Area bounded by region of single curve Questions in Hindi

(A) वक्रों $y = x^2$ और $y = |x|$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल वह क्षेत्र है जहाँ $x^2 \leq y \leq |x|$ है।
वक्र जहाँ प्रतिच्छेद करते हैं वहाँ $x^2 = |x|$ होता है। चूँकि $x^2 = |x|^2$,हमें $|x|^2 - |x| = 0$ प्राप्त होता है,जो $|x|(|x| - 1) = 0$ देता है। अतः,$x = 0, 1, -1$ प्राप्त होते हैं।
यह क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। हम प्रथम चतुर्थांश $(x \geq 0)$ में क्षेत्रफल की गणना करेंगे और उसे $2$ से गुणा करेंगे।
प्रथम चतुर्थांश में,वक्र $y = x$ और $y = x^2$ हैं। क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$
$= 2 \left( \frac{3-2}{6} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) $\Delta ABC$ के शीर्ष $A(2,0)$,$B(4,5)$ और $C(6,3)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ का समीकरण जो $(2,0)$ और $(4,5)$ से होकर गुजरता है:
$y - 0 = \frac{5-0}{4-2}(x-2) \implies y = \frac{5}{2}(x-2) \quad \dots(1)$
रेखाखंड $BC$ का समीकरण जो $(4,5)$ और $(6,3)$ से होकर गुजरता है:
$y - 5 = \frac{3-5}{6-4}(x-4) \implies y - 5 = -1(x-4) \implies y = -x + 9 \quad \dots(2)$
रेखाखंड $AC$ का समीकरण जो $(2,0)$ और $(6,3)$ से होकर गुजरता है:
$y - 0 = \frac{3-0}{6-2}(x-2) \implies y = \frac{3}{4}(x-2) \quad \dots(3)$
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \int_{2}^{4} y_{AB} \, dx + \int_{4}^{6} y_{BC} \, dx - \int_{2}^{6} y_{AC} \, dx$
$= \int_{2}^{4} \frac{5}{2}(x-2) \, dx + \int_{4}^{6} (-x+9) \, dx - \int_{2}^{6} \frac{3}{4}(x-2) \, dx$
$= \frac{5}{2} \left[ \frac{(x-2)^2}{2} \right]_{2}^{4} + \left[ -\frac{x^2}{2} + 9x \right]_{4}^{6} - \frac{3}{4} \left[ \frac{(x-2)^2}{2} \right]_{2}^{6}$
$= \frac{5}{2} \left( \frac{4}{2} - 0 \right) + \left( (-18 + 54) - (-8 + 36) \right) - \frac{3}{4} \left( \frac{16}{2} - 0 \right)$
$= 5 + (36 - 28) - \frac{3}{4}(8)$
$= 5 + 8 - 6 = 7 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वक्र $y=f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\int_{a}^{b} |f(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = x^{3}$ है। वक्र $y=x^{3}$,$x$-अक्ष को $x=0$ पर काटता है।
$x \in [-2, 0]$ के लिए,$x^{3} \leq 0$ है,और $x \in [0, 1]$ के लिए,$x^{3} \geq 0$ है।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $\int_{-2}^{0} |x^{3}| dx + \int_{0}^{1} |x^{3}| dx$ होगा।
$= \int_{-2}^{0} (-x^{3}) dx + \int_{0}^{1} x^{3} dx$
$= \left[ -\frac{x^{4}}{4} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1}$
$= \left( 0 - \left( -\frac{(-2)^{4}}{4} \right) \right) + \left( \frac{1^{4}}{4} - 0 \right)$
$= \left( 0 - (-4) \right) + \frac{1}{4}$
$= 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही उत्तर $C$ है।

(A) फलन को $y = x|x| = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
वांछित क्षेत्रफल अंतरालों $[-1, 0]$ और $[0, 1]$ पर समाकलनों के निरपेक्ष मानों का योग है।
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{0} |x^2| dx + \int_{0}^{1} |x^2| dx$.
चूंकि क्षेत्रफल धनात्मक होना चाहिए,हम फलन के निरपेक्ष मान का समाकलन करते हैं।
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{0} |-x^2| dx + \int_{0}^{1} |x^2| dx = \int_{-1}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{1} x^2 dx$.
क्षेत्रफल $= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
क्षेत्रफल $= \left( 0 - \left( \frac{(-1)^3}{3} \right) \right) + \left( \frac{1^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही उत्तर $A$ है।

(B) दिए गए समीकरण $x^{2}+y^{2}=16$ $(1)$ और $y^{2}=6x$ $(2)$ हैं।
$y^{2}=6x$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^{2}+6x-16=0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x+8)(x-2)=0$ हैं। परवलय के लिए $x \ge 0$ है,इसलिए $x=2$ है।
$x=2$ पर,$y^{2}=12$,अतः $y=\pm 2\sqrt{3}$।
परवलय के भीतर वृत्त का क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{2} \sqrt{6x} \, dx + 2 \int_{2}^{4} \sqrt{16-x^{2}} \, dx$ है।
इसकी गणना करने पर,परवलय के भीतर का क्षेत्रफल $\frac{4}{3}(4\pi+\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।
वृत्त का कुल क्षेत्रफल $\pi(4)^{2} = 16\pi$ है।
अतः,परवलय के बाहर का क्षेत्रफल $16\pi - \frac{4}{3}(4\pi+\sqrt{3}) = \frac{48\pi - 16\pi - 4\sqrt{3}}{3} = \frac{32\pi - 4\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{3}(8\pi - \sqrt{3})$ वर्ग इकाई है।

(C) दिए गए वक्र $y=\cos x$ और $y=\sin x$ हैं। वे $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,जहाँ $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $y-$अक्ष $(x=0)$,$y=\cos x$ और $y=\sin x$ द्वारा $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$
$= [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$= (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$= \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$= \sqrt{2} - 1 \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,सही उत्तर विकल्प $C$ है।

