Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 4$ શ્રેણિક છે.
તેથી,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime}$ એ $4 \times 3$ શ્રેણિક છે.
ગુણાકાર $A^{\prime}B$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A^{\prime}$ ના સ્તંભોની સંખ્યા એ $B$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. $A^{\prime}$ એ $4 \times 3$ હોવાથી,$B$ માં $3$ હાર હોવી જોઈએ.
ગુણાકાર $BA^{\prime}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$B$ ના સ્તંભોની સંખ્યા એ $A^{\prime}$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. $A^{\prime}$ માં $4$ હાર હોવાથી,$B$ માં $4$ સ્તંભ હોવા જોઈએ.
તેથી,$B$ એ $3 \times 4$ શ્રેણિક હોવો જોઈએ.

(B) આપેલ શ્રેણિક $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જે $A = [a_{ij}]$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
દરેક ઘટક $a_{ij} = \frac{1}{3}|i - 5j|$ ની ગણતરી કરીએ:
$a_{11} = \frac{1}{3}|1 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-4| = \frac{4}{3}$
$a_{12} = \frac{1}{3}|1 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-9| = 3$
$a_{13} = \frac{1}{3}|1 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-14| = \frac{14}{3}$
$a_{21} = \frac{1}{3}|2 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-3| = 1$
$a_{22} = \frac{1}{3}|2 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-8| = \frac{8}{3}$
$a_{23} = \frac{1}{3}|2 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-13| = \frac{13}{3}$
$a_{31} = \frac{1}{3}|3 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-2| = \frac{2}{3}$
$a_{32} = \frac{1}{3}|3 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-7| = \frac{7}{3}$
$a_{33} = \frac{1}{3}|3 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-12| = 4$
તેથી,શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3} & 3 & \frac{14}{3} \\ 1 & \frac{8}{3} & \frac{13}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{7}{3} & 4\end{array}\right]$ છે.

(C) ચોરસ શ્રેણિક એટલે એવો શ્રેણિક જેમાં હારની સંખ્યા અને સ્તંભની સંખ્યા સમાન હોય $(m = n)$.
$(a)$ $[1]$ એ $1 \times 1$ શ્રેણિક છે,જે ચોરસ શ્રેણિક છે.
$(b)$ $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક છે,જે ચોરસ શ્રેણિક છે.
$(c)$ $\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ એ $1 \times 3$ શ્રેણિક છે. અહીં હારની સંખ્યા $(1)$ એ સ્તંભની સંખ્યા $(3)$ જેટલી નથી,તેથી તે ચોરસ શ્રેણિક નથી.
$(d)$ $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જે ચોરસ શ્રેણિક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ એ $n \times n$ કક્ષાના બે લોઅર ટ્રાયંગ્યુલર શ્રેણિકો છે.
શ્રેણિક લોઅર ટ્રાયંગ્યુલર ત્યારે કહેવાય જ્યારે મુખ્ય વિકર્ણની ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય,એટલે કે $i < j$ માટે $a_{ij} = 0$.
ધારો કે $C = A + B$. $C$ ના ઘટકો $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ દ્વારા મળે છે.
કોઈપણ $i < j$ માટે,$A$ અને $B$ લોઅર ટ્રાયંગ્યુલર હોવાથી,$a_{ij} = 0$ અને $b_{ij} = 0$ થાય.
તેથી,તમામ $i < j$ માટે $c_{ij} = 0 + 0 = 0$ થાય.
આ દર્શાવે છે કે સરવાળો $C = A + B$ પણ એક લોઅર ટ્રાયંગ્યુલર શ્રેણિક જ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2A + 3B - 5C = 0$ છે.
$C$ માટે ગોઠવતા,આપણને $5C = 2A + 3B$ મળે છે.
શ્રેણિક $A$ અને $B$ ની કિંમત મૂકતા:
$5C = 2\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -3\end{array}\right] + 3\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 3\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}4 & 2 & 6 & -2 \\ 2 & -4 & 4 & -6\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cccc}6 & 3 & 0 & 9 \\ 3 & -3 & 6 & 9\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}4+6 & 2+3 & 6+0 & -2+9 \\ 2+3 & -4-3 & 4+6 & -6+9\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}10 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & -7 & 10 & 3\end{array}\right]$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $C = \left[\begin{array}{cccc}10/5 & 5/5 & 6/5 & 7/5 \\ 5/5 & -7/5 & 10/5 & 3/5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 6/5 & 7/5 \\ 1 & -7/5 & 2 & 3/5\end{array}\right]$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(2 A+B)^2+(A-3 B)^2=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $(4 A^2+2 A B+2 B A+B^2)+(A^2-3 A B-3 B A+9 B^2)=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $(4 A^2+A^2)+(B^2+9 B^2)+(2 A B-3 A B)+(2 B A-3 B A)=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
આનું સાદું રૂપ: $5 A^2+10 B^2-A B-B A=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
બંને બાજુથી $5 A^2+10 B^2$ બાદ કરતા: $-A B-B A=-2 A B$.
