Area bounded by region of single curve Questions in Hindi

(B) रेखा का समीकरण $2y + x = 8$ है,जिसे $y = \frac{8 - x}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वांछित क्षेत्रफल निश्चित समाकलन $\int_{2}^{4} y \, dx = \int_{2}^{4} \frac{8 - x}{2} \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
$= \frac{1}{2} \int_{2}^{4} (8 - x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left[ 8x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4}$
$= \frac{1}{2} \left( (8(4) - \frac{4^2}{2}) - (8(2) - \frac{2^2}{2}) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( (32 - 8) - (16 - 2) \right)$
$= \frac{1}{2} (24 - 14) = \frac{10}{2} = 5 \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = -x^2$,$a = 1$ और $b = 4$ है।
चूँकि $x \in [1, 4]$ के लिए $y = -x^2$,$x$-अक्ष के नीचे स्थित है,इसलिए क्षेत्रफल:
$A = \int_{1}^{4} | -x^2 | \, dx = \int_{1}^{4} x^2 \, dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3}$
$A = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = \frac{63}{3} = 21 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) अभीष्ट क्षेत्रफल उन अंतरालों पर समाकलनों के निरपेक्ष मानों का योग है जहाँ फलन ऋणात्मक और धनात्मक होता है।
$A = \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$
चूँकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $x < 0$ और $x \in [0, 2]$ के लिए $x > 0$ है,इसलिए:
$A = \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} (x) dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$A = (0 - (-\frac{(-1)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - 0)$
$A = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ वर्ग इकाई}$

(D) वांछित क्षेत्रफल $x=1$ से $x=4$ तक फलन $y=x^{3}$ के निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{4} x^{3} dx$
समाकलन के घात नियम का उपयोग करते हुए,$\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$,हमें प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{4}$
अब,सीमाओं को लागू करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{4} [4^{4} - 1^{4}]$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{4} [256 - 1]$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{255}{4} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) परवलय $x^2 = 4y$ है,जिसका अर्थ है $x = \pm 2\sqrt{y}$.
चूंकि क्षेत्रफल $Y$-अक्ष और प्रथम चतुर्थांश में परवलय द्वारा घिरा हुआ है,इसलिए हम $x = 2\sqrt{y}$ लेंगे।
वक्र $x = f(y)$,$Y$-अक्ष और रेखाओं $y = 2$ तथा $y = 4$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = 2 \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$
$A = \frac{4}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}]$
$A = \frac{4}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{4}{3}(8 - 2\sqrt{2})$ वर्ग इकाई है।

(B) हमारे पास वक्र $y=4x-x^{2}$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ रखते हैं:
$x(4-x)=0 \Rightarrow x=0$ या $x=4$.
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=4$ तक फलन का समाकलन है:
$A = \int_{0}^{4} (4x-x^{2}) dx$
$A = \left[ \frac{4x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left[ 2x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left( 2(4)^{2} - \frac{(4)^{3}}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \left( 2(16) - \frac{64}{3} \right) = 32 - \frac{64}{3}$
$A = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $x^{2}=16y$ है,जो प्रथम चतुर्थांश के लिए $x=4\sqrt{y}$ देता है।
क्षेत्रफल $A$ वक्र $x=4\sqrt{y}$,$Y$-अक्ष और रेखाओं $y=1$ तथा $y=4$ द्वारा परिबद्ध है।
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} 4\sqrt{y} \, dy$
$A = 4 \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = 4 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{8}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]$
$A = \frac{8}{3} [8 - 1]$
$A = \frac{8}{3} \times 7 = \frac{56}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(B) क्षेत्रफल $A$ फलन के मापांक के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{-\pi}^{\frac{3\pi}{2}} |\sin x| dx$
हम $\sin x$ के चिह्न के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-\pi}^{0} |\sin x| dx + \int_{0}^{\pi} |\sin x| dx + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} |\sin x| dx$
चूंकि $x \in [-\pi, 0]$ और $x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए $\sin x \le 0$ है,और $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \ge 0$ है:
$A = \int_{-\pi}^{0} (-\sin x) dx + \int_{0}^{\pi} (\sin x) dx + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} (-\sin x) dx$
$A = [\cos x]_{-\pi}^{0} + [-\cos x]_{0}^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = (\cos 0 - \cos(-\pi)) + (-\cos \pi + \cos 0) + (\cos(\frac{3\pi}{2}) - \cos \pi)$
$A = (1 - (-1)) + (-(-1) + 1) + (0 - (-1))$
$A = (1 + 1) + (1 + 1) + (0 + 1) = 2 + 2 + 1 = 5 \text{ (unit)}^2$