(D) क्षेत्र $R$ परवलय $y=x^{2}$ और रेखा $y=2x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $x^{2}=2x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो $x=0$ और $x=2$ देते हैं। अतः,बिंदु $(0,0)$ और $(2,4)$ हैं।
क्षेत्र $R$ का कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^{2}) dx = [x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
वैकल्पिक रूप से,$y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,क्षेत्र $y \in [0, 4]$ के लिए $x = \sqrt{y}$ (दाहिनी ओर) और $x = y/2$ (बाईं ओर) द्वारा घिरा हुआ है:
$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{y} - \frac{y}{2}) dy = [\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^{2}}{4}]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(8) - \frac{16}{4} = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$.
रेखा $y=\alpha$ क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। निचले भाग का क्षेत्रफल ($y=0$ से $y=\alpha$) कुल क्षेत्रफल का आधा है:
$\int_{0}^{\alpha} (\sqrt{y} - \frac{y}{2}) dy = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$[\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^{2}}{4}]_{0}^{\alpha} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{2}{3}\alpha^{3/2} - \frac{\alpha^{2}}{4} = \frac{2}{3}$.
हर को हटाने के लिए $12$ से गुणा करने पर:
$8\alpha^{3/2} - 3\alpha^{2} = 8 \Rightarrow 3\alpha^{2} - 8\alpha^{3/2} + 8 = 0$.

(A) क्षेत्र $0 \leq x \leq 2$ के लिए $(x-1)[x] \leq y \leq 2\sqrt{x}$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,हम फलन $f(x) = (x-1)[x]$ को परिभाषित करते हैं:
$0 \leq x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = (x-1)(0) = 0$ है।
$1 \leq x < 2$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = (x-1)(1) = x-1$ है।
$x = 2$ पर,$[x] = 2$,इसलिए $f(2) = (2-1)(2) = 2$ है।
ऊपरी सीमा $y = 2\sqrt{x}$ है।
क्षेत्रफल $A$ ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{2} 2\sqrt{x} \, dx - \int_{1}^{2} (x-1) \, dx$.
प्रथम समाकलन की गणना:
$\int_{0}^{2} 2\sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2^{3/2} = \frac{4}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
द्वितीय समाकलन की गणना ($x=1$ से $x=2$ तक $y=x-1$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल):
$\int_{1}^{2} (x-1) \, dx = \left[ \frac{(x-1)^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.
अतः,कुल क्षेत्रफल $A = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}$ है।

(C) दिया गया वक्र $4y^{2} = x^{2}(4-x)(x-2)$ है।
$y$ के वास्तविक होने के लिए,$(4-x)(x-2) \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [2, 4]$।
हम लिख सकते हैं $|y| = \frac{|x|}{2} \sqrt{(4-x)(x-2)}$।
चूंकि $x \in [2, 4]$,$x$ धनात्मक है,इसलिए $y = \pm \frac{x}{2} \sqrt{-x^{2} + 6x - 8}$।
क्षेत्रफल $A = \int_{2}^{4} 2 \cdot \frac{x}{2} \sqrt{-x^{2} + 6x - 8} \, dx = \int_{2}^{4} x \sqrt{-(x^{2} - 6x + 9 - 1)} \, dx = \int_{2}^{4} x \sqrt{1 - (x-3)^{2}} \, dx$।
मान लीजिए $x-3 = t$,तो $dx = dt$। जब $x=2, t=-1$; जब $x=4, t=1$।
$A = \int_{-1}^{1} (t+3) \sqrt{1-t^{2}} \, dt = \int_{-1}^{1} t \sqrt{1-t^{2}} \, dt + \int_{-1}^{1} 3 \sqrt{1-t^{2}} \, dt$।
पहला समाकलन $0$ है क्योंकि फलन विषम है।
दूसरा समाकलन $3 \times (\text{त्रिज्या } 1 \text{ वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल}) = 3 \times \frac{\pi(1)^{2}}{2} = \frac{3\pi}{2}$।

(A) $y = \sin x$ और $y = \cos x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $\sin x = \cos x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जिसका अर्थ है $\tan x = 1$।
अतः,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$
प्रतिच्छेदन के दो क्रमागत बिंदुओं $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{5\pi}{4}$ के बीच का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} |\sin x - \cos x| \, dx$
अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ में,$\sin x \geq \cos x$ है।
$A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) \, dx$
$A = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4}$
$A = \left( -\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) - \left( -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right)$
$A = \left( -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \right) - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$A = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -\frac{2}{\sqrt{2}} \right) = \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$
अब,$A^{4} = (2\sqrt{2})^{4} = 2^{4} \times (\sqrt{2})^{4} = 16 \times 4 = 64$।

(D) रेखाओं $x=0, y=0, x=\frac{3}{2}$ और वक्र $y=1+4x-x^2$ द्वारा घिरा कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{3/2} (1+4x-x^2) \, dx$
$A = [x + 2x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3/2}$
$A = (\frac{3}{2} + 2(\frac{9}{4}) - \frac{27}{24}) - 0$
$A = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} - \frac{9}{8} = 6 - \frac{9}{8} = \frac{48-9}{8} = \frac{39}{8}$
चूंकि रेखा $y=mx$ इस क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है,इसलिए रेखाओं $x=0, x=\frac{3}{2}$ और $y=mx$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होना चाहिए।
शीर्षों $(0,0), (3/2, 0)$ और $(3/2, 3m/2)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$A_{triangle} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{3m}{2} = \frac{9m}{8}$
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर:
$\frac{9m}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{39}{8}$
$9m = \frac{39}{2}$
$m = \frac{39}{18} = \frac{13}{6}$
अतः,$12m = 12 \times \frac{13}{6} = 2 \times 13 = 26$.

(A) यह क्षेत्र $x \geq 0$ के लिए वक्रों $y = 2x^2$ और $y = 4-2x$ द्वारा परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$2x^2 = 4-2x$ रखें,जो $x^2 + x - 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x+2)(x-1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ या $x = -2$ है।
चूंकि $x \geq 0$ है,हम अंतराल $[0, 1]$ पर विचार करेंगे।
क्षेत्रफल समाकलन $\int_{0}^{1} ((4-2x) - 2x^2) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$= \int_{0}^{1} (4 - 2x - 2x^2) dx$
$= [4x - x^2 - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{1}$
$= (4(1) - (1)^2 - \frac{2(1)^3}{3}) - (0)$
$= 4 - 1 - \frac{2}{3} = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \, sq. \, units$.

