Area bounded by region of single curve Questions in Hindi

(D) वक्र $y = \ln(x)$ और रेखाओं $y = 0$,$y = \ln(3)$ तथा $x = 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$y$ के सापेक्ष समाकलन करना अधिक सरल है।
दिया गया है $y = \ln(x)$,इसलिए $x = e^y$ है।
यह क्षेत्र $y = 0$ ($x$-अक्ष) और $y = \ln(3)$ के बीच स्थित है,और वक्र $x = e^y$ का विस्तार $x = 0$ से $x = 3$ तक है।
क्षेत्रफल $A$,$y = 0$ से $y = \ln(3)$ तक $x$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन है:
$A = \int_{0}^{\ln(3)} e^y \, dy$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [e^y]_{0}^{\ln(3)}$
$A = e^{\ln(3)} - e^0$
$A = 3 - 1$
$A = 2$
अतः,क्षेत्रफल $2$ है।

(D) दिया गया परवलय $y = 9x^2$ है,जिसका अर्थ है $x^2 = y/9$। प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$x = \sqrt{y}/3$ होगा।
वक्र $x = f(y)$,$y$-अक्ष $(x = 0)$,और रेखाओं $y = 1$ तथा $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y}}{3} \, dy$
$A = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
घात नियम $\int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$A = \frac{1}{3} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{2}{9} \left( 4^{3/2} - 1^{3/2} \right)$
$A = \frac{2}{9} (8 - 1) = \frac{2}{9} \times 7 = \frac{14}{9} \text{ वर्ग इकाई।}$

(B) फलन $y = |\cos x - \sin x|$ है।
अंतराल $[0, \pi/4]$ में,$\cos x \geq \sin x$,इसलिए $y = \cos x - \sin x$ है।
अंतराल $[\pi/4, \pi/2]$ में,$\sin x \geq \cos x$,इसलिए $y = \sin x - \cos x$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) \, dx$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} + [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$A = ((\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)) - (\sin(0) + \cos(0))) + ((-\cos(\pi/2) - \sin(\pi/2)) - (-\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)))$
$A = ((\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)) + ((0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}))$
$A = (\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2})$
$A = 2\sqrt{2} - 2$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया क्षेत्र एक वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ है जिसकी त्रिज्या $r = 2$ और केंद्र $(0, 0)$ है। रेखा $y = x + 2$ बिंदुओं $(-2, 0)$ और $(0, 2)$ से होकर गुजरती है।
मान लीजिए $I$ छोटा भाग है और $II$ वृत्त का बड़ा भाग है।
छोटे भाग $I$ का क्षेत्रफल समाकलन द्वारा इस प्रकार है:
$I$ का क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{0} [\sqrt{4 - x^2} - (x + 2)] dx$
$= [\frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{-2}^{0} - [\frac{x^2}{2} + 2x]_{-2}^{0}$
$= [0 + 2 \sin^{-1}(0)] - [(-1) \sqrt{0} + 2 \sin^{-1}(-1)] - [0 - (\frac{4}{2} - 4)]$
$= [0 - 2(-\frac{\pi}{2})] - [0 - (-2)]$
$= \pi - 2$
अब,बड़े भाग $II$ का क्षेत्रफल:
$II$ का क्षेत्रफल $= \text{वृत्त का क्षेत्रफल} - I$ का क्षेत्रफल
$= 4\pi - (\pi - 2) = 3\pi + 2$
अतः,अभीष्ट अनुपात है:
$\frac{I \text{ का क्षेत्रफल}}{II \text{ का क्षेत्रफल}} = \frac{\pi - 2}{3\pi + 2}$

(B) यह क्षेत्र वक्र $y = x^3$,रेखा $y = 8$ और $y$-अक्ष $(x = 0)$ द्वारा परिबद्ध है।
$y$-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं: $x = y^{1/3}$।
$y$ के लिए सीमाएँ $0$ से $8$ तक हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int\limits_{0}^{8} x \, dy = \int\limits_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$= \left[ \frac{y^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4} y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$= \frac{3}{4} (8^{4/3} - 0^{4/3}) = \frac{3}{4} ((2^3)^{4/3}) = \frac{3}{4} (2^4) = \frac{3}{4} \times 16 = 12 \text{ वर्ग इकाई।}$

(C) दिया गया क्षेत्र $y = x|x| + 1$ और $x$-अक्ष द्वारा $-1 \le x \le 1$ के लिए घिरा हुआ है।
हम $y$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
$y = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{यदि } -1 \le x < 0 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \end{cases}$
क्षेत्रफल समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 1) dx + \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx$
प्रथम समाकलन का मूल्यांकन:
$\int_{-1}^{0} (-x^2 + 1) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3}$
द्वितीय समाकलन का मूल्यांकन:
$\int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = (\frac{1}{3} + 1) - 0 = \frac{4}{3}$
कुल क्षेत्रफल $= \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$ वर्ग इकाइयाँ।

(C) क्षेत्र $S(\alpha)$ परवलय $y^2 = x$ और ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \alpha$ द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A(\alpha)$ इस प्रकार है:
$A(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} 2\sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{\alpha} = \frac{4}{3} \alpha^{3/2}$.
दिए गए अनुपात $A(\lambda) : A(4) = 2 : 5$ से:
$\frac{\frac{4}{3} \lambda^{3/2}}{\frac{4}{3} 4^{3/2}} = \frac{2}{5}$
$\frac{\lambda^{3/2}}{8} = \frac{2}{5}$
$\lambda^{3/2} = \frac{16}{5}$
$\lambda = \left( \frac{16}{5} \right)^{2/3} = \left( \frac{16^2}{5^2} \right)^{1/3} = \left( \frac{256}{25} \right)^{1/3} = 4 \left( \frac{4}{25} \right)^{1/3}$.
अतः,$\lambda = 4\left(\frac{4}{25}\right)^{1/3}$।

