Integration by substitution Questions in Gujarati

(C) અમને સંકલન $I = \int e^{(e^{x}+x)} dx$ આપેલ છે.
ઘાતાંકના નિયમ $e^{a+b} = e^{a} \cdot e^{b}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int e^{e^{x}} \cdot e^{x} dx$.
હવે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ.
ધારો કે $t = e^{x}$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = e^{x} dx$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int e^{t} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં $e^{t}$ નું સંકલન $e^{t} + c$ થાય છે.
$t = e^{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = e^{(e^{x})} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{\cos x \sqrt{\cos 2 x}}$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા અથવા પદને ફરીથી લખતા:
$I = \int \frac{d x}{\cos x \sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}} = \int \frac{d x}{\cos x \cdot \cos x \sqrt{1 - \tan^2 x}} = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{1 - \tan^2 x}} d x$.
$t = \tan x$ આદેશ લેતા,$dt = \sec^2 x d x$ મળે.
તેથી,$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \sin^{-1}(\tan x) + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{x}}{x(x+1)} dx$.
$x = t^2$ આદેશ લેતા,$dx = 2t dt$ મળે.
તેથી $I = \int \frac{t}{t^2(t^2+1)} (2t dt) = \int \frac{2t^2}{t^2(t^2+1)} dt$.
$I = \int \frac{2}{t^2+1} dt = 2 \tan^{-1}(t) + c$.
અહીં $t = \sqrt{x}$ હોવાથી,$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x}) + c$ મળે.
આને $k \tan^{-1} m + c$ સાથે સરખાવતા,$k=2$ અને $m=\sqrt{x}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}$.
છેદને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$e^x + \frac{1}{e^x} + 2 = \frac{e^{2x} + 1 + 2e^x}{e^x} = \frac{(e^x+1)^2}{e^x}$.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે:
$I = \int \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx$.
ધારો કે $u = e^x + 1$. તો $du = e^x dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{du}{u^2} = \int u^{-2} du$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{u^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{u} + c$.
$u = e^x + 1$ પાછા મૂકતા:
$I = -\frac{1}{e^x+1} + c$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \cos ^3 x e^{\log (\sin x)^2} dx$ છે.
ગુણધર્મ $e^{\log f(x)} = f(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $e^{\log (\sin x)^2} = (\sin x)^2$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \cos ^3 x \sin ^2 x dx$.
આને આપણે $I = \int \cos ^2 x \sin ^2 x \cos x dx$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,તેથી $I = \int (1 - \sin ^2 x) \sin ^2 x \cos x dx$.
ધારો કે $\sin x = t$,તો $\cos x dx = dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int (1 - t^2) t^2 dt = \int (t^2 - t^4) dt$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$I = \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} + c$ મળે છે.
$t = \sin x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{\sin ^3 x}{3} - \frac{\sin ^5 x}{5} + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{5^{x}}{\sqrt{5^{-2x}-5^{2x}}} dx$.
છેદને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\sqrt{5^{-2x}-5^{2x}} = \sqrt{\frac{1}{5^{2x}} - 5^{2x}} = \sqrt{\frac{1 - (5^{2x})^2}{5^{2x}}} = \frac{\sqrt{1 - (5^{2x})^2}}{5^x}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{5^x}{\frac{\sqrt{1 - (5^{2x})^2}}{5^x}} dx = \int \frac{5^{2x}}{\sqrt{1 - (5^{2x})^2}} dx$.
ધારો કે $t = 5^{2x}$. તેથી $dt = 5^{2x} \cdot \ln(5) \cdot 2 dx = 2 \ln(5) \cdot 5^{2x} dx$.
તેથી,$5^{2x} dx = \frac{dt}{2 \ln(5)} = \frac{dt}{\ln(25)}$.
સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{dt}{\ln(25)} = \frac{1}{\ln(25)} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$.
$I = \frac{1}{\ln(25)} \sin^{-1}(t) + c = \frac{\sin^{-1}(5^{2x})}{\ln(25)} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{(x+2) \sqrt{x+1}}$.
$\sqrt{x+1} = t$ આદેશ લેતા,$x+1 = t^2$ મળે,તેથી $x = t^2 - 1$ અને $dx = 2t \, dt$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 - 1 + 2) \cdot t}$
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 + 1) \cdot t}$
$I = 2 \int \frac{dt}{t^2 + 1}$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dt}{t^2 + 1} = \tan^{-1}(t) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \tan^{-1}(t) + c$
હવે $t = \sqrt{x+1}$ પાછું મૂકતા:
$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+1}) + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{\log (\sec x+\tan x)}} dx$.
