Increasing and Decreasing function Questions in Hindi

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^2 - 6x + 10$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 6x + 10) = 2x - 6$.
एक फलन वर्धमान होता है जब $f'(x) > 0$ हो।
$2x - 6 > 0 \implies 2x > 6 \implies x > 3$.
अतः,फलन $(3, \infty)$ अंतराल में वर्धमान है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = 10 - 6x - 2x^2$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(10 - 6x - 2x^2) = -6 - 4x$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$-6 - 4x > 0$
$-4x > 6$
$-4$ से भाग देने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$x < -\frac{6}{4}$
$x < -\frac{3}{2}$.
अतः,फलन $(-\infty, -\frac{3}{2})$ अंतराल में निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ के लिए,हमारे पास $\sin x < 0$ है।
अतः,$f(x) = |\sin x| = -\sin x$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$।
अंतराल $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ में,$\cos x$ धनात्मक है (क्योंकि यह चतुर्थ चतुर्थांश में है)।
इस प्रकार,$f'(x) = -\cos x < 0$ सभी $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ के लिए।
चूंकि अवकलज निरंतर ऋणात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ दिए गए अंतराल पर निरंतर ह्रासमान फलन है।

(C) फलन $f(x) = \tan^{-1} x - x$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x - x) = \frac{1}{1+x^2} - 1$
व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(x) = \frac{1 - (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{-x^2}{1+x^2}$
चूंकि $x^2 \ge 0$ और $1+x^2 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,इसलिए $f'(x) = \frac{-x^2}{1+x^2} \le 0$ सभी $x \in R$ के लिए है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \le 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$R$ पर एक ह्रासमान फलन है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^x$ किस अंतराल में ह्रासमान है,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं।
माना $y = x^x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(y) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ मिलता है।
अतः,$f'(x) = \frac{dy}{dx} = y(\ln(x) + 1) = x^x(\ln(x) + 1)$ है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) < 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि सभी $x \in R^{+}$ के लिए $x^x > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) < 0$ की शर्त का अर्थ है कि $\ln(x) + 1 < 0$ है।
इससे $\ln(x) < -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x < e^{-1}$ या $x < 1/e$ है।
चूंकि $x \in R^{+}$ दिया गया है,इसलिए अंतराल $(0, 1/e)$ है।

(A) किसी फलन $f(x)$ के अंतराल पर वर्धमान होने के लिए,उसका अवकलज $f'(x)$ उस अंतराल के सभी $x$ के लिए $0$ या उससे अधिक होना चाहिए।
दिया गया फलन $f(x) = x^2 + ax + 1$ है,जिसका अवकलज $f'(x) = 2x + a$ है।
$f(x)$ के अंतराल $[1, 2]$ पर वर्धमान होने के लिए,हमें सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) \ge 0$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $2x + a \ge 0$ सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।
चूंकि $2x + a$ एक वर्धमान रैखिक फलन है,इसलिए अंतराल $[1, 2]$ पर इसका न्यूनतम मान $x$ के सबसे छोटे मान यानी $x = 1$ पर प्राप्त होगा।
अतः,हमें $f'(1) \ge 0$ की आवश्यकता है।
$x = 1$ रखने पर: $2(1) + a \ge 0$.
$2 + a \ge 0$,जिससे $a \ge -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a \ge -2$ के लिए फलन अंतराल $[1, 2]$ पर वर्धमान है।

(B) फलन $f(x) = \log_{10} \cos x$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx} (\log_{10} \cos x) = \frac{1}{\cos x \cdot \ln 10} \cdot (-\sin x) = -\frac{\tan x}{\ln 10}$.
अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में,$\tan x > 0$ और $\ln 10 > 0$ है।
इसलिए,सभी $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f'(x) = -\frac{\tan x}{\ln 10} < 0$ है।
चूंकि दिए गए अंतराल में अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + 2x - 5$ है।
फलन के निरंतर वर्धमान होने का अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 2x - 5) = 2x + 2$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,शर्त $f'(x) > 0$ होनी चाहिए।
$2x + 2 > 0$
$2x > -2$
$x > -1$.
अतः,फलन $(-1, \infty)$ अंतराल में निरंतर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \tan x - x$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = \tan^2 x$।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए डोमेन के सभी $x$ के लिए $\tan^2 x \geq 0$ होता है।
इसलिए,$f'(x) \geq 0$,जो यह दर्शाता है कि फलन $f(x)$ हमेशा वर्धमान (increasing) है।

