Area bounded by region of single curve Questions in Hindi

(C) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $y = \log x$,$x = 1$ और $x = 2$ दिया गया है।
चूँकि $x \in [1, 2]$ के लिए $\log x > 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल $\int_{1}^{2} \log x \, dx$ होगा।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log x \, dx = x \log x - x + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = [x \log x - x]_{1}^{2}$।
$A = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)$।
चूँकि $\log 1 = 0$,इसलिए $A = 2 \log 2 - 2 + 1 = 2 \log 2 - 1$।
गुणधर्म $n \log m = \log(m^n)$ का उपयोग करने पर,$2 \log 2 = \log(2^2) = \log 4$।
अतः,$A = (\log 4 - 1) \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) वांछित क्षेत्रफल $A$ निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_0^a y \, dx = \int_0^a x{e^{{x^2}}} \, dx$
माना $t = x^2$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{dt}{2}$।
समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 0$,तब $t = 0^2 = 0$।
जब $x = a$,तब $t = a^2$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \int_0^{a^2} {e^t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{a^2} {e^t} \, dt$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = \frac{1}{2} [e^t]_0^{a^2} = \frac{1}{2} (e^{a^2} - e^0) = \frac{e^{a^2} - 1}{2} \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) वक्र $y = \sin x$ है। $x = 0$ और $x = 2\pi$ के बीच वक्र द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल फलन के मापांक के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_0^{2\pi} |\sin x| \, dx$
चूंकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \ge 0$ और $x \in [\pi, 2\pi]$ के लिए $\sin x \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_0^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \, dx$
$= [-\cos x]_0^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{2\pi}$
$= -(\cos \pi - \cos 0) + (\cos 2\pi - \cos \pi)$
$= -(-1 - 1) + (1 - (-1))$
$= -(-2) + (2) = 2 + 2 = 4 \, sq. \text{ unit}$.

(C) दिया गया परवलय का समीकरण $y = 4x^2$ है।
$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर,हमें $x^2 = \frac{y}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (चूंकि क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में है,हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं)।
वक्र,$y$-अक्ष और रेखाओं $y = 1$ तथा $y = 4$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$.
$= \frac{1}{2} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$.
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$.
$= \frac{1}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 1] = \frac{7}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 2$ तक $y$ के निरपेक्ष मान का $x$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{2} |y| \, dx = \int_{-1}^{2} |x| \, dx$
चूँकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \ge 0$ के लिए $|x| = x$ होता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{2} (x) \, dx$
$= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$= (0 - (-\frac{(-1)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - 0)$
$= \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) माना कि $x = a$ पर स्थित कोटि क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
वक्र $y = 1 + \frac{8}{x^2}$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = 2$ तथा $x = 4$ द्वारा घिरा कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{2}^{4} \left( 1 + \frac{8}{x^2} \right) dx$
$A = \left[ x - \frac{8}{x} \right]_{2}^{4}$
$A = \left( 4 - \frac{8}{4} \right) - \left( 2 - \frac{8}{2} \right) = (4 - 2) - (2 - 4) = 2 - (-2) = 4$ वर्ग इकाई।
चूंकि कोटि $x = a$ इस क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है,इसलिए $x = 2$ से $x = a$ तक का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा यानी $4 / 2 = 2$ होना चाहिए।
$\int_{2}^{a} \left( 1 + \frac{8}{x^2} \right) dx = 2$
$\left[ x - \frac{8}{x} \right]_{2}^{a} = 2$
$\left( a - \frac{8}{a} \right) - \left( 2 - \frac{8}{2} \right) = 2$
$a - \frac{8}{a} - (2 - 4) = 2$
$a - \frac{8}{a} + 2 = 2$
$a - \frac{8}{a} = 0$
$a^2 - 8 = 0$
$a^2 = 8$
$a = \pm 2\sqrt{2}$।
चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है जहाँ $x > 0$ है,इसलिए $a = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{2\pi} |\cos x| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
हम $\cos x$ के चिह्न के आधार पर अंतराल $[0, 2\pi]$ को विभाजित करते हैं:
$1$. $x \in [0, \pi/2]$ के लिए,$\cos x \ge 0$ है।
$2$. $x \in [\pi/2, 3\pi/2]$ के लिए,$\cos x \le 0$ है।
$3$. $x \in [3\pi/2, 2\pi]$ के लिए,$\cos x \ge 0$ है।
अतः,क्षेत्रफल:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \, dx + \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x \, dx$
प्रत्येक भाग की गणना करने पर:
$\int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$
$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} -\cos x \, dx = -[\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -(-1 - 1) = 2$
$\int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x \, dx = [\sin x]_{3\pi/2}^{2\pi} = 0 - (-1) = 1$
कुल क्षेत्रफल $A = 1 + 2 + 1 = 4 \, \text{sq. units}$।