બંને બાજુ $A B$ ઉમેરતા: $-B A=-A B$,જે સૂચવે છે કે $A B=B A$.
$A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળતા હોવાથી,$A B A B=A(B A) B=A(A B) B=(A A)(B B)=A^2 B^2$.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $3\begin{bmatrix} x & y \\ z & t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 6 \\ -1 & 2t \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & x+y \\ z+t & 3 \end{bmatrix}$
પ્રથમ શ્રેણિકમાં અદિશ $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} 3x & 3y \\ 3z & 3t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+4 & 6+x+y \\ -1+z+t & 2t+3 \end{bmatrix}$
બે શ્રેણિકો સમાન હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ:
$1) \ 3x = x + 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$
$2) \ 3t = 2t + 3 \implies t = 3$
$3) \ 3z = -1 + z + t \implies 2z = -1 + 3 \implies 2z = 2 \implies z = 1$
$4) \ 3y = 6 + x + y \implies 2y = 6 + 2 \implies 2y = 8 \implies y = 4$
આમ,કિંમતો $(x, y, z, t) = (2, 4, 1, 3)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1)+(0)(1) & (1)(0)+(0)(2) \\ (1)(1)+(2)(1) & (1)(0)+(2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,$2I$ ની ગણતરી કરો:
$2I = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^2$ અને $2I$ નો સરવાળો કરો:
$A^2 + 2I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $3A = 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $A^2 + 2I = 3A$.

(D) આપેલ છે $A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right]$. નોંધો કે $A^T = A$ અને $A^2 = I$,તેથી $A^T A = A A = I$.
આપણને $X = A P A^T$ આપેલ છે.
તેથી $X^2 = (A P A^T)(A P A^T) = A P (A^T A) P A^T = A P I P A^T = A P^2 A^T$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$X^n = A P^n A^T$.
તેથી,$X^{50} = A P^{50} A^T$.
હવે,$A^T X^{50} A = A^T (A P^{50} A^T) A = (A^T A) P^{50} (A^T A) = I P^{50} I = P^{50}$.
આપેલ $P = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$,આપણે જોઈએ છીએ કે $P^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$,$P^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$,અને સામાન્ય રીતે $P^n = \left[\begin{array}{ll}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
આમ,$P^{50} = \left[\begin{array}{cc}1 & 50 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
તેથી,$A^T X^{50} A = \left[\begin{array}{cc}1 & 50 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix}$. ધારો કે $B = \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix}$.
$AB = BA$ હોવાથી,બંને બાજુ શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા.
$AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+2u & b+2v & c+2w \\ 2x+3a & 2y+3b & 2z+3c \\ 4x+3u & 4y+3v & 4z+3w \end{bmatrix}$.
તે જ રીતે $BA = \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y+4z & x+3y & 2x+3z \\ 2b+4c & a+3b & 2a+3c \\ 2v+4w & u+3v & 2u+3w \end{bmatrix}$.
$AB$ અને $BA$ ના ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણે આપેલા વિકલ્પો ચકાસીએ છીએ.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $B = \begin{bmatrix} 9 & -3 & -6 \\ -6 & -8 & 4 \\ -12 & 4 & -2 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતો શ્રેણિક ગુણાકારમાં મૂકતા સાબિત થાય છે કે આ શ્રેણિક માટે $AB = BA$ શરતનું પાલન થાય છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = x \cos \theta - y \sin \theta$ $(i)$
$\beta = x \sin \theta + y \cos \theta$ $(ii)$
$\gamma = z$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\alpha^2 + \beta^2 = (x \cos \theta - y \sin \theta)^2 + (x \sin \theta + y \cos \theta)^2$
$\alpha^2 + \beta^2 = x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta + x^2 \sin^2 \theta + y^2 \cos^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
$\alpha^2 + \beta^2 = x^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = x^2 + y^2$
હવે,પદ $\frac{x^2+y^2+z^2}{\gamma}$ ધ્યાનમાં લો.
