Area bounded by region of single curve Questions in Gujarati

(C) વક્રો $y = e^x$ અને $y = e^{-x}$ એ $e^x = e^{-x}$ બિંદુએ છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
આ પ્રદેશ $x = 0$ (છેદબિંદુ) અને $x = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$e^x \ge e^{-x}$ છે.
માગેલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [e^x - (-e^{-x})]_{0}^{1}$
$A = [e^x + e^{-x}]_{0}^{1}$
સીમાઓ લાગુ પાડતા:
$A = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^0)$
$A = e + \frac{1}{e} - (1 + 1)$
$A = e + \frac{1}{e} - 2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આ વિસ્તાર વક્ર $y = x^2$ અને રેખા $y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. આ વિસ્તારને $y$-અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવતા,આપણે ડિસ્ક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કોઈ ચોક્કસ $y$ માટે,ડિસ્કની ત્રિજ્યા $x = \sqrt{y}$ છે.
ઘનફળ $V$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$V = \int_{0}^{1} \pi x^2 \, dy$
$x^2 = y$ મૂકતા:
$V = \int_{0}^{1} \pi y \, dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$V = \pi \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{2}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $4\pi/3$ (વિકલ્પ $B$) તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે.

(B) ગોળાના આડછેદને દર્શાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ છે.
વર્તુળના ચાપને $x$-અક્ષની આસપાસ ફેરવવાથી બનતા ઘન પદાર્થની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 2\pi \int_{x_1}^{x_2} y \, ds$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $ds = \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} \, dx$ છે.
$x^2 + y^2 = 25$ પરથી,આપણને $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
તેથી $ds = \sqrt{1 + (-\frac{x}{y})^2} \, dx = \sqrt{\frac{y^2 + x^2}{y^2}} \, dx = \sqrt{\frac{25}{y^2}} \, dx = \frac{5}{y} \, dx$.
સંકલનની સીમાઓ $x_1 = 2 \, cm$ થી $x_2 = 2 + 1 = 3 \, cm$ છે.
આમ,$S = 2\pi \int_{2}^{3} y \cdot \frac{5}{y} \, dx = 2\pi \int_{2}^{3} 5 \, dx$.
$S = 2\pi [5x]_{2}^{3} = 2\pi (15 - 10) = 10\pi \, cm^2$.

(A) $y = 0$ અને $y = 2$ ની વચ્ચે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ નો ભાગ $y$-અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે છે.
આનાથી પરિભ્રમણનું ઘન બને છે.
ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર $V = \pi \int_{a}^{b} x^2 \, dy$ છે.
વર્તુળના સમીકરણ પરથી,$x^2 = 9 - y^2$.
સીમાઓ $y = 0$ થી $y = 2$ મૂકતા:
$V = \pi \int_{0}^{2} (9 - y^2) \, dy$
$V = \pi \left[ 9y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$V = \pi \left[ (9(2) - \frac{2^3}{3}) - (0 - 0) \right]$
$V = \pi \left[ 18 - \frac{8}{3} \right]$
$V = \pi \left[ \frac{54 - 8}{3} \right] = \frac{46}{3}\pi$ ઘન એકમ.

(C) વક્ર $y = x|x|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x \ge 0$ માટે,$y = x^2$.
$x < 0$ માટે,$y = -x^2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-1}^{1} |y| dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય $y = x|x|$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{1} x^2 dx$ થશે.
$A = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2}{3}$.
આમ,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) વક્ર $y = \log_e(x + e)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લો:
$0 = \log_e(x + e) \implies x + e = e^0 = 1 \implies x = 1 - e$.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ લો:
$y = \log_e(0 + e) = \log_e(e) = 1$.
વક્ર અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $x = 1 - e$ થી $x = 0$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરવાથી મળે છે:
$\text{Area} = \int_{1 - e}^0 \log_e(x + e) \, dx$.
ધારો કે $t = x + e$,તો $dt = dx$. જ્યારે $x = 1 - e$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = e$.
$\text{Area} = \int_1^e \log_e(t) \, dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int \log_e(t) \, dt = t \log_e(t) - t$:
$\text{Area} = [t \log_e(t) - t]_1^e = (e \log_e(e) - e) - (1 \log_e(1) - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $1 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ માટે,વક્ર $y = \sqrt{3x + 4}$ છે. ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{4} \sqrt{3x + 4} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
આનું મૂલ્યાંકન કરતા: $\left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} (3x + 4)^{3/2} \right]_{-1}^{4} = \frac{2}{9} [ (3(4) + 4)^{3/2} - (3(-1) + 4)^{3/2} ] = \frac{2}{9} [ 16^{3/2} - 1^{3/2} ] = \frac{2}{9} [ 64 - 1 ] = \frac{2}{9} \times 63 = 14$.
ક્ષેત્રફળ $B$ માટે,વક્ર $y^2 = 3x + 4$ છે,જેનો અર્થ છે $y = \pm \sqrt{3x + 4}$. વક્ર અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ $|y|$ નું સંકલન છે.
કારણ કે વક્ર અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશ માટે $|y| = \sqrt{3x + 4}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $B = \int_{-1}^{4} |\sqrt{3x + 4}| \, dx = \int_{-1}^{4} \sqrt{3x + 4} \, dx = 14$.
આમ,$A = 14$ અને $B = 14$.
ગુણોત્તર $A:B = 14:14 = 1:1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે વક્ર $y = f(x)$ દ્વારા $x = \frac{\pi}{4}$ થી $x = \beta$ સુધી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx = \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બંને બાજુ $\beta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{d\beta} \left( \int_{\pi/4}^{\beta} f(x) dx \right) = \frac{d}{d\beta} \left( \beta \sin \beta + \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sqrt{2} \beta \right)$.
$\beta \sin \beta$ માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f(\beta) = (1 \cdot \sin \beta + \beta \cos \beta) - \frac{\pi}{4} \sin \beta + \sqrt{2}$.
હવે,$f(\beta)$ ના સમીકરણમાં $\beta = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \frac{\pi}{2} \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) - \frac{\pi}{4} \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \sqrt{2}$.
કારણ કે $\sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$ અને $\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ છે:
$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 + 0 - \frac{\pi}{4}(1) + \sqrt{2} = 1 - \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે કે વિધેયનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y = \int (2x + 1) dx = x^2 + x + c$.
વક્ર $(1, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 = (1)^2 + 1 + c \implies 2 = 2 + c \implies c = 0$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + x$ છે.
વક્ર અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y = 0$ મૂકીને વક્ર $x$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધીએ:
$x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \implies x = 0, x = -1$.
ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \left| \int_{-1}^{0} (x^2 + x) dx \right| = \left| \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} \right|$.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\text{Area} = \left| (0) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} \right) \right| = \left| - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) \right| = \left| - \left( \frac{1}{6} \right) \right| = \frac{1}{6} \, \text{sq. unit}$.