(D) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ को समाकलन $A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ,$f(x) = x^3$,$a = 1$ और $b = 4$ है।
चूँकि $x \in [1, 4]$ के लिए $x^3 > 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल:
$A = \int_{1}^{4} x^3 dx$
$A = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4^4}{4} - \frac{1^4}{4}$
$A = \frac{256}{4} - \frac{1}{4}$
$A = \frac{255}{4} \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = \int_a^b y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वक्र $xy = c$ के लिए,$y = \frac{c}{x}$ है।
सीमाओं $x = 1$ और $x = 4$ का उपयोग करने पर,क्षेत्रफल है:
$A = \int_1^4 \frac{c}{x} \, dx$
$A = c [\ln |x|]_1^4$
$A = c (\ln 4 - \ln 1)$
चूंकि $\ln 1 = 0$ और $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$ है,इसलिए:
$A = c(2 \ln 2) = 2c \ln 2 \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) वक्र $y = f(x)$ द्वारा $x = a$ से $x = b$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = k \sin x$,$a = \pi$,और $b = 2\pi$ है।
अंतराल $[\pi, 2\pi]$ में,$\sin x$ ऋणात्मक होता है।
इसलिए,क्षेत्रफल $A = \int_{\pi}^{2\pi} |k \sin x| \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} -k \sin x \, dx$ होगा।
$A = -k [-\cos x]_{\pi}^{2\pi} = k [\cos x]_{\pi}^{2\pi}$.
$A = k (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = k (1 - (-1)) = k(1 + 1) = 2k$.
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $2k$ वर्ग इकाई है।

(D) अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ उन अंतरालों पर समाकलनों के निरपेक्ष मानों के योग द्वारा दिया जाता है जहाँ फलन धनात्मक और ऋणात्मक होता है।
$A = \int_0^{\pi} x \sin x \, dx + \left| \int_{\pi}^{2\pi} x \sin x \, dx \right|$
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x$।
प्रथम भाग के लिए: $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_0^{\pi} = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0) = \pi$।
द्वितीय भाग के लिए: $\int_{\pi}^{2\pi} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_{\pi}^{2\pi} = (-2\pi \cos 2\pi + \sin 2\pi) - (-\pi \cos \pi + \sin \pi) = (-2\pi) - (\pi) = -3\pi$।
इसका निरपेक्ष मान $|-3\pi| = 3\pi$ है।
कुल क्षेत्रफल $A = \pi + 3\pi = 4\pi \, \text{sq. units}$।

(B) आवश्यक क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{4}$ तक फलन $y = \sin 2x + \cos 2x$ के निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x + \cos 2x) \, dx$
पदों का समाकलन करने पर:
$= \left[ -\frac{\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
सीमाओं को लागू करने पर:
$= \frac{1}{2} \left[ (-\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0) + \sin(0)) \right]$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$\cos(0) = 1$,और $\sin(0) = 0$:
$= \frac{1}{2} [ (0 + 1) - (-1 + 0) ]$
$= \frac{1}{2} [ 1 + 1 ]$
$= \frac{1}{2} \times 2 = 1 \, sq. \text{ } unit$.