(C) माना $f(x) = x^x$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln f(x) = x \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln x)$ है।
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना आवश्यक है।
चूंकि $x > 0$ है,इसलिए $x^x$ हमेशा धनात्मक होता है।
अतः,$1 + \ln x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\ln x > -1$।
यह $\ln x > \ln(\frac{1}{e})$ के बराबर है।
इसलिए,$x > \frac{1}{e}$।

(C) दिया गया है,$f(x)=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$.
फलन के परिभाषित होने के लिए,$1+x > 0$ होना चाहिए,अर्थात $x > -1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{(2+x)(1) - x(1)}{(2+x)^2} \right]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{2+x-x}{(2+x)^2} \right] = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+x^2+4x-4-4x}{(1+x)(2+x)^2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
चूंकि $x^2 \ge 0$ और $(2+x)^2 > 0$ सभी $x > -1$ के लिए है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ का चिह्न $\frac{1}{1+x}$ पर निर्भर करता है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ होना चाहिए।
$x > -1$ के लिए $1+x > 0$ होता है,अतः $x \in (-1, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $(-1, \infty)$ पर वर्धमान है।

(D) दिया गया है,$f(x)=4 \sin ^3 x-6 \sin ^2 x+12 \sin x+100$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 12 \sin^2 x \cos x - 12 \sin x \cos x + 12 \cos x$.
$12 \cos x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = 12 \cos x (\sin^2 x - \sin x + 1)$.
द्विघात व्यंजक $g(t) = t^2 - t + 1$ पर विचार करें जहाँ $t = \sin x$ है।
विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ है।
चूँकि $t^2$ का गुणांक धनात्मक है और $D < 0$ है,इसलिए $\sin^2 x - \sin x + 1$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सदैव धनात्मक है।
अतः,$f'(x)$ का चिह्न केवल $\cos x$ पर निर्भर करता है।
जब $\cos x > 0$ होता है,तब $f'(x) > 0$ होता है,जो $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में होता है।
जब $\cos x < 0$ होता है,तब $f'(x) < 0$ होता है,जो $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में होता है।
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} - 2x$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन निरंतर ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} - 2x) = 2x - 2$.
एक फलन निरंतर ह्रासमान होता है जब $f'(x) < 0$ हो।
अतः,$2x - 2 < 0$.
$2(x - 1) < 0$.
$x - 1 < 0$.
$x < 1$.
इस प्रकार,फलन $f(x)$ अंतराल $(-\infty, 1)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(C) दिया गया फलन: $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 10$
अवकलज ज्ञात कीजिए: $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$
अवकलज का गुणनखंड कीजिए: $f'(x) = 3(x^{2} - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है:
$3(x - 1)(x - 3) > 0$
$(x - 1)(x - 3) > 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x < 1$ या $x > 3$ हो।
अतः,फलन अंतराल $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ में वर्धमान है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ होना चाहिए।
$\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} < 0$
$\frac{1}{3} < \frac{3}{x^2}$
$x^2 < 9$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|x| < 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \in (-3, 3)$.
ध्यान दें कि $x=0$ पर फलन अपरिभाषित है,लेकिन अंतराल $(-3, 3)$ असमिका $x^2 < 9$ के लिए मानक समाधान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{\log x}$ है।
भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(\log x)(1) - (x)(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $(\log x)^2$ का मान $x > 0$ और $x \neq 1$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है $\log x - 1 > 0$.
$\log x > 1$.
लघुगणक का आधार $e$ होने के कारण,$\log_e x > \log_e e$ प्राप्त होता है।
अतः,$x > e$.
इस प्रकार,$x$ के मानों का समुच्चय $\{x: x > e\}$ है।

(A) दिया गया फलन $y = -x^{2} + 6x - 3$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम इसका प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = -2x + 6$.
एक फलन वर्धमान होता है जब उसका अवकलज शून्य से बड़ा हो,अर्थात $\frac{dy}{dx} > 0$.
अवकलज को शून्य से बड़ा रखने पर:
$-2x + 6 > 0$.
दोनों पक्षों से $6$ घटाने पर:
$-2x > -6$.
$-2$ से भाग देने पर (और असमिका का चिह्न बदलने पर):
$x < 3$.
अतः,फलन $x < 3$ के अंतराल में वर्धमान है।

(A) माना $f(x) = x^5+3x^3+4x+30$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 5x^4+9x^2+4$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^4 \ge 0$ और $x^2 \ge 0$ है,इसलिए $5x^4+9x^2+4 \ge 4 > 0$ होगा।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अपने प्रांत पर निरंतर वर्धमान है।
एक निरंतर वर्धमान सतत फलन $x$-अक्ष को अधिकतम एक बार काट सकता है।
चूंकि $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ और $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ है,इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,केवल एक वास्तविक मूल मौजूद है।

