Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2} = A \times A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+2 & 6+2 \\ 3+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
સમીકરણ $A^{2} + aA + bI = 0$ માં $A^{2}$,$A$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} + a \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આનાથી આપણને શ્રેણિક સમીકરણ મળે છે:
$\begin{bmatrix} 11 + 3a + b & 8 + 2a \\ 4 + a & 3 + a + b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$8 + 2a = 0 \Rightarrow 2a = -8 \Rightarrow a = -4$.
$4 + a = 0 \Rightarrow 4 + (-4) = 0$ (સુસંગત છે).
$11 + 3a + b = 0 \Rightarrow 11 + 3(-4) + b = 0 \Rightarrow 11 - 12 + b = 0 \Rightarrow -1 + b = 0 \Rightarrow b = 1$.
આમ,$a = -4$ અને $b = 1$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $A = (A^{\prime})^{\prime}$.
તેથી,$A = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$.
હવે,$A + 2B = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$.
$A + 2B = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-2 & 0 \\ 2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & 1 \\ 5 & 6\end{bmatrix}$.
અંતે,$(A + 2B)^{\prime} = \begin{bmatrix}-4 & 5 \\ 1 & 6\end{bmatrix}$.

(A) સૌ પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 4 & -8 & -4 \\ -3 & 6 & 3 \end{bmatrix}$
હવે,પરિવર્તિત શ્રેણિક $(AB)^{\prime}$ શોધો:
$(AB)^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,$A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ શોધો:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \end{bmatrix}$
$B^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$
હવે,ગુણાકાર $B^{\prime}A^{\prime}$ શોધો:
$B^{\prime}A^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{bmatrix}$
આમ,$(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ હોવાથી,ગુણધર્મ ચકાસાયેલ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime}$ તેની હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
હવે,ગુણાકાર $A^{\prime} A$ શોધો:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો ગુણાકાર કરતા:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} (\sin \alpha)(\sin \alpha) + (-\cos \alpha)(-\cos \alpha) & (\sin \alpha)(\cos \alpha) + (-\cos \alpha)(\sin \alpha) \\ (\cos \alpha)(\sin \alpha) + (\sin \alpha)(-\cos \alpha) & (\cos \alpha)(\cos \alpha) + (\sin \alpha)(\sin \alpha) \end{bmatrix}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરીને પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \cos \alpha & \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$.
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
આમ,સાબિત થાય છે કે $A^{\prime} A = I$.

ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]$.
તેથી,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right]$.
કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને $A = P + Q$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ એ સંમિત શ્રેણિક છે અને $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ ની ગણતરી કરો:
$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3+3 & 5+1 \\ 1+5 & -1-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right]$
$P = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]$
કારણ કે $P^{\prime} = P$,તેથી $P$ સંમિત છે.
ત્યારબાદ,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ ની ગણતરી કરો:
$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3-3 & 5-1 \\ 1-5 & -1-(-1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right]$
$Q = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$
કારણ કે $Q^{\prime} = -Q$,તેથી $Q$ વિસંમિત છે.
આમ,$A = P + Q = \left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$.

ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$. તો,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$.
$A$ ને સંમિત અને વિસંમિત શ્રેણિકના સરવાળા તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે સૂત્ર $A = P + Q$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ સંમિત છે અને $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ વિસંમિત છે.
પ્રથમ,$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{array}\right]$ ગણો.
તેથી,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2\end{array}\right]$. કારણ કે $P^{\prime} = P$,$P$ સંમિત છે.
આગળ,$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{array}\right]$ ગણો.
તેથી,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$. કારણ કે $Q^{\prime} = -Q$,$Q$ વિસંમિત છે.
તેથી,$A = \left[\begin{array}{ccc}3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી:
$A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ .......... $(1)$
શ્રેણિક $(AB - BA)$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક લેતા:
$(AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
ગુણધર્મ $(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(AB - BA)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
$(1)$ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$(AB - BA)^{\prime} = BA - AB$
ઋણ ચિહ્ન સામાન્ય લેતા:
$(AB - BA)^{\prime} = -(AB - BA)$
આમ,$(AB - BA)$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક તેના ઋણ મૂલ્ય જેટલો હોવાથી,$(AB - BA)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(A) આપણે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને પરિણામ સાબિત કરીશું.
ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: જો $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ હોય,તો $A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}$ જ્યાં $n \in N$.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$A^{1} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$. જે સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે પરિણામ $n = k$ માટે સત્ય છે. એટલે કે,$A^{k} = \begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix}$.
પગલું $3$: આપણે $n = k + 1$ માટે પરિણામ સાબિત કરીશું.
$A^{k+1} = A \cdot A^{k} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos \theta \cos k \theta - \sin \theta \sin k \theta & \cos \theta \sin k \theta + \sin \theta \cos k \theta \\ -\sin \theta \cos k \theta - \cos \theta \sin k \theta & -\sin \theta \sin k \theta + \cos \theta \cos k \theta \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} \cos(k+1)\theta & \sin(k+1)\theta \\ -\sin(k+1)\theta & \cos(k+1)\theta \end{bmatrix}$.
આમ,પરિણામ $n = k+1$ માટે પણ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,આ વિધાન તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
સાબિત કરવાનું છે: $P(n): A^n = \begin{bmatrix} 1+2n & -4n \\ n & 1-2n \end{bmatrix}$ દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે.
આપણે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને પરિણામ સાબિત કરીશું.
$n=1$ માટે:
$P(1): A^1 = \begin{bmatrix} 1+2(1) & -4(1) \\ 1 & 1-2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = A$.
તેથી,$n=1$ માટે પરિણામ સત્ય છે.
ધારો કે $n=k$ માટે પરિણામ સત્ય છે:
$P(k): A^k = \begin{bmatrix} 1+2k & -4k \\ k & 1-2k \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે સાબિત કરીશું કે $n=k+1$ માટે પરિણામ સત્ય છે:
$A^{k+1} = A^k \cdot A = \begin{bmatrix} 1+2k & -4k \\ k & 1-2k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3(1+2k) - 4k & -4(1+2k) + 4k \\ 3k + 1 - 2k & -4k - (1-2k) \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3 + 6k - 4k & -4 - 8k + 4k \\ k + 1 & -4k - 1 + 2k \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3 + 2k & -4 - 4k \\ k + 1 & -1 - 2k \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 1 + 2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1 - 2(k+1) \end{bmatrix}$.
તેથી,$n=k+1$ માટે પરિણામ સત્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,પરિણામ દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે સાચું છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 0 & 2y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix}$.
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & x & x \\ 2y & y & -y \\ z & -z & z \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $A^{\prime} A = I$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{\prime} A$ ની ગણતરી કરતા:
$\begin{bmatrix} 0 & x & x \\ 2y & y & -y \\ z & -z & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} 0+x^2+x^2 & 0+xy-xy & 0-xz+xz \\ 0+xy-xy & 4y^2+y^2+y^2 & 2zy-zy-zy \\ 0-xz+xz & 2zy-zy-zy & z^2+z^2+z^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકનું સાદું રૂપ આપતા:
$\begin{bmatrix} 2x^2 & 0 & 0 \\ 0 & 6y^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3z^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
$6y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{6} \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$
$3z^2 = 1 \implies z^2 = \frac{1}{3} \implies z = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
આમ,$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, y = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, z = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ છે કે $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ x\end{array}\right]=0$.
પ્રથમ,પ્રથમ બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1(1)+2(2)+1(1) & 1(2)+2(0)+1(0) & 1(0)+2(1)+1(2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}6 & 2 & 4\end{array}\right]$.
હવે,પરિણામનો ત્રીજા શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરતા:
$\left[\begin{array}{lll}6 & 2 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ x\end{array}\right] = 6(0) + 2(2) + 4(x) = 0 + 4 + 4x = 4 + 4x$.
પરિણામને $0$ સાથે સરખાવતા:
$4 + 4x = 0
\Rightarrow 4x = -4
\Rightarrow x = -1$.
આમ,$x$ ની જરૂરી કિંમત $-1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરીએ.
$A^{2} = \begin{bmatrix} 3(3) + 1(-1) & 3(1) + 1(2) \\ -1(3) + 2(-1) & -1(1) + 2(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,પદાવલિ $L.H.S. = A^{2} - 5A + 7I$ ની કિંમત શોધીએ.
$L.H.S. = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$L.H.S. = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$.
$L.H.S. = \begin{bmatrix} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5-(-5)+0 & 3-10+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.
આમ,$A^{2} - 5A + 7I = 0$ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે વેચાણ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 10000 & 2000 & 18000 \\ 6000 & 20000 & 8000 \end{bmatrix}$ છે.
ધારો કે એકમ વેચાણ કિંમત શ્રેણિક $S = \begin{bmatrix} 2.50 \\ 1.50 \\ 1.00 \end{bmatrix}$ અને એકમ પડતર કિંમત શ્રેણિક $C = \begin{bmatrix} 2.00 \\ 1.00 \\ 0.50 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રતિ એકમ નફો $P = S - C = \begin{bmatrix} 0.50 \\ 0.50 \\ 0.50 \end{bmatrix}$ છે.
કુલ નફો શ્રેણિક ગુણાકાર $A \times P$ દ્વારા મળે છે:
$\begin{bmatrix} 10000 & 2000 & 18000 \\ 6000 & 20000 & 8000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.50 \\ 0.50 \\ 0.50 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15000 \\ 17000 \end{bmatrix}$.
કુલ નફો = $15000 + 17000 = 32000$.