(D) वक्र $y = f(x)$ के अंतर्गत $x = a$ से $x = b$ तक का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = \sqrt{3x + 4}$,$a = 0$,और $b = 4$ है।
$A = \int_{0}^{4} \sqrt{3x + 4} \, dx$
माना $u = 3x + 4$,तो $du = 3 \, dx$,या $dx = \frac{du}{3}$।
जब $x = 0$,तब $u = 4$। जब $x = 4$,तब $u = 16$।
$A = \int_{4}^{16} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{4}^{16} u^{1/2} \, du$
$A = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{4}^{16} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{4}^{16}$
$A = \frac{2}{9} [16^{3/2} - 4^{3/2}]$
$A = \frac{2}{9} [64 - 8] = \frac{2}{9} \times 56 = \frac{112}{9}$ वर्ग इकाई।
चूंकि $\frac{112}{9}$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) रेखाएँ $y = 2 + x$,$y = 2 - x$ और $x = 2$ हैं।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1$. $y = 2 + x$ और $y = 2 - x$ का प्रतिच्छेदन: $2 + x = 2 - x \implies 2x = 0 \implies x = 0$. अतः,$y = 2$. बिंदु $C$ $(0, 2)$ है।
$2$. $y = 2 + x$ और $x = 2$ का प्रतिच्छेदन: $y = 2 + 2 = 4$. बिंदु $B$ $(2, 4)$ है।
$3$. $y = 2 - x$ और $x = 2$ का प्रतिच्छेदन: $y = 2 - 2 = 0$. बिंदु $A$ $(2, 0)$ है।
यह क्षेत्र एक त्रिभुज $ABC$ है जिसके शीर्ष $A(2, 0)$,$B(2, 4)$ और $C(0, 2)$ हैं।
आधार $AB$ (ऊर्ध्वाधर रेखा) की लंबाई $|4 - 0| = 4$ है।
शीर्ष $C$ से रेखा $x = 2$ तक त्रिभुज की ऊँचाई $x = 0$ से $x = 2$ तक की क्षैतिज दूरी है,जो $2$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ वर्ग इकाई}$.
वैकल्पिक रूप से,समाकलन का उपयोग करके: क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} ((2 + x) - (2 - x)) dx = \int_{0}^{2} 2x dx = [x^2]_{0}^{2} = 4 - 0 = 4 \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$y = x^3$,$a = 1$ और $b = 2$ है।
अतः,क्षेत्रफल:
$A = \int_{1}^{2} x^3 \, dx$
$A = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2}$
$A = \frac{1}{4} [2^4 - 1^4]$
$A = \frac{1}{4} [16 - 1]$
$A = \frac{15}{4} \text{ वर्ग इकाई}$।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) वक्र $y = \sin x$,$x$-अक्ष,और रेखाओं $x = 0$ तथा $x = \pi$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx$
चूंकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \geq 0$ है,इसलिए:
$A = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$
$A = [-\cos x]_{0}^{\pi}$
$A = -(\cos \pi - \cos 0)$
$A = -(-1 - 1)$
$A = -(-2) = 2$
अतः,क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है.

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जिसका अर्थ है $y = \pm 2\sqrt{a}\sqrt{x}$।
चूंकि क्षेत्रफल अक्ष ($x$-अक्ष) और वक्र द्वारा परिबद्ध है,हम परवलय के ऊपरी भाग $y = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ पर विचार करते हैं।
वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और कोटियों $x = 4$ तथा $x = 9$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा इस प्रकार प्राप्त होता है:
$A = \int_{4}^{9} y \, dx = \int_{4}^{9} 2\sqrt{a}\sqrt{x} \, dx$
$A = 2\sqrt{a} \int_{4}^{9} x^{1/2} \, dx$
$A = 2\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{4}^{9}$
$A = 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{4}^{9}$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (9^{3/2} - 4^{3/2})$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (27 - 8)$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (19) = \frac{76\sqrt{a}}{3}$।
नोट: यदि प्रश्न वक्र और कोटियों द्वारा परिबद्ध कुल क्षेत्रफल (अक्ष के ऊपर और नीचे दोनों) को दर्शाता है,तो क्षेत्रफल $2 \times \frac{76\sqrt{a}}{3} = \frac{152\sqrt{a}}{3}$ होगा। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $D$ है।

(A) वक्र $y = x$ और $y = x + \sin x$ बिंदु $x = 0$ और $x = \pi$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $x + \sin x \ge x$ होता है।
दोनों वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ को निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_{0}^{\pi} ((x + \sin x) - x) \, dx$
$A = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$
$A = [-\cos x]_{0}^{\pi}$
$A = -(\cos \pi - \cos 0)$
$A = -(-1 - 1) = -(-2) = 2$.
अतः,क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है।

(A) फलन $y = \tan x$ एक विषम फलन है,जिसका अर्थ है कि $f(-x) = -f(x)$।
चूंकि अंतराल $(-\pi/3, \pi/3)$ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $2 \times \int_0^{\pi/3} \tan x \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
समाकलन का मूल्यांकन: $2 \int_0^{\pi/3} \tan x \, dx = 2 [\log |\sec x|]_0^{\pi/3}$।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $2 (\log |\sec(\pi/3)| - \log |\sec(0)|) = 2 (\log 2 - \log 1)$।
चूंकि $\log 1 = 0$,इसलिए परिणाम $2 \log 2$ है।

