Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 18 & 31 \end{bmatrix}$ શોધો.
સમીકરણ $\alpha A^2 - \beta A = 2I$ માં $A^2$ અને $A$ ની કિંમત મૂકતા:
$\alpha \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 18 & 31 \end{bmatrix} - \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આનાથી શ્રેણિક સમીકરણ મળે છે:
$\begin{bmatrix} 7\alpha - \beta & 12\alpha - 2\beta \\ 18\alpha - 3\beta & 31\alpha - 5\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$7\alpha - \beta = 2$ $(i)$
$12\alpha - 2\beta = 0 \Rightarrow 6\alpha - \beta = 0$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા $\alpha = 2$ મળે છે.
$\alpha = 2$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,$6(2) - \beta = 0 \Rightarrow \beta = 12$ મળે છે.
અંતે,$\alpha^2 + \beta = (2)^2 + 12 = 4 + 12 = 16$.

(C) આપેલ છે: $A=\begin{bmatrix} a & 3 & 5 \\ 5 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ અને $B=\begin{bmatrix} b & 1 & 4 \\ 4 & c & 1 \\ -3 & 1 & d \end{bmatrix}$.
$A$ નો ટ્રેસ $-4$ હોવાથી,$a - 1 - 4 = -4$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
હવે,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 5 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b & 1 & 4 \\ 4 & c & 1 \\ -3 & 1 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b-3 & 3c+6 & 5d+7 \\ 5b-13 & 8-c & 3d+19 \\ 2b+24 & 3c-2 & 11-4d \end{bmatrix}$.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 17 \\ -3 & 10 & 25 \\ 28 & -8 & 3 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા:
$b-3 = -1$ પરથી,$b = 2$ મળે છે.
$3c+6 = 0$ પરથી,$c = -2$ મળે છે.
$5d+7 = 17$ પરથી,$5d = 10$,તેથી $d = 2$ મળે છે.
આમ,$a+b+c+d = 1 + 2 - 2 + 2 = 3$.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
કારણ કે $A^3 = I$,આપણે $A^5$ ને આ રીતે શોધી શકીએ છીએ:
$A^5 = A^3 \cdot A^2 = I \cdot A^2 = A^2$.
$A^3 = I$ હોવાથી,$A^2 = A^{-1}$ થાય છે.
તેથી,$A^5 = A^{-1}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A^2 = O$ (શૂન્ય શ્રેણિક),તેથી $A$ ની તમામ ઉચ્ચ ઘાત પણ શૂન્ય શ્રેણિક થશે,એટલે કે $n \geq 2$ માટે $A^n = O$.
આપેલ છે કે $f(x) = x + x^2 + \dots + x^{2018}$,તેથી:
$f(A) = A + A^2 + A^3 + \dots + A^{2018}$.
$A$ ની ઘાત મૂકતા:
$f(A) = A + O + O + \dots + O = A$.
હવે,$f(A) + I$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(A) + I = A + I = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
અવલોકન દ્વારા,આપણે અનુમાન લગાવી શકીએ કે $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,પદ $nA - (n-1)I$ ની કિંમત શોધીએ:
$nA - (n-1)I = n \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - (n-1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} n & n \\ 0 & n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} n-1 & 0 \\ 0 & n-1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} n - (n-1) & n - 0 \\ 0 - 0 & n - (n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = A^n$.
આમ,$A^n = nA - (n-1)I$ સાચું છે.

(D) આપેલ છે,$A=\left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}i^2+i^2 & -i^2-i^2 \\ -i^2-i^2 & i^2+i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ 2 & -2\end{array}\right] = -2 \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] = -2B$.
હવે,$A^2 = -2B$ નો ઉપયોગ કરીને $A^8$ શોધો:
$A^8 = (A^2)^4 = (-2B)^4 = (-2)^4 B^4 = 16 B^4$.
આગળ,$B^2$ ની ગણતરી કરો:
$B^2 = \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\ -2 & 2\end{array}\right] = 2B$.
તેથી $B^4 = (B^2)^2 = (2B)^2 = 4B^2 = 4(2B) = 8B$.
અંતે,$A^8 = 16(8B) = 128B$.