(C) दिया गया वक्र $y = 3 - \left|x - \frac{1}{2}\right| - |x + 1|$ है।
विभिन्न अंतरालों में फलन को परिभाषित करने पर:
$x < -1$ के लिए: $y = 2x + 7/2$। $y=0$ रखने पर,$x = -7/4$।
$-1 \leq x < 1/2$ के लिए: $y = 3/2$।
$x \geq 1/2$ के लिए: $y = 5/2 - 2x$। $y=0$ रखने पर,$x = 5/4$।
यह क्षेत्र एक समलंब चतुर्भुज (trapezoid) है।
समांतर भुजाओं की लंबाई $3$ (आधार) और $3/2$ (ऊपरी भुजा) है।
समलंब की ऊँचाई $3/2$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (3 + 3/2) \times (3/2) = \frac{1}{2} \times (9/2) \times (3/2) = \frac{27}{8}$ वर्ग इकाई।

(B) $y = 1, y = 3, x = 0$ और $x = y^a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{3} x \, dy = \int_{1}^{3} y^a \, dy$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \left[ \frac{y^{a+1}}{a+1} \right]_{1}^{3} = \frac{3^{a+1} - 1^{a+1}}{a+1} = \frac{3^{a+1} - 1}{a+1}$
दिया गया है कि $A = \frac{364}{3}$,अतः:
$\frac{3^{a+1} - 1}{a+1} = \frac{364}{3}$
$a$ के लिए विषम प्राकृतिक संख्याओं की जाँच करने पर:
यदि $a = 5$ है,तो $a+1 = 6$:
$\frac{3^6 - 1}{6} = \frac{729 - 1}{6} = \frac{728}{6} = \frac{364}{3}$
अतः,$a$ का मान $5$ है।

(C) क्षेत्रफल समाकलन $A = \int_0^3 |x^3 - 4x^2 + 3x| dx$ द्वारा दिया जाता है।
पहले,व्यंजक का गुणनखंड करें: $x^3 - 4x^2 + 3x = x(x-1)(x-3)$।
व्यंजक $x(x-1)(x-3)$ अंतराल $(0, 1)$ में धनात्मक और $(1, 3)$ में ऋणात्मक है।
अतः,$A = \int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 3x) dx - \int_1^3 (x^3 - 4x^2 + 3x) dx$।
प्रथम समाकलन का मान: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{3 - 16 + 18}{12} = \frac{5}{12}$।
द्वितीय समाकलन का मान: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_1^3 = \left( \frac{81}{4} - \frac{108}{3} + \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{5}{12} \right) = \left( \frac{135}{4} - 36 \right) - \frac{5}{12} = -\frac{9}{4} - \frac{5}{12} = -\frac{32}{12} = -\frac{8}{3}$।
चूंकि दूसरा भाग ऋणात्मक है,हम इसका मापांक लेते हैं: $|-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$।
कुल क्षेत्रफल = $\frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5 + 32}{12} = \frac{37}{12}$।

(C) $y=||x-3|-4|-5$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ रखकर $X$-अंतःखंड निर्धारित करते हैं:
$||x-3|-4|-5 = 0$
$||x-3|-4| = 5$
$|x-3|-4 = 5$ या $|x-3|-4 = -5$
$|x-3| = 9$ या $|x-3| = -1$ (असंभव)
$x-3 = 9$ या $x-3 = -9$
$x = 12$ या $x = -6$
फलन $y=||x-3|-4|-5$ का ग्राफ $W$ आकार का है। इसके शीर्ष $(-6, 0)$,$(-1, -5)$,$(3, -1)$,$(7, -5)$,और $(12, 0)$ हैं।
यह क्षेत्रफल ग्राफ और $X$-अक्ष के बीच बने दो त्रिभुजों और दो समलंब चतुर्भुजों का योग है:
$1$. $(-6, 0)$,$(-1, 0)$,और $(-1, -5)$ शीर्षों वाला त्रिभुज: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$
$2$. $(-1, 0)$,$(3, 0)$,$(3, -1)$,और $(-1, -5)$ शीर्षों वाला समलंब चतुर्भुज: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (5 + 1) \times 4 = 12$
$3$. $(3, 0)$,$(7, 0)$,$(7, -5)$,और $(3, -1)$ शीर्षों वाला समलंब चतुर्भुज: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (1 + 5) \times 4 = 12$
$4$. $(7, 0)$,$(12, 0)$,और $(7, -5)$ शीर्षों वाला त्रिभुज: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$
कुल क्षेत्रफल $= 12.5 + 12 + 12 + 12.5 = 49$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{1}^{10} \frac{1}{x} dx = [\ln x]_{1}^{10} = \ln 10$ द्वारा प्राप्त होता है।
योग $B = \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{9}$ पर विचार करें। यह अंतराल $[1, 10]$ पर फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ के लिए ऊपरी रीमान योग है। चूंकि $f(x)$ एक घटता हुआ फलन है,ऊपरी योग वक्र के नीचे के क्षेत्रफल से बड़ा है,इसलिए $B > A$ है।
योग $C = \sum_{n=2}^{10} \frac{1}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10}$ पर विचार करें। यह अंतराल $[1, 10]$ पर फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ के लिए निचला रीमान योग है। चूंकि $f(x)$ घटता हुआ फलन है,निचला योग वक्र के नीचे के क्षेत्रफल से छोटा है,इसलिए $C < A$ है।
अतः,हमारे पास $C < A < B$ है।
$B-A$ और $A-C$ की तुलना करने के लिए,ध्यान दें कि $B-A = \sum_{n=1}^{9} (\frac{1}{n} - \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx)$ और $A-C = \sum_{n=1}^{9} (\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx - \frac{1}{n+1})$ है।
चूंकि फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ उत्तल (convex) है,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ऊपरी योग की तुलना में निचले योग के अधिक निकट है,जो दर्शाता है कि $B - A < A - C$ सही संबंध है।
इसलिए,$C < A < B$ और $B - A < A - C$ है।