$t = \log (\sec x + \tan x)$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$dt = \frac{1}{\sec x + \tan x} (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx$.
$dt = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} dx$.
$dt = \sec x dx$.
હવે,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-1/2} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{t^{1/2}}{1/2} + c = 2\sqrt{t} + c$.
$t = \log (\sec x + \tan x)$ પાછું મૂકતા:
$I = 2\sqrt{\log (\sec x + \tan x)} + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{1+\log x}{\cos^{2}(x \log x)} dx$.
આદેશ લો: $t = x \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dt}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x$.
તેથી,$(1 + \log x) dx = dt$.
હવે સંકલનમાં કિંમત મુકતા: $I = \int \frac{1}{\cos^{2} t} dt = \int \sec^{2} t dt$.
$\sec^{2} t$ નું સંકલન $\tan t + c$ થાય છે.
$t = x \log x$ પાછું મુકતા,આપણને $I = \tan(x \log x) + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx$.
$\sqrt{x} = t$ આદેશ લેતા.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \cos(t) \cdot 2 \, dt$.
$I = 2 \int \cos(t) \, dt$.
$\cos(t)$ નું સંકલન કરતા,$I = 2 \sin(t) + c$.
છેલ્લે $t = \sqrt{x}$ મૂકતા,આપણને $I = 2 \sin \sqrt{x} + c$ મળે છે.

(A) $\text{ધારો કે } I = \int 7^{7^{7^{x}}} 7^{7^{x}} 7^{x} dx$.
$\text{ધારો કે } u = 7^{x}$. $\text{તેથી } du = 7^{x} \log 7 dx$,$\text{એટલે કે } 7^{x} dx = \frac{du}{\log 7}$.
$\text{સંકલન આ મુજબ બનશે: } I = \int 7^{7^{u}} 7^{u} \frac{du}{\log 7} = \frac{1}{\log 7} \int 7^{7^{u}} 7^{u} du$.
$\text{ધારો કે } v = 7^{u}$. $\text{તેથી } dv = 7^{u} \log 7 du$,$\text{એટલે કે } 7^{u} du = \frac{dv}{\log 7}$.
$\text{આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,} I = \frac{1}{\log 7} \int 7^{v} \frac{dv}{\log 7} = \frac{1}{(\log 7)^{2}} \int 7^{v} dv$.
$\text{કારણ કે } \int 7^{v} dv = \frac{7^{v}}{\log 7} + C$,$\text{તેથી } I = \frac{7^{v}}{(\log 7)^{3}} + C$.
$\text{પાછી કિંમત } v = 7^{u} = 7^{7^{x}} \text{ મૂકતા,આપણને મળે } I = \frac{7^{7^{7^{x}}}}{(\log 7)^{3}} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \sqrt{x-\frac{1}{x}}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\right) d x$.
$u = x - \frac{1}{x}$ આદેશ લેતા.
તેથી $du = (1 + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{x^2+1}{x^2} dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{u^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3} u^{3/2} + c$.
$u = x - \frac{1}{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{2}{3} (x - \frac{1}{x})^{3/2} + c$.
આપેલ પદ $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{x})^k + c$ સાથે સરખાવતા,$k = \frac{3}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{1+2 e^{-x}}{1-2 e^{-x}} d x$.
અંશને $(1-2e^{-x}) + 4e^{-x}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int \frac{(1-2e^{-x}) + 4e^{-x}}{1-2e^{-x}} d x$.
$I = \int \left( 1 + \frac{4e^{-x}}{1-2e^{-x}} \right) d x$.
$I = \int 1 d x + 2 \int \frac{2e^{-x}}{1-2e^{-x}} d x$.
ધારો કે $u = 1-2e^{-x}$,તો $du = 2e^{-x} d x$.
$I = x + 2 \int \frac{1}{u} du = x + 2 \ln|u| + c$.
$u$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $I = x + 2 \ln|1-2e^{-x}| + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$.
$\sqrt{x} = t$ આદેશ લેતા,તેથી $x = t^2$ અને $dx = 2t \, dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2t}{1+t} \, dt$.
$I = 2 \int \frac{t}{1+t} \, dt$.
$I = 2 \int \frac{(t+1) - 1}{1+t} \, dt$.
$I = 2 \int \left( 1 - \frac{1}{1+t} \right) \, dt$.
$I = 2 \left( \int 1 \, dt - \int \frac{1}{1+t} \, dt \right)$.
