Area bounded by region of single curve Questions in Gujarati

(A) વક્રો $y = x^2$ અને $y = |x|$ દ્વારા ઘેરાયેલો વિસ્તાર એ પ્રદેશ છે જ્યાં $x^2 \leq y \leq |x|$ છે.
વક્રો જ્યાં છેદે છે ત્યાં $x^2 = |x|$ થાય. $x^2 = |x|^2$ હોવાથી,આપણને $|x|^2 - |x| = 0$ મળે છે,જે $|x|(|x| - 1) = 0$ આપે છે. આમ,$x = 0, 1, -1$ મળે છે.
આ પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. આપણે પ્રથમ ચરણમાં $(x \geq 0)$ ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીશું અને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
પ્રથમ ચરણમાં,વક્રો $y = x$ અને $y = x^2$ છે. ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$
$= 2 \left( \frac{3-2}{6} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(2,0)$,$B(4,5)$ અને $C(6,3)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નું સમીકરણ જે $(2,0)$ અને $(4,5)$ માંથી પસાર થાય છે:
$y - 0 = \frac{5-0}{4-2}(x-2) \implies y = \frac{5}{2}(x-2) \quad \dots(1)$
રેખાખંડ $BC$ નું સમીકરણ જે $(4,5)$ અને $(6,3)$ માંથી પસાર થાય છે:
$y - 5 = \frac{3-5}{6-4}(x-4) \implies y - 5 = -1(x-4) \implies y = -x + 9 \quad \dots(2)$
રેખાખંડ $AC$ નું સમીકરણ જે $(2,0)$ અને $(6,3)$ માંથી પસાર થાય છે:
$y - 0 = \frac{3-0}{6-2}(x-2) \implies y = \frac{3}{4}(x-2) \quad \dots(3)$
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \int_{2}^{4} y_{AB} \, dx + \int_{4}^{6} y_{BC} \, dx - \int_{2}^{6} y_{AC} \, dx$
$= \int_{2}^{4} \frac{5}{2}(x-2) \, dx + \int_{4}^{6} (-x+9) \, dx - \int_{2}^{6} \frac{3}{4}(x-2) \, dx$
$= \frac{5}{2} \left[ \frac{(x-2)^2}{2} \right]_{2}^{4} + \left[ -\frac{x^2}{2} + 9x \right]_{4}^{6} - \frac{3}{4} \left[ \frac{(x-2)^2}{2} \right]_{2}^{6}$
$= \frac{5}{2} \left( \frac{4}{2} - 0 \right) + \left( (-18 + 54) - (-8 + 36) \right) - \frac{3}{4} \left( \frac{16}{2} - 0 \right)$
$= 5 + (36 - 28) - \frac{3}{4}(8)$
$= 5 + 8 - 6 = 7 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વક્ર $y=f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ તથા $x=b$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $\int_{a}^{b} |f(x)| dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$f(x) = x^{3}$. વક્ર $y=x^{3}$ એ $x$-અક્ષને $x=0$ આગળ છેદે છે.
$x \in [-2, 0]$ માટે,$x^{3} \leq 0$ અને $x \in [0, 1]$ માટે,$x^{3} \geq 0$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_{-2}^{0} |x^{3}| dx + \int_{0}^{1} |x^{3}| dx$ થશે.
$= \int_{-2}^{0} (-x^{3}) dx + \int_{0}^{1} x^{3} dx$
$= \left[ -\frac{x^{4}}{4} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1}$
$= \left( 0 - \left( -\frac{(-2)^{4}}{4} \right) \right) + \left( \frac{1^{4}}{4} - 0 \right)$
$= \left( 0 - (-4) \right) + \frac{1}{4}$
$= 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો જવાબ $C$ છે.

(A) વિધેયને $y = x|x| = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $[-1, 0]$ અને $[0, 1]$ અંતરાલો પરના સંકલનોના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{0} |x^2| dx + \int_{0}^{1} |x^2| dx$.
ક્ષેત્રફળ હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યનું સંકલન કરીએ છીએ.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{0} |-x^2| dx + \int_{0}^{1} |x^2| dx = \int_{-1}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{1} x^2 dx$.
ક્ષેત્રફળ $= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
ક્ષેત્રફળ $= \left( 0 - \left( \frac{(-1)^3}{3} \right) \right) + \left( \frac{1^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો જવાબ $A$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $x^{2}+y^{2}=16$ $(1)$ અને $y^{2}=6x$ $(2)$ છે.
$y^{2}=6x$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$x^{2}+6x-16=0$ મળે,જેના અવયવ $(x+8)(x-2)=0$ થાય છે. પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x=2$ મળે.
$x=2$ માટે,$y^{2}=12$,તેથી $y=\pm 2\sqrt{3}$.
પરવલયની અંદરના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{2} \sqrt{6x} \, dx + 2 \int_{2}^{4} \sqrt{16-x^{2}} \, dx$ છે.
આ ગણતરી કરતા,પરવલયની અંદરનું ક્ષેત્રફળ $\frac{4}{3}(4\pi+\sqrt{3})$ મળે છે.
વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $\pi(4)^{2} = 16\pi$ છે.
તેથી,પરવલયની બહારનું ક્ષેત્રફળ $16\pi - \frac{4}{3}(4\pi+\sqrt{3}) = \frac{48\pi - 16\pi - 4\sqrt{3}}{3} = \frac{32\pi - 4\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{3}(8\pi - \sqrt{3})$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) આપેલા વક્રો $y=\cos x$ અને $y=\sin x$ છે. તેઓ $x = \frac{\pi}{4}$ પર છેદે છે,જ્યાં $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y-$અક્ષ $(x=0)$,$y=\cos x$ અને $y=\sin x$ દ્વારા $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માટે ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$
$= [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$= (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$= \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$= \sqrt{2} - 1 \text{ ચોરસ એકમ}$.
તેથી,સાચો જવાબ વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પ્રદેશ $R$ એ પરવલય $y=x^{2}$ અને રેખા $y=2x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. છેદબિંદુઓ $x^{2}=2x$ દ્વારા મળે છે,જે $x=0$ અને $x=2$ આપે છે. આમ,બિંદુઓ $(0,0)$ અને $(2,4)$ છે.
પ્રદેશ $R$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^{2}) dx = [x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,પ્રદેશ $y \in [0, 4]$ માટે $x = \sqrt{y}$ (જમણી બાજુ) અને $x = y/2$ (ડાબી બાજુ) દ્વારા ઘેરાયેલ છે:
$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{y} - \frac{y}{2}) dy = [\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^{2}}{4}]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(8) - \frac{16}{4} = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$.
રેખા $y=\alpha$ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. નીચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળ ($y=0$ થી $y=\alpha$) કુલ ક્ષેત્રફળનું અડધું છે:
$\int_{0}^{\alpha} (\sqrt{y} - \frac{y}{2}) dy = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$[\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^{2}}{4}]_{0}^{\alpha} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{2}{3}\alpha^{3/2} - \frac{\alpha^{2}}{4} = \frac{2}{3}$.
છેદ દૂર કરવા માટે $12$ વડે ગુણતા:
$8\alpha^{3/2} - 3\alpha^{2} = 8 \Rightarrow 3\alpha^{2} - 8\alpha^{3/2} + 8 = 0$.

