Area bounded by region of single curve Questions in Hindi

(C) वक्र $y = e^x$ और $y = e^{-x}$ उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $e^x = e^{-x}$ है,जिसका अर्थ है $x = 0$।
यह क्षेत्र $x = 0$ (प्रतिच्छेदन बिंदु) और $x = 1$ के बीच परिबद्ध है।
अंतराल $[0, 1]$ में,$e^x \ge e^{-x}$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) \, dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = [e^x - (-e^{-x})]_{0}^{1}$
$A = [e^x + e^{-x}]_{0}^{1}$
सीमाओं को लागू करने पर:
$A = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^0)$
$A = e + \frac{1}{e} - (1 + 1)$
$A = e + \frac{1}{e} - 2$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) यह क्षेत्र वक्र $y = x^2$ और रेखा $y = 1$ द्वारा घिरा हुआ है। इस क्षेत्र को $y$-अक्ष के परितः घुमाने पर,हम डिस्क विधि का उपयोग करते हैं।
किसी दिए गए $y$ के लिए,डिस्क की त्रिज्या $x = \sqrt{y}$ है।
आयतन $V$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$V = \int_{0}^{1} \pi x^2 \, dy$
$x^2 = y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \int_{0}^{1} \pi y \, dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$V = \pi \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{2}$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $4\pi/3$ (विकल्प $B$) माना गया है।

(B) गोले के अनुप्रस्थ काट को दर्शाने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।
वृत्त के चाप को $x$-अक्ष के चारों ओर घुमाने से उत्पन्न ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi \int_{x_1}^{x_2} y \, ds$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $ds = \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} \, dx$ है।
$x^2 + y^2 = 25$ से,हमें $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
अतः $ds = \sqrt{1 + (-\frac{x}{y})^2} \, dx = \sqrt{\frac{y^2 + x^2}{y^2}} \, dx = \sqrt{\frac{25}{y^2}} \, dx = \frac{5}{y} \, dx$।
समाकलन की सीमाएँ $x_1 = 2 \, cm$ से $x_2 = 2 + 1 = 3 \, cm$ तक हैं।
इस प्रकार,$S = 2\pi \int_{2}^{3} y \cdot \frac{5}{y} \, dx = 2\pi \int_{2}^{3} 5 \, dx$।
$S = 2\pi [5x]_{2}^{3} = 2\pi (15 - 10) = 10\pi \, cm^2$।

(A) $y = 0$ और $y = 2$ के बीच वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ का भाग $y$-अक्ष के परितः घूमता है।
यह एक परिक्रमण ठोस बनाता है।
आयतन $V$ का सूत्र $V = \pi \int_{a}^{b} x^2 \, dy$ है।
वृत्त के समीकरण से,$x^2 = 9 - y^2$ है।
सीमाओं $y = 0$ से $y = 2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \pi \int_{0}^{2} (9 - y^2) \, dy$
$V = \pi \left[ 9y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$V = \pi \left[ (9(2) - \frac{2^3}{3}) - (0 - 0) \right]$
$V = \pi \left[ 18 - \frac{8}{3} \right]$
$V = \pi \left[ \frac{54 - 8}{3} \right] = \frac{46}{3}\pi$ घन इकाई।

(C) वक्र $y = x|x|$ के रूप में परिभाषित है।
$x \ge 0$ के लिए,$y = x^2$ है।
$x < 0$ के लिए,$y = -x^2$ है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-1}^{1} |y| dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फलन $y = x|x|$ एक विषम फलन है,इसलिए क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{1} x^2 dx$ होगा।
$A = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2}{3}$।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) वक्र $y = \log_e(x + e)$ है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$0 = \log_e(x + e) \implies x + e = e^0 = 1 \implies x = 1 - e$.
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें:
$y = \log_e(0 + e) = \log_e(e) = 1$.
वक्र और निर्देशांक अक्षों द्वारा घिरा क्षेत्रफल $x = 1 - e$ से $x = 0$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{1 - e}^0 \log_e(x + e) \, dx$.
माना $t = x + e$,तो $dt = dx$। जब $x = 1 - e$,तब $t = 1$। जब $x = 0$,तब $t = e$।
$\text{Area} = \int_1^e \log_e(t) \, dt$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए $\int \log_e(t) \, dt = t \log_e(t) - t$:
$\text{Area} = [t \log_e(t) - t]_1^e = (e \log_e(e) - e) - (1 \log_e(1) - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$.
अतः,क्षेत्रफल $1 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(A) क्षेत्रफल $A$ के लिए,वक्र $y = \sqrt{3x + 4}$ है। क्षेत्रफल $\int_{-1}^{4} \sqrt{3x + 4} \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसका मूल्यांकन करने पर: $\left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} (3x + 4)^{3/2} \right]_{-1}^{4} = \frac{2}{9} [ (3(4) + 4)^{3/2} - (3(-1) + 4)^{3/2} ] = \frac{2}{9} [ 16^{3/2} - 1^{3/2} ] = \frac{2}{9} [ 64 - 1 ] = \frac{2}{9} \times 63 = 14$.
क्षेत्रफल $B$ के लिए,वक्र $y^2 = 3x + 4$ है,जिसका अर्थ है $y = \pm \sqrt{3x + 4}$। वक्र और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $|y|$ का समाकलन है।
चूंकि वक्र और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के लिए $|y| = \sqrt{3x + 4}$ है,इसलिए क्षेत्रफल $B = \int_{-1}^{4} |\sqrt{3x + 4}| \, dx = \int_{-1}^{4} \sqrt{3x + 4} \, dx = 14$.
अतः,$A = 14$ और $B = 14$।
अनुपात $A:B = 14:14 = 1:1$ है।

(B) दिया गया है कि वक्र $y = f(x)$ द्वारा $x = \frac{\pi}{4}$ से $x = \beta$ तक घिरा क्षेत्रफल $\int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx = \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $\beta$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{d\beta} \left( \int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx \right) = \frac{d}{d\beta} \left( \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta \right)$.
$\beta \sin \beta$ के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$f(\beta) = (1 \cdot \sin \beta + \beta \cos \beta) - \frac{\pi}{4} \sin \beta + \sqrt{2}$.
अब,$f(\beta)$ के व्यंजक में $\beta = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \frac{\pi}{2} \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) - \frac{\pi}{4} \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \sqrt{2}$.
चूंकि $\sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$ और $\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ है:
$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 + 0 - \frac{\pi}{4}(1) + \sqrt{2} = 1 - \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}$.

(C) दिया गया है कि फलन का ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \int (2x + 1) dx = x^2 + x + c$.
चूंकि वक्र $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2 = (1)^2 + 1 + c \implies 2 = 2 + c \implies c = 0$.
अतः,वक्र का समीकरण $y = x^2 + x$ है।
वक्र और $x$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y = 0$ रखकर उन बिंदुओं को ज्ञात करते हैं जहाँ वक्र $x$-अक्ष को काटता है:
$x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \implies x = 0, x = -1$.
क्षेत्रफल समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \left| \int_{-1}^{0} (x^2 + x) dx \right| = \left| \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} \right|$.
निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\text{Area} = \left| (0) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} \right) \right| = \left| - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) \right| = \left| - \left( \frac{1}{6} \right) \right| = \frac{1}{6} \, \text{sq. unit}$.

(B) वक्र का समीकरण $y = x - x^2$ है।
वक्र $y = x - x^2$ और रेखा $y = mx$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $x - x^2 = mx$ को हल करने पर प्राप्त होते हैं,जो $x(1 - x - m) = 0$ देता है। अतः,$x = 0$ या $x = 1 - m$ है।
वक्र और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{0}^{1-m} (x - x^2 - mx) dx = \int_{0}^{1-m} ((1 - m)x - x^2) dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \left[ (1 - m)\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1-m}$
$A = (1 - m)\frac{(1 - m)^2}{2} - \frac{(1 - m)^3}{3} = \frac{(1 - m)^3}{2} - \frac{(1 - m)^3}{3} = \frac{(1 - m)^3}{6}$
यह दिया गया है कि क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ है,इसलिए:
$\frac{(1 - m)^3}{6} = \frac{9}{2}$
$(1 - m)^3 = 27$
$1 - m = 3$
$m = -2$
अतः,$m$ का सही मान $-2$ है।

(B) दिया गया वक्र ${y^2}(2a - x) = {x^3}$ है।
चूंकि $y$ की घात सम है,इसलिए वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$y$ को वास्तविक होने के लिए,$\frac{{x^3}}{{2a - x}} \ge 0$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $0 \le x < 2a$.
रेखा $x = 2a$ वक्र के लिए अनंतस्पर्शी (asymptote) है।
$x$-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल $A = \int_0^{2a} y \, dx = \int_0^{2a} \sqrt{\frac{x^3}{2a - x}} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $x = 2a \sin^2 \theta$,तो $dx = 4a \sin \theta \cos \theta \, d\theta$.
जब $x = 0, \theta = 0$ और जब $x = 2a, \theta = \frac{\pi}{2}$.
$A = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\frac{8a^3 \sin^6 \theta}{2a \cos^2 \theta}} \cdot 4a \sin \theta \cos \theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{2a \sqrt{2a} \sin^3 \theta}{\sqrt{2a} \cos \theta} \cdot 4a \sin \theta \cos \theta \, d\theta = 8a^2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \, d\theta$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \, d\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$.
अतः,$A = 8a^2 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi {a^2}}{2}$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) गोलीय कैप का आवश्यक आयतन $x^2 + y^2 = a^2$ वृत्त के $ABCA$ क्षेत्र को $x$-अक्ष के परितः घुमाकर प्राप्त किया जाता है।
यहाँ,$CA = h$ और $OA = a$ है।
इसलिए,$OC = OA - CA = a - h$ है।
अतः,$x$ का मान $a - h$ से $a$ तक बदलता है।
आवश्यक आयतन $V = \int_{a - h}^{a} \pi y^2 dx$ है।
चूँकि $x^2 + y^2 = a^2$,इसलिए $y^2 = a^2 - x^2$ है।
$V = \pi \int_{a - h}^{a} (a^2 - x^2) dx$
$V = \pi \left[ a^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{a - h}^{a}$
$V = \pi \left[ (a^3 - \frac{a^3}{3}) - (a^2(a - h) - \frac{(a - h)^3}{3}) \right]$
$V = \pi \left[ \frac{2a^3}{3} - (a^3 - a^2h - \frac{a^3 - 3a^2h + 3ah^2 - h^3}{3}) \right]$
$V = \pi \left[ \frac{2a^3}{3} - (a^3 - a^2h - \frac{a^3}{3} + a^2h - ah^2 + \frac{h^3}{3}) \right]$
$V = \pi \left[ \frac{2a^3}{3} - (\frac{2a^3}{3} - ah^2 + \frac{h^3}{3}) \right]$
$V = \pi (ah^2 - \frac{h^3}{3}) = \frac{\pi h^2}{3}(3a - h)$.

(A) हम जानते हैं कि $\ln x$,$x > 0$ के लिए परिभाषित है और $\ln |x|$,सभी $x \in \mathbb{R} - \{0\}$ के लिए परिभाषित है।
साथ ही,$|\ln x| \ge 0$ और $|\ln |x|| \ge 0$ है।
इन वक्रों द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $4 \times \int_{0}^{1} |\ln x| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $x \in (0, 1)$ के लिए,$\ln x < 0$ है,इसलिए $|\ln x| = -\ln x$ होगा।
क्षेत्रफल $= -4 \int_{0}^{1} \ln x \, dx$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int \ln x \, dx = x \ln x - x$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= -4 [x \ln x - x]_{0}^{1} = -4 [(1 \ln 1 - 1) - (\lim_{x \to 0^+} x \ln x - 0)]$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल $= -4 [0 - 1 - 0] = -4(-1) = 4 \, sq. \, units$ होगा।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $18x^2 - 9\pi x + \pi^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(3x - \pi)(6x - \pi) = 0$।
अतः,मूल $\alpha = \frac{\pi}{6}$ और $\beta = \frac{\pi}{3}$ हैं (चूंकि $\alpha < \beta$)।
अब,संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \cos((\sqrt{x})^2) = \cos(x)$ है।
वक्र $y = \cos(x)$,रेखाओं $x = \frac{\pi}{6}$,$x = \frac{\pi}{3}$ और $y = 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos(x) \, dx$।
समाकलन करने पर: $A = [\sin(x)]_{\pi/6}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{6})$।
मान रखने पर: $A = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) हमारे पास वक्र $y = \log x$ है।
समाकलन की सीमाएँ ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखकर $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$0 = \log x \implies x = 1$.
$x = 1$ और $x = e$ के बीच वक्र द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_{1}^{e} \log x \, dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int \log x \, dx = x \log x - x$.
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [x \log x - x]_{1}^{e} = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1)$.
चूंकि $\log e = 1$ और $\log 1 = 0$:
$A = (e(1) - e) - (0 - 1) = (e - e) + 1 = 1$.
अतः,क्षेत्रफल $1$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया गया वक्र $y = 2 \sin x + \sin 2x$ है। $0 \le x \le \pi$ के लिए,$y \ge 0$ है,और $\pi \le x \le 2 \pi$ के लिए,$y \le 0$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_0^{2 \pi} |y| \, dx = \int_0^{\pi} (2 \sin x + \sin 2x) \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} -(2 \sin x + \sin 2x) \, dx$.
प्रथम समाकलन का मान: $\int_0^{\pi} (2 \sin x + \sin 2x) \, dx = [-2 \cos x - \frac{1}{2} \cos 2x]_0^{\pi} = (-2(-1) - \frac{1}{2}(1)) - (-2(1) - \frac{1}{2}(1)) = (2 - 0.5) - (-2 - 0.5) = 1.5 + 2.5 = 4$.
द्वितीय समाकलन का मान: $\int_{\pi}^{2 \pi} -(2 \sin x + \sin 2x) \, dx = -[-2 \cos x - \frac{1}{2} \cos 2x]_{\pi}^{2 \pi} = -[(-2(1) - \frac{1}{2}(1)) - (-2(-1) - \frac{1}{2}(1))] = -[(-2.5) - (1.5)] = -[-4] = 4$.
कुल क्षेत्रफल $A = 4 + 4 = 8$.

(B) दिया गया वक्र $y = x^2 + 4x + 5$ है। पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $y = (x+2)^2 + 1$ प्राप्त होता है।
$y$ का न्यूनतम मान $x = -2$ पर होता है,जहाँ $y = 1$ है। यह न्यूनतम ऑर्डिनेट है।
वक्र $y$-अक्ष को $x = 0$ पर काटता है,जहाँ $y = 5$ है।
वक्र,$y$-अक्ष $(x=0)$,$x$-अक्ष $(y=0)$ और न्यूनतम ऑर्डिनेट $(x=-2)$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल निम्न समाकल द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 5) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 5x \right]_{-2}^{0}$
$= (0) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 5(-2) \right)$
$= - \left( -\frac{8}{3} + 8 - 10 \right)$
$= - \left( -\frac{8}{3} - 2 \right) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8+6}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = x^2 - x^4 = x^2(1 - x^2)$ है।
वर्गमूल लेने पर,हमें $y = \pm x \sqrt{1 - x^2}$ प्राप्त होता है।
यह वक्र $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है।
अतः,कुल क्षेत्रफल $A$ प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का $4$ गुना होगा।
$A = 4 \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} dx$.
माना $u = 1 - x^2$,तब $du = -2x dx$,या $x dx = -\frac{1}{2} du$.
जब $x = 0$,तब $u = 1$. जब $x = 1$,तब $u = 0$.
$A = 4 \int_{1}^{0} \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = 2 \int_{0}^{1} u^{1/2} du$.
$A = 2 \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = 2 \times \frac{2}{3} [1 - 0] = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) वक्र $y = (x - 1)(x - 2)(x - 3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ है।
क्षेत्रफल $y$-अक्ष $(x=0)$,$x$-अक्ष $(y=0)$ और रेखा $x=3$ द्वारा घिरा है।
वक्र के शून्यक $x=1, 2, 3$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{3} |y| dx = \int_{0}^{1} |y| dx + \int_{1}^{2} |y| dx + \int_{2}^{3} |y| dx$ है।
मान लीजिए $I(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{11x^2}{2} - 6x$ है।
$1$. $x \in [0, 1]$ के लिए,$y < 0$,अतः $A_1 = -[I(1) - I(0)] = \frac{9}{4}$ है।
$2$. $x \in [1, 2]$ के लिए,$y > 0$,अतः $A_2 = I(2) - I(1) = \frac{1}{4}$ है।
$3$. $x \in [2, 3]$ के लिए,$y < 0$,अतः $A_3 = -[I(3) - I(2)] = \frac{1}{4}$ है।
कुल क्षेत्रफल $= A_1 + A_2 + A_3 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$ है।

(A) वक्र $y = 1 + 4x - x^2$ और रेखाओं $x = 0, x = \frac{3}{2}$ तथा $y = 0$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल निश्चित समाकलन द्वारा इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{3/2} (1 + 4x - x^2) \, dx$
$A = \left[ x + 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3/2}$
$A = \left( \frac{3}{2} + 2\left(\frac{9}{4}\right) - \frac{1}{3}\left(\frac{27}{8}\right) \right) - 0$
$A = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} - \frac{9}{8} = 6 - \frac{9}{8} = \frac{48 - 9}{8} = \frac{39}{8}$
रेखा $y = mx$ इस क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है,इसलिए रेखा $y = mx$,$x$-अक्ष और रेखा $x = \frac{3}{2}$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होना चाहिए।
त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(\frac{3}{2}, 0)$ और $(\frac{3}{2}, \frac{3m}{2})$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{3m}{2} = \frac{9m}{8}$
त्रिभुज के क्षेत्रफल को कुल क्षेत्रफल के आधे के बराबर रखने पर:
$\frac{9m}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{39}{8}$
$9m = \frac{39}{2}$
$m = \frac{39}{18} = \frac{13}{6}$

(C) वक्र $y = f(x)$ द्वारा $x = 1$ से $x = b$ के बीच परिबद्ध क्षेत्रफल समाकलन $\int_{1}^{b} f(x) \, dx = (b - 1) \sin(3b + 4)$ द्वारा दिया जाता है।
$b$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें क्षेत्रफल फलन $A(x) = \int_{1}^{x} f(t) \, dt = (x - 1) \sin(3x + 4)$ प्राप्त होता है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f(x)$ ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x) = \frac{d}{dx} [(x - 1) \sin(3x + 4)]$.
गुणन नियम $\frac{d}{dx} [u \cdot v] = u'v + uv'$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{d}{dx}(x - 1) \cdot \sin(3x + 4) + (x - 1) \cdot \frac{d}{dx} \sin(3x + 4)$.
$f(x) = 1 \cdot \sin(3x + 4) + (x - 1) \cdot \cos(3x + 4) \cdot 3$.
$f(x) = \sin(3x + 4) + 3(x - 1) \cos(3x + 4)$.

(C) हमें $0 < y < 3 - 2x - x^2$ और $x > 0$ द्वारा परिभाषित क्षेत्र दिया गया है।
$x$ के लिए समाकलन की सीमाएँ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $y = 3 - 2x - x^2$ में $y = 0$ रखते हैं:
$3 - 2x - x^2 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
$(x + 3)(x - 1) = 0$
इससे $x = -3$ या $x = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि शर्त $x > 0$ है,इसलिए $x$ के लिए अंतराल $0$ से शुरू होता है और $x = 1$ पर समाप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल समाकलन $\int_{0}^{1} (3 - 2x - x^2) \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।

(D) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = 0$ तथा $x = x_1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\int_{0}^{x_1} f(x) \, dx = x_1 e^{x_1}$
$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x_1$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx_1} \left( \int_{0}^{x_1} f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx_1} (x_1 e^{x_1})$
$f(x_1) = \frac{d}{dx_1} (x_1) \cdot e^{x_1} + x_1 \cdot \frac{d}{dx_1} (e^{x_1})$
$f(x_1) = 1 \cdot e^{x_1} + x_1 e^{x_1}$
$x_1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = e^x + x e^x$

(A) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$ दी गई है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y = \int (2x + 1) dx = x^2 + x + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,$x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 = (1)^2 + 1 + C \Rightarrow 2 = 2 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,वक्र का समीकरण $y = x^2 + x$ है।
यह क्षेत्र वक्र $y = x^2 + x$,$x$-अक्ष $(y = 0)$ और रेखा $x = 1$ द्वारा परिबद्ध है। वक्र $x$-अक्ष को $x^2 + x = 0$ पर काटता है,जिससे $x(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = 0$ और $x = -1$। वक्र,$x$-अक्ष और रेखा $x = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र अंतराल $[0, 1]$ में है।
आवश्यक क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (x^2 + x) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$= \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) - (0 + 0) = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}$.
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(C) अंतराल $[0, 1/c]$ पर दो वक्रों $f(x) = x^2$ और $g(x) = cx^3$ के बीच का क्षेत्रफल $A$,दोनों फलनों के अंतर का समाकलन है।
ग्राफ से,अंतराल $[0, 1/c]$ में,$x^2 \ge cx^3$ है।
अतः,क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1/c} (x^2 - cx^3) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{cx^4}{4} \right]_{0}^{1/c}$
$= \left( \frac{(1/c)^3}{3} - \frac{c(1/c)^4}{4} \right) - 0$
$= \frac{1}{3c^3} - \frac{1}{4c^3}$
$= \frac{4 - 3}{12c^3} = \frac{1}{12c^3}$
दिया गया है कि क्षेत्रफल $A = 2/3$,इसलिए:
$\frac{1}{12c^3} = \frac{2}{3}$
$24c^3 = 3 \implies c^3 = 3/24 = 1/8$
अतः,$c = \sqrt[3]{1/8} = 1/2$.

(B) दिए गए वक्र $x, y \le 0$ के लिए $y = -\sqrt{-x}$ और $x = -\sqrt{-y}$ हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = -x$ और $x^2 = -y$ प्राप्त होता है।
ये तीसरे चतुर्थांश में खुलने वाले परवलय हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = -x^2$ को $y^2 = -x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(-x^2)^2 = -x \Rightarrow x^4 = -x \Rightarrow x(x^3 + 1) = 0$.
चूंकि $x \le 0$,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = -1$ हैं।
जब $x = 0, y = 0$। जब $x = -1, y = -1$।
क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 0$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_{-1}^{0} (\text{ऊपरी वक्र} - \text{निचला वक्र}) dx$
अंतराल $[-1, 0]$ में,वक्र $y = -\sqrt{-x}$,$y = -x^2$ के ऊपर है।
$A = \int_{-1}^{0} (-\sqrt{-x} - (-x^2)) dx = \int_{-1}^{0} (x^2 - \sqrt{-x}) dx$
$A = [\frac{x^3}{3} - \frac{(-x)^{3/2}}{3/2} \times (-1)]_{-1}^{0} = [\frac{x^3}{3} + \frac{2}{3}(-x)^{3/2}]_{-1}^{0}$
$A = (0 + 0) - (\frac{-1}{3} + \frac{2}{3}(1)) = -(-\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = -\frac{1}{3}$.
चूंकि क्षेत्रफल धनात्मक होना चाहिए,हम निरपेक्ष मान लेते हैं: $A = 1/3$.

(B) क्षेत्रफल $A$,$x = e^{-1}$ से $x = e$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है।
$A = \int_{e^{-1}}^{e} x(1 - \ln x) \, dx$
माना $I = \int x(1 - \ln x) \, dx = \int x \, dx - \int x \ln x \, dx$.
$\int x \ln x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$u = \ln x$ और $dv = x \, dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।
$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}$.
अतः,$I = \frac{x^2}{2} - (\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}) = \frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln x$.
अब,$e^{-1}$ से $e$ तक निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [\frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln x]_{e^{-1}}^{e}$
$A = (\frac{3e^2}{4} - \frac{e^2}{2} \ln e) - (\frac{3e^{-2}}{4} - \frac{e^{-2}}{2} \ln e^{-1})$
$A = (\frac{3e^2}{4} - \frac{e^2}{2}) - (\frac{3e^{-2}}{4} + \frac{e^{-2}}{2})$
$A = \frac{e^2}{4} - \frac{5e^{-2}}{4} = \frac{e^2 - 5e^{-2}}{4}$.

