Area bounded by region of single curve Questions in Gujarati

(A) પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y^2=x$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=4$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{4} y \, dx$
અહીં $y^2=x$ અને આપણે પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$y = \sqrt{x} = x^{1/2}$ થાય.
$A = \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx$
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
$A = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{2}{3} (7) = \frac{14}{3}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = 4x$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $x = \frac{y^2}{4}$.
પ્રદેશ $Y$-અક્ષ $(x = 0)$,વક્ર $x = \frac{y^2}{4}$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા ઘેરાયેલ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 3$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{3} x \, dy = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$.
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times \frac{27}{3} = \frac{9}{4}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 12y$ છે. તેને $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
પરવલયનું નાભિ $(0, a) = (0, 3)$ છે.
નાભિલંબનું સમીકરણ $y = 3$ છે.
આ પ્રદેશ પરવલય $y = \frac{x^2}{12}$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા આવૃત છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y = 3$ ને $x^2 = 12y$ માં મૂકતા,$x^2 = 36$ મળે છે,તેથી $x = \pm 6$.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન $A = \int_{-6}^{6} (3 - \frac{x^2}{12}) dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{6} (3 - \frac{x^2}{12}) dx$.
$A = 2 [3x - \frac{x^3}{36}]_{0}^{6} = 2 [3(6) - \frac{216}{36}] = 2 [18 - 6] = 2(12) = 24$ ચોરસ એકમ.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = \pi$ સુધી વિધેય $y = \sin 2x$ ના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{\pi} |\sin 2x| \, dx$
કારણ કે $\sin 2x$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} -\sin 2x \, dx$
પ્રથમ ભાગની ગણતરી:
$\int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \, dx = [-\frac{\cos 2x}{2}]_{0}^{\pi/2} = -\frac{1}{2}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = 1$
બીજા ભાગની ગણતરી:
$\int_{\pi/2}^{\pi} -\sin 2x \, dx = [\frac{\cos 2x}{2}]_{\pi/2}^{\pi} = \frac{1}{2}(\cos 2\pi - \cos \pi) = \frac{1}{2}(1 - (-1)) = 1$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 1 + 1 = 2$ ચોરસ એકમ.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1/3} = 1$.
અહીં,$a^2 = \frac{1}{2}$ અને $b^2 = \frac{1}{3}$ છે,તેથી $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $b = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $A = \pi \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{6}}$ ચોરસ એકમ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $|x| + y = 1$ છે,જેને $y = 1 - |x|$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ સમીકરણ બે રેખાઓ દર્શાવે છે:
$1$) $x \ge 0$ માટે,$y = 1 - x$.
$2$) $x < 0$ માટે,$y = 1 - (-x) = 1 + x$.
આ પ્રદેશ આ રેખાઓ અને $x$-અક્ષ $(y = 0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 1)$,$(1, 0)$ અને $(-1, 0)$ છે.
આ એક ત્રિકોણ બનાવે છે જેનો પાયો $b = 1 - (-1) = 2$ અને ઊંચાઈ $h = 1$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ ચોરસ એકમ થાય છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a > b$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ દ્વારા મળે છે,તેથી $ae = \sqrt{a^2 - b^2}$.
નાભિલંબની રેખા $x = ae$ છે.
ઉપવલય અને તેના નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $2 \int_{ae}^{a} y \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$y = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2 \frac{b}{a} \int_{ae}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ થાય.
સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,$ae$ થી $a$ સુધીની સીમાઓ માટે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{2b}{a} [\frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})]_{ae}^{a}$.
આ ગણતરી કરતા સાચો વિકલ્પ $b(be + a \sin^{-1} e)$ મળે છે.

(A) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$
અહીં આપેલ વક્ર $xy = 4$ છે,તેથી $y = \frac{4}{x}$ થાય.
આ પ્રદેશ $x = 1$ અને $x = 3$ ની વચ્ચે છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A$:
$A = \int_{1}^{3} \frac{4}{x} \, dx$
$A = 4 \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \, dx$
$A = 4 [\ln |x|]_{1}^{3}$
$A = 4 (\ln 3 - \ln 1)$
કારણ કે $\ln 1 = 0$ છે,તેથી:
$A = 4 \ln 3$
આમ,ક્ષેત્રફળ $4 \log 3$ ચોરસ એકમ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
પરવલયનું નાભિ $(a, 0) = (2, 0)$ છે.
નાભિલંબનું સમીકરણ $x = a = 2$ છે.
પરવલય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
પરવલય અને તેના નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{2} y \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y^2 = 8x$ હોવાથી,$y = \sqrt{8x} = 2\sqrt{2} \sqrt{x}$ મળે.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા,$A = 2 \int_{0}^{2} 2\sqrt{2} \sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} \, dx$ મળે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = 4\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 4\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{16 \times 2}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે: $A = \int_{0}^{3\pi/2} |\cos x| \, dx$.
કારણ કે $\cos x$ એ $[0, \pi/2]$ માં ધન છે અને $[\pi/2, 3\pi/2]$ માં ઋણ છે,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} -\cos x \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $[\sin x]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $-[\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -(\sin(3\pi/2) - \sin(\pi/2)) = -(-1 - 1) = -(-2) = 2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 1 + 2 = 3$ ચોરસ એકમ.

(C) વક્ર $y = x|x|$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
આપણે તેને ટુકડાઓમાં આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ:
$y = \begin{cases} x^2, & \text{જો } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{જો } x < 0 \end{cases}$
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-1}^{1} |y| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે વિધેય $y = x|x|$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી વક્ર અને $x$-અક્ષ વચ્ચે $x=-1$ થી $x=1$ સુધીનું આવૃત ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$A = \int_{-1}^{0} | -x^2 | \, dx + \int_{0}^{1} | x^2 | \, dx$
$A = \int_{-1}^{0} x^2 \, dx + \int_{0}^{1} x^2 \, dx$
$A = [\frac{x^3}{3}]_{-1}^{0} + [\frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = (0 - (-\frac{1}{3})) + (\frac{1}{3} - 0)$
$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) વક્ર $y = x|x|$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
અંતરાલ $x \in [0, 1]$ હોવાથી,$x \ge 0$ થાય,તેથી $|x| = x$ મળે.
આમ,$x \in [0, 1]$ માટે વક્ર $y = x \cdot x = x^2$ બને છે.
વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=0$ તથા $x=1$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} |y| \, dx = \int_{0}^{1} x^2 \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y^2 = 4x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{y^2}{4}$.
આપણે આ વક્ર,$Y$-અક્ષ $(x = 0)$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આ પ્રદેશ $y = 0$ થી $y = 3$ સુધી સીમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{3} x \, dy$ દ્વારા મળે છે.
$x = \frac{y^2}{4}$ મૂકતા,આપણને $A = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$ મળે છે.
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ આપેલ અંતરાલ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે:
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x| \, dx$
અંતરાલ $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ માં,$\cos x$ ની કિંમત ઋણ હોય છે.
તેથી,$|\cos x| = -\cos x$ થાય.
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} -\cos x \, dx$
$A = -[\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = -(\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}))$
$A = -(-1 - 1) = -(-2) = 2$
આમ,ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a = 4$ અને $b = 3$ થાય.
ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $A = \pi \times 4 \times 3 = 12 \pi$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 = 36$ છે।
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = 1$
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
આ સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ ના સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે।
તેથી, $a = 3$ અને $b = 2$ મળે।
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે।
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે:
$A = \pi \times 3 \times 2 = 6\pi$ ચોરસ એકમ।

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,તેથી $a = 3$.
નાભિલંબ એ રેખા $x = a = 3$ છે.
પરવલય અને તેના નાભિલંબ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{3} \sqrt{12x} \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A = 2 \times \sqrt{12} \int_{0}^{3} x^{1/2} \, dx = 2 \times 2\sqrt{3} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3}$.
$A = 4\sqrt{3} \times \frac{2}{3} \times (3)^{3/2} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \times 3\sqrt{3} = 8 \times 3 = 24$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = 4x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{y^2}{4}$.
પ્રદેશ $Y$-અક્ષ $(x = 0)$,વક્ર $x = \frac{y^2}{4}$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા આવૃત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 3$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{3} x \, dy = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times \frac{27}{3} = \frac{9}{4}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -\frac{\pi}{2}$ થી $x = \pi$ સુધી વિધેય $y = \cos x$ ના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi} |\cos x| \, dx$.
$x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માટે $\cos x \ge 0$ અને $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ માટે $\cos x \le 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos x) \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} -\cos x \, dx = [-\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -(\sin \pi - \sin \frac{\pi}{2}) = -(0 - 1) = 1$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 2 + 1 = 3$ ચોરસ એકમ.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 4$,તેથી $a = 1$.
પરવલયનું નાભિ $(a, 0) = (1, 0)$ છે.
નાભિલંબ એ રેખા $x = 1$ છે.
પરવલય અને નાભિલંબ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{1} y \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y^2 = 4x$ હોવાથી,$y = 2\sqrt{x}$ મળે.
$A = 2 \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx = 4 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$.
$A = 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = 4 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$.
$A = \frac{8}{3} [1 - 0] = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[0, 2]$ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx$
અહીં $x \in [0, 1]$ માટે $\sin(\pi x) \ge 0$ અને $x \in [1, 2]$ માટે $\sin(\pi x) \le 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
$A = \int_{0}^{1} \sin(\pi x) \, dx + \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx$
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય:
$\int_{0}^{1} \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{0}^{1} = -\frac{1}{\pi}(\cos(\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{\pi}(-1 - 1) = \frac{2}{\pi}$
બીજા ભાગનું મૂલ્ય:
$\int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx = [\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{1}^{2} = \frac{1}{\pi}(\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = \frac{1}{\pi}(1 - (-1)) = \frac{2}{\pi}$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વક્ર $y=f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ તથા $x=b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,વક્ર $y = 9 - x^2$ છે અને સીમાઓ $x=0$ થી $x=3$ છે.
$x \in [0, 3]$ માટે $9 - x^2 \geq 0$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{0}^{3} (9 - x^2) dx$
$A = [9x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$
$A = (9(3) - \frac{3^3}{3}) - (9(0) - \frac{0^3}{3})$
$A = (27 - \frac{27}{3}) - 0$
$A = 27 - 9 = 18$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ છે,જેને $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં,$a=4$ અને $b=3$ છે.
આકૃતિ પરથી,છાયાંકિત પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલો છે,જે $x=0$ થી $x=4$ ની વચ્ચે છે,અને રેખા $(0,3)$ અને $(4,0)$ ને જોડે છે.
$(0,3)$ અને $(4,0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$ છે,જે $y = \frac{3}{4}(4-x)$ આપે છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલયની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી રેખાની નીચેના ક્ષેત્રફળને બાદ કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} \frac{3}{4}\sqrt{16-x^2} \, dx - \int_{0}^{4} \frac{3}{4}(4-x) \, dx$.
$= \frac{3}{4} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{4}) \right]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$.
$= \frac{3}{4} [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - \frac{3}{4} [16 - 8] = 3\pi - 6 = 3(\pi-2)$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x + 2y + 8 = 0$ છે,જેને $x = -2y - 8$ તરીકે લખી શકાય.
વક્ર $x = f(y)$ અને રેખાઓ $y = c$ તથા $y = d$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{c}^{d} |x| \, dy$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$c = -3$ અને $d = -1$ છે.
તેથી,$A = \int_{-3}^{-1} |-2y - 8| \, dy$.
કારણ કે $y \in [-3, -1]$ માટે,$-2y - 8$ ની કિંમત ઋણ છે (દા.ત.,$y = -2$ માટે,$-2(-2) - 8 = -4$),તેથી $|-2y - 8| = 2y + 8$ થાય.
આમ,$A = \int_{-3}^{-1} (2y + 8) \, dy$.
