Maxima and Minima Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $xy = 1$ અને $x > 0$,તેથી $y = \frac{1}{x}$ થાય.
ધારો કે $f(x) = x + y = x + \frac{1}{x}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1$.
$x > 0$ હોવાથી,આપણે $x = 1$ લઈશું.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ:
$f''(x) = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$.
દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,$x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ છે.

(A) ધારો કે $y = f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x - 3)(x - 1)$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $x = 0, 1, 3$ પર ક્રાંતિક બિંદુઓ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $\frac{d^2y}{dx^2} = 20x^3 - 60x^2 + 30x = 10x(2x^2 - 6x + 3)$.
$x = 0$ માટે: $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$. તૃતીય વિકલન તપાસતા: $\frac{d^3y}{dx^3} = 60x^2 - 120x + 30$. $x = 0$ પર,$\frac{d^3y}{dx^3} = 30 \neq 0$. તેથી,$x = 0$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ છે,સ્થાનિક ચરમબિંદુ નથી.
$x = 1$ માટે: $\frac{d^2y}{dx^2} = 10(1)(2 - 6 + 3) = -10 < 0$. તેથી,$x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ છે.
$f(1) = 1 - 5 + 5 - 10 = -9$.
$x = 3$ માટે: $\frac{d^2y}{dx^2} = 10(3)(2(9) - 6(3) + 3) = 30(18 - 18 + 3) = 90 > 0$. તેથી,$x = 3$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
$f(3) = 3^5 - 5(3^4) + 5(3^3) - 10 = 243 - 405 + 135 - 10 = -37$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $-37$ અને મહત્તમ કિંમત $-9$ છે.

(B) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $y$ છે જેથી $x + y = 20$.
આપણે ગુણાકાર $z = x \cdot y^3$ ને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
સમીકરણમાં $x = 20 - y$ મૂકતા,આપણને $z = (20 - y)y^3 = 20y^3 - y^4$ મળે છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $z$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $\frac{dz}{dy} = 60y^2 - 4y^3$.
$\frac{dz}{dy} = 0$ લેતા,આપણને $4y^2(15 - y) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 0$ અથવા $y = 15$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ છીએ: $\frac{d^2z}{dy^2} = 120y - 12y^2$.
$y = 15$ આગળ,$\frac{d^2z}{dy^2} = 120(15) - 12(15^2) = 1800 - 2700 = -900 < 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલન ઋણ છે,તેથી $y = 15$ એ મહત્તમ બિંદુ છે.
જો $y = 15$ હોય,તો $x = 20 - 15 = 5$.
આમ,બે ભાગ $(5, 15)$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = {x^3} - 18{x^2} + 96x$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 3{x^2} - 36x + 96$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $3(x^2 - 12x + 32) = 0 \Rightarrow 3(x - 4)(x - 8) = 0$.
આમ,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 4$ અને $x = 8$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = 6x - 36$.
$x = 4$ પર,$f''(4) = 6(4) - 36 = -12 < 0$,તેથી $f(x)$ ને $x = 4$ પર સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(4) = (4)^3 - 18(4)^2 + 96(4) = 64 - 288 + 384 = 160$ છે.
$x = 8$ પર,$f''(8) = 6(8) - 36 = 12 > 0$,તેથી $f(x)$ ને $x = 8$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(8) = (8)^3 - 18(8)^2 + 96(8) = 512 - 1152 + 768 = 128$ છે.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો અનુક્રમે $160$ અને $128$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin x(1 + \cos x) = \sin x + \sin x \cos x = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ અને તેને $0$ સાથે સરખાવીએ:
$f'(x) = \cos x + \cos 2x = 0$.
$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$.
ધારો કે $u = \cos x$,તો $2u^2 + u - 1 = 0$,જેના અવયવો $(2u - 1)(u + 1) = 0$ થાય છે.
તેથી,$\cos x = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos x = -1$.
$\cos x = \frac{1}{2}$ માટે,$x = \frac{\pi}{3}$ (પ્રથમ ચરણમાં).
$\cos x = -1$ માટે,$x = \pi$,પરંતુ $x = \pi$ પર $f(x) = 0$,જે ન્યૂનતમ છે.
દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = -\sin x - 2\sin 2x$ તપાસતા:
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$f''(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) - 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,વિધેય $x = \frac{\pi}{3}$ પર મહત્તમ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{x}{1 + x \tan x}$. $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે તેના વ્યસ્ત $g(x) = \frac{1}{f(x)} = \frac{1 + x \tan x}{x} = \frac{1}{x} + \tan x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધી શકીએ છીએ.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $g(x)$ નું વિકલન કરતા:
$g'(x) = -\frac{1}{x^2} + \sec^2 x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$g'(x) = 0$ લેતા:
$-\frac{1}{x^2} + \sec^2 x = 0 \implies \sec^2 x = \frac{1}{x^2} \implies \cos^2 x = x^2 \implies x = \cos x$ ($x > 0$ માટે).
હવે,દ્વિતીય વિકલન $g''(x)$ શોધો:
$g''(x) = \frac{2}{x^3} + 2 \sec^2 x \tan x$.
$x = \cos x$ આગળ,$g''(x) = \frac{2}{\cos^3 x} + 2 \sec^2 x \tan x = 2 \sec^2 x (\sec x + \tan x)$.
કારણ કે $x = \cos x$ પ્રથમ ચરણમાં છે,$\sec x > 0$ અને $\tan x > 0$,તેથી $g''(x) > 0$.
આમ,$g(x)$ ને $x = \cos x$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ ને $x = \cos x$ આગળ મહત્તમ કિંમત મળે છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.
અત્યંત કિંમતો શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + x + 1)(2x - 1) - (x^2 - x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$
$= \frac{(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$
$= \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + x + 1)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $2x^2 - 2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$.
$x = 1$ માટે,$y = \frac{1 - 1 + 1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$.
$x = -1$ માટે,$y = \frac{1 + 1 + 1}{1 - 1 + 1} = \frac{3}{1} = 3$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $3$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
કારણ કે $e \approx 2.718$,$x = e$ એ અંતરાલ $[2, \infty)$ માં આવે છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ અને સીમા પર વિધેયની કિંમત તપાસો:
$f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e} \approx 0.367$.
$f(2) = \frac{\log 2}{2} \approx \frac{0.693}{2} = 0.346$.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $\frac{\log x}{x} \to 0$ ($L$'Hopital ના નિયમ મુજબ).
કારણ કે $f(2) \approx 0.346$ અને $x \to \infty$ માટે લક્ષ $0$ છે,અને $x > e$ માટે વિધેય ઘટે છે,વિધેયની કિંમતો $0$ ની નજીક જાય છે પરંતુ અંતરાલ $[2, \infty)$ માં ક્યારેય $0$ સુધી પહોંચતી નથી.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમતનું અસ્તિત્વ નથી.

