Area bounded by region of single curve Questions in Gujarati

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[0, \pi]$ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx$
અહીં $x \in [0, \pi/2]$ માટે $\cos x \ge 0$ અને $x \in [\pi/2, \pi]$ માટે $\cos x \le 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) \, dx$
$A = [\sin x]_{0}^{\pi/2} - [\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$
$A = (\sin(\pi/2) - \sin(0)) - (\sin(\pi) - \sin(\pi/2))$
$A = (1 - 0) - (0 - 1)$
$A = 1 + 1 = 2$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = \frac{3\pi}{2}$ સુધી $|y| dx$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x| dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ માટે $\cos x > 0$ અને $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ માટે $\cos x < 0$ છે.
તેથી,$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} (-\cos x) dx$
$A = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) - (\sin \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2})$
$A = (1 - 0) - (-1 - 1)$
$A = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વક્ર $y = \cos x$ દ્વારા $x = 0$ થી $x = \pi$ સુધી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Area = \int_{0}^{\pi} |\cos x| dx$
કારણ કે $x \in [0, \pi/2]$ માટે $\cos x \geq 0$ અને $x \in [\pi/2, \pi]$ માટે $\cos x \leq 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$Area = \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) dx$
$Area = [\sin x]_{0}^{\pi/2} - [\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$
$Area = (\sin(\pi/2) - \sin 0) - (\sin \pi - \sin(\pi/2))$
$Area = (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $y=mx$ અને સીમાઓ $x=1$ અને $x=2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{1}^{2} mx \, dx = 6$
$\Rightarrow m \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = 6$
$\Rightarrow \frac{m}{2} (2^2 - 1^2) = 6$
$\Rightarrow \frac{m}{2} (4 - 1) = 6$
$\Rightarrow \frac{3m}{2} = 6$
$\Rightarrow 3m = 12$
$\Rightarrow m = 4$

(C) આપેલા સમીકરણો છે:
$y = x^{3} \implies x = y^{1/3}$
$y = 8$
$x = 0$
વક્ર $x = y^{1/3}$,$y$-અક્ષ $(x=0)$ અને રેખા $y=8$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $y=0$ થી $y=8$ સુધીના $y$ ની સાપેક્ષ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{8} x \, dy$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left[ \frac{y^{(1/3) + 1}}{(1/3) + 1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4} y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{3}{4} (8^{4/3} - 0^{4/3})$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{3}{4} ((2^{3})^{4/3}) = \frac{3}{4} (2^{4})$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{3}{4} \times 16 = 3 \times 4 = 12 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) રેખા $y=2x+1$ એ $X$-અક્ષને $x=-\frac{1}{2}$ આગળ છેદે છે.
$x \in [-1, -\frac{1}{2}]$ માટે,$y \le 0$ અને $x \in [-\frac{1}{2}, 1]$ માટે,$y \ge 0$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{-1/2} -(2x+1) dx + \int_{-1/2}^{1} (2x+1) dx$
$= -[x^2+x]_{-1}^{-1/2} + [x^2+x]_{-1/2}^{1}$
$= -[(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - (1 - 1)] + [(1+1) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})]$
$= -[-\frac{1}{4}] + [2 - (-\frac{1}{4})]$
$= \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 3\pi$ સુધીના વિધેય $y = \sin \left(\frac{x}{3}\right)$ ના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_0^{3 \pi} \sin \left(\frac{x}{3}\right) dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(kx)$ નું સંકલન $-\frac{1}{k} \cos(kx)$ થાય છે. અહીં $k = \frac{1}{3}$ છે,તેથી સંકલન $-3 \cos \left(\frac{x}{3}\right)$ થશે.
$A = \left[ -3 \cos \left(\frac{x}{3}\right) \right]_0^{3 \pi}$
$A = -3 \left[ \cos \left(\frac{3 \pi}{3}\right) - \cos \left(\frac{0}{3}\right) \right]$
$A = -3 [ \cos(\pi) - \cos(0) ]$
કારણ કે $\cos(\pi) = -1$ અને $\cos(0) = 1$ છે:
$A = -3 [ -1 - 1 ] = -3 [ -2 ] = 6 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) વક્ર $y=x^2$ છે અને રેખા $y=16$ છે. છેદબિંદુઓ $x^2=16$ મૂકીને મેળવી શકાય છે,જે $x = \pm 4$ આપે છે.
પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = 2 \int_0^{16} x \, dy = 2 \int_0^{16} \sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^{16}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^{16}$
$A = \frac{4}{3} \left( 16^{3/2} - 0^{3/2} \right)$
$A = \frac{4}{3} \times (4^2)^{3/2} = \frac{4}{3} \times 4^3$
$A = \frac{4}{3} \times 64 = \frac{256}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) આપેલ સમીકરણો $y=3x$ અને $y=x^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $3x = x^2$ લઈએ,જે $x^2 - 3x = 0$ આપે છે,તેથી $x(x-3) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=3$ છે.
આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=3$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$
$= \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$= \left( \frac{27}{2} - \frac{27}{3} \right)$
$= \frac{27}{2} - 9$
$= \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) વક્ર $y=f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ તથા $x=b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} f(x) dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$f(x) = x+1$,$a=3$,અને $b=5$ છે.
$\therefore$ માંગેલ ક્ષેત્રફળ,$A = \int_{3}^{5} (x+1) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{3}^{5}$
$= \left( \frac{5^2}{2} + 5 \right) - \left( \frac{3^2}{2} + 3 \right)$
$= \left( \frac{25}{2} + 5 \right) - \left( \frac{9}{2} + 3 \right)$
$= \left( \frac{25+10}{2} \right) - \left( \frac{9+6}{2} \right)$
$= \frac{35}{2} - \frac{15}{2}$
$= \frac{20}{2} = 10 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{3}$ સુધીના વિધેય $y = \tan x$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{આવશ્યક ક્ષેત્રફળ} = \int_0^{\pi / 3} \tan x \, dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan x$ નું સંકલન $\log |\sec x|$ થાય છે.
$\text{આવશ્યક ક્ષેત્રફળ} = [\log |\sec x|]_0^{\pi / 3}$
હવે,સીમાઓ મૂકતા:
$= \log |\sec \frac{\pi}{3}| - \log |\sec 0|$
કારણ કે $\sec \frac{\pi}{3} = 2$ અને $\sec 0 = 1$ છે:
$= \log |2| - \log |1|$
$= \log 2 - 0 = \log 2 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) સમીકરણ $y=-\sqrt{16-x^{2}}$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=16$ ના નીચેના અર્ધવર્તુળને દર્શાવે છે,જેની ત્રિજ્યા $r=4$ છે અને કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ક્ષેત્રફળ આ વક્ર અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું હોવાથી,આપણે $X$-અક્ષની નીચેના અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
પૂર્ણ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2} = \pi(4)^{2} = 16\pi$ છે.
તેથી,અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 16\pi = 8\pi$ ચોરસ એકમ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,સંકલનનો ઉપયોગ કરીને:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left| \int_{-4}^{4} (-\sqrt{16-x^{2}}) dx \right|$
$= \left| \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \frac{x}{4} \right]_{-4}^{4} \right|$
$= \left| [0 + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(-1)] \right|$
$= \left| 8(\frac{\pi}{2}) - 8(-\frac{\pi}{2}) \right| = |4\pi + 4\pi| = 8\pi$ ચોરસ એકમ.

(C) $x = 0$ થી $x = \pi$ સુધી વક્ર $y = \cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx$
કારણ કે $x \in [0, \pi/2]$ માટે $\cos x \ge 0$ અને $x \in [\pi/2, \pi]$ માટે $\cos x \le 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$= [\sin x]_{0}^{\pi/2} + [-\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$
$= (\sin(\pi/2) - \sin(0)) + (-(\sin(\pi) - \sin(\pi/2)))$
$= (1 - 0) + (-(0 - 1))$
$= 1 + 1 = 2 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(C) જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int_{0}^{3\pi} y \, dx = \int_{0}^{3\pi} \sin \left(\frac{x}{3}\right) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $t = \frac{x}{3}$,તેથી $dx = 3 \, dt$.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $t = 0$.
જ્યારે $x = 3\pi$ હોય,ત્યારે $t = \pi$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{\pi} \sin(t) \cdot 3 \, dt = 3 \int_{0}^{\pi} \sin(t) \, dt$.
$= 3 [-\cos(t)]_{0}^{\pi}$.
$= -3 [\cos(\pi) - \cos(0)]$.
$= -3 [-1 - 1] = -3(-2) = 6$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $6$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=2x-x^{2}$ છે.
વક્ર $x$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે $y=0$ લઈએ છીએ:
$2x-x^{2}=0 \implies x(2-x)=0$,જે $x=0$ અને $x=2$ આપે છે.