(A) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \dots (i)$
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,આપણે $A^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$
હવે,$A^3 - A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 - A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$
કારણ કે $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી $2A = 2 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^3 - A^2 = 2A$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$(2)$ $2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4A - 2B = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 4 & -2 & 12 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ $(3)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$5A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & -5 & 15 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(A) = 1 + (-1) + 1 = 1$
$(1)$ પરથી,$2B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 4 & -2 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(B) = 0 + (-1) + 0 = -1$
$\operatorname{tr}(A) - \operatorname{tr}(B) = 1 - (-1) = 2$

(D) આપેલ શ્રેણિકો: $P_{2 \times 3}$,$X_{4 \times 3}$,$Y_{4 \times 3}$.
$X^T$ નો ક્રમ $3 \times 4$ છે.
$P^T$ નો ક્રમ $3 \times 2$ છે.
$X^T Y$ નો ક્રમ $(3 \times 4) \times (4 \times 3) = 3 \times 3$ છે.
$(X^T Y)^{-1}$ નો ક્રમ $3 \times 3$ છે.
$P(X^T Y)^{-1}$ નો ક્રમ $(2 \times 3) \times (3 \times 3) = 2 \times 3$ છે.
$P(X^T Y)^{-1} P^T$ નો ક્રમ $(2 \times 3) \times (3 \times 2) = 2 \times 2$ છે.
અંતે,$2 \times 2$ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) પણ $2 \times 2$ જ રહે છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ થાય.
શ્રેણિક $(AB - BA)$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક લેતા:
$(AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
ગુણધર્મ $(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(AB - BA)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
$A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ મૂકતા:
$(AB - BA)^{\prime} = BA - AB$
$(AB - BA)^{\prime} = -(AB - BA)$
કારણ કે શ્રેણિક $(AB - BA)$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક તેના ઋણ મૂલ્ય જેટલો છે,તેથી $(AB - BA)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
અહીં $P$ એ રોટેશન મેટ્રિક્સ $R_{\theta}$ છે જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{4}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સનો ગુણધર્મ છે કે $R_{\theta}^n = R_{n\theta}$.
તેથી,$P^3 = R_{3 \times \frac{\pi}{4}} = R_{\frac{3\pi}{4}} = \begin{bmatrix} \cos \frac{3\pi}{4} & -\sin \frac{3\pi}{4} \\ \sin \frac{3\pi}{4} & \cos \frac{3\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
હવે,$P^3 X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
$P^3 X = \begin{bmatrix} (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}$.
$n = 100$ માટે,$A^{100} = \begin{bmatrix} \cos 100 \theta & -\sin 100 \theta \\ \sin 100 \theta & \cos 100 \theta \end{bmatrix}$.
અહીં $\theta = \frac{2 \pi}{7}$ હોવાથી,$100 \theta = \frac{200 \pi}{7}$.
આપણે લખી શકીએ કે $\frac{200 \pi}{7} = \frac{196 \pi + 4 \pi}{7} = 28 \pi + \frac{4 \pi}{7}$.
$\cos(28 \pi + \alpha) = \cos \alpha$ અને $\sin(28 \pi + \alpha) = \sin \alpha$ હોવાથી,$A^{100} = \begin{bmatrix} \cos \frac{4 \pi}{7} & -\sin \frac{4 \pi}{7} \\ \sin \frac{4 \pi}{7} & \cos \frac{4 \pi}{7} \end{bmatrix} = A^2$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે $A$ સંમિત છે કે વિસંમિત. પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = A$. કારણ કે $A^T = A$,તેથી $A$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.
હવે,આપણે $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ ની ગણતરી કરીએ.
આમ,$A^2 = I$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
$A$ ના ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^4 = A^2 \times A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i-1-i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$A^4 = I$ હોવાથી,$A^{2018} = A^{2016} \times A^2 = (A^4)^{504} \times A^2 = I^{504} \times A^2 = A^2$.
તેથી,$A^{2018} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
સરખામણી કરતા,$a=1$ અને $d=-1$ મળે છે.
તેથી,$a+d = 1 + (-1) = 0$.

