર $|h - R|$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$x^2 + (h - R)^2 = R^2$.
$x^2 = R^2 - (h^2 - 2hR + R^2) = 2hR - h^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3}\pi x^2 h = \frac{1}{3}\pi (2hR - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (2Rh^2 - h^3)$.
ઘનફળ મહત્તમ કરવા માટે,$h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3}\pi (4Rh - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,$h(4R - 3h) = 0$. $h \neq 0$ હોવાથી,$h = \frac{4}{3}R$.
ગોળાનો વ્યાસ $D = 2R$ છે.
શંકુની ઊંચાઈ અને ગોળાના વ્યાસનો ગુણોત્તર $\frac{h}{D} = \frac{\frac{4}{3}R}{2R} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $y = f(x) = a \log x + bx^2 + x$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
વિધેયને $x = -1$ અને $x = 2$ આગળ આત્યંતિક મૂલ્યો હોવાથી,આ બિંદુઓ આગળ વિકલન શૂન્ય થાય.
$x = -1$ માટે: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \implies -a - 2b + 1 = 0 \implies a + 2b = 1$.
$x = 2$ માટે: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \implies a + 8b = -2$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \implies 6b = -3 \implies b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ ની કિંમત $a + 2b = 1$ માં મૂકતા: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \implies a - 1 = 1 \implies a = 2$.
આમ,$a = 2$ અને $b = -\frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 1 + 2 \sin x + 3 \cos^2 x = 1 + 2 \sin x + 3(1 - \sin^2 x) = 4 + 2 \sin x - 3 \sin^2 x$.
ધારો કે $u = \sin x$. $0 < x < 2\pi / 3$ માટે,$u = \sin x$ નો વિસ્તાર $(0, 1]$ છે.
તેથી $g(u) = 4 + 2u - 3u^2$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,$g'(u) = 2 - 6u = 0 \implies u = 1/3$.
$g''(u) = -6 < 0$ હોવાથી,$u = 1/3$ એ સ્થાનીય મહત્તમ બિંદુ છે.
આમ,$f(x)$ ને $\sin x = 1/3$ એટલે કે $x = \sin^{-1}(1/3)$ આગળ મહત્તમ કિંમત મળે છે.
અંતરાલ $(0, 2\pi / 3)$ ની સીમાઓ પર:
જ્યારે $x \to 0^+$,$f(x) \to 4$.
$x = 2\pi / 3$ આગળ,$f(2\pi / 3) = 1 + \sqrt{3} + 0.75 \approx 3.48$.
$g(1/3) = 4.33$ હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $x = \sin^{-1}(1/3)$ આગળ મળે છે.
વિકલન $f'(x) = 2 \cos x (1 - 3 \sin x)$ પરથી,$f'(x) = 0$ બિંદુઓ $x = \pi / 2$ અને $x = \sin^{-1}(1/3)$ છે.
$x = \pi / 2$ આગળ,$f(\pi / 2) = 3$. જે ન્યૂનત્તમ કિંમત છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
સ્થાનીય મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
સ્થાનીય અંતિમ બિંદુઓ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$.
હવે,$x = e$ આગળ દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ તપાસીએ:
$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4}$.
$x = e$ આગળ,$f''(e) = \frac{-3e + 2e(1)}{e^4} = \frac{-e}{e^4} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
કારણ કે $f''(e) < 0$ છે,તેથી વિધેય $x = e$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
સ્થાનીય મહત્તમ કિંમત $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ થાય.

(A) અહીં,$f(x) = \frac{1}{4x^2 + 2x + 1}$ આપેલ છે.
મહતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = -\frac{1}{(4x^2 + 2x + 1)^2} \cdot (8x + 2) = -\frac{2(4x + 1)}{(4x^2 + 2x + 1)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$4x + 1 = 0$ મળે,તેથી $x = -1/4$.
અહીં છેદ $4x^2 + 2x + 1$ હંમેશા ધન છે (કારણ કે તેનો વિવેચક $D = 2^2 - 4(4)(1) = 4 - 16 = -12 < 0$),તેથી $f(x)$ ની કિંમત ત્યારે મહતમ થાય જ્યારે છેદ $4x^2 + 2x + 1$ ની કિંમત ન્યૂનતમ હોય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $g(x) = 4x^2 + 2x + 1$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -b/(2a) = -2/(2 \cdot 4) = -1/4$ આગળ મળે છે.
છેદની ન્યૂનતમ કિંમત $g(-1/4) = 4(1/16) + 2(-1/4) + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4$ છે.
તેથી,$f(x)$ ની મહતમ કિંમત $1 / (3/4) = 4/3$ થાય.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $x + y = 24$,તેથી $y = 24 - x$ $(i)$.
ધારો કે $P$ એ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે,તેથી $P = xy$.
$(i)$ માંથી $y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $P = x(24 - x) = 24x - x^2$.
મહત્તમ ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dP}{dx} = 24 - 2x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$\frac{dP}{dx} = 0$ લેતા,$24 - 2x = 0$,તેથી $x = 12$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો: $\frac{d^2P}{dx^2} = -2$.
કારણ કે $\frac{d^2P}{dx^2} < 0$ છે,તેથી વિધેય $P$ ને $x = 12$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
જ્યારે $x = 12$ હોય,ત્યારે $y = 24 - 12 = 12$.