(N/A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે જેથી $AB = BA$.
ભાગ $1$: ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા સાબિત કરવું કે $P(n): AB^{n} = B^{n}A$ તમામ $n \in N$ માટે.
$n = 1$ માટે,$AB^{1} = B^{1}A$,જે સત્ય છે કારણ કે $AB = BA$ આપેલ છે.
ધારો કે પરિણામ $n = k$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $AB^{k} = B^{k}A$ $(1)$.
$n = k + 1$ માટે,$AB^{k+1} = (AB^{k})B = (B^{k}A)B = B^{k}(AB) = B^{k}(BA) = (B^{k}B)A = B^{k+1}A$.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$AB^{n} = B^{n}A$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.
ભાગ $2$: ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા સાબિત કરવું કે $Q(n): (AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ તમામ $n \in N$ માટે.
$n = 1$ માટે,$(AB)^{1} = A^{1}B^{1} = AB$,જે સત્ય છે.
ધારો કે પરિણામ $n = k$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $(AB)^{k} = A^{k}B^{k}$ $(2)$.
$n = k + 1$ માટે,$(AB)^{k+1} = (AB)^{k}(AB) = (A^{k}B^{k})(AB) = A^{k}(B^{k}A)B$.
ભાગ $1$ ના પરિણામનો ઉપયોગ કરતા,$B^{k}A = AB^{k}$,તેથી $(AB)^{k+1} = A^{k}(AB^{k})B = (A^{k}A)(B^{k}B) = A^{k+1}B^{k+1}$.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$(AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(B) આપેલ છે: $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$A^{2} = \begin{bmatrix} \alpha^{2} + \beta \gamma & \alpha \beta - \alpha \beta \\ \alpha \gamma - \alpha \gamma & \beta \gamma + \alpha^{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^{2} + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^{2} + \beta \gamma \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^{2} = I$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી:
$\begin{bmatrix} \alpha^{2} + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^{2} + \beta \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$\alpha^{2} + \beta \gamma = 1$.
સમીકરણને ગોઠવતા:
$1 - \alpha^{2} - \beta \gamma = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોવાથી,તેમાં $2$ હાર અને $2$ સ્તંભ છે.
ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2}$,તેથી દરેક ઘટકની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