(A) द्विघात समीकरण $x^2 - px + \frac{5}{4}p = 0$ के मूल परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = (-p)^2 - 4(1)(\frac{5}{4}p) = p^2 - 5p$.
यहाँ $p \in [0, 10]$ और $p$ एक पूर्णांक है।
मान लीजिए $p^2 - 5p = k^2$,जहाँ $k$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है।
$[0, 10]$ में $p$ के पूर्णांक मानों की जाँच करने पर:
यदि $p=0, D=0$ (पूर्ण वर्ग)।
यदि $p=5, D=0$ (पूर्ण वर्ग)।
यदि $p=9, D=81 - 45 = 36 = 6^2$ (पूर्ण वर्ग)।
अतः,$p$ का अधिकतम पूर्णांक मान $q = 9$ है।
क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_{0}^{9} (x - 9)^2 dx$ द्वारा दिया गया है।
मान लीजिए $u = x - 9$,तो $du = dx$। जब $x=0, u=-9$; जब $x=9, u=0$।
क्षेत्रफल $= \int_{-9}^{0} u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-9}^{0} = 0 - (\frac{-729}{3}) = 243$।

(C) फलन $y = x|x-3|$ है। अंतराल $[-1, 2]$ के लिए,$x-3$ हमेशा ऋणात्मक है,इसलिए $|x-3| = 3-x$.
अतः,$y = x(3-x) = 3x - x^2$.
चूंकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $3x - x^2$ ऋणात्मक है और $x \in [0, 2]$ के लिए धनात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार होगा:
$A = \int_{-1}^{0} -(3x - x^2) dx + \int_{0}^{2} (3x - x^2) dx$
$A = \int_{-1}^{0} (x^2 - 3x) dx + \int_{0}^{2} (3x - x^2) dx$
$A = [x^3/3 - 3x^2/2]_{-1}^{0} + [3x^2/2 - x^3/3]_{0}^{2}$
$A = (0 - (-1/3 - 3/2)) + (6 - 8/3 - 0) = (11/6) + (10/3) = 31/6$.
इसलिए,$12A = 12 \times (31/6) = 62$.

(A) दिया गया वक्र $y = x^3$ है। अवकलन $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ है।
बिंदु $(-1, -1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = 3(-1)^2 = 3$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - (-1) = 3(x - (-1))$ है,जो सरल होकर $y = 3x + 2$ हो जाता है।
वक्र $y = x^3$ और स्पर्शरेखा $y = 3x + 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^3 = 3x + 2$ रखते हैं,जिससे $x^3 - 3x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(x + 1)^2(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -1$ और $x = 2$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{2} ((3x + 2) - x^3) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = [\frac{3x^2}{2} + 2x - \frac{x^4}{4}]_{-1}^{2}$.
$A = (\frac{3(4)}{2} + 2(2) - \frac{16}{4}) - (\frac{3(1)}{2} + 2(-1) - \frac{1}{4})$.
$A = (6 + 4 - 4) - (\frac{3}{2} - 2 - \frac{1}{4}) = 6 - (\frac{6 - 8 - 1}{4}) = 6 - (-\frac{3}{4}) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.

(A) फलन $f(x) = \max \{\sin x, \cos x\}$ है,जहाँ $x \in [-\pi, \pi]$ है।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि $\sin x = \cos x$ कहाँ होता है,जो $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = -\frac{3\pi}{4}$ पर होता है।
क्षेत्रफल $A = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन को अधिकतम मान के आधार पर विभाजित करने पर:
$A = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} \sin x dx + \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \cos x dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x dx$.
समाकलन का मान:
$1. \int_{-\pi}^{-3\pi/4} \sin x dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2. \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \cos x dx = \sqrt{2}$.
$3. \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x dx = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
कुल क्षेत्रफल: $(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \sqrt{2} + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 + \sqrt{2}$.

(D) सबसे पहले,हम $x$ के विभिन्न अंतरालों के लिए वक्रों को परिभाषित करते हैं:
$x \ge 0$ के लिए,$y = x(x) = x^2$ और $y = x - x = 0$ है।
$x < 0$ के लिए,$y = x(-x) = -x^2$ और $y = x - (-x) = 2x$ है।
$x < 0$ के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $-x^2 = 2x$ रखते हैं,जिससे $x^2 + 2x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x(x+2) = 0$। इस प्रकार,वक्र $x = 0$ और $x = -2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x = -2$ से $x = 0$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_{-2}^{0} (2x - (-x^2)) \, dx = \int_{-2}^{0} (x^2 + 2x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{0}$
$A = (0 + 0) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 \right) = - \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) = - \left( \frac{4}{3} \right) = -\frac{4}{3}$।
चूंकि क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है,हम इसका मापांक लेते हैं: $|-\frac{4}{3}| = \frac{4}{3}$।

(C) क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया गया है:
$Area = \int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{a}{x^2}\right) dx$
$= \left[ \ln|x| + \frac{a}{x} \right]_1^2$
$= (\ln 2 + \frac{a}{2}) - (\ln 1 + \frac{a}{1})$
$= \ln 2 + \frac{a}{2} - a = \ln 2 - \frac{a}{2}$
दिया गया है कि क्षेत्रफल $(\ln 2) - \frac{1}{7}$ है,इसलिए तुलना करने पर:
$\ln 2 - \frac{a}{2} = \ln 2 - \frac{1}{7}$
$-\frac{a}{2} = -\frac{1}{7}$
$a = \frac{2}{7}$
अब,$7a - 3$ का मान ज्ञात करते हैं:
$7(\frac{2}{7}) - 3 = 2 - 3 = -1$

(D) वक्र $y=e^x$ है,जिसका अर्थ है $x=\ln y$।
क्षेत्र $x=0$ ($y$-अक्ष),$y=e^x$ और $y=e$ द्वारा परिबद्ध है।
$y=e^x$ और $y=e$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ है।
क्षेत्रफल $A$ को दो तरीकों से निकाला जा सकता है:
$1$. $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: क्षेत्रफल $\int_0^1 (e - e^x) dx = e - \int_0^1 e^x dx$ होता है। यह विकल्प $(C)$ से मेल खाता है।
$2$. $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: क्षेत्र $y=1$ से $y=e$ तक फैला है। क्षेत्रफल $= \int_1^e \ln y dy$। यह विकल्प $(D)$ से मेल खाता है।
विकल्प $(B)$ में $\int_1^e \ln(e+1-y) dy$ है,जिसका मान भी $1$ होता है।
अतः,$(B), (C), (D)$ सही हैं।