(C) ધારો કે આપેલા સમીકરણો છે:
$(0\,1\,2) M = (1\,0\,0)$ --- $(i)$
$(3\,4\,5) M = (0\,1\,0)$ --- $(ii)$
આપણે $(6\,7\,8) M$ શોધવા માંગીએ છીએ.
હાર સદિશો $(0\,1\,2)$ અને $(3\,4\,5)$ ના સુરેખ સંયોજનને ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $x(0\,1\,2) + y(3\,4\,5) = (6\,7\,8)$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$3y = 6 \Rightarrow y = 2$
$x + 4y = 7 \Rightarrow x + 8 = 7 \Rightarrow x = -1$
$2x + 5y = 2(-1) + 5(2) = -2 + 10 = 8$. આ ત્રીજા ઘટક સાથે મેળ ખાય છે.
આમ, $(6\,7\,8) = -1(0\,1\,2) + 2(3\,4\,5)$.
જમણી બાજુ $M$ વડે ગુણતા:
$(6\,7\,8) M = -1((0\,1\,2) M) + 2((3\,4\,5) M)$
$(6\,7\,8) M = -1(1\,0\,0) + 2(0\,1\,0)$
$(6\,7\,8) M = (-1\,0\,0) + (0\,2\,0) = (-1\,2\,0)$.

(D) શ્રેણિક બીજગણિતમાં,બે શૂન્યતર શ્રેણિકોનો ગુણાકાર શૂન્ય શ્રેણિક હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ લો.
$A$ અને $B$ બંને શૂન્યતર શ્રેણિકો છે,પરંતુ તેમનો ગુણાકાર $AB = O_{3}$ થાય છે.
તેથી,તે શક્ય છે કે $A \neq O_{3}$ અને $B \neq O_{3}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \frac{2(2+1)}{2} \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & \frac{3(3+1)}{2} \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આ પેટર્નનું અવલોકન કરતા,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,આપણને મળે છે:
$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે $Q = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}$ અને $x = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મેટ્રિક્સ $Q(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ એ રોટેશન મેટ્રિક્સ દર્શાવે છે.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$Q^{n}(\theta) = Q(n\theta)$.
તેથી,$Q^{3} = Q\left(3 \times \frac{\pi}{4}\right) = Q\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \begin{bmatrix} \cos \frac{3\pi}{4} & -\sin \frac{3\pi}{4} \\ \sin \frac{3\pi}{4} & \cos \frac{3\pi}{4} \end{bmatrix}$.
ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા: $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$Q^{3} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
હવે,$Q^{3}x = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરીએ.
$Q^{3}x = \begin{bmatrix} (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે $A = 2I + B$ લખી શકીએ,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
નોંધો કે $B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
$2I$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$A^n = (2I + B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2I)^{n-k} B^k = \binom{n}{0} (2I)^n + \binom{n}{1} (2I)^{n-1} B + 0 + ...$
$A^n = 2^n I + n(2^{n-1}) B = 2^n \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + n 2^{n-1} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$A^n = \begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ n 2^n & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ n 2^n & 0 & 2^n \end{bmatrix}$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2^n$ અને $b = n 2^n$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$.
આપણે $P^2$ અને $P^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \cdot P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -8 \end{bmatrix}$.
હવે,$P^3 + 2P^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$P^3 + 2P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -8 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+2 & 0 & 0 \\ 0 & -1+2 & 0 \\ 0 & 0 & -8+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આપણે $2I + P$ ચકાસીએ:
$2I + P = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+1 & 0 & 0 \\ 0 & 2-1 & 0 \\ 0 & 0 & 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,$P^3 + 2P^2 = 2I + P$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,$P = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $P^2 = P \cdot P$ ની ગણતરી કરીએ:
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$
$P^2 = \begin{bmatrix} (4+2-4) & (-4-6+8) & (-8-8+12) \\ (-2-3+4) & (2+9-8) & (4+12-12) \\ (2+2-3) & (-2-6+6) & (-4-8+9) \end{bmatrix}$
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} = P$.
કારણ કે $P^2 = P$,તેથી $P^3 = P^2 \cdot P = P \cdot P = P^2 = P$ થાય.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,તમામ ધન પૂર્ણાંક $n \ge 1$ માટે $P^n = P$ થાય છે.
તેથી,$P^5 = P$.

