Increasing and Decreasing function Questions in Hindi

हमारे पास है,$f(x) = x^{2} + 2x - 5$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 2x - 5) = 2x + 2$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखिए:
$2x + 2 = 0 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$.
बिंदु $x = -1$ वास्तविक संख्या रेखा को दो अलग-अलग अंतरालों में विभाजित करता है: $(-\infty, -1)$ और $(-1, \infty)$.
स्थिति $1$: अंतराल $(-\infty, -1)$ में,एक परीक्षण बिंदु लीजिए,मान लीजिए $x = -2$.
$f'(-2) = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2 < 0$.
चूंकि सभी $x \in (-\infty, -1)$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $f$ अंतराल $(-\infty, -1)$ में निरंतर ह्रासमान है।
स्थिति $2$: अंतराल $(-1, \infty)$ में,एक परीक्षण बिंदु लीजिए,मान लीजिए $x = 0$.
$f'(0) = 2(0) + 2 = 2 > 0$.
चूंकि सभी $x \in (-1, \infty)$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f$ अंतराल $(-1, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।
निष्कर्ष: फलन $(-\infty, -1)$ पर निरंतर ह्रासमान है और $(-1, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 10 - 6x - 2x^2$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(10 - 6x - 2x^2) = -6 - 4x$.
क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$-6 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = -6 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$.
बिंदु $x = -\frac{3}{2}$ वास्तविक संख्या रेखा को दो अंतरालों में विभाजित करता है: $(-\infty, -\frac{3}{2})$ और $(-\frac{3}{2}, \infty)$.
स्थिति $1$: $x \in (-\infty, -\frac{3}{2})$ के लिए,$x = -2$ लें।
$f'(-2) = -6 - 4(-2) = -6 + 8 = 2 > 0$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, -\frac{3}{2})$ में निरंतर वर्धमान है।
स्थिति $2$: $x \in (-\frac{3}{2}, \infty)$ के लिए,$x = 0$ लें।
$f'(0) = -6 - 4(0) = -6 < 0$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\frac{3}{2}, \infty)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(N/A) दिया गया फलन: $f(x) = -2x^{3} - 9x^{2} - 12x + 1$
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^{3} - 9x^{2} - 12x + 1) = -6x^{2} - 18x - 12$
$f'(x)$ का गुणनखंड करें:
$f'(x) = -6(x^{2} + 3x + 2) = -6(x + 1)(x + 2)$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$-6(x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -1, x = -2$
बिंदु $x = -2$ और $x = -1$ वास्तविक रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -2)$,$(-2, -1)$,और $(-1, \infty)$।
$1$. अंतराल $(-\infty, -2)$ में,$x = -3$ लें:
$f'(-3) = -6(-3 + 1)(-3 + 2) = -6(-2)(-1) = -12 < 0$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, -2)$ में निरंतर ह्रासमान है।
$2$. अंतराल $(-2, -1)$ में,$x = -1.5$ लें:
$f'(-1.5) = -6(-1.5 + 1)(-1.5 + 2) = -6(-0.5)(0.5) = 1.5 > 0$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-2, -1)$ में निरंतर वर्धमान है।
$3$. अंतराल $(-1, \infty)$ में,$x = 0$ लें:
$f'(0) = -6(0 + 1)(0 + 2) = -12 < 0$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-1, \infty)$ में निरंतर ह्रासमान है।
निष्कर्ष:
$f(x)$ अंतराल $(-2, -1)$ में निरंतर वर्धमान है और $(-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(N/A) दिया गया फलन: $f(x) = 6 - 9x - x^{2}$.
चरण $1$: अवकलज $f'(x)$ ज्ञात कीजिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(6 - 9x - x^{2}) = -9 - 2x$.
चरण $2$: $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए।
$-9 - 2x = 0 \implies 2x = -9 \implies x = -\frac{9}{2}$.
चरण $3$: बिंदु $x = -\frac{9}{2}$ वास्तविक संख्या रेखा को दो अंतरालों में विभाजित करता है: $(-\infty, -\frac{9}{2})$ और $(-\frac{9}{2}, \infty)$.
चरण $4$: अंतरालों की जाँच कीजिए।
$x \in (-\infty, -\frac{9}{2})$ के लिए,$x = -5$ लीजिए। तब $f'(-5) = -9 - 2(-5) = -9 + 10 = 1 > 0$। अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, -\frac{9}{2})$ में निरंतर वर्धमान है।
$x \in (-\frac{9}{2}, \infty)$ के लिए,$x = 0$ लीजिए। तब $f'(0) = -9 - 2(0) = -9 < 0$। अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\frac{9}{2}, \infty)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+1)^{3}(x-3)^{3}$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3(x+1)^{2}(x-3)^{3} + 3(x-3)^{2}(x+1)^{3}$
$f'(x) = 3(x+1)^{2}(x-3)^{2} [(x-3) + (x+1)]$
$f'(x) = 3(x+1)^{2}(x-3)^{2} (2x-2)$
$f'(x) = 6(x+1)^{2}(x-3)^{2}(x-1)$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखते हैं:
$6(x+1)^{2}(x-3)^{2}(x-1) = 0$
इससे $x = -1, 1, 3$ प्राप्त होता है।
ये बिंदु वास्तविक संख्या रेखा को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -1)$,$(-1, 1)$,$(1, 3)$,और $(3, \infty)$.
$1$. $x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f$ निरंतर ह्रासमान है।
$2$. $x \in (-1, 1)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f$ निरंतर ह्रासमान है।
$3$. $x \in (1, 3)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f$ निरंतर वर्धमान है।
$4$. $x \in (3, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f$ निरंतर वर्धमान है।
अतः,$f$ अंतराल $(-\infty, -1) \cup (-1, 1)$ में निरंतर ह्रासमान है और $(1, 3) \cup (3, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।

(A) हमारे पास है,$y=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$
$= \frac{1}{1+x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2+x)^2}$
$= \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$= \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2}$
$= \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2}$
$= \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
चूंकि $x > -1$,इसलिए प्रांत के सभी $x$ के लिए $(1+x) > 0$ और $(2+x)^2 > 0$ है।
साथ ही,सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है।
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} \ge 0$ सभी $x > -1$ के लिए।
चूंकि अवकलज का मान ऋणात्मक नहीं है और केवल $x=0$ पर शून्य होता है,इसलिए फलन $y$ अपने पूरे प्रांत $(-1, \infty)$ में एक वर्धमान फलन है।

