Increasing and Decreasing function Questions in Hindi

(B) यह ज्ञात करने के लिए कि $f(x)$ कहाँ वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं और $f'(x) > 0$ रखते हैं।
दिया गया है $f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 12$.
$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24$.
$12$ उभयनिष्ठ लेने पर: $f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 - x + 2)$.
गुणनखंड करने पर: $f'(x) = 12[x^2(x - 2) - 1(x - 2)] = 12(x^2 - 1)(x - 2) = 12(x - 1)(x + 1)(x - 2)$.
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $(x - 1)(x + 1)(x - 2) > 0$.
क्रांतिक बिंदुओं $x = -1, 1, 2$ के लिए वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर:
$x \in (-1, 1)$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$x \in (2, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$.
अतः,फलन $(-1, 1) \cup (2, \infty)$ पर वर्धमान है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2x^2 - \log x$ है,जहाँ $x > 0$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - \log x) = 4x - \frac{1}{x}$.
फलन $f(x)$ ह्रासमान होता है जब $f'(x) < 0$ हो।
$4x - \frac{1}{x} < 0$
$\Rightarrow \frac{4x^2 - 1}{x} < 0$.
चूँकि $x > 0$ है,हम असमिका के चिह्न को बदले बिना $x$ से गुणा कर सकते हैं:
$4x^2 - 1 < 0$
$\Rightarrow 4x^2 < 1$
$\Rightarrow x^2 < \frac{1}{4}$
$\Rightarrow |x| < \frac{1}{2}$.
इससे हमें $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त $x > 0$ के अनुसार,अंतराल $x \in (0, \frac{1}{2})$ होगा।
अतः,फलन $(0, \frac{1}{2})$ अंतराल में ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$ है।
वर्धमान या ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} (1 + x - 2x^2)$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.
अतः,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{x-x^2} > 0$,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(2x+1)(1-x)$ पर निर्भर करता है।
$(2x+1)(1-x) \geq 0$ का अर्थ है $-\frac{1}{2} \leq x \leq 1$.
इस प्रकार,फलन अंतराल $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ में वर्धमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{3x^2}$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) < 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $3x^2 > 0$ सभी $x \neq 0$ के लिए,$f'(x)$ का चिह्न अंश $x^2 - 9$ पर निर्भर करता है।
हमें $x^2 - 9 < 0$ प्राप्त होता है जब $x^2 < 9$,जिसका अर्थ है $|x| < 3$,या $x \in (-3, 3)$.
चूंकि $f'(x) < 0$ सभी $x \in (-3, 3) \setminus \{0\}$ के लिए है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $(-3, 3)$ में ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$ (ii)
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ होना चाहिए।

$6(x - 1)(x - 2) > 0$

यह तब सत्य है जब $x < 1$ या $x > 2$ हो।

अतः,$f(x)$ अंतराल $(1, 2)$ के बाहर वर्धमान है। इसलिए,कथन $A$ सत्य है।
कथन $R$ के लिए,हम ह्रासमान फलन की स्थिति की जाँच करते हैं: $f^{\prime}(x) < 0$.

$6(x - 1)(x - 2) < 0$

यह तब सत्य है जब $1 < x < 2$ हो।

अतः,$x \in (1, 2)$ के लिए $f^{\prime}(x) < 0$ है। इसलिए,कथन $R$ सत्य है।
चूंकि कथन $A$ वर्धमान व्यवहार का वर्णन करता है और कथन $R$ ह्रासमान व्यवहार का वर्णन करता है,इसलिए $R$,$A$ का कारण नहीं है।
अतः,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं,और $R$,$A$ का सही कारण नहीं है।

(A) माना $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
फलन के परिभाषित होने के लिए,$1+x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > -1$.
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$:
$\frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
$\frac{4+x^2+4x - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
$\frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
चूँकि $x^2 \ge 0$ और $x \neq -2$ के लिए $(2+x)^2 > 0$,असमिका तब सत्य होती है जब $1+x > 0$ और $x \neq 0$ हो।
अतः,$x > -1$ और $x \neq 0$।