આમ,વક્ર $x$-અક્ષને $(0,0)$ અને $(2,0)$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=2$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{2} (2x-x^{2}) dx$
$= \left[ x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{2}$
$= \left( 2^{2} - \frac{2^{3}}{3} \right) - (0 - 0)$
$= 4 - \frac{8}{3}$
$= \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ વક્ર $x = 4 - y^2$ છે. વક્ર $Y$-અક્ષને જ્યાં $x = 0$ હોય ત્યાં છેદે છે,જે $4 - y^2 = 0$ આપે છે,તેથી $y = \pm 2$. છેદબિંદુઓ $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
$A = 2 \int_{0}^{2} x \, dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} (4 - y^2) \, dy$
$A = 2 \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$A = 2 \left[ (4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0) \right]$
$A = 2 \left[ 8 - \frac{8}{3} \right]$
$A = 2 \left[ \frac{24 - 8}{3} \right] = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આ પ્રદેશ $y$-અક્ષ $(x=0)$,$y = \cos x$ અને $y = \sin x$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. આ વક્રો ત્યારે છેદે છે જ્યારે $\cos x = \sin x$,જે અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં $x = \frac{\pi}{4}$ પર થાય છે.
અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં,$\cos x \geq \sin x$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$
$= [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$= [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$= (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$= \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$= \sqrt{2} - 1 \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) વક્ર $y=x$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=-1$ તથા $x=2$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ એ $y$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્યનું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન છે:
$Area = \int_{-1}^{2} |y| \, dx = \int_{-1}^{2} |x| \, dx$
આપણે સંકલનને $x=0$ આગળ વિભાજિત કરીશું કારણ કે વિધેયનું ચિહ્ન બદલાય છે:
$Area = \int_{-1}^{0} |x| \, dx + \int_{0}^{2} |x| \, dx$
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \ge 0$ માટે $|x| = x$ છે:
$Area = \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{2} (x) \, dx$
$Area = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$Area = (0 - (-\frac{(-1)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - 0)$
$Area = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(C) પરવલય $y^{2}=4x$ અને રેખા $y=2x-4$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,$x = \frac{y+4}{2}$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકીને:
$y^{2} = 4\left(\frac{y+4}{2}\right)$
$y^{2} = 2(y+4)$
$y^{2} - 2y - 8 = 0$
$(y-4)(y+2) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $y = 4$ અને $y = -2$ પર મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં રેખા અને પરવલય વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન કરીને મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-2}^{4} \left( \frac{y+4}{2} - \frac{y^{2}}{4} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^{2}}{4} + 2y - \frac{y^{3}}{12} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12} \right)$
$= \left( 4 + 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 1 - 4 + \frac{2}{3} \right)$
$= \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{27}{3} = 9 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ છે $z=x+iy$,જ્યાં $x, y \in R$.
ગણ $A=\{z:|z| \leq 2\}$ એ કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $2$ ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ અને પરિઘ દર્શાવે છે,એટલે કે $x^2+y^2 \leq 4$.
ગણ $B=\{z:(z+2y)+\bar{z} \geq 4\}$. $z=x+iy$ અને $\bar{z}=x-iy$ મૂકતા:
$(x+iy+2y)+(x-iy) \geq 4$
$2x+2y \geq 4 \Rightarrow x+y \geq 2$.
આ રેખા $x+y=2$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળ $x^2+y^2=4$ અને રેખા $x+y=2$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
છેદબિંદુઓ $x^2+(2-x)^2=4$ ઉકેલીને મળે છે:
$x^2+4-4x+x^2=4$ $\Rightarrow 2x^2-4x=0$ $\Rightarrow 2x(x-2)=0$.
તેથી,$x=0$ (જે $y=2$ આપે છે) અને $x=2$ (જે $y=0$ આપે છે).
ક્ષેત્રફળ $\int_0^2 (y_{\text{circle}} - y_{\text{line}}) dx = \int_0^2 (\sqrt{4-x^2} - (2-x)) dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - 2x + \frac{x^2}{2} \right]_0^2$
$= (0 + 2\sin^{-1}(1) - 4 + 2) - (0 + 0 - 0 + 0) = 2(\frac{\pi}{2}) - 2 = \pi-2$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16ax$ છે અને રેખાનું સમીકરણ $y=4mx$ છે.