(A) हमारे पास है,$y = [x(x-2)]^2 = (x^2 - 2x)^2$.
वे अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 2(x^2 - 2x)(2x - 2) = 4x(x-2)(x-1)$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं: $x = 0, 1, 2$.
ये बिंदु वास्तविक संख्या रेखा को $(-\infty, 0), (0, 1), (1, 2), (2, \infty)$ अंतरालों में विभाजित करते हैं।
प्रत्येक अंतराल में $\frac{dy}{dx}$ का चिह्न जाँचने पर:
$1$. $x \in (-\infty, 0)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$ (ह्रासमान फलन)।
$2$. $x \in (0, 1)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$ (वर्धमान फलन)।
$3$. $x \in (1, 2)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$ (ह्रासमान फलन)।
$4$. $x \in (2, \infty)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$ (वर्धमान फलन)।
अतः,फलन $x \in (0, 1) \cup (2, \infty)$ के लिए वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन: $y = \frac{4 \sin \theta}{2 + \cos \theta} - \theta$
भागफल नियम का उपयोग करके $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{(2 + \cos \theta)(4 \cos \theta) - (4 \sin \theta)(-\sin \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{8 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} - 1$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{8 \cos \theta + 4(1)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 = \frac{8 \cos \theta + 4 - (4 + 4 \cos \theta + \cos^2 \theta)}{(2 + \cos \theta)^2}$
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{4 \cos \theta - \cos^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} = \frac{\cos \theta (4 - \cos \theta)}{(2 + \cos \theta)^2}$
अंतराल $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में,हम जानते हैं कि $\cos \theta \ge 0$ और $4 - \cos \theta > 0$ (क्योंकि $\cos \theta \le 1$ है)।
साथ ही,सभी $\theta$ के लिए $(2 + \cos \theta)^2 > 0$ है।
अतः,सभी $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए $\frac{dy}{d\theta} \ge 0$ है।
चूंकि अवकलज ऋणेतर है और फलन संवृत अंतराल में सतत है,इसलिए $y$,अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में एक वर्धमान फलन है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \log x$ है।
फलन के वर्धमान होने का अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,यह आवश्यक है कि $f'(x) > 0$ हो।
दिए गए अंतराल $(0, \infty)$ में,$x$ हमेशा धनात्मक है $(x > 0)$।
इसलिए,प्रत्येक $x \in (0, \infty)$ के लिए $\frac{1}{x} > 0$ होता है।
चूंकि अंतराल $(0, \infty)$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x) = \log x$,$(0, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।

दिया गया फलन $f(x)=x^{2}-x+1$ है।
$\therefore f^{\prime}(x)=2x-1$.
अब,$f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
बिंदु $x=\frac{1}{2}$ अंतराल $(-1,1)$ को दो असंयुक्त अंतरालों में विभाजित करता है,अर्थात $(-1, \frac{1}{2})$ और $(\frac{1}{2}, 1)$.
अंतराल $(-1, \frac{1}{2})$ में,एक परीक्षण बिंदु $x=0$ लें। तब $f^{\prime}(0)=2(0)-1=-1 < 0$.
अतः,$f$ अंतराल $(-1, \frac{1}{2})$ में निरंतर ह्रासमान है।
अंतराल $(\frac{1}{2}, 1)$ में,एक परीक्षण बिंदु $x=\frac{3}{4}$ लें। तब $f^{\prime}(\frac{3}{4})=2(\frac{3}{4})-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2} > 0$.
अतः,$f$ अंतराल $(\frac{1}{2}, 1)$ में निरंतर वर्धमान है।
चूंकि फलन $(-1, \frac{1}{2})$ पर निरंतर ह्रासमान है और $(\frac{1}{2}, 1)$ पर निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह पूरे अंतराल $(-1, 1)$ पर न तो निरंतर वर्धमान है और न ही निरंतर ह्रासमान है।

(A, B) माना $f_{1}(x) = \cos x$.
तब $f_{1}^{\prime}(x) = -\sin x$.
अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में,$\sin x > 0$ है,इसलिए $f_{1}^{\prime}(x) = -\sin x < 0$.
अतः,$f_{1}(x) = \cos x$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर ह्रासमान है।
माना $f_{2}(x) = \cos 2x$.
तब $f_{2}^{\prime}(x) = -2 \sin 2x$.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$0 < 2x < \pi$ होता है,इसलिए $\sin 2x > 0$.
अतः,$f_{2}^{\prime}(x) = -2 \sin 2x < 0$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में।
इसलिए,$f_{2}(x) = \cos 2x$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर ह्रासमान है।
माना $f_{3}(x) = \cos 3x$.
तब $f_{3}^{\prime}(x) = -3 \sin 3x$.
$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$3x \in (0, \frac{3\pi}{2})$ होता है।
$\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ में,$\sin 3x > 0$ है,इसलिए $f_{3}^{\prime}(x) < 0$.
$\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ में,$\sin 3x < 0$ है,इसलिए $f_{3}^{\prime}(x) > 0$.
अतः,$f_{3}(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर ह्रासमान नहीं है।
माना $f_{4}(x) = \tan x$.
तब $f_{4}^{\prime}(x) = \sec^{2} x > 0$ सभी $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए।
अतः,$f_{4}(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर वर्धमान है।
निष्कर्ष: $\cos x$ और $\cos 2x$ दोनों अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर ह्रासमान हैं।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^{100} + \sin x - 1$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन किस अंतराल में ह्रासमान है,हम इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 100x^{99} + \cos x$.
$1$. अंतराल $(0, 1)$ में: चूँकि $x \in (0, 1)$,$100x^{99} > 0$ और $\cos x > 0$ है। अतः,$f'(x) > 0$,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है।
$2$. अंतराल $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में: यहाँ,$\cos x < 0$ है। हालाँकि,$x > \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ के लिए $100x^{99}$ का मान बहुत बड़ा है। विशेष रूप से,$100x^{99} > 1$ और $|\cos x| \le 1$ है,इसलिए $100x^{99} + \cos x > 0$ होता है। अतः,$f'(x) > 0$,और फलन निरंतर वर्धमान है।
$3$. अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में: यहाँ,$100x^{99} > 0$ और $\cos x > 0$ है। अतः,$f'(x) > 0$,और फलन निरंतर वर्धमान है।
चूँकि दिए गए सभी अंतरालों में $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन किसी भी अंतराल में ह्रासमान नहीं है।
अतः,सही उत्तर $B$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + ax + 1$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 2x + a$.
फलन $f(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर वर्धमान होगा यदि सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) \geq 0$ हो।
चूंकि $f'(x) = 2x + a$ एक धनात्मक ढाल वाला रैखिक फलन है,इसलिए अंतराल $[1, 2]$ पर इसका न्यूनतम मान $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
अतः,हमें $f'(1) \geq 0$ की आवश्यकता है:
$2(1) + a \geq 0$
$2 + a \geq 0$
$a \geq -2$.
इस प्रकार,$a \geq -2$ के लिए फलन $f(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर वर्धमान है।

