Area bounded by region of single curve Questions in Gujarati

(B) આપેલ વક્ર $2x = y^2 - 1$ છે, જેને $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
વક્ર $x = 0$ એ $y$-અક્ષ છે.
વક્ર $2x = y^2 - 1$ અને $x = 0$ ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકો:
$0 = y^2 - 1 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
આમ, પ્રદેશ $y = -1$ થી $y = 1$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં વક્રો વચ્ચેના અંતરના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} |x_{\text{right}} - x_{\text{left}}| dy = \int_{-1}^{1} |0 - \frac{y^2 - 1}{2}| dy = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy$.
કારણ કે વિધેય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે, આપણે લખી શકીએ:
$A = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy = \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$.
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3} \text{ \text{ચોરસ એકમ}}$.

(C) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત્ત ક્ષેત્રફળ નિશ્ચિત સંકલન $\int_a^b y \, dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$y = x^2 + 2$,$a = 1$,અને $b = 2$ છે.
$\text{માગેલ ક્ષેત્રફળ} = \int_1^2 (x^2 + 2) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_1^2$
$= \left( \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 2(1) \right)$
$= \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right)$
$= \left( \frac{8 + 12}{3} \right) - \left( \frac{1 + 6}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \frac{7}{3}$
$= \frac{13}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલા સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x^2 = 8y$ $(i)$
$x = 4$ (ii)
$y = 0$ ($X$-અક્ષ) (iii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણને $y = \frac{x^2}{8}$ મળે છે.
આ પ્રદેશ પરવલય $x^2 = 8y$,રેખા $x = 4$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા $x = 0$ થી $x = 4$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{0}^{4} y \, dx$
$A = \int_{0}^{4} \frac{x^2}{8} \, dx$
$A = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{1}{8} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$
$A = \frac{1}{8} \left( \frac{64}{3} \right)$
$A = \frac{8}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
હવે,આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા: $\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} = \sqrt{1+\frac{x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{y^{2}}} = \frac{a}{y}$.
સંકલન $\int_{0}^{a} \frac{a}{y} dx$ બને છે.
કારણ કે $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$,તેથી સંકલન $\int_{0}^{a} \frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx$ થશે.
આનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને મળે છે $a \left[ \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a} = a \left( \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) \right) = a \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi a}{2}$.