$I = 2(t - \log|1+t|) + c$.
$t = \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = 2\sqrt{x} - 2\log|1+\sqrt{x}| + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x \cdot \cos x}{\sin ^{4} x + \cos ^{4} x} dx$.
અંશ અને છેદને $\cos ^{4} x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{\frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^{4} x}}{\frac{\sin ^{4} x}{\cos ^{4} x} + 1} dx = \int \frac{\tan x \sec ^{2} x}{\tan ^{4} x + 1} dx$.
ધારો કે $\tan ^{2} x = t$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2 \tan x \sec ^{2} x dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $\tan x \sec ^{2} x dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + t^{2}} dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{1 + t^{2}} dt = \tan ^{-1} t + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \tan ^{-1} t + c = \frac{1}{2} \tan ^{-1}(\tan ^{2} x) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{(\sin^{-1} x)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{1-x^2}} dx$.
$\sin^{-1} x = t$ આદેશ લેતા.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^{\frac{3}{2}} dt$.
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{t^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + c = \frac{t^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + c = \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + c$.
હવે $t = \sin^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{2}{5}(\sin^{-1} x)^{\frac{5}{2}} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x-\sin x}{8-\sin 2x} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.
તેથી,$8 - \sin 2x = 9 - (1 + 2 \sin x \cos x) = 9 - (\sin x + \cos x)^2$.
આમ,$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{3^2 - (\sin x + \cos x)^2} dx$.
ધારો કે $t = \sin x + \cos x$. તો $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે $I = \int \frac{dt}{3^2 - t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2(3)} \log \left| \frac{3+t}{3-t} \right| + C = \frac{1}{6} \log \left| \frac{3+\sin x + \cos x}{3 - (\sin x + \cos x)} \right| + C$.
આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{p} \log \left[\frac{3+\sin x+\cos x}{3-\sin x-\cos x}\right]+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 6$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x + x \sin x}{x(x + \cos x)} dx$.
છેદ $f(x) = x^2 + x \cos x$ ને ધ્યાનમાં લો.
છેદનું વિકલન $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x \cos x) = 2x + \cos x - x \sin x$ થાય છે,જે અંશ સાથે સીધું મળતું નથી.
ચાલો સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખીએ:
$I = \int \frac{x + \cos x + x \sin x - x}{x(x + \cos x)} dx$
$I = \int \left( \frac{x + \cos x}{x(x + \cos x)} + \frac{x \sin x - x}{x(x + \cos x)} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{x(\sin x - 1)}{x(x + \cos x)} \right) dx$
$I = \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{\sin x - 1}{x + \cos x} dx$
ધારો કે $u = x + \cos x$,તો $du = (1 - \sin x) dx$,જેનો અર્થ છે કે $-(1 - \sin x) dx = du$,અથવા $(\sin x - 1) dx = -du$.
$I = \ln|x| - \int \frac{1}{u} du$
$I = \ln|x| - \ln|u| + c$
$I = \ln|x| - \ln|x + \cos x| + c$
$I = \ln \left| \frac{x}{x + \cos x} \right| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x} d x$.
$x = a \sec \theta$ આદેશ લેતા,$d x = a \sec \theta \tan \theta d \theta$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sqrt{a^2 \sec^2 \theta - a^2}}{a \sec \theta} (a \sec \theta \tan \theta) d \theta$
$I = \int \frac{a \tan \theta}{a \sec \theta} (a \sec \theta \tan \theta) d \theta$
$I = a \int \tan^2 \theta d \theta$
$I = a \int (\sec^2 \theta - 1) d \theta$
$I = a (\tan \theta - \theta) + c$
અહીં $x = a \sec \theta$ હોવાથી,$\sec \theta = \frac{x}{a}$,તેથી $\theta = \sec^{-1}(\frac{x}{a})$ અને $\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$ મળે.
કિંમતો પાછી મૂકતા:
$I = a (\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} - \sec^{-1}(\frac{x}{a})) + c$
$I = \sqrt{x^2-a^2} - a \sec^{-1}(\frac{x}{a}) + c$.