$a_{11} = \frac{(1+1)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$	$a_{12} = \frac{(1+2)^2}{2} = \frac{9}{2}$
$a_{21} = \frac{(2+1)^2}{2} = \frac{9}{2}$	$a_{22} = \frac{(2+2)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$

આમ,જરૂરી શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2} & 8 \end{bmatrix}$ છે.

(A) $2 \times 2$ શ્રેણિકમાં $2$ હાર અને $2$ સ્તંભ હોય છે.
ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $a_{ij} = \frac{i}{j}$,તેથી દરેક ઘટકની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

$a_{11} = \frac{1}{1} = 1$	$a_{12} = \frac{1}{2}$
$a_{21} = \frac{2}{1} = 2$	$a_{22} = \frac{2}{2} = 1$

આમ,જરૂરી શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.

(N/A) આ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોવાથી,તેમાં $2$ હાર અને $2$ સ્તંભ છે. ધારો કે શ્રેણિક $A$ છે.
જ્યાં $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
હવે,આપેલ છે કે $a_{ij} = \frac{(i + 2j)^2}{2}$.

ઘટક	ગણતરી
$a_{11}$	$a_{11} = \frac{(1 + 2(1))^2}{2} = \frac{(1 + 2)^2}{2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$
$a_{12}$	$a_{12} = \frac{(1 + 2(2))^2}{2} = \frac{(1 + 4)^2}{2} = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2}$
$a_{21}$	$a_{21} = \frac{(2 + 2(1))^2}{2} = \frac{(2 + 2)^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$a_{22}$	$a_{22} = \frac{(2 + 2(2))^2}{2} = \frac{(2 + 4)^2}{2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$

આમ,જરૂરી શ્રેણિક $A$ છે:
$A = \begin{bmatrix} \frac{9}{2} & \frac{25}{2} \\ 8 & 18 \end{bmatrix}$

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $\{0, 1\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે અને $|A| \neq 0$ છે.
વિધાન $(P)$ માટે: જો $A \neq I_{2}$,તો $|A| = -1$.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. અહીં $A \neq I_{2}$ અને $|A| = (1)(1) - (1)(0) = 1$.
આપણે એક એવો કિસ્સો શોધ્યો છે જ્યાં $A \neq I_{2}$ હોવા છતાં $|A| = 1$ છે,તેથી વિધાન $(P)$ ખોટું છે.
વિધાન $(Q)$ માટે: જો $|A| = 1$,તો $\operatorname{tr}(A) = 2$.
$\begin{bmatrix} 0, 1 \end{bmatrix}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા $2 \times 2$ શ્રેણિકો કે જેના માટે $|A| = 1$ હોય તે નીચે મુજબ છે:
$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_1) = 1+1 = 2$
$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_2) = 1+1 = 2$
$A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_3) = 1+1 = 2$
બધા કિસ્સાઓમાં જ્યાં $|A| = 1$ છે,ત્યાં ટ્રેસ $2$ મળે છે. તેથી,વિધાન $(Q)$ સાચું છે.
આમ,$(P)$ ખોટું છે અને $(Q)$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{2} = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{4} = A^{2} \times A^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{4} = \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x^{2} + 1)^{2} + x^{2} & x(x^{2} + 1) + x \\ x(x^{2} + 1) + x & x^{2} + 1 \end{bmatrix}$.
આપણને $a_{11} = 109$ આપેલ છે,તેથી:
$(x^{2} + 1)^{2} + x^{2} = 109$.
ધારો કે $y = x^{2}$. તો $(y + 1)^{2} + y = 109$.
$y^{2} + 2y + 1 + y = 109 \Rightarrow y^{2} + 3y - 108 = 0$.
$(y + 12)(y - 9) = 0$.
કારણ કે $y = x^{2} \geq 0$,તેથી $y = 9$,એટલે કે $x^{2} = 9$.
હવે,$a_{22}$ શોધો:
શ્રેણિક $A^{4}$ પરથી,$a_{22} = x^{2} + 1$.
$x^{2} = 9$ મૂકતા,આપણને $a_{22} = 9 + 1 = 10$ મળે છે.