આમ,તે બે સંખ્યાઓ $12$ અને $12$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 4e^{2x} + 9e^{-2x}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીશું.
કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ થાય.
અહીં,$a = 4e^{2x}$ અને $b = 9e^{-2x}$ છે.
$\frac{4e^{2x} + 9e^{-2x}}{2} \ge \sqrt{4e^{2x} \times 9e^{-2x}}$
$\frac{4e^{2x} + 9e^{-2x}}{2} \ge \sqrt{36 \times e^{2x-2x}}$
$\frac{4e^{2x} + 9e^{-2x}}{2} \ge \sqrt{36 \times 1}$
$\frac{4e^{2x} + 9e^{-2x}}{2} \ge 6$
$4e^{2x} + 9e^{-2x} \ge 12$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + 1$.
પગલું $1$: વિકલિત શોધો $f'(x) = 3x^2$.
પગલું $2$: સ્થાનીય ચરમ મૂલ્ય માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ છીએ,જે $3x^2 = 0$ આપે છે,તેથી $x = 0$.
પગલું $3$: $x = 0$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસો. $x < 0$ માટે,$f'(x) = 3x^2 > 0$. $x > 0$ માટે,$f'(x) = 3x^2 > 0$.
કારણ કે વિકલિત $f'(x)$ એ $x = 0$ આગળ નિશાની બદલતું નથી,તેથી વિધેય $f(x)$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનીય ચરમ મૂલ્ય નથી. આમ,વિધાન-$1$ ખોટું છે.
પગલું $4$: વિધેય $f(x) = x^3 + 1$ એ બહુપદી વિધેય છે,જે $(-\infty, \infty)$ પર સતત અને વિકલનીય છે. ઉપરાંત,$f'(0) = 3(0)^2 = 0$. આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.

(C) આપેલ વિધેય $y = xe^x$ છે.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત શોધો:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot e^x + e^x \cdot 1 = e^x(x + 1)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લો:
$e^x(x + 1) = 0$.
કારણ કે $e^x > 0$ દરેક $x$ માટે,તેથી $x + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = -1$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત શોધો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[e^x(x + 1)] = e^x(1) + (x + 1)e^x = e^x(x + 2)$.
$x = -1$ આગળ દ્વિતીય વિકલિતની કિંમત શોધો:
$\left. \frac{d^2y}{dx^2} \right|_{x=-1} = e^{-1}(-1 + 2) = e^{-1}(1) = \frac{1}{e}$.
કારણ કે $\frac{1}{e} > 0$,તેથી વિધેય $x = -1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $x \ cm$ અને પહોળાઈ $y \ cm$ છે.
આપેલ પરિમિતિ $P = 2(x + y) = 176 \ cm$.
તેથી,$x + y = 88$,જેનો અર્થ છે કે $y = 88 - x$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x \times y = x(88 - x) = 88x - x^2$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{dA}{dx} = 88 - 2x = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2x = 88$ મળે છે,તેથી $x = 44 \ cm$.
કારણ કે $x = 44$,તેથી $y = 88 - 44 = 44 \ cm$.
આમ,લંબચોરસ એ $44 \ cm$ બાજુવાળો ચોરસ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 44 \times 44 = 1936 \ sq. \ cm$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^2 e^{-2x}$.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવો:
$f'(x) = x^2 \frac{d}{dx}(e^{-2x}) + e^{-2x} \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = x^2(-2e^{-2x}) + e^{-2x}(2x)$
$f'(x) = 2xe^{-2x}(1 - x) = \frac{2x(1 - x)}{e^{2x}}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લો:
કારણ કે $x > 0$ અને $e^{2x} > 0$,તેથી $1 - x = 0$,જે આપણને $x = 1$ આપે છે.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ મેળવો:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[2(x - x^2)e^{-2x}] = 2[(1 - 2x)e^{-2x} + (x - x^2)(-2e^{-2x})]$
$f''(1) = 2[(1 - 2)e^{-2} + (1 - 1)(-2e^{-2})] = 2[-e^{-2}] = -2/e^2 < 0$.
$f''(1) < 0$ હોવાથી,$x = 1$ આગળ $f(x)$ ની સ્થાનીય મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(1) = (1)^2 e^{-2(1)} = 1/e^2$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x + 7$ છે.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 21x^2 + 36x + 7) = 6x^2 - 42x + 36$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ (સ્થાનિક બિંદુઓ) શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$6(x^2 - 7x + 6) = 0$
$6(x - 1)(x - 6) = 0$
તેથી,$x = 1$ અને $x = 6$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 42x + 36) = 12x - 42$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર $f''(x)$ ની નિશાની તપાસો:
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 12(1) - 42 = -30$. કારણ કે $f''(1) < 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = 1$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
$x = 6$ માટે: $f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30$. કારણ કે $f''(6) > 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = 6$ આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
તેથી,વિધેય $x = 1$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ છે.

(C) અહીં $f(x) = \sin x (1 + \cos x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$ છે.
પ્રથમ વિકલિત મેળવતા: $f'(x) = \cos x + \cos 2x$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લેતા: $\cos x + (2 \cos^2 x - 1) = 0$.