(A) પ્રદેશ $0 \leq x \leq 2$ માટે $(x-1)[x] \leq y \leq 2\sqrt{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પ્રથમ,આપણે વિધેય $f(x) = (x-1)[x]$ ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ:
$0 \leq x < 1$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = (x-1)(0) = 0$.
$1 \leq x < 2$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = (x-1)(1) = x-1$.
$x = 2$ પર,$[x] = 2$,તેથી $f(2) = (2-1)(2) = 2$.
ઉપરની સીમા $y = 2\sqrt{x}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{2} 2\sqrt{x} \, dx - \int_{1}^{2} (x-1) \, dx$.
પ્રથમ સંકલનની ગણતરી:
$\int_{0}^{2} 2\sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2^{3/2} = \frac{4}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
બીજા સંકલનની ગણતરી ($x=1$ થી $x=2$ સુધી $y=x-1$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ):
$\int_{1}^{2} (x-1) \, dx = \left[ \frac{(x-1)^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.
આમ,કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $4y^{2} = x^{2}(4-x)(x-2)$ છે.
$y$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,$(4-x)(x-2) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [2, 4]$.
આપણે લખી શકીએ $|y| = \frac{|x|}{2} \sqrt{(4-x)(x-2)}$.
$x \in [2, 4]$ હોવાથી,$x$ ધન છે,તેથી $y = \pm \frac{x}{2} \sqrt{-x^{2} + 6x - 8}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{2}^{4} 2 \cdot \frac{x}{2} \sqrt{-x^{2} + 6x - 8} \, dx = \int_{2}^{4} x \sqrt{-(x^{2} - 6x + 9 - 1)} \, dx = \int_{2}^{4} x \sqrt{1 - (x-3)^{2}} \, dx$.
ધારો કે $x-3 = t$,તો $dx = dt$. જ્યારે $x=2, t=-1$; જ્યારે $x=4, t=1$.
$A = \int_{-1}^{1} (t+3) \sqrt{1-t^{2}} \, dt = \int_{-1}^{1} t \sqrt{1-t^{2}} \, dt + \int_{-1}^{1} 3 \sqrt{1-t^{2}} \, dt$.
પ્રથમ સંકલન $0$ છે કારણ કે વિધેય અયુગ્મ છે.
બીજું સંકલન $3 \times (\text{ત્રિજ્યા } 1 \text{ વાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}) = 3 \times \frac{\pi(1)^{2}}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

(A) $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ ના છેદબિંદુઓ $\sin x = \cos x$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan x = 1$.
આમ,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$
બે ક્રમિક છેદબિંદુઓ $\frac{\pi}{4}$ અને $\frac{5\pi}{4}$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} |\sin x - \cos x| \, dx$
અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ માં,$\sin x \geq \cos x$ છે.
$A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) \, dx$
$A = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4}$
$A = \left( -\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) - \left( -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right)$
$A = \left( -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \right) - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$A = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -\frac{2}{\sqrt{2}} \right) = \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$
હવે,$A^{4} = (2\sqrt{2})^{4} = 2^{4} \times (\sqrt{2})^{4} = 16 \times 4 = 64$.

(D) રેખાઓ $x=0, y=0, x=\frac{3}{2}$ અને વક્ર $y=1+4x-x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{3/2} (1+4x-x^2) \, dx$
$A = [x + 2x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3/2}$
$A = (\frac{3}{2} + 2(\frac{9}{4}) - \frac{27}{24}) - 0$
$A = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} - \frac{9}{8} = 6 - \frac{9}{8} = \frac{48-9}{8} = \frac{39}{8}$
કારણ કે રેખા $y=mx$ આ ક્ષેત્રફળને દુભાગે છે,તેથી રેખાઓ $x=0, x=\frac{3}{2}$ અને $y=mx$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોવું જોઈએ.
શિરોબિંદુઓ $(0,0), (3/2, 0)$ અને $(3/2, 3m/2)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$A_{triangle} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{3m}{2} = \frac{9m}{8}$
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા:
$\frac{9m}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{39}{8}$
$9m = \frac{39}{2}$
$m = \frac{39}{18} = \frac{13}{6}$
તેથી,$12m = 12 \times \frac{13}{6} = 2 \times 13 = 26$.

(A) આ પ્રદેશ વક્રો $y = 2x^2$ અને $y = 4-2x$ દ્વારા $x \geq 0$ માટે ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$2x^2 = 4-2x$ લો,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x - 2 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(x+2)(x-1) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -2$.
$x \geq 0$ હોવાથી,આપણે અંતરાલ $[0, 1]$ ધ્યાનમાં લઈશું.
ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int_{0}^{1} ((4-2x) - 2x^2) dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \int_{0}^{1} (4 - 2x - 2x^2) dx$
$= [4x - x^2 - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{1}$
$= (4(1) - (1)^2 - \frac{2(1)^3}{3}) - (0)$
$= 4 - 1 - \frac{2}{3} = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \, sq. \, units$.