રેખાના સમીકરણ $y=4mx$ માં $x = \frac{y^2}{16a}$ મૂકતા,આપણને $y = 4m(\frac{y^2}{16a}) = \frac{my^2}{4a}$ મળે છે.
આનાથી $y^2 = \frac{4ay}{m}$ મળે છે,તેથી $y(y - \frac{4a}{m}) = 0$. આમ,છેદબિંદુઓ $y=0$ અને $y=\frac{4a}{m}$ છે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\int_0^{\frac{4a}{m}} (\frac{y}{4m} - \frac{y^2}{16a}) dy = \frac{a^2}{12}$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$[\frac{y^2}{8m} - \frac{y^3}{48a}]_0^{\frac{4a}{m}} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{(4a/m)^2}{8m} - \frac{(4a/m)^3}{48a} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{16a^2}{8m^3} - \frac{64a^3}{48am^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2a^2}{m^3} - \frac{4a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{6a^2 - 4a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2a^2}{3m^3} = \frac{a^2}{12}$
$\frac{2}{3m^3} = \frac{1}{12}$
$m^3 = \frac{2 \times 12}{3} = 8$
$m = 2$
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} |y| dx = \int_{0}^{2} |x^2-5x+4| dx$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$x^2-5x+4=0$ ના બીજ શોધો,જે $(x-1)(x-4)=0$ છે,તેથી $x=1$ અને $x=4$ મળે છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$x^2-5x+4 \geq 0$ છે.
અંતરાલ $[1, 2]$ માં,$x^2-5x+4 \leq 0$ છે.
તેથી,$A = \int_{0}^{1} (x^2-5x+4) dx + \int_{1}^{2} -(x^2-5x+4) dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{2-15+24}{6} = \frac{11}{6}$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $-[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_{1}^{2} = -[(\frac{8}{3} - 10 + 8) - (\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{11}{6})] = -[\frac{4-11}{6}] = -[-\frac{7}{6}] = \frac{7}{6}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{11}{6} + \frac{7}{6} = \frac{18}{6} = 3$ ચોરસ એકમ.

(B) વક્ર $y=x^3-19x+30$ આપેલ છે. બહુપદીના અવયવો પાડતા,આપણને $y=(x+5)(x-2)(x-3)$ મળે છે.
શૂન્યો $x=-5, 2, 3$ છે. વક્ર અંતરાલ $[-5, 2]$ પર $x$-અક્ષની ઉપર અને અંતરાલ $[2, 3]$ પર $x$-અક્ષની નીચે છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{-5}^{2} (x^3-19x+30) dx + \left| \int_{2}^{3} (x^3-19x+30) dx \right|$
$A = \int_{-5}^{2} (x^3-19x+30) dx - \int_{2}^{3} (x^3-19x+30) dx$
સંકલન $\int (x^3-19x+30) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x + C$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x \right]_{-5}^{2} = (4 - 38 + 60) - (\frac{625}{4} - \frac{475}{2} - 150) = 26 - (\frac{625-950-600}{4}) = 26 + 231.25 = \frac{1029}{4}$.
બીજા ભાગ માટે: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x \right]_{2}^{3} = (\frac{81}{4} - \frac{171}{2} + 90) - (4 - 38 + 60) = (\frac{81-342+360}{4}) - 26 = \frac{99}{4} - 26 = -\frac{5}{4}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1029}{4} - (-\frac{5}{4}) = \frac{1034}{4} = \frac{517}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = x|x|$ છે. આપણે તેને ટુકડાઓમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ:
$y = \begin{cases} x^2 & \text{જો } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{જો } x < 0 \end{cases}$
આપણે $x = -1$ અને $x = 1$ ની વચ્ચે આ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ $-1$ થી $1$ સુધીના $y$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{0} |-x^2| dx + \int_{0}^{1} |x^2| dx$
$A = \int_{-1}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{1} x^2 dx$
સંકલનની ગણતરી કરતા:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$A = (0 - (-\frac{1}{3})) + (\frac{1}{3} - 0)$
$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ છે કે,વક્ર $y=ax^2+bx$ એ બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$\therefore 2 = a(1)^2 + b(1) \Rightarrow a+b=2$ ... $(i)$
આપેલ છે કે વક્ર $0 \leq x \leq 8$ માટે $X$-અક્ષની ઉપર છે,તેથી વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખા $x=6$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\int_0^6 (ax^2+bx) dx = 108$
$\Rightarrow \left[ \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} \right]_0^6 = 108$
$\Rightarrow \frac{a(216)}{3} + \frac{b(36)}{2} = 108$
$\Rightarrow 72a + 18b = 108$