(B) $I = \int \frac{\sec^{8} x}{\text{cosec} x} dx$
કારણ કે $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ અને $\text{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,તેથી:
$I = \int \frac{\sin x}{\cos^{8} x} dx$
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x dx = -du$.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int -\frac{du}{u^{8}} = -\int u^{-8} du$
ઘાતનો નિયમ $\int u^{n} du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ વાપરતા:
$I = -\left( \frac{u^{-7}}{-7} \right) + c = \frac{1}{7u^{7}} + c$
$u = \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{7 \cos^{7} x} + c = \frac{\sec^{7} x}{7} + c$

(C) ધારો કે $I = \int \frac{(x^2+2) a^{(x+\tan^{-1} x)}}{x^2+1} dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \left( \frac{x^2+1+1}{x^2+1} \right) a^{(x+\tan^{-1} x)} dx = \int \left( 1 + \frac{1}{x^2+1} \right) a^{(x+\tan^{-1} x)} dx$.
ધારો કે $u = x + \tan^{-1} x$.
તેથી,$du = (1 + \frac{1}{1+x^2}) dx$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int a^u du$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{a^u}{\ln a} + C$.
$u = x + \tan^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{a^{x+\tan^{-1} x}}{\ln a} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \left( \frac{4 e^x - 25}{2 e^x - 5} \right) dx$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય:
$4 e^x - 25 = 10 e^x - 25 - 6 e^x = 5(2 e^x - 5) - 6 e^x$.
તેથી,$I = \int \left( \frac{5(2 e^x - 5) - 6 e^x}{2 e^x - 5} \right) dx$.
$I = \int 5 dx - \int \frac{6 e^x}{2 e^x - 5} dx$.
$u = 2 e^x - 5$ લેતા,$du = 2 e^x dx$ મળે,તેથી $e^x dx = \frac{du}{2}$.
$I = 5x - 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = 5x - 3 \log |u| + C$.
$I = 5x - 3 \log |2 e^x - 5| + C$.
આમ,$A = 5$ અને $B = -3$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
તેથી,$I = \int \frac{\sin 2x}{1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x} dx = \int \frac{2\sin 2x}{2 - \sin^2 2x} dx$.
$\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int \frac{2\sin 2x}{2 - (1 - \cos^2 2x)} dx = \int \frac{2\sin 2x}{1 + \cos^2 2x} dx$.
ધારો કે $t = \cos 2x$,તો $dt = -2\sin 2x dx$,તેથી $2\sin 2x dx = -dt$.
$I = \int \frac{-dt}{1 + t^2} = -\tan^{-1}(t) + C$.
$t = \cos 2x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = -\tan^{-1}(\cos 2x) + C$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^{e}+e^{x}} d x$.
$t = x^{e}+e^{x}$ આદેશ લો.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dt = (e x^{e-1} + e^{x-1} \cdot \ln(e)) dx$ મળે. કારણ કે $\ln(e) = 1$,તેથી $dt = e(x^{e-1} + e^{x-1}) dx$ થાય.
તેથી,$(x^{e-1} + e^{x-1}) dx = \frac{1}{e} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{e} dt = \frac{1}{e} \int \frac{1}{t} dt$.
સંકલન કરતા,$I = \frac{1}{e} \log|t| + c$ મળે.
$t = x^{e}+e^{x}$ પાછા મૂકતા,$I = \frac{1}{e} \log(x^{e}+e^{x}) + c$ મળે.

(B) ધારો કે $I = \int \cos ^{3} x \cdot e^{\log (\sin x)} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{\log (\sin x)} = \sin x$,તેથી સંકલન $I = \int \cos ^{3} x \sin x d x$ થશે.
ધારો કે $u = \cos x$. તો $du = -\sin x d x$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x d x = -du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int u^{3} (-du) = -\int u^{3} du$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$I = -\frac{u^{4}}{4} + c$.
છેલ્લે $u = \cos x$ મૂકતા,આપણને $I = -\frac{\cos ^{4} x}{4} + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4} \,dx$.
આપણે સંકલનને $I = \int \frac{x \sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}{x^4} \,dx = \int \frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}{x^3} \,dx$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $\frac{1}{x^2}-1 = t$. તેથી $-\frac{2}{x^3} \,dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{x^3} \,dx = -\frac{dt}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = -\frac{1}{2} \int \sqrt{t} \,dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c = -\frac{1}{3} t^{3/2} + c$.
હવે $t = \frac{1-x^2}{x^2}$ પાછા મૂકતા,$I = -\frac{1}{3} \left(\frac{1-x^2}{x^2}\right)^{3/2} + c = -\frac{1}{3} \frac{(\sqrt{1-x^2})^3}{(x^2)^{3/2}} + c = -\frac{1}{3x^3} (\sqrt{1-x^2})^3 + c$.