(C) यह क्षेत्र $y = 2^x$ और $y = x + 1$ (चूंकि प्रथम चतुर्थांश में $x \ge 0$,इसलिए $|x + 1| = x + 1$) द्वारा $x = 0$ से $x = 1$ तक परिबद्ध है।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} ((x + 1) - 2^x) dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \left[ \frac{x^2}{2} + x - \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{1}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \left( \frac{1^2}{2} + 1 - \frac{2^1}{\ln 2} \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 - \frac{2^0}{\ln 2} \right)$
$A = \left( \frac{1}{2} + 1 - \frac{2}{\ln 2} \right) - \left( 0 + 0 - \frac{1}{\ln 2} \right)$
$A = \frac{3}{2} - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2}$
$A = \frac{3}{2} - \frac{1}{\ln 2}$

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र $AOBA$ के क्षेत्रफल का $4$ गुना होगा।
क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{a} y \, dx$
$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ होने के कारण,प्रथम चतुर्थांश में $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= 4 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) \right]_{0}^{a}$
$= 4 \left[ \left( \frac{a}{2} \sqrt{a^{2}-a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(1) \right) - (0 + 0) \right]$
$= 4 \left[ 0 + \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) \right]$
$= 4 \left( \frac{\pi a^{2}}{4} \right) = \pi a^{2}$
अतः,वृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\pi a^{2}$ वर्ग इकाई है।

(A) आकृति से,दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र $ABA'B'A$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= 4 \times (\text{प्रथम चतुर्थांश में वक्र, } x\text{-अक्ष और } x = 0, x = a \text{ रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र } AOBA \text{ का क्षेत्रफल})$
(चूंकि दीर्घवृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है)
क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{a} y \, dx$ (ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ लेने पर)
अब,$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से $y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ प्राप्त होता है। चूंकि क्षेत्र $AOBA$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $y$ को धनात्मक लिया जाता है।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$
$= \frac{4b}{a} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a}$
$= \frac{4b}{a} \left[ \left( \frac{a}{2} \times 0 + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(1) \right) - (0 + 0) \right]$
$= \frac{4b}{a} \left( \frac{a^{2}}{2} \times \frac{\pi}{2} \right) = \pi ab$.

(A) दिया गया वक्र $y=x^{2}$ है,जो $y$-अक्ष के परितः सममित एक परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
यह क्षेत्र वक्र $y=x^{2}$ और रेखा $y=4$ द्वारा परिबद्ध है। वक्र और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु $y=4$ को $y=x^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $x^{2}=4$ मिलता है,अतः $x=\pm 2$ है।
चूंकि परवलय $y$-अक्ष के परितः सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A$ प्रथम चतुर्थांश में वक्र,$y$-अक्ष और रेखा $y=4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$dy$ चौड़ाई और $x = \sqrt{y}$ लंबाई की क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$A = 2 \int_{0}^{4} x \, dy = 2 \int_{0}^{4} \sqrt{y} \, dy$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{4}{3} \left( 4^{3/2} - 0^{3/2} \right) = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3}$
अतः,क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$y=x$ ........... $(1)$
$x^{2}+y^{2}=32$ ........... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,हम $(2)$ में $y=x$ प्रतिस्थापित करते हैं जिससे $x^{2}+x^{2}=32$ प्राप्त होता है,जो $2x^{2}=32$ देता है,अतः $x^{2}=16$. प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$x=4$. इस प्रकार,रेखा और वृत्त $B(4, 4)$ पर मिलते हैं।
$x-$ अक्ष पर लंब $BM$ खींचिए,जहाँ $M$ बिंदु $(4, 0)$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $OBMO$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $BMAB$ का क्षेत्रफल।
क्षेत्र $OBMO$ का क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} x \, dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = \frac{16}{2} = 8$.
क्षेत्र $BMAB$ का क्षेत्रफल $= \int_{4}^{4\sqrt{2}} y \, dx = \int_{4}^{4\sqrt{2}} \sqrt{(4\sqrt{2})^{2}-x^{2}} \, dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$= \left[\frac{x}{2}\sqrt{32-x^{2}} + \frac{32}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{4\sqrt{2}}\right)\right]_{4}^{4\sqrt{2}}$
$= \left(0 + 16 \sin^{-1}(1)\right) - \left(\frac{4}{2}\sqrt{32-16} + 16 \sin^{-1}\left(\frac{4}{4\sqrt{2}}\right)\right)$
$= 16 \times \frac{\pi}{2} - \left(2 \times 4 + 16 \times \frac{\pi}{4}\right) = 8\pi - (8 + 4\pi) = 4\pi - 8$.
कुल क्षेत्रफल $= 8 + (4\pi - 8) = 4\pi$.

(B) दीर्घवृत्त और कोटियों $x=0$ तथा $x=ae$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के परितः सममित है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{ae} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
दीर्घवृत्त के समीकरण से,$y = \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = 2 \frac{b}{a} \int_{0}^{ae} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$A = \frac{2b}{a} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) \right]_{0}^{ae}$
$A = \frac{2b}{a} \left[ \frac{ae}{2} \sqrt{a^{2}-a^{2}e^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{ae}{a}) - (0 + 0) \right]$
$A = \frac{2b}{a} \left[ \frac{ae}{2} \cdot a\sqrt{1-e^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(e) \right]$
$A = \frac{2b}{a} \cdot \frac{a^{2}}{2} \left[ e\sqrt{1-e^{2}} + \sin^{-1}(e) \right]$
$A = ab[e\sqrt{1-e^{2}} + \sin^{-1}(e)]$.

(A) प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y^{2}=x$,रेखाओं $x=1$ और $x=4$ तथा $x$-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=1$ से $x=4$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।
चूँकि $y^{2}=x$ और हम प्रथम चतुर्थांश में हैं,इसलिए $y = \sqrt{x}$ होगा।
क्षेत्रफल $= \int_{1}^{4} y \, dx = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx$
$= \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_1^4$
$= \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_1^4$
$= \frac{2}{3} \left( 4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right)$
$= \frac{2}{3} (8 - 1)$
$= \frac{2}{3} \times 7 = \frac{14}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) वक्र $y^{2}=9x$,रेखाओं $x=2$ और $x=4$,तथा प्रथम चतुर्थांश में $x$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \int_{2}^{4} y \, dx$
चूँकि $y^{2}=9x$ है और हम प्रथम चतुर्थांश में हैं,इसलिए $y = \sqrt{9x} = 3\sqrt{x}$ होगा।
क्षेत्रफल $= \int_{2}^{4} 3\sqrt{x} \, dx$
$= 3 \int_{2}^{4} x^{1/2} \, dx$
$= 3 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4}$
$= 3 \times \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{2}^{4}$
$= 2 \left[ 4^{3/2} - 2^{3/2} \right]$
$= 2 \left[ 8 - 2\sqrt{2} \right]$
$= 16 - 4\sqrt{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) प्रथम चतुर्थांश में वक्र $x^{2}=4y$,रेखाओं $y=2$ और $y=4$,तथा $y$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $y=2$ से $y=4$ तक $x$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।
दिया गया है $x^{2}=4y$,इसलिए $x = \sqrt{4y} = 2\sqrt{y}$ (चूंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है,$x > 0$)।
क्षेत्रफल $= \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$
$= 2 \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$
$= 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$
$= \frac{4}{3} \left[ 4^{3/2} - 2^{3/2} \right]$
$= \frac{4}{3} \left[ 8 - 2\sqrt{2} \right]$
$= \left( \frac{32 - 8\sqrt{2}}{3} \right) \text{ वर्ग इकाई}$

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ है।
यहाँ,$a^2 = 16 \implies a = 4$ और $b^2 = 9 \implies b = 3$ है।
यह दीर्घवृत्त $x-$अक्ष और $y-$अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है।
अतः,दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध कुल क्षेत्रफल $= 4 \times$ (प्रथम चतुर्थांश में परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल)।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} y \, dx$।
समीकरण से,$y = 3 \sqrt{1 - \frac{x^2}{16}} = \frac{3}{4} \sqrt{16 - x^2}$।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} \frac{3}{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx = \frac{3}{4} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{4} \right) \right]_{0}^{4}$।
$= \frac{3}{4} \left[ (0 + 8 \sin^{-1}(1)) - (0 + 8 \sin^{-1}(0)) \right] = \frac{3}{4} \left[ 8 \times \frac{\pi}{2} \right] = \frac{3}{4} [4 \pi] = 3 \pi$।
कुल क्षेत्रफल $= 4 \times 3 \pi = 12 \pi$ वर्ग इकाई।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ है।
इसे $\frac{y^{2}}{9}=1-\frac{x^{2}}{4} \Rightarrow y^{2}=9\left(1-\frac{x^{2}}{4}\right) \Rightarrow y=3 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}$ के रूप में लिखा जा सकता है (प्रथम चतुर्थांश के लिए धनात्मक मान लेने पर)।
चूंकि दीर्घवृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश के क्षेत्रफल का $4$ गुना होगा।
क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{2} y \, dx = 4 \int_{0}^{2} 3 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}} \, dx = 4 \times \frac{3}{2} \int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \, dx = 6 \int_{0}^{2} \sqrt{2^{2}-x^{2}} \, dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= 6 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{2}$
$= 6 \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (0 + 2 \sin^{-1}(0)) \right] = 6 \left[ 2 \times \frac{\pi}{2} \right] = 6 \pi$ वर्ग इकाई।

(A) वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$,रेखा $x=\sqrt{3} y$ और $x-$ अक्ष द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल आकृति में दिखाए गए क्षेत्र $OAB$ का क्षेत्रफल है।
प्रथम चतुर्थांश में रेखा $x=\sqrt{3} y$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x=\sqrt{3} y$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:
$(\sqrt{3} y)^{2} + y^{2} = 4 \implies 3y^{2} + y^{2} = 4 \implies 4y^{2} = 4 \implies y = 1$.
अतः,$x = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3}$. प्रतिच्छेदन बिंदु $A(\sqrt{3}, 1)$ है।
क्षेत्रफल $OAB = \text{क्षेत्रफल}(\triangle OCA) + \text{क्षेत्रफल}(\text{क्षेत्र } ACB)$.
$\triangle OCA$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OC \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
क्षेत्र $ACB$ का क्षेत्रफल $= \int_{\sqrt{3}}^{2} y \, dx = \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \, dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए:
$= \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{\sqrt{3}}^{2}$
$= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4-4} + 2 \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4-3} + 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) \right)$
$= (0 + 2 \times \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 + 2 \times \frac{\pi}{3})$
$= \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
कुल क्षेत्रफल $OAB = \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा काटे गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल,प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश में वृत्त और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a} y \, dx = 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$
सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) \right]_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a}$
$= 2 \left[ \left( 0 + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^{2}\pi}{4} - \frac{a^{2}}{4} - \frac{a^{2}\pi}{8} \right] = 2 \left[ \frac{2a^{2}\pi - a^{2}\pi}{8} - \frac{a^{2}}{4} \right] = 2 \left[ \frac{a^{2}\pi}{8} - \frac{a^{2}}{4} \right] = \frac{a^{2}\pi}{4} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$.

