Area bounded by region of single curve Questions in Gujarati

(C) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $y = \log x$,$x = 1$ અને $x = 2$ આપેલ છે.
$x \in [1, 2]$ માટે $\log x > 0$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\int_{1}^{2} \log x \, dx$ થશે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log x \, dx = x \log x - x + C$ મળે.
તેથી,$A = [x \log x - x]_{1}^{2}$.
$A = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)$.
$\log 1 = 0$ હોવાથી,$A = 2 \log 2 - 2 + 1 = 2 \log 2 - 1$.
$n \log m = \log(m^n)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$2 \log 2 = \log(2^2) = \log 4$.
આમ,$A = (\log 4 - 1) \text{ ચો. એકમ}$.

(B) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^a y \, dx = \int_0^a x{e^{{x^2}}} \, dx$
ધારો કે $t = x^2$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dt = 2x \, dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x \, dx = \frac{dt}{2}$.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0^2 = 0$.
જ્યારે $x = a$,ત્યારે $t = a^2$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$A = \int_0^{a^2} {e^t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{a^2} {e^t} \, dt$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \frac{1}{2} [e^t]_0^{a^2} = \frac{1}{2} (e^{a^2} - e^0) = \frac{e^{a^2} - 1}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) વક્ર $y = \sin x$ છે. $x = 0$ અને $x = 2\pi$ વચ્ચે વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ વિધેયના માનાંકના સંકલન દ્વારા મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{2\pi} |\sin x| \, dx$
કારણ કે $x \in [0, \pi]$ માટે $\sin x \ge 0$ અને $x \in [\pi, 2\pi]$ માટે $\sin x \le 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \, dx$
$= [-\cos x]_0^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{2\pi}$
$= -(\cos \pi - \cos 0) + (\cos 2\pi - \cos \pi)$
$= -(-1 - 1) + (1 - (-1))$
$= -(-2) + (2) = 2 + 2 = 4 \, sq. \text{ unit}$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y = 4x^2$ છે.
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં લખતા,આપણને $x^2 = \frac{y}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (ક્ષેત્રફળ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈએ છીએ).
વક્ર,$y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 1$ તથા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$.
$= \frac{1}{2} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$.
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$.
$= \frac{1}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 1] = \frac{7}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) ક્ષેત્રફળ $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી $y$ ના માનાંકનું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{2} |y| \, dx = \int_{-1}^{2} |x| \, dx$
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \ge 0$ માટે $|x| = x$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{2} (x) \, dx$
$= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$= (0 - (-\frac{(-1)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - 0)$
$= \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) ધારો કે $x = a$ આગળનો યામ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
વક્ર $y = 1 + \frac{8}{x^2}$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = 2$ તથા $x = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{2}^{4} \left( 1 + \frac{8}{x^2} \right) dx$
$A = \left[ x - \frac{8}{x} \right]_{2}^{4}$
$A = \left( 4 - \frac{8}{4} \right) - \left( 2 - \frac{8}{2} \right) = (4 - 2) - (2 - 4) = 2 - (-2) = 4$ ચોરસ એકમ.
કારણ કે યામ $x = a$ આ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $x = 2$ થી $x = a$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા એટલે કે $4 / 2 = 2$ હોવું જોઈએ.
$\int_{2}^{a} \left( 1 + \frac{8}{x^2} \right) dx = 2$
$\left[ x - \frac{8}{x} \right]_{2}^{a} = 2$
$\left( a - \frac{8}{a} \right) - \left( 2 - \frac{8}{2} \right) = 2$
$a - \frac{8}{a} - (2 - 4) = 2$
$a - \frac{8}{a} + 2 = 2$
$a - \frac{8}{a} = 0$
$a^2 - 8 = 0$
$a^2 = 8$
$a = \pm 2\sqrt{2}$.
પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી જ્યાં $x > 0$ છે,તેથી $a = 2\sqrt{2}$ મળે.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2\pi} |\cos x| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $\cos x$ ના ચિહ્નના આધારે અંતરાલ $[0, 2\pi]$ ને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$1$. $x \in [0, \pi/2]$ માટે,$\cos x \ge 0$.
$2$. $x \in [\pi/2, 3\pi/2]$ માટે,$\cos x \le 0$.
$3$. $x \in [3\pi/2, 2\pi]$ માટે,$\cos x \ge 0$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \, dx + \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x \, dx$
દરેક ભાગની ગણતરી કરતા:
$\int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$
$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} -\cos x \, dx = -[\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -(-1 - 1) = 2$
$\int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x \, dx = [\sin x]_{3\pi/2}^{2\pi} = 0 - (-1) = 1$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 1 + 2 + 1 = 4 \, \text{sq. units}$.

(D) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$f(x) = x^3$,$a = 1$ અને $b = 4$ છે.
કારણ કે $x \in [1, 4]$ માટે $x^3 > 0$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{1}^{4} x^3 dx$
$A = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4^4}{4} - \frac{1^4}{4}$
$A = \frac{256}{4} - \frac{1}{4}$
$A = \frac{255}{4} \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A = \int_a^b y \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ વક્ર $xy = c$ હોવાથી,$y = \frac{c}{x}$ થાય.
સીમાઓ $x = 1$ અને $x = 4$ લેતા,ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_1^4 \frac{c}{x} \, dx$
$A = c [\ln |x|]_1^4$
$A = c (\ln 4 - \ln 1)$
અહીં $\ln 1 = 0$ અને $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$ હોવાથી:
$A = c(2 \ln 2) = 2c \ln 2 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) વક્ર $y = f(x)$ દ્વારા $x = a$ થી $x = b$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$f(x) = k \sin x$,$a = \pi$,અને $b = 2\pi$ છે.
અંતરાલ $[\pi, 2\pi]$ માં,$\sin x$ ઋણ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A = \int_{\pi}^{2\pi} |k \sin x| \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} -k \sin x \, dx$ થશે.
$A = -k [-\cos x]_{\pi}^{2\pi} = k [\cos x]_{\pi}^{2\pi}$.
$A = k (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = k (1 - (-1)) = k(1 + 1) = 2k$.
આમ,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $2k$ ચોરસ એકમ છે.

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલો પરના સંકલનોના નિરપેક્ષ મૂલ્યોના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં વિધેય ધન અને ઋણ હોય છે.
$A = \int_0^{\pi} x \sin x \, dx + \left| \int_{\pi}^{2\pi} x \sin x \, dx \right|$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x$.
પ્રથમ ભાગ માટે: $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_0^{\pi} = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0) = \pi$.
બીજા ભાગ માટે: $\int_{\pi}^{2\pi} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_{\pi}^{2\pi} = (-2\pi \cos 2\pi + \sin 2\pi) - (-\pi \cos \pi + \sin \pi) = (-2\pi) - (\pi) = -3\pi$.
તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-3\pi| = 3\pi$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \pi + 3\pi = 4\pi \, \text{sq. units}$.

(B) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{4}$ સુધીના વિધેય $y = \sin 2x + \cos 2x$ ના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x + \cos 2x) \, dx$
પદોનું સંકલન કરતા:
$= \left[ -\frac{\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
સીમાઓ લાગુ પાડતા:
$= \frac{1}{2} \left[ (-\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0) + \sin(0)) \right]$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$\cos(0) = 1$,અને $\sin(0) = 0$:
$= \frac{1}{2} [ (0 + 1) - (-1 + 0) ]$
$= \frac{1}{2} [ 1 + 1 ]$
$= \frac{1}{2} \times 2 = 1 \, sq. \text{ } unit$.

(D) વક્ર $y = f(x)$ હેઠળ $x = a$ થી $x = b$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$f(x) = \sqrt{3x + 4}$,$a = 0$,અને $b = 4$ છે.
$A = \int_{0}^{4} \sqrt{3x + 4} \, dx$
ધારો કે $u = 3x + 4$,તો $du = 3 \, dx$,અથવા $dx = \frac{du}{3}$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $u = 4$. જ્યારે $x = 4$,ત્યારે $u = 16$.
$A = \int_{4}^{16} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{4}^{16} u^{1/2} \, du$
$A = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{4}^{16} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{4}^{16}$
$A = \frac{2}{9} [16^{3/2} - 4^{3/2}]$
$A = \frac{2}{9} [64 - 8] = \frac{2}{9} \times 56 = \frac{112}{9}$ ચોરસ એકમ.
આમ,$\frac{112}{9}$ વિકલ્પોમાં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) રેખાઓ $y = 2 + x$,$y = 2 - x$ અને $x = 2$ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$1$. $y = 2 + x$ અને $y = 2 - x$ નું છેદબિંદુ: $2 + x = 2 - x \implies 2x = 0 \implies x = 0$. તેથી,$y = 2$. બિંદુ $C$ એ $(0, 2)$ છે.
$2$. $y = 2 + x$ અને $x = 2$ નું છેદબિંદુ: $y = 2 + 2 = 4$. બિંદુ $B$ એ $(2, 4)$ છે.
$3$. $y = 2 - x$ અને $x = 2$ નું છેદબિંદુ: $y = 2 - 2 = 0$. બિંદુ $A$ એ $(2, 0)$ છે.
આ પ્રદેશ એ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(2, 0)$,$B(2, 4)$ અને $C(0, 2)$ છે.
પાયા $AB$ (શિરોલંબ રેખા) ની લંબાઈ $|4 - 0| = 4$ છે.
શિરોબિંદુ $C$ થી રેખા $x = 2$ સુધીની ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ $x = 0$ થી $x = 2$ સુધીનું આડું અંતર છે,જે $2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.
વૈકલ્પિક રીતે,સંકલનનો ઉપયોગ કરીને: ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} ((2 + x) - (2 - x)) dx = \int_{0}^{2} 2x dx = [x^2]_{0}^{2} = 4 - 0 = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ અને $x = b$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} y \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$y = x^3$,$a = 1$ અને $b = 2$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{1}^{2} x^3 \, dx$
$A = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2}$
$A = \frac{1}{4} [2^4 - 1^4]$
$A = \frac{1}{4} [16 - 1]$
$A = \frac{15}{4} \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) વક્ર $y = \sin x$,$x$-અક્ષ,અને રેખાઓ $x = 0$ તથા $x = \pi$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx$
કારણ કે $x \in [0, \pi]$ માટે $\sin x \geq 0$ છે,તેથી:
$A = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$
$A = [-\cos x]_{0}^{\pi}$
$A = -(\cos \pi - \cos 0)$
$A = -(-1 - 1)$
$A = -(-2) = 2$
આમ,ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જેનો અર્થ છે $y = \pm 2\sqrt{a}\sqrt{x}$.
ક્ષેત્રફળ ધરી ($x$-અક્ષ) અને વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું હોવાથી,આપણે પરવલયનો ઉપરનો ભાગ $y = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને યામ $x = 4$ તથા $x = 9$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{4}^{9} y \, dx = \int_{4}^{9} 2\sqrt{a}\sqrt{x} \, dx$
$A = 2\sqrt{a} \int_{4}^{9} x^{1/2} \, dx$
$A = 2\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{4}^{9}$
$A = 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{4}^{9}$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (9^{3/2} - 4^{3/2})$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (27 - 8)$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (19) = \frac{76\sqrt{a}}{3}$.
નોંધ: જો પ્રશ્ન વક્ર અને યામ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ (ધરીની ઉપર અને નીચે બંને) સૂચવતું હોય,તો ક્ષેત્રફળ $2 \times \frac{76\sqrt{a}}{3} = \frac{152\sqrt{a}}{3}$ થશે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) વક્રો $y = x$ અને $y = x + \sin x$ એ $x = 0$ અને $x = \pi$ પર છેદે છે.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં,$\sin x \ge 0$ હોવાથી,$x + \sin x \ge x$ થાય.
બંને વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{\pi} ((x + \sin x) - x) \, dx$
$A = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$
$A = [-\cos x]_{0}^{\pi}$
$A = -(\cos \pi - \cos 0)$
$A = -(-1 - 1) = -(-2) = 2$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(A) વિધેય $y = \tan x$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે $f(-x) = -f(x)$.
અંતરાલ $(-\pi/3, \pi/3)$ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2 \times \int_0^{\pi/3} \tan x \, dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય: $2 \int_0^{\pi/3} \tan x \, dx = 2 [\log |\sec x|]_0^{\pi/3}$.
સીમાઓ મૂકતા: $2 (\log |\sec(\pi/3)| - \log |\sec(0)|) = 2 (\log 2 - \log 1)$.
$\log 1 = 0$ હોવાથી,જવાબ $2 \log 2$ મળે છે.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \frac{3}{\ln 2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \left[ \frac{2^{kx}}{k \ln 2} \right]_{0}^{2}$.
સીમાઓ મૂકતા: $\frac{1}{k \ln 2} (2^{2k} - 2^0) = \frac{2^{2k} - 1}{k \ln 2}$.
આને આપેલ ક્ષેત્રફળ સાથે સરખાવતા: $\frac{2^{2k} - 1}{k \ln 2} = \frac{3}{\ln 2}$.
આથી $\frac{2^{2k} - 1}{k} = 3$,અથવા $2^{2k} - 1 = 3k$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
જો $k = 1$ લઈએ તો: $2^{2(1)} - 1 = 4 - 1 = 3$,અને $3(1) = 3$. આમ $3 = 3$ હોવાથી શરત સંતોષાય છે.
તેથી,$k$ ની કિંમત $1$ છે.

(D) આપેલ છે કે વક્ર $y = f(x)$,$x-$ અક્ષ અને રેખાઓ $x = 1$ તથા $x = b$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_1^b f(x) \, dx = \sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{2}$ છે.
આપણે આ પદને $\int_1^b f(x) \, dx = \sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{1^2 + 1}$ તરીકે લખી શકીએ.
આ $\int_1^b f(x) \, dx = [\sqrt{x^2 + 1}]_1^b$ ને સમાન છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,જો $\int_1^b f(x) \, dx = F(b) - F(1)$ હોય,તો $f(x) = F'(x)$ થાય.
અહીં,$F(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ છે.
તેથી,$f(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1})$ થાય.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ મળે છે.

(A) વક્ર $y = f(x)$,$x-$ અક્ષ અને યામ $x = 1$ તથા $x = b$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_1^b f(x) \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ક્ષેત્રફળ $\int_1^b f(x) \, dx = (b - 1)\sin(3b + 4)$ છે.
$f(x)$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓનું $b$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું (કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d}{db} \left( \int_1^b f(x) \, dx \right) = \frac{d}{db} [(b - 1)\sin(3b + 4)]$.
જમણી બાજુ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f(b) = \frac{d}{db}(b - 1) \cdot \sin(3b + 4) + (b - 1) \cdot \frac{d}{db}(\sin(3b + 4))$.
$f(b) = 1 \cdot \sin(3b + 4) + (b - 1) \cdot \cos(3b + 4) \cdot 3$.
$f(b) = 3(b - 1)\cos(3b + 4) + \sin(3b + 4)$.
$b$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f(x) = 3(x - 1)\cos(3x + 4) + \sin(3x + 4)$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્ર ${x^2} = 4y$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{x^2}{4}$.
આ પ્રદેશ વક્ર $y = \frac{x^2}{4}$,$x$-અક્ષ $(y = 0)$ અને શિરોલંબ રેખા $x = 2$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x$ માટે સંકલનની સીમાઓ $0$ થી $2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{2} y \, dx = \int_{0}^{2} \frac{x^2}{4} \, dx$
$A = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} x^2 \, dx$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{2}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) વક્ર $y = x^2 - 4x$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા $x = 0$ થી $x = 2$ સુધી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x \in [0, 2]$ માટે $x^2 - 4x \leq 0$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ:
$A = \left| \int_0^2 (x^2 - 4x) dx \right|$
$A = \left| \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_0^2 \right|$
$A = \left| \left( \frac{8}{3} - 2(4) \right) - (0) \right|$
$A = \left| \frac{8}{3} - 8 \right| = \left| \frac{8 - 24}{3} \right| = \left| -\frac{16}{3} \right| = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $xy - 3x - 2y - 10 = 0$.
$y$ માટે ગોઠવતા: $y(x - 2) = 3x + 10 \Rightarrow y = \frac{3x + 10}{x - 2}$.
આ પદને આ રીતે લખી શકાય: $y = \frac{3(x - 2) + 16}{x - 2} = 3 + \frac{16}{x - 2}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે: $A = \int_{3}^{4} y \, dx = \int_{3}^{4} \left( 3 + \frac{16}{x - 2} \right) dx$.
પદવાર સંકલન કરતા: $A = [3x + 16 \log |x - 2|]_{3}^{4}$.
સીમાઓ મૂકતા: $A = (3(4) + 16 \log |4 - 2|) - (3(3) + 16 \log |3 - 2|)$.
$A = (12 + 16 \log 2) - (9 + 16 \log 1)$.
કારણ કે $\log 1 = 0$,તેથી $A = 12 + 16 \log 2 - 9 = 3 + 16 \log 2$ ચોરસ એકમ.