$x^2+y^2 = \alpha^2+\beta^2$ અને $z = \gamma$ મૂકતા:
$\frac{x^2+y^2+z^2}{\gamma} = \frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\gamma}$
કારણ કે $\gamma = z$,તેથી આ $\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{z}$ બરાબર છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $A^2 = I$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
હાર $1$: $(1)(1) + (0)(a) + (0)(b) = 1$,$(1)(0) + (0)(-1) + (0)(c) = 0$,$(1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0$.
હાર $2$: $(a)(1) + (-1)(a) + (0)(b) = 0$,$(a)(0) + (-1)(-1) + (0)(c) = 1$,$(a)(0) + (-1)(0) + (0)(1) = 0$.
હાર $3$: $(b)(1) + (c)(a) + (1)(b) = 2b + ac$,$(b)(0) + (c)(-1) + (1)(c) = 0$,$(b)(0) + (c)(0) + (1)(1) = 1$.
આમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2b + ac & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આને એકમ શ્રેણિક $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2b + ac = 0$ મળે છે.
તેથી,$b = -\frac{ac}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $G(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$x+y=0$ હોવાથી,$y = -x$ મળે.
તેથી,$G(y) = G(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & -\sin(-x) & 0 \\ \sin(-x) & \cos(-x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$G(x)G(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
હાર $1$,સ્તંભ $1$: $(\cos x)(\cos x) + (-\sin x)(-\sin x) + (0)(0) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
હાર $1$,સ્તંભ $2$: $(\cos x)(\sin x) + (-\sin x)(\cos x) + (0)(0) = 0$.
હાર $2$,સ્તંભ $1$: $(\sin x)(\cos x) + (\cos x)(-\sin x) + (0)(0) = 0$.
હાર $2$,સ્તંભ $2$: $(\sin x)(\sin x) + (\cos x)(\cos x) + (0)(0) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
આમ,$G(x)G(y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$,જે એકમ શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \cdot A$ શોધો:
$A^2 = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2 + 0 & 0 + 0 \\ x + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2 & 0 \\ x + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A$ શોધો:
$A^3 = \begin{bmatrix} x^2 & 0 \\ x + 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3 + 0 & 0 + 0 \\ x(x + 1) + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3 & 0 \\ x^2 + x + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^3 = B$,તેથી:
$\begin{bmatrix} x^3 & 0 \\ x^2 + x + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x^3 = 8 \implies x = 2$.
તેમજ,$x^2 + x + 1 = 7 \implies x^2 + x - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 3)(x - 2) = 0$,જે $x = 2$ અથવા $x = -3$ આપે છે.
કારણ કે $x$ એ બંને શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ,તેથી સામાન્ય કિંમત $x = 2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = nI$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
તેથી $A^2 = (nI)^2 = n^2 I^2 = n^2 I = \begin{bmatrix} n^2 & 0 & 0 \\ 0 & n^2 & 0 \\ 0 & 0 & n^2 \end{bmatrix}$.
આગળ,$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & n \\ 0 & n & 0 \\ n & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & n \\ 0 & n & 0 \\ n & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n^2 & 0 & 0 \\ 0 & n^2 & 0 \\ 0 & 0 & n^2 \end{bmatrix} = n^2 I$.
વળી,$AB = (nI)B = n(IB) = nB = \begin{bmatrix} 0 & 0 & n^2 \\ 0 & n^2 & 0 \\ n^2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^2 + B^2 + AB = n^2 I + n^2 I + nB = 2n^2 I + nB$.
$n$ સામાન્ય લેતા,આપણને $n(2nI + B)$ મળે છે.

(B) $A = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $A = \omega I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$A^{50} = (\omega I)^{50} = \omega^{50} I^{50}$.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $I^n = I$ હોવાથી,$A^{50} = \omega^{50} I$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$. તેથી,$\omega^{50} = (\omega^3)^{16} \cdot \omega^2 = (1)^{16} \cdot \omega^2 = \omega^2$.
આમ,$A^{50} = \omega^2 I = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 \\ 0 & \omega^2 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A = \omega I$,તેથી $I = \frac{1}{\omega} A = \omega^2 A$ (કારણ કે $\frac{1}{\omega} = \omega^2$).
તેથી,$A^{50} = \omega^2 (\omega^2 A) = \omega^4 A = \omega A$ (કારણ કે $\omega^3 = 1$).
આમ,$A^{50} = \omega A$.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -1 & -2 & -3\end{array}\right]$ છે.
પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ શોધીએ:
$A^T = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right]$.