(N/A) हमारे पास $f(x) = x + \frac{1}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि प्रत्येक $x \neq 0$ के लिए $x^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न अंश $x^2 - 1$ पर निर्भर करता है।
$f'(x) > 0 \iff x^2 - 1 > 0 \iff x^2 > 1 \iff |x| > 1$.
इसका अर्थ है $x > 1$ या $x < -1$.
अतः,$x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
यह दिया गया है कि $I$ एक ऐसा अंतराल है कि $I \cap [-1, 1] = \phi$,इसलिए $I \subset (-\infty, -1)$ या $I \subset (1, \infty)$ है।
दोनों स्थितियों में,प्रत्येक $x \in I$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,फलन $f$ अंतराल $I$ पर निरंतर वर्धमान है।

दिया गया फलन $f(x) = \log(\sin x)$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\log(\sin x)) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.
स्थिति $1$: अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में,$\cot x$ का मान धनात्मक है $(\cot x > 0)$।
चूँकि प्रत्येक $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर वर्धमान है।
स्थिति $2$: अंतराल $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में,$\cot x$ का मान ऋणात्मक है $(\cot x < 0)$।
चूँकि प्रत्येक $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में निरंतर ह्रासमान है।

दिया गया है $f(x) = \log |\cos x|$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.
स्थिति $1$: $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए:
प्रथम चतुर्थांश में,$\tan x > 0$ होता है।
अतः,$f'(x) = -\tan x < 0$ होगा।
चूँकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर ह्रासमान है।
स्थिति $2$: $x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ के लिए:
चतुर्थ चतुर्थांश में,$\tan x < 0$ होता है।
अतः,$f'(x) = -\tan x > 0$ होगा।
चूँकि $x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ में निरंतर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 100$ है।
यह जाँचने के लिए कि फलन वर्धमान है या नहीं,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} - 3x^{2} + 3x - 100)$
$f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3$
व्यंजक से $3$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = 3(x^{2} - 2x + 1)$
पूर्ण वर्ग त्रिपद को पहचानने पर:
$f'(x) = 3(x - 1)^{2}$
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $(x - 1)^{2} \geq 0$ होता है,इसलिए $f'(x) = 3(x - 1)^{2} \geq 0$ होगा।
अतः,चूँकि अवकलज $f'(x)$ सभी $x \in R$ के लिए ऋणेतर है,इसलिए फलन $f(x)$,$R$ में एक वर्धमान फलन है।

(D) हमें दिया गया है,$y = x^{2} e^{-x}$.
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 2x e^{-x} - x^{2} e^{-x} = x e^{-x}(2 - x)$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर हमें क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं:
$x e^{-x}(2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0$ या $x = 2$.
ये बिंदु वास्तविक संख्या रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, 0)$,$(0, 2)$,और $(2, \infty)$.
प्रत्येक अंतराल में $f'(x) = x e^{-x}(2 - x)$ का चिह्न जाँचने पर:
$1$. $x \in (-\infty, 0)$ के लिए,$x = -1$ लेने पर: $f'(-1) = (-1)e^{1}(2 - (-1)) = -3e < 0$. अतः,$f$ ह्रासमान है।
$2$. $x \in (0, 2)$ के लिए,$x = 1$ लेने पर: $f'(1) = (1)e^{-1}(2 - 1) = e^{-1} > 0$. अतः,$f$ वर्धमान है।
$3$. $x \in (2, \infty)$ के लिए,$x = 3$ लेने पर: $f'(3) = (3)e^{-3}(2 - 3) = -3e^{-3} < 0$. अतः,$f$ ह्रासमान है।
अतः,फलन अंतराल $(0, 2)$ में वर्धमान है।
सही उत्तर $D$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{3}{10}x^4 - \frac{4}{5}x^3 - 3x^2 + \frac{36}{5}x + 11$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{3}{10}(4x^3) - \frac{4}{5}(3x^2) - 3(2x) + \frac{36}{5}$
$f'(x) = \frac{6}{5}x^3 - \frac{12}{5}x^2 - 6x + \frac{36}{5}$
$f'(x) = \frac{6}{5}(x^3 - 2x^2 - 5x + 6)$
त्रिघात बहुपद का गुणनखंड करने पर:
$f'(x) = \frac{6}{5}(x - 1)(x + 2)(x - 3)$
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 1, x = -2, x = 3$ प्राप्त होते हैं। ये बिंदु वास्तविक रेखा को $(-\infty, -2), (-2, 1), (1, 3), (3, \infty)$ अंतरालों में विभाजित करते हैं।
प्रत्येक अंतराल में $f'(x)$ का चिह्न जाँचने पर:
$1.$ $(-\infty, -2)$ के लिए,$x = -3$ लेने पर: $f'(-3) = \frac{6}{5}(-4)(-1)(-6) < 0$. अतः,$f$ ह्रासमान है।
$2.$ $(-2, 1)$ के लिए,$x = 0$ लेने पर: $f'(0) = \frac{6}{5}(-1)(2)(-3) > 0$. अतः,$f$ वर्धमान है।
$3.$ $(1, 3)$ के लिए,$x = 2$ लेने पर: $f'(2) = \frac{6}{5}(1)(4)(-1) < 0$. अतः,$f$ ह्रासमान है।
$4.$ $(3, \infty)$ के लिए,$x = 4$ लेने पर: $f'(4) = \frac{6}{5}(3)(6)(1) > 0$. अतः,$f$ वर्धमान है।
निष्कर्ष:
$(a)$ फलन $(-2, 1) \cup (3, \infty)$ में वर्धमान है।
$(b)$ फलन $(-\infty, -2) \cup (1, 3)$ में ह्रासमान है।

(N/A) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x)}$
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ और $2\sin x \cos x = \sin 2x$,इसलिए:
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (1 + \sin 2x)} = \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin 2x}$
अंतराल $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ के लिए,हम जानते हैं कि $\cos x > \sin x$,इसलिए $\cos x - \sin x > 0$ है।
साथ ही,सभी $x$ के लिए $2 + \sin 2x > 0$ है।
चूँकि अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में अंश और हर दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,फलन $f(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में निरंतर वर्धमान फलन है।

(A) दिया गया है $f(x)=\frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{(2+\cos x)(4 \cos x - 2 - \cos x + x \sin x) - (4 \sin x - 2 x - x \cos x)(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}$.
अंश को सरल करने पर: $(2+\cos x)(3 \cos x - 2 + x \sin x) + \sin x(4 \sin x - 2 x - x \cos x)$.
$= 6 \cos x - 4 + 2 x \sin x + 3 \cos^2 x - 2 \cos x + x \sin x \cos x + 4 \sin^2 x - 2 x \sin x - x \sin x \cos x$.
$= 4 \cos x - 4 + 3 \cos^2 x + 4 \sin^2 x = 4 \cos x - 4 + 3 \cos^2 x + 4(1 - \cos^2 x) = 4 \cos x - \cos^2 x$.
अतः,$f'(x) = \frac{\cos x(4 - \cos x)}{(2+\cos x)^2}$.
चूंकि $(2+\cos x)^2 > 0$ और $(4 - \cos x) > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $\cos x$ पर निर्भर करता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर $\cos x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(0, 2\pi)$ में $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ है।
$(i)$ जब $\cos x > 0$ होता है,तो $f'(x) > 0$ होता है,जो $(0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ में होता है।
$(ii)$ जब $\cos x < 0$ होता है,तो $f'(x) < 0$ होता है,जो $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में होता है।

(N/A) $f(x) = x^{3} + x^{-3}$
$\therefore f'(x) = 3x^{2} - 3x^{-4} = 3x^{2} - \frac{3}{x^{4}} = \frac{3(x^{6} - 1)}{x^{4}}$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$3(x^{6} - 1) = 0 \Rightarrow x^{6} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
चूँकि $x \neq 0$,बिंदु $x = -1, 0, 1$ वास्तविक संख्या रेखा को $(-\infty, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, \infty)$ अंतरालों में विभाजित करते हैं।
$x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f$ वर्धमान है।
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f$ ह्रासमान है।
$x \in (0, 1)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f$ ह्रासमान है।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f$ वर्धमान है।
अतः,$f$ अंतराल $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ में वर्धमान है और $(-1, 0) \cup (0, 1)$ में ह्रासमान है।

यह सिद्ध करने के लिए कि $f$ अंतराल $(a, b)$ पर एक वर्धमान फलन है,हम माध्य मान प्रमेय $(MVT)$ का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए कि $x_1$ और $x_2$ अंतराल $(a, b)$ में कोई दो बिंदु हैं,जहाँ $x_1 < x_2$ है।
चूँकि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित है और सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए $f$ अंतराल $[x_1, x_2]$ पर सतत है और $(x_1, x_2)$ पर अवकलनीय है।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा बिंदु $c \in (x_1, x_2)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ है।
चूँकि सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए $f^{\prime}(c) > 0$ होगा।
चूँकि $x_1 < x_2$ है,इसलिए $x_2 - x_1 > 0$ होगा।
अतः,$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x_2) - f(x_1) > 0$,या $f(x_2) > f(x_1)$ है।
चूँकि $x_1 < x_2$ का तात्पर्य $f(x_1) < f(x_2)$ से है,इसलिए फलन $f$ अंतराल $(a, b)$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।

(A) $x \neq 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{1}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$.
मान लीजिए $h(x) = x - (1+x)\ln(1+x)$.
तब $h'(x) = 1 - [\ln(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x}] = 1 - \ln(1+x) - 1 = -\ln(1+x)$.
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$1+x \in (0, 1)$,इसलिए $\ln(1+x) < 0$,जिसका अर्थ है $h'(x) > 0$.
$x \in (0, \infty)$ के लिए,$1+x > 1$,इसलिए $\ln(1+x) > 0$,जिसका अर्थ है $h'(x) < 0$.
चूंकि $h(0) = 0 - (1)\ln(1) = 0$,$h(x)$ अंतराल $(-1, 0)$ में बढ़ता है और $(0, \infty)$ में घटता है।
अतः,सभी $x \in (-1, \infty) \setminus \{0\}$ के लिए $h(x) < h(0) = 0$.
चूंकि सभी $x \in (-1, \infty) \setminus \{0\}$ के लिए $x^2(1+x) > 0$,इसलिए $f'(x) = \frac{h(x)}{x^2(1+x)} < 0$.
इसलिए,फलन $f$ अंतराल $(-1, \infty)$ पर निरंतर घटता हुआ फलन है।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = (3x - 7)x^{2/3} = 3x^{5/3} - 7x^{2/3}$.
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3 \cdot \frac{5}{3}x^{2/3} - 7 \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3}$
$f'(x) = 5x^{2/3} - \frac{14}{3x^{1/3}}$
$f'(x)$ के व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(x) = \frac{5x^{2/3} \cdot 3x^{1/3} - 14}{3x^{1/3}} = \frac{15x - 14}{3x^{1/3}}$
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है:
$\frac{15x - 14}{3x^{1/3}} > 0$
हम क्रांतिक बिंदुओं $x = 0$ और $x = \frac{14}{15}$ का उपयोग करके $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं:
- $x < 0$ के लिए,$15x - 14 < 0$ और $3x^{1/3} < 0$,इसलिए $f'(x) > 0$.
- $0 < x < \frac{14}{15}$ के लिए,$15x - 14 < 0$ और $3x^{1/3} > 0$,इसलिए $f'(x) < 0$.
- $x > \frac{14}{15}$ के लिए,$15x - 14 > 0$ और $3x^{1/3} > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{14}{15}, \infty\right)$ में वर्धमान है।

(A) दिया गया है $f(x) = 3 \log_{e} \left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{2}{x-1}$.
इसे हम $f(x) = 3 \log_{e} |x-1| - 3 \log_{e} |x+1| - \frac{2}{x-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = 3 \left( \frac{1}{x-1} \right) - 3 \left( \frac{1}{x+1} \right) + \frac{2}{(x-1)^2}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(x) = 3 \left( \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} \right) + \frac{2}{(x-1)^2} = 3 \left( \frac{2}{x^2-1} \right) + \frac{2}{(x-1)^2}$.
$f'(x) = \frac{6}{(x-1)(x+1)} + \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{6(x-1) + 2(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{6x - 6 + 2x + 2}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{8x - 4}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{4(2x-1)}{(x-1)^2(x+1)}$.
फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
चूंकि सभी $x \neq 1$ के लिए $(x-1)^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $\frac{2x-1}{x+1}$ पर निर्भर करता है।
$\frac{2x-1}{x+1} \geq 0$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर:
क्रांतिक बिंदु $x = \frac{1}{2}$ और $x = -1$ हैं।
अंतरालों की जांच करने पर: $(-\infty, -1)$,$(-1, \frac{1}{2}]$,और $[\frac{1}{2}, \infty)$.
$x \in (-\infty, -1) \cup [\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$ के लिए $f'(x) > 0$ होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{4x^3 - 3x^2}{6} - 2 \sin x + (2x - 1) \cos x$।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{12x^2 - 6x}{6} - 2 \cos x + [2 \cos x + (2x - 1)(-\sin x)]$
$f'(x) = (2x^2 - x) - 2 \cos x + 2 \cos x - (2x - 1) \sin x$
$f'(x) = x(2x - 1) - (2x - 1) \sin x$
$f'(x) = (2x - 1)(x - \sin x)$।
हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए,$x > \sin x$,इसलिए $(x - \sin x) > 0$।
$x < 0$ के लिए,$x < \sin x$,इसलिए $(x - \sin x) < 0$।
अब,$f'(x) = (2x - 1)(x - \sin x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं:
$1$. यदि $x \in [\frac{1}{2}, \infty)$,तो $(2x - 1) \geq 0$ और $(x - \sin x) > 0$,इसलिए $f'(x) \geq 0$। अतः,$f(x)$ वर्धमान है।
$2$. यदि $x \in [0, \frac{1}{2}]$,तो $(2x - 1) \leq 0$ और $(x - \sin x) \geq 0$,इसलिए $f'(x) \leq 0$। अतः,$f(x)$ ह्रासमान है।
$3$. यदि $x \in (-\infty, 0]$,तो $(2x - 1) < 0$ और $(x - \sin x) \leq 0$,इसलिए $f'(x) \geq 0$। अतः,$f(x)$ वर्धमान है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$f(x)$ अंतराल $[\frac{1}{2}, \infty)$ में वर्धमान है।