(D) माना $f(x) = x - \sin x$.
तब $f'(x) = 1 - \cos x$.
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\cos x \leq 1$ है,इसलिए सभी $x$ के लिए $f'(x) \geq 0$ है।
इसका अर्थ है कि $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $f(0) = 0 - \sin(0) = 0$ है,इसलिए सभी $x \geq 0$ के लिए $f(x) \geq 0$ है।
अतः,$x - \sin x \geq 0$,जिसका अर्थ है कि सभी $x \geq 0$ के लिए $\sin x \leq x$ है।
$x < 0$ के लिए,माना $x = -t$ जहाँ $t > 0$ है। तब $\sin(-t) = -\sin t$।
असमिका $-\sin t \leq -t$ हो जाती है,जो सरल होकर $\sin t \geq t$ बन जाती है।
चूंकि सभी $t > 0$ के लिए $\sin t < t$ है,इसलिए असमिका $\sin t \geq t$ केवल $t = 0$ पर संतुष्ट होती है।
अतः,$x$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिनके लिए $\sin x \leq x$ है,$[0, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ को $x \in (0, \pi/2)$ के लिए लें।
अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$ प्राप्त होता है।
माना $u(x) = x \cos x - \sin x$. तब $u'(x) = \cos x - x \sin x - \cos x = -x \sin x$।
चूंकि $x \in (0, \pi/2)$,$u'(x) < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $u(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $u(0) = 0$ और $u(x)$ ह्रासमान है,इसलिए $x \in (0, \pi/2)$ के लिए $u(x) < 0$ है।
अतः,$f'(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $(0, \pi/2)$ पर एक ह्रासमान फलन है।
जैसे ही $x \to 0^+$,$f(x) \to 1$,और $x = \pi/2$ पर,$f(\pi/2) = \frac{2}{\pi}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ ह्रासमान है,इसलिए $0 < x < \pi/2$ के लिए,$\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x} < 1$ होगा।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x) = \operatorname{Tan}^{-1}(\sin x + \cos x)$ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x)$.
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin x + \cos x)^2}$.
फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि हर $1 + (\sin x + \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए अंश को धनात्मक होना चाहिए:
$\cos x - \sin x > 0$.
$\cos x > \sin x$.
$\cos x$ से भाग देने पर (जब $\cos x > 0$),हमें $1 > \tan x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan x < 1$.
यह असमिका $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ के लिए सत्य है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ यानी $\left(-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 3 \sinh(x) - 2 \cosh(x)$ है,जहाँ $x \in R$ है।
परिभाषाओं $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ और $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 3 \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) - 2 \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)$
$f(x) = \frac{3e^x - 3e^{-x} - 2e^x - 2e^{-x}}{2} = \frac{e^x - 5e^{-x}}{2}$
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} e^x - \frac{5}{2} e^{-x} \right) = \frac{1}{2} e^x + \frac{5}{2} e^{-x}$
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $e^x > 0$ और $e^{-x} > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,फलन $f$ $R$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया है $x = t^5 + 5t^3 + 20t + 7$ और $y = 4t^3 - 3t^2 - 18t + 3$.
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 5t^4 + 15t^2 + 20 = 5(t^4 + 3t^2 + 4)$.
ध्यान दें कि $t^4 + 3t^2 + 4$ सभी वास्तविक $t$ के लिए हमेशा धनात्मक है (क्योंकि इसका विविक्तकर $D = 3^2 - 4(1)(4) = -7 < 0$ है)।
$\frac{dy}{dt} = 12t^2 - 6t - 18 = 6(2t^2 - t - 3)$.
अब,वक्र का अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{6(2t^2 - t - 3)}{5(t^4 + 3t^2 + 4)}$ है।
वक्र ह्रासमान है यदि $\frac{dy}{dx} < 0$ हो।
चूंकि हर $5(t^4 + 3t^2 + 4)$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए अंश को ऋणात्मक होना चाहिए:
$6(2t^2 - t - 3) < 0$
$2t^2 - t - 3 < 0$
गुणनखंड करने पर: $(2t - 3)(t + 1) < 0$.
शून्यक $t = -1$ और $t = 3/2$ हैं।
अंतराल की जाँच करने पर,$t \in (-1, 3/2)$ के लिए फलन ह्रासमान है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 2ax^2 + 3(a+1)x + 5$ है।
$f(x)$ के अपने पूरे प्रांत में निरंतर वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 + 4ax + 3(a+1)$.
चूंकि $f'(x)$ एक द्विघात व्यंजक है जिसका अग्रणी गुणांक धनात्मक $(3 > 0)$ है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ होने के लिए इसका विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ होना चाहिए।
$D = (4a)^2 - 4(3)(3(a+1)) \leq 0$.
$16a^2 - 36(a+1) \leq 0$.
$4$ से विभाजित करने पर: $4a^2 - 9(a+1) \leq 0$.
$4a^2 - 9a - 9 \leq 0$.
गुणनखंड करने पर: $(4a+3)(a-3) \leq 0$.
यह असमिका तब सत्य है जब $a$ मूलों के बीच स्थित हो: $a \in [-\frac{3}{4}, 3]$.
निरंतर वर्धमान फलन के लिए,हमें अंतराल $a \in (-\frac{3}{4}, 3)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 5 \sin^2 x$ एक $R$ पर वर्धमान फलन है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \ge 0$ होगा।
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b + 10 \sin x \cos x = 3x^2 + 2ax + b + 5 \sin 2x$.
$f'(x) \ge 0$ के लिए,$f'(x)$ का न्यूनतम मान $\ge 0$ होना चाहिए।
चूंकि $\sin 2x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है,इसलिए $5 \sin 2x$ का न्यूनतम मान $-5$ है।
अतः,हमें सभी $x \in R$ के लिए $3x^2 + 2ax + b - 5 \ge 0$ की आवश्यकता है।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C \ge 0$ के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु $A > 0$ और विविक्तकर $D = B^2 - 4AC \le 0$ होना चाहिए।
यहाँ $A = 3$,$B = 2a$,और $C = b-5$ है।
$D = (2a)^2 - 4(3)(b-5) \le 0$.
$4a^2 - 12(b-5) \le 0$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $a^2 - 3(b-5) \le 0$ प्राप्त होता है।
$a^2 - 3b + 15 \le 0$.
चूंकि दिए गए विकल्प सख्त असमानता में हैं,इसलिए सही शर्त $a^2 - 3b + 15 < 0$ है।

