Area bounded by region of single curve Questions in Gujarati

(D) વક્ર $y = \ln(x)$ અને રેખાઓ $y = 0$,$y = \ln(3)$ અને $x = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરવું વધુ સરળ છે.
આપેલ છે કે $y = \ln(x)$,તેથી $x = e^y$.
આ પ્રદેશ $y = 0$ ($x$-અક્ષ) અને $y = \ln(3)$ ની વચ્ચે છે,અને વક્ર $x = e^y$ એ $x = 0$ થી $x = 3$ સુધી વિસ્તરેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = \ln(3)$ સુધી $x$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{\ln(3)} e^y \, dy$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [e^y]_{0}^{\ln(3)}$
$A = e^{\ln(3)} - e^0$
$A = 3 - 1$
$A = 2$
આમ,ક્ષેત્રફળ $2$ છે.

(D) આપેલ પરવલય $y = 9x^2$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $x^2 = y/9$. પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x = \sqrt{y}/3$ મળે.
વક્ર $x = f(y)$,$y$-અક્ષ $(x = 0)$,અને રેખાઓ $y = 1$ તથા $y = 4$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y}}{3} \, dy$
$A = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
ઘાતનો નિયમ $\int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}$ વાપરતા:
$A = \frac{1}{3} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{2}{9} \left( 4^{3/2} - 1^{3/2} \right)$
$A = \frac{2}{9} (8 - 1) = \frac{2}{9} \times 7 = \frac{14}{9} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) વિધેય $y = |\cos x - \sin x|$ છે.
અંતરાલ $[0, \pi/4]$ માં,$\cos x \geq \sin x$,તેથી $y = \cos x - \sin x$.
અંતરાલ $[\pi/4, \pi/2]$ માં,$\sin x \geq \cos x$,તેથી $y = \sin x - \cos x$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) \, dx$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} + [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$A = ((\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)) - (\sin(0) + \cos(0))) + ((-\cos(\pi/2) - \sin(\pi/2)) - (-\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)))$
$A = ((\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)) + ((0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}))$
$A = (\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2})$
$A = 2\sqrt{2} - 2$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ પ્રદેશ એ $x^2 + y^2 = 4$ વર્તુળ છે જેની ત્રિજ્યા $r = 2$ અને કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે. રેખા $y = x + 2$ એ $(-2, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે $I$ એ નાનો ભાગ છે અને $II$ એ વર્તુળનો મોટો ભાગ છે.
નાના ભાગ $I$ નું ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$I$ નું ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{0} [\sqrt{4 - x^2} - (x + 2)] dx$
$= [\frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{-2}^{0} - [\frac{x^2}{2} + 2x]_{-2}^{0}$
$= [0 + 2 \sin^{-1}(0)] - [(-1) \sqrt{0} + 2 \sin^{-1}(-1)] - [0 - (\frac{4}{2} - 4)]$
$= [0 - 2(-\frac{\pi}{2})] - [0 - (-2)]$
$= \pi - 2$
હવે,મોટા ભાગ $II$ નું ક્ષેત્રફળ:
$II$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ} - I$ નું ક્ષેત્રફળ
$= 4\pi - (\pi - 2) = 3\pi + 2$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર:
$\frac{I \text{ નું ક્ષેત્રફળ}}{II \text{ નું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{\pi - 2}{3\pi + 2}$

(B) આ પ્રદેશ વક્ર $y = x^3$,રેખા $y = 8$ અને $y$-અક્ષ $(x = 0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ: $x = y^{1/3}$.
$y$ માટેની સીમાઓ $0$ થી $8$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int\limits_{0}^{8} x \, dy = \int\limits_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$= \left[ \frac{y^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4} y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$= \frac{3}{4} (8^{4/3} - 0^{4/3}) = \frac{3}{4} ((2^3)^{4/3}) = \frac{3}{4} (2^4) = \frac{3}{4} \times 16 = 12 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(C) આપેલ પ્રદેશ $y = x|x| + 1$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા $-1 \le x \le 1$ માટે ઘેરાયેલ છે.
આપણે $y$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ:
$y = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{જો } -1 \le x < 0 \\ x^2 + 1, & \text{જો } 0 \le x \le 1 \end{cases}$
ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 1) dx + \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx$
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int_{-1}^{0} (-x^2 + 1) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3}$
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = (\frac{1}{3} + 1) - 0 = \frac{4}{3}$
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$ ચોરસ એકમ.

(C) પ્રદેશ $S(\alpha)$ એ પરવલય $y^2 = x$ અને શિરોલંબ રેખા $x = \alpha$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A(\alpha)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} 2\sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{\alpha} = \frac{4}{3} \alpha^{3/2}$.
આપેલ ગુણોત્તર $A(\lambda) : A(4) = 2 : 5$ પરથી:
$\frac{\frac{4}{3} \lambda^{3/2}}{\frac{4}{3} 4^{3/2}} = \frac{2}{5}$
$\frac{\lambda^{3/2}}{8} = \frac{2}{5}$
$\lambda^{3/2} = \frac{16}{5}$
$\lambda = \left( \frac{16}{5} \right)^{2/3} = \left( \frac{16^2}{5^2} \right)^{1/3} = \left( \frac{256}{25} \right)^{1/3} = 4 \left( \frac{4}{25} \right)^{1/3}$.
આમ,$\lambda = 4\left(\frac{4}{25}\right)^{1/3}$.