(D) यह ज्ञात करने के लिए कि $f(x)$ कहाँ वर्धमान (increasing) है,हम प्रत्येक अंतराल के लिए $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$1$. $x < -5$ के लिए,$f(x) = -55x$,इसलिए $f'(x) = -55$. चूंकि $f'(x) < 0$,फलन $(-\infty, -5)$ पर ह्रासमान (decreasing) है।
$2$. $-5 < x < 4$ के लिए,$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 120x$,इसलिए $f'(x) = 6x^2 - 6x - 120 = 6(x^2 - x - 20) = 6(x - 5)(x + 4)$.
$f'(x) > 0$ के लिए,हमें $(x - 5)(x + 4) > 0$ की आवश्यकता है,जो $x < -4$ या $x > 5$ होने पर होता है। अंतराल $(-5, 4)$ के भीतर,यह $x \in (-5, -4)$ के लिए संतुष्ट होता है।
$3$. $x > 4$ के लिए,$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x - 336$,इसलिए $f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 = 6(x^2 - x - 6) = 6(x - 3)(x + 2)$.
$x > 4$ के लिए,$(x - 3)$ और $(x + 2)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए सभी $x > 4$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
इन सबको मिलाने पर,$f(x)$ अंतराल $(-5, -4) \cup (4, \infty)$ पर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + ax + 1$ है।
इसका अवकलज $f'(x) = 2x + a$ है।
फलन $f(x)$ के $[1, 2]$ पर वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$2x + a \geq 0 \implies a \geq -2x$,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।
अंतराल $[1, 2]$ पर $-2x$ का अधिकतम मान $x=1$ पर प्राप्त होता है,जो $-2(1) = -2$ है। अतः $R = -2$ है।
फलन $f(x)$ के $[1, 2]$ पर ह्रासमान होने के लिए,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।
$2x + a \leq 0 \implies a \leq -2x$,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।
यह शर्त सभी $x$ के लिए सत्य होनी चाहिए,इसलिए $a \leq \min(-2x)$ होना चाहिए। अंतराल $[1, 2]$ पर $-2x$ का न्यूनतम मान $x=2$ पर प्राप्त होता है,जो $-2(2) = -4$ है। अतः $S = -4$ है।
अब,$|R - S| = |-2 - (-4)| = |-2 + 4| = 2$।

(A) $x > 0$ के लिए,$f'(x) = -4x^2 + 4x + 3$ है।
$f'(x) > 0$ रखने पर,हमें $-4x^2 + 4x + 3 > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4x^2 - 4x - 3 < 0$।
गुणनखंड करने पर $(2x - 3)(2x + 1) < 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$।
चूंकि $x > 0$ है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ में वर्धमान है।
$x \leq 0$ के लिए,$f'(x) = 3e^x + 3xe^x = 3e^x(1 + x)$ है।
$f'(x) > 0$ रखने पर,चूंकि सभी $x$ के लिए $3e^x > 0$ है,इसलिए $1 + x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > -1$।
अतः,$x \leq 0$ के लिए,$f(x)$ अंतराल $(-1, 0]$ में वर्धमान है।
दोनों अंतरालों को मिलाने पर,$f(x)$ अंतराल $(-1, 0] \cup (0, \frac{3}{2}) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया है $f(x)=3 \sin ^{4} x+10 \sin ^{3} x+6 \sin ^{2} x-3$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 12 \sin^3 x \cos x + 30 \sin^2 x \cos x + 12 \sin x \cos x$
$f'(x) = 6 \sin x \cos x (2 \sin^2 x + 5 \sin x + 2)$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$f'(x) = 6 \sin x \cos x (2 \sin x + 1)(\sin x + 2)$
$x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए:
$1. \cos x > 0$,सभी $x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए।
$2. (\sin x + 2) > 0$,सभी $x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए।
$3. (2 \sin x + 1) \ge 0$,सभी $x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए।
अतः,$f'(x)$ का चिह्न $\sin x$ पर निर्भर करता है:
- यदि $x \in \left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$,तो $\sin x < 0$,इसलिए $f'(x) < 0$। अतः,$f$ अंतराल $\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ में ह्रासमान है।
- यदि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,तो $\sin x > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$। अतः,$f$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में वर्धमान है।

(D) दिया गया है $f_{\lambda}(x) = 4\lambda x^{3} - 36\lambda x^{2} + 36x + 48$.
फलन $f_{\lambda}(x)$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए वर्धमान होने के लिए,$f_{\lambda}^{\prime}(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$f_{\lambda}^{\prime}(x) = 12\lambda x^{2} - 72\lambda x + 36$.
$f_{\lambda}^{\prime}(x) \geq 0$ रखने पर,$12(\lambda x^{2} - 6\lambda x + 3) \geq 0$,अर्थात $\lambda x^{2} - 6\lambda x + 3 \geq 0$.
इस द्विघात समीकरण के सभी $x$ के लिए अऋणात्मक होने के लिए,$\lambda > 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ होना चाहिए।
$D = (-6\lambda)^{2} - 4(\lambda)(3) = 36\lambda^{2} - 12\lambda \leq 0$.
$12\lambda(3\lambda - 1) \leq 0$,जिससे $\lambda \in [0, 1/3]$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\lambda > 0$,सबसे बड़ा मान $\lambda^{*} = 1/3$ है।
अब,$f_{\lambda^{*}}(x) = \frac{4}{3}x^{3} - 12x^{2} + 36x + 48$.
$f_{\lambda^{*}}(1) = \frac{4}{3} - 12 + 36 + 48 = \frac{220}{3}$.
$f_{\lambda^{*}}(-1) = -\frac{4}{3} - 12 - 36 + 48 = -\frac{4}{3}$.
$f_{\lambda^{*}}(1) + f_{\lambda^{*}}(-1) = \frac{220}{3} - \frac{4}{3} = \frac{216}{3} = 72$.