(D) दिया गया फलन $y = \ln(\ln(x))$ है,जहाँ $x > 1$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x \ln(x)}$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{1}{x \ln(x)} < 0$.
चूँकि डोमेन $x > 1$ दिया गया है,हम जानते हैं कि $\ln(x) > 0$ और $x > 1$ है।
इसलिए,$x > 1$ के लिए $x \ln(x)$ का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है।
चूँकि $x > 1$ के लिए $\frac{1}{x \ln(x)}$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए ऐसा कोई अंतराल नहीं है जहाँ फलन ह्रासमान हो।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) वक्र $y=3x^4-5x^3-12x^2+18x+3$ की स्पर्श रेखा का ढाल अवकलज $g(x) = \frac{dy}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन करने पर: $g(x) = 12x^3 - 15x^2 - 24x + 18$।
$g(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $g'(x) > 0$ होना चाहिए।
$g'(x) = 36x^2 - 30x - 24$।
$g'(x) > 0$ रखने पर: $36x^2 - 30x - 24 > 0$।
$6$ से विभाजित करने पर: $6x^2 - 5x - 4 > 0$।
गुणनखंड करने पर: $(3x-4)(2x+1) > 0$।
मूल $x = \frac{4}{3}$ और $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
यह असमिका $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$ के लिए सत्य है।
इसे $R - [-\frac{1}{2}, \frac{4}{3}]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया फलन $y = \sin x + \sin x \cos x = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $y$ निरंतर वर्धमान है,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{dy}{dx} = \cos x + \cos 2x$.
$y$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,हमें $\frac{dy}{dx} > 0$ की आवश्यकता है।
$\cos x + (2 \cos^2 x - 1) > 0$.
मान लीजिए $t = \cos x$,तो $2t^2 + t - 1 > 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2t - 1)(t + 1) > 0$.
चूंकि $t = \cos x$ और $x \in [-\pi, \pi]$,हम जानते हैं कि $-1 \le t \le 1$.
$(2t - 1)(t + 1) > 0$ के लिए,$t > \frac{1}{2}$ होना चाहिए (क्योंकि $t+1$ हमेशा $\ge 0$ है और $t \neq -1$)।
अतः,$\cos x > \frac{1}{2}$.
अंतराल $[-\pi, \pi]$ में,$\cos x > \frac{1}{2}$ का अर्थ है $x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$.
इसलिए,फलन अंतराल $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ में निरंतर वर्धमान है।