આને $A(x)(\sqrt{1-x^2})^m + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A(x) = -\frac{1}{3x^3}$ અને $m = 3$ મળે છે.
તેથી,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3x^3}\right)^3 = -\frac{1}{27x^9}$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x^3 \, dx}{\sqrt{1+x^2}}$.
$1+x^2 = t^2$ લેતા,$2x \, dx = 2t \, dt$,એટલે કે $x \, dx = t \, dt$.
વળી,$x^2 = t^2 - 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{(t^2-1) \cdot t \, dt}{t} = \int (t^2 - 1) \, dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{t^3}{3} - t + c$.
$t = \sqrt{1+x^2}$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3} - \sqrt{1+x^2} + c = \frac{1}{3}(1+x^2)\sqrt{1+x^2} - 1\sqrt{1+x^2} + c$.
આપેલ સ્વરૂપ $a(1+x^2)\sqrt{1+x^2} + b\sqrt{1+x^2} + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{3}$ અને $b = -1$ મળે છે.
તેથી,$3ab = 3 \times \frac{1}{3} \times (-1) = -1$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x}} \,dx$.
$1-x = t$ આદેશ લેતા, તેથી $x = 1-t$ અને $dx = -dt$.
$I = \int \frac{(1-t)^2}{\sqrt{t}} (-dt) = -\int \frac{1-2t+t^2}{t^{1/2}} dt$.
$I = -\int (t^{-1/2} - 2t^{1/2} + t^{3/2}) dt$.
$I = -(2t^{1/2} - \frac{4}{3}t^{3/2} + \frac{2}{5}t^{5/2}) + c$.
$I = -\frac{2}{15} t^{1/2} (15 - 10t + 3t^2) + c$.
$t = 1-x$ હોવાથી, $I = -\frac{2}{15} \sqrt{1-x} (15 - 10(1-x) + 3(1-x)^2) + c$.
$I = -\frac{2}{15} \sqrt{1-x} (15 - 10 + 10x + 3(1 - 2x + x^2)) + c$.
$I = -\frac{2}{15} \sqrt{1-x} (5 + 10x + 3 - 6x + 3x^2) + c$.
$I = -\frac{2}{15} \sqrt{1-x} (3x^2 + 4x + 8) + c$.
આને $p \sqrt{1-x} (3x^2 + 4x + 8) + c$ સાથે સરખાવતા, આપણને $p = \frac{-2}{15}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{3 \sin x \cos x}{4 \sin x + 7} \, dx$.
$u = \sin x$ લો,તેથી $du = \cos x \, dx$.
સંકલન $I = \int \frac{3u}{4u+7} \, du$ બને છે.
અંશને ફરીથી લખતા: $\frac{3u}{4u+7} = \frac{3}{4} \left( \frac{4u+7-7}{4u+7} \right) = \frac{3}{4} \left( 1 - \frac{7}{4u+7} \right) = \frac{3}{4} - \frac{21}{4(4u+7)}$.
$u$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $I = \int \left( \frac{3}{4} - \frac{21}{4(4u+7)} \right) \, du = \frac{3}{4}u - \frac{21}{16} \log |4u+7| + c$.
$u = \sin x$ પાછું મૂકતા: $I = \frac{3}{4} \sin x - \frac{21}{16} \log |4 \sin x + 7| + c$.
આને $A \sin x - B \log |4 \sin x + 7| + c$ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{3}{4}$ અને $B = \frac{21}{16}$ મળે છે.
તેથી,$A+B = \frac{3}{4} + \frac{21}{16} = \frac{12+21}{16} = \frac{33}{16}$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{5+4 \sin x}$.
આદેશ $\tan(\frac{x}{2}) = t$ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ અને $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{5 + 4(\frac{2t}{1+t^2})} = \int \frac{2 dt}{5(1+t^2) + 8t} = 2 \int \frac{dt}{5t^2 + 8t + 5}$.
છેદમાંથી $5$ સામાન્ય લેતા:
$I = \frac{2}{5} \int \frac{dt}{t^2 + \frac{8}{5}t + 1}$.
છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$t^2 + \frac{8}{5}t + 1 = (t + \frac{4}{5})^2 + 1 - \frac{16}{25} = (t + \frac{4}{5})^2 + \frac{9}{25} = (t + \frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2$.
હવે,પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3/5} \tan^{-1}(\frac{t + 4/5}{3/5}) + c = \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{5t + 4}{3}) + c$.
$t = \tan(\frac{x}{2})$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{2}{3} \tan^{-1}\left(\frac{5 \tan(\frac{x}{2}) + 4}{3}\right) + c$.