(B) वक्रों $x=0, x=1, y=0$ और $y=f(x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_{0}^{1} |f(x)| dx$ द्वारा प्राप्त होता है। दिए गए ग्राफ के अनुसार,क्षेत्रफल तीन त्रिभुजाकार क्षेत्रों $I, II, III$ और एक समलंब चतुर्भुज क्षेत्र से बना है।
क्षेत्र $I$ का क्षेत्रफल (आधार $\frac{1}{2n}$ और ऊँचाई $n$ वाला त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{4}$.
क्षेत्र $II$ का क्षेत्रफल (आधार $\frac{1}{2n}$ और ऊँचाई $n$ वाला त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{4}$.
क्षेत्र $III$ का क्षेत्रफल (समांतर भुजाओं $n$ और $0$ तथा ऊँचाई $1-\frac{1}{n}$ वाला समलंब चतुर्भुज): $\frac{1}{2} \times (n+0) \times (1-\frac{1}{n}) = \frac{n}{2} \times \frac{n-1}{n} = \frac{n-1}{2}$.
कुल क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{n-1}{2} = 4$.
$\frac{1}{2} + \frac{n-1}{2} = 4 \implies \frac{n}{2} = 4 \implies n = 8$.
अतः,$f(x)$ का अधिकतम मान $n = 8$ है।

(A) क्षेत्र $R$ का कुल क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$A = \int_0^1 (x - x^3) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि रेखा $x = \alpha$ क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है,इसलिए $0$ से $\alpha$ तक का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होना चाहिए:
$\int_0^{\alpha} (x - x^3) dx = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^{\alpha} = \frac{1}{8}$
$\frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha^4}{4} = \frac{1}{8}$
$4$ से गुणा करने पर:
$2 \alpha^2 - \alpha^4 = \frac{1}{2}$
$4 \alpha^2 - 2 \alpha^4 = 1$
$2 \alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1 = 0$. यह विकल्प $[C]$ की पुष्टि करता है.
मान लीजिए $f(\alpha) = 2 \alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1$. हमारे पास $f(0) = 1$ और $f(1) = 2 - 4 + 1 = -1$ है.
चूंकि $f(\alpha)$ सतत है और $0$ से $1$ के बीच चिह्न बदलता है,इसलिए एक मूल $\alpha \in (0, 1)$ मौजूद है.
साथ ही,$f(1/\sqrt{2}) = 2(1/4) - 4(1/2) + 1 = 0.5 - 2 + 1 = -0.5 < 0$.
चूंकि $f(0) = 1 > 0$ और $f(1/\sqrt{2}) < 0$,मूल $\alpha$ को $(0, 1/\sqrt{2})$ में स्थित होना चाहिए.
चूंकि $1/\sqrt{2} \approx 0.707$ और $1/2 = 0.5$,हम $f(1/2) = 2(1/16) - 4(1/4) + 1 = 1/8 - 1 + 1 = 1/8 > 0$ की जांच करते हैं.
चूंकि $f(1/2) > 0$ और $f(1/\sqrt{2}) < 0$,मूल $\alpha$ अंतराल $(1/2, 1/\sqrt{2})$ में है,जो $(1/2, 1)$ का एक उपसमुच्चय है. अतः,विकल्प $[B]$ भी सत्य है.

(B) कुल क्षेत्रफल $A = \int_0^1 (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^1 = 0 - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ है।
क्षेत्रफल $R_1 = \int_0^b (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^b = -\frac{(1-b)^3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1-(1-b)^3}{3}$ है।
क्षेत्रफल $R_2 = \int_b^1 (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_b^1 = 0 - (-\frac{(1-b)^3}{3}) = \frac{(1-b)^3}{3}$ है।
दिया गया है कि $R_1 - R_2 = \frac{1}{4}$,इसलिए:
$\frac{1-(1-b)^3}{3} - \frac{(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$\frac{1 - 2(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$1 - 2(1-b)^3 = \frac{3}{4}$
$2(1-b)^3 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$(1-b)^3 = \frac{1}{8}$
$1-b = \frac{1}{2}$
$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) क्षेत्रफल $S$ को समाकलन $S = \int_0^1 e^{-x^2} dx$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $x \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ है। अतः,$-x^2 \geq -x$,जिसका अर्थ है $e^{-x^2} \geq e^{-x}$।
दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:
$S = \int_0^1 e^{-x^2} dx \geq \int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = 1 - \frac{1}{e}$.
चूंकि $1 - \frac{1}{e} \approx 0.633$ और $\frac{1}{e} \approx 0.367$,इसलिए $S \geq 1 - \frac{1}{e} > \frac{1}{e}$। अतः,$(A)$ और $(B)$ सही हैं।
$2$. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ चौड़ाई वाले दो आयतों के साथ ऊपरी रीमान योग का उपयोग करने पर:
फलन $f(x) = e^{-x^2}$ अंतराल $[0, 1]$ पर ह्रासमान है।
$S = \int_0^{1/\sqrt{2}} e^{-x^2} dx + \int_{1/\sqrt{2}}^1 e^{-x^2} dx$.
प्रत्येक उप-अंतराल पर $f(x)$ के अधिकतम मान का उपयोग करने पर:
$S \leq \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) f(0) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$S \leq \frac{1}{\sqrt{2}}(1) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \frac{1}{\sqrt{e}}$.
अतः,$(D)$ सही है।

