Increasing and Decreasing function Questions in Hindi

(B) दिया गया है $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$.
वर्धमान या ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं।
गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.
अतः,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{x-x^2} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(2x+1)(1-x)$ पर निर्भर करता है।
$f'(x) > 0$ तब होता है जब $(2x+1)(1-x) > 0$,जिसका अर्थ है $-\frac{1}{2} < x < 1$.
इस प्रकार,$f(x)$ अंतराल $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ में वर्धमान है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ है।
हम इसे $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2\sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -\sin(4x)$।
फलन तब वर्धमान होता है जब $f'(x) > 0$,जिसका अर्थ है $-\sin(4x) > 0$,या $\sin(4x) < 0$।
यह $\pi < 4x < 2\pi$ के लिए होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ है।
निरंतर ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{x}{2} + 2x^{-1}) = \frac{1}{2} - 2x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} < 0 \implies \frac{x^2 - 4}{2x^2} < 0$.
चूंकि सभी $x \neq 0$ के लिए $2x^2 > 0$ है,इसलिए असमिका तब सत्य होती है जब $x^2 - 4 < 0$ हो।
$(x - 2)(x + 2) < 0$.
यह असमिका $x \in (-2, 2)$ के लिए सत्य है।
चूंकि $x \neq 0$ है,इसलिए फलन अंतराल $(-2, 0) \cup (0, 2)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x)$ कहाँ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
दिया गया है $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$।
$f(x)$ का प्रांत (domain) $x > -1$ है।
$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log(1+x)] - \frac{d}{dx} [\frac{2x}{2+x}]$।
दूसरे पद के लिए भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dx} [\frac{2x}{2+x}] = \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2} = \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{4}{(2+x)^2}$।
अतः,$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$।
$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+4x+x^2-4-4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$।
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $x^2 \ge 0$ और $(2+x)^2 > 0$ प्रांत के सभी $x$ के लिए है,इसलिए $f'(x) > 0$ तभी होगा जब $1+x > 0$,जिसका अर्थ है $x > -1$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-1, \infty)$ में वर्धमान है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = [x(x-2)]^2 = (x^2 - 2x)^2$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = 2(x^2 - 2x)(2x - 2) = 4x(x-2)(x-1)$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$4x(x-1)(x-2) > 0$।
क्रांतिक बिंदुओं $x = 0, 1, 2$ के लिए वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर:
- यदि $x > 2$ है,तो सभी गुणनखंड $(x), (x-1), (x-2)$ धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$।
- यदि $1 < x < 2$ है,तो $(x)$ धनात्मक,$(x-1)$ धनात्मक और $(x-2)$ ऋणात्मक है,इसलिए $f'(x) < 0$।
- यदि $0 < x < 1$ है,तो $(x)$ धनात्मक,$(x-1)$ ऋणात्मक और $(x-2)$ ऋणात्मक है,इसलिए $f'(x) > 0$।
- यदि $x < 0$ है,तो सभी गुणनखंड ऋणात्मक हैं,इसलिए $f'(x) < 0$।
अतः,$f'(x) > 0$ अंतराल $(0, 1) \cup (2, \infty)$ में प्राप्त होता है।
इसलिए,फलन $(0, 1) \cup (2, \infty)$ में वर्धमान है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
द्विघात समीकरण $f'(x)$ का विविक्तकर (discriminant) $D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c$ है।
चूंकि $b^2 < c$,इसलिए $4b^2 < 4c$ है।
अतः,$D = 4b^2 - 12c < 4c - 12c = -8c$।
चूंकि $0 < b^2 < c$,इसका अर्थ है $c > 0$। इसलिए,$D < 0$।
चूंकि $f'(x)$ का मुख्य गुणांक $3 > 0$ है और $D < 0$ है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।