(D) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$A = \int_{a}^{2a} \left( \frac{x}{6} + \frac{1}{x^2} \right) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{12} - \frac{1}{x} \right]_{a}^{2a}$
$= \left( \frac{(2a)^2}{12} - \frac{1}{2a} \right) - \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{a} \right)$
$= \left( \frac{4a^2}{12} - \frac{1}{2a} \right) - \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{a} \right)$
$= \frac{3a^2}{12} + \frac{1}{a} - \frac{1}{2a} = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{2a}$
माना $f(a) = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{2a}$. न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(a) = \frac{2a}{4} - \frac{1}{2a^2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2a^2}$
$f'(a) = 0$ रखने पर:
$\frac{a}{2} = \frac{1}{2a^2} \Rightarrow a^3 = 1 \Rightarrow a = 1$
अतः,$a$ का वह मान जिसके लिए क्षेत्रफल न्यूनतम है,$1$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = 3x^3 + 2x$। हमें $g(x)$,$x-$अक्ष और रेखा $x = 5$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
चूंकि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $x=0$ से $x=5$ तक $g(x)$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल,$y=0$ से $y=5$ तक $f(x)$ और $y-$अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्रफल के बराबर होगा।
सबसे पहले,$x$ का वह मान ज्ञात करें जिसके लिए $f(x) = 5$ है:
$3x^3 + 2x = 5 \implies 3x^3 + 2x - 5 = 0$।
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है क्योंकि $3(1)^3 + 2(1) - 5 = 0$।
क्षेत्रफल $\int_{0}^{5} g(x) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
प्रतिलोम फलनों के गुण का उपयोग करते हुए,$\int_{0}^{a} g(x) \, dx + \int_{0}^{g(a)} f(x) \, dx = a \cdot g(a)$।
यहाँ $a = 5$ और $g(5) = 1$ है।
अतः,$\int_{0}^{5} g(x) \, dx + \int_{0}^{1} (3x^3 + 2x) \, dx = 5 \cdot 1 = 5$।
$\int_{0}^{1} (3x^3 + 2x) \, dx = [\frac{3x^4}{4} + x^2]_{0}^{1} = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$।
इसलिए,अभीष्ट क्षेत्रफल $5 - \frac{7}{4} = \frac{20 - 7}{4} = \frac{13}{4}$ है।

(A) माना $A_1$ वक्र $y = 1 - x^2$ और $0 < x < 1$ के लिए अक्षों के बीच का क्षेत्रफल है।
$A_1 = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$
अब,वक्र $y = 1 - x^2$ के लिए,$x = \alpha$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $y' = -2x$ है। $x = \alpha$ पर,$y' = -2\alpha.$
$(\alpha, 1 - \alpha^2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (1 - \alpha^2) = -2\alpha(x - \alpha)$ है।
$y - 1 + \alpha^2 = -2\alpha x + 2\alpha^2 \Rightarrow 2\alpha x + y = \alpha^2 + 1.$
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $P$ (जहाँ $y=0$) और $y$-अक्ष को $Q$ (जहाँ $x=0$) पर मिलती है।
$P = \left( \frac{\alpha^2 + 1}{2\alpha}, 0 \right)$ और $Q = (0, \alpha^2 + 1).$
त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times OP \times OQ = \frac{1}{2} \times \frac{\alpha^2 + 1}{2\alpha} \times (\alpha^2 + 1) = \frac{(\alpha^2 + 1)^2}{4\alpha}.$
न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$A' = \frac{1}{4} \left[ \frac{2(\alpha^2 + 1)(2\alpha)(\alpha) - (\alpha^2 + 1)^2(1)}{\alpha^2} \right] = \frac{(\alpha^2 + 1)(4\alpha^2 - \alpha^2 - 1)}{4\alpha^2} = \frac{(\alpha^2 + 1)(3\alpha^2 - 1)}{4\alpha^2}.$
$A' = 0$ रखने पर,हमें $3\alpha^2 - 1 = 0 \Rightarrow \alpha^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है (क्योंकि $0 < \alpha < 1$).
न्यूनतम क्षेत्रफल $A = \frac{(\frac{1}{3} + 1)^2}{4(\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{(\frac{4}{3})^2}{\frac{4}{\sqrt{3}}} = \frac{16}{9} \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{9} = \frac{4}{3\sqrt{3}}.$
दिया गया है कि $A = k A_1,$ इसलिए $\frac{4}{3\sqrt{3}} = k \times \frac{2}{3}.$
$k = \frac{4}{3\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}.$

(A) बिंदु $(a, 0)$ वक्र $y = \sin 2x - \sqrt{3} \sin x$ पर स्थित है।
$y = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $0 = 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x = \sin x (2 \cos x - \sqrt{3})$।
चूंकि $a > 0$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ पहला प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $\sin a \neq 0$,अतः $2 \cos a = \sqrt{3}$,जिससे $a = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $A = \int_{0}^{\pi/6} (\sin 2x - \sqrt{3} \sin x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $A = \left[ -\frac{\cos 2x}{2} + \sqrt{3} \cos x \right]_{0}^{\pi/6}$।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $A = \left( -\frac{\cos(\pi/3)}{2} + \sqrt{3} \cos(\pi/6) \right) - \left( -\frac{\cos 0}{2} + \sqrt{3} \cos 0 \right)$।
$A = \left( -\frac{1/2}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \sqrt{3} \right) = \left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \sqrt{3} \right) = \frac{5}{4} + \frac{1}{2} - \sqrt{3} = \frac{7}{4} - \sqrt{3}$।
अतः,$4A = 7 - 4\sqrt{3}$।
चूंकि $a = \pi/6$,$\cos a = \sqrt{3}/2$,इसलिए $8 \cos a = 4\sqrt{3}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$4A + 8 \cos a = (7 - 4\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} = 7$।