(B) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \frac{3}{\ln 2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
समाकलन का मूल्यांकन: $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \left[ \frac{2^{kx}}{k \ln 2} \right]_{0}^{2}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{k \ln 2} (2^{2k} - 2^0) = \frac{2^{2k} - 1}{k \ln 2}$.
इसे दिए गए क्षेत्रफल के बराबर रखने पर: $\frac{2^{2k} - 1}{k \ln 2} = \frac{3}{\ln 2}$.
यह $\frac{2^{2k} - 1}{k} = 3$,या $2^{2k} - 1 = 3k$ में सरल हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
यदि $k = 1$ हो: $2^{2(1)} - 1 = 4 - 1 = 3$,और $3(1) = 3$. चूँकि $3 = 3$,शर्त संतुष्ट होती है।
अतः,$k$ का मान $1$ है।

(D) दिया गया है कि वक्र $y = f(x)$,$x-$ अक्ष और रेखाओं $x = 1$ तथा $x = b$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $\int_1^b f(x) \, dx = \sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{2}$ है।
हम इस व्यंजक को $\int_1^b f(x) \, dx = \sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{1^2 + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $\int_1^b f(x) \, dx = [\sqrt{x^2 + 1}]_1^b$ के बराबर है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि $\int_1^b f(x) \, dx = F(b) - F(1)$ है,तो $f(x) = F'(x)$ होता है।
यहाँ,$F(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ है।
इसलिए,$f(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1})$ होगा।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ प्राप्त होता है।

(A) वक्र $y = f(x)$,$x-$ अक्ष और कोटियों $x = 1$ तथा $x = b$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_1^b f(x) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,क्षेत्रफल $\int_1^b f(x) \, dx = (b - 1)\sin(3b + 4)$ है।
$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के दोनों पक्षों का $b$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे (कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके):
$\frac{d}{db} \left( \int_1^b f(x) \, dx \right) = \frac{d}{db} [(b - 1)\sin(3b + 4)]$.
दाहिनी ओर गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$f(b) = \frac{d}{db}(b - 1) \cdot \sin(3b + 4) + (b - 1) \cdot \frac{d}{db}(\sin(3b + 4))$.
$f(b) = 1 \cdot \sin(3b + 4) + (b - 1) \cdot \cos(3b + 4) \cdot 3$.
$f(b) = 3(b - 1)\cos(3b + 4) + \sin(3b + 4)$.
$b$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = 3(x - 1)\cos(3x + 4) + \sin(3x + 4)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र ${x^2} = 4y$ है,जिसका अर्थ है $y = \frac{x^2}{4}$।
यह क्षेत्र वक्र $y = \frac{x^2}{4}$,$x$-अक्ष $(y = 0)$ और ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ द्वारा घिरा हुआ है। चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x$ के लिए समाकलन की सीमाएँ $0$ से $2$ तक हैं।
क्षेत्रफल $A$ निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{2} y \, dx = \int_{0}^{2} \frac{x^2}{4} \, dx$
$A = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} x^2 \, dx$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{2}{3} \text{ वर्ग इकाई।}$

(A) वक्र $y = x^2 - 4x$ और $x$-अक्ष द्वारा $x = 0$ से $x = 2$ तक घिरा क्षेत्रफल $A$,फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
चूंकि $x \in [0, 2]$ के लिए $x^2 - 4x \leq 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल:
$A = \left| \int_0^2 (x^2 - 4x) dx \right|$
$A = \left| \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_0^2 \right|$
$A = \left| \left( \frac{8}{3} - 2(4) \right) - (0) \right|$
$A = \left| \frac{8}{3} - 8 \right| = \left| \frac{8 - 24}{3} \right| = \left| -\frac{16}{3} \right| = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $xy - 3x - 2y - 10 = 0$.
$y$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $y(x - 2) = 3x + 10 \Rightarrow y = \frac{3x + 10}{x - 2}$.
इस व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $y = \frac{3(x - 2) + 16}{x - 2} = 3 + \frac{16}{x - 2}$.
आवश्यक क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $A = \int_{3}^{4} y \, dx = \int_{3}^{4} \left( 3 + \frac{16}{x - 2} \right) dx$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर: $A = [3x + 16 \log |x - 2|]_{3}^{4}$.
सीमाओं का मान रखने पर: $A = (3(4) + 16 \log |4 - 2|) - (3(3) + 16 \log |3 - 2|)$.
$A = (12 + 16 \log 2) - (9 + 16 \log 1)$.
चूंकि $\log 1 = 0$,इसलिए $A = 12 + 16 \log 2 - 9 = 3 + 16 \log 2$ वर्ग इकाई।