(B) ધારો કે વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{x}$ છે,જ્યાં $x > 0$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$1 - \frac{1}{x^2} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$. $x > 0$ હોવાથી,$x = 1$ મળે છે.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ: $f''(x) = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$.
દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,વિધેય $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = 1$ આગળ મળે છે.

(B) ધારો કે અંશ $x$ છે. તો છેદ $x^2 + 16$ થશે.
અપૂર્ણાંક $f(x) = \frac{x}{x^2 + 16}$ છે.
અત્યંત કિંમતો શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{(x^2 + 16)(1) - x(2x)}{(x^2 + 16)^2} = \frac{16 - x^2}{(x^2 + 16)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$16 - x^2 = 0$ મળે,તેથી $x = 4$ અથવા $x = -4$.
આ નિર્ણાયક બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત તપાસીએ:
$x = 4$ માટે,$f(4) = \frac{4}{16 + 16} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
$x = -4$ માટે,$f(-4) = \frac{-4}{16 + 16} = \frac{-4}{32} = -\frac{1}{8}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-1/8$ છે.

(B) ધારો કે સંખ્યા $x$ છે. આપણે સંખ્યા અને તેના ઘન વચ્ચેનો તફાવત મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ,તેથી આપણે વિધેય $f(x) = x - x^3$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન લઈએ છીએ: $f'(x) = 1 - 3x^2$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $1 - 3x^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1/3$,તેથી $x = \pm 1/\sqrt{3}$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ છીએ: $f''(x) = -6x$.
$x = 1/\sqrt{3}$ માટે,$f''(1/\sqrt{3}) = -6/\sqrt{3} < 0$,જે સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય સૂચવે છે.
$x = -1/\sqrt{3}$ માટે,$f''(-1/\sqrt{3}) = 6/\sqrt{3} > 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય સૂચવે છે.
આમ,જે સંખ્યા તેના ઘન કરતાં સૌથી વધુ હોય તે $1/\sqrt{3}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x) = \frac{x}{4 + x + x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{(4 + x + x^2)(1) - x(1 + 2x)}{(4 + x + x^2)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + x + x^2 - x - 2x^2}{(4 + x + x^2)^2} = \frac{4 - x^2}{(4 + x + x^2)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$4 - x^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$ અથવા $x = -2$.
આ બંને કિંમતો $x = 2$ અને $x = -2$ આપેલ અંતરાલ $[-1, 1]$ ની બહાર છે,તેથી મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર જ મળશે.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમત શોધતા:
$f(-1) = \frac{-1}{4 - 1 + 1} = \frac{-1}{4} = -0.25$.
$f(1) = \frac{1}{4 + 1 + 1} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $1/6$ છે.

(A) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી વ્યાસ $2R$ છે.
ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $y$ છે અને શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $x$ છે.
ગોલકની ભૂમિતિ મુજબ,ગોલકના કેન્દ્રથી શંકુના પાયા સુધીનું અંતર $|y - R|$ છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા,શંકુની ત્રિજ્યા અને કેન્દ્રથી અંતર દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $x^2 + (y - R)^2 = R^2$.
$x^2 = R^2 - (y - R)^2 = R^2 - (y^2 - 2Ry + R^2) = 2Ry - y^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3}\pi x^2 y = \frac{1}{3}\pi (2Ry - y^2)y = \frac{1}{3}\pi (2Ry^2 - y^3)$ છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{3}\pi (4Ry - 3y^2)$.
$\frac{dV}{dy} = 0$ લેતા,આપણને $y(4R - 3y) = 0$ મળે છે. $y \neq 0$ હોવાથી,$y = \frac{4}{3}R$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2V}{dy^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 6y)$ છે. $y = \frac{4}{3}R$ મૂકતા,$\frac{d^2V}{dy^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 8R) = -\frac{4}{3}\pi R < 0$,જે મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
શંકુની ઊંચાઈ $(y)$ અને ગોલકના વ્યાસ $(2R)$ નો ગુણોત્તર $\frac{y}{2R} = \frac{4/3 R}{2R} = \frac{2}{3}$ થાય છે.