(D) दिया गया वक्र $y = x^3 - ax^2 + x + 1$ है।
स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2ax + 1$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ न्यून कोण बनाती है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए प्रवणता धनात्मक होनी चाहिए।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $3x^2 - 2ax + 1 > 0$।
द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,$A > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = 3 > 0$ है,जो संतुष्ट है।
अब,हमें $D = B^2 - 4AC < 0$ की आवश्यकता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$(-2a)^2 - 4(3)(1) < 0$।
$4a^2 - 12 < 0$।
$a^2 - 3 < 0$।
$(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3}) < 0$।
अतः,$a \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$।

(A) दिया गया फलन $f(x)=\sqrt{3} \sin x-\cos x-2 a x+b$ है।
$f(x)$ के ह्रासमान होने की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलज $f^{\prime}(x)$ निकालते हैं।
$f^{\prime}(x)=\sqrt{3} \cos x+\sin x-2 a$.
इसे हम $f^{\prime}(x)=2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x+\frac{1}{2} \sin x \right)-2 a$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $f^{\prime}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2 a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ सभी $x$ के लिए घटता है,इसलिए $f^{\prime}(x) \leq 0$ होना चाहिए।
$2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2 a \leq 0$.
$2 a \geq 2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.
$a \geq \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.
चूंकि $\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए सभी $x$ के लिए इस असमिका को सत्य होने के लिए $a \geq 1$ होना चाहिए।

(D) माना $f(x) = y = x^4+5x^3+9x^2+6x+2$.
वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $m(x) = \frac{dy}{dx} = 4x^3+15x^2+18x+6$ द्वारा दी जाती है।
ढाल $m(x)$ के बढ़ने के लिए,इसका अवकलज शून्य या उससे अधिक होना चाहिए,अर्थात $\frac{dm}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$.
द्वितीय अवकलज की गणना करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 12x^2+30x+18$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $12x^2+30x+18 = 6(2x^2+5x+3) = 6(2x+3)(x+1)$.
हमें $6(2x+3)(x+1) \ge 0$ की आवश्यकता है।
क्रांतिक बिंदु $x = -\frac{3}{2}$ और $x = -1$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$1$) $x \in (-\infty, -\frac{3}{2}]$ के लिए,$\frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$.
$2$) $x \in [-\frac{3}{2}, -1]$ के लिए,$\frac{d^2y}{dx^2} \le 0$.
$3$) $x \in [-1, \infty)$ के लिए,$\frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$.
अतः,ढाल $(-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [-1, \infty)$ अंतराल में बढ़ती है,जिसे $R - (-\frac{3}{2}, -1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) फलन $f(x) = x + \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,फलन के सुपरिभाषित होने के लिए,हमें $\frac{x-1}{x+1} > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$।
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = 1 + \frac{d}{dx} [\log(x-1) - \log(x+1)]$
$f'(x) = 1 + \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$
$f'(x) = 1 + \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)}$
$f'(x) = 1 + \frac{2}{x^2 - 1}$
$f'(x) = \frac{x^2 - 1 + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 + 1 > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न हर $x^2 - 1$ पर निर्भर करता है।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$x^2 > 1$,इसलिए $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$। अतः,$f$ अंतराल $(1, \infty)$ में वर्धमान है।
$x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$x^2 > 1$,इसलिए $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$। अतः,$f$ अंतराल $(-\infty, -1)$ में वर्धमान है।
इसलिए,$f$ अपने प्रांत में एकदिष्ट वर्धमान फलन है।

(B) दिया गया है $f(x) = (x^2+x+1)^{(x^2-3x-4)}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln(f(x)) = (x^2-3x-4) \ln(x^2+x+1)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = (2x-3) \ln(x^2+x+1) + (x^2-3x-4) \cdot \frac{2x+1}{x^2+x+1}$.
$x \in [4, \infty)$ के लिए,$x^2+x+1 > 0$ और $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1) \ge 0$.
चूंकि $x \ge 4$,$(2x-3) > 0$ और $\ln(x^2+x+1) > 0$,और $(x^2-3x-4) \ge 0$ और $(2x+1) > 0$.
अतः,$f'(x) = f(x) [ (2x-3) \ln(x^2+x+1) + \frac{(x^2-3x-4)(2x+1)}{x^2+x+1} ] > 0$ सभी $x > 4$ के लिए.
इसलिए,$f(x)$ एक एकदिष्ट वर्धमान फलन है।