(C) આ પ્રદેશ $y = 2^x$ અને $y = x + 1$ (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $x \ge 0$ હોવાથી,$|x + 1| = x + 1$) દ્વારા $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} ((x + 1) - 2^x) dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{x^2}{2} + x - \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{1}$
સીમાઓ મૂકતા:
$A = \left( \frac{1^2}{2} + 1 - \frac{2^1}{\ln 2} \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 - \frac{2^0}{\ln 2} \right)$
$A = \left( \frac{1}{2} + 1 - \frac{2}{\ln 2} \right) - \left( 0 + 0 - \frac{1}{\ln 2} \right)$
$A = \frac{3}{2} - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2}$
$A = \frac{3}{2} - \frac{1}{\ln 2}$

(A) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલા પ્રદેશ $AOBA$ ના ક્ષેત્રફળ કરતાં $4$ ગણું થશે.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \int_{0}^{a} y \, dx$
$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ હોવાથી,પ્રથમ ચરણમાં $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 4 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) \right]_{0}^{a}$
$= 4 \left[ \left( \frac{a}{2} \sqrt{a^{2}-a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(1) \right) - (0 + 0) \right]$
$= 4 \left[ 0 + \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) \right]$
$= 4 \left( \frac{\pi a^{2}}{4} \right) = \pi a^{2}$
આમ,વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\pi a^{2}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આકૃતિ પરથી,ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશ $ABA'B'A$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= 4 \times (\text{પ્રથમ ચરણમાં વક્ર, } x\text{-અક્ષ અને } x = 0, x = a \text{ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશ } AOBA \text{ નું ક્ષેત્રફળ})$
(કારણ કે ઉપવલય $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષમાં સંમિત છે)
ક્ષેત્રફળ $= 4 \int_{0}^{a} y \, dx$ (ઉભી પટ્ટીઓ લેતા)
હવે,$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ પરથી $y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ મળે છે. પ્રદેશ $AOBA$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$y$ ધન લેવામાં આવે છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$
$= \frac{4b}{a} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a}$
$= \frac{4b}{a} \left[ \left( \frac{a}{2} \times 0 + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(1) \right) - (0 + 0) \right]$
$= \frac{4b}{a} \left( \frac{a^{2}}{2} \times \frac{\pi}{2} \right) = \pi ab$.

(A) આપેલ વક્ર $y=x^{2}$ છે,જે $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત પરવલય છે અને તેનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
આ પ્રદેશ વક્ર $y=x^{2}$ અને રેખા $y=4$ દ્વારા આવૃત છે. વક્ર અને રેખાના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $y=4$ ને $y=x^{2}$ માં મૂકતા,આપણને $x^{2}=4$ મળે છે,તેથી $x=\pm 2$.
પરવલય $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ પ્રથમ ચરણમાં વક્ર,$y$-અક્ષ અને રેખા $y=4$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
$dy$ પહોળાઈ અને $x = \sqrt{y}$ લંબાઈની આડી પટ્ટીઓનો ઉપયોગ કરીને,ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = 2 \int_{0}^{4} x \, dy = 2 \int_{0}^{4} \sqrt{y} \, dy$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{4}{3} \left( 4^{3/2} - 0^{3/2} \right) = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3}$
આમ,પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$y=x$ ........... $(1)$
$x^{2}+y^{2}=32$ ........... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલતા,આપણે $(2)$ માં $y=x$ મૂકતા $x^{2}+x^{2}=32$ મળે છે,જે $2x^{2}=32$ આપે છે,તેથી $x^{2}=16$. પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x=4$. આમ,રેખા અને વર્તુળ $B(4, 4)$ બિંદુએ મળે છે.
$x-$ અક્ષ પર લંબ $BM$ દોરો,જ્યાં $M$ એ $(4, 0)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $=$ પ્રદેશ $OBMO$ નું ક્ષેત્રફળ $+$ પ્રદેશ $BMAB$ નું ક્ષેત્રફળ.
પ્રદેશ $OBMO$ નું ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} x \, dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = \frac{16}{2} = 8$.
પ્રદેશ $BMAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \int_{4}^{4\sqrt{2}} y \, dx = \int_{4}^{4\sqrt{2}} \sqrt{(4\sqrt{2})^{2}-x^{2}} \, dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \left[\frac{x}{2}\sqrt{32-x^{2}} + \frac{32}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{4\sqrt{2}}\right)\right]_{4}^{4\sqrt{2}}$
$= \left(0 + 16 \sin^{-1}(1)\right) - \left(\frac{4}{2}\sqrt{32-16} + 16 \sin^{-1}\left(\frac{4}{4\sqrt{2}}\right)\right)$
$= 16 \times \frac{\pi}{2} - \left(2 \times 4 + 16 \times \frac{\pi}{4}\right) = 8\pi - (8 + 4\pi) = 4\pi - 8$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 8 + (4\pi - 8) = 4\pi$.

(B) ઉપવલય અને યામ $x=0$ તથા $x=ae$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{ae} y \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપવલયના સમીકરણ પરથી,$y = \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$.
આને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $A = 2 \frac{b}{a} \int_{0}^{ae} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$ મળે છે.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે છે:
$A = \frac{2b}{a} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) \right]_{0}^{ae}$
$A = \frac{2b}{a} \left[ \frac{ae}{2} \sqrt{a^{2}-a^{2}e^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{ae}{a}) - (0 + 0) \right]$
$A = \frac{2b}{a} \left[ \frac{ae}{2} \cdot a\sqrt{1-e^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(e) \right]$
$A = \frac{2b}{a} \cdot \frac{a^{2}}{2} \left[ e\sqrt{1-e^{2}} + \sin^{-1}(e) \right]$
$A = ab[e\sqrt{1-e^{2}} + \sin^{-1}(e)]$.