(B) વક્ર $y^2 = x$,રેખા $y = 4$ અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મેળવી શકાય છે.
$y^2 = x$ હોવાથી,$x = y^2$ મળે.
$y$ માટેની સીમાઓ $0$ થી $4$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} x \, dy = \int_{0}^{4} y^2 \, dy$
$= \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્ર $y = \log_e x$ એ $x$-અક્ષને $(1, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
યામ અક્ષો અને વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળને શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = 1$ વચ્ચેનો પ્રદેશ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે:
$A = \int_0^1 |\log_e x| \, dx = \int_0^1 -\log_e x \, dx$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x$.
તેથી,$A = -[x \log_e x - x]_0^1 = -[(1 \cdot \log_e 1 - 1) - \lim_{x \to 0^+} (x \log_e x - x)]$.
કારણ કે $\log_e 1 = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} x \log_e x = 0$,તેથી:
$A = -[0 - 1 - 0] = 1$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $1$ ચોરસ એકમ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 2x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \pm \sqrt{2x}$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ $x$-અક્ષની ઉપરના ભાગના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{1}^{4} y \, dx = 2 \int_{1}^{4} \sqrt{2x} \, dx$
ક્ષેત્રફળ $= 2\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx$
ક્ષેત્રફળ $= 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
ક્ષેત્રફળ $= 2\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{1}^{4}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{4\sqrt{2}}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{4\sqrt{2}}{3} (8 - 1) = \frac{4\sqrt{2}}{3} \times 7 = \frac{28\sqrt{2}}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે,જે $(0,0)$ કેન્દ્ર અને $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
રેખા $x = 1$ છે.
નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{1}^{2} y \, dx = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{1}^{2}$
$= 2 \left[ (\frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{4 - 1} + 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right]$
$= 2 \left[ (0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right]$
$= 2 \left[ \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} \right]$
$= 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

(B) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{2}$ સુધી વિધેય $y = \sin^2 x$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$A = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2x) \, dx$
$A = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi/2}$
$A = \frac{1}{2} \left( (\frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2}) - (0 - \frac{\sin 0}{2}) \right)$
$A = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0) = \frac{\pi}{4}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi}{4}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2^2$ છે,જેની ત્રિજ્યા $R = 2$ છે. રેખા $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે જ્યાં $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{6}$ થાય.
વર્તુળ,રેખા અને $x$-અક્ષ દ્વારા પ્રથમ ચરણમાં ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિજ્યા $R = 2$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ ધરાવતા વર્તુળના વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} R^2 \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $A = \frac{1}{2} \times (2)^2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y = \cos x$ (ઉપરનો વક્ર) અને $y = \sin x$ (નીચેનો વક્ર) દ્વારા $x = 0$ થી તેમના છેદબિંદુ સુધી ઘેરાયેલું છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$\sin x = \cos x$ લેતા,જે $\tan x = 1$ આપે છે,તેથી $x = \frac{\pi}{4}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4}$
$A = (\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) - (\sin(0) + \cos(0))$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1$.