$18$ વડે ભાગતા,આપણને $4a + b = 6$ મળે છે ... $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4a+b) - (a+b) = 6 - 2$
$3a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{3}$
$a = \frac{4}{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{4}{3} + b = 2 \Rightarrow b = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$
હવે,$2b-a$ ની ગણતરી કરતા:
$2b-a = 2\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0$

(A) વક્ર $y=1-x-6x^2$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y=0$ લઈને $X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$1-x-6x^2=0$
$6x^2+x-1=0$
$6x^2+3x-2x-1=0$
$3x(2x+1)-1(2x+1)=0$
$(3x-1)(2x+1)=0$
તેથી,$x = \frac{1}{3}$ અને $x = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{-1/2}^{1/3} (1-x-6x^2) dx$
$= [x - \frac{x^2}{2} - 2x^3]_{-1/2}^{1/3}$
$= (\frac{1}{3} - \frac{(1/3)^2}{2} - 2(1/3)^3) - (-\frac{1}{2} - \frac{(-1/2)^2}{2} - 2(-1/2)^3)$
$= (\frac{1}{3} - \frac{1}{18} - \frac{2}{27}) - (-\frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4})$
$= (\frac{18-3-4}{54}) - (\frac{-4-1+2}{8})$
$= \frac{11}{54} - (-\frac{3}{8}) = \frac{11}{54} + \frac{3}{8}$
$= \frac{44+81}{216} = \frac{125}{216} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ વક્ર $x = \log |y|$ છે.
આને $|y| = e^x$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \pm e^x$.
વક્ર $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
વક્ર અને રેખાઓ $x = -1$ તથા $x = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ $-1$ થી $0$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન છે.
વક્ર સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ $x$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું થશે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_{-1}^{0} |y| \, dx = 2 \int_{-1}^{0} e^x \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \left[ e^x \right]_{-1}^{0}$
$= 2 (e^0 - e^{-1})$
$= 2 (1 - e^{-1})$
આમ,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $2(1 - e^{-1})$ ચોરસ એકમ છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ છે.
પ્રથમ,આપણે $(1, 4)$ બિંદુ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવીએ.
$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2x + 2$ મળે છે.
$(1, 4)$ બિંદુ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 2(1) + 2 = 4$ છે.
સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y - 4 = 4(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 4x$ થાય છે.
વક્ર,સ્પર્શક અને $Y$-અક્ષ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધીના વક્ર નીચેનું ક્ષેત્રફળ અને સ્પર્શક રેખા,$X$-અક્ષ અને રેખા $x = 1$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx - \int_0^1 (4x) dx$.
પ્રથમ સંકલન ગણતા: $\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}$.
બીજું સંકલન (ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ) ગણતા: $\int_0^1 4x dx = \left[ 2x^2 \right]_0^1 = 2(1)^2 - 0 = 2$.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = \frac{7}{3} - 2 = \frac{7 - 6}{3} = \frac{1}{3} \ sq. \ units$.

(C) આ પ્રદેશ પરવલય $x^2=y$,રેખા $y=x+2$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
પરવલય $y=x^2$ અને રેખા $y=x+2$ ના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $x^2=x+2$ લેતા,$x^2-x-2=0$ મળે છે,જેનું સાદુંરૂપ $(x-2)(x+1)=0$ થાય છે. આમ,$x=-1$ અને $x=2$ મળે છે.
રેખા $y=x+2$ એ $X$-અક્ષને $x=-2$ પર છેદે છે (જ્યાં $y=0$ છે).
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=-2$ થી $x=-1$ સુધીની રેખા અને $x=-1$ થી $x=0$ સુધીના પરવલય દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{-1} (x+2) dx + \int_{-1}^{0} x^2 dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{-1} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0}$
$= \left( (\frac{1}{2} - 2) - (\frac{4}{2} - 4) \right) + \left( 0 - (-\frac{1}{3}) \right)$
$= (-\frac{3}{2} - (-2)) + \frac{1}{3}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ વક્ર $ay^2 = x^2(a - x)$ છે,જ્યાં $a > 0$.
વક્ર $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ $x$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
સમીકરણ પરથી,$y^2 = \frac{x^2(a - x)}{a}$,તેથી $y = \pm x \sqrt{\frac{a - x}{a}}$.