(B) વક્રનું સમીકરણ $y = x - x^2$ છે.
વક્ર $y = x - x^2$ અને રેખા $y = mx$ ના છેદબિંદુઓ $x - x^2 = mx$ લેવાથી મળે છે,જે $x(1 - x - m) = 0$ આપે છે. તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 1 - m$.
વક્ર અને રેખા દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1-m} (x - x^2 - mx) dx = \int_{0}^{1-m} ((1 - m)x - x^2) dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ (1 - m)\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1-m}$
$A = (1 - m)\frac{(1 - m)^2}{2} - \frac{(1 - m)^3}{3} = \frac{(1 - m)^3}{2} - \frac{(1 - m)^3}{3} = \frac{(1 - m)^3}{6}$
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $\frac{9}{2}$ છે,તેથી:
$\frac{(1 - m)^3}{6} = \frac{9}{2}$
$(1 - m)^3 = 27$
$1 - m = 3$
$m = -2$
આમ,$m$ ની સાચી કિંમત $-2$ છે.

(B) આપેલ વક્ર ${y^2}(2a - x) = {x^3}$ છે.
$y$ ની ઘાત બેકી હોવાથી,વક્ર $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
$y$ વાસ્તવિક હોવા માટે,$\frac{{x^3}}{{2a - x}} \ge 0$ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $0 \le x < 2a$.
રેખા $x = 2a$ એ વક્ર માટે અનંતસ્પર્શક છે.
$x$-અક્ષની ઉપરનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{2a} y \, dx = \int_0^{2a} \sqrt{\frac{x^3}{2a - x}} \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $x = 2a \sin^2 \theta$,તો $dx = 4a \sin \theta \cos \theta \, d\theta$.
જ્યારે $x = 0, \theta = 0$ અને જ્યારે $x = 2a, \theta = \frac{\pi}{2}$.
$A = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\frac{8a^3 \sin^6 \theta}{2a \cos^2 \theta}} \cdot 4a \sin \theta \cos \theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{2a \sqrt{2a} \sin^3 \theta}{\sqrt{2a} \cos \theta} \cdot 4a \sin \theta \cos \theta \, d\theta = 8a^2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \, d\theta$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \, d\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$.
આમ,$A = 8a^2 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi {a^2}}{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગોલીય કેપનું જરૂરી ઘનફળ $x^2 + y^2 = a^2$ વર્તુળના $ABCA$ વિસ્તારને $x$-અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવીને મેળવવામાં આવે છે.
અહીં,$CA = h$ અને $OA = a$ છે.
તેથી,$OC = OA - CA = a - h$.
આમ,$x$ ની કિંમત $a - h$ થી $a$ સુધી બદલાય છે.
જરૂરી ઘનફળ $V = \int_{a - h}^{a} \pi y^2 dx$.
$x^2 + y^2 = a^2$ હોવાથી,$y^2 = a^2 - x^2$ મળે.
$V = \pi \int_{a - h}^{a} (a^2 - x^2) dx$
$V = \pi \left[ a^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{a - h}^{a}$
$V = \pi \left[ (a^3 - \frac{a^3}{3}) - (a^2(a - h) - \frac{(a - h)^3}{3}) \right]$
$V = \pi \left[ \frac{2a^3}{3} - (a^3 - a^2h - \frac{a^3 - 3a^2h + 3ah^2 - h^3}{3}) \right]$
$V = \pi \left[ \frac{2a^3}{3} - (a^3 - a^2h - \frac{a^3}{3} + a^2h - ah^2 + \frac{h^3}{3}) \right]$
$V = \pi \left[ \frac{2a^3}{3} - (\frac{2a^3}{3} - ah^2 + \frac{h^3}{3}) \right]$
$V = \pi (ah^2 - \frac{h^3}{3}) = \frac{\pi h^2}{3}(3a - h)$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\ln x$ એ $x > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે અને $\ln |x|$ એ તમામ $x \in \mathbb{R} - \{0\}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
વળી,$|\ln x| \ge 0$ અને $|\ln |x|| \ge 0$.
આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $4 \times \int_{0}^{1} |\ln x| \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $x \in (0, 1)$ માટે,$\ln x < 0$ છે,તેથી $|\ln x| = -\ln x$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $= -4 \int_{0}^{1} \ln x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \ln x \, dx = x \ln x - x$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $= -4 [x \ln x - x]_{0}^{1} = -4 [(1 \ln 1 - 1) - (\lim_{x \to 0^+} x \ln x - 0)]$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= -4 [0 - 1 - 0] = -4(-1) = 4 \, sq. \, units$ થાય.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $18x^2 - 9\pi x + \pi^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(3x - \pi)(6x - \pi) = 0$.
તેથી,બીજ $\alpha = \frac{\pi}{6}$ અને $\beta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે (કારણ કે $\alpha < \beta$).
હવે,સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \cos((\sqrt{x})^2) = \cos(x)$ થાય.
વક્ર $y = \cos(x)$,રેખાઓ $x = \frac{\pi}{6}$,$x = \frac{\pi}{3}$ અને $y = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos(x) \, dx$.
સંકલન કરતા: $A = [\sin(x)]_{\pi/6}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{6})$.
કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપણી પાસે વક્ર $y = \log x$ છે.
સંકલનની સીમાઓ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકીને $x$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ શોધીએ:
$0 = \log x \implies x = 1$.
$x = 1$ અને $x = e$ વચ્ચે વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{1}^{e} \log x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log x \, dx = x \log x - x$.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [x \log x - x]_{1}^{e} = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1)$.
કારણ કે $\log e = 1$ અને $\log 1 = 0$:
$A = (e(1) - e) - (0 - 1) = (e - e) + 1 = 1$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $1$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = 2 \sin x + \sin 2x$ છે. $0 \le x \le \pi$ માટે,$y \ge 0$ છે,અને $\pi \le x \le 2 \pi$ માટે,$y \le 0$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{2 \pi} |y| \, dx = \int_0^{\pi} (2 \sin x + \sin 2x) \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} -(2 \sin x + \sin 2x) \, dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_0^{\pi} (2 \sin x + \sin 2x) \, dx = [-2 \cos x - \frac{1}{2} \cos 2x]_0^{\pi} = (-2(-1) - \frac{1}{2}(1)) - (-2(1) - \frac{1}{2}(1)) = (2 - 0.5) - (-2 - 0.5) = 1.5 + 2.5 = 4$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{\pi}^{2 \pi} -(2 \sin x + \sin 2x) \, dx = -[-2 \cos x - \frac{1}{2} \cos 2x]_{\pi}^{2 \pi} = -[(-2(1) - \frac{1}{2}(1)) - (-2(-1) - \frac{1}{2}(1))] = -[(-2.5) - (1.5)] = -[-4] = 4$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 4 + 4 = 8$.