(C) माना $f(x) = \frac{\ln(\pi+x)}{\ln(e+x)}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{\ln(e+x) \cdot \frac{1}{\pi+x} - \ln(\pi+x) \cdot \frac{1}{e+x}}{[\ln(e+x)]^2}$.
अंश को सरल करने पर,$f'(x) = \frac{(e+x)\ln(e+x) - (\pi+x)\ln(\pi+x)}{(\pi+x)(e+x)[\ln(e+x)]^2}$.
फलन $g(t) = t \ln(t)$ पर विचार करें। इसका अवकलज $g'(t) = 1 + \ln(t)$ है। $t > 1$ के लिए,$g'(t) > 0$,इसलिए $g(t)$ एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $\pi > e > 1$,$x > 0$ के लिए,$\pi+x > e+x > e > 1$ है।
चूंकि $g(t)$ वर्धमान है,$g(\pi+x) > g(e+x)$,जिसका अर्थ है कि $(\pi+x)\ln(\pi+x) > (e+x)\ln(e+x)$।
इसलिए,$(e+x)\ln(e+x) - (\pi+x)\ln(\pi+x) < 0$।
चूंकि हर $x > 0$ के लिए हमेशा धनात्मक है,$f'(x) < 0$ सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूँकि $x > 0$ के लिए $x^2 > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है $1 - \log x > 0$।
यह $1 > \log x$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\log x < 1$।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,हमें $x < e^1$ या $x < e$ प्राप्त होता है।
दिए गए प्रांत $x > 0$ को देखते हुए,फलन अंतराल $(0, e)$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 6x + 5$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x + 5) = 6x^2 - 6$.
एक फलन वर्धमान होता है जब $f'(x) > 0$ हो।
अतः,$6x^2 - 6 > 0$.
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 - 1 > 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x - 1)(x + 1) > 0$ हैं।
असमिका $(x - 1)(x + 1) > 0$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,यह व्यंजक तब धनात्मक होता है जब $x > 1$ या $x < -1$ हो।
इस प्रकार,फलन $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ के लिए वर्धमान है।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$.
अवकलन ज्ञात करने पर: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$.
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए शर्त $f'(x) < 0$ है।
अतः,$3x^2 - 12x + 9 < 0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^2 - 4x + 3 < 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x - 1) < 0$.
असमिका के चिह्न योजना का उपयोग करने पर,यह व्यंजक $1$ और $3$ के बीच ऋणात्मक होता है।
इसलिए,$x \in (1, 3)$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$.
यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x)$ वर्धमान है या ह्रासमान,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\frac{d}{dx}(\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}) = \frac{1 \cdot \sqrt{a^2+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}}{a^2+x^2} = \frac{a^2+x^2-x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}$.
इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए,मान लीजिए $u = d-x$,तो $\frac{d}{dx}(-\frac{u}{\sqrt{b^2+u^2}}) = -\frac{d}{du}(\frac{u}{\sqrt{b^2+u^2}}) \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{b^2}{(b^2+u^2)^{3/2}} \cdot (-1) = \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
अतः,$f'(x) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
चूंकि $a^2 > 0$ और $b^2 > 0$,पद $(a^2+x^2)^{3/2}$ और $(b^2+(d-x)^2)^{3/2}$ हमेशा धनात्मक हैं।
इसलिए,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि $f'(x) > 0$,$f(x)$ $x$ का एक वर्धमान फलन है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 10x^2 + 200x - 10$ है।
फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने की जाँच करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 10x^2 + 200x - 10) = 3x^2 - 20x + 200$.
$f'(x)$ के चिह्न की जाँच करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक $3x^2 - 20x + 200$ का विश्लेषण करते हैं।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(3)(200) = 400 - 2400 = -2000$.
चूँकि $D < 0$ है और $x^2$ का गुणांक (जो $3$ है) धनात्मक है,इसलिए द्विघात व्यंजक $3x^2 - 20x + 200$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक रहेगा।
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ पूरी वास्तविक रेखा पर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 2$.
अवकलज ज्ञात करने पर: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$6x^2 - 18x + 12 < 0$.
$6$ से भाग देने पर: $x^2 - 3x + 2 < 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 1)(x - 2) < 0$.
असमानता के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,यह व्यंजक $x = 1$ और $x = 2$ के बीच ऋणात्मक है।
अतः,फलन अंतराल $(1, 2)$ में ह्रासमान है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^2 e^{-x}$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x)$ निरंतर वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) e^{-x} + x^2 \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x}(2 - x)$.
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ होता है,इसलिए असमिका $x e^{-x}(2 - x) > 0$ सरल होकर $x(2 - x) > 0$ हो जाती है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है: $x(x - 2) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $0$ और $2$ के बीच हो।
अतः,$x \in (0, 2)$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$.
$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{(c \sin x + d \cos x)(a \cos x - b \sin x) - (a \sin x + b \cos x)(c \cos x - d \sin x)}{(c \sin x + d \cos x)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$= (ac \sin x \cos x - bc \sin^2 x + ad \cos^2 x - bd \sin x \cos x) - (ac \sin x \cos x - ad \sin^2 x + bc \cos^2 x - bd \sin x \cos x)$.
$= ac \sin x \cos x - bc \sin^2 x + ad \cos^2 x - bd \sin x \cos x - ac \sin x \cos x + ad \sin^2 x - bc \cos^2 x + bd \sin x \cos x$.
$= ad(\sin^2 x + \cos^2 x) - bc(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
$= ad - bc$.
चूंकि हर $(c \sin x + d \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $f'(x) < 0$ के लिए,हमें $ad - bc < 0$ की आवश्यकता है।