(A) परवलय $x=y^{2}$ और रेखा $x=4$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $x$-अक्ष के परितः सममित है।
रेखा $x=a$ इस क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
$x=0$ से $x=4$ तक का कुल क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4} = \frac{4}{3} (8) = \frac{32}{3}$ है।
$x=0$ से $x=a$ तक का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा है:
$2 \int_{0}^{a} \sqrt{x} \, dx = \frac{1}{2} \times \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$.
$2 \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{a} = \frac{16}{3}$.
$\frac{4}{3} a^{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3}$.
$a^{\frac{3}{2}} = 4$.
$a = 4^{\frac{2}{3}}$.

(A) परवलय $y=x^{2}$ और रेखा $y=|x|$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $y$-अक्ष के परितः सममित है।
$y=x^{2}$ और $y=|x|$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $x^{2}=|x|$ रखकर प्राप्त किए जाते हैं।
$x \ge 0$ के लिए,$x^{2}=x \implies x(x-1)=0$,अतः $x=0$ या $x=1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु प्रथम चतुर्थांश में $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं,और द्वितीय चतुर्थांश में $(-1,1)$ हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2 \times \int_{0}^{1} (|x| - x^{2}) dx$ है।
प्रथम चतुर्थांश में $x \ge 0$ होने के कारण,$|x|=x$ होता है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{1} (x - x^{2}) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$
$= 2 \left( \frac{3-2}{6} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(A) परवलय $y^{2}=4x$ और रेखा $x=3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र $OAC$ है (जैसा कि आकृति में दिखाया गया है)।
यह क्षेत्र $x$-अक्ष के परितः सममित है。
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2 \times (\text{OAB का क्षेत्रफल})$。
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{3} y \, dx$
चूंकि $y^{2}=4x$,इसलिए $y = 2\sqrt{x}$ (ऊपरी आधे भाग के लिए धनात्मक मान लेने पर)।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{3} 2\sqrt{x} \, dx = 4 \int_{0}^{3} x^{1/2} \, dx$
$= 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3} = 4 \times \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{0}^{3}$
$= \frac{8}{3} \left[ 3^{3/2} - 0^{3/2} \right] = \frac{8}{3} \times 3\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ है,जिसका केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ और त्रिज्या $r=2$ है।
प्रथम चतुर्थांश में,$y = \sqrt{4-x^{2}}$ होगा।
वृत्त,$y$-अक्ष $(x=0)$ और रेखा $x=2$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में वृत्त के एक चौथाई भाग का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} y \, dx = \int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \, dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{2}$.
सीमाओं को रखने पर:
$= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4-4} + 2 \sin^{-1} \left(\frac{2}{2}\right) \right) - \left( 0 + 2 \sin^{-1}(0) \right)$.
$= (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (0) = 2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) वक्र $y^{2}=4x$,$y$-अक्ष और रेखा $y=3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल की गणना $y=0$ से $y=3$ तक $x$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन करके की जाती है।
दिए गए वक्र $y^{2}=4x$ से,हम $x$ को $x = \frac{y^{2}}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{3} x \, dy$
$x = \frac{y^{2}}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \int_{0}^{3} \frac{y^{2}}{4} \, dy$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{3}$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} \right)$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} \right)$
$A = \frac{1}{4} (9) = \frac{9}{4} \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,सही उत्तर $B$ है.

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=8x$ को $(x-4)^{2}+y^{2}=16$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अतः,वृत्त का केंद्र $(4, 0)$ है और त्रिज्या $4$ है।
परवलय $y^{2}=4x$ के साथ इसका प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त करने पर:
$x^{2}+4x=8x$
$x^{2}-4x=0$
$x(x-4)=0$
$x=0, x=4$
अतः,$x-$ अक्ष के ऊपर इन दो वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0, 0)$ और $P(4, 4)$ हैं।
$x-$ अक्ष के ऊपर इन दो वक्रों के बीच घिरे क्षेत्र $OPQCO$ का आवश्यक क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} \sqrt{4x} \, dx + \int_{4}^{8} \sqrt{16-(x-4)^{2}} \, dx$
$= 2 \int_{0}^{4} x^{1/2} \, dx + \int_{0}^{4} \sqrt{4^{2}-t^{2}} \, dt$ (जहाँ $t = x-4$)
$= 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{4} + [\frac{t}{2} \sqrt{16-t^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{t}{4})]_{0}^{4}$
$= \frac{4}{3} (8) + [0 + 8 \sin^{-1}(1) - 0]$
$= \frac{32}{3} + 8(\frac{\pi}{2}) = \frac{32}{3} + 4\pi = \frac{4}{3}(8+3\pi)$

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^{2} + y^{2} = 36$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ या $\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण से,$y = \sqrt{36 - 9x^{2}} = 3\sqrt{4 - x^{2}}$.
बिंदुओं $A(2, 0)$ और $B(0, 6)$ से गुजरने वाली जीवा $AB$ का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{6} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $y = 6 - 3x$ प्राप्त होता है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = 2$ तक दीर्घवृत्त के नीचे के क्षेत्रफल में से रेखा $AB$ के नीचे के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (y_{\text{ellipse}} - y_{\text{line}}) dx = \int_{0}^{2} (3\sqrt{4 - x^{2}} - (6 - 3x)) dx$.
$= 3 \int_{0}^{2} \sqrt{2^{2} - x^{2}} dx - \int_{0}^{2} (6 - 3x) dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए:
$= 3 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{0}^{2} - \left[ 6x - \frac{3x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$.
$= 3 \left[ (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (0 + 0) \right] - \left[ (12 - 6) - (0 - 0) \right]$.
$= 3 \left[ 2 \times \frac{\pi}{2} \right] - 6 = 3\pi - 6$ वर्ग इकाई।