(A) પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y^{2}=x$,રેખાઓ $x=1$ અને $x=4$ તથા $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $x=1$ થી $x=4$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે.
કારણ કે $y^{2}=x$ અને આપણે પ્રથમ ચરણમાં છીએ,તેથી $y = \sqrt{x}$ લેતા.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{1}^{4} y \, dx = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx$
$= \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_1^4$
$= \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_1^4$
$= \frac{2}{3} \left( 4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right)$
$= \frac{2}{3} (8 - 1)$
$= \frac{2}{3} \times 7 = \frac{14}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્ર $y^{2}=9x$,રેખાઓ $x=2$ અને $x=4$,અને પ્રથમ ચરણમાં $x$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{2}^{4} y \, dx$
અહીં $y^{2}=9x$ હોવાથી અને આપણે પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$y = \sqrt{9x} = 3\sqrt{x}$ લેતા.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{2}^{4} 3\sqrt{x} \, dx$
$= 3 \int_{2}^{4} x^{1/2} \, dx$
$= 3 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4}$
$= 3 \times \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{2}^{4}$
$= 2 \left[ 4^{3/2} - 2^{3/2} \right]$
$= 2 \left[ 8 - 2\sqrt{2} \right]$
$= 16 - 4\sqrt{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $x^{2}=4y$,રેખાઓ $y=2$ અને $y=4$,અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $y=2$ થી $y=4$ સુધી $x$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે.
આપેલ છે કે $x^{2}=4y$,તેથી $x = \sqrt{4y} = 2\sqrt{y}$ (કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે,$x > 0$).
ક્ષેત્રફળ $= \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$
$= 2 \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$
$= 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$
$= \frac{4}{3} \left[ 4^{3/2} - 2^{3/2} \right]$
$= \frac{4}{3} \left[ 8 - 2\sqrt{2} \right]$
$= \left( \frac{32 - 8\sqrt{2}}{3} \right) \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ છે।
અહીં,$a^2 = 16 \implies a = 4$ અને $b^2 = 9 \implies b = 3$.
આ ઉપવલય $x-$અક્ષ અને $y-$અક્ષ બંનેની સાપેક્ષમાં સંમિત છે।
તેથી,ઉપવલય દ્વારા આવૃત કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times$ (પ્રથમ ચરણમાં આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ)।
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} y \, dx$.
સમીકરણ પરથી,$y = 3 \sqrt{1 - \frac{x^2}{16}} = \frac{3}{4} \sqrt{16 - x^2}$.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} \frac{3}{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx = \frac{3}{4} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{4} \right) \right]_{0}^{4}$.
$= \frac{3}{4} \left[ (0 + 8 \sin^{-1}(1)) - (0 + 8 \sin^{-1}(0)) \right] = \frac{3}{4} \left[ 8 \times \frac{\pi}{2} \right] = \frac{3}{4} [4 \pi] = 3 \pi$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 3 \pi = 12 \pi$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ છે.
આને $\frac{y^{2}}{9}=1-\frac{x^{2}}{4} \Rightarrow y^{2}=9\left(1-\frac{x^{2}}{4}\right) \Rightarrow y=3 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}$ તરીકે લખી શકાય (પ્રથમ ચરણ માટે ધન કિંમત લેતા).
ઉપવલય $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણના ક્ષેત્રફળ કરતા $4$ ગણું થશે.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \int_{0}^{2} y \, dx = 4 \int_{0}^{2} 3 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}} \, dx = 4 \times \frac{3}{2} \int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \, dx = 6 \int_{0}^{2} \sqrt{2^{2}-x^{2}} \, dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 6 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{2}$
$= 6 \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (0 + 2 \sin^{-1}(0)) \right] = 6 \left[ 2 \times \frac{\pi}{2} \right] = 6 \pi$ ચોરસ એકમ.

(A) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$,રેખા $x=\sqrt{3} y$ અને $x-$ અક્ષ દ્વારા પ્રથમ ચરણમાં ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ આકૃતિમાં દર્શાવેલ પ્રદેશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
રેખા $x=\sqrt{3} y$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ ના પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ શોધવા માટે $x=\sqrt{3} y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\sqrt{3} y)^{2} + y^{2} = 4 \implies 3y^{2} + y^{2} = 4 \implies 4y^{2} = 4 \implies y = 1$.
આમ,$x = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3}$. છેદબિંદુ $A(\sqrt{3}, 1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $OAB = \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle OCA) + \text{ક્ષેત્રફળ}(\text{પ્રદેશ } ACB)$.
$\triangle OCA$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OC \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
પ્રદેશ $ACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \int_{\sqrt{3}}^{2} y \, dx = \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \, dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{\sqrt{3}}^{2}$
$= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4-4} + 2 \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4-3} + 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) \right)$
$= (0 + 2 \times \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 + 2 \times \frac{\pi}{3})$
$= \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $OAB = \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) રેખા $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ દ્વારા કાપવામાં આવતા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ના નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં વર્તુળ અને રેખા દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં રહેલા પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a} y \, dx = 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) \right]_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a}$
$= 2 \left[ \left( 0 + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^{2}\pi}{4} - \frac{a^{2}}{4} - \frac{a^{2}\pi}{8} \right] = 2 \left[ \frac{2a^{2}\pi - a^{2}\pi}{8} - \frac{a^{2}}{4} \right] = 2 \left[ \frac{a^{2}\pi}{8} - \frac{a^{2}}{4} \right] = \frac{a^{2}\pi}{4} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$.