આથી $2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા: $(2 \cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$.
તેથી $\cos x = 1/2$ અથવા $\cos x = -1$ મળે.
$x \in [0, \pi]$ માટે,$\cos x = 1/2 \implies x = \pi / 3$ અને $\cos x = -1 \implies x = \pi$.
દ્વિતીય વિકલિત મેળવતા: $f''(x) = -\sin x - 2 \sin 2x$.
$x = \pi / 3$ આગળ: $f''(\pi / 3) = -\sin(\pi / 3) - 2 \sin(2\pi / 3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} < 0$.
$f''(\pi / 3) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \pi / 3$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(A) આપેલ છે કે $xy = 1$,તેથી $y = \frac{1}{x}$.
ધારો કે $f(x) = x + y = x + \frac{1}{x}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $1 - \frac{1}{x^2} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$. કારણ કે $x > 0$,તેથી $x = 1$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ $f''(x) = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલન ધન છે,તેથી $x = 1$ એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ છે.

(C) આપેલ છે કે $h(x) = f(x) + f(-x)$.
અંતિમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $h(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(f(x) + f(-x)) = f'(x) - f'(-x)$.
$h(x)$ અંતિમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે તે માટે,$h'(x) = 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,અંતિમ મૂલ્યના બિંદુએ $f'(x) - f'(-x) = 0$ થાય.
આમ,$f'(x) - f'(-x)$ ની કિંમત $0$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = ax + \frac{b}{x}$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(ax + bx^{-1}) = a - \frac{b}{x^2}$.
અત્યંત બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow a = \frac{b}{x^2} \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ (કારણ કે $x > 0$).
હવે,ન્યૂનતમ કિંમત ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(a - bx^{-2}) = 0 - b(-2)x^{-3} = \frac{2b}{x^3}$.
અહીં $b > 0$ અને $x > 0$ હોવાથી,$f''(x) = \frac{2b}{x^3} > 0$ થાય.
દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,$x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ આગળ વિધેય $f(x)$ ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x + \cos 2x$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = \cos x - 2 \sin 2x$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \cos x - 4 \sin x \cos x = \cos x (1 - 4 \sin x)$ મળે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,$\cos x = 0$ અથવા $\sin x = \frac{1}{4}$ મળે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = -\sin x - 4 \cos 2x$ મેળવો.
$x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ માટે,$\sin x = (-1)^n$ અને $\cos 2x = \cos((2n+1)\pi) = -1$ થાય.
તેથી,$f''((2n+1)\frac{\pi}{2}) = -(-1)^n - 4(-1) = 4 - (-1)^n$.
જો $n$ બેકી હોય,તો $f'' = 4 - 1 = 3 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
જો $n$ એકી હોય,તો $f'' = 4 - (-1) = 5 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
આમ,વિધેય $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ આગળ ન્યૂનતમ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{x^2 + x + 4}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(x^2 + x + 4)(1) - x(2x + 1)}{(x^2 + x + 4)^2} = \frac{x^2 + x + 4 - 2x^2 - x}{(x^2 + x + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + x + 4)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$4 - x^2 = 0$ મળે,તેથી $x = 2$ અથવા $x = -2$.
$x = 2$ કે $x = -2$ માંથી કોઈ પણ કિંમત અંતરાલ $[-1, 1]$ માં આવતી નથી.
તેથી,વિધેય $[-1, 1]$ પર એકવિધ (monotonic) છે.
આપણે અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત ચકાસીએ:
$f(-1) = \frac{-1}{4 - 1 + 1} = \frac{-1}{4} = -0.25$.
$f(1) = \frac{1}{4 + 1 + 1} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{6}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} = (x - 1)^3 (x - 2)^4$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $x = 1$ અને $x = 2$ મળે છે.
આ બિંદુઓની પ્રકૃતિ તપાસવા માટે આપણે પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$x = 1$ માટે:
- જો $x = 1 - h$ (જ્યાં $h > 0$ ખૂબ નાનું છે),તો $\frac{dy}{dx} = (1 - h - 1)^3 (1 - h - 2)^4 = (-h)^3 (-1 - h)^4 = (-h^3)(+) = -ve$.
- જો $x = 1 + h$,તો $\frac{dy}{dx} = (1 + h - 1)^3 (1 + h - 2)^4 = (h)^3 (h - 1)^4 = (+)(+) = +ve$.
અહીં $\frac{dy}{dx}$ ની નિશાની $x = 1$ આગળ ઋણમાંથી ધનમાં બદલાય છે,તેથી $x = 1$ આગળ $y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
$x = 2$ માટે:
- જો $x = 2 - h$,તો $\frac{dy}{dx} = (2 - h - 1)^3 (2 - h - 2)^4 = (1 - h)^3 (-h)^4 = (+)(+) = +ve$.
- જો $x = 2 + h$,તો $\frac{dy}{dx} = (2 + h - 1)^3 (2 + h - 2)^4 = (1 + h)^3 (h)^4 = (+)(+) = +ve$.
અહીં $\frac{dy}{dx}$ ની નિશાની $x = 2$ આગળ બદલાતી નથી,તેથી $x = 2$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflection) છે.