(A) माना $A(1,0)$,$B(2,2)$ और $C(3,1)$ एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं।
भुजाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
भुजा $AB$: $y = 2(x-1)$
भुजा $BC$: $y = 4-x$
भुजा $AC$: $y = \frac{1}{2}(x-1)$
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \int_{1}^{2} (y_{AB} - y_{AC}) dx + \int_{2}^{3} (y_{BC} - y_{AC}) dx$
$= \int_{1}^{2} (2x - 2 - \frac{x-1}{2}) dx + \int_{2}^{3} (4 - x - \frac{x-1}{2}) dx$
$= \int_{1}^{2} (\frac{3x-3}{2}) dx + \int_{2}^{3} (\frac{9-3x}{2}) dx$
$= \frac{3}{2} [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{2} + \frac{3}{2} [3x - \frac{x^2}{2}]_{2}^{3}$
$= \frac{3}{2} [0.5] + \frac{3}{2} [0.5] = 1.5$ वर्ग इकाई।

(A) आवश्यक क्षेत्रफल छायांकित क्षेत्र $OBCDO$ द्वारा दर्शाया गया है।
समीकरणों $4x^{2}+4y^{2}=9$ और $x^{2}=4y$ को हल करने पर,हम $x^{2}=4y$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$4(4y)+4y^{2}=9 \implies 4y^{2}+16y-9=0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 4(4)(-9)}}{8} = \frac{-16 \pm \sqrt{400}}{8} = \frac{-16 \pm 20}{8}$.
परवलय के लिए $y \ge 0$ होने के कारण,$y = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
अतः $x^{2} = 4(\frac{1}{2}) = 2$,जिससे $x = \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $B(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ और $D(-\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ हैं।
क्षेत्रफल $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $= 2 \times \int_{0}^{\sqrt{2}} (y_{circle} - y_{parabola}) dx$.
$y_{circle} = \frac{1}{2}\sqrt{9-4x^{2}}$ और $y_{parabola} = \frac{x^{2}}{4}$.
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} (\frac{1}{2}\sqrt{9-4x^{2}} - \frac{x^{2}}{4}) dx = \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{9-4x^{2}} dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{2}} x^{2} dx$.
समाकलन करने पर,$= \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{9}{4}\sin^{-1}(\frac{2\sqrt{2}}{3})$ वर्ग इकाई।

(A) वक्रों $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ और $x^{2}+y^{2}=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
समीकरणों $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ और $x^{2}+y^{2}=1$ को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$
चूंकि $x^2 + y^2 = 1$,इसलिए $1 - 2x + 1 = 1$,जो $2x = 1$ देता है,अतः $x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ को $x^2 + y^2 = 1$ में रखने पर,$y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,अतः $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ और $B\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
वांछित क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= 2 \times \int_{0}^{1/2} \sqrt{1 - (x-1)^2} dx + 2 \times \int_{1/2}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_0^{1/2} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/2}^1$
$= 2 \left[ (-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1/2)) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) \right] + 2 \left[ (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1/2)) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} \right]$
$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] = 4 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ वर्ग इकाई।

(A) वक्रों $y=x^{2}+2, \,y=x, \,x=0,$ और $x=3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल,दी गई सीमाओं के भीतर ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच के अंतर के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{3} ((x^{2}+2) - x) \, dx$
$= \int_{0}^{3} (x^{2} - x + 2) \, dx$
$= \left[ \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2x \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^{3}}{3} - \frac{3^{2}}{2} + 2(3) \right) - (0)$
$= \left( \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 6 \right)$
$= 9 - 4.5 + 6$
$= 10.5 = \frac{21}{2} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) $BL$ और $CM$ को $x$-अक्ष पर लंब खींचा गया है।
आकृति से यह देखा जा सकता है कि,
क्षेत्रफल $(\Delta ABC) = \text{Area}(ALBA) + \text{Area}(BLMCB) - \text{Area}(AMCA)$ ...... $(1)$
$AB$ रेखाखंड का समीकरण जो $(-1, 0)$ और $(1, 3)$ से होकर गुजरता है:
$y - 0 = \frac{3 - 0}{1 - (-1)}(x - (-1)) \implies y = \frac{3}{2}(x + 1)$
$\text{Area}(ALBA) = \int_{-1}^{1} \frac{3}{2}(x + 1) dx = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{1} = \frac{3}{2} \left[ (\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} - 1) \right] = \frac{3}{2} [2] = 3$ वर्ग इकाई।
$BC$ रेखाखंड का समीकरण जो $(1, 3)$ और $(3, 2)$ से होकर गुजरता है:
$y - 3 = \frac{2 - 3}{3 - 1}(x - 1) \implies y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$
$\text{Area}(BLMCB) = \int_{1}^{3} (-\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}) dx = \left[ -\frac{x^2}{4} + \frac{7x}{2} \right]_{1}^{3} = (-\frac{9}{4} + \frac{21}{2}) - (-\frac{1}{4} + \frac{7}{2}) = (\frac{33}{4}) - (\frac{13}{4}) = \frac{20}{4} = 5$ वर्ग इकाई।
$AC$ रेखाखंड का समीकरण जो $(-1, 0)$ और $(3, 2)$ से होकर गुजरता है:
$y - 0 = \frac{2 - 0}{3 - (-1)}(x - (-1)) \implies y = \frac{2}{4}(x + 1) \implies y = \frac{1}{2}(x + 1)$
$\text{Area}(AMCA) = \int_{-1}^{3} \frac{1}{2}(x + 1) dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{3} = \frac{1}{2} \left[ (\frac{9}{2} + 3) - (\frac{1}{2} - 1) \right] = \frac{1}{2} [\frac{15}{2} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} [8] = 4$ वर्ग इकाई।
अतः,समीकरण $(1)$ से,
$\text{Area}(\Delta ABC) = 3 + 5 - 4 = 4$ वर्ग इकाई।

