दीर्घवृत्त frac{x^{2}}{4}+frac{y^{2}}{9}=1 द् | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ है।इसे $\frac{y^{2}}{9}=1-\frac{x^{2}}{4} \Rightarrow y^{2}=9\left(1-\frac{x^{2}

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(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ है।इसे $\frac{y^{2}}{9}=1-\frac{x^{2}}{4} \Rightarrow y^{2}=9\left(1-\frac{x^{2}}{4}ight) \Rightarrow y=3 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}$ के रूप में लिखा जा सकता है (प्रथम चतुर्थांश के लिए धनात्मक मान लेने पर)।चूंकि दीर्घवृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश के क्षेत्रफल का $4$ गुना होगा।क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{2} y \, dx = 4 \int_{0}^{2} 3 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}} \, dx = 4 	imes \frac{3}{2} \int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \, dx = 6 \int_{0}^{2} \sqrt{2^{2}-x^{2}} \, dx$.सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}ight)$ का उपयोग करने पर:क्षेत्रफल $= 6 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{2}ight) ight]_{0}^{2}$$= 6 \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (0 + 2 \sin^{-1}(0)) ight] = 6 \left[ 2 	imes \frac{\pi}{2} ight] = 6 \pi$ वर्ग इकाई।

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi$ में)

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