સંકલન કરતા,$A = [y^2 + 8y]_{-3}^{-1}$.
સીમાઓ મૂકતા: $A = ((-1)^2 + 8(-1)) - ((-3)^2 + 8(-3))$.
$A = (1 - 8) - (9 - 24) = -7 - (-15) = -7 + 15 = 8$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $8$ ચોરસ એકમ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ અને તેના નાભિલંબ $x = a$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \, dx$
$A = 2 \times 2\sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a}$
$A = 4\sqrt{a} \times \frac{2}{3} \times a^{3/2} = \frac{8}{3} a^2$
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $24$ ચોરસ એકમ છે,તેથી:
$\frac{8}{3} a^2 = 24$
$a^2 = 24 \times \frac{3}{8} = 9$
$a = \pm 3$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -1$ થી $x = 1$ સુધીના વિધેય $y = x^2 - x - 6$ ના માનાંકનું સંકલન છે.
પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે શું વક્ર અંતરાલ $[-1, 1]$ માં $x$-અક્ષને છેદે છે.
$y = 0$ લેતા,$x^2 - x - 6 = 0$ મળે,જેના અવયવો $(x - 3)(x + 2) = 0$ થાય છે.
શૂન્યો $x = 3$ અને $x = -2$ છે.
આ બંને કિંમતો અંતરાલ $[-1, 1]$ માં આવતી નથી,તેથી વિધેય $y = x^2 - x - 6$ આ અંતરાલમાં ચિહ્ન બદલતું નથી.
$x \in [-1, 1]$ માટે,$x^2 - x - 6$ ઋણ છે (દા.ત.,$x = 0$ માટે,$y = -6$).
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{1} |x^2 - x - 6| \, dx = \int_{-1}^{1} -(x^2 - x - 6) \, dx$ થશે.
$A = - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{-1}^{1}$.
$A = - \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6) - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6) \right]$.
$A = - \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 6 \right]$.
$A = - \left[ \frac{2}{3} - 12 \right] = - \left[ \frac{2 - 36}{3} \right] = - \left[ -\frac{34}{3} \right] = \frac{34}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{1}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.
કારણ કે $\sin(\pi x)$ એ $x = 2$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{1}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx + \int_{2}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.
અંતરાલ $[1, 2]$ માં,$\sin(\pi x) \leq 0$ છે,તેથી $|\sin(\pi x)| = -\sin(\pi x)$.
અંતરાલ $[2, 3]$ માં,$\sin(\pi x) \geq 0$ છે,તેથી $|\sin(\pi x)| = \sin(\pi x)$.
$A = \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx + \int_{2}^{3} \sin(\pi x) \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{1}^{2} + \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{2}^{3}$.
$A = \frac{1}{\pi} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) - \frac{1}{\pi} (\cos(3\pi) - \cos(2\pi))$.
$A = \frac{1}{\pi} (1 - (-1)) - \frac{1}{\pi} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x| \, dx$
અંતરાલ $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ માં,$\cos x$ એ $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ અંતરાલમાં ઋણ છે.
તેથી,$|\cos x| = -\cos x$.