(A) અહીં,$x = t^4 - kt^3$ આપેલ છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = 4t^3 - 3kt^2$.
વેગ મહત્તમ હોવા માટે,સમયની સાપેક્ષે તેનું વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\frac{dv}{dt} = 0$.
$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 3kt^2) = 12t^2 - 6kt$.
$t = 2$ સમયે,$\frac{dv}{dt} = 0$.
$12(2)^2 - 6k(2) = 0$.
$12(4) - 12k = 0$.
$48 - 12k = 0$.
$12k = 48$.
$k = 4$.

(B) ધારો કે $f(x) = e^{(2x^2 - 2x - 1)\sin^2 x}$ છે.
$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ઘાતાંક $u(x) = (2x^2 - 2x - 1)\sin^2 x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી પડશે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $g(x) = 2x^2 - 2x - 1$ નો વિચાર કરો. આ પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = 0.5$ પર છે.
$x = 0.5$ માટે,$g(0.5) = 2(0.25) - 2(0.5) - 1 = -1.5$ મળે છે.
કારણ કે $\sin^2 x$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે અને $g(x)$ ઋણ હોઈ શકે છે,તેથી $u(x)$ ની કિંમત ન્યૂનતમ થશે જ્યારે $g(x)$ ન્યૂનતમ હોય અને $\sin^2 x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોય.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,ઘાતાંકની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ લેતા,ન્યૂનતમ કિંમત $e^{-1} = 1/e$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $y = a \log x + bx^2 + x$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
વિધેયને $x = 1$ અને $x = 2$ આગળ આત્યંતિક મૂલ્યો હોવાથી,આ બિંદુઓ આગળ વિકલિત શૂન્ય થાય.
$x = 1$ માટે: $\frac{a}{1} + 2b(1) + 1 = 0 \implies a + 2b = -1$.
$x = 2$ માટે: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b = -1 \implies a + 8b = -2$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - (-1) \implies 6b = -1 \implies b = -\frac{1}{6}$.
$b = -\frac{1}{6}$ ને $a + 2b = -1$ માં મુકતા:
$a + 2(-\frac{1}{6}) = -1 \implies a - \frac{1}{3} = -1 \implies a = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$.
આમ,$(a, b) = \left( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{6} \right)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{\frac{{ - {t^2}}}{2}}}} \left( {1 - {t^2}} \right)\,dt$.
વિકલન માટે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (1 - x^2)$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કે મહત્તમ મૂલ્ય માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (1 - x^2) = 0$.
અહીં $e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} > 0$ હોવાથી,$1 - x^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$,એટલે કે $x = \pm 1$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ મેળવીએ:
$f''(x) = e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (-2x) + (1 - x^2) e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (-x) = e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (x^3 - 3x)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ પર $f''(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
$x = 1$ આગળ: $f''(1) = e^{-1/2} (1 - 3) = -2e^{-1/2} < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = -1$ આગળ: $f''(-1) = e^{-1/2} (-1 + 3) = 2e^{-1/2} > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
તેથી,$f(x)$ એ $x = -1$ આગળ ન્યૂનતમ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(x) = a_0 + a_1x^2 + a_2x^4 + \dots + a_nx^{2n}$.
મહત્તમ અને ન્યૂનત્તમ મૂલ્યો માટે,આપણે વિકલન $P'(x) = 0$ શોધીએ છીએ.
$P'(x) = 2a_1x + 4a_2x^3 + \dots + 2na_nx^{2n-1} = 2x(a_1 + 2a_2x^2 + \dots + na_nx^{2n-2}) = 0$.
આનાથી આપણને ક્રાંતિક બિંદુ $x = 0$ મળે છે.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $P''(x) = 2a_1 + 12a_2x^2 + \dots + 2n(2n-1)a_nx^{2n-2}$ શોધીએ છીએ.
$x = 0$ આગળ,$P''(0) = 2a_1$.
કારણ કે $0 < a_1$,તેથી $P''(0) = 2a_1 > 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલન $x = 0$ આગળ ધન છે,તેથી $P(x)$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનત્તમ બિંદુ છે.
$P(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે અને સહગુણકો સતત વધતા હોવાથી,$x = 0$ એ એકમાત્ર બિંદુ છે જ્યાં $P'(x) = 0$ થાય છે,તેથી $P(x)$ પાસે માત્ર એક જ ન્યૂનત્તમ બિંદુ છે.

(A) આપેલ છે કે $f'(x) = (x - a)^{2m} (x - b)^{2n + 1}$.
ક્રિટિકલ બિંદુઓ $f'(x) = 0$ લેતા $x = a$ અને $x = b$ મળે છે.
બિંદુ $x = a$ માટે,નાની ધન કિંમત $h$ લેતા,$x = a$ ની આસપાસ $f'(x)$ નું ચિહ્ન તપાસીએ:
$x = a - h$ માટે,$f'(a - h) = (a - h - a)^{2m} (a - h - b)^{2n + 1} = (-h)^{2m} (a - b - h)^{2n + 1}$. $2m$ બેકી હોવાથી,$(-h)^{2m} = h^{2m} > 0$. $a > b$ હોવાથી,નાની $h$ માટે $(a - b - h) > 0$,તેથી $f'(a - h) > 0$.