(B) त्रिभुज की भुजाओं के समीकरण $y=2x+1$,$y=3x+1$ और $x=4$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 1)$,$B(4, 13)$ और $C(4, 9)$ प्राप्त होते हैं।
यह देखा जा सकता है कि त्रिभुजाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=4$ तक दो रेखाओं $y=3x+1$ और $y=2x+1$ के बीच का क्षेत्र है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4} [(3x+1) - (2x+1)] \, dx$
$= \int_{0}^{4} (3x + 1 - 2x - 1) \, dx$
$= \int_{0}^{4} x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{16}{2} - 0$
$= 8 \text{ वर्ग इकाई}$

(A) वृत्त $x^{2}+y^{2}=2^{2}$ है,जिसकी त्रिज्या $2$ है और केंद्र $(0,0)$ पर है। रेखा $x+y=2$,$(2,0)$ और $(0,2)$ से होकर गुजरती है।
वृत्त और रेखा द्वारा परिबद्ध छोटा क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में वृत्तीय खंड का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (y_{\text{circle}} - y_{\text{line}}) dx$
$= \int_{0}^{2} (\sqrt{4-x^{2}} - (2-x)) dx$
$= \int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} dx - \int_{0}^{2} (2-x) dx$
सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$= [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{0}^{2} - [2x - \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}$
$= [0 + 2\sin^{-1}(1)] - [0 + 2\sin^{-1}(0)] - [(4 - 2) - (0 - 0)]$
$= 2(\frac{\pi}{2}) - 2 = \pi - 2$ वर्ग इकाई।
अतः,सही उत्तर $A$ है।

(B) वक्रों $y^{2}=4x$ और $y=2x$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y=2x$ को $y^{2}=4x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2x)^{2}=4x$ प्राप्त होता है,जो $4x^{2}-4x=0$ या $4x(x-1)=0$ में सरल हो जाता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=1$ हैं।
$x=0$ के लिए $y=0$,और $x=1$ के लिए $y=2$ है। इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,2)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
$A = \int_{0}^{1} (\text{ऊपरी वक्र} - \text{निचला वक्र}) dx$
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{4x} - 2x) dx$
$A = \int_{0}^{1} (2\sqrt{x} - 2x) dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} - 2 \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1}$
$A = 2 \left( \frac{2}{3} \right) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही उत्तर $B$ है।

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ का शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
नाभिलंब $LSL^{\prime}$ का समीकरण $x=a$ है।
परवलय $x$-अक्ष के परितः सममित है।
क्षेत्र $OLL^{\prime}O$ का अभीष्ट क्षेत्रफल इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= 2 \times (\text{क्षेत्र } OLSO \text{का क्षेत्रफल})$
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \, dx$
क्षेत्रफल $= 2 \times 2 \sqrt{a} \int_{0}^{a} \sqrt{x} \, dx$
क्षेत्रफल $= 4 \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a}$
क्षेत्रफल $= 4 \sqrt{a} \times \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{0}^{a}$
क्षेत्रफल $= \frac{8}{3} \sqrt{a} \times a^{3/2} = \frac{8}{3} a^{2}$ वर्ग इकाई।

(A) आकृति में दिखाए अनुसार,रेखा $y=3x+2$,$x$-अक्ष को $x=-2/3$ पर मिलती है। ग्राफ $x \in (-1, -2/3)$ के लिए $x$-अक्ष के नीचे और $x \in (-2/3, 1)$ के लिए $x$-अक्ष के ऊपर स्थित है।
आवश्यक क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{Area} = \left| \int_{-1}^{-2/3} (3x+2) dx \right| + \int_{-2/3}^{1} (3x+2) dx$
सबसे पहले,समाकलन $\int (3x+2) dx = \frac{3x^2}{2} + 2x$ का मान निकालें।
पहले भाग के लिए:
$\left| \left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{-2/3} \right| = \left| \left( \frac{3(-2/3)^2}{2} + 2(-2/3) \right) - \left( \frac{3(-1)^2}{2} + 2(-1) \right) \right| = 1/6$.
दूसरे भाग के लिए:
$\left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-2/3}^{1} = \left( \frac{3(1)^2}{2} + 2(1) \right) - \left( \frac{3(-2/3)^2}{2} + 2(-2/3) \right) = 25/6$.
कुल क्षेत्रफल $= 1/6 + 25/6 = 26/6 = 13/3$.

(A) $x=0$ और $x=2 \pi$ के बीच वक्र $y=\cos x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2 \pi} |\cos x| \, dx$
ग्राफ से,वक्र $x=0$ से $x=\frac{\pi}{2}$ तक $x$-अक्ष के ऊपर है,$x=\frac{\pi}{2}$ से $x=\frac{3 \pi}{2}$ तक $x$-अक्ष के नीचे है,और $x=\frac{3 \pi}{2}$ से $x=2 \pi$ तक $x$-अक्ष के ऊपर है।
अतः,क्षेत्रफल है:
$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx + \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x \, dx \right| + \int_{\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x \, dx$
$= [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \left| [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \right| + [\sin x]_{\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi}$
$= (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) + |(\sin \frac{3 \pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2})| + (\sin 2 \pi - \sin \frac{3 \pi}{2})$
$= (1 - 0) + |(-1 - 1)| + (0 - (-1))$
$= 1 + |-2| + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$ वर्ग इकाई।