(C) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = 2x + \log \left(\frac{x}{2+x}\right)$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,ध्यान दें कि डोमेन के लिए $\frac{x}{2+x} > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$।
$f(x) = 2x + \log(x) - \log(2+x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2+x}$।
$f'(x) = 2 + \frac{2+x-x}{x(2+x)} = 2 + \frac{2}{x(2+x)} = \frac{2x(2+x) + 2}{x(2+x)} = \frac{2(x^2 + 2x + 1)}{x(2+x)} = \frac{2(x+1)^2}{x(2+x)}$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $2(x+1)^2 \ge 0$ सभी $x$ के लिए,$f'(x) > 0$ तब होता है जब $x(2+x) > 0$ और $x \neq -1$ हो।
असमिका $x(2+x) > 0$ अंतराल $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ के लिए सत्य है।
अतः,फलन अंतराल $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ में वर्धमान है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई फलन एकदिष्ट वर्धमान (monotonically increasing) है,हम जांचते हैं कि क्या उसके प्रांत में सभी $x$ के लिए उसका अवकलज $f'(x) \ge 0$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{1 - (1+x) + x(1+x)}{1+x} = \frac{1 - 1 - x + x + x^2}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$। $x > -1$ के लिए,$f'(x) \ge 0$ है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान है।
विकल्प $B$ के लिए: $g'(x) = \frac{2}{1+x^2} - 1 = \frac{2 - 1 - x^2}{1+x^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$। यह $x = \pm 1$ पर चिह्न बदलता है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान नहीं है।
विकल्प $C$ के लिए: $h'(x) = -4 \sin x + 1$। यह $\sin x$ के आधार पर चिह्न बदलता है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: $u'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(x+1)(1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-1}{(x+1)^2} = \frac{x}{(x+1)^2}$। यह $x = 0$ पर चिह्न बदलता है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान नहीं है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos^2 x = \sin x - (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x + \sin x - 1$.
माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in [-\pi, \pi]$,इसलिए $t \in [-1, 1]$.
तब $g(t) = t^2 + t - 1$.
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \cos x + 2 \cos x \sin x = \cos x(1 + 2 \sin x)$.
$f'(x) > 0$ के लिए:
स्थिति $1$: $\cos x > 0$ और $1 + 2 \sin x > 0$.
$\cos x > 0 \implies x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
$1 + 2 \sin x > 0 \implies \sin x > -\frac{1}{2} \implies x \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$.
सर्वनिष्ठ: $x \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$.
स्थिति $2$: $\cos x < 0$ और $1 + 2 \sin x < 0$.
$\cos x < 0 \implies x \in (-\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi)$.
$1 + 2 \sin x < 0 \implies \sin x < -\frac{1}{2} \implies x \in (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6})$.
सर्वनिष्ठ: $x \in (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2})$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$f(x)$ अंतराल $(-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ में निरंतर वर्धमान है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x-x^2}$.
वर्धमान या ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)]$
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = e^{x-x^2} [-(2x^2 - x - 1)]$
$f'(x) = -e^{x-x^2} (2x+1)(x-1)$
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \ge 0$ होना चाहिए।
चूंकि $e^{x-x^2} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,हमें $-(2x+1)(x-1) \ge 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $(2x+1)(x-1) \le 0$।
मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = 1$ हैं।
यह असमिका $x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ के लिए सत्य है।
अतः,$f(x)$,$\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ पर वर्धमान है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 16x^2 + 20x - 5$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन निरंतर ह्रासमान है,हम इसका अवकलन करते हैं: $f'(x) = 3x^2 - 32x + 20$।
निरंतर ह्रासमान होने के लिए $f'(x) < 0$ होना चाहिए: $3x^2 - 32x + 20 < 0$।
गुणनखंड करने पर: $(3x - 2)(x - 10) < 0$।
यह असमिका $x \in (\frac{2}{3}, 10)$ के लिए सत्य है।
संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 3, 5, \dots, 59\}$ है। $S$ में अवयवों की संख्या $n(S) = 30$ है।
हमें समुच्चय $S$ से वे संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो अंतराल $(\frac{2}{3}, 10)$ में स्थित हैं।
ये संख्याएँ $E = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 5$ है।
प्रायिकता $P = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^x$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln(x))$।
$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।
चूंकि सभी $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ है,इसलिए $f'(x) \leq 0$ का अर्थ है $1 + \ln(x) \leq 0$।
इससे $\ln(x) \leq -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \leq e^{-1} = \frac{1}{e}$।
चूंकि $f(x) = x^x$ का प्रांत $x > 0$ है,इसलिए वह अंतराल जिसमें $f(x)$ ह्रासमान है,वह $\left(0, \frac{1}{e}\right]$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही अंतराल $\left[0, \frac{1}{e}\right]$ है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
$f(x)$ के परिभाषित होने के लिए,$x > 0$ होना आवश्यक है।
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^{1/2} + x^{-1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} - \frac{1}{2} x^{-3/2}$.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} (1 - \frac{1}{x}) = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $x > 0$,हर $2x\sqrt{x}$ हमेशा धनात्मक रहेगा।
इसलिए,$f'(x) > 0$ तभी संभव है जब $x - 1 > 0$ हो,जिसका अर्थ है $x > 1$.
अतः,फलन अंतराल $(1, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि अंतराल $\left(\frac{1}{e}, e\right)$ में कौन सा फलन ह्रासमान है,हम प्रत्येक फलन के लिए अवकलज $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं।
विकल्प $(A)$ के लिए: $f(x) = \frac{\log x}{x}$,$f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$। $x \in \left(\frac{1}{e}, e\right)$ के लिए,$\log x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है। अतः,$x < e$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए यह वर्धमान फलन है।
विकल्प $(B)$ के लिए: $f(x) = x^2 \log x$,$f'(x) = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$। $x > \frac{1}{e}$ के लिए,$f'(x) > 0$ है,इसलिए यह वर्धमान फलन है।
विकल्प $(C)$ के लिए: $f(x) = x \log x$,$f'(x) = \log x + 1$। $x > \frac{1}{e}$ के लिए,$\log x > -1$,इसलिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए यह वर्धमान फलन है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $f(x) = x^{-x}$। मान लीजिए $y = x^{-x}$,तो $\log y = -x \log x$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -(\log x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\log x + 1)$। अतः,$f'(x) = -x^{-x}(1 + \log x)$। अंतराल $\left(\frac{1}{e}, e\right)$ में,$\log x > -1$,इसलिए $(1 + \log x) > 0$। चूँकि $x^{-x} > 0$,इसलिए $f'(x) < 0$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = x^{-x}$ एक ह्रासमान फलन है।