$x = a + h$ માટે,$f'(a + h) = (a + h - a)^{2m} (a + h - b)^{2n + 1} = (h)^{2m} (a - b + h)^{2n + 1}$. $a > b$ હોવાથી,$(a - b + h) > 0$,તેથી $f'(a + h) > 0$.
જેમ $x$ એ $a$ માંથી પસાર થાય છે,તેમ $f'(x)$ નું ચિહ્ન બદલાતું નથી,તેથી $x = a$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ છે અને ત્યાં ન તો મહત્તમ કે ન તો ન્યૂનત્તમ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $xy = c^2$,તેથી $y = \frac{c^2}{x}$.
ધારો કે $f(x) = ax + by = ax + b\left(\frac{c^2}{x}\right) = ax + \frac{bc^2}{x}$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = a - \frac{bc^2}{x^2}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$a = \frac{bc^2}{x^2} \implies x^2 = \frac{bc^2}{a} \implies x = c\sqrt{\frac{b}{a}}$ (કારણ કે અહીં ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે $x, a, b, c > 0$ છે).
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ:
$f''(x) = \frac{2bc^2}{x^3}$.
$x > 0$ હોવાથી,$f''(x) > 0$ થાય છે,જે સાબિત કરે છે કે $x = c\sqrt{\frac{b}{a}}$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
$x$ ની કિંમત $f(x)$ માં મૂકતા:
$f\left(c\sqrt{\frac{b}{a}}\right) = a\left(c\sqrt{\frac{b}{a}}\right) + \frac{bc^2}{c\sqrt{\frac{b}{a}}} = c\sqrt{ab} + c\sqrt{ab} = 2c\sqrt{ab}$.

(D) ધારો કે $g(x) = 3x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 60$. વિધેય $f(x) = \frac{40}{g(x)}$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $g(x)$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય.
$g(x)$ ના વિકલન માટે: $g'(x) = 12x^3 + 24x^2 - 36x$.
$g'(x) = 0$ લેતા,$12x(x^2 + 2x - 3) = 0$,એટલે કે $12x(x+3)(x-1) = 0$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0, x = 1, x = -3$ છે.
આ બિંદુઓ પર $g(x)$ ની કિંમત:
$g(0) = 60$.
$g(1) = 53$.
$g(-3) = -75$.
$f(x)$ ની કિંમતો:
$f(0) = 40/60 = 2/3$.
$f(1) = 40/53$.
$f(-3) = 40/(-75) = -8/15$.
જેમ $x \to \pm \infty$,તેમ $f(x) \to 0$. આમ,વિધેયનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-8/15$ છે,જે વિકલ્પોમાં નથી. તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x - x^3$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = 1 - 3x^2$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$1 - 3x^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $x^2 = 1/3$,તેથી $x = \pm 1/\sqrt{3}$.
અંતરાલ $0 \leq x \leq 2$ હોવાથી,આપણે માત્ર $x = 1/\sqrt{3}$ ને ધ્યાનમાં લઈશું.
હવે,દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ: $f''(x) = -6x$.
$x = 1/\sqrt{3}$ આગળ,$f''(1/\sqrt{3}) = -6/\sqrt{3} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,વિધેય $x = 1/\sqrt{3}$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
આપણે અંતરાલ $[0, 2]$ ના અંતિમ બિંદુઓ પણ ચકાસીએ:
$f(0) = 0(1 - 0) = 0$.
$f(2) = 2(1 - 4) = 2(-3) = -6$.
$f(1/\sqrt{3}) = (1/\sqrt{3})(1 - 1/3) = (1/\sqrt{3})(2/3) = 2/(3\sqrt{3}) \approx 0.385$.
$0$,$-6$,અને $2/(3\sqrt{3})$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $x = 1/\sqrt{3}$ આગળ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sin 2x - x$.
પગલું $1$: વિકલિત $f'(x)$ શોધો.
$f'(x) = 2\cos 2x - 1$.
પગલું $2$: ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો.
$2\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$.
$[0, \pi]$ અંતરાલમાં,$2x$ ની કિંમત $[0, 2\pi]$ થાય.
તેથી,$2x = \frac{\pi}{3}$ અથવા $2x = \frac{5\pi}{3}$.
આમ,$x = \frac{\pi}{6}$ અથવા $x = \frac{5\pi}{6}$.
પગલું $3$: દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરો.
$f''(x) = -4\sin 2x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ આગળ,$f''(\frac{\pi}{6}) = -4\sin(\frac{\pi}{3}) = -4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3} < 0$. તેથી,$x = \frac{\pi}{6}$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x = \frac{5\pi}{6}$ આગળ,$f''(\frac{5\pi}{6}) = -4\sin(\frac{5\pi}{3}) = -4(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3} > 0$. તેથી,$x = \frac{5\pi}{6}$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
પગલું $4$: મૂલ્યોની ગણતરી કરો.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{3}) - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6} = \frac{-3\sqrt{3} - 5\pi}{6}$.
આ મૂલ્યો આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળ ખાતા ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) પ્રથમ પથ્થર માટે,ગતિનું સમીકરણ $s_1 = 19.6t - 4.9t^2$ છે. વેગ $v_1 = \frac{ds_1}{dt} = 19.6 - 9.8t$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,$v_1 = 0$,તેથી $19.6 - 9.8t = 0$,જે $t = 2 \text{ s}$ આપે છે.