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} -\cos x \, dx$
$A = -[\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = -[\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})]$
$A = -[-1 - 1]$
$A = -[-2] = 2$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં આપેલ વક્ર $y = -2\sqrt{x}$,રેખાઓ $x = 0$ અને $x = 1$ તથા $x$-અક્ષ $(y = 0)$ માટે ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{1} |-2\sqrt{x}| \, dx$
$A = \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$
$A = \frac{4}{3} (1^{3/2} - 0^{3/2})$
$A = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વક્ર $y = f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} y \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વક્ર $y = x^2 + 2$ અને સીમાઓ $x = 1$ તથા $x = 2$ આપેલ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{1}^{2} (x^2 + 2) \, dx$
વિધેયનું સંકલન કરતા:
$A = [\frac{x^3}{3} + 2x]_{1}^{2}$
ઉપરની અને નીચેની સીમાઓ મૂકતા:
$A = (\frac{2^3}{3} + 2(2)) - (\frac{1^3}{3} + 2(1))$
$A = (\frac{8}{3} + 4) - (\frac{1}{3} + 2)$
$A = (\frac{8 + 12}{3}) - (\frac{1 + 6}{3})$
$A = \frac{20}{3} - \frac{7}{3} = \frac{13}{3}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{13}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $25x^2 + 16y^2 = 400$ છે।
બંને બાજુ $400$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{25x^2}{400} + \frac{16y^2}{400} = 1$
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ મળે છે।
તેથી,$a = 5$ અને $b = 4$।
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે।
કિંમતો મૂકતા,$A = \pi \times 5 \times 4 = 20\pi$ ચોરસ એકમ।

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{3\pi} |\cos x| \, dx$
કારણ કે $\cos x$ વિધેય $x = \frac{\pi}{2}$,$x = \frac{3\pi}{2}$ અને $x = \frac{5\pi}{2}$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos x \, dx + \int_{3\pi/2}^{5\pi/2} \cos x \, dx - \int_{5\pi/2}^{3\pi} \cos x \, dx$
દરેક ભાગની ગણતરી કરતા:
$|\sin x|_{0}^{\pi/2} = |1 - 0| = 1$
$|\sin x|_{\pi/2}^{3\pi/2} = |-1 - 1| = |-2| = 2$
$|\sin x|_{3\pi/2}^{5\pi/2} = |1 - (-1)| = |2| = 2$
$|\sin x|_{5\pi/2}^{3\pi} = |0 - 1| = |-1| = 1$
આ મૂલ્યોનો સરવાળો કરતા: $A = 1 + 2 + 2 + 1 = 6$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $5y = 5 - x$ છે,જેને $y = 1 - \frac{x}{5}$ તરીકે લખી શકાય.
વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = 1$ તથા $x = 4$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચિત સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\text{Area} = \int_{1}^{4} y \, dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{4} (1 - \frac{x}{5}) \, dx$
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\text{Area} = [x - \frac{x^2}{10}]_{1}^{4}$
સીમાઓ મૂકતા:
$\text{Area} = (4 - \frac{16}{10}) - (1 - \frac{1}{10})$
$\text{Area} = (4 - 1.6) - (1 - 0.1)$
$\text{Area} = 2.4 - 0.9 = 1.5$
આમ,ક્ષેત્રફળ $1.5$ ચોરસ એકમ છે,જે $\frac{3}{2}$ ચોરસ એકમ થાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = |x - 3|$ છે.
અંતરાલ $x \in [0, 2]$ માટે,પદ $(x - 3)$ હંમેશા ઋણ છે,તેથી $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} (3 - x) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = [3x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$.
સીમાઓ મૂકતા: $A = (3(2) - \frac{2^2}{2}) - (3(0) - \frac{0^2}{2})$.
$A = (6 - 2) - 0 = 4$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 16$ છે, જેને $x^2 + y^2 = 4^2$ તરીકે લખી શકાય। આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્રિત અને $r = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે।
પ્રથમ ચરણમાં, વર્તુળનું સમીકરણ $y = \sqrt{16 - x^2}$ છે।
આ પ્રદેશ $x = 0$ અને $x = 4$ રેખાઓ દ્વારા પ્રથમ ચરણમાં આવૃત છે।
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે: $A = \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = [\frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{0}^{4}$.
$A = [\frac{4}{2} \sqrt{16 - 16} + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(0)]$.
$A = [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - [0 + 0] = 4\pi$.
આમ, ક્ષેત્રફળ $4\pi$ ચોરસ એકમ છે।

(B) વક્ર $y = x^2 - x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $y = 0$ લઈને $X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 1$ છે.
અંતરાલ $(0, 1)$ માં વક્ર $y = x^2 - x$ એ $X$-અક્ષની નીચે આવેલું છે કારણ કે કોઈપણ $x \in (0, 1)$ માટે,$x^2 < x$,તેથી $y < 0$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \left| \int_{0}^{1} (x^2 - x) \, dx \right|$
$A = \left| \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \right|$
$A = \left| \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) \right|$
$A = \left| -\frac{1}{6} \right| = \frac{1}{6}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $2y = -x + 8$ છે,તેથી $y = \frac{-x + 8}{2} = -\frac{1}{2}x + 4$ લખી શકાય.
વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = 3$ તથા $x = 5$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે આપણે નિશ્ચિત સંકલનનો ઉપયોગ કરીશું:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{3}^{5} y \, dx = \int_{3}^{5} (-\frac{1}{2}x + 4) \, dx$.
વિધેયનું સંકલન કરતા:
$\int (-\frac{1}{2}x + 4) \, dx = [-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + 4x] = [-\frac{x^2}{4} + 4x]$.
હવે,$3$ થી $5$ સુધીની સીમાઓ લાગુ કરતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = [-\frac{5^2}{4} + 4(5)] - [-\frac{3^2}{4} + 4(3)]$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = [-\frac{25}{4} + 20] - [-\frac{9}{4} + 12]$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = [-\frac{25}{4} + \frac{80}{4}] - [-\frac{9}{4} + \frac{48}{4}]$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{55}{4} - \frac{39}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વક્ર $y = f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં આપેલ વક્ર $y = 2x^2$,$X$-અક્ષ અને રેખા $x = 1$ છે,તેથી પ્રદેશ $x = 0$ થી $x = 1$ ની વચ્ચે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx$.
સંકલન કરતા: $A = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
$A = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વક્ર $y = f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$f(x) = 5 \sin x$,$a = 0$,અને $b = \frac{\pi}{2}$ છે.
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ માટે $\sin x \geq 0$ હોવાથી:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 5 \sin x \, dx$
$A = 5 [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = 5 [-\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0))]$
$A = 5 [0 + 1]$
$A = 5 \times 1 = 5$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વક્ર $y=x$ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=10$ દ્વારા આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચિત સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{a}^{b} y \, dx$
અહીં,$a = 1$,$b = 10$,અને $y = x$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{1}^{10} x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{10}$
$= \frac{10^2}{2} - \frac{1^2}{2}$
$= \frac{100}{2} - \frac{1}{2}$
$= \frac{99}{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(C) વક્ર $y = x^2 - x - 6$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $y = 0$ લઈને વક્ર $X$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધીએ.
$x^2 - x - 6 = 0$
$(x - 3)(x + 2) = 0$
તેથી,છેદબિંદુઓ $x = -2$ અને $x = 3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 3$ સુધીના વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યનું સંકલન છે:
$A = \int_{-2}^{3} |x^2 - x - 6| \, dx$
પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે અને તેના શૂન્યોની વચ્ચે $X$-અક્ષની નીચે રહેલું હોવાથી,આ અંતરાલમાં $y$ ની કિંમત ઋણ છે.
$A = - \int_{-2}^{3} (x^2 - x - 6) \, dx$
$A = - [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x]_{-2}^{3}$
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$x = 3$ માટે: $(\frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 18) = 9 - 4.5 - 18 = -13.5$
$x = -2$ માટે: $(\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} + 12) = -2.666 - 2 + 12 = 7.333$
$A = - (-13.5 - 7.333) = - (-20.833) = 20.833$
અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $20.833 = \frac{125}{6}$ ચોરસ એકમ.

(D) વક્ર $y = \cos x$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = -\frac{\pi}{2}$ તથા $x = \frac{\pi}{2}$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\cos x| \, dx$
અહીં $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માટે $\cos x \geq 0$ હોવાથી:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx$
$A = [\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$A = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$
$A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
આમ,ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=5$ થી $x=6$ સુધીના વિધેય $y = |x-5|$ ના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે.
અંતરાલ $[5, 6]$ માં $x \ge 5$ હોવાથી,$|x-5| = x-5$ થાય.
તેથી,$A = \int_{5}^{6} (x-5) \, dx$.
ધારો કે $u = x-5$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=5$ ત્યારે $u=0$ અને જ્યારે $x=6$ ત્યારે $u=1$.
