Area bounded by region of single curve Questions in Gujarati

(B) રેખાનું સમીકરણ $2y + x = 8$ છે,જેને $y = \frac{8 - x}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ નિશ્ચિત સંકલન $\int_{2}^{4} y \, dx = \int_{2}^{4} \frac{8 - x}{2} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \frac{1}{2} \int_{2}^{4} (8 - x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left[ 8x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4}$
$= \frac{1}{2} \left( (8(4) - \frac{4^2}{2}) - (8(2) - \frac{2^2}{2}) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( (32 - 8) - (16 - 2) \right)$
$= \frac{1}{2} (24 - 14) = \frac{10}{2} = 5 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$f(x) = -x^2$,$a = 1$ અને $b = 4$ છે.
કારણ કે $x \in [1, 4]$ માટે $y = -x^2$ એ $x$-અક્ષની નીચે આવેલું છે,તેથી ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{1}^{4} | -x^2 | \, dx = \int_{1}^{4} x^2 \, dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3}$
$A = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = \frac{63}{3} = 21 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ અંતરાલો પરના સંકલનોના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો છે જ્યાં વિધેય ઋણ અને ધન હોય છે.
$A = \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$
કારણ કે $x \in [-1, 0]$ માટે $x < 0$ અને $x \in [0, 2]$ માટે $x > 0$ છે,તેથી:
$A = \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} (x) dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$A = (0 - (-\frac{(-1)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - 0)$
$A = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$

(D) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ એ $x=1$ થી $x=4$ સુધીના વિધેય $y=x^{3}$ ના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{4} x^{3} dx$
સંકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$,આપણને મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{4}$
હવે,સીમાઓ લાગુ કરતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{4} [4^{4} - 1^{4}]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{4} [256 - 1]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{255}{4} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) પરવલય $x^2 = 4y$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $x = \pm 2\sqrt{y}$.
ક્ષેત્રફળ $Y$-અક્ષ અને પ્રથમ ચરણમાં પરવલય દ્વારા ઘેરાયેલું હોવાથી,આપણે $x = 2\sqrt{y}$ લઈશું.
વક્ર $x = f(y)$,$Y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 2$ તથા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = 2 \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$
$A = \frac{4}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}]$
$A = \frac{4}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{4}{3}(8 - 2\sqrt{2})$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=4x-x^{2}$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=0$ લેતા:
$x(4-x)=0 \Rightarrow x=0$ અથવા $x=4$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=4$ સુધીનું વિધેયનું સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{4} (4x-x^{2}) dx$
$A = \left[ \frac{4x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left[ 2x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left( 2(4)^{2} - \frac{(4)^{3}}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \left( 2(16) - \frac{64}{3} \right) = 32 - \frac{64}{3}$
$A = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}=16y$ છે,જે પ્રથમ ચરણ માટે $x=4\sqrt{y}$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ વક્ર $x=4\sqrt{y}$,$Y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y=1$ તથા $y=4$ દ્વારા આવૃત છે.