હવે,આપણે ગુણાકાર $A^T B$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^T B = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -1 & -2 & -3\end{array}\right]$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}(1)(4)+(0)(-1) & (1)(0)+(0)(-2) & (1)(-3)+(0)(-3) \\ (-1)(4)+(3)(-1) & (-1)(0)+(3)(-2) & (-1)(-3)+(3)(-3) \\ (2)(4)+(4)(-1) & (2)(0)+(4)(-2) & (2)(-3)+(4)(-3)\end{array}\right]$.
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}4+0 & 0+0 & -3+0 \\ -4-3 & 0-6 & 3-9 \\ 8-4 & 0-8 & -6-12\end{array}\right]$.
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -7 & -6 & -6 \\ 4 & -8 & -18\end{array}\right]$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$. આપણે તમામ $n \in N$ માટે વિધાન $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$ ની સત્યતા ચકાસીએ.
$n = 1$ માટે: $A^1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,જે સૂત્ર $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ સાથે મેળ ખાય છે.
$n = 2$ માટે: $A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+0(1) & 1(0)+0(1) \\ 1(1)+1(1) & 1(0)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$. આ $n = 2$ માટેના સૂત્ર સાથે મેળ ખાય છે.
$n = 3$ માટે: $A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+0(1) & 1(0)+0(1) \\ 2(1)+1(1) & 2(0)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$. આ $n = 3$ માટેના સૂત્ર સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,આ વિધાન $n = 3$ માટે સાચું છે.

(D) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ અને $N = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$.
તો,$MN = \begin{bmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{bmatrix}$ અને $NM = \begin{bmatrix} ap+qc & pb+qd \\ ar+cs & br+ds \end{bmatrix}$.
$MN = NM$ માટે,આપણી પાસે $br = qc$,$aq+bs = pb+qd$,$cp+dr = ar+cs$,અને $cq+ds = br+ds$ હોવું જોઈએ.
આ શરતો બધા શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે સાચી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $N = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ હોય,તો $MN = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ જ્યારે $NM = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $MN \neq NM$.
કારણ કે કોઈ પણ ચોક્કસ શરતો $(A)$,$(B)$,અથવા $(C)$ કોઈપણ મનસ્વી શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે $MN = NM$ થવા માટે જરૂરી કે પૂરતી નથી,તેથી સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(D) ભ્રમણ શ્રેણિક $R_{\theta}$ એ $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણિક $A$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{4}$. તેથી,$A^n = \left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{n\pi}{4} & \sin \frac{n\pi}{4} & 0 \\ -\sin \frac{n\pi}{4} & \cos \frac{n\pi}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
$A^{2020}$ માટે,$n=2020$,તેથી $\frac{2020\pi}{4} = 505\pi$. કારણ કે $\cos(505\pi) = -1$ અને $\sin(505\pi) = 0$,તેથી $A^{2020} \neq I$.
શ્રેણિક $D$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{2}$. તેથી,$D^n = \left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{n\pi}{2} & \sin \frac{n\pi}{2} & 0 \\ -\sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
$D^{2019}$ માટે,$n=2019$,$\frac{2019\pi}{2} = 1009.5\pi$,તેથી $D^{2019} \neq I$.
શ્રેણિક $B$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{3}$. તેથી,$B^n = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \frac{n\pi}{3} & \sin \frac{n\pi}{3} \\ 0 & -\sin \frac{n\pi}{3} & \cos \frac{n\pi}{3}\end{array}\right]$.
$B^{2022}$ માટે,$n=2022$,$\frac{2022\pi}{3} = 674\pi$. કારણ કે $\cos(674\pi) = 1$ અને $\sin(674\pi) = 0$,તેથી $B^{2022} = I$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે રોટેશન મેટ્રિક્સ $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ માટે,$R(\theta)^n = R(n\theta)$ ગુણધર્મ સાચો છે.
તેથી,$A^3 = \begin{bmatrix} \cos 3 \theta & \sin 3 \theta \\ -\sin 3 \theta & \cos 3 \theta \end{bmatrix}$.
આને આપેલ મેટ્રિક્સ $A^3 = \begin{bmatrix} \cos 3 \theta & m \\ n & \cos 3 \theta \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \sin 3 \theta$ અને $n = -\sin 3 \theta$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,$A^2$ શોધો: $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
આનો અર્થ એ છે કે $A^2 + I = 0$,અથવા $A^2 = -I$.
આના પરથી,$A^3 = A^2 \cdot A = -I \cdot A = -A$.
વધુમાં,$A^4 = (A^2)^2 = (-I)^2 = I$.