(A) एक फलन $f(x)$ मोनोटोनिक होता है यदि वह अपने पूरे डोमेन में या तो निरंतर वर्धमान हो या निरंतर ह्रासमान हो।
इसका अर्थ है कि इसका अवकलज $f'(x)$ अपना चिह्न नहीं बदलता है।
दिया गया फलन $f(x) = 4x^3 + ax^2 + 3x - 2$ है,इसका अवकलज है:
$f'(x) = 12x^2 + 2ax + 3$.
फलन के मोनोटोनिक होने के लिए $f'(x) \geq 0$ या $f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।
चूंकि $x^2$ का गुणांक $12 > 0$ है,परवलय $f'(x)$ ऊपर की ओर खुलता है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
यह स्थिति तब होती है जब विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ हो।
विविक्तकर $D = (2a)^2 - 4(12)(3) = 4a^2 - 144$.
$D \leq 0$ रखने पर,$4a^2 - 144 \leq 0$,जिसका अर्थ है $a^2 \leq 36$.
अतः,$-6 \leq a \leq 6$,यानी $a \in [-6, 6]$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$(-6, 6)$ सही उत्तर है।

(B) फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने के अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2} - \log(x^2 + x + 1) \right) = x - \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$.
$f'(x) = \frac{x(x^2 + x + 1) - (2x + 1)}{x^2 + x + 1} = \frac{x^3 + x^2 + x - 2x - 1}{x^2 + x + 1} = \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^2 + x + 1}$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(x + 1) - 1(x + 1) = (x^2 - 1)(x + 1) = (x - 1)(x + 1)^2$.
अतः,$f'(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)^2}{x^2 + x + 1}$.
चूंकि $x^2 + x + 1 > 0$ और $(x + 1)^2 \ge 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए,$f'(x)$ का चिह्न $(x - 1)$ पर निर्भर करता है।
जब $x > 1$ होता है,तो $f'(x) > 0$ होता है,इसलिए फलन $(1, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) फलन $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) - 2x - \frac{x^3}{1-x^2}$ का प्रांत $\frac{1+x}{1-x} > 0$ द्वारा निर्धारित होता है,जिसका अर्थ है $x \in (-1, 1)$।
सबसे पहले,हम $f(x)$ के व्यंजक को सरल करते हैं:
$f(x) = \log(1+x) - \log(1-x) - 2x - \frac{x^3}{1-x^2}$।
अब,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} - 2 - \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{1-x^2} \right)$।
$f'(x) = \frac{(1-x) + (1+x)}{1-x^2} - 2 - \frac{3x^2(1-x^2) - x^3(-2x)}{(1-x^2)^2}$।
$f'(x) = \frac{2}{1-x^2} - 2 - \frac{3x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(1-x^2)^2}$।
$f'(x) = \frac{2(1-x^2) - 2(1-x^2)^2 - (3x^2 - x^4)}{(1-x^2)^2}$।
$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 - 2(1 - 2x^2 + x^4) - 3x^2 + x^4}{(1-x^2)^2}$।
$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 - 2 + 4x^2 - 2x^4 - 3x^2 + x^4}{(1-x^2)^2} = \frac{-x^4 - x^2}{(1-x^2)^2} = -\frac{x^2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}$।
चूँकि सभी $x \in (-1, 1) \setminus \{0\}$ के लिए $x^2(x^2+1) > 0$ और $(1-x^2)^2 > 0$ है,इसलिए सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
अतः,फलन पूरे अंतराल $(-1, 1)$ में ह्रासमान है।
यहाँ,$a = -1$ और $b = 1$,इसलिए $\frac{a}{b} = \frac{-1}{1} = -1$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = kx^3 - 3x^2 - 12x + 8$ है।
$f(x)$ के सभी $x \in R$ के लिए निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 3kx^2 - 6x - 12$.
किसी द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ के सभी $x$ के लिए ऋणात्मक होने हेतु $a < 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना आवश्यक है।
यहाँ,$a = 3k$,$b = -6$,और $c = -12$ है।
शर्त $1$: $3k < 0 \Rightarrow k < 0$.
शर्त $2$: $D = b^2 - 4ac < 0$.
$(-6)^2 - 4(3k)(-12) < 0$.
$36 + 144k < 0$.
$144k < -36$.
$k < -\frac{36}{144} \Rightarrow k < -\frac{1}{4}$.
अतः,सही विकल्प $k < -\frac{1}{4}$ है।