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} 4\sqrt{y} \, dy$
$A = 4 \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = 4 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{8}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]$
$A = \frac{8}{3} [8 - 1]$
$A = \frac{8}{3} \times 7 = \frac{56}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેયના માનાંકના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-\pi}^{\frac{3\pi}{2}} |\sin x| dx$
આપણે $\sin x$ ની નિશાનીના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{-\pi}^{0} |\sin x| dx + \int_{0}^{\pi} |\sin x| dx + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} |\sin x| dx$
કારણ કે $x \in [-\pi, 0]$ અને $x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$ માટે $\sin x \le 0$ છે,અને $x \in [0, \pi]$ માટે $\sin x \ge 0$ છે:
$A = \int_{-\pi}^{0} (-\sin x) dx + \int_{0}^{\pi} (\sin x) dx + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} (-\sin x) dx$
$A = [\cos x]_{-\pi}^{0} + [-\cos x]_{0}^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = (\cos 0 - \cos(-\pi)) + (-\cos \pi + \cos 0) + (\cos(\frac{3\pi}{2}) - \cos \pi)$
$A = (1 - (-1)) + (-(-1) + 1) + (0 - (-1))$
$A = (1 + 1) + (1 + 1) + (0 + 1) = 2 + 2 + 1 = 5 \text{ (unit)}^2$

(C) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેય $y = \sin^{2} x$ નું $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{2}$ સુધીનું નિશ્ચિત સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$
$A = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2} \right) - (0 - 0) \right]$
$A = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$ ચોરસ એકમ.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=\pi$ સુધી $|y|$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $y = \cos x$ એ $[0, \pi/2]$ માં ધન છે અને $[\pi/2, \pi]$ માં ઋણ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx + \left| \int_{\pi/2}^{\pi} \cos x \, dx \right|$
$A = [\sin x]_0^{\pi/2} + |[\sin x]_{\pi/2}^{\pi}|$
$A = (\sin(\pi/2) - \sin(0)) + |\sin(\pi) - \sin(\pi/2)|$
$A = (1 - 0) + |0 - 1|$
$A = 1 + |-1| = 1 + 1 = 2 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) આ પ્રદેશ $y=3x+1$ (ઉપરની રેખા),$y=2x+1$ (નીચેની રેખા) અને $x=4$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. આ રેખાઓ $x=0$ આગળ છેદે છે,જ્યાં $y=1$ મળે છે. આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 1)$,$(4, 9)$ અને $(4, 13)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલનનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય:
$A = \int_{0}^{4} [(3x+1) - (2x+1)] \, dx$
$A = \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{16}{2} - 0 = 8 \text{ ચોરસ એકમ}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$x=4$ રેખા પર પાયો ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
પાયાની લંબાઈ $= 13 - 9 = 4$.
વેધ (ઊંચાઈ) $= 4 - 0 = 4$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) વક્ર $y=2x-x^2$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y=0$ લઈને $x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$2x-x^2=0 \Rightarrow x(2-x)=0$,જે $x=0$ અને $x=2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^2 (2x-x^2) dx$
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=-1$ થી $x=2$ સુધીના $|y|$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
અહીં $y=x$ હોવાથી,$|y|=|x|$ થાય.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{2} |x| dx$
$= \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$
$= \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx$
$= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$= (0 - (-1/2)) + (4/2 - 0)$
$= 1/2 + 2 = 5/2$ ચોરસ એકમ.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ છે।
અહીં,$a=5$ અને $b=3$ છે।
ધન ચરણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4} \times \pi ab = \frac{1}{4} \times \pi \times 5 \times 3 = \frac{15\pi}{4}$ છે।
શિરોબિંદુઓ $(0,0), (5,0), (0,3)$ ધરાવતા ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2}$ છે।
ચાપ $AB$ અને જીવા $AB$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ એ ચરણના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે।
ક્ષેત્રફળ $= \frac{15\pi}{4} - \frac{15}{2} = \frac{15}{4}(\pi - 2)$ ચોરસ એકમ।

(C) આપેલ સમીકરણો $x^2 = 8y$ $(1)$ અને $x - 8y + 2 = 0$ $(2)$ છે.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$8y = x + 2$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,$x^2 = x + 2$ મળે,જેનો અર્થ છે $x^2 - x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x + 1) = 0$,તેથી છેદબિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
$A = \int_{-1}^{2} (\frac{x+2}{8} - \frac{x^2}{8}) dx = \frac{1}{8} \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx$.
$A = \frac{1}{8} [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$.
સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા: $A = \frac{1}{8} [(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})]$.
$A = \frac{1}{8} [(2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})] = \frac{1}{8} [\frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})] = \frac{1}{8} [\frac{20+7}{6}] = \frac{1}{8} \times \frac{27}{6} = \frac{9}{16}$ ચોરસ એકમ.

(A) બે વક્રો $y=ax^2$ અને $x=ay^2$ એ $O(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ બિંદુએ છેદે છે.
આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે ઉપરના વક્ર $y=\sqrt{\frac{x}{a}}$ અને નીચેના વક્ર $y=ax^2$ વચ્ચેના તફાવતનું $x=0$ થી $x=\frac{1}{a}$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\frac{1}{a}} \left(\sqrt{\frac{x}{a}} - ax^2\right) dx = 1$
$\Rightarrow \left[\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$
$\Rightarrow \left[\frac{2}{3\sqrt{a}} x^{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$
સીમાઓ મૂકતા:
$\Rightarrow \left(\frac{2}{3\sqrt{a}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^3\right) = 1$
$\Rightarrow \frac{2}{3\sqrt{a} \cdot a\sqrt{a}} - \frac{a}{3a^3} = 1$
$\Rightarrow \frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{3a^2} = 1$
$\Rightarrow a^2 = \frac{1}{3}$
કારણ કે $a > 0$,તેથી $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) વક્રો $y=3x+1$ અને $y=4x+1$ ત્યારે છેદે છે જ્યારે $3x+1 = 4x+1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $x=0$.
આમ,પ્રદેશ $x=0$ અને $x=2$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મેળવી શકાય છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_0^2 [(4x+1) - (3x+1)] \, dx$
$= \int_0^2 x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2$
$= \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) પરવલય $y^2=4x$ અને રેખા $y=2x-4$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા છેદબિંદુઓ શોધીએ.
રેખાના સમીકરણ $y = 2x - 4$ માં $x = \frac{y^2}{4}$ મૂકતા:
$y = 2\left(\frac{y^2}{4}\right) - 4$
$y = \frac{y^2}{2} - 4$
$y^2 - 2y - 8 = 0$
$(y - 4)(y + 2) = 0$
આમ,$y = 4$ અને $y = -2$ મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં રેખા અને પરવલય વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન કરીને મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-2}^{4} \left( \frac{y+4}{2} - \frac{y^2}{4} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12} \right)$
$= \left( 4 + 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 1 - 4 + \frac{2}{3} \right)$
$= \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{27}{3} = 9 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2$ છે. રેખા $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
$x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{a^2}{2}+y^2=a^2$ મળે,જેનો અર્થ છે $y^2=\frac{a^2}{2}$,તેથી $y=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળ અને રેખા $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ ની જમણી બાજુએ ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a \sqrt{a^2-x^2} dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a}) \right]_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a$
$= 2 \left[ (0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{a}{2\sqrt{2}}\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}) - (\frac{a}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{4})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2\pi}{8} \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{8} - \frac{a^2}{4} \right] = \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}-1)$.

(A) આપેલ વક્ર $y = a\sqrt{x} + bx$ છે. તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = a(1) + b(1)$,જે આપણને $a + b = 2$ આપે છે ...$(i)$.
વક્ર,$x = 4$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_0^4 (a\sqrt{x} + bx) dx = 8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_0^4 (ax^{1/2} + bx) dx = \left[ a \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + b \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 8$.
સીમાઓ મૂકતા:
$\left( \frac{2a}{3} \cdot 4^{3/2} + \frac{b}{2} \cdot 4^2 \right) = 8$.
$\frac{2a}{3} \cdot 8 + \frac{b}{2} \cdot 16 = 8$.
$\frac{16a}{3} + 8b = 8$.
$8$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2a}{3} + b = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2a + 3b = 3$ થાય છે ...(ii).
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$b = 2 - a$. તેને (ii) માં મૂકતા:
$2a + 3(2 - a) = 3$.
$2a + 6 - 3a = 3$.
$-a = -3 \Rightarrow a = 3$.
$a = 3$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$3 + b = 2 \Rightarrow b = -1$.
આમ,$a = 3$ અને $b = -1$.

(C) વક્ર $y^2=9x$ અને રેખા $y=3x$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y=3x$ ને $y^2=9x$ માં મૂકતા,આપણને $(3x)^2=9x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $9x^2=9x$,તેથી $x^2-x=0$,જે $x(x-1)=0$ આપે છે. આમ,$x=0$ અને $x=1$.
$x=0$ માટે,$y=0$. $x=1$ માટે,$y=3$.
ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_0^1 (\sqrt{9x} - 3x) dx$
$= \int_0^1 (3\sqrt{x} - 3x) dx$
$= 3 \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$= 3 \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{(1)^2}{2} \right) - 0$
$= 3 \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right)$
$= 3 \left( \frac{4-3}{6} \right) = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માટે $y$-અક્ષ $(x=0)$,$y=\cos x$ અને $y=\sin x$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે.
અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં,$\cos x \geq \sin x$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$
$A = [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$A = \sqrt{2} - 1$ ચોરસ એકમ.

(D) પરવલય $y=x^2$ અને રેખા $y=x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણોને સરખાવીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^2 = x$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
આનાથી આપણને $x = 0$ અને $x = 1$ મળે છે. છેદબિંદુઓ $O(0, 0)$ અને $P(1, 1)$ છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,રેખા $y = x$ એ પરવલય $y = x^2$ ની ઉપર આવેલી છે.
માગેલ ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^1 (x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) વક્ર $y^2=4x$ અને રેખા $y=x$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $y=x$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^2 = 4x$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x-4) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=4$ છે.
$x=0$ માટે,$y=0$,તેથી ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ એક બિંદુ છે.
$x=4$ માટે,$y=4$,તેથી બિંદુ $P(4,4)$ બીજું બિંદુ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^4 (\sqrt{4x} - x) dx$
$A = 2 \int_0^4 x^{1/2} dx - \int_0^4 x dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^4 - \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4$
$A = 2 \cdot \frac{2}{3} [x^{3/2}]_0^4 - \left[ \frac{16}{2} - 0 \right]$
$A = \frac{4}{3} (4^{3/2}) - 8$
$A = \frac{4}{3} (8) - 8$
$A = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32-24}{3} = \frac{8}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) આ પ્રદેશ પરવલય $y^2=x$,રેખા $y=4$ અને $Y$-અક્ષ $(x=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y=0$ થી $y=4$ સુધી $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું.
પરવલયનું સમીકરણ $x=y^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} x \, dy$
$A = \int_{0}^{4} y^2 \, dy$
$A = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3}$
$A = \frac{64}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) વક્ર $x^2=y$ અને રેખા $y=4x$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીશું.
$x^2 = 4x$ લેતા,આપણને $x^2 - 4x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x(x-4) = 0$. આમ,$x=0$ અને $x=4$ મળે છે.
$x=0$ માટે $y=0$ અને $x=4$ માટે $y=16$ મળે છે. તેથી છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,16)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{4x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \left( 32 - \frac{64}{3} \right)$
$A = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(C) આપેલ પરવલય $y^{2}=8x$ છે. તેને $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=8$ મળે છે,તેથી $a=2$.
નાભિલંબ એ રેખા $x=a$ છે,જે $x=2$ છે.
પરવલય અને નાભિલંબના છેદબિંદુઓ $(2, 4)$ અને $(2, -4)$ છે.
પરવલય અને નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
$A = 2 \int_{0}^{2} y \, dx = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{8x} \, dx$
$A = 2 \times 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2}$
$A = 4\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{8 \times 2 \times 2}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=16$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,રેખાઓ $x=0$ અને $x=2$ દ્વારા આવૃત કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં રહેલા પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_{0}^{2} y \, dx = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{16-x^{2}} \, dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{4}\right) \right]_{0}^{2}$
$= 2 \left[ \left( \frac{2}{2} \sqrt{16-4} + 8 \sin^{-1} \left(\frac{2}{4}\right) \right) - (0 + 8 \sin^{-1}(0)) \right]$
$= 2 \left[ \sqrt{12} + 8 \sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) \right]$
$= 2 \left[ 2\sqrt{3} + 8 \left(\frac{\pi}{6}\right) \right]$
$= 4\sqrt{3} + 8 \left(\frac{\pi}{3}\right) = 4\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) આપેલ પરવલય $y^{2}=16x$ છે. તેને $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=4$.
નાભિલંબ એ રેખા $x=a$ છે,તેથી $x=4$.
