x- अक्ष,रेखा y=x, और वृत्त x^{2}+y^{2}=32 द्व | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण हैं:$y=x$  ........... $(1)$$x^{2}+y^{2}=32$    ........... $(2)$$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,हम $(2)$ में $y=x$ प्रतिस्थापित करते ह

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$4$

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(A) दिए गए समीकरण हैं:$y=x$  ........... $(1)$$x^{2}+y^{2}=32$    ........... $(2)$$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,हम $(2)$ में $y=x$ प्रतिस्थापित करते हैं जिससे $x^{2}+x^{2}=32$ प्राप्त होता है,जो $2x^{2}=32$ देता है,अतः $x^{2}=16$. प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$x=4$. इस प्रकार,रेखा और वृत्त $B(4, 4)$ पर मिलते हैं।$x-$ अक्ष पर लंब $BM$ खींचिए,जहाँ $M$ बिंदु $(4, 0)$ है।अभीष्ट क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $OBMO$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $BMAB$ का क्षेत्रफल।क्षेत्र $OBMO$ का क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} x \, dx = \left[\frac{x^{2}}{2}ight]_{0}^{4} = \frac{16}{2} = 8$.क्षेत्र $BMAB$ का क्षेत्रफल $= \int_{4}^{4\sqrt{2}} y \, dx = \int_{4}^{4\sqrt{2}} \sqrt{(4\sqrt{2})^{2}-x^{2}} \, dx$.सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}ight)$ का उपयोग करते हुए:$= \left[\frac{x}{2}\sqrt{32-x^{2}} + \frac{32}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{4\sqrt{2}}ight)ight]_{4}^{4\sqrt{2}}$$= \left(0 + 16 \sin^{-1}(1)ight) - \left(\frac{4}{2}\sqrt{32-16} + 16 \sin^{-1}\left(\frac{4}{4\sqrt{2}}ight)ight)$$= 16 	imes \frac{\pi}{2} - \left(2 	imes 4 + 16 	imes \frac{\pi}{4}ight) = 8\pi - (8 + 4\pi) = 4\pi - 8$.कुल क्षेत्रफल $= 8 + (4\pi - 8) = 4\pi$.

$x-$ अक्ष,रेखा $y=x,$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=32$ द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi$ में)

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