(C) આપેલ વક્ર $y = 3 - \left|x - \frac{1}{2}\right| - |x + 1|$ છે.
અલગ અલગ અંતરાલોમાં વિધેયને વ્યાખ્યાયિત કરતા:
$x < -1$ માટે: $y = 2x + 7/2$. $y=0$ લેતા,$x = -7/4$.
$-1 \leq x < 1/2$ માટે: $y = 3/2$.
$x \geq 1/2$ માટે: $y = 5/2 - 2x$. $y=0$ લેતા,$x = 5/4$.
આ પ્રદેશ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $3$ (આધાર) અને $3/2$ (ઉપરની બાજુ) છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $3/2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (3 + 3/2) \times (3/2) = \frac{1}{2} \times (9/2) \times (3/2) = \frac{27}{8}$ ચોરસ એકમ.

(B) $y = 1, y = 3, x = 0$ અને $x = y^a$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{3} x \, dy = \int_{1}^{3} y^a \, dy$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{y^{a+1}}{a+1} \right]_{1}^{3} = \frac{3^{a+1} - 1^{a+1}}{a+1} = \frac{3^{a+1} - 1}{a+1}$
આપેલ છે કે $A = \frac{364}{3}$,તેથી:
$\frac{3^{a+1} - 1}{a+1} = \frac{364}{3}$
$a$ માટે એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ચકાસતા:
જો $a = 5$ લઈએ,તો $a+1 = 6$:
$\frac{3^6 - 1}{6} = \frac{729 - 1}{6} = \frac{728}{6} = \frac{364}{3}$
આમ,$a$ નું મૂલ્ય $5$ છે.

(C) ક્ષેત્રફળ સંકલન $A = \int_0^3 |x^3 - 4x^2 + 3x| dx$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,પદાવલિના અવયવ પાડો: $x^3 - 4x^2 + 3x = x(x-1)(x-3)$.
પદાવલિ $x(x-1)(x-3)$ એ $(0, 1)$ માં ધન અને $(1, 3)$ માં ઋણ છે.
તેથી,$A = \int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 3x) dx - \int_1^3 (x^3 - 4x^2 + 3x) dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{3 - 16 + 18}{12} = \frac{5}{12}$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_1^3 = \left( \frac{81}{4} - \frac{108}{3} + \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{5}{12} \right) = \left( \frac{135}{4} - 36 \right) - \frac{5}{12} = -\frac{9}{4} - \frac{5}{12} = -\frac{32}{12} = -\frac{8}{3}$.
બીજો ભાગ ઋણ હોવાથી,આપણે તેનું માનાંક લઈએ છીએ: $|-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5 + 32}{12} = \frac{37}{12}$.

(C) $y=||x-3|-4|-5$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y=0$ લઈને $X$-અંત:ખંડો નક્કી કરીએ છીએ:
$||x-3|-4|-5 = 0$
$||x-3|-4| = 5$
$|x-3|-4 = 5$ અથવા $|x-3|-4 = -5$
$|x-3| = 9$ અથવા $|x-3| = -1$ (અશક્ય)
$x-3 = 9$ અથવા $x-3 = -9$
$x = 12$ અથવા $x = -6$
વિધેય $y=||x-3|-4|-5$ નો આલેખ $W$ આકારનો છે. તેના શિરોબિંદુઓ $(-6, 0)$,$(-1, -5)$,$(3, -1)$,$(7, -5)$,અને $(12, 0)$ છે.
આ ક્ષેત્રફળ આલેખ અને $X$-અક્ષ વચ્ચે બનેલા બે ત્રિકોણ અને બે સમલંબ ચતુષ્કોણનો સરવાળો છે:
$1$. $(-6, 0)$,$(-1, 0)$,અને $(-1, -5)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$
$2$. $(-1, 0)$,$(3, 0)$,$(3, -1)$,અને $(-1, -5)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો સમલંબ ચતુષ્કોણ: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (5 + 1) \times 4 = 12$
$3$. $(3, 0)$,$(7, 0)$,$(7, -5)$,અને $(3, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો સમલંબ ચતુષ્કોણ: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (1 + 5) \times 4 = 12$
$4$. $(7, 0)$,$(12, 0)$,અને $(7, -5)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 12.5 + 12 + 12 + 12.5 = 49$ ચોરસ એકમ.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{1}^{10} \frac{1}{x} dx = [\ln x]_{1}^{10} = \ln 10$ દ્વારા મળે છે.
સરવાળો $B = \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{9}$ ધ્યાનમાં લો. આ અંતરાલ $[1, 10]$ પર વિધેય $f(x) = \frac{1}{x}$ માટે ઉપરનો રીમાન સરવાળો છે. $f(x)$ ઘટતું વિધેય હોવાથી,ઉપરનો સરવાળો વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ કરતા મોટો છે,તેથી $B > A$.
સરવાળો $C = \sum_{n=2}^{10} \frac{1}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10}$ ધ્યાનમાં લો. આ અંતરાલ $[1, 10]$ પર વિધેય $f(x) = \frac{1}{x}$ માટે નીચેનો રીમાન સરવાળો છે. $f(x)$ ઘટતું વિધેય હોવાથી,નીચેનો સરવાળો વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ કરતા નાનો છે,તેથી $C < A$.
આમ,આપણી પાસે $C < A < B$ છે.
$B-A$ અને $A-C$ ની સરખામણી કરવા માટે,નોંધો કે $B-A = \sum_{n=1}^{9} (\frac{1}{n} - \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx)$ અને $A-C = \sum_{n=1}^{9} (\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx - \frac{1}{n+1})$.
વિધેય $f(x) = \frac{1}{x}$ બહિર્મુખ હોવાથી,વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ઉપરના સરવાળા કરતા નીચેના સરવાળાની વધુ નજીક છે,જે દર્શાવે છે કે $B - A < A - C$ સાચો સંબંધ છે.
તેથી,$C < A < B$ અને $B - A < A - C$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - px + \frac{5}{4}p = 0$ ના બીજ સંમેય હોય તે માટે વિવેચક $D$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = (-p)^2 - 4(1)(\frac{5}{4}p) = p^2 - 5p$.
અહીં $p \in [0, 10]$ અને $p$ પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $p^2 - 5p = k^2$,જ્યાં $k$ કોઈ અઋણ પૂર્ણાંક છે.
$[0, 10]$ માં $p$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો ચકાસતા:
જો $p=0, D=0$ (પૂર્ણવર્ગ).
જો $p=5, D=0$ (પૂર્ણવર્ગ).
જો $p=9, D=81 - 45 = 36 = 6^2$ (પૂર્ણવર્ગ).
આમ,$p$ નું મહત્તમ પૂર્ણાંક મૂલ્ય $q = 9$ છે.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{9} (x - 9)^2 dx$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = x - 9$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=0, u=-9$; જ્યારે $x=9, u=0$.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-9}^{0} u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-9}^{0} = 0 - (\frac{-729}{3}) = 243$.