(B) माना $f(x) = x^{7} + 5x^{3} + 3x + 1$ है।
फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:
$f'(x) = 7x^{6} + 15x^{2} + 3$ है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^{6} \ge 0$ और $x^{2} \ge 0$ होता है,इसलिए $7x^{6} \ge 0$ और $15x^{2} \ge 0$ होगा।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) = 7x^{6} + 15x^{2} + 3 \ge 3 > 0$ है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$,और जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ होता है।
चूंकि $f(x)$ एक सतत और निरंतर वर्धमान फलन है जो $-\infty$ से $\infty$ तक जाता है,इसलिए 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,यह $x$-अक्ष को ठीक एक बार काटेगा।
अतः,वास्तविक हलों की संख्या $1$ है।

(D) दिया गया फलन $f_{a}(x) = \tan^{-1}(2x) - 3ax + 7$ है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज अ-ऋणात्मक होना चाहिए: $f_{a}'(x) \geq 0$.
$f_{a}'(x) = \frac{2}{1+4x^2} - 3a \geq 0$.
इसका अर्थ है $3a \leq \frac{2}{1+4x^2}$,या $a \leq \frac{2}{3(1+4x^2)}$.
इस शर्त को अंतराल $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right)$ में सभी $x$ के लिए संतुष्ट करने हेतु,$a$ का मान इस अंतराल पर $\frac{2}{3(1+4x^2)}$ के न्यूनतम मान से कम या बराबर होना चाहिए।
न्यूनतम मान सीमाओं $x = \pm \frac{\pi}{6}$ पर प्राप्त होता है।
$x^2 = \frac{\pi^2}{36}$ रखने पर,$a \leq \frac{2}{3(1 + 4(\frac{\pi^2}{36}))} = \frac{2}{3(1 + \frac{\pi^2}{9})} = \frac{6}{9+\pi^2}$.
अतः,$\bar{a} = \frac{6}{9+\pi^2}$.
अब,$f_{\bar{a}}\left(\frac{\pi}{8}\right) = \tan^{-1}\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) - 3 \cdot \left(\frac{6}{9+\pi^2}\right) \cdot \frac{\pi}{8} + 7$.
$f_{\bar{a}}\left(\frac{\pi}{8}\right) = 7 + \tan^{-1}\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{9\pi}{4(9+\pi^2)}$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{x-x^2}$ है।
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = e^{x-x^2} [-(2x^2 - x - 1)]$
$f'(x) = -e^{x-x^2} (2x+1)(x-1)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$-e^{x-x^2} (2x+1)(x-1) > 0$
$(2x+1)(x-1) < 0$.
यहाँ मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = 1$ हैं। यह असमिका $x \in \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ के लिए सत्य है।
अतः,फलन $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ में वर्धमान है।

(A) माना $f(x) = x^3-3ax^2+(27a^2+9)x+2016$ है।
वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 - 6ax + (27a^2 + 9)$।
हम पूर्ण वर्ग बनाकर अवकलज को फिर से लिख सकते हैं:
$f'(x) = 3(x^2 - 2ax + 9a^2 + 3)$
$f'(x) = 3((x-a)^2 + 8a^2 + 3)$।
चूंकि $(x-a)^2 \geq 0$,$8a^2 \geq 0$,और $3 > 0$ है,इसलिए सभी वास्तविक $x$ और सभी वास्तविक $a$ के लिए $f'(x) > 0$ होता है।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ हमेशा धनात्मक है,फलन $f(x)$ सभी वास्तविक $a$ के लिए निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान त्रिघात बहुपद $x$-अक्ष को ठीक एक बार काटता है।
इसलिए,समीकरण का किसी भी वास्तविक $a$ के लिए ठीक एक वास्तविक मूल है।

(C) मान लीजिए $f(x) = x^{2n+1} - (2n+1)x + a$.
अंतराल $[-1, 1]$ में शून्यकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का अवकलन करते हैं।
$f'(x) = (2n+1)x^{2n} - (2n+1) = (2n+1)(x^{2n} - 1)$.
$x \in (-1, 1)$ के लिए,हमारे पास $|x| < 1$ है,जिसका अर्थ है कि $x^{2n} < 1$.
अतः,$x^{2n} - 1 < 0$,इसलिए सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
चूंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f'(x) \leq 0$ है,फलन $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर निरंतर ह्रासमान है।
एक निरंतर ह्रासमान फलन $X$-अक्ष को अधिकतम एक बिंदु पर काट सकता है।
इसलिए,$a$ के किसी भी मान के लिए समीकरण $f(x) = 0$ का अंतराल $[-1, 1]$ में अधिकतम एक मूल होता है।