પ્રથમ પથ્થર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h = s_1(2) = 19.6(2) - 4.9(2)^2 = 39.2 - 19.6 = 19.6 \text{ m}$ છે.
હવે,બીજા પથ્થર માટે સમીકરણ $s_2 = 9.8t - 4.9t^2$ છે. વેગ $v_2 = \frac{ds_2}{dt} = 9.8 - 9.8t$ છે. બીજો પથ્થર $t = 1 \text{ s}$ પર તેની મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે,જ્યાં $s_2(1) = 9.8(1) - 4.9(1)^2 = 4.9 \text{ m}$ છે.
$t = 1 \text{ s}$ પછી,બીજો પથ્થર નીચે તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે અને જ્યારે $s_2 = 0$ થાય ત્યારે તે જમીન પર અથડાય છે,એટલે કે $9.8t - 4.9t^2 = 0 \implies 4.9t(2 - t) = 0$,તેથી $t = 2 \text{ s}$ મળે છે.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,પ્રથમ પથ્થર તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર છે,અને બીજો પથ્થર $s_2(2) = 9.8(2) - 4.9(2)^2 = 19.6 - 19.6 = 0 \text{ m}$ પર છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} |x| & 0 < |x| \leqslant 2 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ છે.
$x = 0$ ની નજીકની કિંમતો માટે (જ્યાં $x \neq 0$),$|x| > 0$ થાય. કારણ કે $x \neq 0$ માટે $f(x) = |x|$ છે,તેથી $x = 0$ સિવાયના $0$ ની આસપાસના તમામ બિંદુઓ માટે $f(x) > 0$ થાય.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = 1$ છે.
જો આપણે $0$ ની આસપાસ એક નાનો અંતરાલ $(-\delta, \delta)$ લઈએ (દા.ત.,$\delta = 0.5$),તો $f(x) = |x|$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(-1, 1)$ અંતરાલના તમામ $x$ માટે $|x| < 1$ થાય છે,તેથી $0$ ની આસપાસના તમામ $x$ માટે $f(x) < f(0)$ મળે છે (જ્યાં $x \neq 0$).
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$x \in (-0.5, 0.5)$ અને $x \neq 0$ માટે,$f(x) = |x| < 0.5 < 1 = f(0)$ થાય છે.
આમ,$0$ ની આસપાસના તમામ બિંદુઓ માટે $f(x) < f(0)$ હોવાથી,$x = 0$ એ સ્થાનીય મહત્તમ બિંદુ છે.

(D) ધારો કે $PQ = a$ અને $PR = b$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} ab \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $f(\theta) = \frac{1}{2} ab \sin \theta$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $f(\theta)$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(\theta) = \frac{1}{2} ab \cos \theta$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે,$f'(\theta) = 0$ લેતા:
$\frac{1}{2} ab \cos \theta = 0 \implies \cos \theta = 0$.
કારણ કે $0 < \theta < \pi$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$ મળે.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$f''(\theta) = -\frac{1}{2} ab \sin \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$f''(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2} ab < 0$.
દ્વિતીય વિકલિત ઋણ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(B) આપેલ શરત $x + y = 8$ મુજબ,આપણે $y$ ને $y = 8 - x$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ધારો કે મહત્તમ કરવા માટેનું વિધેય $f(x) = xy$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f(x) = x(8 - x) = 8x - x^2$ મળે છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = 8 - 2x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $f'(x) = 0$ લેતા,$8 - 2x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$.
જો $x = 4$ હોય,તો $y = 8 - 4 = 4$ થાય.
આમ,$xy$ ની મહત્તમ કિંમત $4 \times 4 = 16$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $x$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,ઊંચાઈ $h = x \sin \theta$ અને પાયો $b = 2x \cos \theta$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A = \frac{1}{2} \times (2x \cos \theta) \times (x \sin \theta) = x^2 \sin \theta \cos \theta$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A = \frac{1}{2} x^2 \sin 2\theta$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\sin 2\theta$ ને મહત્તમ કરવાની જરૂર છે.
$\sin 2\theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે $2\theta = 90^\circ$ અથવા $\theta = 45^\circ$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A_{\max} = \frac{1}{2} x^2 (1) = \frac{1}{2} x^2$ છે.

(D) વિધાન-$I$ માટે: આપણે $x = 0$ ની આસપાસ $f(x)$ નું વર્તન તપાસીએ.
$x < 0$ માટે,$f(x) = -\frac{x}{2}$. જેમ $x \to 0^-$,તેમ $f(x) \to 0$.
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = 7x + 8$. જેમ $x \to 0^+$,તેમ $f(x) \to 8$.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = 8$.
$x < 0$ માટે $f(x)$ ઋણ છે અને $f(0) = 8$ હોવાથી,કોઈપણ નાના $h > 0$ માટે,$f(-h) = \frac{h}{2} > 0$ થાય,પરંતુ $f(0) = 8$ છે. સ્થાનીય ન્યૂનતમ માટે આપણને $f(0) < f(-h)$ ની જરૂર છે,જે $8 < \frac{h}{2}$ થાય. નાના $h$ માટે આ અસત્ય છે. તેથી,$x = 0$ એ સ્થાનીય ન્યૂનતમ નથી.