(C) વિધેય $y = x|x-3|$ છે. અંતરાલ $[-1, 2]$ માટે,$x-3$ હંમેશા ઋણ છે,તેથી $|x-3| = 3-x$.
આમ,$y = x(3-x) = 3x - x^2$.
$x \in [-1, 0]$ માટે $3x - x^2$ ઋણ છે અને $x \in [0, 2]$ માટે ધન છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{-1}^{0} -(3x - x^2) dx + \int_{0}^{2} (3x - x^2) dx$
$A = \int_{-1}^{0} (x^2 - 3x) dx + \int_{0}^{2} (3x - x^2) dx$
$A = [x^3/3 - 3x^2/2]_{-1}^{0} + [3x^2/2 - x^3/3]_{0}^{2}$
$A = (0 - (-1/3 - 3/2)) + (6 - 8/3 - 0) = (11/6) + (10/3) = 31/6$.
તેથી,$12A = 12 \times (31/6) = 62$.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^3$ છે. વિકલન $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ છે.
બિંદુ $(-1, -1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 3(-1)^2 = 3$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-1) = 3(x - (-1))$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 3x + 2$ થાય છે.
વક્ર $y = x^3$ અને સ્પર્શક $y = 3x + 2$ ના છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x^3 = 3x + 2$ લેતા,$x^3 - 3x - 2 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(x + 1)^2(x - 2) = 0$ મળે છે,તેથી છેદબિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{2} ((3x + 2) - x^3) dx$ દ્વારા મળે છે.
$A = [\frac{3x^2}{2} + 2x - \frac{x^4}{4}]_{-1}^{2}$.
$A = (\frac{3(4)}{2} + 2(2) - \frac{16}{4}) - (\frac{3(1)}{2} + 2(-1) - \frac{1}{4})$.
$A = (6 + 4 - 4) - (\frac{3}{2} - 2 - \frac{1}{4}) = 6 - (\frac{6 - 8 - 1}{4}) = 6 - (-\frac{3}{4}) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.

(A) વિધેય $f(x) = \max \{\sin x, \cos x\}$ છે,જ્યાં $x \in [-\pi, \pi]$.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $\sin x = \cos x$ ક્યાં થાય છે તે જોઈએ,જે $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = -\frac{3\pi}{4}$ પર થાય છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનને મહત્તમ મૂલ્યના આધારે વિભાજિત કરતા:
$A = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} \sin x dx + \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \cos x dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય:
$1. \int_{-\pi}^{-3\pi/4} \sin x dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2. \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \cos x dx = \sqrt{2}$.
$3. \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x dx = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ: $(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \sqrt{2} + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 + \sqrt{2}$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે $x$ ના વિવિધ અંતરાલો માટે વક્રોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:
$x \ge 0$ માટે,$y = x(x) = x^2$ અને $y = x - x = 0$.
$x < 0$ માટે,$y = x(-x) = -x^2$ અને $y = x - (-x) = 2x$.
$x < 0$ માટે છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $-x^2 = 2x$ લઈએ છીએ,જે $x^2 + 2x = 0$ આપે છે,તેથી $x(x+2) = 0$. આમ,વક્રો $x = 0$ અને $x = -2$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 0$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-2}^{0} (2x - (-x^2)) \, dx = \int_{-2}^{0} (x^2 + 2x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{0}$
$A = (0 + 0) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 \right) = - \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) = - \left( \frac{4}{3} \right) = -\frac{4}{3}$.
ક્ષેત્રફળ હંમેશા ધન હોવાથી,આપણે તેનું માનાંક લઈએ છીએ: $|-\frac{4}{3}| = \frac{4}{3}$.

(C) પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Area = \int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{a}{x^2}\right) dx$
$= \left[ \ln|x| + \frac{a}{x} \right]_1^2$
$= (\ln 2 + \frac{a}{2}) - (\ln 1 + \frac{a}{1})$
$= \ln 2 + \frac{a}{2} - a = \ln 2 - \frac{a}{2}$
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $(\ln 2) - \frac{1}{7}$ છે,તેથી સરખાવતા:
$\ln 2 - \frac{a}{2} = \ln 2 - \frac{1}{7}$
$-\frac{a}{2} = -\frac{1}{7}$
$a = \frac{2}{7}$
હવે,$7a - 3$ ની કિંમત શોધીએ:
$7(\frac{2}{7}) - 3 = 2 - 3 = -1$

(D) વક્ર $y=e^x$ છે,જેનો અર્થ છે $x=\ln y$.
પ્રદેશ $x=0$ ($y$-અક્ષ),$y=e^x$ અને $y=e$ દ્વારા સીમિત છે.
$y=e^x$ અને $y=e$ નું છેદબિંદુ $x=1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ બે રીતે ગણી શકાય:
$1$. $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા: ક્ષેત્રફળ $\int_0^1 (e - e^x) dx = e - \int_0^1 e^x dx$ થાય. આ વિકલ્પ $(C)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. $y$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા: પ્રદેશ $y=1$ થી $y=e$ સુધી વિસ્તરેલો છે. ક્ષેત્રફળ $= \int_1^e \ln y dy$. આ વિકલ્પ $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે.
વિકલ્પ $(B)$ માં $\int_1^e \ln(e+1-y) dy$ છે,જેનું મૂલ્ય પણ $1$ થાય છે.
આમ,$(B), (C), (D)$ સાચા છે.

