Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \\ 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \\ 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 27 & 27 \\ 27 & 27 & 27 \\ 27 & 27 & 27 \end{bmatrix} = 9A$.
હવે,$A^3 = A^2 \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^3 = (9A) \times A = 9(A^2) = 9(9A) = 81A$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,પ્રથમ બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરો: $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & x & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2(1)+3(2)+4(3)) & (2(x)+3(4)+4(2)) & (2(3)+3(5)+4(x)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 2x+20 & 21+4x \end{bmatrix}$.
હવે,આ પરિણામનો ત્રીજા શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરો: $\begin{bmatrix} 20 & 2x+20 & 21+4x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = 20(x) + (2x+20)(2) + (21+4x)(0) = 0$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા: $20x + 4x + 40 = 0$.
$24x = -40$.
$x = -\frac{40}{24} = -\frac{5}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 33 & 24 & 24 \\ 24 & 33 & 24 \\ 24 & 24 & 33 \end{bmatrix}$.
હવે,$6A$ ની ગણતરી કરો:
$6A = 6 \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 24 & 24 \\ 24 & 6 & 24 \\ 24 & 24 & 6 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^2 - 6A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 - 6A = \begin{bmatrix} 33 & 24 & 24 \\ 24 & 33 & 24 \\ 24 & 24 & 33 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 24 & 24 \\ 24 & 6 & 24 \\ 24 & 24 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 0 & 0 \\ 0 & 27 & 0 \\ 0 & 0 & 27 \end{bmatrix} = 27 I_3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $A^2 = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & \alpha \beta - \beta \alpha \\ \gamma \alpha - \alpha \gamma & \beta \gamma + \alpha^2 \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^2 + \beta \gamma \end{bmatrix}$
$A^2 = I$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^2 + \beta \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$\alpha^2 + \beta \gamma = 1$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$1 - \alpha^2 - \beta \gamma = 0$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સામાન્ય રીતે,શ્રેણિકનો ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી. સમાન ક્રમના બે ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,ગુણાકાર $AB$ એ $BA$ ને સમાન હોય તે જરૂરી નથી. તેથી,$AB \neq BA$ એ શ્રેણિક ગુણાકારના સામાન્ય ગુણધર્મને દર્શાવતું સાચું વિધાન છે.

(A) ધારો કે શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $p \times q$ છે.
તો $B^{\prime}$ નો ક્રમ $q \times p$ થાય.
$AB^{\prime}$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા એ $B^{\prime}$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
આથી,$n = q$.
$B^{\prime}A$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$B^{\prime}$ માં સ્તંભોની સંખ્યા એ $A$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
આથી,$p = m$.
તેથી,શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $m \times n$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2A$ શોધો.
હવે,$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2(A^2) = 2(2A) = 2^2 A$ ગણો.
તે જ રીતે,$A^4 = A^3 \times A = (2^2 A) \times A = 2^2 (A^2) = 2^2 (2A) = 2^3 A$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,આપણે કહી શકીએ કે $A^n = 2^{n-1} A$.
તેથી,$n = 10$ માટે,$A^{10} = 2^{10-1} A = 2^9 A$.