વિધાન-$I$ ખોટું છે.
વિધાન-$II$ માટે: આ $x = a$ આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે. તેથી,વિધાન-$II$ સાચું છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x$.
પ્રથમ,વિકલિત મેળવો: $f'(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 3(x^2 - 8x + 15) = 3(x - 3)(x - 5)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 3$ અને $x = 5$ મળે છે.
હવે,અંતરાલ $[0, 7]$ ના ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંત્યબિંદુઓ પર વિધેય $f(x)$ નું મૂલ્ય તપાસીએ:
$f(0) = (0)^3 - 12(0)^2 + 45(0) = 0$
$f(3) = (3)^3 - 12(3)^2 + 45(3) = 27 - 108 + 135 = 54$
$f(5) = (5)^3 - 12(5)^2 + 45(5) = 125 - 300 + 225 = 50$
$f(7) = (7)^3 - 12(7)^2 + 45(7) = 343 - 588 + 315 = 70$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,અંતરાલ $[0, 7]$ પર $f(x)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $70$ છે.

(C) ધારો કે $y = 64 \sec x + 27 \csc x$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 64 \sec x \tan x - 27 \csc x \cot x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$64 \sec x \tan x = 27 \csc x \cot x$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$64 \left(\frac{1}{\cos x}\right) \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = 27 \left(\frac{1}{\sin x}\right) \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)$.
$\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} = \frac{27}{64} \Rightarrow \tan^3 x = \left(\frac{3}{4}\right)^3$.
આમ,$\tan x = \frac{3}{4}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે જેમાં સામેની બાજુ $3$ અને પાસેની બાજુ $4$ હોય,કર્ણ $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ થાય.
તેથી,$\sec x = \frac{5}{4}$ અને $\csc x = \frac{5}{3}$.
આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$y = 64 \left(\frac{5}{4}\right) + 27 \left(\frac{5}{3}\right) = 16(5) + 9(5) = 80 + 45 = 125$.

(B) ધારો કે $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે અને $\alpha$ એ લંબવૃત્તીય શંકુનો અર્ધ-શિર:કોણ છે. ધારો કે $h$ એ ઊંચાઈ અને $r$ એ પાયાની ત્રિજ્યા છે.
તેથી $h = l \cos \alpha$ અને $r = l \sin \alpha$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$r$ અને $h$ ની કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{1}{3} \pi (l \sin \alpha)^2 (l \cos \alpha) = \frac{1}{3} \pi l^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{d\alpha} = \frac{1}{3} \pi l^3 [\sin^2 \alpha (-\sin \alpha) + \cos \alpha (2 \sin \alpha \cos \alpha)]$
$\frac{dV}{d\alpha} = \frac{1}{3} \pi l^3 [-\sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha]$.
સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ માટે $\frac{dV}{d\alpha} = 0$ લેતા:
$-\sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) = 0$
$\sin \alpha (2 - 3 \sin^2 \alpha) = 0$.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$2 - 3 \sin^2 \alpha = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 \alpha = \frac{2}{3}$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2/3}{1/3} = 2$ મળે છે.
આમ,$\tan \alpha = \sqrt{2}$,અથવા $\alpha = \tan^{-1}(\sqrt{2})$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટી $\frac{d^2V}{d\alpha^2}$ દ્વારા સાબિત થાય છે કે આ કિંમત માટે ઘનફળ મહત્તમ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\sin(x + a)}{\sin(x + b)}$ છે.
વિકલન કરતા,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
$f'(x) = \frac{\sin(x + b) \cos(x + a) - \sin(x + a) \cos(x + b)}{\sin^2(x + b)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \frac{\sin((x + a) - (x + b))}{\sin^2(x + b)} = \frac{\sin(a - b)}{\sin^2(x + b)}$.
અહીં $a \neq b$ હોવાથી,$\sin(a - b) \neq 0$ થાય. તેથી,કોઈપણ $x$ માટે $f'(x) \neq 0$ છે.
આમ,વિધેય $f$ ને $x = 0$ આગળ કોઈ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(B) આપેલ છે કે $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$.
તેથી $P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$.
આપેલ છે કે $x = 0$ એ $P'(x) = 0$ નું એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ છે.
$P'(0) = 0$ હોવાથી,આપણને $c = 0$ મળે છે.
આમ,$P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx = x(4x^2 + 3ax + 2b)$.
$x=0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2 + 3ax + 2b = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોવા જોઈએ.
$P'(x)$ એ $x=0$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી $x=0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનત્તમ બિંદુ છે.
$P(x)$ એ $4$ ઘાતની બહુપદી છે,તેથી અંતરાલ $[-1, 1]$ માં નિરપેક્ષ ન્યૂનત્તમ કિંમત $x=0$ આગળ મળે છે.
$P(-1) < P(1)$ આપેલ હોવાથી,અંતરાલ $[-1, 1]$ માં મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x=1$ આગળ મળે છે.
તેથી,$P(-1)$ એ ન્યૂનત્તમ છે અને $P(1)$ એ $P$ નું મહત્તમ મૂલ્ય છે.