(N/A) परवलयों $y^{2}=4x$ और $x^{2}=4y$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y = \frac{x^{2}}{4}$ को $y^{2}=4x$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जो $(\frac{x^{2}}{4})^{2} = 4x$ देता है,अतः $x^{4} = 64x$। इसका अर्थ है $x(x^{3}-64) = 0$,इसलिए $x=0$ या $x=4$। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।
$1$. वक्रों $y^{2}=4x$ और $x^{2}=4y$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$\int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^{2}}{4}) dx = [2 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{3}}{12}]_{0}^{4} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$ वर्ग इकाई।
$2$. वक्र $x^{2}=4y$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x=0$ तथा $x=4$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$\int_{0}^{4} \frac{x^{2}}{4} dx = \frac{1}{12} [x^{3}]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$ वर्ग इकाई।
$3$. वक्र $y^{2}=4x$,$y$-अक्ष और रेखाओं $y=0$ तथा $y=4$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$\int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{4} dy = \frac{1}{12} [y^{3}]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$ वर्ग इकाई।
चूंकि वर्ग का कुल क्षेत्रफल $4 \times 4 = 16$ वर्ग इकाई है और तीनों क्षेत्रों का क्षेत्रफल $\frac{16}{3}$ वर्ग इकाई है,इसलिए ये वक्र वर्ग को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

(A) यह क्षेत्र $y \leq x^2 + 1$,$y \leq x + 1$,और $0 \leq x \leq 2$ के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,वक्रों $y = x^2 + 1$ और $y = x + 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2 + 1 = x + 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$.
अतः,वक्र $x = 0$ और $x = 1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$0 \leq x \leq 1$ के लिए,क्षेत्र $y \leq x + 1$ द्वारा परिबद्ध है (क्योंकि इस अंतराल में $x+1 \geq x^2+1$ है)।
$1 \leq x \leq 2$ के लिए,क्षेत्र $y \leq x^2 + 1$ द्वारा परिबद्ध है (क्योंकि इस अंतराल में $x^2+1 \geq x+1$ है)।
दिए गए ग्राफ के अनुसार,क्षेत्र किसी भी बिंदु $x$ पर दो वक्रों में से निचले वक्र द्वारा परिबद्ध है।
$0 \leq x \leq 1$ के लिए,निचला वक्र $y = x^2 + 1$ है।
$1 \leq x \leq 2$ के लिए,निचला वक्र $y = x + 1$ है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx + \int_{1}^{2} (x + 1) dx$.
$= [\frac{x^3}{3} + x]_{0}^{1} + [\frac{x^2}{2} + x]_{1}^{2}$.
$= (\frac{1}{3} + 1) - 0 + ((\frac{4}{2} + 2) - (\frac{1}{2} + 1))$.
$= \frac{4}{3} + (4 - \frac{3}{2}) = \frac{4}{3} + \frac{5}{2} = \frac{8 + 15}{6} = \frac{23}{6}$.

(A) वांछित क्षेत्रफल वक्र $y=x^{2}$,रेखाओं $x=1$,$x=2$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
क्षेत्रफल निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{2} y \, dx$
$y = x^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{2} x^{2} \, dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{1}^{2}$
सीमाओं को लागू करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \left( \frac{2^{3}}{3} \right) - \left( \frac{1^{3}}{3} \right)$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{7}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) अभीष्ट क्षेत्रफल फलन $y=x^{4}$ का $x=1$ से $x=5$ तक के निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{5} x^{4} \, dx$
$= \left[ \frac{x^{5}}{5} \right]_{1}^{5}$
$= \frac{(5)^{5}}{5} - \frac{(1)^{5}}{5}$
$= \frac{3125}{5} - \frac{1}{5}$
$= 625 - 0.2$
$= 624.8 \text{ वर्ग इकाई}$

(A) प्रथम चतुर्थांश में $y=4x^2$,$x=0$,$y=1$ और $y=4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।
दिया गया है $y=4x^2$,इसलिए $x^2 = \frac{y}{4}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (चूंकि प्रथम चतुर्थांश में $x \ge 0$ है)।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy$
$A = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$
$A = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]$
$A = \frac{1}{3} [8 - 1]$
$A = \frac{7}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दिया गया समीकरण $y=|x+3|$ है।
$x$ और $y$ के संगत मान निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:

$X$	$-6$	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$
$Y$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

इन बिंदुओं को आलेखित करने पर,हमें $y=|x+3|$ का ग्राफ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $-6 \leq x \leq -3$ के लिए $(x+3) \leq 0$ और $-3 \leq x \leq 0$ के लिए $(x+3) \geq 0$ होता है।
अतः,$\int_{-6}^{0}|x+3| d x = \int_{-6}^{-3}-(x+3) d x + \int_{-3}^{0}(x+3) d x$.
$= -\left[\frac{x^2}{2} + 3x\right]_{-6}^{-3} + \left[\frac{x^2}{2} + 3x\right]_{-3}^{0}$.
$= -\left[\left(\frac{9}{2} - 9\right) - \left(\frac{36}{2} - 18\right)\right] + \left[(0) - \left(\frac{9}{2} - 9\right)\right]$.
$= -\left[-\frac{9}{2} - 0\right] + \left[0 - (-\frac{9}{2})\right]$.
$= \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9$.