પરવલય અને નાભિલંબના છેદબિંદુઓ $(4, 8)$ અને $(4, -8)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં,ક્ષેત્રફળ વક્ર $y=\sqrt{16x}=4\sqrt{x}$,$x$-અક્ષ અને રેખા $x=4$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} 4\sqrt{x} \, dx$
$= 4 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} \, dx$
$= 4 \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}$
$= 4 \times \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{8}{3} \left[ 4^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}} \right]$
$= \frac{8}{3} \times 8 = \frac{64}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) વક્ર $y=f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ તથા $x=b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે: $A = \int_{a}^{b} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = x^{2}+1$,$a=1$,અને $b=2$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{1}^{2} (x^{2}+1) dx$
$A = \left[ \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{1}^{2}$
$A = \left( \frac{2^{3}}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1^{3}}{3} + 1 \right)$
$A = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right)$
$A = \left( \frac{8+6}{3} \right) - \left( \frac{1+3}{3} \right)$
$A = \frac{14}{3} - \frac{4}{3}$
$A = \frac{10}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ એ $x=1$ થી $x=5$ સુધીના વિધેય $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં નિશ્ચિત સંકલન છે. અંતરાલ $[1, 5]$ માં વક્ર $x$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{5} (4x^{3}-6x^{2}+4x+1) dx$
$= \left[\frac{4x^{4}}{4} - \frac{6x^{3}}{3} + \frac{4x^{2}}{2} + x\right]_{1}^{5}$
$= \left[x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} + x\right]_{1}^{5}$
$= [5^{4} - 2(5)^{3} + 2(5)^{2} + 5] - [1^{4} - 2(1)^{3} + 2(1)^{2} + 1]$
$= [625 - 250 + 50 + 5] - [1 - 2 + 2 + 1]$
$= 430 - 2 = 428 \text{ ચોરસ એકમ}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $y=2x-x^2$ અને $y=x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$2x-x^2 = x$ લો.
$x-x^2 = 0 \implies x(1-x) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
$\text{Area} = \int_0^1 (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) dx = \int_0^1 ((2x-x^2) - x) dx$.
$\text{Area} = \int_0^1 (x-x^2) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$.
$= (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$ ચોરસ એકમ.

(B) આ પ્રદેશ પરવલય $x^2=4y$,રેખાઓ $y=1$ અને $y=4$,તથા પ્રથમ ચરણમાં y-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$x^2=4y$ પરથી,આપણને $x = \sqrt{4y} = 2\sqrt{y}$ મળે છે (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $x > 0$ છે).
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ y ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
$A = \frac{4}{3} (8 - 1)$
$A = \frac{4}{3} (7) = \frac{28}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) રેખા $y=4$ એ પરવલય $y^{2}=x$ ને બિંદુ $A$ પર મળે છે. પરવલયના સમીકરણમાં $y=4$ મૂકતા,આપણને $4^{2}=x$ મળે છે,તેથી $x=16$. આમ,બિંદુ $A$ એ $(16, 4)$ છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ પરવલય $x=y^{2}$,$y$-અક્ષ $(x=0)$ અને રેખા $y=4$ દ્વારા $y=0$ થી $y=4$ સુધી ઘેરાયેલું છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} x \, dy = \int_{0}^{4} y^{2} \, dy$
$= \left[ \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{64}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વક્રો $y=x^{2}$ (અથવા $x=\sqrt{y}$) અને $x=y^{2}$ છે.
તેઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ બિંદુએ છેદે છે.
$y$-અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવતા,ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર $V = \pi \int_{a}^{b} (x_{outer}^{2} - x_{inner}^{2}) dy$ છે.
અહીં,$y \in [0,1]$ માટે,બહારનો વક્ર $x = \sqrt{y}$ છે અને અંદરનો વક્ર $x = y^{2}$ છે.
તેથી,$V = \pi \int_{0}^{1} ((\sqrt{y})^{2} - (y^{2})^{2}) dy$
$V = \pi \int_{0}^{1} (y - y^{4}) dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{5}}{5} \right]_{0}^{1}$
$V = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5-2}{10} \right) = \frac{3}{10} \pi$.

(C) વક્રો $y=(x+1)^2$ અને $y=(x-1)^2$ છે. રેખા $y=\frac{1}{4}$ છે.