(B) ધારો કે $y = \log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)$.
તેથી,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dy = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^2}} \left(1 + \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right) dt$ મળે.
વિકલનનું સાદું રૂપ આપતા: $dy = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^2}} \left(\frac{\sqrt{1+t^2}+t}{\sqrt{1+t^2}}\right) dt = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $\int y \, dy = \frac{y^2}{2} + c$.
આમ,$\frac{1}{2} \left[\log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\right]^2 + c = \frac{1}{2} (g(t))^2 + c$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $g(t) = \log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)$ મળે છે.
તેથી,$g(2) = \log \left(2+\sqrt{1+2^2}\right) = \log (2+\sqrt{5})$.

(C) $I = \int \frac{2x-7}{\sqrt{3x-2}} \, dx$ નું મૂલ્યાંકન કરવા માટે,આપણે અંશને છેદ $(3x-2)$ ના પદોમાં દર્શાવીએ.
$2x-7 = \frac{2}{3}(3x-2) - \frac{25}{3}$.
સંકલનમાં આ કિંમત મૂકતા:
$I = \int \frac{\frac{2}{3}(3x-2) - \frac{25}{3}}{\sqrt{3x-2}} \, dx$
$I = \frac{2}{3} \int (3x-2)^{\frac{1}{2}} \, dx - \frac{25}{3} \int (3x-2)^{-\frac{1}{2}} \, dx$
સૂત્ર $\int (ax+b)^n \, dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{4}{27}(3x-2)^{\frac{3}{2}} - \frac{50}{9}(3x-2)^{\frac{1}{2}} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \sec ^4 x \tan ^4 x \, dx$.
આપણે સંકલનને $I = \int \sec ^2 x \cdot \sec ^2 x \cdot \tan ^4 x \, dx$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $\sec ^2 x = 1 + \tan ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I = \int (1 + \tan ^2 x) \tan ^4 x \cdot \sec ^2 x \, dx$ મળે છે.
ધારો કે $\tan x = t$,તો $\sec ^2 x \, dx = dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int (1 + t^2) t^4 \, dt = \int (t^4 + t^6) \, dt$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $I = \frac{t^5}{5} + \frac{t^7}{7} + c$ મળે છે.
$t = \tan x$ પાછા મૂકતા,આપણને $I = \frac{\tan ^5 x}{5} + \frac{\tan ^7 x}{7} + c$ મળે છે.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\frac{\tan ^m x}{m} + \frac{\tan ^n x}{n} + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 5$ અને $n = 7$ મળે છે.
તેથી,$m + n = 5 + 7 = 12$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sec x \tan x}{9-16 \tan ^2 x} \,d x$.
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sec x \tan x}{9-16(\sec^2 x - 1)} \,d x = \int \frac{\sec x \tan x}{25-16 \sec^2 x} \,d x$.
ધારો કે $\sec x = t$,તેથી $\sec x \tan x \,d x = dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{5^2 - (4t)^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x$ ની જગ્યાએ $4t$ છે અને $4t$ ના વિકલન (જે $4$ છે) વડે ભાગતા:
$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2(5)} \log \left| \frac{5+4t}{5-4t} \right| + c = \frac{1}{40} \log \left| \frac{5+4 \sec x}{5-4 \sec x} \right| + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{2 x^3-1}{x^4+x} \,d x$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{2 x - \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x}} \,d x$.
ધારો કે $t = x^2 + \frac{1}{x}$.
તેથી $dt = (2x - \frac{1}{x^2}) \,d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + c$.
$t = x^2 + \frac{1}{x} = \frac{x^3+1}{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \log \left| \frac{x^3+1}{x} \right| + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \cos ^{-\frac{3}{7}} x \cdot \sin ^{-\frac{11}{7}} x \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{\sin ^{-\frac{11}{7}} x}{\cos ^{-\frac{3}{7}} x} \, dx = \int \frac{\sin ^{-\frac{11}{7}} x}{\cos ^{-\frac{11}{7}} x \cdot \cos ^{-\frac{3}{7} + \frac{11}{7}} x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin ^{-\frac{11}{7}} x}{\cos ^{-\frac{11}{7}} x} \cdot \frac{1}{\cos ^{\frac{8}{7}} x} \, dx = \int \tan ^{-\frac{11}{7}} x \cdot \sec ^{\frac{8}{7}} x \, dx$
અંશ અને છેદને $\cos ^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec ^2 x}{\tan ^{\frac{11}{7}} x} \, dx = \int \tan ^{-\frac{11}{7}} x \cdot \sec ^2 x \, dx$
$u = \tan x$ આદેશ લેતા,$du = \sec ^2 x \, dx$ મળે:
$I = \int u^{-\frac{11}{7}} \, du = \frac{u^{-\frac{11}{7} + 1}}{-\frac{11}{7} + 1} + c = \frac{u^{-\frac{4}{7}}}{-\frac{4}{7}} + c = -\frac{7}{4} \tan ^{-\frac{4}{7}} x + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \cos ^{\frac{3}{5}} x \sin ^3 x \,d x$.