(B) दिया गया फलन $y=x^3-a x^2+48 x+7$ है।
फलन के $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज अऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\frac{dy}{dx} \geq 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2ax + 48$.
चूंकि $3x^2 - 2ax + 48 \geq 0$ सभी $x$ के लिए है,इसलिए द्विघात व्यंजक का विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A=3, B=-2a, C=48$ है।
$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4(3)(48) = 4a^2 - 576$।
$D \leq 0$ रखने पर:
$4a^2 - 576 \leq 0$
$4(a^2 - 144) \leq 0$
$a^2 - 144 \leq 0$
$(a-12)(a+12) \leq 0$।
अतः,$a \in [-12, 12]$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,अंतराल $(-12, 12)$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = |x-5| + 2|x-7|$ है।
अंतराल $(7, \infty)$ के लिए,हमारे पास $x > 7$ है।
चूंकि $x > 7$,इसलिए $x > 5$ और $x > 7$ होता है।
अतः,$|x-5| = x-5$ और $|x-7| = x-7$ होगा।
इन मानों को फलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = (x-5) + 2(x-7)$
$f(x) = x - 5 + 2x - 14$
$f(x) = 3x - 19$.
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x - 19) = 3$.
यहाँ $f'(x) = 3 > 0$ है,इसलिए अंतराल $(7, \infty)$ में फलन एक वर्धमान फलन है।

(A) $(i)$ दिया गया है $f(x) = x|x|$। यदि $x > 0$,तो $f(x) = x^2$,अतः $f'(x) = 2x > 0$। यदि $x < 0$,तो $f(x) = -x^2$,अतः $f'(x) = -2x > 0$। इस प्रकार,सभी $x \in R - \{0\}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ निरंतर वर्धमान फलन है। यह कथन सत्य है।
$(ii)$ दिया गया है $f(x) = \log_{1/4} (x)$। आधार $1/4 < 1$ होने के कारण,लघुगणकीय फलन $(0, \infty)$ पर निरंतर ह्रासमान है। यह कथन असत्य है।
$(iii)$ एक एकैकी फलन निरंतर वर्धमान,निरंतर ह्रासमान,या इनमें से कुछ भी नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए,$f(x) = 1/x$ एकैकी है लेकिन एकदिष्ट नहीं है)। यह कथन असत्य है।
$(iv)$ दिया गया है $f(x) = x^{1/3}$। $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}} > 0$ सभी $x \neq 0$ के लिए। अतः,यह $R$ पर निरंतर वर्धमान फलन है। यह कथन असत्य है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = -x^3 + 4ax^2 + 2x - 5$ है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए हम इसका अवकलन करते हैं: $f'(x) = -3x^2 + 8ax + 2$।
फलन के प्रत्येक $x$ के लिए ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
अतः $-3x^2 + 8ax + 2 < 0$ सभी $x$ के लिए होना चाहिए।
द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C$ के सभी $x$ के लिए ऋणात्मक होने की शर्तें $A < 0$ और विविक्तकर (discriminant) $\Delta = B^2 - 4AC < 0$ हैं।
यहाँ $A = -3 < 0$ है।
विविक्तकर $\Delta = (8a)^2 - 4(-3)(2) = 64a^2 + 24$ है।
चूंकि $64a^2 + 24$ का मान $a$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए हमेशा धनात्मक रहता है,इसलिए $\Delta < 0$ की शर्त कभी पूरी नहीं हो सकती।
अतः,$a$ का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए फलन प्रत्येक $x$ के लिए ह्रासमान हो।