$y=(x-1)^2$ અને $y=\frac{1}{4}$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે,$(x-1)^2 = \frac{1}{4}$ લઈએ,જે $x-1 = \pm \frac{1}{2}$ આપે છે,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = \frac{3}{2}$.
તે જ રીતે,$y=(x+1)^2$ અને $y=\frac{1}{4}$ માટે,આપણને $x = -\frac{1}{2}$ અથવા $x = -\frac{3}{2}$ મળે છે.
આ પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. આવૃત પ્રદેશ $x = -\frac{1}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ ની વચ્ચે છે.
$x \in [0, \frac{1}{2}]$ માટે,ઉપરની સીમા $y = \min((x+1)^2, (x-1)^2)$ છે અને નીચેની સીમા $y = \frac{1}{4}$ છે.
ચોક્કસ રીતે,$x \in [0, \frac{1}{2}]$ માટે,વક્ર $y=(x-1)^2$ એ ઉપરની સીમા છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_0^{\frac{1}{2}} \left[ (x-1)^2 - \frac{1}{4} \right] dx$
$= 2 \left[ \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{x}{4} \right]_0^{\frac{1}{2}}$
$= 2 \left[ \left( \frac{(-1/2)^3}{3} - \frac{1/2}{4} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - 0 \right) \right]$
$= 2 \left[ \left( -\frac{1}{24} - \frac{1}{8} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{4}{24} + \frac{1}{3} \right] = 2 \left[ -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} \right] = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ વક્ર $y=x^2+2$ (ઉપરનો વક્ર) અને રેખા $y=x+1$ (નીચેની રેખા) દ્વારા શિરોલંબ રેખાઓ $x=0$ અને $x=2$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલું છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_0^2 [(x^2+2) - (x+1)] dx$
$= \int_0^2 (x^2 - x + 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^2$
$= \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 2 \right) - (0)$
$= \frac{8}{3} - 2 + 2 = \frac{8}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ છે,જેની ત્રિજ્યા $r=2$ છે. ક્ષેત્રફળ પ્રથમ ચરણમાં $x=0$ ($y$-અક્ષ) અને $x=2$ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલું છે. ક્ષેત્રફળ $A$ એ $0$ થી $2$ સુધી $x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું સંકલન છે. પ્રથમ ચરણમાં $y^2 = 4-x^2$ હોવાથી,$y = \sqrt{4-x^2}$ મળે.
$A = \int_0^2 \sqrt{4-x^2} dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_0^2$
$A = \left( \frac{2}{2}\sqrt{4-4} + 2\sin^{-1}(1) \right) - \left( 0 + 2\sin^{-1}(0) \right)$
$A = (0 + 2 \times \frac{\pi}{2}) - 0 = \pi \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) આપેલ વક્ર $y = 4x^2$ માટે,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં $x = \sqrt{\frac{y}{4}} = \frac{\sqrt{y}}{2}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે અને $x=0$,$y=2$ અને $y=4$ દ્વારા મર્યાદિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$.
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ ચોરસ એકમ.

(A) પરવલય $y^2=4ax$ છે. નાભિલંબ એ રેખા $x=a$ છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x=0$ થી $x=a$ સુધી સંકલન કરીશું.
પરવલય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું થશે.