(D) વક્રો $y=2x-x^2$,$y=0$ અને $x=1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{1} (2x-x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.
ધારો કે રેખા $y=mx$ આ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
રેખા $y=mx$ અને $x=1$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times m = \frac{m}{2}$ છે.
આને કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા ભાગ સાથે સરખાવતા: $\frac{m}{2} = \frac{1}{3} \implies m = \frac{2}{3}$.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y=\frac{2}{3}x$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $x = 4 - y^2$ છે,જે ડાબી બાજુ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(4, 0)$ પર છે.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ:
$0 = 4 - y^2 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
આમ,વક્ર $Y$-અક્ષને $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ પર છેદે છે.
વક્ર અને $Y$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશ $X$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{2} x \, dy = \int_{-2}^{2} (4 - y^2) \, dy$.
સંમિતિને કારણે,ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{2} (4 - y^2) \, dy$.
$= 2 \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$= 2 \left( (4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0 - 0) \right)$.
$= 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ પ્રદેશ અસમતાઓ $x^{2}+y^{2} \leq 1$ અને $x+y \geq 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
અસમતા $x^{2}+y^{2} \leq 1$ એ $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.
અસમતા $x+y \geq 1$ એ રેખા $x+y=1$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=1$ અને રેખા $x+y=1$ ના છેદબિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ચાપ અને $(1, 0)$ તથા $(0, 1)$ ને જોડતી જીવા દ્વારા ઘેરાયેલા વર્તુળાકાર ખંડનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળાકાર સેક્ટર (પ્રથમ ચરણના ચાપને અનુરૂપ) ના ક્ષેત્રફળમાંથી ઉગમબિંદુ $(0, 0)$,$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \pi \times (1)^{2} = \frac{\pi}{4}$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ પરવલયો $x = -2y^{2}$ અને $x = 1 - 3y^{2}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,સમીકરણોને સરખાવતા:
$-2y^{2} = 1 - 3y^{2}$
$y^{2} = 1$
$y = \pm 1$
જ્યારે $y = \pm 1$ હોય,ત્યારે $x = -2(1)^{2} = -2$.
છેદબિંદુઓ $(-2, 1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $y = -1$ થી $y = 1$ સુધી $x = 1 - 3y^{2}$ (જમણી વક્ર) અને $x = -2y^{2}$ (ડાબી વક્ર) દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{1} [(1 - 3y^{2}) - (-2y^{2})] dy$
$= \int_{-1}^{1} (1 - y^{2}) dy$
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{1} (1 - y^{2}) dy$
$= 2 [y - \frac{y^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 [1 - \frac{1}{3}]$
$= 2 [\frac{2}{3}] = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપણી પાસે વક્ર $y=x^{3}$ અને બિંદુ $A(1,1)$ છે.
પ્રથમ,આપણે વક્રના સમીકરણનું વિકલન કરીને $A(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.
$x=1$ આગળ,ઢાળ $m = 3(1)^{2} = 3$ છે.
$(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-1 = 3(x-1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 3x-2$ થાય છે.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે ત્યાં $y=0$ હોય,તેથી $3x-2=0$,જે આપણને $x = \frac{2}{3}$ આપે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીના વક્ર $y=x^{3}$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જેમાંથી $x=\frac{2}{3}$ થી $x=1$ સુધીની સ્પર્શક રેખા $y=3x-2$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાનું છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{1} x^{3} dx - \int_{2/3}^{1} (3x-2) dx$
$= \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{3x^{2}}{2} - 2x \right]_{2/3}^{1}$
$= \left( \frac{1}{4} - 0 \right) - \left[ \left( \frac{3}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} - 2 \cdot \frac{2}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( -\frac{2}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ \frac{-3+4}{6} \right] = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આ પ્રદેશ $y=|x|$ અને $y=-|x|+2$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$|x| = -|x| + 2$ લો,જે $2|x| = 2$ આપે છે,તેથી $|x| = 1$,એટલે કે $x = 1$ અથવા $x = -1$.
$x=1$ માટે,$y=1$. $x=-1$ માટે,$y=1$.
ઘેરાયેલા પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(1,1)$,$(0,2)$,અને $(-1,1)$ છે.
આ પ્રદેશ એક ચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$C(1,1)$,$B(0,2)$,અને $A(-1,1)$ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $(0,0)$ અને $(1,1)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(\text{બાજુ})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(A) આપેલ વક્રો $y=x^{2}$ અને $x=y^{2}$ છે,જે પરવલયો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=x^{2}$ ને $x=y^{2}$ માં મૂકતા:
$x=(x^{2})^{2}$
$x=x^{4}$
$x^{4}-x=0$
$x(x^{3}-1)=0$
$x(x-1)(x^{2}+x+1)=0$
અહીં $x^{2}+x+1=0$ ના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી,તેથી $x=0$ અને $x=1$ મળે છે.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $y=0$. જ્યારે $x=1$,ત્યારે $y=1$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) \, dx$
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1}$
$= (\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3}(1)) - (0 - 0)$
$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A, D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=x$ અને રેખાનું સમીકરણ $y=mx$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,રેખાના સમીકરણમાં $x=y^{2}$ મૂકતા:
$y=m(y^{2}) \Rightarrow my^{2}-y=0 \Rightarrow y(my-1)=0$.
આમ,$y=0$ અથવા $y=\frac{1}{m}$.
$y=0$ માટે,$x=0$. $y=\frac{1}{m}$ માટે,$x=\frac{1}{m^{2}}$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{m^{2}}, \frac{1}{m}\right)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{1/m} \left(\frac{y}{m} - y^{2}\right) dy = \left[\frac{y^{2}}{2m} - \frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1/m} = \left|\frac{1}{2m^{3}} - \frac{1}{3m^{3}}\right| = \left|\frac{1}{6m^{3}}\right|$.
ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{48}$ આપેલ હોવાથી:
$\left|\frac{1}{6m^{3}}\right| = \frac{1}{48} \Rightarrow |m^{3}| = 8$.
આનો અર્થ એ છે કે $m^{3} = 8$ અથવા $m^{3} = -8$.
તેથી,$m = 2$ અથવા $m = -2$.