(A) આપેલ છે,$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $Q = P P^{T}$ શોધવાનું છે.
$P^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} (1 \times 1 + 2 \times 2 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 2 \times 3 + 1 \times 1) \\ (1 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 3 \times 3 + 1 \times 1) \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} (1 + 4 + 1) & (1 + 6 + 1) \\ (1 + 6 + 1) & (1 + 9 + 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 8 & 11 \end{bmatrix}$.
હવે,$Q$ નો નિશ્ચાયક $|Q| = (6 \times 11) - (8 \times 8)$.
$|Q| = 66 - 64 = 2$.

(C) સરવાળો $A+B$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,શ્રેણિક $A$ અને $B$ ની કક્ષા સમાન હોવી જોઈએ,ધારો કે $m \times n$.
ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા એ $B$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $m \times n$ હોવાથી,તેમાં $n$ સ્તંભો છે. શ્રેણિક $B$ ની કક્ષા $m \times n$ હોવાથી,તેમાં $m$ હાર છે.
તેથી,$AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણી પાસે $n = m$ હોવું જોઈએ.
$m = n$ હોવાથી,બંને શ્રેણિકોની કક્ષા $n \times n$ સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે.

(A) ગુણાકાર $AB$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક $A$ ની હારનો શ્રેણિક $B$ ના સ્તંભ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 1 \times 0 + 3 \times 5) & (2 \times -1 + 1 \times 2 + 3 \times 0) \\ (4 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 5) & (4 \times -1 + 1 \times 2 + 0 \times 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 + 0 + 15) & (-2 + 2 + 0) \\ (4 + 0 + 0) & (-4 + 2 + 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 17 & 0 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$

(A) $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ ના ઘટકો માટેની શરતો:
$a_{ij} = 0$ જો $i = j$
$a_{ij} = 1$ જો $i > j$
$a_{ij} = -1$ જો $i < j$
શ્રેણિક $A$ ની રચના કરતા:
$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
હવે,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ શોધો:
$A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = -A$
કારણ કે $A^T = -A$,તેથી શ્રેણિક $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
હવે,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 0(0 - (-1)) - (-1)(0 - (-1)) + (-1)(1 - 0)$
$|A| = 0 + 1(1) - 1(1) = 1 - 1 = 0$
નિશ્ચાયક $|A| = 0$ હોવાથી,શ્રેણિક અસામાન્ય (singular) છે અને તેથી તેનો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(A) શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ વિસંમિત હોવા માટે,તેણે તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} = -a_{ji}$ અને તમામ $i$ માટે $a_{ii} = 0$ શરતનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
$1$. વિકર્ણના ઘટકો $a_{ii}$ શૂન્ય હોવા જોઈએ. $n$ વિકર્ણ ઘટકો માટે માત્ર $1$ વિકલ્પ છે.
$2$. વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો માટે,આપણે ફક્ત એવા ઘટકો $a_{ij}$ પસંદ કરવાના છે જ્યાં $i < j$. એકવાર આ પસંદ થઈ જાય,પછી $a_{ji}$ ઘટકો આપમેળે $a_{ji} = -a_{ij}$ તરીકે નક્કી થઈ જાય છે.
$3$. $i < j$ હોય તેવી જોડીઓની સંખ્યા $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
$4$. આ $\frac{n(n-1)}{2}$ સ્થાનોમાંથી દરેકને $3$ મૂલ્યો: $\{0, 1, -1\}$ માંથી કોઈપણ એક વડે ભરી શકાય છે.
$5$. તેથી,આવા વિસંમિત શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $3^{\frac{n(n-1)}{2}}$ છે.