$A = \int_{0}^{1} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = 0.5$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આ પ્રદેશ $y=x^2$ અને $y=4$ દ્વારા આવૃત છે.
પ્રથમ,$x^2 = 4$ લઈને છેદબિંદુઓ શોધો,જે $x = \pm 2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$
વિધેય $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$.
$A = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$
$A = 2 [(4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0)]$
$A = 2 [8 - \frac{8}{3}] = 2 [\frac{24-8}{3}] = 2 [\frac{16}{3}] = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) વક્ર $x+2y=8$ ના સમીકરણને $x$ ના સ્વરૂપમાં $y$ તરીકે દર્શાવતા:
$2y = 8 - x$
$y = \frac{8-x}{2} = 4 - \frac{x}{2}$
વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=5$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચિત સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\text{Area} = \int_{1}^{5} y \, dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{5} (4 - \frac{x}{2}) \, dx$
પદવાર સંકલન કરતા:
$\text{Area} = [4x - \frac{x^2}{4}]_{1}^{5}$
સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા:
$\text{Area} = (4(5) - \frac{5^2}{4}) - (4(1) - \frac{1^2}{4})$
$\text{Area} = (20 - \frac{25}{4}) - (4 - \frac{1}{4})$
$\text{Area} = 20 - 6.25 - 4 + 0.25$
$\text{Area} = 16 - 6 = 10$
આમ,ક્ષેત્રફળ $10$ ચોરસ એકમ છે.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = |x - 5|$ છે.
અંતરાલ $x \in [0, 2]$ હોવાથી,$x - 5 < 0$ થાય,તેથી $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{0}^{2} (5 - x) \, dx$
$A = [5x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$
$A = (5(2) - \frac{2^2}{2}) - (0 - 0)$
$A = 10 - 2 = 8$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = 2 \sqrt{1 - x^2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = 4(1 - x^2)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$.
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે જેમાં અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = 2$ ($Y$-અક્ષ પર) અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = 1$ ($X$-અક્ષ પર) છે.
વક્ર $y = 2 \sqrt{1 - x^2}$ હોવાથી,તે ઉપવલયનો ઉપરનો અડધો ભાગ દર્શાવે છે.
વક્ર અને $X$-અક્ષ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ એ ઉપવલયના ઉપરના અર્ધ ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે.
આખા ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab = \pi \times 1 \times 2 = 2 \pi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ઉપરના અર્ધ-ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 2 \pi = \pi$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) વક્ર $y = 2x - x^2$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $y = 0$ લઈને $X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$2x - x^2 = 0$
$x(2 - x) = 0$
તેથી,$x = 0$ અને $x = 2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 2$ સુધીના વક્રના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = 4 - \frac{8}{3}$
$A = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = \frac{\pi}{4}$ થી $x = \frac{\pi}{2}$ સુધીના વિધેય $y = \cot x$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot x \, dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \cot x \, dx = \log |\sin x| + C$.
સીમાઓ લાગુ પાડતા:
$A = [\log |\sin x|]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = \log |\sin(\frac{\pi}{2})| - \log |\sin(\frac{\pi}{4})|$
$A = \log(1) - \log(\frac{1}{\sqrt{2}})$
કારણ કે $\log(1) = 0$ અને $\log(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \log(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \log 2$:
$A = 0 - (-\frac{1}{2} \log 2) = \frac{1}{2} \log 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વક્ર $y = f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{a}^{b} |y| \, dx$
અહીં,$y = \tan x$,$a = 0$,અને $b = \frac{\pi}{4}$ છે.
અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં $\tan x \geq 0$ હોવાથી:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$
$\tan x$ નું સંકલન $\ln|\sec x|$ થાય છે:
$A = [\ln|\sec x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = \ln|\sec(\frac{\pi}{4})| - \ln|\sec(0)|$
$A = \ln(\sqrt{2}) - \ln(1)$
$A = \ln(2^{1/2}) - 0$
$A = \frac{1}{2} \ln 2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.