(B) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને વ્યાસ $AE = 2R$ છે.
ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $x$ અને ઊંચાઈ $y$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $BDE$ માં,જીવાના ગુણધર્મ મુજબ,$BD^2 = AD \times DE$,જ્યાં $AD = y$ અને $DE = 2R - y$ છે.
તેથી,$x^2 = y(2R - y)$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3}\pi x^2 y = \frac{1}{3}\pi y(2R - y)y = \frac{1}{3}\pi (2Ry^2 - y^3)$ છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dy} = \frac{1}{3}\pi (4Ry - 3y^2)$.
$\frac{dV}{dy} = 0$ લેતા:
$\frac{1}{3}\pi y(4R - 3y) = 0$.
$y \neq 0$ હોવાથી,$y = \frac{4}{3}R$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d^2V}{dy^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 6y)$.
$y = \frac{4}{3}R$ માટે,$\frac{d^2V}{dy^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 8R) = -\frac{4}{3}\pi R < 0$,જે દર્શાવે છે કે ઘનફળ મહત્તમ છે.
શંકુની ઊંચાઈ અને ગોળાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{y}{R} = \frac{4}{3}$ થાય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x + \sin x$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 1 + \cos x$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $1 + \cos x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos x = -1$.
આ કિંમત $x = (2n+1)\pi$ પર મળે છે,જ્યાં $n$ કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ: $f''(x) = -\sin x$.
$x = \pi$ આગળ,$f''(\pi) = -\sin(\pi) = 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલન શૂન્ય છે,આપણે તૃતીય વિકલન તપાસીએ: $f'''(x) = -\cos x$.
$x = \pi$ આગળ,$f'''(\pi) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1 \neq 0$.
કારણ કે ક્રાંતિક બિંદુ પર પ્રથમ શૂન્યતર વિકલન એકી ક્રમનું (તૃતીય વિકલન) છે,તેથી વિધેય $f(x)$ ને $x = \pi$ આગળ નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflection) છે અને તેને કોઈ સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = ax + \frac{b}{x}$ છે.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = a - \frac{b}{x^2}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow a = \frac{b}{x^2} \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ (કારણ કે $x > 0$).
હવે,ન્યૂનતમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(a - bx^{-2}) = 0 - b(-2)x^{-3} = \frac{2b}{x^3}$.
અહીં $b > 0$ અને $x > 0$ હોવાથી,$f''(x) = \frac{2b}{x^3} > 0$ થાય છે.
તેથી,$x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય ન્યૂનતમ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $xy = c^2$,તેથી $y = \frac{c^2}{x}$ લખી શકાય.
ધારો કે $f(x) = ax + by = ax + \frac{bc^2}{x}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = a - \frac{bc^2}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$a - \frac{bc^2}{x^2} = 0 \implies ax^2 = bc^2 \implies x^2 = \frac{bc^2}{a}$.
અહીં $x = c\sqrt{\frac{b}{a}}$ લેતા (ધારીએ કે $a, b, c > 0$ છે).
હવે $x$ ની કિંમત $f(x)$ માં મૂકતા:
$f\left(c\sqrt{\frac{b}{a}}\right) = a\left(c\sqrt{\frac{b}{a}}\right) + \frac{bc^2}{c\sqrt{\frac{b}{a}}} = ac\sqrt{\frac{b}{a}} + bc\sqrt{\frac{a}{b}} = c\sqrt{ab} + c\sqrt{ab} = 2c\sqrt{ab}$.

(C) આપેલ સમીકરણ ${a^2}{x^4} + {b^2}{y^4} = {c^6}$ છે.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે ધન સંખ્યાઓ $u$ અને $v$ માટે,$\frac{u+v}{2} \ge \sqrt{uv}$ થાય.
ધારો કે $u = {a^2}{x^4}$ અને $v = {b^2}{y^4}$.
તેથી $\frac{{{a^2}{x^4} + {b^2}{y^4}}}{2} \ge \sqrt{{a^2}{x^4} \cdot {b^2}{y^4}}$.
આપેલ સમીકરણની કિંમત મૂકતા: $\frac{{{c^6}}}{2} \ge \sqrt{{a^2}{b^2}{x^4}{y^4}}$.
$\frac{{{c^6}}}{2} \ge ab{x^2}{y^2}$.
${x^2}{y^2} \le \frac{{{c^6}}}{{2ab}}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $xy \le \sqrt{\frac{{{c^6}}}{{2ab}}}$ મળે.
તેથી,$xy$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{{{c^3}}}{{\sqrt {2ab} }}$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 4$ છે.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 15x^2 + 36x + 4) = 6x^2 - 30x + 36$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$6(x^2 - 5x + 6) = 0$
$6(x - 2)(x - 3) = 0$
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 2$ અને $x = 3$ છે.
હવે,મહત્તમ કે ન્યૂનતમ ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 30x + 36) = 12x - 30$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર $f''(x)$ ની કિંમત તપાસો:
$x = 2$ માટે: $f''(2) = 12(2) - 30 = 24 - 30 = -6$.
$f''(2) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = 3$ માટે: $f''(3) = 12(3) - 30 = 36 - 30 = 6$.
$f''(3) > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી,વિધેય $x = 2$ આગળ મહત્તમ છે.