(B) આપેલ વક્ર $y = x^2 + 4x + 5$ છે. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $y = (x+2)^2 + 1$ મળે છે.
$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -2$ આગળ મળે છે,જ્યાં $y = 1$ છે. આ ન્યૂનતમ ઓર્ડિનેટ છે.
વક્ર $y$-અક્ષને $x = 0$ આગળ છેદે છે,જ્યાં $y = 5$ છે.
વક્ર,$y$-અક્ષ $(x=0)$,$x$-અક્ષ $(y=0)$ અને ન્યૂનતમ ઓર્ડિનેટ $(x=-2)$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 5) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 5x \right]_{-2}^{0}$
$= (0) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 5(-2) \right)$
$= - \left( -\frac{8}{3} + 8 - 10 \right)$
$= - \left( -\frac{8}{3} - 2 \right) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8+6}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = x^2 - x^4 = x^2(1 - x^2)$ છે.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $y = \pm x \sqrt{1 - x^2}$ મળે છે.
આ વક્ર $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
તેથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળના $4$ ગણું થશે.
$A = 4 \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} dx$.
ધારો કે $u = 1 - x^2$,તો $du = -2x dx$,અથવા $x dx = -\frac{1}{2} du$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $u = 1$. જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $u = 0$.
$A = 4 \int_{1}^{0} \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = 2 \int_{0}^{1} u^{1/2} du$.
$A = 2 \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = 2 \times \frac{2}{3} [1 - 0] = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) વક્ર $y = (x - 1)(x - 2)(x - 3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ છે.
ક્ષેત્રફળ $y$-અક્ષ $(x=0)$,$x$-અક્ષ $(y=0)$ અને રેખા $x=3$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
વક્રના શૂન્યો $x=1, 2, 3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{3} |y| dx = \int_{0}^{1} |y| dx + \int_{1}^{2} |y| dx + \int_{2}^{3} |y| dx$.
ધારો કે $I(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{11x^2}{2} - 6x$.
$1$. $x \in [0, 1]$ માટે,$y < 0$,તેથી $A_1 = -[I(1) - I(0)] = \frac{9}{4}$.
$2$. $x \in [1, 2]$ માટે,$y > 0$,તેથી $A_2 = I(2) - I(1) = \frac{1}{4}$.
$3$. $x \in [2, 3]$ માટે,$y < 0$,તેથી $A_3 = -[I(3) - I(2)] = \frac{1}{4}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= A_1 + A_2 + A_3 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$.

(A) વક્ર $y = 1 + 4x - x^2$ અને રેખાઓ $x = 0, x = \frac{3}{2}$ તથા $y = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{3/2} (1 + 4x - x^2) \, dx$
$A = \left[ x + 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3/2}$
$A = \left( \frac{3}{2} + 2\left(\frac{9}{4}\right) - \frac{1}{3}\left(\frac{27}{8}\right) \right) - 0$
$A = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} - \frac{9}{8} = 6 - \frac{9}{8} = \frac{48 - 9}{8} = \frac{39}{8}$
રેખા $y = mx$ આ ક્ષેત્રફળને દુભાગે છે,તેથી રેખા $y = mx$,$x$-અક્ષ અને રેખા $x = \frac{3}{2}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોવું જોઈએ.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(\frac{3}{2}, 0)$ અને $(\frac{3}{2}, \frac{3m}{2})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{3m}{2} = \frac{9m}{8}$
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા સાથે સરખાવતા:
$\frac{9m}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{39}{8}$
$9m = \frac{39}{2}$
$m = \frac{39}{18} = \frac{13}{6}$

(C) વક્ર $y = f(x)$ દ્વારા $x = 1$ થી $x = b$ વચ્ચે ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int_{1}^{b} f(x) \, dx = (b - 1) \sin(3b + 4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$b$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને ક્ષેત્રફળ વિધેય $A(x) = \int_{1}^{x} f(t) \, dt = (x - 1) \sin(3x + 4)$ મળે છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f(x)$ શોધવા માટે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f(x) = \frac{d}{dx} [(x - 1) \sin(3x + 4)]$.
ગુણાકારના નિયમ $\frac{d}{dx} [u \cdot v] = u'v + uv'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{d}{dx}(x - 1) \cdot \sin(3x + 4) + (x - 1) \cdot \frac{d}{dx} \sin(3x + 4)$.
$f(x) = 1 \cdot \sin(3x + 4) + (x - 1) \cdot \cos(3x + 4) \cdot 3$.
$f(x) = \sin(3x + 4) + 3(x - 1) \cos(3x + 4)$.