(A) પરવલય $x=y^{2}$ અને રેખા $x=4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
રેખા $x=a$ આ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે.
$x=0$ થી $x=4$ સુધીનું કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4} = \frac{4}{3} (8) = \frac{32}{3}$ છે.
$x=0$ થી $x=a$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળનું અડધું છે:
$2 \int_{0}^{a} \sqrt{x} \, dx = \frac{1}{2} \times \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$.
$2 \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{a} = \frac{16}{3}$.
$\frac{4}{3} a^{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3}$.
$a^{\frac{3}{2}} = 4$.
$a = 4^{\frac{2}{3}}$.

(A) પરવલય $y=x^{2}$ અને રેખા $y=|x|$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $y$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે.
$y=x^{2}$ અને $y=|x|$ ના છેદબિંદુઓ $x^{2}=|x|$ લઈને મેળવી શકાય છે.
$x \ge 0$ માટે,$x^{2}=x \implies x(x-1)=0$,તેથી $x=0$ અથવા $x=1$.
છેદબિંદુઓ પ્રથમ ચરણમાં $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે,અને બીજા ચરણમાં $(-1,1)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \int_{0}^{1} (|x| - x^{2}) dx$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં $x \ge 0$ હોવાથી,$|x|=x$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{1} (x - x^{2}) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$
$= 2 \left( \frac{3-2}{6} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) પરવલય $y^{2}=4x$ અને રેખા $x=3$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશ એ $OAC$ વિસ્તાર છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ).
આ પ્રદેશ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\text{OAB નું ક્ષેત્રફળ})$。
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{3} y \, dx$
$y^{2}=4x$ હોવાથી,$y = 2\sqrt{x}$ મળે (ઉપરના અર્ધભાગ માટે ધન કિંમત લેતા).
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{3} 2\sqrt{x} \, dx = 4 \int_{0}^{3} x^{1/2} \, dx$
$= 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3} = 4 \times \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{0}^{3}$
$= \frac{8}{3} \left[ 3^{3/2} - 0^{3/2} \right] = \frac{8}{3} \times 3\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ છે,જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં,$y = \sqrt{4-x^{2}}$ થાય.
વર્તુળ,$y$-અક્ષ $(x=0)$ અને રેખા $x=2$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલા વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} y \, dx = \int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \, dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{2}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4-4} + 2 \sin^{-1} \left(\frac{2}{2}\right) \right) - \left( 0 + 2 \sin^{-1}(0) \right)$.
$= (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (0) = 2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વક્ર $y^{2}=4x$,$y$-અક્ષ અને રેખા $y=3$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $y=0$ થી $y=3$ સુધી $x$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે.
આપેલ વક્ર $y^{2}=4x$ પરથી,આપણે $x$ ને $x = \frac{y^{2}}{4}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{3} x \, dy$
$x = \frac{y^{2}}{4}$ મૂકતા:
$A = \int_{0}^{3} \frac{y^{2}}{4} \, dy$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{3}$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} \right)$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} \right)$
$A = \frac{1}{4} (9) = \frac{9}{4} \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,સાચો જવાબ $B$ છે.

(A) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=8x$ ને $(x-4)^{2}+y^{2}=16$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે. આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(4, 0)$ અને ત્રિજ્યા $4$ છે.
પરવલય $y^{2}=4x$ સાથે તેનું છેદબિંદુ મેળવતા:
$x^{2}+4x=8x$
$x^{2}-4x=0$
$x(x-4)=0$
$x=0, x=4$
આમ,$x-$ અક્ષની ઉપર આ બે વક્રોના છેદબિંદુઓ $O(0, 0)$ અને $P(4, 4)$ છે.
$x-$ અક્ષની ઉપર આ બે વક્રો વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશ $OPQCO$ નું જરૂરી ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} \sqrt{4x} \, dx + \int_{4}^{8} \sqrt{16-(x-4)^{2}} \, dx$
$= 2 \int_{0}^{4} x^{1/2} \, dx + \int_{0}^{4} \sqrt{4^{2}-t^{2}} \, dt$ (જ્યાં $t = x-4$)
$= 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{4} + [\frac{t}{2} \sqrt{16-t^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{t}{4})]_{0}^{4}$
$= \frac{4}{3} (8) + [0 + 8 \sin^{-1}(1) - 0]$
$= \frac{32}{3} + 8(\frac{\pi}{2}) = \frac{32}{3} + 4\pi = \frac{4}{3}(8+3\pi)$

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^{2} + y^{2} = 36$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ અથવા $\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણ પરથી,$y = \sqrt{36 - 9x^{2}} = 3\sqrt{4 - x^{2}}$.
બિંદુઓ $A(2, 0)$ અને $B(0, 6)$ માંથી પસાર થતી જીવા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{6} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 6 - 3x$ થાય છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = 2$ સુધી ઉપવલયની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી રેખા $AB$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (y_{\text{ellipse}} - y_{\text{line}}) dx = \int_{0}^{2} (3\sqrt{4 - x^{2}} - (6 - 3x)) dx$.
$= 3 \int_{0}^{2} \sqrt{2^{2} - x^{2}} dx - \int_{0}^{2} (6 - 3x) dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 3 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{0}^{2} - \left[ 6x - \frac{3x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$.
$= 3 \left[ (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (0 + 0) \right] - \left[ (12 - 6) - (0 - 0) \right]$.
$= 3 \left[ 2 \times \frac{\pi}{2} \right] - 6 = 3\pi - 6$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $A(1,0)$,$B(2,2)$ અને $C(3,1)$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે.
બાજુઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
બાજુ $AB$: $y = 2(x-1)$
બાજુ $BC$: $y = 4-x$
બાજુ $AC$: $y = \frac{1}{2}(x-1)$
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{1}^{2} (y_{AB} - y_{AC}) dx + \int_{2}^{3} (y_{BC} - y_{AC}) dx$
$= \int_{1}^{2} (2x - 2 - \frac{x-1}{2}) dx + \int_{2}^{3} (4 - x - \frac{x-1}{2}) dx$
$= \int_{1}^{2} (\frac{3x-3}{2}) dx + \int_{2}^{3} (\frac{9-3x}{2}) dx$
$= \frac{3}{2} [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{2} + \frac{3}{2} [3x - \frac{x^2}{2}]_{2}^{3}$
$= \frac{3}{2} [0.5] + \frac{3}{2} [0.5] = 1.5$ ચોરસ એકમ.

