दीर्घवृत्त frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{ | vedclass

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Question

(A) आकृति से,दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र $ABA'B'A$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:क्षेत्रफल $= 4 	imes (	ext{प्रथम चतुर्थांश में वक्र, } x	ext{-अक

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$\pi a b$

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(A) आकृति से,दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र $ABA'B'A$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:क्षेत्रफल $= 4 	imes (	ext{प्रथम चतुर्थांश में वक्र, } x	ext{-अक्ष और } x = 0, x = a 	ext{ रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र } AOBA 	ext{ का क्षेत्रफल})$(चूंकि दीर्घवृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है)क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{a} y \, dx$ (ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ लेने पर)अब,$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से $y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ प्राप्त होता है। चूंकि क्षेत्र $AOBA$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $y$ को धनात्मक लिया जाता है।अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल:क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$$= \frac{4b}{a} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} ight) ight]_{0}^{a}$$= \frac{4b}{a} \left[ \left( \frac{a}{2} 	imes 0 + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(1) ight) - (0 + 0) ight]$$= \frac{4b}{a} \left( \frac{a^{2}}{2} 	imes \frac{\pi}{2} ight) = \pi ab$.

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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