(C) આપણને $0 < y < 3 - 2x - x^2$ અને $x > 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ આપવામાં આવ્યો છે.
$x$ માટે સંકલનની સીમાઓ શોધવા માટે,આપણે $y = 3 - 2x - x^2$ સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકીએ છીએ:
$3 - 2x - x^2 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
$(x + 3)(x - 1) = 0$
આનાથી $x = -3$ અથવા $x = 1$ મળે છે.
શરત $x > 0$ હોવાથી,$x$ માટેનો અંતરાલ $0$ થી શરૂ થાય છે અને $x = 1$ પર સમાપ્ત થાય છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int_{0}^{1} (3 - 2x - x^2) \, dx$ દ્વારા મળે છે.

(D) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = 0$ તથા $x = x_1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\int_{0}^{x_1} f(x) \, dx = x_1 e^{x_1}$
$f(x)$ શોધવા માટે,આપણે કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x_1$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d}{dx_1} \left( \int_{0}^{x_1} f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx_1} (x_1 e^{x_1})$
$f(x_1) = \frac{d}{dx_1} (x_1) \cdot e^{x_1} + x_1 \cdot \frac{d}{dx_1} (e^{x_1})$
$f(x_1) = 1 \cdot e^{x_1} + x_1 e^{x_1}$
$x_1$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = e^x + x e^x$

(A) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y = \int (2x + 1) dx = x^2 + x + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 = (1)^2 + 1 + C \Rightarrow 2 = 2 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + x$ છે.
આ પ્રદેશ વક્ર $y = x^2 + x$,$x$-અક્ષ $(y = 0)$ અને રેખા $x = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. વક્ર $x$-અક્ષને $x^2 + x = 0$ પર છેદે છે,જે $x(x + 1) = 0$ આપે છે,તેથી $x = 0$ અને $x = -1$. વક્ર,$x$-અક્ષ અને રેખા $x = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ $[0, 1]$ અંતરાલમાં છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} (x^2 + x) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$= \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) - (0 + 0) = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) અંતરાલ $[0, 1/c]$ પર બે વક્રો $f(x) = x^2$ અને $g(x) = cx^3$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ બંને વિધેયોના તફાવતનું સંકલન છે.
આલેખ પરથી,અંતરાલ $[0, 1/c]$ માં,$x^2 \ge cx^3$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{1/c} (x^2 - cx^3) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{cx^4}{4} \right]_{0}^{1/c}$
$= \left( \frac{(1/c)^3}{3} - \frac{c(1/c)^4}{4} \right) - 0$
$= \frac{1}{3c^3} - \frac{1}{4c^3}$
$= \frac{4 - 3}{12c^3} = \frac{1}{12c^3}$
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $A = 2/3$,તેથી:
$\frac{1}{12c^3} = \frac{2}{3}$
$24c^3 = 3 \implies c^3 = 3/24 = 1/8$
તેથી,$c = \sqrt[3]{1/8} = 1/2$.