(B) $y=\sin x$ का ग्राफ चित्र में दर्शाया गया है। $x=0$ और $x=2 \pi$ के बीच वक्र द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल दोनों लूपों के क्षेत्रफलों का योग है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx + \left| \int_{\pi}^{2 \pi} \sin x \, dx \right|$
$= [-\cos x]_{0}^{\pi} + \left| [-\cos x]_{\pi}^{2 \pi} \right|$
$= (-\cos \pi - (-\cos 0)) + |(-\cos 2 \pi - (-\cos \pi))|$
$= (-(-1) + 1) + |(-1 - (1))|$
$= (1 + 1) + |-2|$
$= 2 + 2 = 4 \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ और रेखा $y=mx$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करके प्राप्त किया जा सकता है।
$y=mx$ को $y^{2}=4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(mx)^{2}=4ax \implies m^{2}x^{2}-4ax=0 \implies x(m^{2}x-4a)=0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=\frac{4a}{m^{2}}$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,ऊपरी वक्र (परवलय) और निचले वक्र (रेखा) के बीच के अंतर का $x=0$ से $x=\frac{4a}{m^{2}}$ तक का समाकलन है:
$A = \int_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} (\sqrt{4ax} - mx) dx$
$A = 2\sqrt{a} \int_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} x^{1/2} dx - m \int_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} x dx$
$A = 2\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} - m \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}}$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} \left( \frac{4a}{m^{2}} \right)^{3/2} - \frac{m}{2} \left( \frac{4a}{m^{2}} \right)^{2}$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot \frac{8a^{3/2}}{m^{3}} - \frac{m}{2} \cdot \frac{16a^{2}}{m^{4}}$
$A = \frac{32a^{2}}{3m^{3}} - \frac{8a^{2}}{m^{3}} = \frac{32a^{2} - 24a^{2}}{3m^{3}} = \frac{8a^{2}}{3m^{3}}$ वर्ग इकाई।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ और रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ से घिरे छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल आकृति में दर्शाए गए क्षेत्र $ABC$ का क्षेत्रफल है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(0, 2)$ और $B(3, 0)$ हैं।
क्षेत्र $ABC$ का क्षेत्रफल $= \int_{0}^{3} (y_{\text{ellipse}} - y_{\text{line}}) dx$
दीर्घवृत्त के समीकरण से,$y = 2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}} = \frac{2}{3}\sqrt{9-x^{2}}$.
रेखा के समीकरण से,$y = 2(1-\frac{x}{3}) = 2 - \frac{2x}{3}$.
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{3} \left( \frac{2}{3}\sqrt{9-x^{2}} - (2 - \frac{2x}{3}) \right) dx$
$= \frac{2}{3} \int_{0}^{3} \sqrt{3^{2}-x^{2}} dx - \int_{0}^{3} (2 - \frac{2x}{3}) dx$
$= \frac{2}{3} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{9-x^{2}} + \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{3}) \right]_{0}^{3} - \left[ 2x - \frac{x^{2}}{3} \right]_{0}^{3}$
$= \frac{2}{3} \left[ (0 + \frac{9}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - 0 \right] - \left[ (6 - 3) - 0 \right]$
$= \frac{2}{3} \cdot \frac{9\pi}{4} - 3 = \frac{3\pi}{2} - 3 = \frac{3}{2}(\pi-2)$ वर्ग इकाई।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ और रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ से घिरे छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल छायांकित क्षेत्र $BCAB$ द्वारा दर्शाया गया है:
क्षेत्रफल $BCAB = \text{Area}(OBCAO) - \text{Area}(OBAO)$
$= \int_{0}^{a} b \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}} \, dx - \int_{0}^{a} b\left(1-\frac{x}{a}\right) \, dx$
$= \frac{b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx - \frac{b}{a} \int_{0}^{a}(a-x) \, dx$
$= \frac{b}{a} \left[ \left\{ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} \right\}_{0}^{a} - \left\{ ax - \frac{x^{2}}{2} \right\}_{0}^{a} \right]$
$= \frac{b}{a} \left[ \left\{ \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) \right\} - \left\{ a^{2} - \frac{a^{2}}{2} \right\} \right]$
$= \frac{b}{a} \left[ \frac{a^{2}\pi}{4} - \frac{a^{2}}{2} \right]$
$= \frac{ba^{2}}{2a} \left[ \frac{\pi}{2} - 1 \right]$
$= \frac{ab}{2} \left[ \frac{\pi-2}{2} \right] = \frac{ab}{4}(\pi-2) \text{ वर्ग इकाई.}$

(A) परवलय $x^{2}=y,$ रेखा $y=x+2$ और $x-$ अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल आकृति में दर्शाए गए छायांकित भाग द्वारा निरूपित है।
रेखा $y=x+2,$ $x-$ अक्ष को $x=-2$ पर काटती है (जहाँ $y=0$).
परवलय $x^{2}=y$ और रेखा $y=x+2$ वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $x^{2}=x+2$ होता है।
$x^{2}-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0.$
चूंकि क्षेत्र दूसरे चतुर्थांश में है,हम प्रतिच्छेदन बिंदु $x=-1$ लेते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=-2$ से $x=-1$ तक रेखा के नीचे का क्षेत्रफल और $x=-1$ से $x=0$ तक परवलय के नीचे के क्षेत्रफल का योग है।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{-1} (x+2) dx + \int_{-1}^{0} x^{2} dx$
$= \left[ \frac{x^{2}}{2} + 2x \right]_{-2}^{-1} + \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{-1}^{0}$
$= \left( (\frac{1}{2} - 2) - (\frac{4}{2} - 4) \right) + (0 - (-\frac{1}{3}))$
$= (-\frac{3}{2} - (-2)) + \frac{1}{3}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \text{ वर्ग इकाई.}$

(A) वक्र $|x|+|y|=1$ एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $A(0,1)$,$B(1,0)$,$C(0,-1)$,और $D(-1,0)$ हैं।
यह वक्र $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है।
इसलिए,कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र $(OBA)$ के क्षेत्रफल का $4$ गुना है।
प्रथम चतुर्थांश में,$x \ge 0$ और $y \ge 0$ है,इसलिए समीकरण $x+y=1$ अर्थात $y=1-x$ हो जाता है।
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \int_{0}^{1} y \, dx = 4 \int_{0}^{1} (1-x) \, dx$
$= 4 \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$= 4 \left( (1 - \frac{1}{2}) - (0 - 0) \right)$
$= 4 \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \text{ वर्ग इकाई}$.