(A) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ છાયાંકિત પ્રદેશ $OBCDO$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સમીકરણો $4x^{2}+4y^{2}=9$ અને $x^{2}=4y$ ને ઉકેલતા,આપણે $x^{2}=4y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$4(4y)+4y^{2}=9 \implies 4y^{2}+16y-9=0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 4(4)(-9)}}{8} = \frac{-16 \pm \sqrt{400}}{8} = \frac{-16 \pm 20}{8}$.
પરવલય માટે $y \ge 0$ હોવાથી,$y = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
તેથી $x^{2} = 4(\frac{1}{2}) = 2$,એટલે કે $x = \pm \sqrt{2}$. છેદબિંદુઓ $B(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ અને $D(-\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ છે.
ક્ષેત્રફળ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \int_{0}^{\sqrt{2}} (y_{circle} - y_{parabola}) dx$.
$y_{circle} = \frac{1}{2}\sqrt{9-4x^{2}}$ અને $y_{parabola} = \frac{x^{2}}{4}$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} (\frac{1}{2}\sqrt{9-4x^{2}} - \frac{x^{2}}{4}) dx = \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{9-4x^{2}} dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{2}} x^{2} dx$.
સંકલન કરતા,$= \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{9}{4}\sin^{-1}(\frac{2\sqrt{2}}{3})$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્રો $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ અને $x^{2}+y^{2}=1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સમીકરણો $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ અને $x^{2}+y^{2}=1$ ને ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$
$x^2 + y^2 = 1$ હોવાથી,$1 - 2x + 1 = 1$,જે $2x = 1$ આપે છે,તેથી $x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ ને $x^2 + y^2 = 1$ માં મૂકતા,$y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,તેથી $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
છેદબિંદુઓ $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ અને $B\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \int_{0}^{1/2} \sqrt{1 - (x-1)^2} dx + 2 \times \int_{1/2}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_0^{1/2} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/2}^1$
$= 2 \left[ (-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1/2)) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) \right] + 2 \left[ (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1/2)) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} \right]$
$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] = 4 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્રો $y=x^{2}+2, \,y=x, \,x=0,$ અને $x=3$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ એ આપેલ સીમાઓની અંદર ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેના તફાવતના સંકલન દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{3} ((x^{2}+2) - x) \, dx$
$= \int_{0}^{3} (x^{2} - x + 2) \, dx$
$= \left[ \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2x \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^{3}}{3} - \frac{3^{2}}{2} + 2(3) \right) - (0)$
$= \left( \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 6 \right)$
$= 9 - 4.5 + 6$
$= 10.5 = \frac{21}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) $BL$ અને $CM$ ને $x$-અક્ષ પર લંબ દોરવામાં આવ્યા છે.
આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે,
ક્ષેત્રફળ $(\Delta ABC) = \text{Area}(ALBA) + \text{Area}(BLMCB) - \text{Area}(AMCA)$ ...... $(1)$
$AB$ રેખાખંડનું સમીકરણ જે $(-1, 0)$ અને $(1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે:
$y - 0 = \frac{3 - 0}{1 - (-1)}(x - (-1)) \implies y = \frac{3}{2}(x + 1)$
$\text{Area}(ALBA) = \int_{-1}^{1} \frac{3}{2}(x + 1) dx = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{1} = \frac{3}{2} \left[ (\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} - 1) \right] = \frac{3}{2} [2] = 3$ ચોરસ એકમ.
$BC$ રેખાખંડનું સમીકરણ જે $(1, 3)$ અને $(3, 2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$y - 3 = \frac{2 - 3}{3 - 1}(x - 1) \implies y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$
$\text{Area}(BLMCB) = \int_{1}^{3} (-\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}) dx = \left[ -\frac{x^2}{4} + \frac{7x}{2} \right]_{1}^{3} = (-\frac{9}{4} + \frac{21}{2}) - (-\frac{1}{4} + \frac{7}{2}) = (\frac{33}{4}) - (\frac{13}{4}) = \frac{20}{4} = 5$ ચોરસ એકમ.
$AC$ રેખાખંડનું સમીકરણ જે $(-1, 0)$ અને $(3, 2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$y - 0 = \frac{2 - 0}{3 - (-1)}(x - (-1)) \implies y = \frac{2}{4}(x + 1) \implies y = \frac{1}{2}(x + 1)$
$\text{Area}(AMCA) = \int_{-1}^{3} \frac{1}{2}(x + 1) dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{3} = \frac{1}{2} \left[ (\frac{9}{2} + 3) - (\frac{1}{2} - 1) \right] = \frac{1}{2} [\frac{15}{2} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} [8] = 4$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સમીકરણ $(1)$ પરથી,
$\text{Area}(\Delta ABC) = 3 + 5 - 4 = 4$ ચોરસ એકમ.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓના સમીકરણો $y=2x+1$,$y=3x+1$ અને $x=4$ છે.
આ સમીકરણોને ઉકેલતા,આપણને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 1)$,$B(4, 13)$ અને $C(4, 9)$ મળે છે.
તે જોઈ શકાય છે કે ત્રિકોણીય પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=4$ સુધીની બે રેખાઓ $y=3x+1$ અને $y=2x+1$ વચ્ચેનો વિસ્તાર છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4} [(3x+1) - (2x+1)] \, dx$
$= \int_{0}^{4} (3x + 1 - 2x - 1) \, dx$
$= \int_{0}^{4} x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{16}{2} - 0$
$= 8 \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=2^{2}$ છે,જેની ત્રિજ્યા $2$ છે અને કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે. રેખા $x+y=2$ એ $(2,0)$ અને $(0,2)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ અને રેખા દ્વારા ઘેરાયેલ નાનો વિસ્તાર એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલા વર્તુળાકાર ખંડનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (y_{\text{circle}} - y_{\text{line}}) dx$
$= \int_{0}^{2} (\sqrt{4-x^{2}} - (2-x)) dx$
$= \int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} dx - \int_{0}^{2} (2-x) dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{0}^{2} - [2x - \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}$
$= [0 + 2\sin^{-1}(1)] - [0 + 2\sin^{-1}(0)] - [(4 - 2) - (0 - 0)]$
$= 2(\frac{\pi}{2}) - 2 = \pi - 2$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો જવાબ $A$ છે.