(B) वक्र $y^2 = x$,रेखा $y = 4$ और $y$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
चूंकि $y^2 = x$,इसलिए $x = y^2$ है।
$y$ के लिए सीमाएं $0$ से $4$ तक हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} x \, dy = \int_{0}^{4} y^2 \, dy$
$= \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) वक्र $y = \log_e x$,$x$-अक्ष को $(1, 0)$ पर काटता है।
निर्देशांक अक्षों और वक्र द्वारा परिबद्ध क्षेत्र को ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = 1$ के बीच के क्षेत्र पर विचार करते हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 1$ तक फलन के मापांक का समाकलन है:
$A = \int_0^1 |\log_e x| \, dx = \int_0^1 -\log_e x \, dx$
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = -[x \log_e x - x]_0^1 = -[(1 \cdot \log_e 1 - 1) - \lim_{x \to 0^+} (x \log_e x - x)]$.
चूंकि $\log_e 1 = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} x \log_e x = 0$,इसलिए:
$A = -[0 - 1 - 0] = 1$.
अतः,क्षेत्रफल $1$ वर्ग इकाई है।

(B) परवलय $y^2 = 2x$ है,जिसका अर्थ है $y = \pm \sqrt{2x}$।
चूंकि क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{1}^{4} y \, dx = 2 \int_{1}^{4} \sqrt{2x} \, dx$
क्षेत्रफल $= 2\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx$
क्षेत्रफल $= 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
क्षेत्रफल $= 2\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{1}^{4}$
क्षेत्रफल $= \frac{4\sqrt{2}}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
क्षेत्रफल $= \frac{4\sqrt{2}}{3} (8 - 1) = \frac{4\sqrt{2}}{3} \times 7 = \frac{28\sqrt{2}}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है,जो $(0,0)$ केंद्र और $r = 2$ त्रिज्या वाला वृत्त है।
रेखा $x = 1$ है।
छोटे भाग का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{1}^{2} y \, dx = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{1}^{2}$
$= 2 \left[ (\frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{4 - 1} + 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right]$
$= 2 \left[ (0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right]$
$= 2 \left[ \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} \right]$
$= 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

(B) अभीष्ट क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = \frac{\pi}{2}$ तक फलन $y = \sin^2 x$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$A = \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$A = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$A = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2x) \, dx$
$A = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi/2}$
$A = \frac{1}{2} \left( (\frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2}) - (0 - \frac{\sin 0}{2}) \right)$
$A = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0) = \frac{\pi}{4}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{\pi}{4}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 2^2$ है,जिसकी त्रिज्या $R = 2$ है। रेखा $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ है,जो $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है जहाँ $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,अतः $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
वृत्त,रेखा और $x$-अक्ष द्वारा प्रथम चतुर्थांश में परिबद्ध क्षेत्रफल,त्रिज्या $R = 2$ और केंद्रीय कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ वाले वृत्त के त्रिज्यखंड (sector) का क्षेत्रफल है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{1}{2} R^2 \theta$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = \frac{1}{2} \times (2)^2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) वांछित क्षेत्रफल $y = \cos x$ (ऊपरी वक्र) और $y = \sin x$ (निचला वक्र) द्वारा $x = 0$ से उनके प्रतिच्छेदन बिंदु तक परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\sin x = \cos x$ रखें,जिससे $\tan x = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{\pi}{4}$।
वांछित क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4}$
$A = (\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) - (\sin(0) + \cos(0))$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1$.