(C) वांछित क्षेत्रफल $A$,फलन $y = \sin^{2} x$ का $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{2}$ तक का निश्चित समाकलन है।
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$
$A = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2} \right) - (0 - 0) \right]$
$A = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=\pi$ तक $|y|$ के समाकलन द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $y = \cos x$,$[0, \pi/2]$ में धनात्मक है और $[\pi/2, \pi]$ में ऋणात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल है:
$A = \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx + \left| \int_{\pi/2}^{\pi} \cos x \, dx \right|$
$A = [\sin x]_0^{\pi/2} + |[\sin x]_{\pi/2}^{\pi}|$
$A = (\sin(\pi/2) - \sin(0)) + |\sin(\pi) - \sin(\pi/2)|$
$A = (1 - 0) + |0 - 1|$
$A = 1 + |-1| = 1 + 1 = 2 \text{ वर्ग इकाई.}$

(D) यह क्षेत्र $y=3x+1$ (ऊपरी रेखा),$y=2x+1$ (निचली रेखा) और $x=4$ द्वारा घिरा हुआ है। ये रेखाएं $x=0$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,जहाँ $y=1$ है। अतः,त्रिभुज के शीर्ष $(0, 1)$,$(4, 9)$ और $(4, 13)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ की गणना समाकलन का उपयोग करके की जा सकती है:
$A = \int_{0}^{4} [(3x+1) - (2x+1)] \, dx$
$A = \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{16}{2} - 0 = 8 \text{ वर्ग इकाई}$.
वैकल्पिक रूप से,$x=4$ रेखा पर आधार वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए:
आधार की लंबाई $= 13 - 9 = 4$.
ऊंचाई $= 4 - 0 = 4$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) वक्र $y=2x-x^2$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ रखकर $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$2x-x^2=0 \Rightarrow x(2-x)=0$,जिससे $x=0$ और $x=2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_0^2 (2x-x^2) dx$
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) अभीष्ट क्षेत्रफल $x=-1$ से $x=2$ तक $|y|$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
चूँकि $y=x$,इसलिए $|y|=|x|$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{2} |x| dx$
$= \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$
$= \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx$
$= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$= (0 - (-1/2)) + (4/2 - 0)$
$= 1/2 + 2 = 5/2$ वर्ग इकाई।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ है।
यहाँ,$a=5$ और $b=3$ है।
धनात्मक चतुर्थांश $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{4} \times \pi ab = \frac{1}{4} \times \pi \times 5 \times 3 = \frac{15\pi}{4}$ है।
शीर्षों $(0,0), (5,0), (0,3)$ वाले त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2}$ है।
चाप $AB$ और जीवा $AB$ के बीच का क्षेत्रफल चतुर्थांश के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{15\pi}{4} - \frac{15}{2} = \frac{15}{4}(\pi - 2)$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए समीकरण $x^2 = 8y$ $(1)$ और $x - 8y + 2 = 0$ $(2)$ हैं।
समीकरण $(2)$ से,$8y = x + 2$। इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 = x + 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 - x - 2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x + 1) = 0$,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -1$ और $x = 2$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
$A = \int_{-1}^{2} (\frac{x+2}{8} - \frac{x^2}{8}) dx = \frac{1}{8} \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx$।
$A = \frac{1}{8} [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$।
सीमाओं पर मान रखने पर: $A = \frac{1}{8} [(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})]$।
$A = \frac{1}{8} [(2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})] = \frac{1}{8} [\frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})] = \frac{1}{8} [\frac{20+7}{6}] = \frac{1}{8} \times \frac{27}{6} = \frac{9}{16}$ वर्ग इकाई।