(B) વક્રો $y^{2}=4x$ અને $y=2x$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y=2x$ ને $y^{2}=4x$ માં મૂકતા,આપણને $(2x)^{2}=4x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4x^{2}-4x=0$ અથવા $4x(x-1)=0$ થાય છે.
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ છે.
$x=0$ માટે $y=0$,અને $x=1$ માટે $y=2$. તેથી છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
$A = \int_{0}^{1} (\text{ઉપરનો વક્ર} - \text{નીચેનો વક્ર}) dx$
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{4x} - 2x) dx$
$A = \int_{0}^{1} (2\sqrt{x} - 2x) dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} - 2 \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1}$
$A = 2 \left( \frac{2}{3} \right) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો જવાબ $B$ છે.

(A) પરવલય $y^{2}=4ax$ નું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
નાભિલંબ $LSL^{\prime}$ નું સમીકરણ $x=a$ છે.
પરવલય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
પ્રદેશ $OLL^{\prime}O$ નું જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\text{પ્રદેશ } OLSO \text{નું ક્ષેત્રફળ})$
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \, dx$
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2 \sqrt{a} \int_{0}^{a} \sqrt{x} \, dx$
ક્ષેત્રફળ $= 4 \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a}$
ક્ષેત્રફળ $= 4 \sqrt{a} \times \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{0}^{a}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{8}{3} \sqrt{a} \times a^{3/2} = \frac{8}{3} a^{2}$ ચોરસ એકમ.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,રેખા $y=3x+2$ એ $x$-અક્ષને $x=-2/3$ પર મળે છે. આલેખ $x \in (-1, -2/3)$ માટે $x$-અક્ષની નીચે અને $x \in (-2/3, 1)$ માટે $x$-અક્ષની ઉપર આવેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \left| \int_{-1}^{-2/3} (3x+2) dx \right| + \int_{-2/3}^{1} (3x+2) dx$
પ્રથમ,સંકલન $\int (3x+2) dx = \frac{3x^2}{2} + 2x$ મેળવો.
પ્રથમ ભાગ માટે:
$\left| \left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{-2/3} \right| = \left| \left( \frac{3(-2/3)^2}{2} + 2(-2/3) \right) - \left( \frac{3(-1)^2}{2} + 2(-1) \right) \right| = 1/6$.
બીજા ભાગ માટે:
$\left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-2/3}^{1} = \left( \frac{3(1)^2}{2} + 2(1) \right) - \left( \frac{3(-2/3)^2}{2} + 2(-2/3) \right) = 25/6$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 1/6 + 25/6 = 26/6 = 13/3$.

(A) $x=0$ અને $x=2 \pi$ વચ્ચે વક્ર $y=\cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2 \pi} |\cos x| \, dx$
આલેખ પરથી,વક્ર $x=0$ થી $x=\frac{\pi}{2}$ સુધી $x$-અક્ષની ઉપર છે,$x=\frac{\pi}{2}$ થી $x=\frac{3 \pi}{2}$ સુધી $x$-અક્ષની નીચે છે,અને $x=\frac{3 \pi}{2}$ થી $x=2 \pi$ સુધી $x$-અક્ષની ઉપર છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx + \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x \, dx \right| + \int_{\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x \, dx$
$= [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \left| [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \right| + [\sin x]_{\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi}$
$= (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) + |(\sin \frac{3 \pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2})| + (\sin 2 \pi - \sin \frac{3 \pi}{2})$
$= (1 - 0) + |(-1 - 1)| + (0 - (-1))$
$= 1 + |-2| + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$ ચોરસ એકમ.