(B) $x$-अक्ष के परितः वक्र $y = f(x)$ के परिक्रमण से उत्पन्न ठोस के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है:
$S = \int_{a}^{b} 2\pi y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$
दी गई रेखा $y = x + 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1$
अब $a = 2$,$b = 3$,$y = x + 1$ और $\frac{dy}{dx} = 1$ का मान सूत्र में रखने पर:
$S = \int_{2}^{3} 2\pi (x + 1) \sqrt{1 + (1)^2} dx$
$S = \int_{2}^{3} 2\pi (x + 1) \sqrt{2} dx$
$S = 2\sqrt{2}\pi \int_{2}^{3} (x + 1) dx$
समाकलन करने पर:
$S = 2\sqrt{2}\pi \left[ \frac{(x + 1)^2}{2} \right]_{2}^{3}$
$S = \sqrt{2}\pi \left[ (3 + 1)^2 - (2 + 1)^2 \right]$
$S = \sqrt{2}\pi [16 - 9]$
$S = 7\sqrt{2}\pi = 7\pi \sqrt{2}$

(C) दिया गया वक्र $y = 4x - x^2$ और $x$-अक्ष $(y = 0)$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$4x - x^2 = 0 \implies x(4 - x) = 0 \implies x = 0, 4$.
आवश्यक क्षेत्रफल निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$
$= \left[ \frac{4x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$= 32 - \frac{64}{3}$
$= \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) वक्र $y = \tan x$ है। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,$y = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है। स्पर्श बिंदु $(\frac{\pi}{4}, 1)$ है।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$ है। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,ढाल $m = \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = 2(x - \frac{\pi}{4})$ है,जिसे सरल करने पर $y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को जहाँ काटती है,वहाँ $y = 0$ रखने पर $0 = 2x - \frac{\pi}{2} + 1$,जिससे $x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (\arctan y - (\frac{y}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2})) \, dy = [y \arctan y - \frac{1}{2} \log(1 + y^2) - \frac{y^2}{4} - \frac{\pi y}{4} + \frac{y}{2}]_{0}^{1}$.
$= (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2 - \frac{1}{4} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \log \sqrt{2}$.

(A) वक्र $y = 4 + 3x - x^2$ और $x$-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y = 0$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$4 + 3x - x^2 = 0$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
$(x - 4)(x + 1) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -1$ और $x = 4$ हैं।
चूंकि अंतराल $[-1, 4]$ में वक्र $x$-अक्ष के ऊपर स्थित है,इसलिए क्षेत्रफल इस प्रकार होगा:
$\text{Area} = \int_{-1}^{4} (4 + 3x - x^2) dx$
$= [4x + \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{4}$
$= (4(4) + \frac{3(16)}{2} - \frac{64}{3}) - (4(-1) + \frac{3(1)}{2} - \frac{-1}{3})$
$= (16 + 24 - \frac{64}{3}) - (-4 + \frac{3}{2} + \frac{1}{3})$
$= (40 - \frac{64}{3}) - (-4 + \frac{11}{6})$
$= \frac{120 - 64}{3} - (\frac{-24 + 11}{6})$
$= \frac{56}{3} - (\frac{-13}{6})$
$= \frac{112 + 13}{6} = \frac{125}{6}$

(D) वक्र $y = x$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = -1$ तथा $x = 2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{2} |y| \, dx = \int_{-1}^{2} |x| \, dx$
चूंकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \ge 0$ के लिए $|x| = x$ होता है,इसलिए हम समाकलन को $x = 0$ पर विभाजित करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{2} (x) \, dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_{-1}^{0} (-x) \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - (-1/2) = 1/2$
$\int_{0}^{2} (x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - 0 = 4/2 = 2$
कुल क्षेत्रफल $= 1/2 + 2 = 5/2$.

(C) दिए गए परवलय ${y^2} = 4ax$ के लिए,$y = 2\sqrt{ax}$ है।
रेखाओं $x = a$ और $x = 4a$ के बीच का क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:
$A = \int_{a}^{4a} 2\sqrt{ax} \, dx$
$= 2\sqrt{a} \int_{a}^{4a} x^{1/2} \, dx$
$= 2\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{a}^{4a}$
$= \frac{4}{3}\sqrt{a} \left[ (4a)^{3/2} - a^{3/2} \right]$
$= \frac{4}{3}\sqrt{a} \left[ 8a\sqrt{a} - a\sqrt{a} \right]$
$= \frac{4}{3}\sqrt{a} \left[ 7a\sqrt{a} \right]$
$= \frac{28}{3}a^2$