(B) વક્રો $x=0, x=1, y=0$ અને $y=f(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{1} |f(x)| dx$ દ્વારા મળે છે. આપેલ આલેખ મુજબ,ક્ષેત્રફળ ત્રણ ત્રિકોણીય પ્રદેશો $I, II, III$ અને એક સમલંબ ચતુષ્કોણ પ્રદેશનો બનેલો છે.
પ્રદેશ $I$ નું ક્ષેત્રફળ (પાયો $\frac{1}{2n}$ અને વેધ $n$ ધરાવતો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{4}$.
પ્રદેશ $II$ નું ક્ષેત્રફળ (પાયો $\frac{1}{2n}$ અને વેધ $n$ ધરાવતો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{4}$.
પ્રદેશ $III$ નું ક્ષેત્રફળ (સમાંતર બાજુઓ $n$ અને $0$ તથા વેધ $1-\frac{1}{n}$ ધરાવતો સમલંબ ચતુષ્કોણ): $\frac{1}{2} \times (n+0) \times (1-\frac{1}{n}) = \frac{n}{2} \times \frac{n-1}{n} = \frac{n-1}{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{n-1}{2} = 4$.
$\frac{1}{2} + \frac{n-1}{2} = 4 \implies \frac{n}{2} = 4 \implies n = 8$.
આમ,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $n = 8$ છે.

(A) પ્રદેશ $R$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_0^1 (x - x^3) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
રેખા $x = \alpha$ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચતી હોવાથી,$0$ થી $\alpha$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોવું જોઈએ:
$\int_0^{\alpha} (x - x^3) dx = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^{\alpha} = \frac{1}{8}$
$\frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha^4}{4} = \frac{1}{8}$
$4$ વડે ગુણતા:
$2 \alpha^2 - \alpha^4 = \frac{1}{2}$
$4 \alpha^2 - 2 \alpha^4 = 1$
$2 \alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1 = 0$. આ વિકલ્પ $[C]$ સાબિત કરે છે.
ધારો કે $f(\alpha) = 2 \alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1$. આપણી પાસે $f(0) = 1$ અને $f(1) = 2 - 4 + 1 = -1$ છે.
$f(\alpha)$ સતત હોવાથી અને $0$ થી $1$ ની વચ્ચે ચિહ્ન બદલાતું હોવાથી,એક બીજ $\alpha \in (0, 1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વળી,$f(1/\sqrt{2}) = 2(1/4) - 4(1/2) + 1 = 0.5 - 2 + 1 = -0.5 < 0$.
$f(0) = 1 > 0$ અને $f(1/\sqrt{2}) < 0$ હોવાથી,બીજ $\alpha$ એ $(0, 1/\sqrt{2})$ માં હોવું જોઈએ.
$1/\sqrt{2} \approx 0.707$ અને $1/2 = 0.5$ હોવાથી,આપણે $f(1/2) = 2(1/16) - 4(1/4) + 1 = 1/8 - 1 + 1 = 1/8 > 0$ ચકાસીએ છીએ.
$f(1/2) > 0$ અને $f(1/\sqrt{2}) < 0$ હોવાથી,બીજ $\alpha$ એ $(1/2, 1/\sqrt{2})$ માં છે,જે $(1/2, 1)$ નો ઉપગણ છે. તેથી,વિકલ્પ $[B]$ પણ સાચો છે.

(B) કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^1 (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^1 = 0 - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $R_1 = \int_0^b (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^b = -\frac{(1-b)^3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1-(1-b)^3}{3}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $R_2 = \int_b^1 (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_b^1 = 0 - (-\frac{(1-b)^3}{3}) = \frac{(1-b)^3}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $R_1 - R_2 = \frac{1}{4}$,તેથી:
$\frac{1-(1-b)^3}{3} - \frac{(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$\frac{1 - 2(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$1 - 2(1-b)^3 = \frac{3}{4}$
$2(1-b)^3 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$(1-b)^3 = \frac{1}{8}$
$1-b = \frac{1}{2}$
$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) ક્ષેત્રફળ $S$ એ સંકલન $S = \int_0^1 e^{-x^2} dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $x \in [0, 1]$ માટે,આપણી પાસે $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ છે. તેથી,$-x^2 \geq -x$,જે સૂચવે છે કે $e^{-x^2} \geq e^{-x}$.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$S = \int_0^1 e^{-x^2} dx \geq \int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = 1 - \frac{1}{e}$.
કારણ કે $1 - \frac{1}{e} \approx 0.633$ અને $\frac{1}{e} \approx 0.367$,તેથી $S \geq 1 - \frac{1}{e} > \frac{1}{e}$. આમ,$(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.
$2$. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ પહોળાઈના બે લંબચોરસ સાથે અપર રીમાન સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા:
વિધેય $f(x) = e^{-x^2}$ એ $[0, 1]$ પર ઘટતું વિધેય છે.
$S = \int_0^{1/\sqrt{2}} e^{-x^2} dx + \int_{1/\sqrt{2}}^1 e^{-x^2} dx$.
દરેક પેટા-અંતરાલ પર $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમતનો ઉપયોગ કરતા:
$S \leq \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) f(0) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$S \leq \frac{1}{\sqrt{2}}(1) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \frac{1}{\sqrt{e}}$.
આમ,$(D)$ સાચું છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(0,0)$,$Q(1,1)$ અને $R(2,0)$ છે.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times PR \times Q \text{ નો } y-\text{યામ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1 \text{ એકમ}^2$.
બાજુ $PQ$ એ $x \in [0, 1]$ માટે રેખા $y = x$ પર આવેલી છે.
ખેડૂત $F_2$ દ્વારા લેવામાં આવેલ ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી રેખા $y = x$ અને વક્ર $y = x^n$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 (x - x^n) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}$.
આપેલ છે કે આ ક્ષેત્રફળ $\triangle PQR$ ના ક્ષેત્રફળના $30\%$ છે,તેથી:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} = \frac{30}{100} \times 1 = \frac{3}{10}$.
$\frac{1}{n+1} = \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{5-3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$n + 1 = 5$,જે આપણને $n = 4$ આપે છે.