(A) दिया गया है: $f(x) = \tan x - x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = \sec^2 x - 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि प्रांत $R^*$ में सभी $x$ के लिए $\sec^2 x \geq 1$ होता है।
अतः,$f'(x) = \sec^2 x - 1 \geq 0$.
चूँकि अवकलज $f'(x) \geq 0$ सभी $x \in R^*$ के लिए सत्य है,इसलिए फलन $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{2}[|\sin x| + \sin x]$,$0 < x \leq 2\pi$ के लिए।
स्थिति $I$: जब $0 < x \leq \pi$,तब $\sin x \geq 0$,इसलिए $|\sin x| = \sin x$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2}[\sin x + \sin x] = \sin x$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = \cos x$.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$f'(x) = \cos x > 0$,इसलिए $f(x)$ वर्धमान है।
$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ के लिए,$f'(x) = \cos x < 0$,इसलिए $f(x)$ ह्रासमान है।
स्थिति $II$: जब $\pi < x \leq 2\pi$,तब $\sin x \leq 0$,इसलिए $|\sin x| = -\sin x$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2}[-\sin x + \sin x] = 0$.
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में वर्धमान है और $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में ह्रासमान है।

(A) फलन $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ के लिए,अवकलज $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$ है।
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $6(x-1)(x-2) > 0$। यह असमिका तब सत्य होती है जब $x < 1$ या $x > 2$ हो। अतः,$f(x)$ अंतराल $(1,2)$ के बाहर वर्धमान है। इसलिए,कथन $A$ सत्य है।
कथन $R$ के लिए,हम $f'(x) < 0$ स्थिति की जाँच करते हैं। यह असमिका $6(x-1)(x-2) < 0$ तब सत्य होती है जब $x \in (1,2)$ हो। अतः,कथन $R$ सत्य है।
चूँकि कथन $A$ वर्धमान व्यवहार का वर्णन करता है और कथन $R$ ह्रासमान व्यवहार का वर्णन करता है,इसलिए $R$,$A$ का कारण नहीं है। अतः,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं,लेकिन $R$,$A$ का सही स्पष्टीकरण नहीं है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x - \log \left(\frac{1+x}{x}\right), x > 0$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx} \log \left(\frac{1+x}{x}\right) = 1 - \frac{x}{1+x} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} + 1 \right) = 1 - \frac{x}{1+x} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = 1 + \frac{1}{x(1+x)}$।
चूँकि $x > 0$,इसलिए $x(1+x) > 0$,अतः सभी $x > 0$ के लिए $f^{\prime}(x) = 1 + \frac{1}{x(1+x)} > 1 > 0$ है।
चूँकि डोमेन के सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है और इसका कोई स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।
कारण $(R)$ बताता है कि यदि फलन निरंतर वर्धमान है,तो $f^{\prime}(x) \neq 0$ होता है। यह निरंतर वर्धमान फलनों का एक मानक गुण है।
अतः,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) दिया गया है $f(x) = \int_x^{x+1} e^{-t^2} dt$।
समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = e^{-(x+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) - e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$f'(x) = e^{-(x+1)^2} - e^{-x^2}$
$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$e^{-(x+1)^2} - e^{-x^2} < 0$
$e^{-(x+1)^2} < e^{-x^2}$
चूंकि घातांकीय फलन $e^u$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$-(x+1)^2 < -x^2$
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाएगी:
$(x+1)^2 > x^2$
$x^2 + 2x + 1 > x^2$
$2x + 1 > 0$
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$
अतः,वह अंतराल जिसमें $f(x)$ ह्रासमान है,वह $\left(-\frac{1}{2}, \infty\right)$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2!}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = -\sin x + x$ प्राप्त होता है।
$x > 0$ के लिए,हम जानते हैं कि $x > \sin x$,जिसका अर्थ है कि $x - \sin x > 0$। अतः,$x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
$x < 0$ के लिए,हम जानते हैं कि $x < \sin x$,जिसका अर्थ है कि $x - \sin x < 0$। अतः,$x < 0$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ का चिह्न $x = 0$ पर बदलता है,इसलिए फलन $f(x)$ पूरे प्रांत $R$ पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान।