(A) फलन $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 13$ है।
वक्र और निर्देशांक अक्षों द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम $x=0$,$y=0$ और वक्र $y=f(x)$ द्वारा घिरे क्षेत्र को देखते हैं।
ग्राफ से,वक्र $x$-अक्ष को $x=1$ पर काटता है।
क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=1$ तक $f(x)$ के समाकलन का निरपेक्ष मान है:
$A = \left| \int_{0}^{1} (x^3 - 8x^2 + 20x - 13) \, dx \right|$
$A = \left| \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + 10x^2 - 13x \right]_{0}^{1} \right|$
$A = \left| \left( \frac{1}{4} - \frac{8}{3} + 10 - 13 \right) - 0 \right|$
$A = \left| \frac{3 - 32 + 120 - 156}{12} \right|$
$A = \left| \frac{-65}{12} \right| = \frac{65}{12}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{65}{12}$ वर्ग इकाई है।

(A) माना द्विघात बहुपद $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। दिया गया है कि $c = 3$ और $a = 1$,इसलिए $f(x) = x^2 + bx + 3$ है।
चूँकि वक्र $x = 1$ के सापेक्ष सममित है,शीर्ष $x = 1$ पर स्थित है।
अवकलन $f'(x) = 2x + b$ है। $f'(1) = 0$ रखने पर $2(1) + b = 0$,अतः $b = -2$ है।
इस प्रकार,बहुपद $f(x) = x^2 - 2x + 3$ है।
वक्र $y = f(x)$ और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए $f(x) = 3$ रखें:
$x^2 - 2x + 3 = 3$ $\Rightarrow x^2 - 2x = 0$ $\Rightarrow x(x - 2) = 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 2$ हैं।
क्षेत्रफल $\int_{0}^{2} (3 - f(x)) dx = \int_{0}^{2} (3 - (x^2 - 2x + 3)) dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर: $[x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$।

(C) दिया गया वक्र $y = x^3 + px + 1$ है।
वक्र और रेखा $y = 1$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम $x^3 + px + 1 = 1$ रखते हैं,जिससे $x^3 + px = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x(x^2 + p) = 0$।
मान लीजिए $p < 0$,और $p = -a^2$ जहाँ $a > 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0, x = a, x = -a$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ वक्र और रेखा के बीच के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_{-a}^{0} (x^3 - a^2x + 1 - 1) dx + \int_{0}^{a} (1 - (x^3 - a^2x + 1)) dx$।
$A = \int_{-a}^{0} (x^3 - a^2x) dx + \int_{0}^{a} (-x^3 + a^2x) dx$।
प्रथम समाकलन का मान: $[\frac{x^4}{4} - \frac{a^2x^2}{2}]_{-a}^{0} = 0 - (\frac{a^4}{4} - \frac{a^4}{2}) = \frac{a^4}{4}$।
द्वितीय समाकलन का मान: $[-\frac{x^4}{4} + \frac{a^2x^2}{2}]_{0}^{a} = (-\frac{a^4}{4} + \frac{a^4}{2}) - 0 = \frac{a^4}{4}$।
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{a^4}{4} + \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{2}$।
चूंकि $p = -a^2$,इसलिए $p^2 = a^4$।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{p^2}{2}$ है।

(B) फलन $y = \ln^2 x - 1$ है। $4^{th}$ चतुर्थांश वह क्षेत्र है जहाँ $y < 0$ और $x > 0$ होता है।
$y = 0$ रखने पर,$\ln^2 x = 1$,अतः $\ln x = \pm 1$,जिससे $x = e$ या $x = 1/e$ प्राप्त होता है।
$x \in (1/e, e)$ के लिए,$\ln x$ का मान $-1$ और $1$ के बीच होता है,इसलिए $\ln^2 x < 1$,जिसका अर्थ है $y < 0$।
क्षेत्रफल $A = \int_{1/e}^{e} |\ln^2 x - 1| dx = \int_{1/e}^{e} (1 - \ln^2 x) dx$ है।
$\int \ln^2 x dx = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x$ का उपयोग करने पर:
$\int (1 - \ln^2 x) dx = x - (x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x) = -x \ln^2 x + 2x \ln x - x$।
$1/e$ से $e$ तक सीमाएँ रखने पर:
$x = e$ पर: $-e(1)^2 + 2e(1) - e = 0$।
$x = 1/e$ पर: $-(1/e)(-1)^2 + 2(1/e)(-1) - (1/e) = -4/e$।
अतः,$A = 0 - (-4/e) = 4/e$।

(C) $y = \sin x$ और $y = \cos x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5\pi}{4}$ हैं।
अंतराल $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ में,$\sin x \geq \cos x$ है।
अतः,क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) \, dx$
$= [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$
$= -[(\cos x + \sin x)]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$
$= -\left[ \left( \cos\frac{5\pi}{4} + \sin\frac{5\pi}{4} \right) - \left( \cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} \right) \right]$
$= -\left[ \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right]$
$= -\left[ -\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} \right]$
$= -[ -\sqrt{2} - \sqrt{2} ] = -(-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

(B) माना $y = f(x) = x + e^x$ है। हमें $x=1$ से $x=1+e$ तक $f^{-1}(x)$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
यह क्षेत्रफल $\int_{1}^{1+e} f^{-1}(x) dx$ के बराबर है।
प्रतिलोम फलनों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यह क्षेत्रफल $\int_{f^{-1}(1)}^{f^{-1}(1+e)} x f'(x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $f(x) = x + e^x$ के लिए,$f(0) = 0 + e^0 = 1$ और $f(1) = 1 + e^1 = 1+e$ है।
अतः,क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} x (1 + e^x) dx$ होगा।
$= \int_{0}^{1} x dx + \int_{0}^{1} x e^x dx$.
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ x e^x - e^x \right]_{0}^{1}$.
$= (\frac{1}{2} - 0) + ((1 \cdot e^1 - e^1) - (0 \cdot e^0 - e^0))$.
$= \frac{1}{2} + (0 - (-1)) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ $sq. units$.