(A) दो वक्र $y=ax^2$ और $x=ay^2$ बिंदु $O(0,0)$ और $P\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
इन वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम ऊपरी वक्र $y=\sqrt{\frac{x}{a}}$ और निचले वक्र $y=ax^2$ के बीच के अंतर का $x=0$ से $x=\frac{1}{a}$ तक समाकलन करते हैं।
दिया गया क्षेत्रफल $= \int_0^{\frac{1}{a}} \left(\sqrt{\frac{x}{a}} - ax^2\right) dx = 1$
$\Rightarrow \left[\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$
$\Rightarrow \left[\frac{2}{3\sqrt{a}} x^{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Rightarrow \left(\frac{2}{3\sqrt{a}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^3\right) = 1$
$\Rightarrow \frac{2}{3\sqrt{a} \cdot a\sqrt{a}} - \frac{a}{3a^3} = 1$
$\Rightarrow \frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{3a^2} = 1$
$\Rightarrow a^2 = \frac{1}{3}$
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(B) वक्र $y=3x+1$ और $y=4x+1$ तब प्रतिच्छेद करते हैं जब $3x+1 = 4x+1$ हो,जिसका अर्थ है $x=0$.
अतः,क्षेत्र $x=0$ और $x=2$ द्वारा परिबद्ध है।
वांछित क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\text{वांछित क्षेत्रफल} = \int_0^2 [(4x+1) - (3x+1)] \, dx$
$= \int_0^2 x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2$
$= \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) परवलय $y^2=4x$ और रेखा $y=2x-4$ के बीच घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
रेखा के समीकरण $y = 2x - 4$ में $x = \frac{y^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 2\left(\frac{y^2}{4}\right) - 4$
$y = \frac{y^2}{2} - 4$
$y^2 - 2y - 8 = 0$
$(y - 4)(y + 2) = 0$
अतः,$y = 4$ और $y = -2$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष रेखा और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-2}^{4} \left( \frac{y+4}{2} - \frac{y^2}{4} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12} \right)$
$= \left( 4 + 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 1 - 4 + \frac{2}{3} \right)$
$= \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{27}{3} = 9 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ है। रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
$x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{a^2}{2}+y^2=a^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^2=\frac{a^2}{2}$,अतः $y=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}$.
वांछित क्षेत्रफल वृत्त और रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ के दाईं ओर घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a \sqrt{a^2-x^2} dx$
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a}) \right]_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a$
$= 2 \left[ (0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{a}{2\sqrt{2}}\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}) - (\frac{a}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{4})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2\pi}{8} \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{8} - \frac{a^2}{4} \right] = \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}-1)$.

(A) दिया गया वक्र $y = a\sqrt{x} + bx$ है। चूंकि यह $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2 = a(1) + b(1)$,जिससे हमें $a + b = 2$ प्राप्त होता है ...$(i)$।
वक्र,$x = 4$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_0^4 (a\sqrt{x} + bx) dx = 8$ द्वारा दिया गया है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int_0^4 (ax^{1/2} + bx) dx = \left[ a \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + b \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 8$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{2a}{3} \cdot 4^{3/2} + \frac{b}{2} \cdot 4^2 \right) = 8$.
$\frac{2a}{3} \cdot 8 + \frac{b}{2} \cdot 16 = 8$.
$\frac{16a}{3} + 8b = 8$.
$8$ से भाग देने पर,हमें $\frac{2a}{3} + b = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2a + 3b = 3$ हो जाता है ...(ii)।
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ से,$b = 2 - a$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$2a + 3(2 - a) = 3$.
$2a + 6 - 3a = 3$.
$-a = -3 \Rightarrow a = 3$.
$a = 3$ को $(i)$ में रखने पर:
$3 + b = 2 \Rightarrow b = -1$.
अतः,$a = 3$ और $b = -1$।

(C) वक्र $y^2=9x$ और रेखा $y=3x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y=3x$ को $y^2=9x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(3x)^2=9x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $9x^2=9x$,इसलिए $x^2-x=0$,जिससे $x(x-1)=0$ प्राप्त होता है। अतः,$x=0$ और $x=1$.
$x=0$ के लिए,$y=0$. $x=1$ के लिए,$y=3$.
क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_0^1 (\sqrt{9x} - 3x) dx$
$= \int_0^1 (3\sqrt{x} - 3x) dx$
$= 3 \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$= 3 \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{(1)^2}{2} \right) - 0$
$= 3 \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right)$
$= 3 \left( \frac{4-3}{6} \right) = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए $y$-अक्ष $(x=0)$,$y=\cos x$ और $y=\sin x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$,ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है।
अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में,$\cos x \geq \sin x$ होता है।
अतः,क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$
$A = [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$A = \sqrt{2} - 1$ वर्ग इकाई।