(C) दिया गया है $f(x) = x^{13} + x^{11} + x^{9} + x^{7} + x^{5} + x^{3} + x + 19$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 13x^{12} + 11x^{10} + 9x^{8} + 7x^{6} + 5x^{4} + 3x^{2} + 1$.
चूंकि $f'(x)$ में $x$ के सभी घातांक सम हैं और गुणांक धनात्मक हैं,इसलिए सभी वास्तविक $x$ के लिए $f'(x) \geq 1$ है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान फलन $x$-अक्ष को अधिकतम एक बार काट सकता है।
इसलिए,$f(x) = 0$ के एक से अधिक वास्तविक मूल नहीं हैं।

(B) दिया गया है $\phi(x) = f(x) + f(2a - x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(2a - x)$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि सभी $x \in [0, a]$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
$x \in [0, a]$ के लिए,हमारे पास $x < 2a - x$ है।
चूंकि $f^{\prime}(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए $x < 2a - x$ का अर्थ है $f^{\prime}(x) < f^{\prime}(2a - x)$।
अतः,सभी $x \in [0, a]$ के लिए $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(2a - x) < 0$ है।
चूंकि $[0, a]$ पर $\phi^{\prime}(x) < 0$ है,इसलिए $\phi(x)$ अंतराल $[0, a]$ पर एक ह्रासमान फलन है।

(A) दिया गया है $\phi(x) = f(x) + f(1-x)$.
एकदिष्टता निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x)$.
चूंकि $f^{\prime \prime}(x) < 0$,फलन $f^{\prime}(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
यदि $x < \frac{1}{2}$ है,तो $x < 1-x$ होता है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x) > f^{\prime}(1-x)$ क्योंकि $f^{\prime}$ ह्रासमान है।
अतः,$x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$ के लिए $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x) > 0$,इसलिए $\phi(x)$ अंतराल $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ में वर्धमान है।
यदि $x > \frac{1}{2}$ है,तो $x > 1-x$ होता है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x) < f^{\prime}(1-x)$ क्योंकि $f^{\prime}$ ह्रासमान है।
अतः,$x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ के लिए $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x) < 0$,इसलिए $\phi(x)$ अंतराल $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ में ह्रासमान है।

(B) माना $f(x) = \cos x + x \sin x - 1$.
$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन ज्ञात कीजिए:
$f'(x) = -\sin x + (1 \cdot \sin x + x \cos x) = x \cos x$.
$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$x > 0$ और $\cos x > 0$ दोनों हैं।
इसलिए,$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f'(x) = x \cos x > 0$ है।
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।
चूंकि $f(x)$ एक वर्धमान फलन है,किसी भी $x > 0$ के लिए,$f(x) > f(0)$ होगा।
$f(0)$ की गणना करें:
$f(0) = \cos(0) + 0 \cdot \sin(0) - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$.
अतः,$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f(x) > 0$ है।
$\cos x + x \sin x - 1 > 0$
$\cos x + x \sin x > 1$.

(A) दिया गया है $f(x) = \cos \left(\frac{\pi}{x}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = -\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \cdot \left(-\frac{\pi}{x^2}\right) = \frac{\pi}{x^2} \sin \left(\frac{\pi}{x}\right)$.
फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $\frac{\pi}{x^2} > 0$ है,इसलिए $\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) > 0$ होना आवश्यक है।
यह तब होता है जब $2k\pi < \frac{\pi}{x} < (2k+1)\pi$ हो।
$\pi$ से भाग देने पर,$2k < \frac{1}{x} < 2k+1$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,असमिका बदल जाती है: $\frac{1}{2k+1} < x < \frac{1}{2k}$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left(\frac{1}{2k+1}, \frac{1}{2k}\right)$ में वर्धमान है।
फलन $f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) < 0$।
यह तब होता है जब $(2k+1)\pi < \frac{\pi}{x} < (2k+2)\pi$ हो।
$\pi$ से भाग देने पर,$2k+1 < \frac{1}{x} < 2k+2$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{2k+2} < x < \frac{1}{2k+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left(\frac{1}{2k+2}, \frac{1}{2k+1}\right)$ में ह्रासमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos x - Kx + 5$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \cos x + \sin x - K$ प्राप्त होता है।
फलन के सभी $x > 0$ के लिए ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\cos x + \sin x - K \leq 0$,या $K \geq \cos x + \sin x$।
हम जानते हैं कि $\cos x + \sin x$ का अधिकतम मान $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ होता है।
इसलिए,$K \geq \cos x + \sin x$ को सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$K$ का मान $\cos x + \sin x$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$K \geq \sqrt{2}$।