(A) આ પ્રદેશ રેખાઓ $x=3y$,$x+y=2$,$y=0$,અને $x=\frac{9}{4}$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
પ્રથમ,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x=3y$ અને $x+y=2$ નું છેદબિંદુ: $x=3y$ ને $x+y=2$ માં મૂકતા $3y+y=2$ મળે,તેથી $4y=2$,એટલે કે $y=\frac{1}{2}$ અને $x=\frac{3}{2}$. આમ,$P = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.
$2$. $x+y=2$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ: $x=2$. આમ,$Q = (2, 0)$.
$3$. $x=\frac{9}{4}$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ: $R = (\frac{9}{4}, 0)$.
$4$. $x=\frac{9}{4}$ અને $x=3y$ નું છેદબિંદુ: $y=\frac{x}{3} = \frac{9/4}{3} = \frac{3}{4}$. આમ,$S = (\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$.
આ પ્રદેશ એક ચતુષ્કોણ $PQRS$ છે જેના શિરોબિંદુઓ $P(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$,$Q(2, 0)$,$R(\frac{9}{4}, 0)$,અને $S(\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{3/2}^{9/4} (x/3) dx - \int_{3/2}^{2} (2-x) dx = [x^2/6]_{3/2}^{9/4} - [2x - x^2/2]_{3/2}^{2} = (\frac{27}{32} - \frac{3}{8}) - (2 - \frac{15}{8}) = \frac{15}{32} - \frac{1}{8} = \frac{11}{32}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$. આ વિધેયાત્મક સમીકરણ સૂચવે છે કે $f(x) = e^{\lambda x}$.
$f^{\prime}(x) = \lambda e^{\lambda x}$ હોવાથી,$f^{\prime}(0) = \lambda = 4a$.
તેથી,$f(x) = e^{4ax}$.
હવે,$f(x) = e^{4ax}$ ને વિકલ સમીકરણ $f^{\prime \prime}(x) - 3a f^{\prime}(x) - f(x) = 0$ માં મૂકતા:
$f^{\prime}(x) = 4a e^{4ax}$ અને $f^{\prime \prime}(x) = 16a^2 e^{4ax}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $16a^2 e^{4ax} - 3a(4a e^{4ax}) - e^{4ax} = 0$.
$e^{4ax}$ વડે ભાગતા: $16a^2 - 12a^2 - 1 = 0$.
$4a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{4}$. $a > 0$ હોવાથી,$a = \frac{1}{2}$.
હવે,$f(ax) = f(\frac{1}{2} x) = e^{4(\frac{1}{2})x} = e^{2x}$.
ક્ષેત્રફળ = $\int_{0}^{2} e^{2x} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{e^4 - 1}{2}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $C$ છે.

(D) પ્રદેશ $-1 \leq x \leq 1$ અને $0 \leq y \leq a + e^{|x|} - e^{-x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
કારણ કે $x \in [-1, 0]$ માટે $|x| = -x$ અને $x \in [0, 1]$ માટે $|x| = x$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^0 (a + e^{-x} - e^{-x}) dx + \int_0^1 (a + e^x - e^{-x}) dx$
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^0 a dx + \int_0^1 (a + e^x - e^{-x}) dx$
ક્ષેત્રફળ $= a[x]_{-1}^0 + [ax + e^x + e^{-x}]_0^1$
ક્ષેત્રફળ $= a(0 - (-1)) + (a(1) + e^1 + e^{-1}) - (a(0) + e^0 + e^0)$
ક્ષેત્રફળ $= a + a + e + \frac{1}{e} - 2 = 2a + e + \frac{1}{e} - 2$
આપેલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{e^2 + 8e + 1}{e} = e + 8 + \frac{1}{e}$
બંને પદોને સરખાવતા:
$2a + e + \frac{1}{e} - 2 = e + 8 + \frac{1}{e}$
$2a - 2 = 8$
$2a = 10 \Rightarrow a = 5$

(D) વક્રો $y=e^x$ અને $y=|e^x-1|$ છે.
$x < 0$ માટે,$e^x < 1$,તેથી $|e^x-1| = 1-e^x$.
વક્રો જ્યારે $e^x = 1-e^x$ હોય ત્યારે છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $2e^x = 1$,અથવા $e^x = 1/2$,તેથી $x = \ln(1/2) = -\ln 2$.
ક્ષેત્રફળ $x = -\ln 2$ થી $x = 0$ સુધી વક્રો $y=e^x$ અને $y=1-e^x$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-\ln 2}^{0} [e^x - (1-e^x)] \, dx$
$= \int_{-\ln 2}^{0} (2e^x - 1) \, dx$
$= [2e^x - x]_{-\ln 2}^{0}$
$= (2e^0 - 0) - (2e^{-\ln 2} - (-\ln 2))$
$= (2 - 0) - (2(1/2) + \ln 2)$
$= 2 - (1 + \ln 2)$
$= 1 - \ln 2$.

(B) આપેલ પ્રદેશ $|x-y| \leq y \leq 4 \sqrt{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આ બે અસમતાઓ સૂચવે છે: $y \geq |x-y|$ અને $y \leq 4 \sqrt{x}$.
$y \geq |x-y|$ પરથી,આપણને $-y \leq x-y \leq y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x \geq 0$ અને $x \leq 2y$,અથવા $y \geq \frac{x}{2}$ થાય છે.
$y \leq 4 \sqrt{x}$ પરથી,આપણને $y^2 \leq 16x$ મળે છે (જ્યાં $y \geq 0$).
$y = \frac{x}{2}$ અને $y = 4 \sqrt{x}$ ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$\frac{x}{2} = 4 \sqrt{x} \Rightarrow x = 8 \sqrt{x} \Rightarrow x^2 = 64x \Rightarrow x(x-64) = 0$ લઈએ.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 64$ પર છે.
$x \in [0, 64]$ માટે,વક્ર $y = 4 \sqrt{x}$ એ રેખા $y = \frac{x}{2}$ ની ઉપર આવેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_0^{64} (4 \sqrt{x} - \frac{x}{2}) dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64} = \left[ \frac{8}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64}$.
$= \frac{8}{3} (64)^{3/2} - \frac{64^2}{4} = \frac{8}{3} (512) - \frac{4096}{4} = \frac{4096}{3} - 1024 = \frac{4096 - 3072}{3} = \frac{1024}{3}$.

(A) આ પ્રદેશ પરવલય $y^2 = 9x$ અને રેખા $y = 3x - 6$ દ્વારા બંધિત છે.
આકૃતિ મુજબ,છાયાંકિત પ્રદેશ $x=0$,$y^2=9x$ (નીચેની શાખા $y = -3\sqrt{x}$) અને $y=3x-6$ દ્વારા બંધિત છે.
$y = -3\sqrt{x}$ અને $y = 3x-6$ નું છેદબિંદુ શોધતા: $3x-6 = -3\sqrt{x} \implies x-2 = -\sqrt{x}$. ધારો કે $\sqrt{x} = t$,તો $t^2+t-2=0 \implies (t+2)(t-1)=0 \implies t=1 \implies x=1$.
$A = \int_{0}^{1} [(-3\sqrt{x}) - (3x-6)] dx = \int_{0}^{1} (-3x^{1/2} - 3x + 6) dx$
$A = [-3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{3x^2}{2} + 6x]_0^1 = [-2(1) - 1.5 + 6] = 2.5$.
$6A = 6 \times 2.5 = 15$.

(C) આપેલ છે કે વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x+1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે:
$y = \int (2x+1) dx = x^2 + x + c$
વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=2$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = (1)^2 + 1 + c$
$2 = 1 + 1 + c$
$2 = 2 + c \Rightarrow c = 0$
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + x$ છે.
વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખા $x=1$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીનું સંકલન છે (કારણ કે વક્ર $X$-અક્ષને $x^2+x=0$ એટલે કે $x(x+1)=0$ પર છેદે છે,જે $x=0$ અને $x=-1$ આપે છે):
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 (x^2+x) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$= \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right) - (0)$
$= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) ધારો કે $A_1$ એ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{3}$ સુધી $y = \cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
$A_1 = \int_{0}^{\pi/3} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ધારો કે $A_2$ એ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{3}$ સુધી $y = \cos 2x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
$A_2 = \int_{0}^{\pi/3} \cos 2x \, dx = [\frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi/3} = \frac{1}{2} (\sin(\frac{2\pi}{3}) - \sin(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/4} = \frac{4}{2} = 2: 1$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = 4a$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = 2 \int_{a}^{4a} y \, dx$
અહીં $y^2 = 4ax$ હોવાથી,$y = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ મળે (સંમિતિ માટે $x$-અક્ષની ઉપરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ લઈને તેને $2$ વડે ગુણતા).
$A = 2 \int_{a}^{4a} 2\sqrt{a} \sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{a} \int_{a}^{4a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{a}^{4a} = 4\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{a}^{4a}$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ (4a)^{3/2} - a^{3/2} \right]$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ 8a\sqrt{a} - a\sqrt{a} \right]$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ 7a\sqrt{a} \right] = \frac{56a^2}{3}$ ચો. એકમ.

(A) આપેલ વક્ર $y = |x - 2|$ છે.
આપણે $y = |x - 2|$,$x = 1$,$x = 3$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
વિધેય $y = |x - 2|$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$y = \begin{cases} -(x - 2) & \text{જો } x < 2 \\ x - 2 & \text{જો } x \ge 2 \end{cases}$
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{3} |x - 2| \, dx$
$x = 2$ આગળ સંકલનને વિભાજિત કરતા:
$A = \int_{1}^{2} -(x - 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$A = \left[ -\frac{(x - 2)^2}{2} \right]_{1}^{2} + \left[ \frac{(x - 2)^2}{2} \right]_{2}^{3}$
$A = \left( 0 - (-\frac{(1 - 2)^2}{2}) \right) + \left( \frac{(3 - 2)^2}{2} - 0 \right)$
$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વક્ર $x = 2 - y - y^2$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. $Y$-અક્ષ એ રેખા $x = 0$ છે.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકો:
$2 - y - y^2 = 0 \implies y^2 + y - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y + 2)(y - 1) = 0$,તેથી $y = -2$ અને $y = 1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-2}^{1} |x| dy = \int_{-2}^{1} (2 - y - y^2) dy$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [2y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}]_{-2}^{1}$.
$y = 1$ માટે: $2(1) - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 2 - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$.
$y = -2$ માટે: $2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}$.
$A = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વક્ર $y = a\sqrt{x} + bx$ એ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = a(1) + b(1)$,એટલે કે $a + b = 2$.
વક્ર,$x=4$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{4} (a\sqrt{x} + bx) dx = 8$ છે.
સંકલન કરતા: $[a \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + b \cdot \frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = 8$.
$x=4$ મુકતા: $a \cdot \frac{2}{3}(8) + b \cdot \frac{16}{2} = 8$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{16}{3}a + 8b = 8$ થાય છે.
$8$ વડે ભાગતા: $\frac{2}{3}a + b = 1$.
હવે આપણી પાસે સમીકરણો છે:
$1) a + b = 2$
$2) \frac{2}{3}a + b = 1$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(a - \frac{2}{3}a) = 2 - 1$,તેથી $\frac{1}{3}a = 1$,જેનો અર્થ $a = 3$.
$a=3$ ને $a+b=2$ માં મુકતા: $3 + b = 2$,તેથી $b = -1$.
આમ,$a - b = 3 - (-1) = 4$.

(A) આપેલ વક્ર $y = 4x - x^2$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $y = 0$ લઈએ:
$4x - x^2 = 0$
$x(4 - x) = 0$
તેથી,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 4$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx$
$A = [2x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}$
$A = (2(4)^2 - \frac{4^3}{3}) - (0)$
$A = (2 \times 16 - \frac{64}{3})$
$A = 32 - \frac{64}{3}$
$A = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=2^2$ છે,જેની ત્રિજ્યા $r=2$ અને કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
રેખા $x=1$ છે. વર્તુળ અને રેખાના છેદબિંદુઓ $x=1$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા મળે છે: $1^2+y^2=4 \implies y^2=3 \implies y=\pm\sqrt{3}$.
નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ $x=1$ થી $x=2$ સુધી વર્તુળ અને રેખા દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{1}^{2} y \, dx = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} \, dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = 2 [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{1}^{2}$.
$A = 2 [(\frac{2}{2}\sqrt{4-4} + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{4-1} + 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}))]$.
$A = 2 [(0 + 2(\frac{\pi}{2})) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2(\frac{\pi}{6}))]$.
$A = 2 [\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}] = 2 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

(D) વક્ર $y = \frac{x^2}{4}$,$X$-અક્ષ અને રેખા $x=4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} \frac{x^2}{4} dx = \left[ \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$.
રેખા $x=\alpha$ આ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગમાં વહેંચે છે,તેથી $x=0$ થી $x=\alpha$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોવું જોઈએ:
$\int_{0}^{\alpha} \frac{x^2}{4} dx = \frac{1}{2} \times \frac{16}{3} = \frac{8}{3}$.
સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{\alpha} = \frac{\alpha^3}{12} = \frac{8}{3}$.
$\alpha^3 = \frac{8 \times 12}{3} = 32$.
તેથી,$\alpha = (32)^{1/3}$.

(A) આપેલ વક્રો $y = |x - 4|$,$x = 3$,$x = 5$ અને $X$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $x \ge 4$ હોય તો $|x - 4| = x - 4$ અને જો $x < 4$ હોય તો $-(x - 4)$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$x = 4$ આગળ સંકલનનું વિભાજન કરતા:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$
$A = \int_{3}^{4} (4 - x) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[4x - \frac{x^2}{2}]_{3}^{4} = (16 - 8) - (12 - 4.5) = 8 - 7.5 = 0.5$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $[\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 0.5 + 0.5 = 1$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 27x$ છે.
પ્રદેશ પરવલય અને રેખા $x = 1$ દ્વારા આવૃત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે.
$y^2 = 27x$ હોવાથી,આપણને $y = \sqrt{27x} = 3\sqrt{3}\sqrt{x}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times \int_{0}^{1} y \, dx$ થશે.
$A = 2 \int_{0}^{1} 3\sqrt{3} \sqrt{x} \, dx = 6\sqrt{3} \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$.
$A = 6\sqrt{3} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = 6\sqrt{3} \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$.
$A = 4\sqrt{3} (1 - 0) = 4\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્ર $y = x|x|$ છે.
ક્ષેત્રફળ હંમેશા ધન હોય છે,તેથી માંગેલ ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{1} |x|x|| dx = \int_{-1}^{1} x^2 dx$ થશે.
$\text{Area} = \int_{-1}^{1} x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$.
$= 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$.
$= 2 \times \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2}{3} \text{ sq. units}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = \sqrt{49 - x^2}$ છે,જેનો અર્થ છે $y^2 = 49 - x^2$ અથવા $x^2 + y^2 = 7^2$. આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્રિત અને $r = 7$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે. કારણ કે $y = \sqrt{49 - x^2}$ હંમેશા અ-ઋણ છે,તે ઉપરનું અર્ધવર્તુળ દર્શાવે છે.
વક્ર અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-7}^{7} \sqrt{49 - x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{7} \sqrt{49 - x^2} \, dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{49 - x^2} + \frac{49}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{7} \right) \right]_{0}^{7}$
$= 2 \left[ \left( \frac{7}{2} \sqrt{49 - 49} + \frac{49}{2} \sin^{-1} (1) \right) - (0 + 0) \right]$
$= 2 \left[ 0 + \frac{49}{2} \times \frac{\pi}{2} \right] = \frac{49 \pi}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) $X$-અક્ષ માટે,$y=0$.
તેથી,$x(x-2)(x+1)=0$,જે $x=0, x=2, x=-1$ આપે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $-1$ થી $2$ સુધી $x$ ની સાપેક્ષમાં $|y|$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^0 y \, dx + \left| \int_0^2 y \, dx \right|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^0 (x^3-x^2-2x) \, dx + \left| \int_0^2 (x^3-x^2-2x) \, dx \right|$
સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int (x^3-x^2-2x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2$
$[-1, 0]$ અંતરાલ માટે:
$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^0 = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{-1}{3} - 1 \right) = - \left( \frac{3+4-12}{12} \right) = - \left( \frac{-5}{12} \right) = \frac{5}{12}$
$[0, 2]$ અંતરાલ માટે:
$\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_0^2 = \left( \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$
માનાંક લેતા,આપણને $|-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$ મળે છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5+32}{12} = \frac{37}{12}$ ચોરસ એકમ.

(C) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_{1}^{3} |x-2| dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે વિધેય $|x-2|$ એ $x=2$ આગળ તેની વ્યાખ્યા બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{2} -(x-2) dx + \int_{2}^{3} (x-2) dx$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\int_{1}^{2} (2-x) dx = [2x - \frac{x^2}{2}]_{1}^{2} = (4 - 2) - (2 - 0.5) = 2 - 1.5 = 0.5$.
બીજા ભાગની ગણતરી: $\int_{2}^{3} (x-2) dx = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^{3} = (4.5 - 6) - (2 - 4) = -1.5 - (-2) = 0.5$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $0.5 + 0.5 = 1 \text{ ચોરસ એકમ}$.