આપણે $\sin ^3 x$ ને $\sin ^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos ^2 x) \sin x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \int \cos ^{\frac{3}{5}} x (1 - \cos ^2 x) \sin x \,d x$.
$I = \int (\cos ^{\frac{3}{5}} x - \cos ^{\frac{13}{5}} x) \sin x \,d x$.
ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x \,d x = dt$,અથવા $\sin x \,d x = -dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = -\int (t^{\frac{3}{5}} - t^{\frac{13}{5}}) dt = -\int t^{\frac{3}{5}} dt + \int t^{\frac{13}{5}} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = -\frac{t^{\frac{3}{5} + 1}}{\frac{3}{5} + 1} + \frac{t^{\frac{13}{5} + 1}}{\frac{13}{5} + 1} + c$.
$I = -\frac{t^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} + \frac{t^{\frac{18}{5}}}{\frac{18}{5}} + c$.
$t = \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{\frac{8}{5}} \cos ^{\frac{8}{5}} x + \frac{1}{\frac{18}{5}} \cos ^{\frac{18}{5}} x + c$.
આપેલ પદ $\frac{-1}{m} \cos ^{m} x + \frac{1}{n} \cos ^{n} x + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \frac{8}{5}$ અને $n = \frac{18}{5}$ મળે છે.
આમ,$(m, n) = \left(\frac{8}{5}, \frac{18}{5}\right)$.

(A) $\int \sin \sqrt{x} \,d x$ ની કિંમત શોધવા માટે,ધારો કે $\sqrt{x} = t$.
તેથી $x = t^2$,જેનો અર્થ છે કે $d x = 2t \,d t$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \sin \sqrt{x} \,d x = \int \sin t (2t \,d t) = 2 \int t \sin t \,d t$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\int u \,dv = uv - \int v \,du$,ધારો કે $u = t$ અને $dv = \sin t \,d t$.
તેથી $du = d t$ અને $v = -\cos t$.
$2 \int t \sin t \,d t = 2 \left[ t(-\cos t) - \int (-\cos t) \,d t \right]$
$= 2 [-t \cos t + \int \cos t \,d t]$
$= 2 [-t \cos t + \sin t] + C$.
$t = \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= 2(-\sqrt{x} \cos \sqrt{x} + \sin \sqrt{x}) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2x}{4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x} \, dx$.
ધારો કે $t = 4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$dt = (4 \cdot 2 \sin x \cos x - 9 \cdot 2 \cos x \sin x) \, dx$.
$dt = (4 \sin 2x - 9 \sin 2x) \, dx$.
$dt = -5 \sin 2x \, dx$.
તેથી,$\sin 2x \, dx = -\frac{1}{5} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-\frac{1}{5} dt}{t} = -\frac{1}{5} \int \frac{1}{t} \, dt$.
$I = -\frac{1}{5} \log |t| + C$.
$t = 4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x$ પાછા મૂકતા:
$I = -\frac{1}{5} \log |4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x| + C$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ભાગીને પદાવલિને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$I = \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$
ધારો કે $u = e^x + e^{-x}$. તો,તેનું વિકલન $du = (e^x - e^{-x}) dx$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1}{u} du = \log|u| + C$
$u$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $I = \log|e^x + e^{-x}| + C$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે $e^x + e^{-x} = \frac{e^{2x}+1}{e^x}$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \log|\frac{e^{2x}+1}{e^x}| + C = \log|e^{2x}+1| - \log|e^x| + C = \log(e^{2x}+1) - x + C$.
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સંકલન $\int x^{2019} \cdot e^{x^{2020}} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $u = x^{2020}$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{du}{dx} = 2020 x^{2019}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $du = 2020 x^{2019} \, dx$,અથવા $x^{2019} \, dx = \frac{1}{2020} \, du$.
આ કિંમતોને મૂળ સંકલનમાં મૂકતા:
$\int e^u \cdot \frac{1}{2020} \, du = \frac{1}{2020} \int e^u \, du$.