હવે,દરેક વિકલ્પ તપાસીએ:
વિકલ્પ $A$: $A^3 - I = -A - I$ અને $A(A - I) = A^2 - A = -I - A$. તેથી,$A^3 - I = A(A - I)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$: $A^3 + I = -A + I$ અને $A(A^3 - I) = A(-A - I) = -A^2 - A = I - A$. તેથી,$A^3 + I = A(A^3 - I)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$: $A^4 - I = I - I = 0$ અને $A^2 + I = -I + I = 0$. તેથી,$A^4 - I = A^2 + I$ સાચું છે.
વિકલ્પ $D$: $A^2 + I = -I + I = 0$ અને $A(A^2 - I) = A(-I - I) = A(-2I) = -2A$. કારણ કે $0 \neq -2A$,તેથી આ વિકલ્પ ખોટો છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A$ એ $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ સ્વરૂપનો પરિભ્રમણ શ્રેણિક છે,જ્યાં $\theta = \frac{2 \pi}{33}$ છે.
પરિભ્રમણ શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = R(n \theta) = \begin{bmatrix} \cos(n \theta) & \sin(n \theta) \\ -\sin(n \theta) & \cos(n \theta) \end{bmatrix}$ થાય.
આપણે $A^{2017}$ શોધવાનું છે,તેથી $n = 2017$ લેતા.
ખૂણો $n \theta = 2017 \times \frac{2 \pi}{33} = \frac{4034 \pi}{33}$ થશે.
$4034$ ને $33$ વડે ભાગતા: $4034 = 33 \times 122 + 8$ મળે.
તેથી,$\frac{4034 \pi}{33} = 122 \pi + \frac{8 \pi}{33}$ થાય.
$\cos(122 \pi + \alpha) = \cos \alpha$ અને $\sin(122 \pi + \alpha) = \sin \alpha$ હોવાથી,$A^{2017} = \begin{bmatrix} \cos \frac{8 \pi}{33} & \sin \frac{8 \pi}{33} \\ -\sin \frac{8 \pi}{33} & \cos \frac{8 \pi}{33} \end{bmatrix}$ મળે.
અહીં $A^4 = R(4 \times \frac{2 \pi}{33}) = R(\frac{8 \pi}{33})$ છે.
તેથી,$A^{2017} = A^4$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix}$.
તેથી $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix}$.
શરત $A A^T = 9 I = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$ છે.
$A A^T$ નો ગુણાકાર કરતા:
હાર $1 \times$ સ્તંભ $1$: $1(1) + 2(2) + 2(2) = 1 + 4 + 4 = 9$.
હાર $2 \times$ સ્તંભ $2$: $2(2) + 1(1) + (-2)(-2) = 4 + 1 + 4 = 9$.
હાર $3 \times$ સ્તંભ $3$: $a(a) + 2(2) + b(b) = a^2 + 4 + b^2$.
$A A^T = 9 I$ હોવાથી,વિકર્ણ ઘટકો $9$ હોવા જોઈએ. તેથી,$a^2 + 4 + b^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 + b^2 = 5$.
અન્ય ઘટકો તપાસતા:
હાર $1 \times$ સ્તંભ $2$: $1(2) + 2(1) + 2(-2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
હાર $1 \times$ સ્તંભ $3$: $1(a) + 2(2) + 2(b) = a + 4 + 2b = 0$.
હાર $2 \times$ સ્તંભ $3$: $2(a) + 1(2) + (-2)(b) = 2a + 2 - 2b = 0 \implies a - b = -1$.
$a + 2b = -4$ અને $a - b = -1$ પરથી,બાદબાકી કરતા $3b = -3 \implies b = -1$. તેથી $a = -2$.
ચકાસણી: $a^2 + b^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(B) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix}$ છે.
બંને શ્રેણિક $A$ અને $B$ નો ક્રમ $2 \times 3$ છે.
તેથી,$A^T$ અને $B^T$ નો ક્રમ $3 \times 2$ થાય.
હવે,$A^T B B^T A$ નો ક્રમ તપાસીએ:
$A^T B B^T A$ નો ક્રમ = $(3 \times 2) \times (2 \times 3) \times (3 \times 2) \times (2 \times 3) = 3 \times 3$.
તે જ રીતે,$B^T A A^T B$ નો ક્રમ = $(3 \times 2) \times (2 \times 3) \times (3 \times 2) \times (2 \times 3) = 3 \times 3$.