(A) दिया गया फलन $f(x)=e^{x}(x-2)^{2}$ है।
वर्धमान और ह्रासमान के अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}[e^{x}(x-2)^{2}]$
गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$f^{\prime}(x) = e^{x}(x-2)^{2} + e^{x} \cdot 2(x-2)$
$f^{\prime}(x) = e^{x}(x-2)[(x-2) + 2]$
$f^{\prime}(x) = x(x-2)e^{x}$
अब,हम $f^{\prime}(x)$ का चिह्न निर्धारित करते हैं:
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{x} > 0$ है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ का चिह्न $x(x-2)$ पर निर्भर करता है।
- $x \in (-\infty, 0)$ के लिए,$x < 0$ और $(x-2) < 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) > 0$ (वर्धमान)।
- $x \in (0, 2)$ के लिए,$x > 0$ और $(x-2) < 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) < 0$ (ह्रासमान)।
- $x \in (2, \infty)$ के लिए,$x > 0$ और $(x-2) > 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) > 0$ (वर्धमान)।
अतः,$f$ अंतराल $(-\infty, 0)$ और $(2, \infty)$ में वर्धमान है और $(0, 2)$ में ह्रासमान है।

(D) दिया गया फलन $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{\cos t}{1+t^{2}} dt$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 2\pi$ है।
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम लीबनिज नियम का उपयोग करके अवकलज $F'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$F'(x) = \frac{\cos x}{1+x^{2}}$.
चूंकि सभी $x$ के लिए $1+x^{2} > 0$ है,इसलिए $F'(x)$ का चिह्न केवल $\cos x$ पर निर्भर करता है।
$F(x)$ वर्धमान है जब $F'(x) > 0$,जो तब होता है जब $\cos x > 0$ हो। अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x > 0$ तब होता है जब $x \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ हो।
$F(x)$ ह्रासमान है जब $F'(x) < 0$,जो तब होता है जब $\cos x < 0$ हो। अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x < 0$ तब होता है जब $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ हो।
अतः,$F$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ और $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ में वर्धमान है और $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में ह्रासमान है।

(D) दिया गया है,$f(x) f^{\prime}(x) < 0$। इसका तात्पर्य यह है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x)$ और $f^{\prime}(x)$ के चिह्न विपरीत हैं।
फलन $g(x) = |f(x)|$ पर विचार करें।
तब $g(x)^2 = |f(x)|^2 = f(x)^2$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2g(x) g^{\prime}(x) = 2f(x) f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$g^{\prime}(x) = \frac{f(x) f^{\prime}(x)}{g(x)} = \frac{f(x) f^{\prime}(x)}{|f(x)|}$।
चूंकि $f(x) f^{\prime}(x) < 0$ और सभी $x$ के लिए जहाँ $f(x) \neq 0$ है,$|f(x)| > 0$ है,इसलिए $g^{\prime}(x) < 0$ होता है।
अतः,$|f(x)|$ एक ह्रासमान फलन है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{cases}$ है।
सबसे पहले,$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं।
$f(0) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - 3) = -3$.
चूँकि $f(0) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर असंतत है।
अब,अंतराल $x > 0$ पर विचार करें। किसी भी $x_1, x_2$ के लिए जहाँ $0 < x_1 < x_2$,हमारे पास $f(x_1) = x_1 - 3$ और $f(x_2) = x_2 - 3$ है। चूँकि $x_1 < x_2$,इसलिए $x_1 - 3 < x_2 - 3$ होगा,जिसका अर्थ है कि $f(x_1) < f(x_2)$। अतः,फलन $x > 0$ के लिए निरंतर वर्धमान है।
हालाँकि,फलन के अंतराल $[0, \infty)$ पर वर्धमान होने के लिए,इसे $[0, \infty)$ पर संतत होना चाहिए। चूँकि यह $x = 0$ पर असंतत है,इसलिए यह $[0, \infty)$ पर वर्धमान नहीं है।
इस प्रकार,फलन जब $x > 0$ हो तो निरंतर वर्धमान है।

(A) एक फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान (strictly increasing) होता है यदि उसके प्रांत के सभी $x$ के लिए उसका अवकलज $f'(x) > 0$ हो।
दिया गया फलन $f(x) = ax + b$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = \frac{d}{dx}(ax + b) = a$ प्राप्त होता है।
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
अवकलज का मान रखने पर,हमें $a > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $a > 0$ होने पर निरंतर वर्धमान है।