(B) ધારો કે વિધેય $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 27$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $x$ આગળ વક્રનો ઢાળ વિકલન $f'(x) = -3x^2 + 6x + 9$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ ઢાળ શોધવા માટે,ધારો કે $g(x) = f'(x) = -3x^2 + 6x + 9$ છે.
આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં $g(x)$ નું વિકલન કરીએ: $g'(x) = -6x + 6$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $g'(x) = 0$ લેતા,$-6x + 6 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ: $g''(x) = -6$. કારણ કે $g''(1) = -6 < 0$ છે,તેથી વિધેય $g(x)$ એ $x = 1$ આગળ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
$g(x)$ માં $x = 1$ મૂકતા,આપણને મહત્તમ ઢાળ મળે છે: $g(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 9 = -3 + 6 + 9 = 12$.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$
પગલું $1$: પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધો.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 4) = 6x^2 - 6x - 12$
પગલું $2$: $f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો.
$6(x^2 - x - 2) = 0$
$6(x - 2)(x + 1) = 0$
તેથી,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = -1$ છે.
પગલું $3$: મહત્તમ/ન્યૂનતમ ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધો.
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x - 12) = 12x - 6$
પગલું $4$: ક્રાંતિક બિંદુઓ પર $f''(x)$ ની કિંમત શોધો.
$x = 2$ માટે: $f''(2) = 12(2) - 6 = 24 - 6 = 18 > 0$. $f''(2) > 0$ હોવાથી,વિધેયને $x = 2$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
$x = -1$ માટે: $f''(-1) = 12(-1) - 6 = -12 - 6 = -18 < 0$. $f''(-1) < 0$ હોવાથી,વિધેયને $x = -1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેયને એક મહત્તમ અને એક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{x}$ છે,જ્યાં $x > 0$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેયનું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + x^{-1}) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ શોધવા માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ:
$1 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
અહીં પ્રદેશ $x > 0$ હોવાથી,આપણે માત્ર $x = 1$ ને ધ્યાનમાં લઈશું.
હવે,ક્રિટિકલ પોઈન્ટનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે દ્વિતીય વિકલન કરીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^{-2}) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$.
$f''(1) > 0$ હોવાથી,વિધેયને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે,જે $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ છે.
જેમ $x \to 0^+$,તેમ $f(x) \to \infty$,અને જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$.
તેથી,અંતરાલ $(0, \infty)$ પર વિધેયની કોઈ મહત્તમ કિંમત નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) ધારો કે સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચાપની લંબાઈ $s$ છે. પરિમિતિ $p = 2r + s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $s = p - 2r$.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}rs$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $s = p - 2r$ મૂકતા,આપણને $A = \frac{1}{2}r(p - 2r) = \frac{1}{2}pr - r^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = \frac{1}{2}p - 2r = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2r = \frac{p}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{p}{4}$.
કારણ કે $\frac{d^2A}{dr^2} = -2 < 0$ છે,તેથી $r = \frac{p}{4}$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(D) આપેલ વિધેય $y = a \ln x + bx^2 + x$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
વિધેયની અંતિમ કિંમત $x = 1$ અને $x = 2$ પર હોવાથી,આ બિંદુઓ પર વિકલન શૂન્ય થાય.
$x = 1$ માટે: $\frac{a}{1} + 2b(1) + 1 = 0 \implies a + 2b = -1$ (સમીકરણ $1$).
$x = 2$ માટે: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b = -1 \implies a + 8b = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - (-1) \implies 6b = -1 \implies b = -1/6$.
$b = -1/6$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 2(-1/6) = -1 \implies a - 1/3 = -1 \implies a = -1 + 1/3 = -2/3$.
આમ,$(a, b) = (-2/3, -1/6)$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{-10}^x (t^4 - 4)e^{-4t} dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = (x^4 - 4)e^{-4x}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$(x^4 - 4)e^{-4x} = 0$.
કારણ કે $e^{-4x} \neq 0$ દરેક $x$ માટે,તેથી $x^4 - 4 = 0$,જેનો અર્થ છે $x^2 = 2$ અથવા $x^2 = -2$.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં,$x = \sqrt{2}$ અને $x = -\sqrt{2}$.
બંને કિંમતો $\sqrt{2} \approx 1.414$ અને $-\sqrt{2} \approx -1.414$ એ અંતરાલ $(-4, 4)$ માં આવેલી છે.
કારણ કે $x = \sqrt{2}$ અને $x = -\sqrt{2}$ આગળ $f'(x)$ પોતાની નિશાની બદલે છે,તેથી વિધેયને આપેલ અંતરાલમાં બે અંતિમબિંદુઓ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 \log x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \log x + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x(2 \log x + 1) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $x \in [1, e]$,તેથી $x \neq 0$. આમ,$2 \log x + 1 = 0 \implies \log x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
કારણ કે $\frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.606$,જે અંતરાલ $[1, e]$ માં નથી,તેથી આપેલ અંતરાલમાં કોઈ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ નથી.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય અંતિમ બિંદુઓ $x = 1$ અથવા $x = e$ પર જ મળે.
$f(1) = 1^2 \cdot \log(1) = 1 \cdot 0 = 0$.
$f(e) = e^2 \cdot \log(e) = e^2 \cdot 1 = e^2$.
$0$ અને $e^2$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $e^2$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = y = x^{-x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln y = -x \ln x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -[x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 1] = -(1 + \ln x)$ મળે છે.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -x^{-x}(1 + \ln x)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,$1 + \ln x = 0$ મળે છે.
$\ln x = -1$,તેથી $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન અથવા પ્રથમ વિકલનની નિશાનીમાં ફેરફાર તપાસીએ છીએ. $x < 1/e$ માટે $f'(x) > 0$ અને $x > 1/e$ માટે $f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 1/e$ આગળ મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.