આમ,બંને પદ $A^T B B^T A$ અને $B^T A A^T B$ નો ક્રમ $3 \times 3$ હોવાથી,તેમના ક્રમ સમાન છે.

(C) શ્રેણિક $A$ ના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકો $a^2, b^2, c^2$ છે અને શ્રેણિક $B$ ના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકો $2a, 2b, 2c-3$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$A$ ના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોનો સરવાળો એ $B$ ના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોના સરવાળા જેટલો છે:
$a^2+b^2+c^2 = 2a+2b+2c-3$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$(a^2-2a+1) + (b^2-2b+1) + (c^2-2c+1) = 0$
$(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 = 0$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય,તેથી:
$a-1=0, b-1=0, c-1=0$
આમ,$a=1, b=1, c=1$.
$B$ ના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોનો ગુણાકાર $(2a)(2b)(2c-3)$ છે.
$a=1, b=1, c=1$ કિંમતો મૂકતા:
$= (2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1 - 3)$
$= 2 \times 2 \times (-1) = -4$.

(A) કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને સંમિત શ્રેણિક $P$ અને વિસંમિત શ્રેણિક $Q$ ના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $P = \frac{1}{2}(A + A^T)$ અને $Q = \frac{1}{2}(A - A^T)$.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
તેથી $A^T = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,$A - A^T = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.
તેથી,$Q = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
સમીકરણ $AB = O$ આપેલ છે,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}O$
$(A^{-1}A)B = O$
$IB = O$
$B = O$
તેથી,$B$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે: $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,$A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) શોધો: $A^T = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
હવે,$(A^T)^2$ ની ગણતરી કરો:
$(A^T)^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(2) + (-4)(-3) & (2)(-4) + (-4)(1) \\ (-3)(2) + (1)(-3) & (-3)(-4) + (1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -12 \\ -9 & 13 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,$(12A)^T$ ની ગણતરી કરો:
$12A = \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix} \Rightarrow (12A)^T = \begin{bmatrix} 24 & -48 \\ -36 & 12 \end{bmatrix}$
અંતે,બંને શ્રેણિકોનો સરવાળો કરો:
$(A^T)^2 + (12A)^T = \begin{bmatrix} 16 & -12 \\ -9 & 13 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 24 & -48 \\ -36 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 40 & -60 \\ -45 & 25 \end{bmatrix}$

(B) આપેલ સમીકરણ $ABCDE = I$ છે.
બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા: $A^{-1}(ABCDE) = A^{-1}I \Rightarrow BCDE = A^{-1}$.
બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $B^{-1}$ વડે ગુણતા: $B^{-1}(BCDE) = B^{-1}A^{-1} \Rightarrow CDE = B^{-1}A^{-1}$.
બંને બાજુએ જમણી બાજુથી $E^{-1}$ વડે ગુણતા: $(CDE)E^{-1} = B^{-1}A^{-1}E^{-1} \Rightarrow CD = B^{-1}A^{-1}E^{-1}$.
બંને બાજુએ જમણી બાજુથી $D^{-1}$ વડે ગુણતા: $(CD)D^{-1} = B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1} \Rightarrow C = B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1}$.
બંને બાજુનો વ્યસ્ત લેતા: $C^{-1} = (B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1})^{-1}$.
ગુણધર્મ $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $C^{-1} = (D^{-1})^{-1}(E^{-1})^{-1}(A^{-1})^{-1}(B^{-1})^{-1} = DEAB$.

(A) આપેલ છે કે $M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,$M^2 = M \times M$ ની ગણતરી કરો:
$M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+4+4 & 2+2+4 & 2+4+2 \\ 2+2+4 & 4+1+4 & 4+2+2 \\ 2+4+2 & 4+2+2 & 4+4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
હવે,$4M = 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
અંતે,$M^2 - 4M = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 5I$.

(D) આપેલ છે કે,$a = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,$b = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $c = \cot \frac{\pi}{2} = 0$.
આ કિંમતોને શ્રેણિક $A$ માં મૂકતા:
$A = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/4 & 1/4 \\ 1/2 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 3/4 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 0 - 0 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{16} - \frac{2}{16} \right) = -\frac{3}{64}$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,$A$ એ સામાન્ય (Non-singular) શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 4 & 10 \\ 13 & 7 & 19 \\ 19 & 10 & 28 \end{bmatrix}$.
હવે,$5A = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & 5 & 15 \\ 15 & 10 & 20 \end{bmatrix}$.