(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1-x)}$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = x \cdot e^{x(1-x)} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) + e^{x(1-x)} \cdot 1$.
$f'(x) = x e^{x(1-x)}(1-2x) + e^{x(1-x)}$.
$f'(x) = e^{x(1-x)} [x(1-2x) + 1] = e^{x(1-x)} (x - 2x^2 + 1)$.
$f'(x) = e^{x(1-x)} (-2x^2 + x + 1) = -e^{x(1-x)} (2x^2 - x - 1)$.
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x+1)(x-1) = e^{x(1-x)} (2x+1)(1-x)$.
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
चूंकि $e^{x(1-x)} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,हमें $(2x+1)(1-x) \geq 0$ की आवश्यकता है।
यह असमिका $x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ के लिए सत्य है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ में वर्धमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
हम इसे $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = -2\sin 2x \cos 2x = -\sin 4x$ प्राप्त होता है।
फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए,अतः $-\sin 4x > 0$,जिसका अर्थ है $\sin 4x < 0$।
ज्या (sine) फलन तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए $\pi < 4x < 2\pi$।
$4$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
द्विघात व्यंजक $3x^2 + 2bx + c$ हमेशा धनात्मक होता है यदि इसका विविक्तकर $D < 0$ हो और $x^2$ का गुणांक धनात्मक हो।
यहाँ,$D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c = 4(b^2 - 3c)$.
चूंकि $0 < b^2 < c$,इसलिए $b^2 - 3c < c - 3c = -2c < 0$ (जहाँ $c > 0$ है)।
अतः,$D < 0$ होने के कारण,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
इसलिए,$f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2-3x+2}{x^4+1} \, dx$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,अवकलज $f'(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^4+1}$ है।
फलन $f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^4+1 > 0$ है,इसलिए $f'(x) < 0$ की शर्त $x^2-3x+2 < 0$ के समतुल्य है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(x-1)(x-2) < 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के मूल $x=1$ और $x=2$ हैं।
अंतरालों की जांच करने पर,व्यंजक $(x-1)(x-2)$ का मान $x \in (1, 2)$ के लिए ऋणात्मक है।
अतः,फलन अंतराल $(1, 2)$ में ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+2)e^{-x}$ है।
वर्धमान और ह्रासमान के अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x+2) \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot (-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x}(1 - (x+2))$
$f'(x) = e^{-x}(1 - x - 2)$
$f'(x) = -e^{-x}(x+1)$
अब,हम $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $-(x+1)$ पर निर्भर करता है।
$1$. यदि $x < -1$ है,तो $(x+1) < 0$ होगा,इसलिए $-(x+1) > 0$ होगा। अतः,$f'(x) > 0$ है,और फलन $(-\infty, -1)$ में एकदिष्ट वर्धमान है।
$2$. यदि $x > -1$ है,तो $(x+1) > 0$ होगा,इसलिए $-(x+1) < 0$ होगा। अतः,$f'(x) < 0$ है,और फलन $(-1, \infty)$ में एकदिष्ट ह्रासमान है।
इसलिए,फलन $(-\infty, -1)$ में वर्धमान और $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \log(e + x) - \log(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{\{\log(e + x)\}^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x) \log(e + x) - (\pi + x) \log(\pi + x)}{(\pi + x)(e + x) \{\log(e + x)\}^2}$.
मान लीजिए $g(x) = (e + x) \log(e + x) - (\pi + x) \log(\pi + x)$.
तब $g'(x) = \log(e + x) + 1 - (\log(\pi + x) + 1) = \log(e + x) - \log(\pi + x)$.
चूंकि $\pi > e$,$x > 0$ के लिए $\pi + x > e + x$,इसलिए $\log(\pi + x) > \log(e + x)$.
अतः,$g'(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $g(0) = e \log e - \pi \log \pi = e - \pi \log \pi < 0$ (क्योंकि $e < \pi \log \pi$),और $g(x)$ ह्रासमान है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $g(x) < 0$ होगा।
अतः,सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $f'(x) < 0$,जो दर्शाता है कि $f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन: $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+29$
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में एकदिष्ट वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2 x^3-9 x^2+12 x+29) = 6 x^2-18 x+12$
अवकलज का गुणनखंड करने पर:
$f^{\prime}(x) = 6(x^2-3 x+2) = 6(x-1)(x-2)$
फलन के एकदिष्ट वर्धमान होने के लिए,हमें $f^{\prime}(x) > 0$ की आवश्यकता है:
$6(x-1)(x-2) > 0$
संख्या रेखा पर क्रांतिक बिंदुओं $x=1$ और $x=2$ का उपयोग करके चिह्न योजना:
- $x < 1$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (धनात्मक)
- $1 < x < 2$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ (ऋणात्मक)
- $x > 2$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (धनात्मक)
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, 1) \cup(2, \infty)$ में एकदिष्ट वर्धमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\log x}$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x)$ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{(\log x)(1) - (x)(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$.
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि $(\log x)^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न अंश $\log x - 1$ पर निर्भर करता है।
$\log x - 1 > 0 \Rightarrow \log x > 1 \Rightarrow x > e$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(e, \infty)$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{8^x} = 8^{-x}$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(8^{-x}) = 8^{-x} \cdot \ln(8) \cdot (-1)$.
$f'(x) = -\frac{\ln(8)}{8^x}$.
चूंकि सभी $x \in [1, 3]$ के लिए $8^x > 0$ और $\ln(8) > 0$ है,इसलिए व्यंजक $f'(x) = -\frac{\ln(8)}{8^x}$ सभी $x \in [1, 3]$ के लिए हमेशा ऋणात्मक होगा।
चूंकि $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ पर एक ह्रासमान फलन है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \cot^{-1} x + x$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) + \frac{d}{dx}(x) = -\frac{1}{1+x^2} + 1$.
व्यंजक को सरल करने पर: $f'(x) = \frac{-1 + (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$.
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^2 \geq 0$ और $1+x^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होने के कारण,फलन $f(x)$ पूरी वास्तविक रेखा $(-\infty, \infty)$ पर वर्धमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$ है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके,हम $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
अंश $= (2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x)$.
अंश को सरल करने पर:
अंश $= 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x$.
अंश $= 3\lambda(\sin^2 x + \cos^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x) = 3\lambda - 12$.
चूंकि हर $(2 \sin x + 3 \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,$f'(x) \geq 0$ का अर्थ है कि $3\lambda - 12 \geq 0$.
अतः,$3\lambda \geq 12$,जिससे हमें $\lambda \geq 4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \log |\sin x|$ है,जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।
चूँकि $x \in (0, \pi)$,$\sin x$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए हम $f(x) = \log(\sin x)$ लिख सकते हैं।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल पर निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
अतः,$\cot x > 0$ होना चाहिए।
अंतराल $(0, \pi)$ में,$\cot x$ का मान $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए धनात्मक होता है।
इस प्रकार,फलन $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर निरंतर वर्धमान है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = e^{-1/x}$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-1/x}) = e^{-1/x} \cdot \frac{d}{dx}(-x^{-1}) = e^{-1/x} \cdot (x^{-2}) = \frac{1}{x^2 e^{1/x}}$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि $x^2 > 0$ सभी $x \neq 0$ के लिए सत्य है और $e^{1/x} > 0$ भी सभी $x \neq 0$ के लिए सत्य है,इसलिए अवकलज $f'(x) = \frac{1}{x^2 e^{1/x}}$ अपने प्रांत में सदैव धनात्मक है।
फलन $f(x) = e^{-1/x}$ का प्रांत $x = 0$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
अतः,फलन सभी $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ के लिए निरंतर वर्धमान है।