(B) $x$-અક્ષની આસપાસ વક્ર $y = f(x)$ ના પરિભ્રમણથી બનતા ઘન પદાર્થની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S = \int_{a}^{b} 2\pi y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$
આપેલ રેખા $y = x + 1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 1$
હવે $a = 2$,$b = 3$,$y = x + 1$ અને $\frac{dy}{dx} = 1$ ની કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$S = \int_{2}^{3} 2\pi (x + 1) \sqrt{1 + (1)^2} dx$
$S = \int_{2}^{3} 2\pi (x + 1) \sqrt{2} dx$
$S = 2\sqrt{2}\pi \int_{2}^{3} (x + 1) dx$
સંકલન કરતા:
$S = 2\sqrt{2}\pi \left[ \frac{(x + 1)^2}{2} \right]_{2}^{3}$
$S = \sqrt{2}\pi \left[ (3 + 1)^2 - (2 + 1)^2 \right]$
$S = \sqrt{2}\pi [16 - 9]$
$S = 7\sqrt{2}\pi = 7\pi \sqrt{2}$

(C) આપેલ વક્ર $y = 4x - x^2$ અને $x$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$4x - x^2 = 0 \implies x(4 - x) = 0 \implies x = 0, 4$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$
$= \left[ \frac{4x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$= 32 - \frac{64}{3}$
$= \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) વક્ર $y = \tan x$ છે. $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$y = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. સ્પર્શકનું બિંદુ $(\frac{\pi}{4}, 1)$ છે.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$ છે. $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,ઢાળ $m = \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = 2(x - \frac{\pi}{4})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1$ થાય છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે ત્યાં $y = 0$ લેતા,$0 = 2x - \frac{\pi}{2} + 1$,તેથી $x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} (\arctan y - (\frac{y}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2})) \, dy = [y \arctan y - \frac{1}{2} \log(1 + y^2) - \frac{y^2}{4} - \frac{\pi y}{4} + \frac{y}{2}]_{0}^{1}$.
$= (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2 - \frac{1}{4} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \log \sqrt{2}$.

(A) વક્ર $y = 4 + 3x - x^2$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y = 0$ લઈને છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$4 + 3x - x^2 = 0$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
$(x - 4)(x + 1) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 4$ છે.
અંતરાલ $[-1, 4]$ માં વક્ર $x$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$\text{Area} = \int_{-1}^{4} (4 + 3x - x^2) dx$
$= [4x + \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{4}$
$= (4(4) + \frac{3(16)}{2} - \frac{64}{3}) - (4(-1) + \frac{3(1)}{2} - \frac{-1}{3})$
$= (16 + 24 - \frac{64}{3}) - (-4 + \frac{3}{2} + \frac{1}{3})$
$= (40 - \frac{64}{3}) - (-4 + \frac{11}{6})$
$= \frac{120 - 64}{3} - (\frac{-24 + 11}{6})$
$= \frac{56}{3} - (\frac{-13}{6})$
$= \frac{112 + 13}{6} = \frac{125}{6}$

(D) વક્ર $y = x$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = -1$ તથા $x = 2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^{2} |y| \, dx = \int_{-1}^{2} |x| \, dx$
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \ge 0$ માટે $|x| = x$ છે,તેથી આપણે સંકલનને $x = 0$ આગળ વિભાજિત કરીશું:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{2} (x) \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{-1}^{0} (-x) \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - (-1/2) = 1/2$
$\int_{0}^{2} (x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - 0 = 4/2 = 2$
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 1/2 + 2 = 5/2$.

(C) આપેલ પરવલય ${y^2} = 4ax$ માટે,$y = 2\sqrt{ax}$ મળે.
રેખાઓ $x = a$ અને $x = 4a$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ શોધી શકાય:
$A = \int_{a}^{4a} 2\sqrt{ax} \, dx$
$= 2\sqrt{a} \int_{a}^{4a} x^{1/2} \, dx$
$= 2\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{a}^{4a}$
$= \frac{4}{3}\sqrt{a} \left[ (4a)^{3/2} - a^{3/2} \right]$
$= \frac{4}{3}\sqrt{a} \left[ 8a\sqrt{a} - a\sqrt{a} \right]$
$= \frac{4}{3}\sqrt{a} \left[ 7a\sqrt{a} \right]$
$= \frac{28}{3}a^2$