(B) વક્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$0 = 2(0)^3 + a(0)^2 + b(0) + c$,જે દર્શાવે છે કે $c = 0$ છે.
વક્રનું વિકલન $\frac{dy}{dx} = 6x^2 + 2ax + b$ થાય.
આપેલ છે કે $x = -1$ અને $x = 2$ આગળના સ્પર્શકો $X$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી તેમનો ઢાળ શૂન્ય થાય.
$x = -1$ માટે: $6(-1)^2 + 2a(-1) + b = 0 \implies 6 - 2a + b = 0 \implies 2a - b = 6 \quad (1)$.
$x = 2$ માટે: $6(2)^2 + 2a(2) + b = 0 \implies 24 + 4a + b = 0 \implies 4a + b = -24 \quad (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2a - b) + (4a + b) = 6 - 24$
$6a = -18 \implies a = -3$.
$a = -3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$2(-3) - b = 6 \implies -6 - b = 6 \implies b = -12$.
આમ,$a = -3, b = -12$ અને $c = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{25}(1 - x)^{75}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1 - x)^{74}(-1)$
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} [(1 - x) - 3x]$
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} (1 - 4x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$,$x = 1$,અને $x = 1/4$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુઓ મળે છે.
ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત તપાસતા:
$f(0) = 0^{25}(1 - 0)^{75} = 0$
$f(1) = 1^{25}(1 - 1)^{75} = 0$
$f(1/4) = (1/4)^{25}(1 - 1/4)^{75} = (1/4)^{25}(3/4)^{75} > 0$.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં તમામ $x$ માટે $f(x) \geq 0$ હોવાથી અને $x = 1/4$ આગળ વિધેયની કિંમત ધન હોવાથી,વિધેય $x = 1/4$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધારણ કરે છે.

(A) ધારો કે $y = \sin^p x \cos^q x$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$z = \ln(y) = p \ln(\sin x) + q \ln(\cos x)$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dz}{dx} = p \cot x - q \tan x$ મળે.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે,$\frac{dz}{dx} = 0$ લેતા,$p \cot x = q \tan x$ મળે,એટલે કે $\tan^2 x = p/q$. તેથી,$x = \tan^{-1} \sqrt{p/q}$.
મહત્તમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે,દ્વિતીય વિકલન મેળવતા: $\frac{d^2z}{dx^2} = -p \csc^2 x - q \sec^2 x$.
અહીં $p, q > 0$ હોવાથી,$\frac{d^2z}{dx^2} < 0$ થાય,જે સાબિત કરે છે કે $x = \tan^{-1} \sqrt{p/q}$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$,જ્યાં $0 \leq x \leq 2\pi$.
પ્રથમ વિકલન કરતા: $f'(x) = 2\cos x - 2\sin 2x$.
$f'(x) = 0$ લેતા:
$2\cos x - 4\sin x \cos x = 0$
$2\cos x(1 - 2\sin x) = 0$
તેથી $\cos x = 0$ અથવા $\sin x = 1/2$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x = 0$ માટે $x = \pi/2, 3\pi/2$ અને $\sin x = 1/2$ માટે $x = \pi/6, 5\pi/6$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન કરતા: $f''(x) = -2\sin x - 4\cos 2x$.
કિંમતો ચકાસતા:
$x = \pi/6$ માટે: $f''(\pi/6) = -2(1/2) - 4\cos(\pi/3) = -1 - 2 = -3 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = \pi/2$ માટે: $f''(\pi/2) = -2(1) - 4\cos(\pi) = -2 + 4 = 2 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = 5\pi/6$ માટે: $f''(5\pi/6) = -2(1/2) - 4\cos(5\pi/3) = -1 - 2 = -3 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = 3\pi/2$ માટે: $f''(3\pi/2) = -2(-1) - 4\cos(3\pi) = 2 + 4 = 6 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
મહત્તમ કિંમત $x = \pi/6$ અને $x = 5\pi/6$ આગળ મળે છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \ln|x| + bx^2 + ax$. વિકલન $f'(x) = \frac{1}{x} + 2bx + a$ છે.
$f(x)$ ને $x = -1$ અને $x = 2$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો હોવાથી,$f'(-1) = 0$ અને $f'(2) = 0$ થવું જોઈએ.
$x = -1$ માટે: $-1 - 2b + a = 0 \implies a - 2b = 1$.
$x = 2$ માટે: $\frac{1}{2} + 4b + a = 0 \implies a + 4b = -\frac{1}{2}$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(a + 4b) - (a - 2b) = -\frac{1}{2} - 1 \implies 6b = -\frac{3}{2} \implies b = -\frac{1}{4}$.
$b = -\frac{1}{4}$ ને $a - 2b = 1$ માં મૂકતા: $a - 2(-\frac{1}{4}) = 1 \implies a + \frac{1}{2} = 1 \implies a = \frac{1}{2}$.
આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
હવે,$f''(x) = -\frac{1}{x^2} + 2b = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}$.
$x = -1$ આગળ,$f''(-1) = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} < 0$,તેથી $f$ ને $x = -1$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય છે.
$x = 2$ આગળ,$f''(2) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} < 0$,તેથી $f$ ને $x = 2$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય છે.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સાચું સ્પષ્ટીકરણ છે.