(C) त्रिभुज के शीर्ष $P(0,0)$,$Q(1,1)$ और $R(2,0)$ हैं।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times PR \times Q \text{ का } y-\text{निर्देशांक} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1 \text{ इकाई}^2$.
भुजा $PQ$,$x \in [0, 1]$ के लिए रेखा $y = x$ पर स्थित है।
किसान $F_2$ द्वारा लिया गया क्षेत्रफल,$x = 0$ से $x = 1$ तक रेखा $y = x$ और वक्र $y = x^n$ के बीच का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_0^1 (x - x^n) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}$.
यह दिया गया है कि यह क्षेत्रफल $\triangle PQR$ के क्षेत्रफल का $30\%$ है,इसलिए:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} = \frac{30}{100} \times 1 = \frac{3}{10}$.
$\frac{1}{n+1} = \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{5-3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
अतः,$n + 1 = 5$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।

(A) यह क्षेत्र रेखाओं $x=3y$,$x+y=2$,$y=0$,और $x=\frac{9}{4}$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,हम सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $x=3y$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन: $x=3y$ को $x+y=2$ में रखने पर $3y+y=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $4y=2$,जिसका अर्थ है $y=\frac{1}{2}$ और $x=\frac{3}{2}$। अतः,$P = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$।
$2$. $x+y=2$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन: $x=2$। अतः,$Q = (2, 0)$।
$3$. $x=\frac{9}{4}$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन: $R = (\frac{9}{4}, 0)$।
$4$. $x=\frac{9}{4}$ और $x=3y$ का प्रतिच्छेदन: $y=\frac{x}{3} = \frac{9/4}{3} = \frac{3}{4}$। अतः,$S = (\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$।
यह क्षेत्र एक चतुर्भुज $PQRS$ है जिसके शीर्ष $P(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$,$Q(2, 0)$,$R(\frac{9}{4}, 0)$,और $S(\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$ हैं।
क्षेत्रफल $= \int_{3/2}^{9/4} (x/3) dx - \int_{3/2}^{2} (2-x) dx = [x^2/6]_{3/2}^{9/4} - [2x - x^2/2]_{3/2}^{2} = (\frac{27}{32} - \frac{3}{8}) - (2 - \frac{15}{8}) = \frac{15}{32} - \frac{1}{8} = \frac{11}{32}$।

(C) दिया गया है $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$। यह फलन समीकरण $f(x) = e^{\lambda x}$ को दर्शाता है।
चूंकि $f^{\prime}(x) = \lambda e^{\lambda x}$,इसलिए $f^{\prime}(0) = \lambda = 4a$ है।
अतः,$f(x) = e^{4ax}$।
अब,$f(x) = e^{4ax}$ को अवकल समीकरण $f^{\prime \prime}(x) - 3a f^{\prime}(x) - f(x) = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(x) = 4a e^{4ax}$ और $f^{\prime \prime}(x) = 16a^2 e^{4ax}$।
समीकरण में मान रखने पर: $16a^2 e^{4ax} - 3a(4a e^{4ax}) - e^{4ax} = 0$।
$e^{4ax}$ से भाग देने पर: $16a^2 - 12a^2 - 1 = 0$।
$4a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{4}$। चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$।
अब,$f(ax) = f(\frac{1}{2} x) = e^{4(\frac{1}{2})x} = e^{2x}$।
क्षेत्रफल = $\int_{0}^{2} e^{2x} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{e^4 - 1}{2}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $C$ है।

(D) क्षेत्र $-1 \leq x \leq 1$ और $0 \leq y \leq a + e^{|x|} - e^{-x}$ द्वारा परिभाषित है।
चूंकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $|x| = -x$ और $x \in [0, 1]$ के लिए $|x| = x$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^0 (a + e^{-x} - e^{-x}) dx + \int_0^1 (a + e^x - e^{-x}) dx$
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^0 a dx + \int_0^1 (a + e^x - e^{-x}) dx$
क्षेत्रफल $= a[x]_{-1}^0 + [ax + e^x + e^{-x}]_0^1$
क्षेत्रफल $= a(0 - (-1)) + (a(1) + e^1 + e^{-1}) - (a(0) + e^0 + e^0)$
क्षेत्रफल $= a + a + e + \frac{1}{e} - 2 = 2a + e + \frac{1}{e} - 2$
दिया गया क्षेत्रफल $= \frac{e^2 + 8e + 1}{e} = e + 8 + \frac{1}{e}$
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2a + e + \frac{1}{e} - 2 = e + 8 + \frac{1}{e}$
$2a - 2 = 8$
$2a = 10 \Rightarrow a = 5$

(D) वक्र $y=e^x$ और $y=|e^x-1|$ हैं।
$x < 0$ के लिए,$e^x < 1$,इसलिए $|e^x-1| = 1-e^x$ है।
वक्र तब प्रतिच्छेद करते हैं जब $e^x = 1-e^x$,जिसका अर्थ है $2e^x = 1$,या $e^x = 1/2$,इसलिए $x = \ln(1/2) = -\ln 2$ है।
क्षेत्रफल $x = -\ln 2$ से $x = 0$ तक वक्रों $y=e^x$ और $y=1-e^x$ के बीच घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $= \int_{-\ln 2}^{0} [e^x - (1-e^x)] \, dx$
$= \int_{-\ln 2}^{0} (2e^x - 1) \, dx$
$= [2e^x - x]_{-\ln 2}^{0}$
$= (2e^0 - 0) - (2e^{-\ln 2} - (-\ln 2))$
$= (2 - 0) - (2(1/2) + \ln 2)$
$= 2 - (1 + \ln 2)$
$= 1 - \ln 2$.

(B) दिया गया क्षेत्र $|x-y| \leq y \leq 4 \sqrt{x}$ द्वारा परिभाषित है।
यह दो असमानताओं को दर्शाता है: $y \geq |x-y|$ और $y \leq 4 \sqrt{x}$।
$y \geq |x-y|$ से,हमें $-y \leq x-y \leq y$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x \geq 0$ और $x \leq 2y$,या $y \geq \frac{x}{2}$ हो जाता है।
$y \leq 4 \sqrt{x}$ से,हमें $y^2 \leq 16x$ प्राप्त होता है (जहाँ $y \geq 0$)।
$y = \frac{x}{2}$ और $y = 4 \sqrt{x}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने के लिए,हम $\frac{x}{2} = 4 \sqrt{x} \Rightarrow x = 8 \sqrt{x} \Rightarrow x^2 = 64x \Rightarrow x(x-64) = 0$ रखते हैं।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 64$ पर हैं।
$x \in [0, 64]$ के लिए,वक्र $y = 4 \sqrt{x}$ रेखा $y = \frac{x}{2}$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $\int_0^{64} (4 \sqrt{x} - \frac{x}{2}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64} = \left[ \frac{8}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64}$.
$= \frac{8}{3} (64)^{3/2} - \frac{64^2}{4} = \frac{8}{3} (512) - \frac{4096}{4} = \frac{4096}{3} - 1024 = \frac{4096 - 3072}{3} = \frac{1024}{3}$.