(B) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 40$ किस अंतराल में ह्रासमान (monotonically decreasing) है,हम पहले इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 40) = 4x^3 - 12x^2 + 8x$.
अब,अवकलज का गुणनखंड करते हैं:
$f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)$.
एक फलन ह्रासमान होता है जब $f'(x) < 0$ हो।
हम वेवी कर्व (wavy curve) विधि का उपयोग करके $f'(x) = 4x(x - 1)(x - 2)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:
- $x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$.
- $0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$.
- $1 < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$.
- $x > 2$ के लिए,$f'(x) > 0$.
अतः,फलन $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2)$ के लिए ह्रासमान है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही अंतराल $1 < x < 2$ है।

(C) यह दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $p^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए बहुपद $p(x)$ पूरी वास्तविक रेखा पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।
चूंकि $p(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए इसका अधिकतम एक वास्तविक मूल हो सकता है।
हमें $p(0) = 1$ दिया गया है।
चूंकि $p(x)$ निरंतर वर्धमान है और $p(0) = 1 > 0$ है,किसी भी $x > 0$ के लिए,$p(x) > p(0) = 1$ होगा,इसलिए $p(x)$ का कोई धनात्मक वास्तविक मूल नहीं हो सकता।
जैसे $x \to -\infty$,$p(x) \to -\infty$ (यदि घात विषम है)।
चूंकि $p(0) = 1$ है और फलन सतत और निरंतर वर्धमान है,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,कोई $x_0 < 0$ मौजूद होना चाहिए जिसके लिए $p(x_0) = 0$ हो।
अतः,$p(x)$ का ठीक एक ऋणात्मक वास्तविक मूल है।

(A) दिया गया है $g(x) = f((\tan x - 1)^{2} + a - 1)$।
अवकलन करने पर,$g^{\prime}(x) = f^{\prime}((\tan x - 1)^{2} + a - 1) \cdot 2(\tan x - 1) \cdot \sec^{2}x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f^{\prime\prime}(x) > 0$,$f^{\prime}(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
हमें दिया गया है कि $f^{\prime}(a-1) = 0$ है।
यदि $(\tan x - 1)^{2} > 0$ है,तो $(\tan x - 1)^{2} + a - 1 > a - 1$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}((\tan x - 1)^{2} + a - 1) > f^{\prime}(a - 1) = 0$ है।
$x \in (0, \frac{\pi}{4})$ के लिए,$\tan x < 1$,इसलिए $(\tan x - 1) < 0$ है। अतः $g^{\prime}(x) = (\text{धनात्मक}) \cdot (\text{ऋणात्मक}) \cdot (\text{धनात्मक}) < 0$ है। इसलिए $g$,$(0, \frac{\pi}{4})$ में ह्रासमान है।
$x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$\tan x > 1$,इसलिए $(\tan x - 1) > 0$ है। अतः $g^{\prime}(x) = (\text{धनात्मक}) \cdot (\text{धनात्मक}) \cdot (\text{धनात्मक}) > 0$ है। इसलिए $g$,$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ में वर्धमान है।
अतः,न तो कथन $(I)$ और न ही $(II)$ सत्य है।

(A) एक फलन $f(x)$ किसी अंतराल पर निरंतर ह्रासमान होता है यदि उसका अवकलज $f'(x) < 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = \tan x - 4x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = \sec^2 x - 4$ प्राप्त होता है।
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) < 0$ की आवश्यकता है।
$\sec^2 x - 4 < 0$
$\sec^2 x < 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|\sec x| < 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\sec x| = 1/|\cos x|$,इसका अर्थ है $1/|\cos x| < 2$,जिसका तात्पर्य है $|\cos x| > 1/2$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$ हो।

(A) वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन $y = x^2 e^{-x}$ ह्रासमान (decreasing) है,हम इसका अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x} (2 - x)$.
एक फलन ह्रासमान होता है जब $\frac{dy}{dx} < 0$ हो।
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए असमिका $\frac{dy}{dx} < 0$ सरल होकर $x(2 - x) < 0$ हो जाती है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है: $x(x - 2) > 0$.
यह असमिका $x < 0$ या $x > 2$ के लिए सत्य है।
अतः,फलन $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ अंतराल में ह्रासमान है।