(B) આપેલ વક્ર $y = -x^2 + 2x + 3$ અને રેખા $y = 0$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$-x^2 + 2x + 3 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
$(x - 3)(x + 1) = 0$
તેથી,$x = -1$ અને $x = 3$ મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$
$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}$
$A = \left( -\frac{27}{3} + 9 + 9 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right)$
$A = (-9 + 9 + 9) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right)$
$A = 9 - \left( \frac{1 - 6}{3} \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્રો $y = x^2$ અને $y = x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 = x$ લેતા,જે $x^2 - x = 0$ આપે છે,તેથી $x(x - 1) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 1$ છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,રેખા $y = x$ એ પરવલય $y = x^2$ ની ઉપર આવેલી છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_0^1 (x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} = 4ax$ છે. નાભિલંબની રેખા $x = a$ છે.
પરવલય અને તેના નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = a$ સુધી સંકલન કરીશું.
પરવલય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું થશે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_0^a y \, dx = 2 \int_0^a \sqrt{4ax} \, dx$
$= 2 \times 2\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} \, dx$
$= 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a$
$= 4\sqrt{a} \times \frac{2}{3} \left[ a^{3/2} - 0 \right]$
$= \frac{8}{3} \sqrt{a} \times a\sqrt{a} = \frac{8}{3} a^2 \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $ay = 3(a^2 - x^2)$ છે,જેને $y = \frac{3}{a}(a^2 - x^2)$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલય $x$-અક્ષને જ્યાં $y = 0$ હોય ત્યાં મળે છે,તેથી $\frac{3}{a}(a^2 - x^2) = 0$,જે $x^2 = a^2$ આપે છે,એટલે કે $x = \pm a$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -a$ થી $x = a$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે:
$A = \int_{-a}^{a} \frac{3}{a}(a^2 - x^2) dx$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$A = 2 \int_{0}^{a} \frac{3}{a}(a^2 - x^2) dx = \frac{6}{a} \int_{0}^{a} (a^2 - x^2) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \frac{6}{a} [a^2x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{a} = \frac{6}{a} (a^3 - \frac{a^3}{3}) = \frac{6}{a} (\frac{2a^3}{3}) = 4a^2 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
સમીકરણમાં $x$ અને $y$ ની માત્ર બેકી ઘાત હોવાથી,ઉપવલય $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
તેથી,ઉપવલયનું કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલા પ્રદેશ $(OBC)$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા $4$ ગણું થાય.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \int_{0}^{a} y \, dx = 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$.
ધારો કે $x = a \sin \theta$,તેથી $dx = a \cos \theta \, d\theta$. જ્યારે $x=0, \theta=0$ અને જ્યારે $x=a, \theta=\frac{\pi}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \frac{b}{a} \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta} \cdot a \cos \theta \, d\theta = 4ab \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 4ab \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = 2ab \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\pi/2}$.
ક્ષેત્રફળ $= 2ab \left( (\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0) \right) = \pi ab \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ વક્રો $y = |x - 1|$ અને $y = 1$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$|x - 1| = 1$ લો,જે $x - 1 = 1$ અથવા $x - 1 = -1$ આપે છે. આમ,$x = 2$ અથવા $x = 0$ મળે છે.
પ્રદેશ $x = 0$ અને $x = 2$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{2} (1 - |x - 1|) dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x < 1$ માટે $|x - 1| = 1 - x$ અને $x \ge 1$ માટે $|x - 1| = x - 1$ છે,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{0}^{1} (1 - (1 - x)) dx + \int_{1}^{2} (1 - (x - 1)) dx$
$A = \int_{0}^{1} x dx + \int_{1}^{2} (2 - x) dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2}$
$A = \left( \frac{1}{2} - 0 \right) + \left( (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) \right)$
$A = \frac{1}{2} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $1$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = 4ax$ છે,જે $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત પરવલય છે.
વક્ર,$x$-અક્ષ અને યામ $x = 0$ તથા $x = a$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ નું $x$ ની સાપેક્ષ $0$ થી $a$ સુધી સંકલન કરીશું.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^a y \, dx = \int_0^a 2\sqrt{a}\sqrt{x} \, dx$
$= 2\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} \, dx$
$= 2\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a$
$= 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_0^a$
$= \frac{4\sqrt{a}}{3} (a^{3/2} - 0)$
$= \frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot a\sqrt{a}$
$= \frac{4}{3} a^2$
નોંધ: પ્રશ્નમાં વક્ર,$x$-અક્ષ અને યામો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ પૂછવામાં આવ્યું છે. આ માત્ર પ્રથમ ચરણમાં રહેલું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. જો વક્ર અને યામો વચ્ચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ ($x$-અક્ષની ઉપર અને નીચે બંને) જરૂરી હોય,તો તે $2 \times \frac{4}{3}a^2 = \frac{8}{3}a^2$ થાય. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,સાચો જવાબ $\frac{8}{3}a^2$ છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $xy^2 = a^2(a - x)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y^2 = \frac{a^2(a - x)}{x}$.
વક્ર $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
$A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{a} a \sqrt{\frac{a - x}{x}} \, dx$.
ધારો કે $x = a \sin^2 \theta$,તો $dx = 2a \sin \theta \cos \theta \, d\theta$.
જ્યારે $x = 0, \theta = 0$ અને જ્યારે $x = a, \theta = \frac{\pi}{2}$.
$A = 2 \int_{0}^{\pi/2} a \sqrt{\frac{a - a \sin^2 \theta}{a \sin^2 \theta}} (2a \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$A = 4a^2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \sin \theta \cos \theta \, d\theta$
$A = 4a^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{\pi}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$A = 4a^2 \times \frac{\pi}{4} = \pi a^2$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 3^2$ છે,જેની ત્રિજ્યા $r = 3$ છે. રેખા $x = 1$ વર્તુળને કાપે છે. નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $x = 1$ થી $x = 3$ સુધી $2y$ નું સંકલન કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{1}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3}) \right]_{1}^{3}$
$= \left[ x \sqrt{9 - x^2} + 9 \sin^{-1}(\frac{x}{3}) \right]_{1}^{3}$
$= (3 \sqrt{9 - 9} + 9 \sin^{-1}(1)) - (1 \sqrt{9 - 1} + 9 \sin^{-1}(\frac{1}{3}))$
$= (0 + 9 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\sqrt{8} + 9 \sin^{-1}(\frac{1}{3}))$
$= \frac{9\pi}{2} - \sqrt{8} - 9 \sin^{-1}(\frac{1}{3})$
$= 9(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{1}{3})) - \sqrt{8}$
કારણ કે $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\theta) = \cos^{-1}(\theta)$ અને $\cos^{-1}(\frac{1}{3}) = \sec^{-1}(3)$ હોવાથી:
ક્ષેત્રફળ $= 9 \sec^{-1}(3) - \sqrt{8}$.