(C) આપેલ છે કે $A^2 = A$ અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આપણે $(I + A)^2 - 3A$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
$(I + A)^2 = I^2 + IA + AI + A^2$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$IA = AI = A$ અને $I^2 = I$ હોવાથી:
$(I + A)^2 = I + A + A + A^2$
$(I + A)^2 = I + 2A + A^2$
હવે $A^2 = A$ મૂકતા:
$(I + A)^2 = I + 2A + A = I + 3A$
આ કિંમત મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(I + A)^2 - 3A = (I + 3A) - 3A$
$(I + A)^2 - 3A = I$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) શ્રેણિક $A$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે,જેને $I_2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
શ્રેણિક $B$ એ $3 \times 2$ શ્રેણિક છે.
ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A$ ના સ્તંભોની સંખ્યા $B$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $2$ છે અને $B$ માં હારની સંખ્યા $3$ છે.
$2 \neq 3$ હોવાથી,શ્રેણિક ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,$AB$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(B) $3 \times 2$ ક્રમના શ્રેણિકમાં કુલ $3 \times 2 = 6$ ઘટકો હોય છે.
દરેક ઘટકને $2$ રીતે ભરી શકાય છે (અથવા $1$ અથવા $2$).
અહીં $6$ સ્વતંત્ર સ્થાનો ભરવાના હોવાથી,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $2^6$ થશે.
$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A^2 = A$.
આપણે $(I + A)^3 - 7A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
શ્રેણિક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(I + A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$.
કારણ કે $I^n = I$ અને $IA = AI = A$,આપણી પાસે છે:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$.
$A^2 = A$ આપેલ હોવાથી,$A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ થાય.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3A + A = I + 7A$.
હવે,$7A$ બાદ કરતા:
$(I + A)^3 - 7A = (I + 7A) - 7A = I$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $3 \times 3$ શ્રેણિકમાં કુલ $3 \times 3 = 9$ ઘટકો હોય છે.
દરેક ઘટકને $2$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે (કાં તો $2$ અથવા $9$).
અહીં $9$ સ્થાનો છે અને દરેક સ્થાન માટે $2$ વિકલ્પો છે,તેથી આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $2^9$ દ્વારા મળે છે.
$2^9$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $2^9 = 512$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A^2 = A$.
આપણે $(I + A)^3 - 8A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
શ્રેણિક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(I + A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$.
$I^n = I$ અને $I \times A = A$ હોવાથી,આ પદ $I + 3A + 3A^2 + A^3$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$A^2 = A$ આપેલ હોવાથી,આપણે $A^2$ ની જગ્યાએ $A$ મૂકી શકીએ:
$A^3 = A^2 \times A = A \times A = A^2 = A$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3(A) + A = I + 7A$.
હવે,$8A$ બાદ કરતા:
$(I + 7A) - 8A = I - A$.

(A) શ્રેણિક $X$ અને $Y$ માટે સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ $X + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$
$(2)$ $X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
$2X$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરીશું:
$(X + Y) + (X - Y) = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 7+3 & 0+0 \\ 2+0 & 5+3 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,જે $3 \times 1$ શ્રેણિક છે. તેથી,$A$ એ $1 \times 3$ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $B^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}$,જે $1 \times 3$ શ્રેણિક છે. તેથી,$B$ એ $3 \times 1$ શ્રેણિક છે.
આપણે $(BA)^{\prime}$ શોધવાનું છે.
પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(BA)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime}$.
અહીં $A^{\prime}$ એ $3 \times 1$ છે અને $B^{\prime}$ એ $1 \times 3$ છે.
તેથી,$A^{\prime} B^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 8 & 6 & 4 \\ 12 & 9 & 6 \end{bmatrix}$.
આ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જે એક ચોરસ શ્રેણિક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (0)(0)+(0)(0)+(3)(3) & (0)(0)+(0)(3)+(3)(0) & (0)(3)+(0)(0)+(3)(0) \\ (0)(0)+(3)(0)+(0)(3) & (0)(0)+(3)(3)+(0)(0) & (0)(3)+(3)(0)+(0)(0) \\ (3)(0)+(0)(0)+(0)(3) & (3)(0)+(0)(3)+(0)(0) & (3)(3)+(0)(0)+(0)(0) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = 9 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 9I_3$.
આમ,સાચું વિધાન $A^2 = 9I_3$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (1)(-1) & (3)(1) + (1)(2) \\ (-1)(3) + (2)(-1) & (-1)(1) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$5A = 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
હવે,$A^2 - 5A$ શોધો:
$A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-15 & 5-5 \\ -5-(-5) & 3-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}$.
આને $-7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -7I$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને $kI$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = -7$ મળે છે.

