वक्रों (x-1)^{2}+y^{2}=1 और x^{2}+y^{2}=1 द्व | vedclass

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Question

(A) वक्रों $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ और $x^{2}+y^{2}=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।समीकरणों $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ और $x^{

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$\left(\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

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(A) वक्रों $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ और $x^{2}+y^{2}=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।समीकरणों $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ और $x^{2}+y^{2}=1$ को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$चूंकि $x^2 + y^2 = 1$,इसलिए $1 - 2x + 1 = 1$,जो $2x = 1$ देता है,अतः $x = \frac{1}{2}$.$x = \frac{1}{2}$ को $x^2 + y^2 = 1$ में रखने पर,$y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,अतः $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ और $B\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ हैं।वांछित क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।क्षेत्रफल $= 2 	imes \int_{0}^{1/2} \sqrt{1 - (x-1)^2} dx + 2 	imes \int_{1/2}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$.सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}ight)$ का उपयोग करने पर:क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) ight]_0^{1/2} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) ight]_{1/2}^1$$= 2 \left[ (-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1/2)) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) ight] + 2 \left[ (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1/2)) ight]$$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} ight] + 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} ight]$$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight] + 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight] = 4 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ वर्ग इकाई।

वक्रों $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ और $x^{2}+y^{2}=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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