(D) परवलय $y=x^2$ और रेखा $y=x$ द्वारा घिरे हुए क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले समीकरणों को बराबर रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2 = x$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
इससे हमें $x = 0$ और $x = 1$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0, 0)$ और $P(1, 1)$ हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,रेखा $y = x$ परवलय $y = x^2$ के ऊपर स्थित है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_0^1 (x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) वक्र $y^2=4x$ और रेखा $y=x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $y=x$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2 = 4x$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x-4) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=4$ हैं।
$x=0$ के लिए,$y=0$,इसलिए मूल बिंदु $O(0,0)$ एक बिंदु है।
$x=4$ के लिए,$y=4$,इसलिए बिंदु $P(4,4)$ दूसरा बिंदु है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_0^4 (\sqrt{4x} - x) dx$
$A = 2 \int_0^4 x^{1/2} dx - \int_0^4 x dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^4 - \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4$
$A = 2 \cdot \frac{2}{3} [x^{3/2}]_0^4 - \left[ \frac{16}{2} - 0 \right]$
$A = \frac{4}{3} (4^{3/2}) - 8$
$A = \frac{4}{3} (8) - 8$
$A = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32-24}{3} = \frac{8}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(B) यह क्षेत्र परवलय $y^2=x$,रेखा $y=4$ और $Y$-अक्ष $(x=0)$ द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ से $y=4$ तक $y$ के सापेक्ष समाकलन करेंगे।
परवलय का समीकरण $x=y^2$ है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{4} x \, dy$
$A = \int_{0}^{4} y^2 \, dy$
$A = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3}$
$A = \frac{64}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) वक्र $x^2=y$ और रेखा $y=4x$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x^2 = 4x$ रखने पर,हमें $x^2 - 4x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x-4) = 0$। अतः,$x=0$ और $x=4$ है।
$x=0$ के लिए $y=0$,और $x=4$ के लिए $y=16$ है। इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,16)$ हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{4x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \left( 32 - \frac{64}{3} \right)$
$A = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(C) दिया गया परवलय $y^{2}=8x$ है। इसे $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=2$.
नाभिलंब रेखा $x=a$ है,जो $x=2$ है।
परवलय और नाभिलंब के प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 4)$ और $(2, -4)$ हैं।
परवलय और नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$,$x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$A = 2 \int_{0}^{2} y \, dx = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{8x} \, dx$
$A = 2 \times 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2}$
$A = 4\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{8 \times 2 \times 2}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=16$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है,इसलिए रेखाओं $x=0$ और $x=2$ द्वारा परिबद्ध कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \int_{0}^{2} y \, dx = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{16-x^{2}} \, dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{4}\right) \right]_{0}^{2}$
$= 2 \left[ \left( \frac{2}{2} \sqrt{16-4} + 8 \sin^{-1} \left(\frac{2}{4}\right) \right) - (0 + 8 \sin^{-1}(0)) \right]$
$= 2 \left[ \sqrt{12} + 8 \sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) \right]$
$= 2 \left[ 2\sqrt{3} + 8 \left(\frac{\pi}{6}\right) \right]$
$= 4\sqrt{3} + 8 \left(\frac{\pi}{3}\right) = 4\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(B) दिया गया परवलय $y^{2}=16x$ है। इसकी तुलना $y^{2}=4ax$ से करने पर,हमें $4a=16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=4$.
नाभिलंब रेखा $x=a$ है,अतः $x=4$.
परवलय और नाभिलंब के प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 8)$ और $(4, -8)$ हैं।
प्रथम चतुर्थांश में,क्षेत्रफल वक्र $y=\sqrt{16x}=4\sqrt{x}$,$x$-अक्ष और रेखा $x=4$ द्वारा घिरा हुआ है।
वांछित क्षेत्रफल समाकलन द्वारा इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} 4\sqrt{x} \, dx$
$= 4 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} \, dx$
$= 4 \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}$
$= 4 \times \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{8}{3} \left[ 4^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}} \right]$
$= \frac{8}{3} \times 8 = \frac{64}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) वक्र $y=f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है: $A = \int_{a}^{b} f(x) dx$.
यहाँ,$f(x) = x^{2}+1$,$a=1$,और $b=2$ है।
अतः,क्षेत्रफल:
$A = \int_{1}^{2} (x^{2}+1) dx$
$A = \left[ \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{1}^{2}$
$A = \left( \frac{2^{3}}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1^{3}}{3} + 1 \right)$
$A = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right)$
$A = \left( \frac{8+6}{3} \right) - \left( \frac{1+3}{3} \right)$
$A = \frac{14}{3} - \frac{4}{3}$
$A = \frac{10}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) वांछित क्षेत्रफल $x=1$ से $x=5$ तक फलन $y$ का $x$ के सापेक्ष निश्चित समाकलन है। चूंकि अंतराल $[1, 5]$ में वक्र $x$-अक्ष के ऊपर है,इसलिए क्षेत्रफल है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{5} (4x^{3}-6x^{2}+4x+1) dx$
$= \left[\frac{4x^{4}}{4} - \frac{6x^{3}}{3} + \frac{4x^{2}}{2} + x\right]_{1}^{5}$
$= \left[x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} + x\right]_{1}^{5}$
$= [5^{4} - 2(5)^{3} + 2(5)^{2} + 5] - [1^{4} - 2(1)^{3} + 2(1)^{2} + 1]$
$= [625 - 250 + 50 + 5] - [1 - 2 + 2 + 1]$
$= 430 - 2 = 428 \text{ वर्ग इकाई}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिए गए वक्र $y=2x-x^2$ और $y=x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$2x-x^2 = x$ रखें।
$x-x^2 = 0 \implies x(1-x) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=1$ हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
$\text{Area} = \int_0^1 (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) dx = \int_0^1 ((2x-x^2) - x) dx$.
$\text{Area} = \int_0^1 (x-x^2) dx$.
समाकलन का मान: $\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$.
$= (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$ वर्ग इकाई।