(C) આપેલ શ્રેણિકો $A$ નો ક્રમ $1 \times 3$,$B$ નો ક્રમ $3 \times 3$ અને $C$ નો ક્રમ $3 \times 1$ છે.
પ્રથમ,$AB$ નો ગુણાકાર શોધો. $AB$ નો ક્રમ $(1 \times 3) \times (3 \times 3) = 1 \times 3$ થશે.
ત્યારબાદ,$(AB) \cdot C$ નો ગુણાકાર શોધો. $(AB) \cdot C$ નો ક્રમ $(1 \times 3) \times (3 \times 1) = 1 \times 1$ થશે.
આમ,પરિણામી શ્રેણિક $1 \times 1$ ક્રમનો છે,જેનો અર્થ છે કે $m = 1$ અને $n = 1$.
તેથી,$m = n$.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} a_1+a_2 & 4 \\ 3 & a_3+a_4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3a_2 & 3a_1 \\ 3a_4 & 3a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -a_1 \\ -2a_4 & 1 \end{bmatrix}$.
બાદબાકી કરતા આપણને મળે છે: $\begin{bmatrix} a_1-2a_2 & 4-3a_1 \\ 3-3a_4 & a_3-2a_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -a_1 \\ -2a_4 & 1 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) \; a_1 - 2a_2 = -6$
$2) \; 4 - 3a_1 = -a_1 \implies 4 = 2a_1 \implies a_1 = 2$
$3) \; 3 - 3a_4 = -2a_4 \implies a_4 = 3$
$4) \; a_3 - 2a_4 = 1 \implies a_3 - 2(3) = 1 \implies a_3 = 7$
સમીકરણ $(1)$ માં $a_1 = 2$ મૂકતા: $2 - 2a_2 = -6 \implies -2a_2 = -8 \implies a_2 = 4$.
હવે,સરવાળો $\sum_{i=1}^4 a_i = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2 + 4 + 7 + 3 = 16$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2A$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2A^2 = 2(2A) = 2^2 A$ ની ગણતરી કરો.
તે જ રીતે,$A^4 = A^3 \times A = (2^2 A) \times A = 2^2 A^2 = 2^2(2A) = 2^3 A$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,આપણે કહી શકીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n \geq 1$ માટે $A^n = 2^{n-1} A$ થાય.
તેથી,$n = 100$ માટે,$A^{100} = 2^{100-1} A = 2^{99} A$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$2\begin{bmatrix} 5 & x \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,પ્રથમ શ્રેણિકને અદિશ $2$ વડે ગુણતા:
$\begin{bmatrix} 10 & 2x \\ 6 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
હવે,ડાબી બાજુના બે શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 10+0 & 2x+1 \\ 6+1 & 8+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 10 & 2x+1 \\ 7 & 8+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2x + 1 = 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$
$8 + y = 0 \implies y = -8$
તેથી,$x = 2$ અને $y = -8$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$A - B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 0 \end{bmatrix}$ (સમીકરણ $1$)
$A + B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(A - B) + (A + B) = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$
$2A = \begin{bmatrix} 2+6 & 5+3 \\ 9+(-1) & 0+0 \end{bmatrix}$
$2A = \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$
$2$ વડે ભાગતા:
$A = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પ્રથમ,પ્રથમ બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરો:
$\begin{bmatrix} 1 & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+x(0)+1(0) & 1(3)+x(5)+1(3) & 1(2)+x(1)+1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5x+6 & x+4 \end{bmatrix}$
હવે,આ પરિણામનો ત્રીજા શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરો:
$\begin{bmatrix} 1 & 5x+6 & x+4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ x \end{bmatrix} = 1(1) + (5x+6)(1) + (x+4)(x) = 0$
$1 + 5x + 6 + x^2 + 4x = 0$
$x^2 + 9x + 7 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 4(1)(7)}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 28}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{53}}{2}$
આપણે $2x + 9$ શોધવાનું છે:
$2x + 9 = 2 \left( \frac{-9 \pm \sqrt{53}}{2} \right) + 9 = -9 \pm \sqrt{53} + 9 = \pm \sqrt{53}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમાનતા પરથી:
$\left[\begin{array}{cc}x-1 & 2y \\ x+y & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3x-7 & y^2-3 \\ 6 & y\end{array}\right]$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) \ x-1 = 3x-7 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
$2) \ 3 = y \implies y = 3$
$3) \ 2y = y^2-3 \implies 2(3) = (3)^2-3 \implies 6 = 9-3 \implies 6 = 6$ (સંતોષાય છે)
$4) \ x+y = 6 \implies 3+3 = 6$ (સંતોષાય છે)
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (3, 3)$ છે.