લૂપ $x \in [0, a]$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = 2 \int_0^a y \, dx = 2 \int_0^a x \sqrt{\frac{a - x}{a}} \, dx$
$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_0^a x \sqrt{a - x} \, dx$
ધારો કે $a - x = t^2$,તો $dx = -2t \, dt$. જ્યારે $x = 0, t = \sqrt{a}$ અને જ્યારે $x = a, t = 0$.
$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_{\sqrt{a}}^0 (a - t^2) t (-2t \, dt) = \frac{4}{\sqrt{a}} \int_0^{\sqrt{a}} (at^2 - t^4) \, dt$
$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left[ \frac{at^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^{\sqrt{a}}$
$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a(\sqrt{a})^3}{3} - \frac{(\sqrt{a})^5}{5} \right) = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a^2 \sqrt{a}}{3} - \frac{a^2 \sqrt{a}}{5} \right)$
$A = 4 \left( \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{5} \right) = 4 \left( \frac{5a^2 - 3a^2}{15} \right) = 4 \left( \frac{2a^2}{15} \right) = \frac{8}{15} a^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) આપેલ પરવલય $y^2 = 8x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે,તેથી $a = 2$.
પરવલયનો નાભિલંબ રેખા $x = a = 2$ છે.
વક્ર અને નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_0^2 y \, dx = 2 \int_0^2 \sqrt{8x} \, dx$ છે.
$A = 2 \times 2\sqrt{2} \int_0^2 x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2$.
$A = 4\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{16 \times 2}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માટે $\cos x \geq \sin x$ અને $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ માટે $\sin x \geq \cos x$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $[\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્ર $x^2+y^2=16$ અને રેખાઓ $x=2$ તથા $x=3$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_2^3 \sqrt{16-x^2} dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \left[\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + 8\sin^{-1}\left(\frac{x}{4}\right)\right]_2^3$
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left(\frac{3}{2}\sqrt{16-9} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) - \left(\frac{2}{2}\sqrt{16-4} + 8\sin^{-1}\left(\frac{2}{4}\right)\right)$
$A = \left(\frac{3}{2}\sqrt{7} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) - \left(\sqrt{12} + 8\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)$
અહીં $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ અને $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ હોવાથી:
$A = \frac{3}{2}\sqrt{7} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) - 2\sqrt{3} - 8\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$A = \frac{3}{2}\sqrt{7} - 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$
આપેલ પદ $\left(3 \sqrt{7}-4 \sqrt{3}-\frac{8 \pi}{3}+k\right)$ સાથે સરખાવતા:
$A = \frac{1}{2} \left(3\sqrt{7} - 4\sqrt{3} - \frac{8\pi}{3} + 16\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right)$
તેથી,$k = 16\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(A) $y=f(x)$ વક્ર,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ તથા $x=b$ દ્વારા આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$f(x) = x^3$,$a = -2$ અને $b = 4$ છે.
વિધેય $x^3$ એ $x < 0$ માટે ઋણ અને $x > 0$ માટે ધન છે.
તેથી,સંકલન $x = 0$ આગળ વિભાજિત થશે:
$A = \int_{-2}^{0} |x^3| \, dx + \int_{0}^{4} |x^3| \, dx = \int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx + \int_{0}^{4} x^3 \, dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx = [-\frac{x^4}{4}]_{-2}^{0} = 0 - (-\frac{(-2)^4}{4}) = \frac{16}{4} = 4$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{4} x^3 \, dx = [\frac{x^4}{4}]_{0}^{4} = \frac{4^4}{4} - 0 = 4^3 = 64$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 4 + 64 = 68$ ચોરસ એકમ.

(C) વક્ર $y = 8x^3 - 1$ એ $x$-અક્ષ $(y=0)$ ને $8x^3 - 1 = 0$ પર છેદે છે,જે $x^3 = \frac{1}{8}$ આપે છે,તેથી $x = \frac{1}{2}$.
$x \in [-1, \frac{1}{2}]$ માટે,$y \le 0$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} -(8x^3 - 1) dx = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} (1 - 8x^3) dx$ થશે.
$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ માટે,$y \ge 0$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{\frac{1}{2}}^{1} (8x^3 - 1) dx$ થશે.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} (1 - 8x^3) dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} (8x^3 - 1) dx$.