(B) આપેલ છે કે $ab = 2a + 3b$. $a > 0$ અને $b > 0$ હોવાથી,આપણે $b$ ને $a$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$b(a - 3) = 2a \implies b = \frac{2a}{a - 3}$.
$b > 0$ અને $a > 0$ હોવાથી,$a - 3 > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $a > 3$.
ધારો કે $z = ab = a \left( \frac{2a}{a - 3} \right) = \frac{2a^2}{a - 3}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $z$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dz}{da} = \frac{(a - 3)(4a) - 2a^2(1)}{(a - 3)^2} = \frac{4a^2 - 12a - 2a^2}{(a - 3)^2} = \frac{2a^2 - 12a}{(a - 3)^2}$.
$\frac{dz}{da} = 0$ લેતા,$2a(a - 6) = 0$ મળે છે. $a > 3$ હોવાથી,$a = 6$ મળે.
જ્યારે $a = 6$ હોય,ત્યારે $b = \frac{2(6)}{6 - 3} = \frac{12}{3} = 4$.
તેથી $ab = 6 \times 4 = 24$.
આમ,$ab$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $24$ છે.

(D) ધારો કે બાજુઓ $PQ$ અને $PR$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta = \frac{1}{2} ab \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ બાજુઓ $PQ$ અને $PR$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં $a$ અને $b$ અચળ લંબાઈ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\Delta$ એ $\sin \theta$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
જ્યારે $\sin \theta$ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે $\theta = \frac{\pi}{2}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જે ખૂણો મહત્તમ ક્ષેત્રફળ આપે છે તે $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = a(1 - \cos x)$ છે.
સૌ પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $y'$ શોધો:
$y' = \frac{d}{dx}[a(1 - \cos x)] = a(0 - (-\sin x)) = a \sin x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$y' = 0$ લો:
$a \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = n\pi$ જ્યાં $n$ કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે.
પ્રમાણિત અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 0$ અને $x = \pi$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $y''$ શોધો:
$y'' = \frac{d}{dx}(a \sin x) = a \cos x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર $y''$ ની કિંમત તપાસો:
$x = 0$ માટે,$y''(0) = a \cos(0) = a$.
$x = \pi$ માટે,$y''(\pi) = a \cos(\pi) = -a$.
ધારો કે $a > 0$,તો વિધેય ત્યારે મહત્તમ હોય જ્યારે $y'' < 0$ હોય,જે $x = \pi$ પર થાય છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 + \frac{250}{x}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 2x - \frac{250}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$2x - \frac{250}{x^2} = 0 \implies 2x^3 = 250 \implies x^3 = 125 \implies x = 5$.
હવે,મહત્તમ કે ન્યૂનતમ છે તે ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધીએ:
$f''(x) = 2 + \frac{500}{x^3}$.
$x = 5$ આગળ,$f''(5) = 2 + \frac{500}{125} = 2 + 4 = 6$.
અહીં $f''(5) > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 5$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(5) = 5^2 + \frac{250}{5} = 25 + 50 = 75$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 + \frac{1}{1 + x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(x) = 2x - \frac{1}{(1 + x^2)^2} \cdot (2x) = 2x \left( 1 - \frac{1}{(1 + x^2)^2} \right)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2x = 0$ અથવા $1 - \frac{1}{(1 + x^2)^2} = 0$ મળે છે.
$2x = 0$ પરથી,આપણને $x = 0$ મળે છે.
$1 - \frac{1}{(1 + x^2)^2} = 0$ પરથી,આપણને $(1 + x^2)^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1 + x^2 = 1$ (કારણ કે $1 + x^2 > 0$),તેથી $x^2 = 0$,જે ફરીથી $x = 0$ આપે છે.
$x = 0$ પર વિધેયની કિંમત તપાસતા,$f(0) = 0^2 + \frac{1}{1 + 0^2} = 1$.
આમ,વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $x = 0$ પર મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x - 2y = 4$ પરથી,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં $x = 2y + 4$ $(i)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે ગુણાકાર $P = xy$ છે.
$P$ ના સમીકરણમાં $(i)$ મૂકતા,આપણને $P = y(2y + 4) = 2y^2 + 4y$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dP}{dy} = 4y + 4 = 0 \Rightarrow y = -1.$
હવે,ન્યૂનતમ કિંમત ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ:
$\frac{d^2P}{dy^2} = 4,$ જે $0$ કરતા મોટું છે,જે સાબિત કરે છે કે $y = -1$ પર ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
$y = -1$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $x = 2(-1) + 4 = 2$ મળે છે.
તેથી,$xy$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $P = (2)(-1) = -2$ છે.