(D) दिया गया है $f(x) = \log x - \frac{2x}{x+2}$।
फलन का प्रांत $x > 0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{(x+2)(2) - 2x(1)}{(x+2)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{(x+2)^2}$
$f'(x) = \frac{(x+2)^2 - 4x}{x(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 4 - 4x}{x(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4}{x(x+2)^2}$
चूंकि $x^2 + 4 > 0$ और $(x+2)^2 > 0$ प्रांत के सभी $x > 0$ के लिए है,इसलिए $f'(x) > 0$ सभी $x > 0$ के लिए है।
अतः,फलन $x \in (0, \infty)$ के लिए निरंतर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{a^x} = a^{-x}$ है,जहाँ $a > 0$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(a^{-x}) = -a^{-x} \cdot \ln(a)$.
चूंकि सभी $x$ के लिए $a^x > 0$ और $a > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $a$ के मान पर निर्भर करता है:
$1$. यदि $a > 1$ है,तो $\ln(a) > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $f'(x) < 0$,अतः फलन ह्रासमान है।
$2$. यदि $0 < a < 1$ है,तो $\ln(a) < 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $f'(x) > 0$,अतः फलन वर्धमान है।
$3$. यदि $a = 1$ है,तो $f(x) = 1$ होगा,जो एक अचर फलन है।
मानक पाठ्यपुस्तक संदर्भों में जहाँ $a > 1$ माना जाता है,फलन ह्रासमान होता है।