(A) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ માટે,ઘટકો $a_{ij} = \frac{i + 2j^2}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$i=1, j=1$ માટે: $a_{11} = \frac{1 + 2(1)^2}{3} = \frac{1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
$i=1, j=2$ માટે: $a_{12} = \frac{1 + 2(2)^2}{3} = \frac{1 + 8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
$i=2, j=1$ માટે: $a_{21} = \frac{2 + 2(1)^2}{3} = \frac{2 + 2}{3} = \frac{4}{3}$.
$i=2, j=2$ માટે: $a_{22} = \frac{2 + 2(2)^2}{3} = \frac{2 + 8}{3} = \frac{10}{3}$.
આમ,શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \frac{4}{3} & \frac{10}{3} \end{array}\right]$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$ છે.
$f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિકમાં $\theta = \frac{\pi}{6}$ મૂકીશું.
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{6}) & -\sin(\frac{\pi}{6}) \\ \sin(\frac{\pi}{6}) & -\cos(\frac{\pi}{6}) \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બે શ્રેણિકોના અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને નીચે મુજબના સમીકરણો મળે છે:
$1) x + y = -7$
$2) x - y = 0$
$3) 7 + z = 5$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$x = y$ મળે છે.
$x = y$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$x + x = -7$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2x = -7$,તેથી $x = -3.5$ અને $y = -3.5$.
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$z = 5 - 7 = -2$ મળે છે.
હવે,આપણે $2x + 4y + 2z$ ની કિંમત ગણવાની છે:
$2x + 4y + 2z = 2(-3.5) + 4(-3.5) + 2(-2)$
$= -7 - 14 - 4$
$= -25$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$. તદેવ ઘટક $E = \begin{bmatrix} e & e \\ e & e \end{bmatrix}$ માટે $AE = A$ થાય.
$\begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & e \\ e & e \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2xe & 2xe \\ 2xe & 2xe \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$.
તેથી,$2xe = x \implies e = 1/2$. તદેવ ઘટક $E = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$ છે.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત $A^{-1} = \begin{bmatrix} y & y \\ y & y \end{bmatrix}$ છે.
માટે $AA^{-1} = E \implies \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y & y \\ y & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} 2y/3 & 2y/3 \\ 2y/3 & 2y/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$.
સરખાવતા: $2y/3 = 1/2 \implies y = 3/4$.
તેથી,$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3/4 & 3/4 \\ 3/4 & 3/4 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$x\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
અદિશ $x$ અને $y$ ને શ્રેણિક સાથે ગુણતા:
$\begin{bmatrix} 3x \\ 2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y \\ -y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 3x + y \\ 2x - y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ મળે છે:
$3x + y = 15$ --- $(i)$
$2x - y = 5$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x + y) + (2x - y) = 15 + 5$
$5x = 20 \Rightarrow x = 4$
$x = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા:
$3(4) + y = 15$
$12 + y = 15 \Rightarrow y = 3$
આમ,$x = 4$ અને $y = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$. નોંધો કે $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
અહીં આપણે શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું. કારણ કે $I$ અને $A$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(IA = AI = A)$,તેથી:
$(aI + bA)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (aI)^{n-k} (bA)^k$.
કારણ કે $k \ge 2$ માટે $A^k = O$ થાય છે,તેથી માત્ર $k=0$ અને $k=1$ વાળા પદો જ શૂન્યતર રહેશે:
$(aI + bA)^n = \binom{n}{0} (aI)^n (bA)^0 + \binom{n}{1} (aI)^{n-1} (bA)^1$.
$(aI + bA)^n = 1 \cdot a^n I \cdot I + n \cdot a^{n-1} I \cdot bA$.
$(aI + bA)^n = a^n I + n a^{n-1} b A$.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$3A + 4B' = \begin{bmatrix} 7 & -10 & 17 \\ 0 & 6 & 31 \end{bmatrix} \quad \dots(1)$
$2B - 3A' = \begin{bmatrix} -1 & 18 \\ 4 & 0 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) લેતા:
$2B' - 3A = \begin{bmatrix} -1 & 4 & 5 \\ 18 & 0 & -7 \end{bmatrix} \quad \dots(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો ઉપયોગ કરીને $B'$ શોધી શકાય છે.
ઉકેલતા,આપણને $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(x\pi) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \frac{1}{\pi} \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\pi} \cos^{-1}(x\pi) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ છે.
$A$ માંથી $B$ બાદ કરતા:
$A-B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi}(\sin^{-1}(x\pi) + \cos^{-1}(x\pi)) & \frac{1}{\pi}(\tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi})) \\ \frac{1}{\pi}(\sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi})) & \frac{1}{\pi}(\cot^{-1}(\pi x) + \tan^{-1}(\pi x)) \end{bmatrix}$.
નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ અને $\tan^{-1}(\theta) + \cot^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A-B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} I$.