(D) दिया गया है कि $f''(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ सभी $x \in R$ के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है।
चूंकि $f'(3) = 0$,इसलिए $x < 3$ के लिए $f'(x) < 0$ और $x > 3$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
अब,$g(x) = f(\tan^2 x - 2 \tan x + 4)$ पर विचार करें।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(x) = f'(\tan^2 x - 2 \tan x + 4) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^2 x - 2 \tan x + 4)$ प्राप्त होता है।
$g'(x) = f'(\tan^2 x - 2 \tan x + 4) \cdot (2 \tan x \sec^2 x - 2 \sec^2 x) = f'(\tan^2 x - 2 \tan x + 4) \cdot 2 \sec^2 x (\tan x - 1)$।
माना $u = \tan^2 x - 2 \tan x + 4 = (\tan x - 1)^2 + 3$ है। चूंकि $(\tan x - 1)^2 \ge 0$,इसलिए $u \ge 3$ है।
$u > 3$ के लिए,हम जानते हैं कि $f'(u) > 0$ क्योंकि $f'(x)$ वर्धमान फलन है और $f'(3) = 0$ है।
$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $g'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $f'(u) > 0$ और $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $2 \sec^2 x > 0$ है,इसलिए $g'(x)$ का चिह्न $(\tan x - 1)$ पर निर्भर करता है।
अतः,$g'(x) > 0$ तब होता है जब $\tan x - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $\tan x > 1$।
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$\tan x > 1$ का अर्थ है $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$।

(A) दिया गया है $g(x) = \frac{1}{6} f(3 x^2 - 1) + \frac{1}{2} f(1 - x^2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g'(x) = \frac{1}{6} f'(3 x^2 - 1) \cdot (6x) + \frac{1}{2} f'(1 - x^2) \cdot (-2x)$
$g'(x) = x [f'(3 x^2 - 1) - f'(1 - x^2)]$.
चूँकि $f''(x) > 0$,इसलिए $f'(x)$ एक वर्धमान फलन है।
$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए $g'(x) > 0$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $x > 0$ है,तो $f'(3 x^2 - 1) - f'(1 - x^2) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $f'(3 x^2 - 1) > f'(1 - x^2)$.
चूँकि $f'$ वर्धमान है,इसलिए $3 x^2 - 1 > 1 - x^2$,अर्थात $4 x^2 > 2$,या $x^2 > \frac{1}{2}$.
$x > 0$ के लिए,$x \in \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \infty \right)$.
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $f'(3 x^2 - 1) - f'(1 - x^2) < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $f'(3 x^2 - 1) < f'(1 - x^2)$.
चूँकि $f'$ वर्धमान है,इसलिए $3 x^2 - 1 < 1 - x^2$,अर्थात $4 x^2 < 2$,या $x^2 < \frac{1}{2}$.
$x < 0$ के लिए,$x \in \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right)$.
अतः,$g(x)$ अंतराल $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) \cup \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \infty \right)$ में वर्धमान है।

(B) दिया गया है कि $f(x)=k x^3-9 x^2+9 x+3$ $(k>0)$ सभी $x$ के लिए वर्धमान है।
चूंकि $f(x)$ वर्धमान है,इसलिए इसका अवकलज $f^{\prime}(x) \geq 0$ होगा।
$f^{\prime}(x) = 3 k x^2-18 x+9$।
$f^{\prime}(x) \geq 0$ रखने पर,$3 k x^2-18 x+9 \geq 0$,जिसे सरल करने पर $k x^2-6 x+3 \geq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात बहुपद $a x^2+b x+c$ के लिए,यदि $a>0$ है और यह सभी $x$ के लिए ऋणेतर है,तो इसका विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए।
यहाँ $a=k$,$b=-6$,और $c=3$ है।
$D = b^2-4 a c = (-6)^2-4(k)(3) = 36-12 k$।
$D \leq 0$ रखने पर,$36-12 k \leq 0$,जिसका अर्थ है $12 k \geq 36$,अतः $k \geq 3$।
अतः,सही शर्त $k \geq 3$ है।