અને $6I = 6 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^2 - 5A + 6I$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 - 5A + 6I = \begin{bmatrix} 7 & 4 & 10 \\ 13 & 7 & 19 \\ 19 & 10 & 28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & 5 & 15 \\ 15 & 10 & 20 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 4 & 0 \\ 3 & 8 & 4 \\ 4 & 0 & 14 \end{bmatrix}$.

(A) ડાબી બાજુએ શ્રેણિકનો ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} 7(1) + 5(3) + \alpha(2) \\ \beta(1) + 2(3) + 11(2) \\ 3(1) + \gamma(3) + 1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 + 2\alpha \\ \beta + 28 \\ 5 + 3\gamma \end{bmatrix}$.
આને જમણી બાજુના શ્રેણિક સાથે સરખાવતા:
$1) \ 22 + 2\alpha = \alpha + \beta \implies \alpha - \beta = -22$
$2) \ \beta + 28 = -2\alpha + \beta - 2\gamma \implies 2\alpha + 2\gamma = -28 \implies \alpha + \gamma = -14$
$3) \ 5 + 3\gamma = \alpha + 2\beta + 3\gamma \implies \alpha + 2\beta = 5$
$(1)$ પરથી,$\beta = \alpha + 22$. તેને $(3)$ માં મૂકતા:
$\alpha + 2(\alpha + 22) = 5 \implies 3\alpha + 44 = 5 \implies 3\alpha = -39 \implies \alpha = -13$.
તેથી $\beta = -13 + 22 = 9$.
$(2)$ પરથી,$\gamma = -14 - \alpha = -14 - (-13) = -1$.
હવે,$100 + \frac{2\alpha + 11\beta}{\gamma} = 100 + \frac{2(-13) + 11(9)}{-1} = 100 + \frac{-26 + 99}{-1} = 100 + \frac{73}{-1} = 100 - 73 = 27$.

(C) ધારો કે શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $m \times n$ છે. $A$ અને $B$ નો સરવાળો $P = A + B$ થાય છે,તેથી $B$ નો ક્રમ પણ $m \times n$ હોવો જોઈએ.
$Q = A^T B$ માટે,$A^T$ નો ક્રમ $n \times m$ અને $B$ નો ક્રમ $m \times n$ છે. તેથી,ગુણાકાર $Q$ નો ક્રમ $n \times n$ થાય છે.
$R = A B^T$ માટે,$A$ નો ક્રમ $m \times n$ અને $B^T$ નો ક્રમ $n \times m$ છે. તેથી,ગુણાકાર $R$ નો ક્રમ $m \times m$ થાય છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$P$ નો ક્રમ $m \times n$,$Q$ નો ક્રમ $n \times n$,$R$ નો ક્રમ $m \times m$ છે.
$PQ$ નો ક્રમ $(m \times n) \times (n \times n) = m \times n$ થાય છે.
$RP$ નો ક્રમ $(m \times m) \times (m \times n) = m \times n$ થાય છે.
આમ,$PQ$ અને $RP$ બંનેનો ક્રમ $A$ ના ક્રમ $(m \times n)$ જેટલો જ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $AA^T$ ની ગણતરી કરીએ:
$AA^T = \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}9 & 1 & 7 \\ 3 & 5 & 6 \\ 0 & 8 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}90 & 24 & 81 \\ 24 & 90 & 53 \\ 81 & 53 & 89\end{array}\right]$
ત્યારબાદ,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}84 & 42 & 24 \\ 70 & 76 & 56 \\ 83 & 63 & 52\end{array}\right]$
હવે,$AA^T - A^2$ શોધો:
$AA^T - A^2 = \left[\begin{array}{ccc}90-84 & 24-42 & 81-24 \\ 24-70 & 90-76 & 53-56 \\ 81-83 & 53-63 & 89-52\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6 & -18 & 57 \\ -46 & 14 & -3 \\ -2 & -10 & 37\end{array}\right]$
બધા ઘટકો $a_{ij}$ નો સરવાળો:
$\sum a_{ij} = 6 - 18 + 57 - 46 + 14 - 3 - 2 - 10 + 37 = 35$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,$A+B$ ની ગણતરી કરો:
$A+B = \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & -1+4 \\ -1+2 & 0+2 & 2-1 \\ 1-2 & 2+0 & 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A^2 = A+B$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & k \\ k & 1+k^2 \end{bmatrix}$ ગણો.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & k \\ k & 1+k^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 1+k^2 \\ 1+k^2 & k+k(1+k^2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 1+k^2 \\ 1+k^2 & 2k+k^3 \end{bmatrix}$ ગણો.