(C) ગુણાકાર $AB$ એક એકમ શ્રેણિક $I$ બને તે માટે,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $B$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ,અને પરિણામી શ્રેણિક $AB$ એક ચોરસ શ્રેણિક હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $3 \times 4$ છે,ધારો કે શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $m \times n$ છે.
ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $(n)$ એ $B$ માં હારની સંખ્યા $(3)$ જેટલી હોવી જોઈએ. તેથી,$n = 3$.
પરિણામી શ્રેણિક $AB$ નો ક્રમ $m \times 4$ થશે.
કારણ કે $AB$ એક એકમ શ્રેણિક છે,તે ચોરસ શ્રેણિક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે હારની સંખ્યા સ્તંભોની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. તેથી,$m = 4$.
આમ,શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $4 \times 3$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ ના ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2^1 A$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} = 2^2 A$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$A^n = 2^{n-1} A$.
$n = 6$ માટે,$A^6 = 2^{6-1} A = 2^5 A = 32 A$.
$A^6 = k A$ અને $A^6 = 32 A$ ની સરખામણી કરતા,$k = 32$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = 2A$.
હવે,$A^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2(A^2) = 2(2A) = 4A = 2^2 A$.
આ પેટર્નનું અવલોકન કરતા,આપણે $A^n$ માટે સામાન્ય સૂત્ર મેળવી શકીએ છીએ:
$A^n = 2^{n-1} A$.
$n = 10$ માટે:
$A^{10} = 2^{10-1} A = 2^9 A$.

(D) આપેલ છે કે,$AB = B$ અને $BA = A$.
આપણે $A^2 + B^2$ શોધવાનું છે.
$A^2 = A \cdot A = A(BA) = (AB)A = BA = A$.
$B^2 = B \cdot B = B(AB) = (BA)B = AB = B$.
તેથી,$A^2 + B^2 = A + B$.

