वृत्त x^{2}+y^{2}=a^{2} द्वारा परिबद्ध क्षेत् | vedclass

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Question

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है।चूंकि वृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में

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$\pi a^{2}$

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(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है।चूंकि वृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र $AOBA$ के क्षेत्रफल का $4$ गुना होगा।क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{a} y \, dx$$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ होने के कारण,प्रथम चतुर्थांश में $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ प्राप्त होता है।क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करने पर:क्षेत्रफल $= 4 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) \right]_{0}^{a}$$= 4 \left[ \left( \frac{a}{2} \sqrt{a^{2}-a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(1) \right) - (0 + 0) \right]$$= 4 \left[ 0 + \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) \right]$$= 4 \left( \frac{\pi a^{2}}{4} \right) = \pi a^{2}$अतः,वृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\pi a^{2}$ वर्ग इकाई है।

वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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यदि क्षेत्र $\{(x, y): -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq a + e^{|x|} - e^{-x}, a > 0\}$ का क्षेत्रफल $\frac{e^2 + 8e + 1}{e}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए:

वक्र $y=|x-2|$,$x=1$,$x=3$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

वृत्त $x^2 + y^2 = 4$,रेखा $x = \sqrt{3}y$ और प्रथम चतुर्थांश में स्थित $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है:

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