(C) दिया गया फलन: $f(x)=3x^{4}+16x^{3}-30x^{2}+10$
अवकलन ज्ञात करने पर: $f'(x)=12x^{3}+48x^{2}-60x$
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$12x^{3}+48x^{2}-60x > 0$
$12x$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$12x(x^{2}+4x-5) > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$12x(x+5)(x-1) > 0$
अंतराल ज्ञात करने के लिए,क्रांतिक बिंदु $x = -5, 0, 1$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x \in (-\infty, -5)$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x \in (-5, 0)$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$x \in (0, 1)$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
अतः,फलन $x \in (-5, 0) \cup (1, \infty)$ के लिए वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3$.
अवकलन का गुणनखंड करने पर:
$f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:
$3(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = 1, x = -1$.
ये बिंदु वास्तविक संख्या रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -1)$,$(-1, 1)$,और $(1, \infty)$.
$1$. $x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$x = -2$ लें: $f'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0$. अतः,$f(x)$ वर्धमान है।
$2$. $x \in (-1, 1)$ के लिए,$x = 0$ लें: $f'(0) = 3(0^2 - 1) = -3 < 0$. अतः,$f(x)$ ह्रासमान है।
$3$. $x \in (1, \infty)$ के लिए,$x = 2$ लें: $f'(2) = 3(2^2 - 1) = 3(3) = 9 > 0$. अतः,$f(x)$ वर्धमान है।
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ में वर्धमान है और $(-1, 1)$ में ह्रासमान है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$।
यह ज्ञात करने के लिए कि $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम भागफल नियम का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$।
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $(x^2+1)^2$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है $1-x^2 > 0$।
यह $x^2 - 1 < 0$ में सरल हो जाता है,जो $(x-1)(x+1) < 0$ है।
इस असमिका को हल करने पर,हमें $x \in (-1, 1)$ प्राप्त होता है।

(A) एक फलन $f(x)$ एकदिष्ट वर्धमान होता है यदि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \geq 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = kx - \sin x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = k - \cos x$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$k - \cos x \geq 0 \implies k \geq \cos x$.
चूंकि $\cos x$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए सभी $x$ के लिए $k \geq \cos x$ सत्य होने के लिए,$k$ का मान $\cos x$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$k \geq 1$.

(A) दिया गया है,$f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $x^2 \geq 0$ और $(2+x)^2 > 0$ है ($x > -1$ के लिए),इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(1+x)$ पर निर्भर करता है।
अतः,$f'(x) > 0$ तब होता है जब $1+x > 0$,जिसका अर्थ है $x > -1$.
हालाँकि,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ की शर्त स्पष्ट रूप से संतुष्ट होती है।
इसलिए,फलन $(0, \infty)$ पर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x^3 + 6x^2 - 36x + 7$
अवकलन करने पर: $f'(x) = 3x^2 + 12x - 36$
गुणनखंड करने पर: $f'(x) = 3(x^2 + 4x - 12) = 3(x + 6)(x - 2)$
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$3(x + 6)(x - 2) > 0$
$(x + 6)(x - 2) > 0$
द्विघात असमिका के चिह्न नियम के अनुसार,यह व्यंजक $x < -6$ या $x > 2$ के लिए धनात्मक है।
अतः,$x$ के मानों का परिसर $x \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ है।