(B) આપેલ છે,$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}(1)(2) + (-2)(3) + (1)(1) & (1)(1) + (-2)(2) + (1)(1) \\ (2)(2) + (1)(3) + (3)(1) & (2)(1) + (1)(2) + (3)(1)\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}2 - 6 + 1 & 1 - 4 + 1 \\ 4 + 3 + 3 & 2 + 2 + 3\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}-3 & -2 \\ 10 & 7\end{array}\right]$
હવે,હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને પરિવર્તિત શ્રેણિક $(AB)^{\prime}$ શોધો:
$(AB)^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}-3 & 10 \\ -2 & 7\end{array}\right]$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+4 & -4-4 \\ -4-4 & 4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -8 \\ -8 & 8 \end{bmatrix} = 4 \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = 2^2 A$.
હવે,$A^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 = A^2 \cdot A = (2^2 A) \cdot A = 2^2 A^2 = 2^2 (2^2 A) = 2^4 A$.
આ પેટર્ન જોતા:
$A^1 = 2^0 A$
$A^2 = 2^2 A$
$A^3 = 2^4 A$
$A^4 = 2^6 A$
સામાન્ય રીતે,$A^n = 2^{2(n-1)} A$.
તેને $A^n = 2^k A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2(n-1)$ મળે છે.

(D) ધારો કે શ્રેણિક $B$ ની કક્ષા $x \times y$ છે.
તેથી $B^{\prime}$ ની કક્ષા $y \times x$ થશે.
ગુણાકાર $AB^{\prime}$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$A$ ના સ્તંભોની સંખ્યા એ $B^{\prime}$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
$A$ એ $m \times n$ હોવાથી,આપણને $n = y$ મળે છે.
ગુણાકાર $B^{\prime}A$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$B^{\prime}$ ના સ્તંભોની સંખ્યા એ $A$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$x = m$.
આમ,શ્રેણિક $B$ ની કક્ષા $m \times n$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે જેથી $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ થાય.
શ્રેણિક ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A-B)(A+B) = A(A+B) - B(A+B) = A^{2} + AB - BA - B^{2}$.
આને ડાબી બાજુ સાથે સરખાવતા:
$A^{2} - B^{2} = A^{2} + AB - BA - B^{2}$.
બંને બાજુથી $A^{2} - B^{2}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$0 = AB - BA$.
તેથી,$AB = BA$.
આ સૂચવે છે કે શ્રેણિકો $A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે (Commute).

(B) વિકર્ણ શ્રેણિક એ એક ચોરસ શ્રેણિક છે જેમાં મુખ્ય વિકર્ણ સિવાયના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય છે. વિકર્ણના ઘટકો પોતે કોઈપણ કિંમત હોઈ શકે છે,જેમાં શૂન્યનો પણ સમાવેશ થાય છે,પરંતુ તે બધા શૂન્ય હોવા જરૂરી નથી. તેથી,વિકર્ણ શ્રેણિકના તમામ વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) આપેલ છે,$C = \left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ 5 & -1\end{array}\right] = A+B$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $C$ ને એક સંમિત શ્રેણિક $A$ અને વિસંમિત શ્રેણિક $B$ ના સરવાળા તરીકે અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $A = \frac{1}{2}(C+C^T)$ અને $B = \frac{1}{2}(C-C^T)$.
પ્રથમ,$C$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $C^T$ શોધો: $C^T = \left[\begin{array}{rr}2 & 5 \\ 3 & -1\end{array}\right]$.
હવે,$B = \frac{1}{2}(C-C^T)$ ની ગણતરી કરો:
$B = \frac{1}{2} \left( \left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ 5 & -1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rr}2 & 5 \\ 3 & -1\end{array}\right] \right)$
$B = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rr}2-2 & 3-5 \\ 5-3 & -1-(-1)\end{array}\right]$
$B = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rr}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]$
$B = \left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^T = A$ અને $B^T = B$ થાય.
$(i)$ $(A+B)^T = A^T + B^T = A+B$. તેથી,$A+B$ સંમિત છે.
(ii) $(A-B)^T = A^T - B^T = A-B$. તેથી,$A-B$ સંમિત છે.
(iii) $(AB+BA)^T = (AB)^T + (BA)^T = B^T A^T + A^T B^T = BA + AB = AB+BA$. તેથી,$AB+BA$ સંમિત છે.
(iv) $(AB-BA)^T = (AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = BA - AB = -(AB-BA)$. તેથી,$AB-BA$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,સંમિત નથી.
આમ,'$AB-BA$ સંમિત છે' તે વિધાન સત્ય નથી.