(B) माना $f(x) = (x-41)^{49} + (x-49)^{41} + (x-2009)^{2009}$.
वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम फलन $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 49(x-41)^{48} + 41(x-49)^{40} + 2009(x-2009)^{2008}$.
चूंकि घातांक $48$,$40$,और $2008$ सभी सम हैं,प्रत्येक पद $(x-a)^{2n}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए अ-ऋणात्मक है।
विशेष रूप से,$(x-41)^{48} \ge 0$,$(x-49)^{40} \ge 0$,और $(x-2009)^{2008} \ge 0$.
चूंकि गुणांक $49$,$41$,और $2009$ धनात्मक हैं,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \ge 0$ है।
इसके अलावा,$f'(x)$ कभी भी शून्य नहीं होता है क्योंकि पद अलग-अलग बिंदुओं $(x=41, 49, 2009)$ पर शून्य होते हैं।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान सतत फलन $x$-अक्ष को अधिकतम एक बार काट सकता है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$.
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,ठीक एक वास्तविक मूल मौजूद है।
यह जांचने के लिए कि क्या मूल धनात्मक है,हम $f(0)$ का मान निकालते हैं:
$f(0) = (-41)^{49} + (-49)^{41} + (-2009)^{2009} < 0$.
चूंकि $f(0) < 0$ और $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$,इसलिए एकमात्र वास्तविक मूल $(0, \infty)$ अंतराल में स्थित होगा।
अतः,ठीक एक धनात्मक वास्तविक मूल है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{\cos x}{\cos 2x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{-\sin x \cos 2x - \cos x (-2 \sin 2x)}{(\cos 2x)^2} = \frac{-\sin x \cos 2x + 2 \sin 2x \cos x}{(\cos 2x)^2}$.
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $f'(x) = \frac{\sin(2x-x) + \sin 2x \cos x}{(\cos 2x)^2} = \frac{\sin x + 2 \sin x \cos^2 x}{(\cos 2x)^2}$.
$f'(x) = \frac{\sin x (1 + 2 \cos^2 x)}{(\cos 2x)^2}$.
चूंकि $(1 + 2 \cos^2 x) > 0$ और $(\cos 2x)^2 > 0$ सभी $x \in \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ के लिए सत्य है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न केवल $\sin x$ पर निर्भर करता है।
$x \in \left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$ के लिए,$\sin x < 0$,इसलिए $f'(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ ह्रासमान है।
$x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ के लिए,$\sin x > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ वर्धमान है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है $g(x)=3 f\left(\frac{x}{3}\right)+f(3-x)$ और सभी $x \in(0,3)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$ है।
चूंकि $f^{\prime \prime}(x) > 0$,इसलिए $f^{\prime}(x)$ एक वर्धमान फलन है।
अब,$g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g^{\prime}(x) = 3 \times \frac{1}{3} f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) - f^{\prime}(3-x) = f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) - f^{\prime}(3-x)$.
यदि $g$,$(0, \alpha)$ में ह्रासमान है,तो $x \in (0, \alpha)$ के लिए $g^{\prime}(x) < 0$ होना चाहिए।
$f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) - f^{\prime}(3-x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) < f^{\prime}(3-x)$.
चूंकि $f^{\prime}(x)$ एक वर्धमान फलन है,इसका अर्थ है कि $\frac{x}{3} < 3-x$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x + \frac{x}{3} < 3 \Rightarrow \frac{4x}{3} < 3 \Rightarrow x < \frac{9}{4}$.
अतः,$\alpha = \frac{9}{4}$.
अंत में,$8 \alpha = 8 \times \frac{9}{4} = 18$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{x^2-6x-16}$.
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{(x^2-6x-16)(1) - x(2x-6)}{(x^2-6x-16)^2}$.
अंश को सरल करने पर: $x^2 - 6x - 16 - 2x^2 + 6x = -x^2 - 16 = -(x^2 + 16)$.
अतः,$f'(x) = \frac{-(x^2+16)}{(x^2-6x-16)^2}$.
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^2+16 > 0$ और सभी $x \neq -2, 8$ के लिए $(x^2-6x-16)^2 > 0$ है,इसलिए डोमेन के सभी $x$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
अतः,फलन $f(x)$ अपने पूरे डोमेन $(-\infty, -2) \cup (-2, 8) \cup (8, \infty)$ में निरंतर घट रहा है।

(B) दिया गया समीकरण: $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2-2$ ....$(1)$
समीकरण $(1)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$5 f\left(\frac{1}{x}\right)+4 f(x)=\frac{1}{x^2}-2$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ को $5$ से और $(2)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$25 f(x)+20 f\left(\frac{1}{x}\right)=5x^2-10$
$16 f(x)+20 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{4}{x^2}-8$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$9 f(x) = 5x^2 - 10 - \frac{4}{x^2} + 8 = 5x^2 - 2 - \frac{4}{x^2}$
दिया है $y = 9x^2 f(x)$,$9 f(x)$ का मान रखने पर:
$y = x^2 \left(5x^2 - 2 - \frac{4}{x^2}\right) = 5x^4 - 2x^2 - 4$
यह ज्ञात करने के लिए कि $y$ कहाँ निरंतर वर्धमान है,अवकलन (derivative) करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 20x^3 - 4x = 4x(5x^2 - 1)$
निरंतर वर्धमान के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$:
$4x(\sqrt{5}x - 1)(\sqrt{5}x + 1) > 0$
क्रांतिक बिंदु (critical points) $x = -\frac{1}{\sqrt{5}}, 0, \frac{1}{\sqrt{5}}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $\frac{dy}{dx} > 0$ के लिए $x \in \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \infty\right)$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin x + 3x - \frac{2}{\pi}(x^2 + x)$.
चरण $1$: कथन $(I)$ का विश्लेषण करें।
$f'(x) = \cos x + 3 - \frac{2}{\pi}(2x + 1)$.
$x \in (0, \pi/2)$ के लिए,$\cos x \in (0, 1)$ और $2x+1 \in (1, \pi+1)$.
$f'(x) = \cos x + 3 - \frac{4x}{\pi} - \frac{2}{\pi}$.
$x=0$ पर,$f'(0) = 1 + 3 - 2/\pi = 4 - 2/\pi > 0$.
$x=\pi/2$ पर,$f'(\pi/2) = 0 + 3 - \frac{2}{\pi}(\pi + 1) = 3 - 2 - 2/\pi = 1 - 2/\pi > 0$.
चूंकि $f''(x) = -\sin x - 4/\pi < 0$,इसलिए $f'(x)$ ह्रासमान है। $[0, \pi/2]$ पर $f'(x)$ का न्यूनतम मान $f'(\pi/2) = 1 - 2/\pi > 0$ है। अतः,सभी $x \in (0, \pi/2)$ के लिए $f'(x) > 0$,इसलिए $f$ वर्धमान है।
चरण $2$: कथन $(II)$ का विश्लेषण करें।
$f''(x) = -\sin x - 4/\pi$.
चूंकि $x \in (0, \pi/2)$ के लिए $\sin x > 0$,इसलिए $f''(x) = -(\sin x + 4/\pi) < 0$.
चूंकि $f''(x) < 0$,इसलिए $f'(x)$,$(0, \pi/2)$ में ह्रासमान है।
निष्कर्ष: $(I)$ और $(II)$ दोनों सत्य हैं।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^x$ है,जहाँ $x > 0$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln(x))$ है।
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है कि $1 + \ln(x) > 0$ होना चाहिए।
$\ln(x) > -1$।
$x > e^{-1}$,जिसका अर्थ है $x > \frac{1}{e}$।
अतः,वह अंतराल जिसमें फलन निरंतर वर्धमान है,$\left(\frac{1}{e}, \infty\right)$ है।
नोट: विकल्प $\left[\frac{1}{e}, \infty\right)$ उस अंतराल का मानक निरूपण है जहाँ फलन वर्धमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = \cos x - x + 1$.
अवकलन करने पर: $f'(x) = -\sin x - 1$.
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए $f'(x) = -(\sin x + 1) \le 0$ सभी $x \in R$ के लिए।
अतः,$f(x)$ पूरे $R$ पर निरंतर ह्रासमान फलन है।
$(S1)$ के लिए: $[0, \pi]$ के अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर: $f(0) = \cos(0) - 0 + 1 = 2$ और $f(\pi) = \cos(\pi) - \pi + 1 = -1 - \pi + 1 = -\pi$.
चूंकि $f(0) = 2 > 0$ और $f(\pi) = -\pi < 0$,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(0, \pi)$ में केवल एक हल मौजूद है क्योंकि $f$ निरंतर ह्रासमान है। इसलिए,$(S1)$ सही है।
$(S2)$ के लिए: सभी $x$ के लिए $f'(x) \le 0$ है,इसलिए $f(x)$ पूरे अंतराल $[0, \pi]$ में ह्रासमान है। अतः,यह कथन कि यह $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ में वर्धमान है,गलत है। इसलिए,$(S2)$ गलत है।
निष्कर्ष: केवल $(S1)$ सही है।