$= [x - 2x^4]_{-1}^{\frac{1}{2}} + [2x^4 - x]_{\frac{1}{2}}^{1}$.
$= ((\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{16})) - (-1 - 2(1))) + ((2(1) - 1) - (2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2}))$.
$= ((\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) - (-3)) + (1 - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2}))$.
$= (\frac{3}{8} + 3) + (1 - (-\frac{3}{8}))$.
$= \frac{27}{8} + \frac{11}{8} = \frac{38}{8} = \frac{19}{4}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વક્ર $y = 2 - x - 3x^2$ છે. પ્રદેશ $X$-અક્ષ $(y = 0)$,$Y$-અક્ષ $(x = 0)$ અને રેખા $x = -2$ દ્વારા આવૃત છે.
પ્રથમ,$y = 0$ લઈને વક્રના શૂન્યો શોધો:
$2 - x - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 + x - 2 = 0 \implies (3x - 2)(x + 1) = 0$.
શૂન્યો $x = -1$ અને $x = 2/3$ છે.
$x \in [-2, -1]$ માટે,$y = 2 - x - 3x^2$ ઋણ છે.
$x \in [-1, 0]$ માટે,$y = 2 - x - 3x^2$ ધન છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{-1} -(2 - x - 3x^2) dx + \int_{-1}^{0} (2 - x - 3x^2) dx$
$= \int_{-2}^{-1} (3x^2 + x - 2) dx + \int_{-1}^{0} (2 - x - 3x^2) dx$
$= [x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x]_{-2}^{-1} + [2x - \frac{x^2}{2} - x^3]_{-1}^{0}$
$= [(-1 + 0.5 + 2) - (-8 + 2 + 4)] + [(0) - (-2 - 0.5 + 1)]$
$= [1.5 - (-2)] + [0 - (-1.5)]$
$= 3.5 + 1.5 = 5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પરવલય $y=x^2+3$ છે.
પ્રથમ,$(3,12)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2x$ છે. $x=3$ આગળ,ઢાળ $m = 2(3) = 6$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 12 = 6(x - 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 6x - 6$ થાય છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $y=0$ આગળ છેદે છે,તેથી $6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$.
પ્રથમ ચરણમાં પરવલય,સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=3$ સુધી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ સ્પર્શક રેખા,$x$-અક્ષ અને શિરોલંબ રેખા $x=3$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ = $\int_0^3 (x^2+3) dx - \int_1^3 (6x-6) dx$.
પ્રથમ સંકલન ગણતા: $\int_0^3 (x^2+3) dx = [\frac{x^3}{3} + 3x]_0^3 = (9 + 9) - 0 = 18$.
બીજું સંકલન (ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ) ગણતા: $\int_1^3 (6x-6) dx = [3x^2 - 6x]_1^3 = (27 - 18) - (3 - 6) = 9 - (-3) = 12$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $18 - 12 = 6$ ચોરસ એકમ.

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $A = \int_0^{2\pi} |\sin 2x| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય $f(x) = |\sin 2x|$ એ $\frac{\pi}{2}$ આવર્તમાન ધરાવે છે,તેથી $[0, 2\pi]$ પરનું ક્ષેત્રફળ $4$ સમાન ભાગો (humps) ધરાવે છે,જે દરેક $\frac{\pi}{2}$ લંબાઈના અંતરાલમાં છે.
આમ,$A = 4 \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = 4 \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\pi/2}$.
$A = 4 \left( -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-1 - 1) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-2) \right) = 4(1) = 4$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = x^4 - x^2$ છે.
ન્યૂનતમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1) = 0$.
આનાથી $x = 0$ અને $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$y'' = 12x^2 - 2$.
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ પર,$y'' = 12(\frac{1}{2}) - 2 = 4 > 0$,તેથી આ ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} |x^4 - x^2| dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} -(x^4 - x^2) dx$ થશે (કારણ કે આ અંતરાલમાં $x^4 - x^2 < 0$ છે).
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (x^2 - x^4) dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$.
$= 2 \left( \frac{1}{3(2\sqrt{2})} - \frac{1}{5(4\sqrt{2})} \right) = 2 \left( \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{1}{20\sqrt{2}} \right)$.