(B) શ્રેણિક $A$ લંબકોણીય છે જો $A^T A = I$ હોય.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A^T A| = |I|$ મળે છે.
$|A^T| = |A|$ હોવાથી,$|A|^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 1$.
$|A| \neq 0$ હોવાથી,દરેક લંબકોણીય શ્રેણિક એ બિન-શૂન્ય નિશ્ચાયક ધરાવતો શ્રેણિક છે.
આમ,$Q \subseteq P$.
કારણ કે એવા ઘણા બિન-શૂન્ય નિશ્ચાયક ધરાવતા શ્રેણિકો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે લંબકોણીય નથી (દા.ત.,$1$ કે $-1$ સિવાયના ઘટકો ધરાવતો કોઈપણ વિકર્ણ શ્રેણિક),તેથી $Q$ એ $P$ નો ઉચિત ઉપગણ છે.

(A) શ્રેણિક $A$ એ $z$-અક્ષની આસપાસ $\theta = \frac{2\pi}{n}$ ખૂણે $3D$ અવકાશમાં પરિભ્રમણ શ્રેણિક દર્શાવે છે.
પરિભ્રમણ શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ,$A^k = \begin{bmatrix} \cos (k\theta) & \sin (k\theta) & 0 \\ -\sin (k\theta) & \cos (k\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^n$ માટે,આપણી પાસે $k = n$ છે,તેથી $k\theta = n \times \frac{2\pi}{n} = 2\pi$.
આમ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos (2\pi) & \sin (2\pi) & 0 \\ -\sin (2\pi) & \cos (2\pi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$A^{n-1}$ માટે,ખૂણો $(n-1) \times \frac{2\pi}{n} = 2\pi - \frac{2\pi}{n}$ છે.
કારણ કે $n \geq 2$,$\frac{2\pi}{n}$ એ $2\pi$ નો ગુણક નથી,તેથી $A^{n-1} \neq I$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) એકમ શ્રેણિક $I$ એ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ના સ્તંભોને ફરીથી ગોઠવવાથી ક્રમચય શ્રેણિકો (permutation matrices) મળે છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,$3$ સ્તંભોને ફરીથી ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ છે.
આમ,$P$ માટે $6$ અલગ-અલગ પસંદગીઓ છે.
જેহেতু $P$ એ ક્રમચય શ્રેણિક છે,તેનો નિશ્ચાયક એ ક્રમચયના ચિહ્ન જેટલો હોય છે,જે $1$ અથવા $-1$ હોય છે.
તેથી,$\operatorname{det}(P) = \pm 1$.
આમ,$P$ માટે છ અલગ-અલગ પસંદગીઓ છે અને $\operatorname{det}(P) = \pm 1$ છે.