(B) दिया गया वक्र $y = -x^2 + 2x + 3$ और रेखा $y = 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$-x^2 + 2x + 3 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
$(x - 3)(x + 1) = 0$
अतः,$x = -1$ और $x = 3$ प्राप्त होते हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा इस प्रकार है:
$A = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$
$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}$
$A = \left( -\frac{27}{3} + 9 + 9 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right)$
$A = (-9 + 9 + 9) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right)$
$A = 9 - \left( \frac{1 - 6}{3} \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए वक्र $y = x^2$ और $y = x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = x$ रखें,जिससे $x^2 - x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x(x - 1) = 0$।
इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 1$ हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,रेखा $y = x$,परवलय $y = x^2$ के ऊपर स्थित है।
इसलिए,अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^1 (x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) परवलय का समीकरण ${y^2} = 4ax$ है। नाभिलंब की रेखा $x = a$ है।
परवलय और उसके नाभिलंब द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = a$ तक समाकलन (integration) करेंगे।
चूंकि परवलय $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \int_0^a y \, dx = 2 \int_0^a \sqrt{4ax} \, dx$
$= 2 \times 2\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} \, dx$
$= 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a$
$= 4\sqrt{a} \times \frac{2}{3} \left[ a^{3/2} - 0 \right]$
$= \frac{8}{3} \sqrt{a} \times a\sqrt{a} = \frac{8}{3} a^2 \text{ वर्ग इकाई}$

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $ay = 3(a^2 - x^2)$ है,जिसे $y = \frac{3}{a}(a^2 - x^2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
परवलय $x$-अक्ष को वहां मिलता है जहां $y = 0$ है,इसलिए $\frac{3}{a}(a^2 - x^2) = 0$,जिससे $x^2 = a^2$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = \pm a$।
वांछित क्षेत्रफल $A$,$x = -a$ से $x = a$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन है:
$A = \int_{-a}^{a} \frac{3}{a}(a^2 - x^2) dx$।
चूंकि फलन सम है,हम लिख सकते हैं:
$A = 2 \int_{0}^{a} \frac{3}{a}(a^2 - x^2) dx = \frac{6}{a} \int_{0}^{a} (a^2 - x^2) dx$।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \frac{6}{a} [a^2x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{a} = \frac{6}{a} (a^3 - \frac{a^3}{3}) = \frac{6}{a} (\frac{2a^3}{3}) = 4a^2 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूँकि समीकरण में $x$ और $y$ की केवल सम घातें हैं,इसलिए दीर्घवृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है।
अतः,दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र $(OBC)$ के क्षेत्रफल का $4$ गुना होगा।
क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{a} y \, dx = 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$.
माना $x = a \sin \theta$,तब $dx = a \cos \theta \, d\theta$. जब $x=0, \theta=0$ और जब $x=a, \theta=\frac{\pi}{2}$.
क्षेत्रफल $= 4 \frac{b}{a} \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta} \cdot a \cos \theta \, d\theta = 4ab \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= 4ab \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = 2ab \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\pi/2}$.
क्षेत्रफल $= 2ab \left( (\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0) \right) = \pi ab \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिए गए वक्र $y = |x - 1|$ और $y = 1$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$|x - 1| = 1$ रखें,जिससे $x - 1 = 1$ या $x - 1 = -1$ प्राप्त होता है। अतः,$x = 2$ या $x = 0$ है।
क्षेत्र $x = 0$ और $x = 2$ के बीच परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{2} (1 - |x - 1|) dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $x < 1$ के लिए $|x - 1| = 1 - x$ और $x \ge 1$ के लिए $|x - 1| = x - 1$ है,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{1} (1 - (1 - x)) dx + \int_{1}^{2} (1 - (x - 1)) dx$
$A = \int_{0}^{1} x dx + \int_{1}^{2} (2 - x) dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2}$
$A = \left( \frac{1}{2} - 0 \right) + \left( (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) \right)$
$A = \frac{1}{2} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
अतः,क्षेत्रफल $1$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = 4ax$ है,जो $x$-अक्ष के परितः सममित एक परवलय है।
वक्र,$x$-अक्ष और कोटियों $x = 0$ तथा $x = a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ का $x$ के सापेक्ष $0$ से $a$ तक समाकलन करते हैं।
क्षेत्रफल $= \int_0^a y \, dx = \int_0^a 2\sqrt{a}\sqrt{x} \, dx$
$= 2\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} \, dx$
$= 2\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a$
$= 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_0^a$
$= \frac{4\sqrt{a}}{3} (a^{3/2} - 0)$
$= \frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot a\sqrt{a}$
$= \frac{4}{3} a^2$
नोट: प्रश्न में वक्र,$x$-अक्ष और कोटियों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल पूछा गया है। यह केवल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्रफल को दर्शाता है। यदि वक्र और कोटियों के बीच का कुल क्षेत्रफल ($x$-अक्ष के ऊपर और नीचे दोनों) आवश्यक हो,तो यह $2 \times \frac{4}{3}a^2 = \frac{8}{3}a^2$ होगा। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $\frac{8}{3}a^2$ है।