(A) ધારો કે $f(x, y) = 2x + 3y$ અને શરત $xy = 6$ છે.
$xy = 6$ હોવાથી,$y = \frac{6}{x}$ મળે.
આ કિંમત વિધેયમાં મૂકતા,$f(x) = 2x + 3\left(\frac{6}{x}\right) = 2x + \frac{18}{x}$ મળે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,વિકલન કરતા $f'(x) = 2 - \frac{18}{x^2}$ મળે.
$f'(x) = 0$ લેતા,$2 = \frac{18}{x^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 9,$ તેથી $x = \pm 3.$
અહીં ન્યૂનતમ કિંમત માટે $x$ અને $y$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી $x = 3$ લેતા.
ત્યારે $y = \frac{6}{3} = 2$ મળે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $f(3) = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12$ થાય.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 24x - 48$
$f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 + 2x - 4)$
$f'(x) = 12[x^2(x - 2) + 2(x - 2)] = 12(x - 2)(x^2 + 2)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$x^2 + 2 = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી,તેથી માત્ર એક જ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ $x = 2$ છે.
હવે,$x = 2$ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 3$ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(0) = 25$
$f(2) = 3(16) - 8(8) + 12(4) - 96 + 25 = 48 - 64 + 48 - 96 + 25 = -39$
$f(3) = 3(81) - 8(27) + 12(9) - 144 + 25 = 243 - 216 + 108 - 144 + 25 = 16$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $\min\{25, -39, 16\} = -39$ છે.

(B) ધારો કે $y = x^{1/x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln y = \frac{1}{x} \ln x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left(-\frac{1}{x^2}\right) \ln x + \left(\frac{1}{x}\right) \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = x^{1/x} \left(\frac{1 - \ln x}{x^2}\right)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,જે સૂચવે છે કે $1 - \ln x = 0$,તેથી $\ln x = 1$,જે $x = e$ આપે છે.
કારણ કે $x = e$ આગળ વિકલન ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી વિધેય $x = e$ આગળ મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
મહત્તમ કિંમત $y(e) = e^{1/e}$ છે.

(D) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(h, k)$ છે.
વક્ર ${x^2} = 2y$ પર બિંદુ હોવાથી,${h^2} = 2k$ ... $(i)$.
બિંદુ $(0, 5)$ અને $P(h, k)$ વચ્ચેનું અંતર $D = \sqrt{(h - 0)^2 + (k - 5)^2} = \sqrt{h^2 + (k - 5)^2}$ છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી ${h^2} = 2k$ મૂકતા,$D = \sqrt{2k + (k - 5)^2} = \sqrt{2k + k^2 - 10k + 25} = \sqrt{k^2 - 8k + 25}$.
$D$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $f(k) = k^2 - 8k + 25$ ને ન્યૂનતમ કરીશું.
વિકલન કરતા,$f'(k) = 2k - 8$.
$f'(k) = 0$ લેતા,$2k = 8$,એટલે કે $k = 4$.
$k = 4$ માટે,${h^2} = 2(4) = 8$,તેથી $h = \pm 2\sqrt{2}$.
વક્ર પરના બિંદુઓ જે $(0, 5)$ ની સૌથી નજીક છે તે $(2\sqrt{2}, 4)$ અને $(-2\sqrt{2}, 4)$ છે.
આ બિંદુઓ વિકલ્પ $A$,$B$ કે $C$ માં આપેલા નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(a) = (2a^2 - 3) + 3(3 - a) + 4$ છે.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$f(a) = 2a^2 - 3 + 9 - 3a + 4$
$f(a) = 2a^2 - 3a + 10$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(a)$ શોધીએ:
$f'(a) = \frac{d}{da}(2a^2 - 3a + 10) = 4a - 3$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $f'(a) = 0$ લેતા:
$4a - 3 = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{4}$.
દ્વિતીય વિકલન $f''(a) = 4 > 0$ હોવાથી,વિધેય $a = \frac{3}{4}$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત:
$f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) + 10$
$f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} + 10$
$f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{80}{8} = \frac{71}{8}$.

(B) આપેલ વિધેય એ પ્રથમ પદ $a = 1$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2x^2$ અને $n = 11$ પદો ધરાવતી ભૌમિતિક શ્રેણી છે.
$f(x) = \sum_{k=0}^{10} (2x^2)^k = \frac{(2x^2)^{11} - 1}{2x^2 - 1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે બહુપદીનું સીધું વિકલન કરી શકીએ છીએ:
$f(x) = 1 + 2x^2 + 4x^4 + 8x^6 + \dots + 1024x^{20}$.
$f'(x) = 4x + 16x^3 + 48x^5 + \dots + 20480x^{19}$.
$f'(x) = 4x(1 + 4x^2 + 12x^4 + \dots + 5120x^{18})$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x = 0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક ક્રાંતિક બિંદુ છે કારણ કે કૌંસમાં રહેલું પદ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે.
$x = 0$ પર દ્વિતીય વિકલન ગણતા:
$f''(x) = 4 + 48x^2 + 240x^4 + \dots$
$f''(0) = 4 > 0$.
કારણ કે $f'(0) = 0$ અને $f''(0) > 0$,વિધેય $x = 0$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ ધરાવે છે. તે ધન અગ્ર સહગુણક ધરાવતી બેકી ઘાતની બહુપદી હોવાથી,આ વૈશ્વિક ન્યૂનતમ છે. આમ,$f(x)$ પાસે બરાબર એક ન્યૂનતમ છે.