(C) दिया गया समीकरण $f(x) = x^3+x-1 = 0$ है।
वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम फलन $f(x)$ के अवकलज का विश्लेषण करते हैं।
अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 1$ है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^2 \geq 0$ है,इसलिए $3x^2 + 1 \geq 1 > 0$ होता है।
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ पूरी वास्तविक रेखा पर निरंतर वर्धमान है।
एक निरंतर वर्धमान फलन $x$-अक्ष को अधिकतम एक बार काट सकता है।
हम विशिष्ट बिंदुओं पर फलन के मान देखते हैं:
$f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1$
$f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1$
चूंकि $f(0) < 0$ और $f(1) > 0$ है,इसलिए 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल $x$ मौजूद है जिसके लिए $f(x) = 0$ है।
चूंकि फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह मूल अद्वितीय है।
अतः,समीकरण का ठीक एक वास्तविक मूल है।

(B) दिया गया फलन $f(x)=2x^3-15x^2-144x-7$ है।
$f(x)$ के निरंतर ह्रासमान होने के अंतराल को ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3-15x^2-144x-7) = 6x^2-30x-144$.
$f(x)$ के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए:
$6x^2-30x-144 < 0$.
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2-5x-24 < 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(x-8)(x+3) < 0$.
यहाँ मूल $x=8$ और $x=-3$ हैं।
यह असमिका $x$ के $(-3, 8)$ अंतराल में होने पर सत्य है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-3, 8)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(C) दिया गया है $f(x) = (x + 2) e^{-x}$.
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = (x + 2) \frac{d}{dx}(e^{-x}) + e^{-x} \frac{d}{dx}(x + 2)$
$f'(x) = (x + 2)(-e^{-x}) + e^{-x}(1)$
$f'(x) = e^{-x} [-(x + 2) + 1] = e^{-x}(-x - 1) = -e^{-x}(x + 1)$.
चूंकि $e^{-x} > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$f'(x)$ का चिह्न $-(x + 1)$ पर निर्भर करता है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0 \Rightarrow -(x + 1) > 0 \Rightarrow x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, -1)$ में वर्धमान है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0 \Rightarrow -(x + 1) < 0 \Rightarrow x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = e^x - x$ और $g(x) = x^2 - x$।
$h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = e^{x^2-x} - (x^2-x) = e^{x^2-x} - x^2 + x$।
अब,$h(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h'(x) = e^{x^2-x}(2x-1) - 2x + 1$।
$h'(x) = (2x-1)(e^{x^2-x} - 1)$।
फलन $h(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $h'(x) \geq 0$ की आवश्यकता है।
$(2x-1)(e^{x^2-x} - 1) \geq 0$।
मान लीजिए $u = x^2-x$ है। चूँकि $e^u - 1$ का चिह्न $u$ के समान होता है,इसलिए $(2x-1)(x^2-x) \geq 0$।
$(2x-1)x(x-1) \geq 0$।
क्रांतिक बिंदुओं $0, \frac{1}{2}, 1$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर:
जब $x \in [0, \frac{1}{2}]$ है,तो $(2x-1) \leq 0$ और $x(x-1) \leq 0$ होता है,इसलिए गुणनफल $\geq 0$ है।
जब $x \in [1, \infty)$ है,तो $(2x-1) > 0$ और $x(x-1) \geq 0$ होता है,इसलिए गुणनफल $\geq 0$ है।
अतः,$h(x)$ अंतराल $x \in [0, \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$ में वर्धमान है।

(C) माना $f(x) = x^3 + x - 1$ है।
चूंकि $f(0) = -1 < 0$ और $f(1) = 1 > 0$,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल $c$ मौजूद है।
वैकल्पिक रूप से,अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 1$ पर विचार करें।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $3x^2 + 1 > 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान त्रिघात फलन $X$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर काटता है।
अतः,दिए गए समीकरण का ठीक एक वास्तविक मूल है।

(A) दिया गया है $f(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$.
सर्वसमिका $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \sin 3x$ प्राप्त होता है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x) = 3 \cos 3x$ निकालते हैं।
फलन के वर्धमान होने के लिए $f'(x) \geq 0$,जिसका अर्थ है $3 \cos 3x \geq 0$ या $\cos 3x \geq 0$।
कोसाइन फलन $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ अंतराल में अ-ऋणात्मक होता है।
अतः,$-\frac{\pi}{2} \leq 3x \leq \frac{\pi}{2}$।
$3$ से भाग देने पर,$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल की लंबाई $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।