(B) આપેલ વક્રો $x, y \le 0$ માટે $y = -\sqrt{-x}$ અને $x = -\sqrt{-y}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = -x$ અને $x^2 = -y$ મળે છે.
આ ત્રીજા ચરણમાં ખુલતા પરવલયો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = -x^2$ ને $y^2 = -x$ માં મૂકતા:
$(-x^2)^2 = -x \Rightarrow x^4 = -x \Rightarrow x(x^3 + 1) = 0$.
$x \le 0$ હોવાથી,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = -1$ છે.
જ્યારે $x = 0, y = 0$. જ્યારે $x = -1, y = -1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -1$ થી $x = 0$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_{-1}^{0} (\text{ઉપરનો વક્ર} - \text{નીચેનો વક્ર}) dx$
અંતરાલ $[-1, 0]$ માં,વક્ર $y = -\sqrt{-x}$ એ $y = -x^2$ ની ઉપર છે.
$A = \int_{-1}^{0} (-\sqrt{-x} - (-x^2)) dx = \int_{-1}^{0} (x^2 - \sqrt{-x}) dx$
$A = [\frac{x^3}{3} - \frac{(-x)^{3/2}}{3/2} \times (-1)]_{-1}^{0} = [\frac{x^3}{3} + \frac{2}{3}(-x)^{3/2}]_{-1}^{0}$
$A = (0 + 0) - (\frac{-1}{3} + \frac{2}{3}(1)) = -(-\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = -\frac{1}{3}$.
ક્ષેત્રફળ હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈએ છીએ: $A = 1/3$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = e^{-1}$ થી $x = e$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરવાથી મળે છે.
$A = \int_{e^{-1}}^{e} x(1 - \ln x) \, dx$
ધારો કે $I = \int x(1 - \ln x) \, dx = \int x \, dx - \int x \ln x \, dx$.
$\int x \ln x \, dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$u = \ln x$ અને $dv = x \, dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x} \, dx$ અને $v = \frac{x^2}{2}$ મળે.
$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}$.
તેથી,$I = \frac{x^2}{2} - (\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}) = \frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln x$.
હવે,$e^{-1}$ થી $e$ સુધી નિશ્ચિત સંકલન મેળવતા:
$A = [\frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln x]_{e^{-1}}^{e}$
$A = (\frac{3e^2}{4} - \frac{e^2}{2} \ln e) - (\frac{3e^{-2}}{4} - \frac{e^{-2}}{2} \ln e^{-1})$
$A = (\frac{3e^2}{4} - \frac{e^2}{2}) - (\frac{3e^{-2}}{4} + \frac{e^{-2}}{2})$
$A = \frac{e^2}{4} - \frac{5e^{-2}}{4} = \frac{e^2 - 5e^{-2}}{4}$.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{a}^{2a} \left( \frac{x}{6} + \frac{1}{x^2} \right) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{12} - \frac{1}{x} \right]_{a}^{2a}$
$= \left( \frac{(2a)^2}{12} - \frac{1}{2a} \right) - \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{a} \right)$
$= \left( \frac{4a^2}{12} - \frac{1}{2a} \right) - \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{a} \right)$
$= \frac{3a^2}{12} + \frac{1}{a} - \frac{1}{2a} = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{2a}$
ધારો કે $f(a) = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{2a}$. ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(a) = \frac{2a}{4} - \frac{1}{2a^2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2a^2}$
$f'(a) = 0$ લેતા:
$\frac{a}{2} = \frac{1}{2a^2} \Rightarrow a^3 = 1 \Rightarrow a = 1$
આમ,$a$ ની જે કિંમત માટે ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ છે તે $1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 3x^3 + 2x$. આપણે $g(x)$,$x-$અક્ષ અને રેખા $x = 5$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
$g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય હોવાથી,$x=0$ થી $x=5$ સુધી $g(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ $y=0$ થી $y=5$ સુધી $f(x)$ અને $y-$અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું જ થાય.
પ્રથમ,$f(x) = 5$ હોય તે માટે $x$ ની કિંમત શોધો:
$3x^3 + 2x = 5 \implies 3x^3 + 2x - 5 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $3(1)^3 + 2(1) - 5 = 0$.
ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{5} g(x) \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિવિધેયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\int_{0}^{a} g(x) \, dx + \int_{0}^{g(a)} f(x) \, dx = a \cdot g(a)$.
અહીં $a = 5$ અને $g(5) = 1$ છે.
તેથી,$\int_{0}^{5} g(x) \, dx + \int_{0}^{1} (3x^3 + 2x) \, dx = 5 \cdot 1 = 5$.
$\int_{0}^{1} (3x^3 + 2x) \, dx = [\frac{3x^4}{4} + x^2]_{0}^{1} = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $5 - \frac{7}{4} = \frac{20 - 7}{4} = \frac{13}{4}$ છે.

(A) ધારો કે $A_1$ એ $0 < x < 1$ માટે વક્ર $y = 1 - x^2$ અને અક્ષો વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
$A_1 = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$
હવે,વક્ર $y = 1 - x^2$ માટે,$x = \alpha$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $y' = -2x$ છે. $x = \alpha$ આગળ,$y' = -2\alpha.$
$(\alpha, 1 - \alpha^2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (1 - \alpha^2) = -2\alpha(x - \alpha)$ છે.
$y - 1 + \alpha^2 = -2\alpha x + 2\alpha^2 \Rightarrow 2\alpha x + y = \alpha^2 + 1.$
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $P$ (જ્યાં $y=0$) અને $y$-અક્ષને $Q$ (જ્યાં $x=0$) માં મળે છે.
$P = \left( \frac{\alpha^2 + 1}{2\alpha}, 0 \right)$ અને $Q = (0, \alpha^2 + 1).$
ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times OP \times OQ = \frac{1}{2} \times \frac{\alpha^2 + 1}{2\alpha} \times (\alpha^2 + 1) = \frac{(\alpha^2 + 1)^2}{4\alpha}.$
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$A' = \frac{1}{4} \left[ \frac{2(\alpha^2 + 1)(2\alpha)(\alpha) - (\alpha^2 + 1)^2(1)}{\alpha^2} \right] = \frac{(\alpha^2 + 1)(4\alpha^2 - \alpha^2 - 1)}{4\alpha^2} = \frac{(\alpha^2 + 1)(3\alpha^2 - 1)}{4\alpha^2}.$
$A' = 0$ લેતા,આપણને $3\alpha^2 - 1 = 0 \Rightarrow \alpha^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે (કારણ કે $0 < \alpha < 1$).
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{(\frac{1}{3} + 1)^2}{4(\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{(\frac{4}{3})^2}{\frac{4}{\sqrt{3}}} = \frac{16}{9} \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{9} = \frac{4}{3\sqrt{3}}.$
આપેલ છે કે $A = k A_1,$ તેથી $\frac{4}{3\sqrt{3}} = k \times \frac{2}{3}.$
$k = \frac{4}{3\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}.$

(A) બિંદુ $(a, 0)$ એ વક્ર $y = \sin 2x - \sqrt{3} \sin x$ પર આવેલું છે.
$y = 0$ લેતા,આપણને મળે $0 = 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x = \sin x (2 \cos x - \sqrt{3})$.
કારણ કે $a > 0$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથેનું પ્રથમ છેદબિંદુ છે,તેથી $\sin a \neq 0$,એટલે કે $2 \cos a = \sqrt{3}$,જે $a = \frac{\pi}{6}$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $A = \int_{0}^{\pi/6} (\sin 2x - \sqrt{3} \sin x) dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = \left[ -\frac{\cos 2x}{2} + \sqrt{3} \cos x \right]_{0}^{\pi/6}$.
સીમાઓ મૂકતા: $A = \left( -\frac{\cos(\pi/3)}{2} + \sqrt{3} \cos(\pi/6) \right) - \left( -\frac{\cos 0}{2} + \sqrt{3} \cos 0 \right)$.
$A = \left( -\frac{1/2}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \sqrt{3} \right) = \left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \sqrt{3} \right) = \frac{5}{4} + \frac{1}{2} - \sqrt{3} = \frac{7}{4} - \sqrt{3}$.
આમ,$4A = 7 - 4\sqrt{3}$.
કારણ કે $a = \pi/6$,$\cos a = \sqrt{3}/2$,તેથી $8 \cos a = 4\sqrt{3}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$4A + 8 \cos a = (7 - 4\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} = 7$.