$= 2 \left( \frac{10 - 3}{60\sqrt{2}} \right) = 2 \left( \frac{7}{60\sqrt{2}} \right) = \frac{7}{30\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $y = 0$ લઈએ:
$x(x^2 - 3x + 2) = 0$
$x(x - 1)(x - 2) = 0$
તેથી,વક્ર $X$-અક્ષને $x = 0, 1, 2$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_0^2 |y| dx = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx + \left| \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx \right|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ ભાગ: $\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_0^1 = (\frac{1}{4} - 1 + 1) - 0 = \frac{1}{4}$.
બીજો ભાગ: $\int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_1^2 = (\frac{16}{4} - 8 + 4) - (\frac{1}{4} - 1 + 1) = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$.
તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રો $y=|x|$ અને $y=1-|x|$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$|x| = 1-|x|$ લો,જે $2|x| = 1$ આપે છે,તેથી $|x| = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -\frac{1}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{1}{2}$,ત્યારે $y = \frac{1}{2}$. જ્યારે $x = -\frac{1}{2}$,ત્યારે $y = \frac{1}{2}$.
છેદબિંદુઓ $A(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અને $C(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.
વક્રો $y$-અક્ષને $O(0,0)$ અને $B(0,1)$ પર પણ છેદે છે.
આ પ્રદેશ એક ચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$,$B(0,1)$,અને $C(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $OA = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(\text{બાજુ})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(D) આપેલ વક્રો $y=x^2+1$ અને $y=2x-2$ છે.
આ પ્રદેશ શિરોલંબ રેખાઓ $x=-1$ અને $x=2$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
અંતરાલ $[-1, 2]$ માટે,આપણે ચકાસીએ કે વક્રો છેદે છે કે નહીં. $x^2+1 = 2x-2$ લેતા,આપણને $x^2-2x+3=0$ મળે છે. વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4-12 = -8 < 0$. આમ,કોઈ છેદબિંદુ નથી,અને તમામ $x$ માટે $x^2+1 > 2x-2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} [(x^2+1) - (2x-2)] \, dx$
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 3) \, dx$
$\text{Area} = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{-1}^{2}$
$\text{Area} = \left( \frac{8}{3} - 4 + 6 \right) - \left( \frac{-1}{3} - 1 - 3 \right)$
$\text{Area} = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 4 \right)$
$\text{Area} = \frac{14}{3} - \left( -\frac{13}{3} \right)$
$\text{Area} = \frac{14}{3} + \frac{13}{3} = \frac{27}{3} = 9$ ચોરસ એકમ.

(C) અહીં $h = 1$ ($x$ ના ક્રમિક મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત).
ધારો કે $f(x)$ ના મૂલ્યો $y_0, y_1, y_2, y_3, y_4, y_5$ છે.
અહીં,$y_0 = 2, y_1 = 3, y_2 = 6, y_3 = 11, y_4 = 18, y_5 = 27$.
ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \frac{h}{2} [ (y_0 + y_5) + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) ]$
કિંમતો મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} [ (2 + 27) + 2(3 + 6 + 11 + 18) ]$
$A = \frac{1}{2} [ 29 + 2(38) ]$
$A = \frac{1}{2} [ 29 + 76 ]$
$A = \frac{1}{2} [ 105 ] = 52.5$
આમ,અંદાજિત ક્ષેત્રફળ $52.5$ ચોરસ એકમ છે.

(D) આ પ્રદેશ $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ માટે $y=\sin x$,$y=\cos x$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A_1$ એ $x=0$ થી $x=\frac{\pi}{4}$ સુધી $y=\sin x$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$A_1 = \int_0^{\pi/4} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi/4} = -(\cos \frac{\pi}{4} - \cos 0) = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
ક્ષેત્રફળ $A_2$ એ $x=\frac{\pi}{4}$ થી $x=\frac{\pi}{2}$ સુધી $y=\cos x$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$A_2 = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} : \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = 1 : 1$ થાય.

(B) આપેલ વક્ર $2x = y^2 - 1$ છે, જેને $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
વક્ર $x = 0$ એ $y$-અક્ષ છે.
વક્ર $2x = y^2 - 1$ અને $x = 0$ ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકો:
$0 = y^2 - 1 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
આમ, પ્રદેશ $y = -1$ થી $y = 1$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં વક્રો વચ્ચેના અંતરના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} |x_{\text{right}} - x_{\text{left}}| dy = \int_{-1}^{1} |0 - \frac{y^2 - 1}{2}| dy = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy$.
કારણ કે વિધેય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે, આપણે લખી શકીએ:
$A = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy = \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$.
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3} \text{ \text{ચોરસ એકમ}}$.