(N/A) પરવલયો $y^{2}=4x$ અને $x^{2}=4y$ ના છેદબિંદુઓ $y = \frac{x^{2}}{4}$ ને $y^{2}=4x$ માં મૂકતા મળે છે,જે $(\frac{x^{2}}{4})^{2} = 4x$ આપે છે,તેથી $x^{4} = 64x$. આનો અર્થ એ છે કે $x(x^{3}-64) = 0$,તેથી $x=0$ અથવા $x=4$. આમ,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4)$ છે.
$1$. વક્રો $y^{2}=4x$ અને $x^{2}=4y$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:
$\int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^{2}}{4}) dx = [2 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{3}}{12}]_{0}^{4} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$ ચોરસ એકમ.
$2$. વક્ર $x^{2}=4y$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=0$ તથા $x=4$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:
$\int_{0}^{4} \frac{x^{2}}{4} dx = \frac{1}{12} [x^{3}]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$ ચોરસ એકમ.
$3$. વક્ર $y^{2}=4x$,$y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y=0$ તથા $y=4$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:
$\int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{4} dy = \frac{1}{12} [y^{3}]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$ ચોરસ એકમ.
ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times 4 = 16$ ચોરસ એકમ છે અને ત્રણેય પ્રદેશોનું ક્ષેત્રફળ $\frac{16}{3}$ ચોરસ એકમ હોવાથી,આ વક્રો ચોરસને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

(A) આ પ્રદેશ $y \leq x^2 + 1$,$y \leq x + 1$,અને $0 \leq x \leq 2$ ના છેદ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
પ્રથમ,વક્રો $y = x^2 + 1$ અને $y = x + 1$ ના છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^2 + 1 = x + 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$.
તેથી,વક્રો $x = 0$ અને $x = 1$ પર છેદે છે.
$0 \leq x \leq 1$ માટે,પ્રદેશ $y \leq x + 1$ દ્વારા સીમિત છે (કારણ કે આ અંતરાલમાં $x+1 \geq x^2+1$).
$1 \leq x \leq 2$ માટે,પ્રદેશ $y \leq x^2 + 1$ દ્વારા સીમિત છે (કારણ કે આ અંતરાલમાં $x^2+1 \geq x+1$).
આપેલ આલેખ મુજબ,પ્રદેશ કોઈપણ બિંદુ $x$ પર બે વક્રોમાંથી નીચેના વક્ર દ્વારા સીમિત છે.
$0 \leq x \leq 1$ માટે,નીચેનો વક્ર $y = x^2 + 1$ છે.
$1 \leq x \leq 2$ માટે,નીચેનો વક્ર $y = x + 1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx + \int_{1}^{2} (x + 1) dx$.
$= [\frac{x^3}{3} + x]_{0}^{1} + [\frac{x^2}{2} + x]_{1}^{2}$.
$= (\frac{1}{3} + 1) - 0 + ((\frac{4}{2} + 2) - (\frac{1}{2} + 1))$.
$= \frac{4}{3} + (4 - \frac{3}{2}) = \frac{4}{3} + \frac{5}{2} = \frac{8 + 15}{6} = \frac{23}{6}$.

(A) જરૂરી ક્ષેત્રફળ વક્ર $y=x^{2}$,રેખાઓ $x=1$,$x=2$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા છાયાંકિત પ્રદેશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{2} y \, dx$
$y = x^{2}$ મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{2} x^{2} \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{1}^{2}$
સીમાઓ લાગુ પાડતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left( \frac{2^{3}}{3} \right) - \left( \frac{1^{3}}{3} \right)$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{7}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ એ $x=1$ થી $x=5$ સુધીના વિધેય $y=x^{4}$ ના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{1}^{5} x^{4} \, dx$
$= \left[ \frac{x^{5}}{5} \right]_{1}^{5}$
$= \frac{(5)^{5}}{5} - \frac{(1)^{5}}{5}$
$= \frac{3125}{5} - \frac{1}{5}$
$= 625 - 0.2$
$= 624.8 \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) પ્રથમ ચરણમાં $y=4x^2$,$x=0$,$y=1$ અને $y=4$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $y=4x^2$,તેથી $x^2 = \frac{y}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $x \ge 0$ છે).
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy$
$A = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$
$A = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]$
$A = \frac{1}{3} [8 - 1]$
$A = \frac{7}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y=|x+3|$ છે.
$x$ અને $y$ ના અનુરૂપ મૂલ્યો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે:

$X$	$-6$	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$
$Y$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

આ બિંદુઓને આલેખપત્ર પર દર્શાવતા,આપણને $y=|x+3|$ નો આલેખ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-6 \leq x \leq -3$ માટે $(x+3) \leq 0$ અને $-3 \leq x \leq 0$ માટે $(x+3) \geq 0$ થાય છે.
તેથી,$\int_{-6}^{0}|x+3| d x = \int_{-6}^{-3}-(x+3) d x + \int_{-3}^{0}(x+3) d x$.
$= -\left[\frac{x^2}{2} + 3x\right]_{-6}^{-3} + \left[\frac{x^2}{2} + 3x\right]_{-3}^{0}$.
$= -\left[\left(\frac{9}{2} - 9\right) - \left(\frac{36}{2} - 18\right)\right] + \left[(0) - \left(\frac{9}{2} - 9\right)\right]$.
$= -\left[-\frac{9}{2} - 0\right] + \left[0 - (-\frac{9}{2})\right]$.
$= \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9$.