(A) વિધેય $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 13$ છે.
વક્ર અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x=0$,$y=0$ અને વક્ર $y=f(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશને જોઈએ છીએ.
આલેખ પરથી,વક્ર $x$-અક્ષને $x=1$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીના $f(x)$ ના સંકલનનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે:
$A = \left| \int_{0}^{1} (x^3 - 8x^2 + 20x - 13) \, dx \right|$
$A = \left| \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + 10x^2 - 13x \right]_{0}^{1} \right|$
$A = \left| \left( \frac{1}{4} - \frac{8}{3} + 10 - 13 \right) - 0 \right|$
$A = \left| \frac{3 - 32 + 120 - 156}{12} \right|$
$A = \left| \frac{-65}{12} \right| = \frac{65}{12}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{65}{12}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = ax^2 + bx + c$ છે. આપેલ છે કે $c = 3$ અને $a = 1$,તેથી $f(x) = x^2 + bx + 3$.
વક્ર $x = 1$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,શિરોબિંદુ $x = 1$ પર મળે છે.
વિકલન $f'(x) = 2x + b$. $f'(1) = 0$ લેતા $2(1) + b = 0$,તેથી $b = -2$.
આમ,બહુપદી $f(x) = x^2 - 2x + 3$ છે.
વક્ર $y = f(x)$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે $f(x) = 3$ લેતા:
$x^2 - 2x + 3 = 3$ $\Rightarrow x^2 - 2x = 0$ $\Rightarrow x(x - 2) = 0$.
છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{2} (3 - f(x)) dx = \int_{0}^{2} (3 - (x^2 - 2x + 3)) dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલન કરતા: $[x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$.

(C) આપેલ વક્ર $y = x^3 + px + 1$ છે.
વક્ર અને રેખા $y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x^3 + px + 1 = 1$ લઈએ,જે $x^3 + px = 0$ આપે છે.
આનો અર્થ છે $x(x^2 + p) = 0$.
ધારો કે $p < 0$,અને $p = -a^2$ જ્યાં $a > 0$.
છેદબિંદુઓ $x = 0, x = a, x = -a$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ વક્ર અને રેખા વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_{-a}^{0} (x^3 - a^2x + 1 - 1) dx + \int_{0}^{a} (1 - (x^3 - a^2x + 1)) dx$.
$A = \int_{-a}^{0} (x^3 - a^2x) dx + \int_{0}^{a} (-x^3 + a^2x) dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[\frac{x^4}{4} - \frac{a^2x^2}{2}]_{-a}^{0} = 0 - (\frac{a^4}{4} - \frac{a^4}{2}) = \frac{a^4}{4}$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $[-\frac{x^4}{4} + \frac{a^2x^2}{2}]_{0}^{a} = (-\frac{a^4}{4} + \frac{a^4}{2}) - 0 = \frac{a^4}{4}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{a^4}{4} + \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{2}$.
કારણ કે $p = -a^2$,તેથી $p^2 = a^4$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{p^2}{2}$ છે.

(B) વિધેય $y = \ln^2 x - 1$ છે. $4^{th}$ ચરણ એ વિસ્તાર છે જ્યાં $y < 0$ અને $x > 0$ હોય.
$y = 0$ લેતા,$\ln^2 x = 1$,તેથી $\ln x = \pm 1$,જે $x = e$ અથવા $x = 1/e$ આપે છે.
$x \in (1/e, e)$ માટે,$\ln x$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે છે,તેથી $\ln^2 x < 1$,એટલે કે $y < 0$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1/e}^{e} |\ln^2 x - 1| dx = \int_{1/e}^{e} (1 - \ln^2 x) dx$.
$\int \ln^2 x dx = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int (1 - \ln^2 x) dx = x - (x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x) = -x \ln^2 x + 2x \ln x - x$.
$1/e$ થી $e$ સુધીની કિંમત મૂકતા:
$x = e$ માટે: $-e(1)^2 + 2e(1) - e = 0$.
$x = 1/e$ માટે: $-(1/e)(-1)^2 + 2(1/e)(-1) - (1/e) = -4/e$.
આમ,$A = 0 - (-4/e) = 4/e$.

(C) $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ ના છેદબિંદુઓ $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{5\pi}{4}$ છે.
અંતરાલ $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ માં,$\sin x \geq \cos x$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) \, dx$
$= [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$
$= -[(\cos x + \sin x)]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$
$= -\left[ \left( \cos\frac{5\pi}{4} + \sin\frac{5\pi}{4} \right) - \left( \cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} \right) \right]$
$= -\left[ \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right]$
$= -\left[ -\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} \right]$
$= -[ -\sqrt{2} - \sqrt{2} ] = -(-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

(B) ધારો કે $y = f(x) = x + e^x$. આપણે $x=1$ થી $x=1+e$ સુધી $f^{-1}(x)$ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવું છે.
આ ક્ષેત્રફળ $\int_{1}^{1+e} f^{-1}(x) dx$ બરાબર છે.
વિકલન અને સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આ ક્ષેત્રફળ $\int_{f^{-1}(1)}^{f^{-1}(1+e)} x f'(x) dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $f(x) = x + e^x$ માટે,$f(0) = 0 + e^0 = 1$ અને $f(1) = 1 + e^1 = 1+e$ થાય છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} x (1 + e^x) dx$ થશે.
$= \int_{0}^{1} x dx + \int_{0}^{1} x e^x dx$.
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ x e^x - e^x \right]_{0}^{1}$.
$= (\frac{1}{2} - 0) + ((1 \cdot e^1 - e^1) - (0 \cdot e^0 - e^0))$.
$= \frac{1}{2} + (0 - (-1)) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ $sq. units$.