(A) वक्र का समीकरण $xy^2 = a^2(a - x)$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = \frac{a^2(a - x)}{x}$।
चूंकि वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A$,$x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{a} a \sqrt{\frac{a - x}{x}} \, dx$।
मान लीजिए $x = a \sin^2 \theta$,तो $dx = 2a \sin \theta \cos \theta \, d\theta$।
जब $x = 0, \theta = 0$ और जब $x = a, \theta = \frac{\pi}{2}$।
$A = 2 \int_{0}^{\pi/2} a \sqrt{\frac{a - a \sin^2 \theta}{a \sin^2 \theta}} (2a \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$A = 4a^2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \sin \theta \cos \theta \, d\theta$
$A = 4a^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta$
गुणधर्म $\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{\pi}{4}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = 4a^2 \times \frac{\pi}{4} = \pi a^2$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 3^2$ है,जिसकी त्रिज्या $r = 3$ है। रेखा $x = 1$ वृत्त को काटती है। छोटे खंड का क्षेत्रफल $x = 1$ से $x = 3$ तक $2y$ का समाकलन करने पर प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{1}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx$
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3}) \right]_{1}^{3}$
$= \left[ x \sqrt{9 - x^2} + 9 \sin^{-1}(\frac{x}{3}) \right]_{1}^{3}$
$= (3 \sqrt{9 - 9} + 9 \sin^{-1}(1)) - (1 \sqrt{9 - 1} + 9 \sin^{-1}(\frac{1}{3}))$
$= (0 + 9 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\sqrt{8} + 9 \sin^{-1}(\frac{1}{3}))$
$= \frac{9\pi}{2} - \sqrt{8} - 9 \sin^{-1}(\frac{1}{3})$
$= 9(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{1}{3})) - \sqrt{8}$
चूंकि $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\theta) = \cos^{-1}(\theta)$ और $\cos^{-1}(\frac{1}{3}) = \sec^{-1}(3)$ है,इसलिए:
क्षेत्रफल $= 9 \sec^{-1}(3) - \sqrt{8}$.

(D) अभीष्ट क्षेत्रफल समाकलन $\int_{1}^{3} |x - 2| \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूँकि $x < 2$ के लिए $|x - 2| = -(x - 2)$ और $x \geq 2$ के लिए $|x - 2| = (x - 2)$ होता है,इसलिए हम समाकलन को $x = 2$ पर विभाजित करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{2} -(x - 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$= \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} + \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{2}^{3}$
$= \left( (4 - 2) - (2 - 0.5) \right) + \left( (4.5 - 6) - (2 - 4) \right)$
$= (2 - 1.5) + (-1.5 - (-2))$
$= 0.5 + 0.5 = 1$.
अतः,क्षेत्रफल $1$ वर्ग इकाई है।

(C) वक्रों $y = \cos x$ और $y = \sin x$ द्वारा $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{4}$ के बीच परिबद्ध क्षेत्रफल $A$,ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है।
अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में,$\cos x \ge \sin x$ होता है।
अतः,क्षेत्रफल:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$
$A = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{4}} - [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{4}}$
$A = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$A = \sqrt{2} - 1$.

(D) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के आंतरिक भाग और रेखा $x + y = 1$ के ऊपर के भाग द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,हम वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और रेखा $x + y = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
वृत्त के समीकरण में $y = 1 - x$ रखने पर:
$x^2 + (1 - x)^2 = 1$
$x^2 + 1 + x^2 - 2x = 1$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
इससे $x = 0$ और $x = 1$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$ है,तो $y = 1$ है। जब $x = 1$ है,तो $y = 0$ है।
अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, 0)$ और $B(0, 1)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = 1$ तक वृत्त के चाप के नीचे के क्षेत्रफल में से रेखा के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
क्षेत्रफल $= \int_0^1 (\sqrt{1 - x^2} - (1 - x)) \, dx$
$= \left[ \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x) - x + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$= \left( \frac{1 \cdot 0}{2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(1) - 1 + \frac{1}{2} \right) - (0 + 0 - 0 + 0)$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.