(B) $f(x)$ के $(2, 3)$ पर निरंतर वर्धमान होने के लिए,$x \in (2, 3)$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{2}{x-2} - 2x + a \geq 0$.
चूंकि $f''(x) = -\frac{2}{(x-2)^2} - 2 < 0$,इसलिए $f'(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
अतः,$(2, 3)$ पर $f'(x) \geq 0$ का अर्थ है कि $f'(3) \geq 0$ होगा।
$f'(3) = \frac{2}{3-2} - 2(3) + a = 2 - 6 + a = a - 4 \geq 0$,इसलिए $a \geq 4$। न्यूनतम मान $a = 4$ है।
अब,$g(x) = (x-1)^3(x+2-4)^2 = (x-1)^3(x-2)^2$.
$g'(x) = 3(x-1)^2(x-2)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x-2) = (x-1)^2(x-2)[3(x-2) + 2(x-1)]$.
$g'(x) = (x-1)^2(x-2)(3x - 6 + 2x - 2) = (x-1)^2(x-2)(5x - 8)$.
$g(x)$ के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$g'(x) < 0$ होना चाहिए।
चूंकि $x \neq 1$ के लिए $(x-1)^2 > 0$,इसलिए $(x-2)(5x-8) < 0$ होना चाहिए।
मूल $x = 8/5$ और $x = 2$ हैं। अंतराल $(8/5, 2)$ है।
अतः,$b = 8/5$ और $c = 2$ है।
$100(a + b - c) = 100(4 + 8/5 - 2) = 100(2 + 1.6) = 100(3.6) = 360$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x} + 3$,$x \neq 0$.
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{3x^2} = \frac{(x-3)(x+3)}{3x^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 3$ और $x = -3$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु $x = -3, 0, 3$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x \in (-\infty, -3)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।
$x \in (-3, 0)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f(x)$ निरंतर ह्रासमान है।
$x \in (0, 3)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f(x)$ निरंतर ह्रासमान है।
$x \in (3, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।
दिए गए अंतरालों से तुलना करने पर:
वर्धमान अंतराल $(-\infty, -3) \cup (3, \infty) \Rightarrow \alpha_1 = -3, \alpha_2 = 3$.
ह्रासमान अंतराल $(-3, 0) \cup (0, 3) \Rightarrow \alpha_3 = -3, \alpha_4 = 0, \alpha_5 = 3$.
अतः,$\sum_{i=1}^5 \alpha_i^2 = (-3)^2 + (3)^2 + (-3)^2 + (0)^2 + (3)^2 = 9 + 9 + 9 + 0 + 9 = 36$.

(A) दिया गया है $2f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 1$ (समीकरण $1$).
$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर: $2f\left(\frac{1}{x}\right) + 3f(x) = \frac{1}{x^2} + 1$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ को $2$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर:
$4f(x) + 6f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x^2 + 2$
$9f(x) + 6f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x^2} + 3$
दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर: $5f(x) = \frac{3}{x^2} + 3 - 2x^2 - 2 = \frac{3}{x^2} - 2x^2 + 1$.
अतः $y = 5x^2 f(x) = x^2 \left(\frac{3}{x^2} - 2x^2 + 1\right) = 3 - 2x^4 + x^2$.
यह ज्ञात करने के लिए कि $y$ कहाँ निरंतर वर्धमान है,$\frac{dy}{dx} = -8x^3 + 2x = 2x(1 - 4x^2) = 2x(1 - 2x)(1 + 2x)$ ज्ञात करें।
$\frac{dy}{dx} > 0$ रखने पर: $2x(1 - 2x)(1 + 2x) > 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर: $(-\infty, -1/2) \implies (-)(-)(-) < 0$; $(-1/2, 0) \implies (-)(-)(+) > 0$; $(0, 1/2) \implies (+)(+)(+) > 0$; $(1/2, \infty) \implies (+)(-)(+) < 0$.
इस प्रकार,$y$ अंतराल $(-\infty, -1/2) \cup (0, 1/2)$ में निरंतर वर्धमान है।
विकल्पों की तुलना करने पर,$(0, 1/2)$ सही अंतराल है।

(C) फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने के अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
दिया गया है $f(x) = (x + 2) e^{-x}$।
गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = (1) e^{-x} + (x + 2) (-e^{-x})$।
$f'(x) = e^{-x} (1 - x - 2) = e^{-x} (-x - 1) = -(x + 1) e^{-x}$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-(x + 1) e^{-x} > 0$। चूंकि $e^{-x} > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $-(x + 1) > 0$ या $x + 1 < 0$,जिसका अर्थ है $x < -1$।
अतः,फलन $(-\infty, -1)$ में वर्धमान है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-(x + 1) e^{-x} < 0$। इससे $x + 1 > 0$ या $x > -1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) $f(x)$ को निरंतर वर्धमान होने के लिए,सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{k \sin x + 2 \cos x}{\sin x + \cos x}$।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{(k \cos x - 2 \sin x)(\sin x + \cos x) - (k \sin x + 2 \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$।
अंश को सरल करने पर:
$N = (k \sin x \cos x + k \cos^2 x - 2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x) - (k \sin x \cos x - k \sin^2 x + 2 \cos^2 x - 2 \sin x \cos x)$।
$N = k \cos^2 x - 2 \sin^2 x + k \sin^2 x - 2 \cos^2 x$।
$N = (k - 2) \cos^2 x + (k - 2) \sin^2 x = (k - 2)(\cos^2 x + \sin^2 x) = k - 2$।
अतः,$f'(x) = \frac{k - 2}{(\sin x + \cos x)^2}$।
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $(\sin x + \cos x)^2 > 0$ उन सभी $x$ के लिए जहाँ फलन परिभाषित है,हमें $k - 2 > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $k > 2$।