(B) ધારો કે વિધેય $f(x) = x - \log_e(1 + x)$,જ્યાં $x \in (0, 1)$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{1 + x - 1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x}$ મળે છે.
અહીં $x > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ થાય છે,જે દર્શાવે છે કે $f(x)$ એ $(0, 1)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.
$f(0) = 0 - \log_e(1) = 0$ હોવાથી અને $f(x)$ વધતું વિધેય હોવાથી,$x > 0$ માટે $f(x) > f(0)$ થાય.
તેથી,$x - \log_e(1 + x) > 0$,એટલે કે $\log_e(1 + x) < x$ બધા $x \in (0, 1)$ માટે સાચું છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાના ગોળામાં અંતર્ગત નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે. આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સંબંધ છે:
${r^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = {R^2}$
${h^2} = 4({R^2} - {r^2}) \implies h = 2\sqrt {{R^2} - {r^2}}$
નળાકારનું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \pi {r^2}h = 2\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}}$
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{{dV}}{{dr}} = 2\pi \left[ {2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} \cdot ( - 2r)} \right]$
$\frac{{dV}}{{dr}} = 2\pi \left[ {2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}} \right]$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $\frac{{dV}}{{dr}} = 0$ લેતા:
$2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} = \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}$
$2({R^2} - {r^2}) = {r^2}$
$2{R^2} - 2{r^2} = {r^2}$
$3{r^2} = 2{R^2}$
${r^2} = \frac{2}{3}{R^2}$
$r = \sqrt {\frac{2}{3}} R$
આમ,મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા નળાકારની ત્રિજ્યા $\sqrt {\frac{2}{3}} R$ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \int\limits_0^x \frac{\cos t}{t} dt$ જ્યાં $x > 0$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = \frac{\cos x}{x}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,જે સૂચવે છે કે $\cos x = 0$ (કારણ કે $x > 0$).
તેથી,$x = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
હવે,$f''(x) = \frac{-x \sin x - \cos x}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x_n = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ પર,$\cos x_n = 0$ અને $\sin x_n = (-1)^n$ થાય છે.
તેથી,$f''(x_n) = \frac{-x_n \sin x_n}{x_n^2} = \frac{-\sin x_n}{x_n} = \frac{-(-1)^n}{(2n + 1)\frac{\pi}{2}} = \frac{2(-1)^{n+1}}{(2n + 1)\pi}$.
મહત્તમ કિંમત માટે,$f''(x_n) < 0$ હોવું જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $(-1)^{n+1} < 0$,એટલે કે $n+1$ એકી સંખ્યા હોય,તેથી $n$ બેકી સંખ્યા હોય $(n = 0, 2, 4, \dots)$.
ન્યૂનતમ કિંમત માટે,$f''(x_n) > 0$ હોવું જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $(-1)^{n+1} > 0$,એટલે કે $n+1$ બેકી સંખ્યા હોય,તેથી $n$ એકી સંખ્યા હોય $(n = 1, 3, 5, \dots)$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ શરતો સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી જવાબ $(d)$ છે.