(A) वक्र $x = \sqrt{2 - y^2}$ वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ का दायां अर्धभाग दर्शाता है,जिसकी त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
वक्र $|x| = |y|$ रेखाओं $y = x$ और $y = -x$ को दर्शाते हैं।
ये रेखाएं वृत्त को उन बिंदुओं पर काटती हैं जहाँ $x^2 + x^2 = 2$,जिससे $2x^2 = 2$ प्राप्त होता है,अतः $x^2 = 1$,जिसका अर्थ है $x = 1$ ($x \ge 0$ होने के कारण)।
$x = 1$ पर,$y = 1$ और $y = -1$ प्राप्त होता है। केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण $\theta = -45^\circ$ से $\theta = 45^\circ$ तक है,जो $90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।
वृत्तीय त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} r^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$r^2 = 2$ और $\theta = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,वक्र के समीकरण को सरल करें: $y = \cos^{-1}\sqrt{1 - x^2} = \sin^{-1}x$,जहाँ $x \in [0, 1]$।
$x = 0$ पर $y = \sin^{-1}x$ की स्पर्श रेखा: $y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,अतः $x = 0$ पर $y' = 1$। स्पर्श रेखा $y = x$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_0^1 (\sin^{-1}x - x) dx$ है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int \sin^{-1}x dx = x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}$।
$A = [x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{2}]_0^1 = (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}) - 1 = \frac{\pi - 3}{2}$।
चूंकि $0 < \frac{\pi - 3}{2} < 1$,इसलिए $\{A\} = \frac{\pi - 3}{2}$ और $\text{sgn}(A) = 1$।
अतः,$2(\{A\} + \text{sgn}(A)) = 2(\frac{\pi - 3}{2} + 1) = \pi - 1$।

(C) दिया गया वक्र $y^2 = \frac{(a-x)^3}{a+x}$ है।
जैसे $x \to -a$,$y \to \infty$,इसलिए $x = -a$ ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।
वक्र $x$-अक्ष को $x = a$ पर काटता है (जहाँ $y=0$)।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{-a}^{a} y \, dx = 2 \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{(a-x)^3}{a+x}} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
माना $x = a \cos \theta$,तब $dx = -a \sin \theta \, d\theta$ है।
जब $x = -a, \theta = \pi$ और जब $x = a, \theta = 0$ है।
$A = 2 \int_{\pi}^{0} \sqrt{\frac{(a - a \cos \theta)^3}{a + a \cos \theta}} (-a \sin \theta) \, d\theta = 8a^2 \int_{0}^{\pi} \sin^4(\theta/2) \, d\theta$.
समाकलन करने पर,$\int_{0}^{\pi} \sin^4(\theta/2) \, d\theta = \frac{3\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 8a^2 \times \frac{3\pi}{8} = 3\pi a^2$।

(A) दिए गए वक्र $y = |x| - 1$ और $y = 1 - |x|$ हैं।
ये वक्र एक वर्ग को दर्शाते हैं जिसके शीर्ष $(1, 0)$,$(0, 1)$,$(-1, 0)$,और $(0, -1)$ पर हैं।
इस वर्ग की भुजा की लंबाई दो आसन्न शीर्षों के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है,उदाहरण के लिए,$(1, 0)$ और $(0, 1)$:
$s = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
वर्ग का क्षेत्रफल $s^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,क्षेत्रफल $(\sqrt{2})^2 = 2$ वर्ग इकाई है।

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ और $y = \frac{2t}{1 + t^2}$ हैं।
माना $t = \tan \theta$ है। तब $x = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos 2\theta$ और $y = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin 2\theta$ होगा।
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $x^2 + y^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$ प्राप्त होता है।
यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित और $r = 1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
$r = 1$ रखने पर,हमें $A = \pi(1)^2 = \pi \ sq. \ units$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\int\limits_0^1 {(4x^3 - f(x))f(x)dx = \frac{4}{7}}$.
समाकल का विस्तार करने पर: $\int\limits_0^1 {(4x^3f(x) - (f(x))^2)dx = \frac{4}{7}}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\int\limits_0^1 {(-(f(x))^2 + 4x^3f(x))dx = \frac{4}{7}}$.
$-1$ से गुणा करने पर: $\int\limits_0^1 {((f(x))^2 - 4x^3f(x))dx = -\frac{4}{7}}$.
दोनों पक्षों में $\int\limits_0^1 {(2x^3)^2 dx}$ जोड़कर पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$\int\limits_0^1 {((f(x))^2 - 4x^3f(x) + 4x^6)dx = -\frac{4}{7} + \int\limits_0^1 {4x^6 dx}}$.
$\int\limits_0^1 {(f(x) - 2x^3)^2 dx = -\frac{4}{7} + [\frac{4x^7}{7}]_0^1 = -\frac{4}{7} + \frac{4}{7} = 0}$.
चूंकि एक वर्ग फलन का समाकल $0$ है,इसलिए $f(x) - 2x^3 = 0$,अतः $f(x) = 2x^3$.
$y = 2x^3$,$x$-अक्ष,$x = 1$ और $x = 2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\int\limits_1^2 {2x^3 dx}$ है।
$= [\frac{2x^4}{4}]_1^2 = [\frac{x^4}{2}]_1^2 = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण $x^2y + y^2x = \alpha xy$ है।
मान लीजिए $x \neq 0$ और $y \neq 0$,तो $xy$ से विभाजित करने पर हमें $x + y = \alpha$ प्राप्त होता है।
यह वक्र $x = 0$,$y = 0$ और $x + y = \alpha$ रेखाओं द्वारा निर्मित एक त्रिभुज को दर्शाता है।
इस त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(\alpha, 0)$ और $(0, \alpha)$ हैं।
आधार $|\alpha|$ और ऊँचाई $|\alpha|$ वाले समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\alpha| \times |\alpha| = \frac{\alpha^2}{2}$ होता है।
चूँकि क्षेत्रफल $2$ इकाई दिया गया है,इसलिए $\frac{\alpha^2}{2} = 2$,जिसका अर्थ है $\alpha^2 = 4$।
अतः,$\alpha = \pm 2$।