(A) यह क्षेत्र परवलय $y^2 = 9x$ और रेखा $y = 3x - 6$ द्वारा परिबद्ध है।
चित्र के अनुसार,छायांकित क्षेत्र $x=0$,$y^2=9x$ (निचली शाखा $y = -3\sqrt{x}$) और $y=3x-6$ द्वारा परिबद्ध है।
$y = -3\sqrt{x}$ और $y = 3x-6$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर: $3x-6 = -3\sqrt{x} \implies x-2 = -\sqrt{x}$. मान लीजिए $\sqrt{x} = t$,तो $t^2+t-2=0 \implies (t+2)(t-1)=0 \implies t=1 \implies x=1$.
$A = \int_{0}^{1} [(-3\sqrt{x}) - (3x-6)] dx = \int_{0}^{1} (-3x^{1/2} - 3x + 6) dx$
$A = [-3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{3x^2}{2} + 6x]_0^1 = [-2(1) - 1.5 + 6] = 2.5$.
$6A = 6 \times 2.5 = 15$.

(C) दिया गया है कि वक्र $y=f(x)$ की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x+1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \int (2x+1) dx = x^2 + x + c$
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए समीकरण में $x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$2 = (1)^2 + 1 + c$
$2 = 1 + 1 + c$
$2 = 2 + c \Rightarrow c = 0$
अतः,वक्र का समीकरण $y = x^2 + x$ है।
वक्र,$X$-अक्ष और रेखा $x=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक का समाकलन है (क्योंकि वक्र $X$-अक्ष को $x^2+x=0$ यानी $x(x+1)=0$ पर काटता है,जिससे $x=0$ और $x=-1$ प्राप्त होता है):
क्षेत्रफल $= \int_0^1 (x^2+x) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$= \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right) - (0)$
$= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) माना $A_1$,$x = 0$ से $x = \frac{\pi}{3}$ तक $y = \cos x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल है।
$A_1 = \int_{0}^{\pi/3} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
माना $A_2$,$x = 0$ से $x = \frac{\pi}{3}$ तक $y = \cos 2x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल है।
$A_2 = \int_{0}^{\pi/3} \cos 2x \, dx = [\frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi/3} = \frac{1}{2} (\sin(\frac{2\pi}{3}) - \sin(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/4} = \frac{4}{2} = 2: 1$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ और रेखाओं $x = a$ तथा $x = 4a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = 2 \int_{a}^{4a} y \, dx$
चूंकि $y^2 = 4ax$,इसलिए $y = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ (सममिति के लिए $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल को लेकर उसे $2$ से गुणा करने पर)।
$A = 2 \int_{a}^{4a} 2\sqrt{a} \sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{a} \int_{a}^{4a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{a}^{4a} = 4\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{a}^{4a}$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ (4a)^{3/2} - a^{3/2} \right]$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ 8a\sqrt{a} - a\sqrt{a} \right]$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ 7a\sqrt{a} \right] = \frac{56a^2}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया वक्र $y = |x - 2|$ है।
हमें $y = |x - 2|$,$x = 1$,$x = 3$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
फलन $y = |x - 2|$ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
$y = \begin{cases} -(x - 2) & \text{यदि } x < 2 \\ x - 2 & \text{यदि } x \ge 2 \end{cases}$
क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{3} |x - 2| \, dx$
$x = 2$ पर समाकलन को विभाजित करने पर:
$A = \int_{1}^{2} -(x - 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$A = \left[ -\frac{(x - 2)^2}{2} \right]_{1}^{2} + \left[ \frac{(x - 2)^2}{2} \right]_{2}^{3}$
$A = \left( 0 - (-\frac{(1 - 2)^2}{2}) \right) + \left( \frac{(3 - 2)^2}{2} - 0 \right)$
$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वक्र $x = 2 - y - y^2$ द्वारा दिया गया है। $Y$-अक्ष रेखा $x = 0$ है।
$Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें:
$2 - y - y^2 = 0 \implies y^2 + y - 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y + 2)(y - 1) = 0$,अतः $y = -2$ और $y = 1$ है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-2}^{1} |x| dy = \int_{-2}^{1} (2 - y - y^2) dy$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = [2y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}]_{-2}^{1}$.
$y = 1$ पर: $2(1) - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 2 - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$.
$y = -2$ पर: $2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}$.
$A = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया वक्र $y = a\sqrt{x} + bx$ बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $2 = a(1) + b(1)$,अर्थात $a + b = 2$।
वक्र,$x=4$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_{0}^{4} (a\sqrt{x} + bx) dx = 8$ है।
समाकलन करने पर: $[a \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + b \cdot \frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = 8$।
$x=4$ रखने पर: $a \cdot \frac{2}{3}(8) + b \cdot \frac{16}{2} = 8$,जो सरल होकर $\frac{16}{3}a + 8b = 8$ बनता है।
$8$ से भाग देने पर: $\frac{2}{3}a + b = 1$।
अब हमारे पास समीकरण हैं:
$1) a + b = 2$
$2) \frac{2}{3}a + b = 1$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $(a - \frac{2}{3}a) = 2 - 1$,इसलिए $\frac{1}{3}a = 1$,जिसका अर्थ है $a = 3$।
$a=3$ को $a+b=2$ में रखने पर: $3 + b = 2$,इसलिए $b = -1$।
अतः,$a - b = 3 - (-1) = 4$।