(B) $y=\sin x$ નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $x=0$ અને $x=2 \pi$ વચ્ચે વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ બે લૂપના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx + \left| \int_{\pi}^{2 \pi} \sin x \, dx \right|$
$= [-\cos x]_{0}^{\pi} + \left| [-\cos x]_{\pi}^{2 \pi} \right|$
$= (-\cos \pi - (-\cos 0)) + |(-\cos 2 \pi - (-\cos \pi))|$
$= (-(-1) + 1) + |(-1 - (1))|$
$= (1 + 1) + |-2|$
$= 2 + 2 = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) પરવલય $y^{2}=4ax$ અને રેખા $y=mx$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ તેમના છેદબિંદુઓ શોધીને મેળવી શકાય છે.
$y=mx$ ને $y^{2}=4ax$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(mx)^{2}=4ax \implies m^{2}x^{2}-4ax=0 \implies x(m^{2}x-4a)=0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=\frac{4a}{m^{2}}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્ર (પરવલય) અને નીચેના વક્ર (રેખા) વચ્ચેના તફાવતનું $x=0$ થી $x=\frac{4a}{m^{2}}$ સુધીનું સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} (\sqrt{4ax} - mx) dx$
$A = 2\sqrt{a} \int_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} x^{1/2} dx - m \int_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} x dx$
$A = 2\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} - m \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}}$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} \left( \frac{4a}{m^{2}} \right)^{3/2} - \frac{m}{2} \left( \frac{4a}{m^{2}} \right)^{2}$
$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot \frac{8a^{3/2}}{m^{3}} - \frac{m}{2} \cdot \frac{16a^{2}}{m^{4}}$
$A = \frac{32a^{2}}{3m^{3}} - \frac{8a^{2}}{m^{3}} = \frac{32a^{2} - 24a^{2}}{3m^{3}} = \frac{8a^{2}}{3m^{3}}$ ચોરસ એકમ.

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ અને રેખા $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ દ્વારા આવૃત નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ આકૃતિમાં દર્શાવેલ પ્રદેશ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
છેદબિંદુઓ $A(0, 2)$ અને $B(3, 0)$ છે.
પ્રદેશ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{3} (y_{\text{ellipse}} - y_{\text{line}}) dx$
ઉપવલયના સમીકરણ પરથી,$y = 2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}} = \frac{2}{3}\sqrt{9-x^{2}}$.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$y = 2(1-\frac{x}{3}) = 2 - \frac{2x}{3}$.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{3} \left( \frac{2}{3}\sqrt{9-x^{2}} - (2 - \frac{2x}{3}) \right) dx$
$= \frac{2}{3} \int_{0}^{3} \sqrt{3^{2}-x^{2}} dx - \int_{0}^{3} (2 - \frac{2x}{3}) dx$
$= \frac{2}{3} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{9-x^{2}} + \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{3}) \right]_{0}^{3} - \left[ 2x - \frac{x^{2}}{3} \right]_{0}^{3}$
$= \frac{2}{3} \left[ (0 + \frac{9}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - 0 \right] - \left[ (6 - 3) - 0 \right]$
$= \frac{2}{3} \cdot \frac{9\pi}{4} - 3 = \frac{3\pi}{2} - 3 = \frac{3}{2}(\pi-2)$ ચોરસ એકમ.

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ અને રેખા $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ દ્વારા આવૃત નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છાયાંકિત પ્રદેશ $BCAB$ દ્વારા દર્શાવેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $BCAB = \text{Area}(OBCAO) - \text{Area}(OBAO)$
$= \int_{0}^{a} b \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}} \, dx - \int_{0}^{a} b\left(1-\frac{x}{a}\right) \, dx$
$= \frac{b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx - \frac{b}{a} \int_{0}^{a}(a-x) \, dx$
$= \frac{b}{a} \left[ \left\{ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} \right\}_{0}^{a} - \left\{ ax - \frac{x^{2}}{2} \right\}_{0}^{a} \right]$
$= \frac{b}{a} \left[ \left\{ \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) \right\} - \left\{ a^{2} - \frac{a^{2}}{2} \right\} \right]$
$= \frac{b}{a} \left[ \frac{a^{2}\pi}{4} - \frac{a^{2}}{2} \right]$
$= \frac{ba^{2}}{2a} \left[ \frac{\pi}{2} - 1 \right]$
$= \frac{ab}{2} \left[ \frac{\pi-2}{2} \right] = \frac{ab}{4}(\pi-2) \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) પરવલય $x^{2}=y,$ રેખા $y=x+2$ અને $x-$ અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છાયાંકિત ભાગ છે.
રેખા $y=x+2$ એ $x-$ અક્ષને $x=-2$ આગળ છેદે છે (જ્યાં $y=0$).
પરવલય $x^{2}=y$ અને રેખા $y=x+2$ જ્યાં $x^{2}=x+2$ થાય ત્યાં છેદે છે.
$x^{2}-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0.$
પ્રદેશ બીજા ચરણમાં હોવાથી,આપણે છેદબિંદુ $x=-1$ લઈએ છીએ.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=-2$ થી $x=-1$ સુધી રેખાની નીચેનું ક્ષેત્રફળ અને $x=-1$ થી $x=0$ સુધી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{-1} (x+2) dx + \int_{-1}^{0} x^{2} dx$
$= \left[ \frac{x^{2}}{2} + 2x \right]_{-2}^{-1} + \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{-1}^{0}$
$= \left( (\frac{1}{2} - 2) - (\frac{4}{2} - 4) \right) + (0 - (-\frac{1}{3}))$
$= (-\frac{3}{2} - (-2)) + \frac{1}{3}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) વક્ર $|x|+|y|=1$ એ $A(0,1)$,$B(1,0)$,$C(0,-1)$,અને $D(-1,0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ દર્શાવે છે.
આ વક્ર $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
તેથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલા પ્રદેશ $(OBA)$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા $4$ ગણું છે.
પ્રથમ ચરણમાં,$x \ge 0$ અને $y \ge 0$ હોવાથી,સમીકરણ $x+y=1$ એટલે કે $y=1-x$ બને છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \int_{0}^{1} y \, dx = 4 \int_{0}^{1} (1-x) \, dx$
$= 4 \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$= 4 \left( (1 - \frac{1}{2}) - (0 - 0) \right)$
$= 4 \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \text{ ચોરસ એકમ}$.