(A) વક્ર $x = \sqrt{2 - y^2}$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ નો જમણો અર્ધભાગ દર્શાવે છે,જેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
વક્રો $|x| = |y|$ એ રેખાઓ $y = x$ અને $y = -x$ દર્શાવે છે.
આ રેખાઓ વર્તુળને એવા બિંદુઓ પર છેદે છે જ્યાં $x^2 + x^2 = 2$,જે $2x^2 = 2$ આપે છે,તેથી $x^2 = 1$,એટલે કે $x = 1$ ($x \ge 0$ હોવાથી).
$x = 1$ પર,$y = 1$ અને $y = -1$ મળે છે. કેન્દ્ર પર ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta = -45^\circ$ થી $\theta = 45^\circ$ સુધીનો છે,જે $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.
વર્તુળાકાર વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} r^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r^2 = 2$ અને $\theta = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા,આપણને ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(C) પ્રથમ,વક્રના સમીકરણને સરળ બનાવો: $y = \cos^{-1}\sqrt{1 - x^2} = \sin^{-1}x$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.
$x = 0$ આગળ $y = \sin^{-1}x$ નો સ્પર્શક: $y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,તેથી $x = 0$ આગળ $y' = 1$. સ્પર્શક રેખા $y = x$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^1 (\sin^{-1}x - x) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int \sin^{-1}x dx = x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}$.
$A = [x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{2}]_0^1 = (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}) - 1 = \frac{\pi - 3}{2}$.
અહીં $0 < \frac{\pi - 3}{2} < 1$ હોવાથી,$\{A\} = \frac{\pi - 3}{2}$ અને $\text{sgn}(A) = 1$.
તેથી,$2(\{A\} + \text{sgn}(A)) = 2(\frac{\pi - 3}{2} + 1) = \pi - 1$.

(C) આપેલ વક્ર $y^2 = \frac{(a-x)^3}{a+x}$ છે.
જેમ $x \to -a$,તેમ $y \to \infty$,તેથી $x = -a$ એ શિરોલંબ અનંતસ્પર્શક છે.
વક્ર $x$-અક્ષને $x = a$ પર છેદે છે (જ્યાં $y=0$).
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{-a}^{a} y \, dx = 2 \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{(a-x)^3}{a+x}} \, dx$.
ધારો કે $x = a \cos \theta$,તો $dx = -a \sin \theta \, d\theta$.
જ્યારે $x = -a, \theta = \pi$ અને જ્યારે $x = a, \theta = 0$.
$A = 2 \int_{\pi}^{0} \sqrt{\frac{(a - a \cos \theta)^3}{a + a \cos \theta}} (-a \sin \theta) \, d\theta = 8a^2 \int_{0}^{\pi} \sin^4(\theta/2) \, d\theta$.
સંકલન કરતા,$\int_{0}^{\pi} \sin^4(\theta/2) \, d\theta = \frac{3\pi}{8}$.
તેથી,$A = 8a^2 \times \frac{3\pi}{8} = 3\pi a^2$.

(A) આપેલ વક્રો $y = |x| - 1$ અને $y = 1 - |x|$ છે.
આ વક્રો એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(1, 0)$,$(0, 1)$,$(-1, 0)$,અને $(0, -1)$ છે.
આ ચોરસની બાજુની લંબાઈ બે નજીકના શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે,ઉદાહરણ તરીકે,$(1, 0)$ અને $(0, 1)$:
$s = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $(\sqrt{2})^2 = 2$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો $x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ અને $y = \frac{2t}{1 + t^2}$ છે.
ધારો કે $t = \tan \theta$. તો $x = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos 2\theta$ અને $y = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin 2\theta$ થાય.
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$x^2 + y^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$ મળે.
આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્રિત અને $r = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$r = 1$ મૂકતા,$A = \pi(1)^2 = \pi \ sq. \ units$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $\int\limits_0^1 {(4x^3 - f(x))f(x)dx = \frac{4}{7}}$.
સંકલિતનું વિસ્તરણ કરતા: $\int\limits_0^1 {(4x^3f(x) - (f(x))^2)dx = \frac{4}{7}}$.
પદોને ગોઠવતા: $\int\limits_0^1 {(-(f(x))^2 + 4x^3f(x))dx = \frac{4}{7}}$.
$-1$ વડે ગુણતા: $\int\limits_0^1 {((f(x))^2 - 4x^3f(x))dx = -\frac{4}{7}}$.
બંને બાજુ $\int\limits_0^1 {(2x^3)^2 dx}$ ઉમેરીને પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$\int\limits_0^1 {((f(x))^2 - 4x^3f(x) + 4x^6)dx = -\frac{4}{7} + \int\limits_0^1 {4x^6 dx}}$.
$\int\limits_0^1 {(f(x) - 2x^3)^2 dx = -\frac{4}{7} + [\frac{4x^7}{7}]_0^1 = -\frac{4}{7} + \frac{4}{7} = 0}$.
વર્ગીય વિધેયનું સંકલન $0$ હોવાથી,$f(x) - 2x^3 = 0$,તેથી $f(x) = 2x^3$.
$y = 2x^3$,$x$-અક્ષ,$x = 1$ અને $x = 2$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $\int\limits_1^2 {2x^3 dx}$ છે.
$= [\frac{2x^4}{4}]_1^2 = [\frac{x^4}{2}]_1^2 = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2y + y^2x = \alpha xy$ છે.
ધારો કે $x \neq 0$ અને $y \neq 0$,તો $xy$ વડે ભાગતા આપણને $x + y = \alpha$ મળે છે.
આ વક્ર $x = 0$,$y = 0$ અને $x + y = \alpha$ રેખાઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ દર્શાવે છે.
આ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(\alpha, 0)$ અને $(0, \alpha)$ છે.
પાયો $|\alpha|$ અને વેધ $|\alpha|$ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |\alpha| \times |\alpha| = \frac{\alpha^2}{2}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $2$ એકમ આપેલ હોવાથી,$\frac{\alpha^2}{2} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^2 = 4$.
તેથી,$\alpha = \pm 2$.

