x- अक्ष,रेखा x=sqrt{3} y और वृत्त x^{2}+y^{2} | vedclass

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Question

(A) वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$,रेखा $x=\sqrt{3} y$ और $x-$ अक्ष द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल आकृति में दिखाए गए क्षेत्र $OAB$ का क्

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$\frac{\pi}{3}$

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(A) वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$,रेखा $x=\sqrt{3} y$ और $x-$ अक्ष द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल आकृति में दिखाए गए क्षेत्र $OAB$ का क्षेत्रफल है।प्रथम चतुर्थांश में रेखा $x=\sqrt{3} y$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x=\sqrt{3} y$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:$(\sqrt{3} y)^{2} + y^{2} = 4 \implies 3y^{2} + y^{2} = 4 \implies 4y^{2} = 4 \implies y = 1$.अतः,$x = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3}$. प्रतिच्छेदन बिंदु $A(\sqrt{3}, 1)$ है।क्षेत्रफल $OAB = 	ext{क्षेत्रफल}(	riangle OCA) + 	ext{क्षेत्रफल}(	ext{क्षेत्र } ACB)$.$	riangle OCA$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes OC 	imes AC = \frac{1}{2} 	imes \sqrt{3} 	imes 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.क्षेत्र $ACB$ का क्षेत्रफल $= \int_{\sqrt{3}}^{2} y \, dx = \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \, dx$.सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए:$= \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2}) ight]_{\sqrt{3}}^{2}$$= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4-4} + 2 \sin^{-1}(1) ight) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4-3} + 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) ight)$$= (0 + 2 	imes \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} 	imes 1 + 2 	imes \frac{\pi}{3})$$= \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.कुल क्षेत्रफल $OAB = \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ वर्ग इकाई।

$x-$ अक्ष,रेखा $x=\sqrt{3} y$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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