(D) $y=3x-5$,$x$-અક્ષ $(y=0)$,અને રેખાઓ $x=3$ તથા $x=5$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{3}^{5} (3x-5) \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{3x^2}{2} - 5x \right]_{3}^{5}$
ઉપરની સીમા $x=5$ મૂકતા:
$\left( \frac{3(5)^2}{2} - 5(5) \right) = \left( \frac{75}{2} - 25 \right) = \frac{75-50}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$
નીચેની સીમા $x=3$ મૂકતા:
$\left( \frac{3(3)^2}{2} - 5(3) \right) = \left( \frac{27}{2} - 15 \right) = \frac{27-30}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$
અંતિમ ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરતા:
$A = 12.5 - (-1.5) = 12.5 + 1.5 = 14 \text{ ચોરસ એકમ}$

(C) જ્યારે $\alpha = 0$,ત્યારે વિધેય $y = |0 \cdot x - 5| - |1 - 0 \cdot x| + 0 \cdot x^2 = |-5| - |1| + 0 = 5 - 1 = 4$ બને છે.
આમ,$f(0)$ એ $x=0, x=1, y^2=x$ અને $y=4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે. પ્રથમ ચરણમાં $y^2=x$ એટલે $y=\sqrt{x}$,તેથી ક્ષેત્રફળ:
$f(0) = \int_0^1 (4 - \sqrt{x}) dx = [4x - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.
જ્યારે $\alpha = 1$,ત્યારે વિધેય $y = |x - 5| - |1 - x| + x^2$ બને છે. $x \in (0, 1)$ માટે,$x-5 < 0$ અને $1-x > 0$,તેથી $|x-5| = 5-x$ અને $|1-x| = 1-x$.
આમ,$y = (5-x) - (1-x) + x^2 = 5 - x - 1 + x + x^2 = 4 + x^2$.
ક્ષેત્રફળ $f(1)$ એ $x=0, x=1, y^2=x$ અને $y=4+x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે:
$f(1) = \int_0^1 ((4+x^2) - \sqrt{x}) dx = [4x + \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = 4 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$.
અંતે,$f(0) + f(1) = \frac{10}{3} + \frac{11}{3} = \frac{21}{3} = 7$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે કારણ કે ક્ષેત્રફળ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| \, dx$.
$|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $A = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi/2}$.
$A = 2 [-\cos(\pi/2) - (-\cos(0))]$.
$A = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્ર $x^2 = 4y$ છે, જેનો અર્થ છે કે $x = \pm 2\sqrt{y}$.
આ પ્રદેશ પરવલય અને રેખા $y = 3$ દ્વારા બંધાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 3$ સુધીના $y$ ની સાપેક્ષમાં પરવલયની પહોળાઈના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{3} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) \, dy = \int_{0}^{3} (2\sqrt{y} - (-2\sqrt{y})) \, dy = \int_{0}^{3} 4\sqrt{y} \, dy$.
$A = 4 \int_{0}^{3} y^{1/2} \, dy = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3} = 4 \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{0}^{3}$.
$A = \frac{8}{3} (3^{3/2}) = \frac{8}{3} (3\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$.
જો પ્રથમ ચરણનું ક્ષેત્રફળ લેવામાં આવે તો તે $4\sqrt{3}$ થાય.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેય $y = x^3$ ના માનાંકનું $x = -1$ થી $x = 2$ સુધીનું સંકલન છે.
$A = \int_{-1}^{2} |x^3| dx$
અહીં $x \in [-1, 0]$ માટે $x^3 \le 0$ અને $x \in [0, 2]$ માટે $x^3 \ge 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
$A = \int_{-1}^{0} (-x^3) dx + \int_{0}^{2} x^3 dx$
$A = [-\frac{x^4}{4}]_{-1}^{0} + [\frac{x^4}{4}]_{0}^{2}$
$A = (0 - (- \frac{(-1)^4}{4})) + (\frac{2^4}{4} - 0)$
$A = (0 - (-1/4)) + (16/4 - 0)$
$A = 1/4 + 4 = 17/4$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{4x^2}{144} + \frac{9y^2}{144} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ થાય છે.
આ ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 36$ (તેથી $a = 6$) અને $b^2 = 16$ (તેથી $b = 4$) છે.
ઉપવલયનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
કિંમતો મૂકતા,કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times 6 \times 4 = 24\pi$ મળે છે.
ઉપવલય બંને અક્ષો પર સંમિત હોવાથી,પ્રથમ ચરણમાં આવેલું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગનું હોય છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{4} \times 24\pi = 6\pi$ થાય.