(D) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A^{2} = A \times A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (1)(-1) & (3)(1) + (1)(2) \\ (-1)(3) + (2)(-1) & (-1)(1) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,આપણે $5A$ ની ગણતરી કરીએ:
$5A = 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$.
અંતે,આપણે $A^{2} - 5A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} - 5A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-15 & 5-5 \\ -5-(-5) & 3-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}$.
આને $-7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -7I$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) ચોરસ શ્રેણિક $A$ ના લાક્ષણિક બીજ (eigenvalues) એ લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - \lambda I) = 0$ ના ઉકેલો છે.
ત્રિકોણીય શ્રેણિક (ઉપલા અથવા નીચલા) માટે,નિશ્ચાયક $\det(A - \lambda I)$ એ વિકર્ણ ઘટકોમાંથી $\lambda$ બાદ કરીને તેમનો ગુણાકાર કરવાથી મળે છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$ એ નીચલો ત્રિકોણીય શ્રેણિક છે,તેથી લાક્ષણિક સમીકરણ $(1 - \lambda)(3 - \lambda)(6 - \lambda) = 0$ થશે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 1, 3, 6$ મળે છે.
આમ,લાક્ષણિક બીજ $1, 3, 6$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^{2} = A \cdot A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
હવે,આપણે $A^{4} = A^{2} \cdot A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{4} = I \cdot I = I$.
તેથી,$A^{4} = I$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
પ્રથમ શ્રેણિકને $2$ વડે ગુણતા:
$\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 0 & 2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના બે શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 2+y & 6+0 \\ 0+1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2+y & 6 \\ 1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
બંને શ્રેણિકોના અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2+y = 5 \Rightarrow y = 5-2 = 3$
$2x+2 = 8 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$
આમ,$x=3$ અને $y=3$ મળે છે.

(B) સંમિત શ્રેણિક માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે: $A^{T} = A$ $(1)$
વિસંમિત શ્રેણિક માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે: $A^{T} = -A$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે: $A = -A$
બંને બાજુ $A$ ઉમેરતા: $2A = 0$
તેથી,$A = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક $ A = \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] $ છે.
$ A^{2} $ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક $ A $ નો તેની સાથે જ ગુણાકાર કરીશું:
$ A^{2} = A \cdot A = \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] $
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} (0 \times 0) + (1 \times 1) & (0 \times 1) + (1 \times 0) \\ (1 \times 0) + (0 \times 1) & (1 \times 1) + (0 \times 0) \end{array}\right] $
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} 0 + 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}\right] $
$ A^{2} = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] $
આ $ 2 \times 2 $ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક $ I $ છે.

(B) ચોરસ શ્રેણિક $A$ નો સંમિત ભાગ $\frac{1}{2}(A + A^T)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 6 & 8 & 2 \\ 2 & -2 & 7 \end{bmatrix}$,તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 2 & 8 & -2 \\ 4 & 2 & 7 \end{bmatrix}$ છે.
હવે,$A + A^T = \begin{bmatrix} 1+1 & 2+6 & 4+2 \\ 6+2 & 8+8 & 2-2 \\ 2+4 & -2+2 & 7+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 8 & 6 \\ 8 & 16 & 0 \\ 6 & 0 & 14 \end{bmatrix}$ છે.
અંતે,$\frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 8 & 6 \\ 8 & 16 & 0 \\ 6 & 0 & 14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 0 \\ 3 & 0 & 7 \end{bmatrix}$ છે.