(D) फलन $f(x) = \min \{\sin^{-1} x, \cos^{-1} x\}$ को $x \in [0, 1/\sqrt{2}]$ के लिए $\sin^{-1} x$ और $x \in [1/\sqrt{2}, 1]$ के लिए $\cos^{-1} x$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$f(x)$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$y$ के सापेक्ष समाकलन करना आसान है।
मान लीजिए $y = \sin^{-1} x \implies x = \sin y$ और $y = \cos^{-1} x \implies x = \cos y$ है।
वक्र $y = \pi/4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $x = 1/\sqrt{2}$ है।
क्षेत्रफल $\int_{0}^{\pi/4} (\cos y - \sin y) dy$ द्वारा प्राप्त होता है।
$= [\sin y + \cos y]_{0}^{\pi/4}$
$= (\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)) - (\sin(0) + \cos(0))$
$= (1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}) - (0 + 1)$
$= \sqrt{2} - 1$.

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = (x-1)^3 + 2$.
मान लीजिए $y = g(x)$,तो $x = f(y) = (y-1)^3 + 2$.
हमें $y = g(x)$ और $x$-अक्ष के बीच $x = 1$ से $x = 2$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
यह $x = f(y)$ और $y$-अक्ष के बीच $y = g(1)$ से $y = g(2)$ के बीच के क्षेत्रफल के बराबर है।
चूंकि $f(0) = 1$,इसलिए $g(1) = 0$ और $f(1) = 2$,इसलिए $g(2) = 1$ है।
अतः,क्षेत्रफल $A = \int_1^2 g(x) dx$ है। $x = f(y)$ लेने पर,$dx = f'(y) dy$ प्राप्त होता है।
जब $x = 1, y = 0$ और जब $x = 2, y = 1$ होता है।
$A = \int_0^1 y f'(y) dy = [y f(y)]_0^1 - \int_0^1 f(y) dy = (1 \cdot f(1) - 0 \cdot f(0)) - \int_0^1 (y^3 - 3y^2 + 3y + 1) dy = 2 - [\frac{y^4}{4} - y^3 + \frac{3y^2}{2} + y]_0^1 = 2 - (\frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} + 1) = 2 - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}$.

(A) दिया गया समीकरण $|y| + \frac{1}{2} = e^{-|x|}$ है।
चूंकि समीकरण में $|x|$ और $|y|$ शामिल हैं,इसलिए वक्र $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है।
हम लिख सकते हैं $|y| = e^{-|x|} - \frac{1}{2}$।
$y$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $e^{-|x|} - \frac{1}{2} \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $e^{-|x|} \ge \frac{1}{2}$,या $|x| \le \ln 2$।
प्रथम चतुर्थांश $(x \ge 0, y \ge 0)$ में,समीकरण $y = e^{-x} - \frac{1}{2}$ हो जाता है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $\int_0^{\ln 2} (e^{-x} - \frac{1}{2}) dx$ है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $\int_0^{\ln 2} e^{-x} dx - \int_0^{\ln 2} \frac{1}{2} dx = [-e^{-x}]_0^{\ln 2} - [\frac{1}{2}x]_0^{\ln 2} = (-e^{-\ln 2} - (-e^0)) - \frac{1}{2}\ln 2 = (-\frac{1}{2} + 1) - \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1}{2}(1 - \ln 2)$।
चूंकि वक्र चारों चतुर्थांशों में सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $4 \times \frac{1}{2}(1 - \ln 2) = 2(1 - \ln 2)$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$ है।
$x$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - x$।
यह $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = -x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = -1$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{y}{x} = \int -1 dx = -x + c$।
अतः,$y = -x^2 + cx$।
प्रारंभिक शर्त $y(1) = 0$ का उपयोग करने पर: $0 = -1 + c \implies c = 1$।
वक्र $y = -x^2 + x$ है।
वक्र $x$-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $y=0$ है,अर्थात $-x^2 + x = 0 \implies x(1-x) = 0$,इसलिए $x=0$ और $x=1$ है।
वक्र और $x$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_0^1 (-x^2 + x) dx$ है।
$= [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_0^1 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$।

(D) वृत्त का समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 32$ है,जिसे $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (4\sqrt{2})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,वृत्त का केंद्र $(2, 3)$ है और त्रिज्या $r = 4\sqrt{2}$ है।
हम जाँच करते हैं कि क्या रेखा $y = x + 1$ (या $x - y + 1 = 0$) केंद्र $(2, 3)$ से होकर गुजरती है।
रेखा के समीकरण में $(2, 3)$ रखने पर: $2 - 3 + 1 = 0$।
चूँकि केंद्र रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए यह रेखा वृत्त का व्यास है।
व्यास वृत्त को दो समान क्षेत्रफलों में विभाजित करता है।
अतः,रेखा के नीचे स्थित वृत्त का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होगा।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (4\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \pi (32) = 16\pi$.

(A) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन द्वारा इस प्रकार दिया गया है:
$A = \int_{a}^{2a} \left( \frac{x}{6} + \frac{1}{x^2} \right) dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \left[ \frac{x^2}{12} - \frac{1}{x} \right]_{a}^{2a}$
$A = \left( \frac{(2a)^2}{12} - \frac{1}{2a} \right) - \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{a} \right)$
$A = \left( \frac{4a^2}{12} - \frac{1}{2a} \right) - \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{a} \right)$
$A = \frac{3a^2}{12} - \frac{1}{2a} + \frac{1}{a}$
$A = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{2a}$
माना $f(a) = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{2a}$. न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(a)$ ज्ञात करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(a) = \frac{2a}{4} - \frac{1}{2a^2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2a^2}$
$f'(a) = 0$ रखने पर:
$\frac{a}{2} = \frac{1}{2a^2}$
$a^3 = 1$
$a = 1$
चूंकि $f''(a) = \frac{1}{2} + \frac{1}{a^3} > 0$ है $a > 0$ के लिए,इसलिए फलन का मान $a = 1$ पर न्यूनतम है।