(B) यह क्षेत्र परवलय $x^2=4y$,रेखाओं $y=1$ और $y=4$,तथा प्रथम चतुर्थांश में y-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
$x^2=4y$ से,हमें $x = \sqrt{4y} = 2\sqrt{y}$ प्राप्त होता है (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $x > 0$ है)।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ को y के सापेक्ष समाकलन द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
$A = \frac{4}{3} (8 - 1)$
$A = \frac{4}{3} (7) = \frac{28}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) रेखा $y=4$ परवलय $y^{2}=x$ को बिंदु $A$ पर मिलती है। परवलय के समीकरण में $y=4$ रखने पर,हमें $4^{2}=x$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=16$ है। अतः,बिंदु $A$ $(16, 4)$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल परवलय $x=y^{2}$,$y$-अक्ष $(x=0)$ और रेखा $y=4$ द्वारा $y=0$ से $y=4$ तक परिबद्ध है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} x \, dy = \int_{0}^{4} y^{2} \, dy$
$= \left[ \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{64}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वक्र $y=x^{2}$ (या $x=\sqrt{y}$) और $x=y^{2}$ हैं।
वे $(0,0)$ और $(1,1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$y$-अक्ष के परितः घुमाने पर,आयतन $V$ का सूत्र $V = \pi \int_{a}^{b} (x_{outer}^{2} - x_{inner}^{2}) dy$ है।
यहाँ,$y \in [0,1]$ के लिए,बाहरी वक्र $x = \sqrt{y}$ है और आंतरिक वक्र $x = y^{2}$ है।
अतः,$V = \pi \int_{0}^{1} ((\sqrt{y})^{2} - (y^{2})^{2}) dy$
$V = \pi \int_{0}^{1} (y - y^{4}) dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{5}}{5} \right]_{0}^{1}$
$V = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5-2}{10} \right) = \frac{3}{10} \pi$.

(C) वक्र $y=(x+1)^2$ और $y=(x-1)^2$ हैं। रेखा $y=\frac{1}{4}$ है।
$y=(x-1)^2$ और $y=\frac{1}{4}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $(x-1)^2 = \frac{1}{4}$ रखते हैं,जिससे $x-1 = \pm \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{1}{2}$ या $x = \frac{3}{2}$।
इसी प्रकार,$y=(x+1)^2$ और $y=\frac{1}{4}$ के लिए,हमें $x = -\frac{1}{2}$ या $x = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
यह क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। परिबद्ध क्षेत्र $x = -\frac{1}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ के बीच है।
$x \in [0, \frac{1}{2}]$ के लिए,ऊपरी सीमा $y = \min((x+1)^2, (x-1)^2)$ है और निचली सीमा $y = \frac{1}{4}$ है।
विशेष रूप से,$x \in [0, \frac{1}{2}]$ के लिए,वक्र $y=(x-1)^2$ ऊपरी सीमा है।
$\text{आवश्यक क्षेत्रफल} = 2 \int_0^{\frac{1}{2}} \left[ (x-1)^2 - \frac{1}{4} \right] dx$
$= 2 \left[ \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{x}{4} \right]_0^{\frac{1}{2}}$
$= 2 \left[ \left( \frac{(-1/2)^3}{3} - \frac{1/2}{4} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - 0 \right) \right]$
$= 2 \left[ \left( -\frac{1}{24} - \frac{1}{8} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{4}{24} + \frac{1}{3} \right] = 2 \left[ -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} \right] = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई।}$

(D) अभीष्ट क्षेत्रफल वक्र $y=x^2+2$ (ऊपरी वक्र) और रेखा $y=x+1$ (निचली रेखा) द्वारा ऊर्ध्वाधर रेखाओं $x=0$ और $x=2$ के बीच परिबद्ध है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_0^2 [(x^2+2) - (x+1)] dx$
$= \int_0^2 (x^2 - x + 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^2$
$= \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 2 \right) - (0)$
$= \frac{8}{3} - 2 + 2 = \frac{8}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=4$ है,जिसकी त्रिज्या $r=2$ है। क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में $x=0$ ($y$-अक्ष) और $x=2$ रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $A$ को $0$ से $2$ तक $x$ के सापेक्ष $y$ के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है। प्रथम चतुर्थांश में $y^2 = 4-x^2$ होने के कारण,$y = \sqrt{4-x^2}$ है।
$A = \int_0^2 \sqrt{4-x^2} dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$A = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_0^2$
$A = \left( \frac{2}{2}\sqrt{4-4} + 2\sin^{-1}(1) \right) - \left( 0 + 2\sin^{-1}(0) \right)$
$A = (0 + 2 \times \frac{\pi}{2}) - 0 = \pi \text{ वर्ग इकाई.}$

(B) दिए गए वक्र $y = 4x^2$ के लिए,हम $x$ को $y$ के पदों में $x = \sqrt{\frac{y}{4}} = \frac{\sqrt{y}}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है और $x=0$,$y=2$ और $y=4$ द्वारा परिबद्ध है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ को $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$.
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ वर्ग इकाई।

(A) परवलय $y^2=4ax$ है। नाभिलंब रेखा $x=a$ है।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x=0$ से $x=a$ तक समाकलन करेंगे।
चूंकि परवलय $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A$ प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \, dx$
$A = 2 \int_{0}^{a} 2\sqrt{a} \sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a} = 4\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \cdot a^{3/2}$
$A = \frac{8}{3} \sqrt{a} \cdot a \sqrt{a} = \frac{8}{3} a^2 \text{ वर्ग इकाई}$

(B) वांछित क्षेत्रफल $A$,$x=1$ से $x=e$ तक फलन $y = \log x$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$A = \int_{1}^{e} \log x \, dx$
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = \log x$ और $dv = dx$:
$A = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$A = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 \, dx$
$A = [x \log x - x]_{1}^{e}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$A = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1)$
चूंकि $\log e = 1$ और $\log 1 = 0$:
$A = (e(1) - e) - (0 - 1)$
$A = (e - e) - (-1)$
$A = 0 + 1 = 1 \text{ वर्ग इकाई}$