$e^u$ નું સંકલન $e^u$ થાય છે,તેથી આપણને $\frac{1}{2020} e^u + C$ મળે છે.
અંતે,$u = x^{2020}$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2020} e^{x^{2020}} + C$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int (x+1)(x+3)(x+2)^7 \, dx$.
$u = x+2$ આદેશ લેતા,$du = dx$ મળે.
વળી,$x+1 = u-1$ અને $x+3 = u+1$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (u-1)(u+1)u^7 \, du$
$I = \int (u^2-1)u^7 \, du$
$I = \int (u^9 - u^7) \, du$
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{u^{10}}{10} - \frac{u^8}{8} + C$
$u = x+2$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{(x+2)^{10}}{10} - \frac{(x+2)^8}{8} + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \sqrt{\frac{\cos x(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\cos x \sin^2 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$ હોવાથી,$I = \int \sin x \sqrt{\frac{\cos x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$ મળે.
ધારો કે $u = \cos^{3/2} x$. તો $du = \frac{3}{2} \cos^{1/2} x (-\sin x) \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x \sqrt{\cos x} \, dx = -\frac{2}{3} du$.
વળી,$u^2 = \cos^3 x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \sqrt{\frac{1}{1 - u^2}} \left(-\frac{2}{3} du\right) = -\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \, du$.
આનું સંકલન $-\frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + C$ થાય.
$\sin^{-1}(u) + \cos^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$-\frac{2}{3} (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1}(u)) = \frac{2}{3} \cos^{-1}(u) - \frac{\pi}{3}$ મળે.
અચળાંક $-\frac{\pi}{3}$ ને $C$ માં સમાવી લેતા,જવાબ $\frac{2}{3} \cos^{-1}(\cos^{3/2} x) + C$ મળે.

(C) ધારો કે $I = \int \sqrt{\frac{\cos x(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\cos x \sin^2 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
અહીં $\sin x$ વર્ગમૂળમાં હોવાથી,આપણે ધન મૂળ $\sin x$ લઈશું.
$I = \int \sin x \sqrt{\frac{\cos x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
ધારો કે $u = \cos^{\frac{3}{2}} x$. તેથી $du = \frac{3}{2} \cos^{\frac{1}{2}} x (-\sin x) \, dx$.
તેથી,$-\frac{2}{3} du = \sqrt{\cos x} \sin x \, dx$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા: $I = \int \sqrt{\frac{\cos x}{1 - (\cos^{\frac{3}{2}} x)^2}} \sin x \, dx$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \left(-\frac{2}{3} du\right) = -\frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + c$.
$u = \cos^{\frac{3}{2}} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = -\frac{2}{3} \sin^{-1}(\cos^{\frac{3}{2}} x) + c$ મળે છે.

(A) સંકલન $I = \int e^{\sqrt{x}} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $\sqrt{x} = t$. તેથી $x = t^2$,જેનો અર્થ છે કે $dx = 2t \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^t (2t) \, dt = 2 \int t e^t \, dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:
ધારો કે $u = t$ અને $dv = e^t \, dt$. તેથી $du = dt$ અને $v = e^t$.
$I = 2 [t e^t - \int e^t \, dt] = 2 [t e^t - e^t] + c = 2 e^t (t - 1) + c$.
$t = \sqrt{x}$ પાછા મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = 2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int \tan ^8 x \cdot \sec ^4 x \, dx$.
આપણે $\sec ^4 x$ ને $\sec ^2 x \cdot \sec ^2 x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \int \tan ^8 x \cdot \sec ^2 x \cdot \sec ^2 x \, dx$.
કારણ કે $\sec ^2 x = 1 + \tan ^2 x$,તેથી:
$I = \int \tan ^8 x (1 + \tan ^2 x) \sec ^2 x \, dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec ^2 x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int u^8 (1 + u^2) \, du = \int (u^8 + u^{10}) \, du$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{u^9}{9} + \frac{u^{11}}{11} + C$.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{\tan ^9 x}{9} + \frac{\tan ^{11} x}{11} + C$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{e^x(1+x)}{\sin^2(x \cdot e^x)} dx$.
$u = x \cdot e^x$ આદેશ લેતા,
$du = (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) dx = e^x(1+x) dx$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sin^2(u)} du = \int \csc^2(u) du$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \csc^2(u) du = -\cot(u) + C$,
તેથી $I = -\cot(x \cdot e^x) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.