આપણને $d = 228$ આપેલ છે,તેથી $2k + k^3 = 228$.
કિંમતો ચકાસતા,જો $k = 6$ હોય,તો $2(6) + 6^3 = 12 + 216 = 228$. આમ,$k = 6$.
હવે,$b = 1 + k^2 = 1 + 6^2 = 1 + 36 = 37$.
તે જ રીતે,$c = 1 + k^2 = 1 + 36 = 37$.
તેથી,$b + c = 37 + 37 = 74$.

(A) આપેલ છે કે $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ અને $I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
આપણે $A$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \cdot A = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 2A - I = 2A - (2-1)I$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 3A - 2I = 3A - (3-1)I$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,આપણે કોઈપણ $n \in N$ માટે આ પેટર્નને સામાન્ય બનાવી શકીએ છીએ:
$A^n = nA - (n-1)I$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ અને $f(t) = t^2 - 3t + 7$.
સૌ પ્રથમ,$A^2$ શોધો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix}$.
હવે,$f(A) = A^2 - 3A + 7I$ શોધો,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$:
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,$f(A) + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો:
$\begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$m[-3, 4] + n[4, -3] = [10, -11]$
અદિશ $m$ અને $n$ ને શ્રેણિક સાથે ગુણતા:
$[-3m, 4m] + [4n, -3n] = [10, -11]$
શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$[-3m + 4n, 4m - 3n] = [10, -11]$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને બે સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$-3m + 4n = 10$ $\dots(i)$
$4m - 3n = -11$ $\dots(ii)$
$m$ અને $n$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$-9m + 12n = 30$ $\dots(iii)$
$16m - 12n = -44$ $\dots(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$7m = -14 \Rightarrow m = -2$
$m = -2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-3(-2) + 4n = 10 \Rightarrow 6 + 4n = 10 \Rightarrow 4n = 4 \Rightarrow n = 1$
અંતે,$3m + 7n$ ની ગણતરી કરતા:
$3(-2) + 7(1) = -6 + 7 = 1$

(B) એક ચોરસ શ્રેણિકને અદિશ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ બિન-વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય હોય અને તેના તમામ વિકર્ણ ઘટકો એક અચળ $k$ સમાન હોય.
અહીં આપેલ છે કે $i \neq j$ માટે $a_{ij} = 0$ (બિન-વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય છે) અને $i = j$ માટે $a_{ij} = k$ (વિકર્ણ ઘટકો અચળ $k$ છે),તેથી આ શ્રેણિક અદિશ શ્રેણિકની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ ને અદિશ $h$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$hA = \begin{bmatrix} 0 & 2h \\ 3h & -4h \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $hA = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
બંને શ્રેણિકોના અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $-4h = 24 \implies h = -6$.
$2$) $2h = 3a \implies 2(-6) = 3a \implies -12 = 3a \implies a = -4$.
$3$) $3h = 2b \implies 3(-6) = 2b \implies -18 = 2b \implies b = -9$.
આમ,$h, a, b$ ની કિંમતો $h = -6, a = -4, b = -9$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} b & a & 0 \\ c & 0 & b \\ a & a & b \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ b & 0 & c \\ b & a & a \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર $AB$ કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} ab & ab & b^2+ac \\ b^2 & ac+ab & bc+ab \\ ab+b^2 & a^2+ab & 2ab+ac \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 7 \\ 1 & 8 & 5 \\ 3 & 6 & 10 \end{bmatrix}$.
સરખાવતા,$b^2 = 1$,$ab = 2$,અને $b^2+ac = 7$.
$b^2=1$ હોવાથી,$1+ac=7 \implies ac=6$.
જો $b=1$ હોય તો $a=2$ અને $c=3$. જો $b=-1$ હોય તો $a=-2$ અને $c=-3$.
બંને કિસ્સામાં,$a^2+b^2+c^2 = (\pm 2)^2 + (\pm 1)^2 + (\pm 3)^2 = 4+1+9 = 14$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
અહીં $A^2 = 0$ હોવાથી,$n \geq 2$ માટે તમામ ઉચ્ચ ઘાત $A^n = 0$ થશે.
આપેલ છે કે $f(x) = x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{2023}$,તેથી $f(A) = A + A^2 + A^3 + \ldots + A^{2023}$.
$n \geq 2$ માટે $A^n = 0$ મૂકતા,આપણને $f(A) = A + 0 + 0 + \ldots + 0 = A$ મળે છે.
તેથી,$f(A) + I = A + I$.
$f(A) + I = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.