(A) $x$-अक्ष के परितः $x = a$ से $x = b$ तक वक्र $y = f(x)$ को घुमाने से उत्पन्न ठोस का आयतन $V = \int_{a}^{b} \pi y^{2} dx$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ वक्र $y^{2} = 4x$ और सीमाएँ $x = 4$ से $x = 5$ दी गई हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \int_{4}^{5} \pi (4x) dx$
$V = 4\pi \int_{4}^{5} x dx$
$V = 4\pi \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{4}^{5}$
$V = 2\pi [x^{2}]_{4}^{5}$
$V = 2\pi (5^{2} - 4^{2})$
$V = 2\pi (25 - 16)$
$V = 2\pi (9) = 18\pi$ घन इकाई।

(A) क्षेत्रफल $R_1$ को $\int_0^b (1-x)^2 \, dx$ द्वारा और क्षेत्रफल $R_2$ को $\int_b^1 (1-x)^2 \, dx$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है कि $R_1 - R_2 = \frac{1}{4}$,अतः:
$\int_0^b (1-x)^2 \, dx - \int_b^1 (1-x)^2 \, dx = \frac{1}{4}$
समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{-(1-x)^3}{3} \right]_0^b - \left[ \frac{-(1-x)^3}{3} \right]_b^1 = \frac{1}{4}$
$\left( \frac{-(1-b)^3}{3} - \frac{-(1-0)^3}{3} \right) - \left( \frac{-(1-1)^3}{3} - \frac{-(1-b)^3}{3} \right) = \frac{1}{4}$
$\left( \frac{1 - (1-b)^3}{3} \right) - \left( \frac{(1-b)^3}{3} \right) = \frac{1}{4}$
$\frac{1 - 2(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$1 - 2(1-b)^3 = \frac{3}{4}$
$2(1-b)^3 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$(1-b)^3 = \frac{1}{8}$
$1-b = \frac{1}{2}$
$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(D) क्षेत्रफल $A$ दिए गए अंतराल पर फलन के मापांक का समाकलन है:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\cos x| \, dx$.
चूंकि $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए $\cos x \geq 0$ है,इसलिए:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$.
$A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
अतः,क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = 4y$ है,जिसका अर्थ है $y = \frac{x^2}{4}$।
वक्र $y = \frac{x^2}{4}$,$X$-अक्ष और रेखा $x = 3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = 3$ तक फलन का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{3} y \, dx = \int_{0}^{3} \frac{x^2}{4} \, dx$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} \right) = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{(1/4)^2} = 1$ में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a = \frac{1}{3}$ और $b = \frac{1}{4}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का कुल क्षेत्रफल $\pi ab$ होता है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ भाग होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \pi ab = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{48}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) क्षेत्रफल $A$,$x = 2$ से $x = 5$ तक $|y|$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन है।
$A = \int_{2}^{5} |3 - x| \, dx$.
चूंकि रेखा $y = 3 - x$,$x = 3$ पर $X$-अक्ष को काटती है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{2}^{3} (3 - x) \, dx + \int_{3}^{5} -(3 - x) \, dx$.
$A = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} + \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{3}^{5}$.
$A = \left( (9 - 4.5) - (6 - 2) \right) + \left( (12.5 - 15) - (4.5 - 9) \right)$.
$A = (4.5 - 4) + (-2.5 + 4.5) = 0.5 + 2 = 2.5 = \frac{5}{2}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 4y^2 = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{(1/2)^2} = 1$ में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a = \frac{1}{3}$ और $b = \frac{1}{2}$ है।
संपूर्ण दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$A = \pi \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$।
चूँकि दीर्घवृत्त दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है,इसलिए प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{24}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया वक्र $y^2 = 4x$ है और रेखा $x = 3$ है।
चूंकि वक्र $x$-अक्ष के परितः सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A = 2 \times \int_{0}^{3} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$y^2 = 4x$ से,हमें $y = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 2 \int_{0}^{3} 2\sqrt{x} \, dx = 4 \int_{0}^{3} x^{1/2} \, dx$ है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $A = 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3} = 4 \times \frac{2}{3} \times [x^{3/2}]_{0}^{3}$।
$A = \frac{8}{3} \times (3)^{3/2} = \frac{8}{3} \times 3\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $C$ है।