(C) કુલ બેચની સંખ્યા $\frac{N}{x}$ છે.
દરેક બેચ માટેનો સમય $(\alpha + \beta x^2)$ સેકન્ડ છે.
તેથી,કુલ પ્રોસેસિંગ સમય $T = \frac{N}{x}(\alpha + \beta x^2) = N(\frac{\alpha}{x} + \beta x)$ થાય.
ઝડપી પ્રોસેસિંગ માટે,$T$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dT}{dx} = N(-\frac{\alpha}{x^2} + \beta)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{dT}{dx} = 0$ લેતા: $-\frac{\alpha}{x^2} + \beta = 0 \implies x^2 = \frac{\alpha}{\beta} \implies x = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $\frac{d^2T}{dx^2} = N(\frac{2\alpha}{x^3})$. અહીં $x, \alpha, \beta > 0$ હોવાથી,$\frac{d^2T}{dx^2} > 0$ મળે છે,જે સાબિત કરે છે કે $x = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$ પર $T$ ન્યૂનતમ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = {x^{25}}{(1 - x)^{75}}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = {x^{25}} \cdot 75{(1 - x)^{74}} \cdot (-1) + 25{x^{24}} \cdot {(1 - x)^{75}}$
$f'(x) = 25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} [ -3x + (1 - x) ]$
$f'(x) = 25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} (1 - 4x)$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} (1 - 4x) = 0$
આનાથી આપણને $x = 0, x = 1,$ અથવા $x = 1/4$ મળે છે.
કારણ કે $f(0) = 0$ અને $f(1) = 0$,અને $x \in (0, 1)$ માટે $f(x) > 0$ છે,તેથી મહત્તમ કિંમત ક્રિટિકલ પોઈન્ટ $x = 1/4$ પર મળે છે.
આમ,વિધેય તેની મહત્તમ કિંમત $x = 1/4$ પર ધારણ કરે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{-1}^x {t({e^t} - 1)(t - 1){(t - 2)}^3{(t - 3)}^5} dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = x({e^x} - 1)(x - 1){(x - 2)}^3{(x - 3)}^5$.
સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્યો માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ છીએ,જે ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0, 1, 2, 3$ આપે છે.
આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ના ચિહ્નમાં થતા ફેરફારને તપાસીએ:
$1$. $x = 0$ આગળ: $f'(x)$ ઋણથી ઋણમાં બદલાય છે (કોઈ અંતિમ મૂલ્ય નથી).
$2$. $x = 1$ આગળ: $f'(x)$ ઋણથી ધનમાં બદલાય છે (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$3$. $x = 2$ આગળ: $f'(x)$ ધનથી ઋણમાં બદલાય છે (સ્થાનિક મહત્તમ).
$4$. $x = 3$ આગળ: $f'(x)$ ઋણથી ધનમાં બદલાય છે (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
આમ,વિધેયને $x = 1$ અને $x = 3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો છે. વિકલ્પોમાં $1$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $1$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ છે.
પ્રથમ વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0 \Rightarrow 6(x - a)(x - 2a) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = a$ અને $x = 2a$ છે.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = 12x - 18a$.
$x = a$ આગળ,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ (કારણ કે $a > 0$),તેથી $x = a$ એ સ્થાનીય મહત્તમ બિંદુ છે. આમ,$p = a$.
$x = 2a$ આગળ,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a > 0$,તેથી $x = 2a$ એ સ્થાનીય ન્યૂનતમ બિંદુ છે. આમ,$q = 2a$.
શરત $p^2 = q$ મુજબ,$a^2 = 2a$ મળે.
$a > 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા $a = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે સરવાળો $S = x + \frac{1}{x}$ છે.
સમાંતર મધ્યક-સમગુણોતર મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતા મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $\frac{1}{x}$ માટે:
$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$
$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{1}$
$x + \frac{1}{x} \ge 2$.
સરવાળાનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2$ છે,જે $x = \frac{1}{x}$ એટલે કે $x^2 = 1$ હોય ત્યારે મળે છે. $x$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$x = 1$.

(B) ધારો કે $A = x + y$. આપેલ છે કે $xy = 1$,તેથી $y = \frac{1}{x}$.
આ કિંમત $A$ માં મૂકતા,$A(x) = x + \frac{1}{x}$ મળે,જ્યાં $x > 0$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,$1 = \frac{1}{x^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$. $x > 0$ હોવાથી,$x = 1$ મળે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2A}{dx^2} = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ આગળ,$\frac{d^2A}{dx^2} = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$.
દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,$x = 1$ એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $A(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ થાય.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 \log x$ અંતરાલ $[1, e]$ પર છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = x^2 \cdot \frac{1}{x} + (\log x) \cdot 2x = x + 2x \log x = x(1 + 2 \log x)$.
$x \in [1, e]$ માટે,$x$ હંમેશા ધન છે અને $\log x \ge 0$ છે.
કારણ કે $1 + 2 \log x > 0$ દરેક $x \in [1, e]$ માટે,તેથી $f'(x) > 0$ થાય.
આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $[1, e]$ પર વધતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત અંતરાલના જમણા અંત્યબિંદુ $x = e$ પર મળે છે.
$f(e) = e^2 \log e = e^2 \cdot 1 = e^2$.

આપેલ વિધેય $f(x) = x^4(12\ln x - 7)$ છે.
$f'(x) = 4x^3(12\ln x - 7) + x^4(\frac{12}{x}) = 48x^3\ln x - 28x^3 + 12x^3 = 16x^3(3\ln x - 1)$.
$f''(x) = 48x^2(3\ln x - 1) + 16x^3(\frac{3}{x}) = 144x^2\ln x$.
$(A)$ નતિપરિવર્તન બિંદુ ત્યારે મળે જ્યારે $f''(x) = 0$,એટલે કે $144x^2\ln x = 0 \implies x = 1$. ત્યારે $f(1) = -7$. તેથી $(a, b) = (1, -7)$ અને $a - b = 8$. એટલે $(A) \to S$.
$(B)$ ન્યૂનતમ બિંદુ માટે $f'(x) = 0$ અને $f''(x) > 0$. $16x^3(3\ln x - 1) = 0 \implies x = e^{1/3}$. અહીં $t = 1/3$,તેથી $12t = 4$. એટલે $(B) \to R$.
$(C)$ અંતર્ગોળ અધોમુખી માટે $f''(x) < 0$,એટલે $144x^2\ln x < 0 \implies 0 < x < 1$. તેથી $(d, e) = (0, 1)$ અને $d + 3e = 3$. એટલે $(C) \to P$.
$(D)$ અંતર્ગોળ ઉર્ધ્વમુખી માટે $f''(x) > 0$,એટલે $x > 1$. તેથી $p = 1$. એટલે $(D) \to Q$.