(D) વિધેય $f(x) = \min \{\sin^{-1} x, \cos^{-1} x\}$ એ $x \in [0, 1/\sqrt{2}]$ માટે $\sin^{-1} x$ અને $x \in [1/\sqrt{2}, 1]$ માટે $\cos^{-1} x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f(x)$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરવું સરળ છે.
ધારો કે $y = \sin^{-1} x \implies x = \sin y$ અને $y = \cos^{-1} x \implies x = \cos y$.
વક્રો $y = \pi/4$ પર છેદે છે જ્યાં $x = 1/\sqrt{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{\pi/4} (\cos y - \sin y) dy$ દ્વારા મળે છે.
$= [\sin y + \cos y]_{0}^{\pi/4}$
$= (\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)) - (\sin(0) + \cos(0))$
$= (1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}) - (0 + 1)$
$= \sqrt{2} - 1$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = (x-1)^3 + 2$.
ધારો કે $y = g(x)$,તેથી $x = f(y) = (y-1)^3 + 2$.
આપણે $y = g(x)$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચે $x = 1$ થી $x = 2$ ની વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આ ક્ષેત્રફળ $x = f(y)$ અને $y$-અક્ષ વચ્ચે $y = g(1)$ થી $y = g(2)$ ની વચ્ચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ થાય.
અહીં $f(0) = 1$ હોવાથી $g(1) = 0$ અને $f(1) = 2$ હોવાથી $g(2) = 1$ મળે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A = \int_1^2 g(x) dx$. $x = f(y)$ લેતા,$dx = f'(y) dy$.
જ્યારે $x = 1, y = 0$ અને જ્યારે $x = 2, y = 1$.
$A = \int_0^1 y f'(y) dy = [y f(y)]_0^1 - \int_0^1 f(y) dy = (1 \cdot f(1) - 0 \cdot f(0)) - \int_0^1 (y^3 - 3y^2 + 3y + 1) dy = 2 - [\frac{y^4}{4} - y^3 + \frac{3y^2}{2} + y]_0^1 = 2 - (\frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} + 1) = 2 - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $|y| + \frac{1}{2} = e^{-|x|}$ છે.
સમીકરણમાં $|x|$ અને $|y|$ હોવાથી,વક્ર $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
આપણે લખી શકીએ કે $|y| = e^{-|x|} - \frac{1}{2}$.
$y$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,$e^{-|x|} - \frac{1}{2} \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $e^{-|x|} \ge \frac{1}{2}$,અથવા $|x| \le \ln 2$.
પ્રથમ ચરણમાં $(x \ge 0, y \ge 0)$,સમીકરણ $y = e^{-x} - \frac{1}{2}$ બને છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $\int_0^{\ln 2} (e^{-x} - \frac{1}{2}) dx$ છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\int_0^{\ln 2} e^{-x} dx - \int_0^{\ln 2} \frac{1}{2} dx = [-e^{-x}]_0^{\ln 2} - [\frac{1}{2}x]_0^{\ln 2} = (-e^{-\ln 2} - (-e^0)) - \frac{1}{2}\ln 2 = (-\frac{1}{2} + 1) - \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1}{2}(1 - \ln 2)$.
વક્ર ચારેય ચરણમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times \frac{1}{2}(1 - \ln 2) = 2(1 - \ln 2)$ થાય.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને): $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - x$.
આ $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = -x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$.
$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = -1$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{y}{x} = \int -1 dx = -x + c$.
તેથી,$y = -x^2 + cx$.
પ્રારંભિક શરત $y(1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા: $0 = -1 + c \implies c = 1$.
વક્ર $y = -x^2 + x$ છે.
વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં $y=0$ હોય ત્યાં છેદે છે,એટલે કે $-x^2 + x = 0 \implies x(1-x) = 0$,તેથી $x=0$ અને $x=1$.
વક્ર અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_0^1 (-x^2 + x) dx$ છે.
$= [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_0^1 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 32$ છે,જેને $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (4\sqrt{2})^2$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 4\sqrt{2}$ છે.
આપણે તપાસીએ કે શું રેખા $y = x + 1$ (અથવા $x - y + 1 = 0$) કેન્દ્ર $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાના સમીકરણમાં $(2, 3)$ મૂકતા: $2 - 3 + 1 = 0$.
કેન્દ્ર રેખાના સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી,આ રેખા વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસ વર્તુળને બે સમાન ક્ષેત્રફળમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,રેખાની નીચે આવેલા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ એ કુલ ક્ષેત્રફળનું અડધું થાય.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (4\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \pi (32) = 16\pi$.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{a}^{2a} \left( \frac{x}{6} + \frac{1}{x^2} \right) dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{x^2}{12} - \frac{1}{x} \right]_{a}^{2a}$
$A = \left( \frac{(2a)^2}{12} - \frac{1}{2a} \right) - \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{a} \right)$
$A = \left( \frac{4a^2}{12} - \frac{1}{2a} \right) - \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{a} \right)$
$A = \frac{3a^2}{12} - \frac{1}{2a} + \frac{1}{a}$
$A = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{2a}$
ધારો કે $f(a) = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{2a}$. ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(a)$ શોધીશું અને તેને $0$ ની બરાબર લઈશું:
$f'(a) = \frac{2a}{4} - \frac{1}{2a^2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2a^2}$
$f'(a) = 0$ લેતા:
$\frac{a}{2} = \frac{1}{2a^2}$
$a^3 = 1$
$a = 1$
અહીં $f''(a) = \frac{1}{2} + \frac{1}{a^3} > 0$ હોવાથી,$a = 1$ આગળ વિધેય ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.