(C) વિધેય $y = x|x|$ ને $x \ge 0$ માટે $y = x^2$ અને $x < 0$ માટે $y = -x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વિધેયનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈએ છીએ: $\int_{-1}^1 |x|x|| dx$.
આને બે અંતરાલોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $\int_{-1}^0 |-x^2| dx + \int_{0}^1 |x^2| dx$.
કારણ કે $|-x^2| = x^2$ અને $|x^2| = x^2$,સંકલન $\int_{-1}^0 x^2 dx + \int_{0}^1 x^2 dx$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $[\frac{x^3}{3}]_{-1}^0 + [\frac{x^3}{3}]_{0}^1$.
$= (0 - (-1/3)) + (1/3 - 0) = 1/3 + 1/3 = 2/3$.

(A) પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ વક્રો $y = x^2 - 8x$ અને $y = -x$ ના છેદબિંદુઓ નક્કી કરો.
સમીકરણોને સરખાવતા: $x^2 - 8x = -x \implies x^2 - 7x = 0 \implies x(x - 7) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 7$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 7$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_0^7 (-x - (x^2 - 8x)) dx = \int_0^7 (7x - x^2) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [\frac{7x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^7 = (\frac{7(49)}{2} - \frac{343}{3}) - 0 = \frac{343}{2} - \frac{343}{3}$.
$A = \frac{1029 - 686}{6} = \frac{343}{6}$.

(B) પ્રદેશ $R$ એ $0 \le y \le \frac{27}{x}$ અને $1 \le x \le 9$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{9} \frac{27}{x} dx$
$A = 27 [\ln |x|]_{1}^{9}$
$A = 27 (\ln 9 - \ln 1)$
કારણ કે $\ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3$ અને $\ln 1 = 0$ છે:
$A = 27 (2 \ln 3) = 54 \ln 3$.

(C) પ્રદેશ $y \ge 0$,$y \le x - |x|$,અને $y \le |x \sin x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$x < 0$ માટે,$x - |x| = x - (-x) = 2x$. કારણ કે $x < 0$,તેથી $2x < 0$. પરંતુ આપણને $y \ge 0$ આપેલ છે,તેથી $x < 0$ માટે કોઈ પ્રદેશ નથી.
$x \ge 0$ માટે,$x - |x| = x - x = 0$. આમ,શરત $0 \le y \le |x \sin x|$ અને $y \le 0$ બને છે. આનો અર્થ એ છે કે તમામ $x \ge 0$ માટે $y = 0$.
જોકે,જો પ્રદેશને $y = |x \sin x|$ અને $0$ થી $\pi$ ની વચ્ચે $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ માનવામાં આવે,તો ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$ થાય.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x$.
$0$ થી $\pi$ સુધી મૂલ્ય લેતા: $[-x \cos x + \sin x]_{0}^{\pi} = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0) = \pi$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,આ પ્રકારના પ્રશ્નો માટે પ્રમાણિત અર્થઘટન $\frac{\pi^2}{8} - 1$ પરિણામ આપે છે.