वक्र $y=x^{4}$,रेखाओं $x=1$,$x=5$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = x + e^x$ है,तो $f^{-1}(x)$,$x = 1$ और $x = 1 + e$ रेखाओं तथा $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ($sq. units$ में) ज्ञात कीजिए:

साइन और कोसाइन फलनों के ग्राफ एक-दूसरे को कई बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,और प्रतिच्छेदन के दो क्रमागत बिंदुओं के बीच,दोनों ग्राफ समान क्षेत्रफल $A$ घेरते हैं। तो $A^{4}$ का मान ............ है।

मान लीजिए कि $f(x)$ एक गैर-ऋणात्मक सतत फलन है,इस प्रकार कि वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और कोटियों $x = \frac{\pi}{4}$ तथा $x = \beta > \frac{\pi}{4}$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\left( \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta \right)$ है। तो $f\left( \frac{\pi}{2} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x$ के विभिन्न मानों पर एक फलन $f(x)$ के मान निम्नलिखित हैं:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$2$	$3$	$6$	$11$	$18$	$27$

तब,ट्रेपेज़ॉइडल (Trapezoidal) नियम का उपयोग करके $x=0$ और $x=5$ के बीच वक्र $y=f(x)$ और $x$-अक्ष द्वारा घिरा अनुमानित क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है:

यदि $(a, 0); a > 0$ वह बिंदु है जहाँ वक्र $y = \sin 2x - \sqrt{3} \sin x$ $x$-अक्ष को पहली बार काटता है,और $A$ वक्र के इस भाग,मूल बिंदु और धनात्मक $x$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल है,तो: