Area bounded by region of multi curve Questions in Gujarati

(A) વક્રો ${y^2} = 4ax$ અને $y = mx$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = mx$ ને ${y^2} = 4ax$ માં મૂકતા:
$(mx)^2 = 4ax \Rightarrow m^2x^2 - 4ax = 0 \Rightarrow x(m^2x - 4a) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = \frac{4a}{m^2}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{4a/m^2} (\sqrt{4ax} - mx) \,dx = \frac{a^2}{3}$.
સંકલન કરતા,$\left[ 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{mx^2}{2} \right]_0^{4a/m^2} = \frac{a^2}{3}$.
સીમાઓ મૂકતા: $\frac{4\sqrt{a}}{3} \left( \frac{4a}{m^2} \right)^{3/2} - \frac{m}{2} \left( \frac{4a}{m^2} \right)^2 = \frac{a^2}{3}$.
$\frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot \frac{8a^{3/2}}{m^3} - \frac{m}{2} \cdot \frac{16a^2}{m^4} = \frac{a^2}{3}$.
$\frac{32a^2}{3m^3} - \frac{8a^2}{m^3} = \frac{a^2}{3}$.
$\frac{a^2}{m^3} \left( \frac{32}{3} - 8 \right) = \frac{a^2}{3} \Rightarrow \frac{a^2}{m^3} \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{a^2}{3}$.
$\frac{8}{m^3} = 1 \Rightarrow m^3 = 8 \Rightarrow m = 2$.

(A) આપેલ વક્રો $y^2 = x$ અને $2y = x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = 2y$ ને $y^2 = x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 2y \Rightarrow y^2 - 2y = 0 \Rightarrow y(y - 2) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $y = 0$ અને $y = 2$ છે.
વક્રો દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં વક્રોના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{2} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{0}^{2} (2y - y^2) dy$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [y^2 - \frac{y^3}{3}]_{0}^{2} = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0 - 0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ અને $x = 2$ ની મર્યાદાઓ વચ્ચે ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ = $\int_0^2 [2^x - (2x - x^2)] \, dx$
$= \int_0^2 (2^x - 2x + x^2) \, dx$
$= \left[ \frac{2^x}{\log 2} - x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_0^2$
$= \left( \frac{2^2}{\log 2} - 2^2 + \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{2^0}{\log 2} - 0^2 + \frac{0^3}{3} \right)$
$= \left( \frac{4}{\log 2} - 4 + \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{\log 2} \right)$
$= \frac{4}{\log 2} - \frac{1}{\log 2} - 4 + \frac{8}{3}$
$= \frac{3}{\log 2} - \frac{12}{3} + \frac{8}{3}$
$= \frac{3}{\log 2} - \frac{4}{3}$.

(C) આપેલ વક્રો $y = x^3$ અને $y = \sqrt{x}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^3 = \sqrt{x}$ લો.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^6 = x$,જેનો અર્થ છે $x(x^5 - 1) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 1$ છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$\sqrt{x} \geq x^3$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^3) \, dx$.
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$.
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$.
$A = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0)$.
$A = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ પરવલયો $y = x^2 - 1$ અને $y = 1 - x^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 - 1 = 1 - x^2$ લો,જે $2x^2 = 2$ આપે છે,તેથી $x^2 = 1$,એટલે કે $x = \pm 1$.
બે વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $x = -1$ થી $x = 1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{1} ((1 - x^2) - (x^2 - 1)) \, dx$
$= \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) \, dx$
$= 2 \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx$
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx$
$= 4 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= 4 \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 4 \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલા સમીકરણો ${y^2 = 4x}$ અને ${x^2 = 4y}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,${y = \frac{x^2}{4}}$ ને ${y^2 = 4x}$ માં મૂકતા:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ ${x = 0}$ અને ${x = 4}$ છે.
વક્રો વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) \, dx$
$A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) \, dx$
$A = [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$
$A = [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) - (0 - 0)$
$A = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ વક્રો ${y^2} = 8x$ અને $y = x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = x$ ને ${y^2} = 8x$ માં મૂકતા:
${x^2} = 8x \Rightarrow {x^2} - 8x = 0 \Rightarrow x(x - 8) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 8$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{8} (\sqrt{8x} - x) \, dx = \int_{0}^{8} (2\sqrt{2}x^{1/2} - x) \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$= \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{8}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$= \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} (8)^{3/2} - \frac{8^2}{2} \right) - 0 = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2} - 32 \right) = \frac{128}{3} - 32 = \frac{128 - 96}{3} = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) વક્રો $y = \log_e x$ અને $y = (\log_e x)^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $\log_e x = (\log_e x)^2$ લઈને છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ.
ધારો કે $u = \log_e x$. તો $u = u^2$,જેનો અર્થ છે $u^2 - u = 0$,તેથી $u(u - 1) = 0$. આમ,$u = 0$ અથવા $u = 1$.
$u = 0$ માટે,$\log_e x = 0 \implies x = 1$. $u = 1$ માટે,$\log_e x = 1 \implies x = e$.
વક્રો $x = 1$ અને $x = e$ પર છેદે છે. અંતરાલ $[1, e]$ માં,$\log_e x \ge (\log_e x)^2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_1^e [\log_e x - (\log_e x)^2] \, dx$
$A = \int_1^e \log_e x \, dx - \int_1^e (\log_e x)^2 \, dx$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x$
$\int (\log_e x)^2 \, dx = x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x$
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_1^e \log_e x \, dx = [x \log_e x - x]_1^e = (e \log_e e - e) - (1 \log_e 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$
$\int_1^e (\log_e x)^2 \, dx = [x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x]_1^e = (e(1)^2 - 2e(1) + 2e) - (1(0)^2 - 2(1)(0) + 2(1)) = (e - 2e + 2e) - (2) = e - 2$
તેથી,$A = 1 - (e - 2) = 3 - e$.

(C) પરવલયો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 8ay$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$.
આ કિંમતને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 = 8a(2\sqrt{a}\sqrt{x}) = 16a^{3/2}x^{1/2}$.
$x^2 / x^{1/2} = 16a^{3/2} \implies x^{3/2} = 16a^{3/2}$.
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા,$x = (16a^{3/2})^{2/3} = 16^{2/3} a = (2^4)^{2/3} a = 2^{8/3}a$.
હવે,ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 2^{8/3}a$ સુધી ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_0^{2^{8/3}a} (\sqrt{4ax} - \frac{x^2}{8a}) dx$
$A = [2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{24a}]_0^{2^{8/3}a}$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (2^{8/3}a)^{3/2} - \frac{(2^{8/3}a)^3}{24a}$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (2^4 a^{3/2}) - \frac{2^8 a^3}{24a}$
$A = \frac{4 \cdot 16}{3} a^2 - \frac{256}{24} a^2 = \frac{64}{3} a^2 - \frac{32}{3} a^2 = \frac{32}{3} a^2$.

(B) વક્રો $y = x^2$ અને $y = |x|$ છે.
બંને વક્રો $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું થશે.
પ્રથમ ચરણમાં,$y = |x|$ એ $y = x$ બને છે.
છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $x^2 = x$ લેતા,$x(x - 1) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 0$ અને $x = 1$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $\int_0^1 (x - x^2) \, dx$ છે.
સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_0^1 (x - x^2) \, dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
તેથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ થાય છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = \pi^2$ છે,જે $r = \pi$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
પ્રથમ ચરણમાં,આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (\pi^2) = \frac{\pi^3}{4}$ થાય.
વક્ર $y = \sin x$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા પ્રથમ ચરણમાં ($x = 0$ થી $x = \pi$ સુધી) ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$ દ્વારા મળે છે.
આ સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ચતુર્થાંશના ક્ષેત્રફળમાંથી સાઈન વક્ર નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે: $\frac{\pi^3}{4} - 2 = \frac{\pi^3 - 8}{4}$.

(B) આપેલ વક્રો $y^2 = x$ અને $y = x^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = x^2$ માં $x = y^2$ મૂકતા,આપણને $y = (y^2)^2 = y^4$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $y^4 - y = 0$,તેથી $y(y^3 - 1) = 0$.
છેદબિંદુઓ $y = 0$ અને $y = 1$ પર છે.
$y = 0$ માટે $x = 0$ અને $y = 1$ માટે $x = 1$ મળે છે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{3}(1)^3 \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) વક્રો $y = x^2$ (અથવા $x = \sqrt{y}$) અને $x = y^2$ (અથવા $y = \sqrt{x}$) છે. તેઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ બિંદુએ છેદે છે.
$y-$અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવતા, ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ મળે:
$V = \pi \int_{0}^{1} (x_{outer}^2 - x_{inner}^2) dy$
અહીં, $y \in [0,1]$ માટે, $x_{outer} = \sqrt{y}$ અને $x_{inner} = y^2$ છે।
$V = \pi \int_{0}^{1} ((\sqrt{y})^2 - (y^2)^2) dy$
$V = \pi \int_{0}^{1} (y - y^4) dy$
$V = \pi [\frac{y^2}{2} - \frac{y^5}{5}]_{0}^{1} = \pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) = \frac{3\pi}{10}$.
જો આપણે $x=y^2$ અને $y=x^2$ વચ્ચેના પ્રદેશને $y-$અક્ષની આસપાસ ફેરવીએ, તો સંકલન $\pi \int_0^1 (y^2 - y^4) dy = \pi [\frac{y^3}{3} - \frac{y^5}{5}]_0^1 = \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{2\pi}{15}$ મળે છે. જે વિકલ્પ $(C)$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) પરવલય ${y^2} = 4ax$ અને રેખા $y = 2ax$ ના છેદબિંદુઓ આ સમીકરણોને એકસાથે ઉકેલીને મેળવવામાં આવે છે.
$y = 2ax$ ને ${y^2} = 4ax$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
${(2ax)^2} = 4ax$
$4{a^2}{x^2} = 4ax$
$4ax(ax - 1) = 0$
આનાથી $x = 0$ અથવા $x = \frac{1}{a}$ મળે છે.
$x = 0$ માટે,$y = 0$. $x = \frac{1}{a}$ માટે,$y = 2a(\frac{1}{a}) = 2$.
છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(\frac{1}{a}, 2)$ છે.
ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $x = 0$ થી $x = \frac{1}{a}$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_0^{1/a} (\sqrt{4ax} - 2ax) dx$
$= \int_0^{1/a} (2\sqrt{a}\sqrt{x} - 2ax) dx$
$= 2\sqrt{a} [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^{1/a} - 2a [\frac{x^2}{2}]_0^{1/a}$
$= 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} (\frac{1}{a})^{3/2} - a (\frac{1}{a})^2$
$= \frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot \frac{1}{a\sqrt{a}} - \frac{1}{a}$
$= \frac{4}{3a} - \frac{1}{a} = \frac{4-3}{3a} = \frac{1}{3a} \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) વક્ર ${x^2} = 4y$ અને રેખા $x = 4y - 2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$4y = x + 2$. આને પરવલયના સમીકરણ ${x^2} = 4y$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
${x^2} = x + 2$
${x^2} - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
તેથી,$x = 2$ અને $x = -1$.
જ્યારે $x = 2$,$4y = 4 \implies y = 1$. બિંદુ $A(2, 1)$.
જ્યારે $x = -1$,$4y = 1 \implies y = \frac{1}{4}$. બિંદુ $B(-1, \frac{1}{4})$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલ સંકલન છે:
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} \left( \frac{x+2}{4} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$= \frac{1}{4} \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{20 + 7}{6} \right] = \frac{1}{4} \times \frac{27}{6} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \, \text{sq. unit}$.

(D) વક્રો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 4ay$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$x^2 = 4ay$ પરથી,આપણને $y = \frac{x^2}{4a}$ મળે છે.
આને $y^2 = 4ax$ માં મૂકતા,આપણને $(\frac{x^2}{4a})^2 = 4ax$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^4}{16a^2} = 4ax$ થાય છે.
આમ,$x^4 = 64a^3x$,જે $x(x^3 - 64a^3) = 0$ આપે છે.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 4a$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = 4a$ સુધી ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે.
ઉપરનો વક્ર $y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ છે અને નીચેનો વક્ર $y = \frac{x^2}{4a}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{4a} (2\sqrt{a}\sqrt{x} - \frac{x^2}{4a}) dx$
$= [2\sqrt{a} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12a}]_0^{4a}$
$= [\frac{4}{3}\sqrt{a} \cdot (4a)^{3/2} - \frac{(4a)^3}{12a}]$
$= [\frac{4}{3}\sqrt{a} \cdot 8a\sqrt{a} - \frac{64a^3}{12a}]$
$= \frac{32}{3}a^2 - \frac{16}{3}a^2 = \frac{16}{3}a^2 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) વક્રો $y = ax^2$ અને $x = ay^2$ (અથવા ઉપરની શાખા માટે $y = \sqrt{x/a}$) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = ax^2$ ને $x = ay^2$ માં મૂકતા:
$x = a(ax^2)^2 = a^3x^4$
$x(a^3x^3 - 1) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x^3 = 1/a^3$,જે $x = 1/a$ આપે છે.
છેદબિંદુ $A$ એ $(1/a, 1/a)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_0^{1/a} (\sqrt{x/a} - ax^2) dx = 1$
$\int_0^{1/a} (\frac{1}{\sqrt{a}} x^{1/2} - ax^2) dx = 1$
$[\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{a}{3} x^3]_0^{1/a} = 1$
$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} (\frac{1}{a})^{3/2} - \frac{a}{3} (\frac{1}{a})^3 = 1$
$\frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 1$
$\frac{1}{3a^2} = 1$
$a^2 = 1/3$
કારણ કે $a > 0$,તેથી $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ વક્રો $y = \sqrt{x}$ (અથવા $x = y^2$) અને $2y + 3 = x$ (અથવા $y = \frac{x-3}{2}$) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2 = 2y + 3$ લો,જે $y^2 - 2y - 3 = 0$ આપે છે.
$(y - 3)(y + 1) = 0$,તેથી $y = 3$ અથવા $y = -1$.
આપણે $1^{st}$ ચરણમાં હોવાથી,$y = 3$ લેતા,જે $x = 9$ સૂચવે છે.
રેખા $2y + 3 = x$ એ $x$-અક્ષને $y = 0$ પર છેદે છે,તેથી $x = 3$.
ક્ષેત્રફળ $x = 0$ થી $x = 3$ સુધી $y = \sqrt{x}$ દ્વારા અને $x = 3$ થી $x = 9$ સુધી વક્રોના તફાવત દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^3 \sqrt{x} \, dx + \int_3^9 \left( \sqrt{x} - \frac{x-3}{2} \right) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^3 + \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - 3x \right) \right]_3^9$
$= \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + \left( \left[ \frac{2}{3}(27) - \frac{1}{2} \left( \frac{81}{2} - 27 \right) \right] - \left[ \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \left( \frac{9}{2} - 9 \right) \right] \right)$
$= 2\sqrt{3} + 18 - \frac{1}{2} \left( \frac{27}{2} \right) - 2\sqrt{3} + \frac{1}{2} \left( -\frac{9}{2} \right)$
$= 18 - \frac{27}{4} - \frac{9}{4} = 18 - \frac{36}{4} = 18 - 9 = 9 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) $x=0, x=4, y=0, y=4$ દ્વારા ઘેરાયેલા ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times 4 = 16$ ચોરસ એકમ છે.
ક્ષેત્રફળ $S_2$ એ બે પરવલયો $y^2 = 4x$ અને $x^2 = 4y$ વચ્ચે ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4)$ છે.
$S_2 = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx = \int_0^4 (2x^{1/2} - \frac{x^2}{4}) dx = [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4 = \frac{4}{3}(8) - \frac{64}{12} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$.
ક્ષેત્રફળ $S_1$ એ $x=0, y=4$ અને પરવલય $y^2=4x$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
$S_1 = \int_0^4 (4 - 2\sqrt{x}) dx = [4x - \frac{4}{3}x^{3/2}]_0^4 = 16 - \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$.
સમાન રીતે,સમપ્રમાણતા દ્વારા $S_3 = \frac{16}{3}$.
આમ,$S_1:S_2:S_3 = \frac{16}{3} : \frac{16}{3} : \frac{16}{3} = 1:1:1$.

(D) વક્રો $y = (x + 1)^2$ અને $y = (x - 1)^2$ છે. રેખા $y = \frac{1}{4}$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,ક્ષેત્રફળ એ $y = (x - 1)^2$,$y$-અક્ષ $(x=0)$ અને રેખા $y = \frac{1}{4}$ દ્વારા $x \ge 0$ વિસ્તારમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે.
$y = (x - 1)^2$ માટે,$x - 1 = \pm \sqrt{y}$,તેથી $x = 1 \pm \sqrt{y}$. જમણી બાજુની શાખા માટે,$x = 1 - \sqrt{y}$ જ્યાં $x \in [0, 1]$.
$y = (x - 1)^2$ અને $y = \frac{1}{4}$ નું છેદબિંદુ $(x - 1)^2 = \frac{1}{4}$ આપે છે,તેથી $x - 1 = -1/2$ (કારણ કે $x < 1$),જેનો અર્થ છે $x = 1/2$.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{1/4}^{1} (1 - \sqrt{y}) dy = 2 [y - \frac{2}{3} y^{3/2}]_{1/4}^{1} = 2 [(1 - 2/3) - (1/4 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8})] = 2 [1/3 - (1/4 - 1/12)] = 2 [1/3 - 2/12] = 2 [1/3 - 1/6] = 2 [1/6] = 1/3$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્રો $y = x^2$ $(i)$ અને $y = 2 - x^2$ $(ii)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 = 2 - x^2$ લો,જે $2x^2 = 2$ આપે છે,તેથી $x^2 = 1$,જેનો અર્થ છે $x = \pm 1$.
વક્રો $x = -1$ અને $x = 1$ પર છેદે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ છેદબિંદુઓ વચ્ચે ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલ સંકલન છે:
$\text{Area} = \int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) \, dx$
$= \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) \, dx$
કારણ કે વિધેય યુગ્મ છે,આપણે લખી શકીએ:
$= 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) \, dx$
$= 2 [2x - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 [2(1) - \frac{2(1)^3}{3}]$
$= 2 [2 - \frac{2}{3}]$
$= 2 [\frac{4}{3}] = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણો $x^2 + y^2 = 9$ $(i)$ અને $y^2 = 8x$ $(ii)$ છે.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$x^2 + 8x - 9 = 0$ મળે,જેના અવયવો $(x + 9)(x - 1) = 0$ થાય.
આમ,$x = 1$ (કારણ કે $y^2 = 8x$ માટે $x = -9$ શક્ય નથી).
$x = 1$ પર,$y^2 = 8$,તેથી $y = \pm 2\sqrt{2}$. છેદબિંદુઓ $(1, 2\sqrt{2})$ અને $(1, -2\sqrt{2})$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \int_{0}^{1} \sqrt{8x} \, dx + 2 \times \int_{1}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx$.
$= 2 \times 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) \right]_{1}^{3}$.
$= 4\sqrt{2} \left( \frac{2}{3} \right) + 2 \left[ \left( 0 + \frac{9}{2}\sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{9}{2}\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \right) \right]$.
$= \frac{8\sqrt{2}}{3} + 2 \left[ \frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2}\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \right]$.
$= \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 9\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(B) આપેલ વક્રો $y = |x| - 1$ અને $y = -|x| + 1$ છે.
આ વક્રો $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો એક ચોરસ બનાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે પ્રદેશોનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ:
$x \ge 0$ માટે,વક્રો $y = x - 1$ અને $y = -x + 1$ છે.
$x < 0$ માટે,વક્રો $y = -x - 1$ અને $y = x + 1$ છે.
આ પ્રદેશ બંને અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $y = x - 1$ અને $y = -x + 1$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
વાસ્તવમાં,આ પ્રદેશ $y = x - 1, y = -x - 1, y = -x + 1,$ અને $y = x + 1$ રેખાઓ દ્વારા બનેલો ચોરસ છે.
આ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 4 \times (\text{એક ચરણમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ})$.
દરેક ચરણમાં ત્રિકોણનો પાયો $1$ અને ઊંચાઈ $1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \times (\frac{1}{2} \times 1 \times 1) = 2$ ચોરસ એકમ.

(B) $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ ના છેદબિંદુઓ $\sin x = \cos x$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan x = 1$. તેથી,$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$,જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
બે ક્રમિક છેદબિંદુઓ વચ્ચેનો અંતરાલ ધ્યાનમાં લો,જેમ કે $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right]$.
આ અંતરાલમાં,$\sin x \ge \cos x$ છે.
આવા એક પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4}$
$A = \left( -\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) - \left( -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right)$
$A = \left( -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \right) - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$A = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -\frac{2}{\sqrt{2}} \right)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) વક્રો $y^2 = x$ અને $y = |x|$ છે.
$y = |x|$ હોવાથી,વક્રો $y^2 = x$ અને $y = x$ ($x \ge 0$ માટે) અને $y = -x$ ($x < 0$ માટે) છે.
જોકે,$y^2 = x$ સૂચવે છે કે $x \ge 0$,તેથી આપણે ફક્ત $x \ge 0$ અને $y = x$ વાળો પ્રદેશ ધ્યાનમાં લઈશું.
છેદબિંદુઓ $x^2 = x$ દ્વારા મળે છે,જે $x(x-1) = 0$ આપે છે,તેથી $x = 0$ અને $x = 1$.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$\sqrt{x} \ge x$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$.
$= \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.

(D) આપેલ વક્રો $x = -2y^2$ અને $x = 1 - 3y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$-2y^2 = 1 - 3y^2$ લેતા,જે $y^2 = 1$ આપે છે,તેથી $y = \pm 1$.
જ્યારે $y = \pm 1$,ત્યારે $x = -2(1)^2 = -2$. આમ,છેદબિંદુઓ $(-2, 1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = -1$ થી $y = 1$ સુધી વક્રોના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 3y^2) - (-2y^2)) dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) dy$
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{-1}^{1}$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3})$
$A = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $(y-2)^2 = x-1$ છે.
બિંદુ $(2,3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-y_1 = m(x-x_1)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
પ્રથમ,પરવલયના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(y-2) \frac{dy}{dx} = 1$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(y-2)}$.
$(2,3)$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{1}{2(3-2)} = \frac{1}{2}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-3 = \frac{1}{2}(x-2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2y-6 = x-2$ અથવા $x = 2y-4$ થાય છે.
આ પ્રદેશ પરવલય $x = (y-2)^2 + 1$,સ્પર્શક $x = 2y-4$ અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
સ્પર્શકનું $x$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ $y=0$ મુકતા $x = 2(0)-4 = -4$ મળે છે.
$y$ ની સાપેક્ષમાં $y=0$ થી $y=3$ સુધી સંકલન કરતા:
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{3} [x_{parabola} - x_{tangent}] dy = \int_{0}^{3} [((y-2)^2 + 1) - (2y-4)] dy$
$A = \int_{0}^{3} [y^2 - 4y + 4 + 1 - 2y + 4] dy = \int_{0}^{3} [y^2 - 6y + 9] dy$
$A = \int_{0}^{3} (y-3)^2 dy = \left[ \frac{(y-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - \left( \frac{-27}{3} \right) = 9$.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[0, \frac{3\pi}{2}]$ પર બે વિધેયોના તફાવતના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x - \sin x| dx$
જ્યાં $\cos x = \sin x$ થાય તેવા છેદબિંદુઓ $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{5\pi}{4}$ છે.
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} (\cos x - \sin x) dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$1$) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$
$2$) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$3$) $\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} = (-1 + 0) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2}$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = (\sqrt{2} - 1) + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) = 4\sqrt{2} - 2$.

(B) આપેલ વક્રો $y = x$,$y = \frac{1}{x}$,$x = e$ અને ધન $X$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
$y = x$ અને $y = \frac{1}{x}$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે $x = \frac{1}{x}$ લેતા,$x^2 = 1$ મળે છે. પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x = 1$ મળે. આમ,છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
આ પ્રદેશ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી $y = x$ દ્વારા અને $x = 1$ થી $x = e$ સુધી $y = \frac{1}{x}$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $\int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + [\ln |x|]_{1}^{e}$
$= \left( \frac{1}{2} - 0 \right) + (\ln e - \ln 1)$
$= \frac{1}{2} + (1 - 0) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = \frac{x^2}{4}$ ને $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x$
$\frac{x^4}{16} = 4x$
$x^4 = 64x$
$x(x^3 - 64) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 4$.
જ્યારે $x = 0, y = 0$. જ્યારે $x = 4, y = 4$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4)$ છે.
આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}$
$= [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$
$= (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) - 0$
$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ પરવલયો $x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$ અને $x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$ છે.
આ પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 2$ સુધી $x = 3\sqrt{y}$ (જમણી વક્ર) અને $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (ડાબી વક્ર) દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
$A = 2 \int_{0}^{2} \left( 3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2} \right) dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 5 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{0}^{2}$
$A = \frac{10}{3} \left( 2^{3/2} - 0 \right) = \frac{10}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{20\sqrt{2}}{3}$

(A) આપેલ વક્રો $y = \sqrt{x} \implies x = y^2$ $(1)$ અને $2y - x + 3 = 0 \implies x = 2y + 3$ $(2)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = y^2$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$2y - y^2 + 3 = 0 \implies y^2 - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0$.
પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,આપણે $y = 3$ લઈએ છીએ. $y = 3$ પર,$x = 9$ મળે છે.
આ પ્રદેશ $X$-અક્ષ $(y=0)$,વક્ર $x = y^2$ ($y=0$ થી $y=3$ સુધી) અને રેખા $x = 2y+3$ ($y=0$ થી $y=3$ સુધી) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{3} (x_{line} - x_{curve}) \, dy = \int_{0}^{3} ((2y + 3) - y^2) \, dy$ દ્વારા મળે છે.
$= [y^2 + 3y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{3} = (3^2 + 3(3) - \frac{3^3}{3}) - (0) = 9 + 9 - 9 = 9$ ચોરસ એકમ.

(C) આ પ્રદેશ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ અને પરવલય $y^2 = 1-x$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2 = 1-x$ ને $x^2 + y^2 = 1$ માં મૂકતા:
$x^2 + (1-x) = 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 1$.
$x = 0$ માટે,$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$. $x = 1$ માટે,$y^2 = 0 \implies y = 0$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{0} 2\sqrt{1-x} \, dx + \int_{0}^{1} 2\sqrt{1-x^2} \, dx$.
ગણતરી કરતા,કુલ ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$ મળે છે.

(D) આ પ્રદેશ $y^2 \geq 2x$ (પરવલયની બહાર) અને $x^2+y^2 \leq 4x$ (વર્તુળની અંદર) દ્વારા ચોથા ચરણમાં $(x \geq 0, y \leq 0)$ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(2,0)$ અને ત્રિજ્યા $2$ છે.
$y^2 = 2x$ અને $x^2+y^2 = 4x$ ના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $y^2 = 2x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + 2x = 4x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$.
તેથી,$x=0$ અને $x=2$. $x=2$ માટે,$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$. $y \leq 0$ હોવાથી,છેદબિંદુ $(2, -2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ એ ચોથા ચરણમાં $x=0$ થી $x=2$ સુધી વર્તુળ અને પરવલય વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (\sqrt{4x-x^2} - \sqrt{2x}) dx = \pi - \frac{8}{3}$.

(A) આ પ્રદેશ $x=0$,$y=1+\sqrt{x}$,$x+y=3$,અને $y=\frac{x^2}{4}$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
આલેખ પરથી,છેદબિંદુઓ $(1,2)$ અને $(2,1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} (1+\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx + \int_{1}^{2} (3-x - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = \left[ x + \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{1} + \left[ 3x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{12} \right]_{1}^{2}$
$A = (1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{12}) + [(6 - 2 - \frac{8}{12}) - (3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{12})]$
$A = (\frac{12+8-1}{12}) + [(4 - \frac{2}{3}) - (2.5 - \frac{1}{12})]$
$A = \frac{19}{12} + (\frac{10}{3} - \frac{29}{12}) = \frac{19}{12} + \frac{40-29}{12} = \frac{19+11}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$ ચોરસ એકમ.

(C) $y = |x - 1|$ અને $y = 3 - |x|$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા વક્રોના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$x \ge 1$ માટે,$y = x - 1$ અને $y = 3 - |x|$. જો $x \ge 1$ હોય,તો $x - 1 = 3 - x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. $x = 2$ પર,$y = 1$.
$x < 0$ માટે,$y = 1 - x$ અને $y = 3 + x$. તો $1 - x = 3 + x \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$. $x = -1$ પર,$y = 2$.
$0 \le x < 1$ માટે,$y = 1 - x$ અને $y = 3 - x$. આ રેખાઓ સમાંતર છે અને એકબીજાને છેદતી નથી.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{2} (3 - |x| - |x - 1|) dx$
આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્યોની વ્યાખ્યાના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{-1}^{0} ((3 + x) - (1 - x)) dx + \int_{0}^{1} ((3 - x) - (1 - x)) dx + \int_{1}^{2} ((3 - x) - (x - 1)) dx$
$A = \int_{-1}^{0} (2 + 2x) dx + \int_{0}^{1} (2) dx + \int_{1}^{2} (4 - 2x) dx$
$A = [2x + x^2]_{-1}^{0} + [2x]_{0}^{1} + [4x - x^2]_{1}^{2}$
$A = (0 - (-2 + 1)) + (2 - 0) + ((8 - 4) - (4 - 1))$
$A = 1 + 2 + (4 - 3) = 1 + 2 + 1 = 4 \text{ sq. units}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલય $x^2 + 9y^2 = 9$ અને રેખા $x + 3y = 3$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ઉપવલય માટે,$x^2 = 9(1 - y^2)$.
રેખા માટે,$x = 3 - 3y$,તેથી $x^2 = (3 - 3y)^2 = 9(1 - y)^2$.
$y$ માટે સંકલનની સીમાઓ $0$ થી $1$ છે.
$y$-અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણથી મળતું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \int_0^1 \pi x_{\text{ellipse}}^2 dy - \int_0^1 \pi x_{\text{line}}^2 dy$
$V = \int_0^1 \pi [9(1 - y^2)] dy - \int_0^1 \pi [9(1 - y)^2] dy$
$V = 9\pi \int_0^1 (1 - y^2 - (1 - 2y + y^2)) dy$
$V = 9\pi \int_0^1 (2y - 2y^2) dy$
$V = 18\pi \int_0^1 (y - y^2) dy$
$V = 18\pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_0^1$
$V = 18\pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 18\pi \left( \frac{1}{6} \right) = 3\pi$.

(D) આપેલ વક્રો $x^2 + y^2 = 9$ (કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $3$ વાળું વર્તુળ) અને $x^2 + y^2 - 6x = 0$ (કેન્દ્ર $(3,0)$ અને ત્રિજ્યા $3$ વાળું વર્તુળ) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 + y^2 = 9$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $9 - 6x = 0 \Rightarrow x = 3/2$.
$x = 3/2$ માટે,$y^2 = 9 - (3/2)^2 = 9 - 9/4 = 27/4$,તેથી $y = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
બંને વક્રો વચ્ચેનો સામાન્ય વિસ્તાર $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. વિસ્તાર $A = 2 \left[ \int_{0}^{3/2} \sqrt{6x - x^2} \, dx + \int_{3/2}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx \right]$ દ્વારા મળે છે.
આ સંકલનોની ગણતરી કરતા,આપણને $A = 2 \left[ \left( \frac{9\pi}{8} - \frac{9\sqrt{3}}{8} \right) + \left( \frac{9\pi}{4} - \frac{9\pi}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8} \right) \right] = 3\left( \pi - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$ મળે છે.

(D) વક્ર $y = x^2 - 1$ અને રેખા $y = 3 - x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોને સરખાવીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^2 - 1 = 3 - x$
$x^2 + x - 4 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$
ધારો કે $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ અને $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{x_1}^{x_2} [(3 - x) - (x^2 - 1)] dx = \int_{x_1}^{x_2} (4 - x - x^2) dx$
$A = [4x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{x_1}^{x_2}$
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા કે જો $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ હોય,તો સંકલન $\int_{\alpha}^{\beta} (ax^2 + bx + c) dx = -\frac{a}{6}(\beta - \alpha)^3$ થાય,જ્યાં $a = -1$ અને $(\beta - \alpha) = \sqrt{17}$:
$A = -\frac{-1}{6} (\sqrt{17})^3 = \frac{17\sqrt{17}}{6}$.

(B) વક્રો $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ એ $x = \frac{\pi}{4}$ પર છેદે છે.
$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ માટે,ક્ષેત્રફળ $y = \sin x$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,ક્ષેત્રફળ $y = \cos x$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$
$A = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + [\sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = \left(-\cos \frac{\pi}{4} - (-\cos 0)\right) + \left(\sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4}\right)$
$A = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} + 1\right) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$A = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$

(A) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_0, y_0) = (x_0, x_0^2 + 1)$ છે.
$(x_0, x_0^2 + 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x_0$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (x_0^2 + 1) = 2x_0(x - x_0)$ છે.
સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી:
$0 - (x_0^2 + 1) = 2x_0(0 - x_0)$
$-x_0^2 - 1 = -2x_0^2$
$x_0^2 = 1 \implies x_0 = \pm 1$.
$x_0 = 1$ માટે,સ્પર્શક $y = 2x$ છે અને $x_0 = -1$ માટે,સ્પર્શક $y = -2x$ છે.
વક્ર $y = x^2 + 1$ અને સ્પર્શકો $y = 2x$ તથા $y = -2x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે.
$A = 2 \int_{0}^{1} ((x^2 + 1) - 2x) dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx$
$A = 2 \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$A = 2 \left( 0 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$.

(D) વક્રો $y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2$ અને $x = -\sqrt{y} \Rightarrow y = x^2$ ($x < 0$ માટે) છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ સાથેના છેદબિંદુઓ $B(1, 1)$ અને $A(-1, 1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળ $y = \sqrt{2 - x^2}$ અને વક્રો $y = x^2$ ($x < 0$ માટે) તથા $y = \sqrt{x}$ ($x > 0$ માટે) દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{-1}^{0} (\sqrt{2 - x^2} - x^2) dx + \int_{0}^{1} (\sqrt{2 - x^2} - \sqrt{x}) dx$
સંકલન કરતા:
$\int_{-1}^{0} \sqrt{2 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{2 - x^2} + \arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})]_{-1}^{0} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\int_{-1}^{0} -x^2 dx = [-\frac{x^3}{3}]_{-1}^{0} = -\frac{1}{3}$
$\int_{0}^{1} \sqrt{2 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{2 - x^2} + \arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\int_{0}^{1} -\sqrt{x} dx = [-\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{1} = -\frac{2}{3}$
સરવાળો કરતા: $A = (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}) = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ છે,જેને $(x-1)^2 + y^2 = 1^2$ તરીકે લખી શકાય. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
વર્તુળના ઉપરના અર્ધ ભાગનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{\pi}{2}$ છે.
વક્ર $y = \sin \frac{\pi x}{2}$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચે $x = 0$ થી $x = 2$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} dx = \left[ -\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2} \right]_{0}^{2} = -\frac{2}{\pi} (\cos \pi - \cos 0) = -\frac{2}{\pi} (-1 - 1) = \frac{4}{\pi}$.
વર્તુળ અને વક્ર દ્વારા ઉપરના અર્ધ ભાગમાં ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી સાઈન વક્ર નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે: $\frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્રો $y = x^2 - 4x$ અને $y = 2x - x^2$ છે. છેદબિંદુઓ: $x^2 - 4x = 2x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x - 3) = 0$,તેથી $x = 0$ અને $x = 3$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{3} |(2x - x^2) - (x^2 - 4x)| \, dx = \int_{0}^{3} |6x - 2x^2| \, dx = [3x^2 - \frac{2}{3}x^3]_{0}^{3} = (27 - 18) = 9$.
$x$-અક્ષ પ્રદેશને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: એક $x$-અક્ષની ઉપર અને એક નીચે.
$x$-અક્ષની ઉપરનો ભાગ $y = 2x - x^2$ દ્વારા $x = 0$ થી $x = 2$ સુધી ઘેરાયેલો છે. ક્ષેત્રફળ $A_1 = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
$x$-અક્ષની નીચેનો ભાગ $y = x^2 - 4x$ દ્વારા $x = 0$ થી $x = 3$ સુધી અને $y = 2x - x^2$ દ્વારા $x = 2$ થી $x = 3$ સુધી ઘેરાયેલો છે. $x$-અક્ષની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_2 = A - A_1 = 9 - \frac{4}{3} = \frac{23}{3}$.
ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4/3}{23/3} = \frac{4}{23}$ છે.

(D) $y = x(x - 3)^2$ અને $y = x$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ: $x(x - 3)^2 = x$.
$x((x - 3)^2 - 1) = 0$
$x(x^2 - 6x + 9 - 1) = 0$
$x(x^2 - 6x + 8) = 0$
$x(x - 2)(x - 4) = 0$
છેદબિંદુઓ $x = 0, 2, 4$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{2} (x(x - 3)^2 - x) dx + \int_{2}^{4} (x - x(x - 3)^2) dx$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ સંકલન: $\int_{0}^{2} (x^3 - 6x^2 + 8x) dx = [\frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2]_{0}^{2} = (4 - 16 + 16) - 0 = 4$.
બીજું સંકલન: $\int_{2}^{4} (-x^3 + 6x^2 - 8x) dx = [-\frac{x^4}{4} + 2x^3 - 4x^2]_{2}^{4} = (-64 + 128 - 64) - (-4 + 16 - 16) = 0 - (-4) = 4$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $4 + 4 = 8$ ચોરસ એકમ.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ આપેલ સીમાઓ વચ્ચે વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે:
$A = \int_{\frac{\pi}{6a}}^{\frac{5\pi}{6a}} |\cos ax| \, dx$
કારણ કે વિધેય $\cos ax$ એ $ax = \frac{\pi}{2}$ એટલે કે $x = \frac{\pi}{2a}$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{\frac{\pi}{6a}}^{\frac{\pi}{2a}} \cos ax \, dx + \int_{\frac{\pi}{2a}}^{\frac{5\pi}{6a}} -\cos ax \, dx$
ધારો કે $t = ax$,તો $dt = a \, dx$:
$A = \frac{1}{a} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt - \frac{1}{a} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos t \, dt$
$A = \frac{1}{a} [\sin t]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{a} [\sin t]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}}$
$A = \frac{1}{a} (1 - \frac{1}{2}) - \frac{1}{a} (\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{a} (\frac{1}{2}) - \frac{1}{a} (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2a} + \frac{1}{2a} = \frac{1}{a}$
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $3$ કરતા વધારે છે:
$\frac{1}{a} > 3 \implies a < \frac{1}{3}$
કારણ કે $a$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી વિસ્તાર $(0, 1/3)$ છે.

(D) વક્રો $x = y^2 - 1$ અને $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ છે.
બંને વક્રો $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ પ્રથમ ચરણમાં $y \in [0, 1]$ માટેના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું થશે.
પ્રથમ ચરણમાં,$x = y \sqrt{1 - y^2}$ અને $x = y^2 - 1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = 2 \int_{0}^{1} [y \sqrt{1 - y^2} - (y^2 - 1)] \, dy$
$A = 2 \left[ \int_{0}^{1} y \sqrt{1 - y^2} \, dy - \int_{0}^{1} (y^2 - 1) \, dy \right]$
ધારો કે $u = 1 - y^2$,તો $du = -2y \, dy$,તેથી $y \, dy = -\frac{1}{2} du$.
જ્યારે $y=0, u=1$; જ્યારે $y=1, u=0$.
$\int_{0}^{1} y \sqrt{1 - y^2} \, dy = -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$\int_{0}^{1} (y^2 - 1) \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} - y \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.
તેથી,$A = 2 \left[ \frac{1}{3} - (-\frac{2}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right] = 2(1) = 2$.

(B) આપેલા વક્રોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $y = \ln x$ એ $x > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$2$. $y = \ln |x|$ એ $x \neq 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$3$. $y = |\ln x|$ એ $x > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$4$. $y = |\ln |x||$ એ $x \neq 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે. આ વક્રો $x = 1, x = -1, x = 0$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા નિર્ધારિત ચાર ચરણોમાં ચાર સમાન પ્રદેશો બનાવે છે.
દરેક પ્રદેશ $y = |\ln |x||$ વક્ર અને $x = 0$ થી $x = 1$ (અથવા $x = -1$ થી $x = 0$) વચ્ચેના $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
આવા એક પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_0^1 |\ln x| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $0 < x < 1$ માટે $\ln x < 0$ છે,તેથી $|\ln x| = -\ln x$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 -\ln x \, dx = -[x \ln x - x]_0^1 = -((1 \cdot 0 - 1) - (0)) = 1$.
આવા ચાર સમાન પ્રદેશો હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times 1 = 4$ થાય.

(A) આપેલ વક્ર $y = ax^2 + bx + c$ છે.
તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = a(1)^2 + b(1) + c$,એટલે કે $a + b + c = 2$ ... $(1)$.
તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = a(0)^2 + b(0) + c$,એટલે કે $c = 0$.
$c = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $a + b = 2$ મળે છે ... $(2)$.
ઉગમબિંદુ પર સ્પર્શક $y = x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે.
$\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ હોવાથી,$x = 0$ પર $\frac{dy}{dx} = b$. આમ,$b = 1$.
$(2)$ પરથી,$a + 1 = 2$,તેથી $a = 1$.
વક્ર $y = x^2 + x$ છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય ત્યાં મળે છે જ્યાં $\frac{dy}{dx} = 2x + 1 = 0$,જે $x = -\frac{1}{2}$ આપે છે.
વક્ર $y = x^2 + x$,સ્પર્શક $y = x$ અને યામ $x = -\frac{1}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{-\frac{1}{2}}^{0} (x - (x^2 + x)) \, dx = \int_{-\frac{1}{2}}^{0} (-x^2) \, dx$.
$A = \left[ -\frac{x^3}{3} \right]_{-\frac{1}{2}}^{0} = 0 - \left( -\frac{(-\frac{1}{2})^3}{3} \right) = -\frac{1}{24}$.
ક્ષેત્રફળ હંમેશા ધન હોવાથી,$A = \frac{1}{24} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વક્ર $y = \min \{\sin^2x, \cos^2x \}$ એ બિંદુઓ જ્યાં $\sin^2x = \cos^2x$ થાય છે ત્યાં તેની વ્યાખ્યા બદલે છે,એટલે કે $\tan^2x = 1$,જે $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ આપે છે.
અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં,$\sin^2x \leq \cos^2x$,તેથી $y = \sin^2x$.
અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ માં,$\cos^2x \leq \sin^2x$,તેથી $y = \cos^2x$.
અંતરાલ $[\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ માં,$\sin^2x \leq \cos^2x$,તેથી $y = \sin^2x$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2x \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cos^2x \, dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \sin^2x \, dx$.
$\sin^2x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ અને $\cos^2x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-\cos 2x}{2} dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1+\cos 2x}{2} dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \frac{1-\cos 2x}{2} dx$.
$A = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} + \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$.
$A = (\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}) + ((\frac{3\pi}{8} - \frac{1}{4}) - (\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4})) + ((\frac{5\pi}{8} - 0) - (\frac{3\pi}{8} + \frac{1}{4}))$.
$A = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + \frac{2\pi}{8} - \frac{2}{4} + \frac{2\pi}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5\pi}{8} - 1 = \frac{5\pi - 8}{8}$.