(B) ગણ $A = \{-1, 0, 1\}$ એ $3$ સભ્યો ધરાવતો શાંત ગણ છે,એટલે કે $n(A) = 3$.
ગણ $T$ માં $3 \times 3$ કક્ષાના તમામ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિકોનો સમાવેશ થાય છે. ઓર્થોગોનલ શ્રેણિકોનો સમૂહ $O(3)$ એ અનંત ગણ છે.
ગણ $U$ માં $3 \times 3$ કક્ષાના તમામ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિકોનો સમાવેશ થાય છે,જે જનરલ લીનિયર ગ્રુપ $GL(3, \mathbb{R})$ છે. આ પણ એક અનંત ગણ છે.
બે ગણો વચ્ચે એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે જો તેમની કાર્ડિનાલિટી સમાન હોય.
અહીં $n(A) = 3$ છે અને $T$ તથા $U$ બંને અનંત ગણ હોવાથી,$n(A) \neq n(T)$ અને $n(A) \neq n(U)$ થાય.
તેથી,$A$ અને $T$ વચ્ચે અથવા $A$ અને $U$ વચ્ચે કોઈ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(A) સંમિત શ્રેણિક માટે,$A^T = A$,જેનો અર્થ છે કે તમામ $i, j$ માટે $A_{ij} = A_{ji}$.
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$A_{12} = A_{21} \Rightarrow x^2 + 3x = -2x - 6$
$x^2 + 5x + 6 = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ અથવા $x = -3$.
$A_{23} = A_{32} \Rightarrow -4x - 2 = x^2 + 2$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
બંને શરતો એકસાથે સંતોષાવી જોઈએ,તેથી સામાન્ય કિંમત $x = -2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $A^2 = I$,તેથી $A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A$ થાય.
હવે,$(A+I)^3 = A^3 + 3A^2I + 3AI^2 + I^3 = A + 3I + 3A + I = 4A + 4I$ નું વિસ્તરણ કરો.
ત્યારબાદ,$(A-I)^3 = A^3 - 3A^2I + 3AI^2 - I^3 = A - 3I + 3A - I = 4A - 4I$ નું વિસ્તરણ કરો.
અંતે,બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $(4A+4I) + (4A-4I) = 8A$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 2 + 3 \times 4) & (2 \times 3 + 3 \times 5) \\ (4 \times 2 + 5 \times 4) & (4 \times 3 + 5 \times 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 21 \\ 28 & 37 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
હવે,$A^2 - 2I = \begin{bmatrix} 16 & 21 \\ 28 & 37 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 21 \\ 28 & 35 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
આપણે પરિણામી શ્રેણિકમાંથી $7$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ: $\begin{bmatrix} 14 & 21 \\ 28 & 35 \end{bmatrix} = 7 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = 7A$.
આને $A^2 - 2I = KA$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 7$ મળે છે.

(B) ધારો કે $C = AB - BA$.
$C$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$C^T = (AB - BA)^T$.
$(X - Y)^T = X^T - Y^T$ અને $(XY)^T = Y^T X^T$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$C^T = (AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T$ મળે.
$A$ અને $B$ વિસંમિત હોવાથી,$A^T = -A$ અને $B^T = -B$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$C^T = (-B)(-A) - (-A)(-B) = BA - AB$ મળે.
ઋણ ચિહ્ન સામાન્ય લેતા,$C^T = -(AB - BA) = -C$ મળે.
$C^T = -C$ હોવાથી,શ્રેણિક $AB - BA$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}$.
આપણે $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરીએ.
મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરતા: $A^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab - ab \\ ac - ac & bc + a^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & 0 \\ 0 & a^2 + bc \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^2 = I$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી આપણે મેટ્રિક્સને સરખાવીએ:
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & 0 \\ 0 & a^2 + bc \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $a^2 + bc = 1$ મળે છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $1 - a^2 - bc = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$,તેથી $A^2 = \begin{bmatrix} 2^2 & 0 & 0 \\ 0 & 3^2 & 0 \\ 0 & 0 & 4^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$,તેથી $B^2 = \begin{bmatrix} 1^2 & 0 & 0 \\ 0 & (-2)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (-3)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^2 + B^2 = \begin{bmatrix} 4+1 & 0 & 0 \\ 0 & 9+4 & 0 \\ 0 & 0 & 16+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 25 \end{bmatrix}$.