(A) माना $f(x) = (1/2)^x$,जहाँ $x \in R$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( (1/2)^x \right) = (1/2)^x \ln(1/2)$.
चूँकि $\ln(1/2) = \ln(1) - \ln(2) = 0 - \ln(2) = -\ln(2)$,इसलिए:
$f'(x) = -(1/2)^x \ln(2)$.
चूँकि $(1/2)^x > 0$ और $\ln(2) > 0$ है,इसलिए $f'(x) < 0$ प्राप्त होता है।
अतः,चूँकि $f'(x) < 0$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $R$ पर निरंतर ह्रासमान है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = k(x + \sin x) + k$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}[k(x + \sin x) + k] = k(1 + \cos x)$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
अतः,$k(1 + \cos x) \geq 0$।
हम जानते हैं कि सभी वास्तविक $x$ के लिए,$-1 \leq \cos x \leq 1$,जिसका अर्थ है कि $0 \leq 1 + \cos x \leq 2$।
चूंकि $(1 + \cos x)$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है,इसलिए गुणनफल $k(1 + \cos x) \geq 0$ होने के लिए $k > 0$ होना आवश्यक है।
अतः,$k > 0$।

(B) दिया गया है,$f(x)=(2 k+1) x-3-k e^{-x}+2 e^x$.
चूंकि $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए मोनोटोनिकली वर्धमान है,इसलिए इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = (2k+1) + k e^{-x} + 2 e^x \geq 0$.
$e^x$ से गुणा करने पर (जो हमेशा धनात्मक होता है):
$(2k+1)e^x + k + 2e^{2x} \geq 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2e^{2x} + (2k+1)e^x + k \geq 0$.
$e^x$ के संदर्भ में द्विघात व्यंजक के गुणनखंड करने पर:
$2e^{2x} + 2ke^x + e^x + k \geq 0$.
$2e^x(e^x + k) + 1(e^x + k) \geq 0$.
$(2e^x + 1)(e^x + k) \geq 0$.
चूंकि $2e^x + 1 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,इसलिए $e^x + k \geq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $k \geq -e^x$ सभी $x \in R$ के लिए।
जैसे-जैसे $x \to -\infty$,$e^x \to 0$,इसलिए $k \geq 0$.
अतः,$k$ का न्यूनतम मान $0$ है।

(D) माना $f(x) = \frac{\log(7+x)}{\log(3+x)}$। फलन के ह्रासमान होने के लिए $f'(x) < 0$ होना चाहिए।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{\frac{1}{7+x} \log(3+x) - \frac{1}{3+x} \log(7+x)}{(\log(3+x))^2}$।
$f'(x) < 0$ के लिए,$\frac{\log(3+x)}{7+x} < \frac{\log(7+x)}{3+x}$ होना चाहिए।
यह स्थिति $x > 0$ के लिए हमेशा सत्य है क्योंकि फलन $g(t) = \frac{\log t}{t}$,$t > e$ के लिए एक ह्रासमान फलन है।
अतः,दिया गया फलन $x \in (0, \infty)$ के लिए ह्रासमान है।
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) माना $f(x) = \frac{x}{1+x} - \log(1+x)$,जहाँ $x > 0$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} - \frac{1}{1+x}$
$f'(x) = \frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{1+x} = \frac{1 - (1+x)}{(1+x)^2} = \frac{-x}{(1+x)^2}$.
चूंकि $x > 0$ है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
इसका अर्थ है कि $f(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है $x > 0$ के लिए।
जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to \frac{0}{1} - \log(1) = 0$।
चूंकि फलन $0$ से शुरू होता है और $x > 0$ के लिए निरंतर घटता है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f(x) < 0$ होगा।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 2px^2 + 27x + 16$ है।
$f(x)$ के सभी $x \in R$ के लिए निरंतर वर्धमान होने हेतु,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 + 4px + 27$।
चूंकि $f'(x)$ एक द्विघात व्यंजक है और इसका मुख्य गुणांक धनात्मक $(3 > 0)$ है,इसलिए यह सभी $x$ के लिए धनात्मक तभी होगा जब इसका विविक्तकर $D < 0$ हो।
विविक्तकर $D = (4p)^2 - 4(3)(27)$ है।
$D < 0$ रखने पर:
$16p^2 - 324 < 0$
$p^2 - \frac{324}{16} < 0$
$p^2 - \frac{81}{4} < 0$
$(p - \frac{9}{2})(p + \frac{9}{2}) < 0$।
अतः,$p$ का परिसर $p \in \left(-\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\right)$ है।