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int_{1}^{3} |x - 2| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x < 2$ માટે $|x - 2| = -(x - 2)$ અને $x \geq 2$ માટે $|x - 2| = (x - 2)$ થાય છે,તેથી આપણે સંકલનને $x = 2$ આગળ વિભાજિત કરીશું:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{2} -(x - 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$= \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} + \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{2}^{3}$
$= \left( (4 - 2) - (2 - 0.5) \right) + \left( (4.5 - 6) - (2 - 4) \right)$
$= (2 - 1.5) + (-1.5 - (-2))$
$= 0.5 + 0.5 = 1$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $1$ ચોરસ એકમ છે.

(C) વક્રો $y = \cos x$ અને $y = \sin x$ દ્વારા $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{4}$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે.
અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં,$\cos x \ge \sin x$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$
$A = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{4}} - [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{4}}$
$A = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$A = \sqrt{2} - 1$.

(D) આ પ્રદેશ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ ની અંદરનો ભાગ અને રેખા $x + y = 1$ ની ઉપરનો ભાગ દર્શાવે છે.
પ્રથમ,આપણે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ અને રેખા $x + y = 1$ ના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
વર્તુળના સમીકરણમાં $y = 1 - x$ મૂકતા:
$x^2 + (1 - x)^2 = 1$
$x^2 + 1 + x^2 - 2x = 1$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
આથી $x = 0$ અને $x = 1$ મળે છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે $y = 1$ અને જ્યારે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 0$ મળે છે.
તેથી છેદબિંદુઓ $A(1, 0)$ અને $B(0, 1)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધીના વર્તુળના ચાપ નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી રેખા નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 (\sqrt{1 - x^2} - (1 - x)) \, dx$
$= \left[ \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x) - x + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$= \left( \frac{1 \cdot 0}{2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(1) - 1 + \frac{1}{2} \right) - (0 + 0 - 0 + 0)$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.