$A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \, dx$
$A = 2 \int_{0}^{a} 2\sqrt{a} \sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a} = 4\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \cdot a^{3/2}$
$A = \frac{8}{3} \sqrt{a} \cdot a \sqrt{a} = \frac{8}{3} a^2 \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=1$ થી $x=e$ સુધીના વિધેય $y = \log x$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{1}^{e} \log x \, dx$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,જ્યાં $u = \log x$ અને $dv = dx$:
$A = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$A = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 \, dx$
$A = [x \log x - x]_{1}^{e}$
સીમાઓ મૂકતા:
$A = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1)$
કારણ કે $\log e = 1$ અને $\log 1 = 0$:
$A = (e(1) - e) - (0 - 1)$
$A = (e - e) - (-1)$
$A = 0 + 1 = 1 \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) $x$-અક્ષની આસપાસ $x = a$ થી $x = b$ સુધી વક્ર $y = f(x)$ ને પરિભ્રમણ કરાવવાથી બનતા ઘનનું ઘનફળ $V = \int_{a}^{b} \pi y^{2} dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
અહીં વક્ર $y^{2} = 4x$ અને સીમાઓ $x = 4$ થી $x = 5$ આપેલ છે।
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \int_{4}^{5} \pi (4x) dx$
$V = 4\pi \int_{4}^{5} x dx$
$V = 4\pi \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{4}^{5}$
$V = 2\pi [x^{2}]_{4}^{5}$
$V = 2\pi (5^{2} - 4^{2})$
$V = 2\pi (25 - 16)$
$V = 2\pi (9) = 18\pi$ ઘન એકમ।

(A) ક્ષેત્રફળ $R_1$ એ $\int_0^b (1-x)^2 \, dx$ દ્વારા અને ક્ષેત્રફળ $R_2$ એ $\int_b^1 (1-x)^2 \, dx$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $R_1 - R_2 = \frac{1}{4}$,તેથી:
$\int_0^b (1-x)^2 \, dx - \int_b^1 (1-x)^2 \, dx = \frac{1}{4}$
સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{-(1-x)^3}{3} \right]_0^b - \left[ \frac{-(1-x)^3}{3} \right]_b^1 = \frac{1}{4}$
$\left( \frac{-(1-b)^3}{3} - \frac{-(1-0)^3}{3} \right) - \left( \frac{-(1-1)^3}{3} - \frac{-(1-b)^3}{3} \right) = \frac{1}{4}$
$\left( \frac{1 - (1-b)^3}{3} \right) - \left( \frac{(1-b)^3}{3} \right) = \frac{1}{4}$
$\frac{1 - 2(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$1 - 2(1-b)^3 = \frac{3}{4}$
$2(1-b)^3 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$(1-b)^3 = \frac{1}{8}$
$1-b = \frac{1}{2}$
$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ આપેલ અંતરાલ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\cos x| \, dx$.
કારણ કે $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માટે $\cos x \geq 0$ છે,તેથી:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$.
$A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(B) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2 = 4y$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{x^2}{4}$.
વક્ર $y = \frac{x^2}{4}$,$X$-અક્ષ અને રેખા $x = 3$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = 3$ સુધી વિધેયનું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{3} y \, dx = \int_{0}^{3} \frac{x^2}{4} \, dx$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} \right) = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{(1/4)^2} = 1$ માં ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં,$a = \frac{1}{3}$ અને $b = \frac{1}{4}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $\pi ab$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ એ કુલ ક્ષેત્રફળનો $\frac{1}{4}$ ભાગ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \pi ab = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{48}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 2$ થી $x = 5$ સુધી $|y|$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે.
$A = \int_{2}^{5} |3 - x| \, dx$.
રેખા $y = 3 - x$ એ $x = 3$ આગળ $X$-અક્ષને છેદે છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{2}^{3} (3 - x) \, dx + \int_{3}^{5} -(3 - x) \, dx$.
$A = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} + \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{3}^{5}$.
$A = \left( (9 - 4.5) - (6 - 2) \right) + \left( (12.5 - 15) - (4.5 - 9) \right)$.
$A = (4.5 - 4) + (-2.5 + 4.5) = 0.5 + 2 = 2.5 = \frac{5}{2}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{(1/2)^2} = 1$ માં લખી શકાય.
અહીં,$a = \frac{1}{3}$ અને $b = \frac{1}{2}$ છે.
આખા ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = \pi \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
ઉપવલય બંને અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,પ્રથમ ચરણમાં રહેલું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગનું હોય છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{24}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y^2 = 4x$ છે અને રેખા $x = 3$ છે.
વક્ર $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times \int_{0}^{3} y \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$y^2 = 4x$ પરથી,$y = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$ મળે.
તેથી,$A = 2 \int_{0}^{3} 2\sqrt{x} \, dx = 4 \int_{0}^{3} x^{1/2} \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3} = 4 \times \frac{2}{3} \times [x^{3/2}]_{0}^{3}$.
$A = \frac{8}{3} \times (3)^{3/2} = \frac{8}{3} \times 3\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.