(A) दिया गया वक्र $y = 4x - x^2$ है।
वक्र $X$-अक्ष को जहाँ काटता है,उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए हम $y = 0$ रखते हैं:
$4x - x^2 = 0$
$x(4 - x) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 4$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ को निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx$
$A = [2x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}$
$A = (2(4)^2 - \frac{4^3}{3}) - (0)$
$A = (2 \times 16 - \frac{64}{3})$
$A = 32 - \frac{64}{3}$
$A = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2^2$ है,जिसकी त्रिज्या $r=2$ और केंद्र $(0,0)$ है।
रेखा $x=1$ है। वृत्त और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर प्राप्त होते हैं: $1^2+y^2=4 \implies y^2=3 \implies y=\pm\sqrt{3}$.
छोटे भाग का क्षेत्रफल $x=1$ से $x=2$ तक वृत्त और रेखा द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{1}^{2} y \, dx = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} \, dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$A = 2 [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{1}^{2}$.
$A = 2 [(\frac{2}{2}\sqrt{4-4} + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{4-1} + 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}))]$.
$A = 2 [(0 + 2(\frac{\pi}{2})) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2(\frac{\pi}{6}))]$.
$A = 2 [\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}] = 2 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

(D) वक्र $y = \frac{x^2}{4}$,$X$-अक्ष और रेखा $x=4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_{0}^{4} \frac{x^2}{4} dx = \left[ \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$.
चूंकि रेखा $x=\alpha$ इस क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है,इसलिए $x=0$ से $x=\alpha$ तक का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होना चाहिए:
$\int_{0}^{\alpha} \frac{x^2}{4} dx = \frac{1}{2} \times \frac{16}{3} = \frac{8}{3}$.
समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{\alpha} = \frac{\alpha^3}{12} = \frac{8}{3}$.
$\alpha^3 = \frac{8 \times 12}{3} = 32$.
अतः,$\alpha = (32)^{1/3}$.

(A) दिए गए वक्र $y = |x - 4|$,$x = 3$,$x = 5$ और $X$-अक्ष $(y = 0)$ हैं।
हम जानते हैं कि यदि $x \ge 4$ है तो $|x - 4| = x - 4$ और यदि $x < 4$ है तो $-(x - 4)$ होता है।
क्षेत्रफल $A = \int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x = 4$ पर समाकलन को विभाजित करने पर:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$
$A = \int_{3}^{4} (4 - x) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$
प्रथम समाकलन का मान: $[4x - \frac{x^2}{2}]_{3}^{4} = (16 - 8) - (12 - 4.5) = 8 - 7.5 = 0.5$.
द्वितीय समाकलन का मान: $[\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$.
कुल क्षेत्रफल $A = 0.5 + 0.5 = 1$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 27x$ है।
चूँकि क्षेत्र परवलय और रेखा $x = 1$ द्वारा परिबद्ध है,क्षेत्रफल $A$ को $x = 0$ से $x = 1$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।
चूँकि $y^2 = 27x$,हमारे पास $y = \sqrt{27x} = 3\sqrt{3}\sqrt{x}$ है।
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के परितः सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2 \times \int_{0}^{1} y \, dx$ है।
$A = 2 \int_{0}^{1} 3\sqrt{3} \sqrt{x} \, dx = 6\sqrt{3} \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$.
$A = 6\sqrt{3} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = 6\sqrt{3} \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$.
$A = 4\sqrt{3} (1 - 0) = 4\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया वक्र $y = x|x|$ है।
चूंकि क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल $\int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{1} |x|x|| dx = \int_{-1}^{1} x^2 dx$ होगा।
$\text{Area} = \int_{-1}^{1} x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$.
$= 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
$= 2 \times \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2}{3} \text{ sq. units}$.

(B) दिया गया वक्र $y = \sqrt{49 - x^2}$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = 49 - x^2$ या $x^2 + y^2 = 7^2$। यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित और $r = 7$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है। चूंकि $y = \sqrt{49 - x^2}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है,यह ऊपरी अर्धवृत्त को दर्शाता है।
वक्र और $X$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_{-7}^{7} \sqrt{49 - x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{7} \sqrt{49 - x^2} \, dx$
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$ का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{49 - x^2} + \frac{49}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{7} \right) \right]_{0}^{7}$
$= 2 \left[ \left( \frac{7}{2} \sqrt{49 - 49} + \frac{49}{2} \sin^{-1} (1) \right) - (0 + 0) \right]$
$= 2 \left[ 0 + \frac{49}{2} \times \frac{\pi}{2} \right] = \frac{49 \pi}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) $X$-अक्ष के लिए,$y=0$.
अतः,$x(x-2)(x+1)=0$,जिससे $x=0, x=2, x=-1$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $-1$ से $2$ तक $x$ के सापेक्ष $|y|$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^0 y \, dx + \left| \int_0^2 y \, dx \right|$
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^0 (x^3-x^2-2x) \, dx + \left| \int_0^2 (x^3-x^2-2x) \, dx \right|$
समाकलन का मान:
$\int (x^3-x^2-2x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2$
$[-1, 0]$ अंतराल के लिए:
$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^0 = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{-1}{3} - 1 \right) = - \left( \frac{3+4-12}{12} \right) = - \left( \frac{-5}{12} \right) = \frac{5}{12}$
$[0, 2]$ अंतराल के लिए:
$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_0^2 = \left( \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$
मापांक लेने पर,हमें $|-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
कुल क्षेत्रफल = $\frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5+32}{12} = \frac{37}{12}$ वर्ग इकाई।

(C) वांछित क्षेत्रफल $\int_{1}^{3} |x-2| dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि फलन $|x-2|$ बिंदु $x=2$ पर अपनी परिभाषा बदलता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{2} -(x-2) dx + \int_{2}^{3} (x-2) dx$.
पहले भाग का मूल्यांकन: $\int_{1}^{2} (2-x) dx = [2x - \frac{x^2}{2}]_{1}^{2} = (4 - 2) - (2 - 0.5) = 2 - 1.5 = 0.5$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन: $\int_{2}^{3} (x-2) dx = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^{3} = (4.5 - 6) - (2 - 4) = -1.5 - (-2) = 0.5$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $0.5 + 0.5 = 1 \text{ वर्ग इकाई}$.