(D) वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम $f(x) = \sin 3x$ का अवकलन करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3 \cos 3x$.
फलन के वर्धमान होने के लिए $f'(x) > 0$,अतः $3 \cos 3x > 0$,जिसका अर्थ है कि $\cos 3x > 0$.
यहाँ $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए $3x \in [0, \frac{3\pi}{2}]$.
$\cos 3x > 0$ तब होता है जब $3x \in [0, \frac{\pi}{2})$,अर्थात $x \in [0, \frac{\pi}{6})$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए $f'(x) < 0$,अतः $3 \cos 3x < 0$,जिसका अर्थ है कि $\cos 3x < 0$.
$\cos 3x < 0$ तब होता है जब $3x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$,अर्थात $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$.
अतः,फलन $[0, \frac{\pi}{6})$ पर वर्धमान और $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ पर ह्रासमान है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि अंतराल $I = \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ में कौन सा फलन ह्रासमान है,हम प्रत्येक फलन का अवकलज (derivative) ज्ञात करते हैं:
$A) f(x) = \tan 4x \implies f'(x) = 4 \sec^2 4x$. चूँकि $x \in I$ के लिए $\sec^2 4x > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$,अतः फलन वर्धमान (increasing) है।
$B) f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x$. चूँकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ के लिए $\cos x > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$,अतः फलन वर्धमान है।
$C) f(x) = \cos 4x \implies f'(x) = -4 \sin 4x$. $x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ के लिए,$4x \in (0, \frac{\pi}{2})$ होता है। इस अंतराल में,$\sin 4x > 0$ है,इसलिए $f'(x) = -4 \sin 4x < 0$ होता है। अतः,फलन ह्रासमान है।
$D) f(x) = -\cos x \implies f'(x) = \sin x$. चूँकि $x \in I$ के लिए $\sin x > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$,अतः फलन वर्धमान है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $y = f(x) = x^2 e^{-x}$ किस अंतराल पर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$.
$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x(2 - x) e^{-x}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $x(2 - x)$ पर निर्भर करता है।
$x(2 - x) > 0$ का अर्थ है $x(x - 2) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $0$ और $2$ के बीच हो।
अतः,फलन अंतराल $(0, 2)$ पर वर्धमान है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{\log_x e}$ है।
गुणधर्म $\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ का उपयोग करते हुए,फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = x \cdot \ln x$.
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन किस अंतराल पर वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$\ln x + 1 > 0$
$\ln x > -1$
$x > e^{-1}$
$x > \frac{1}{e}$.
चूंकि फलन का प्रांत $x \in \mathbb{R}^+ - \{1\}$ है,इसलिए फलन अंतराल $(\frac{1}{e}, 1) \cup (1, \infty)$ पर वर्धमान है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $D$ है।

(A) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = x + \sqrt{1 - x}$ कहाँ घटता है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}((1 - x)^{1/2}) = 1 + \frac{1}{2}(1 - x)^{-1/2}(-1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$.
फलन के घटने के लिए,हम $f'(x) < 0$ रखते हैं।
$1 - \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} < 0 \implies 1 < \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$.
चूँकि $0 < x < 1$,$\sqrt{1 - x}$ धनात्मक है,इसलिए हम असमिका के चिह्न को बदले बिना $2\sqrt{1 - x}$ से गुणा कर सकते हैं:
$2\sqrt{1 - x} < 1 \implies \sqrt{1 - x} < \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 - x < \frac{1}{4} \implies 1 - \frac{1}{4} < x \implies x > \frac{3}{4}$.
डोमेन $0 < x < 1$ को देखते हुए,फलन अंतराल $\left(\frac{3}{4}, 1\right)$ में घटता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $y = f(x) = 6 - 9x - x^2$ किस अंतराल पर निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(6 - 9x - x^2) = -9 - 2x$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,हमारे पास $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
अतः,$-9 - 2x > 0$.
$-2x > 9$.
$-2$ से भाग देने पर असमिका बदल जाएगी: $x < -4.5$.
इस प्रकार,फलन अंतराल $(-\infty, -4.5)$ पर निरंतर वर्धमान है।