(B) ધારો કે $t = \tan(\frac{\theta}{2})$. તેથી $A = \begin{bmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{bmatrix}$.
$I_{2} + A = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$ અને $I_{2} - A = \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix}$.
$(I_{2} - A)^{-1} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$.
$(I_{2} + A)(I_{2} - A)^{-1} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 - t^{2} & -2t \\ 2t & 1 - t^{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} & -\frac{2t}{1 + t^{2}} \\ \frac{2t}{1 + t^{2}} & \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = \cos \theta$ અને $b = \frac{2t}{1 + t^{2}} = \sin \theta$ મળે છે.
આમ,$a^{2} + b^{2} = \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$.
તેથી,$13(a^{2} + b^{2}) = 13(1) = 13$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$,જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
તેથી $A^{2} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^{2} + b^{2} & ab + bc \\ ab + bc & b^{2} + c^{2} \end{bmatrix}$.
$A^{2}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\text{tr}(A^{2}) = a^{2} + b^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + 2b^{2} + c^{2}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $a^{2} + 2b^{2} + c^{2} = 1$,જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
કારણ કે $a^{2}, b^{2}, c^{2} \ge 0$,સરવાળો $1$ થવા માટે,આપણે $b^{2} = 0$ લેવું પડે,જેનો અર્થ છે કે $b = 0$.
ત્યારબાદ સમીકરણ $a^{2} + c^{2} = 1$ માં પરિણમે છે.
$a, c \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$(a, c)$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો નીચે મુજબ છે:
$1$. જો $a = 0$,તો $c^{2} = 1 \Rightarrow c = \pm 1$. આ બે શ્રેણિકો આપે છે: $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$2$. જો $c = 0$,તો $a^{2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1$. આ બે શ્રેણિકો આપે છે: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $2 + 2 = 4$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = I + C$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $C = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$I$ અને $C$ ક્રમનો વિનિમય કરે છે,તેથી દ્વિપદી વિસ્તરણ $(I+C)^n = I + nC + \frac{n(n-1)}{2}C^2$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $C^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $C^3 = O$ છે.
તેથી,$A^n = (I+C)^n = I + nC + \frac{n(n-1)}{2}C^2$.
$b_{13}$ એ $B = 7A^{20} - 20A^7 + 2I$ ના પ્રથમ હાર અને ત્રીજા સ્તંભનો ઘટક છે.
$I$ નો $(1,3)$ ઘટક $0$ છે,$C$ નો $(1,3)$ ઘટક $0$ છે,અને $C^2$ નો $(1,3)$ ઘટક $1$ છે.
તેથી,$A^n$ નો $(1,3)$ ઘટક $\frac{n(n-1)}{2}$ થાય.
$b_{13} = 7 \times \left( \frac{20 \times 19}{2} \right) - 20 \times \left( \frac{7 \times 6}{2} \right) + 2(0)$.
$b_{13} = 7 \times 190 - 20 \times 21 = 1330 - 420 = 910$.

(C) આપેલ છે કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેમાં દરેક હારના ઘટકોનો સરવાળો $1$ છે.
ધારો કે $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $AX = \begin{bmatrix} a_{11} + a_{12} + a_{13} \\ a_{21} + a_{22} + a_{23} \\ a_{31} + a_{32} + a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = X$.
આમ,$AX = X$.
બંને બાજુ $A$ વડે ગુણતા,આપણને $A^2X = A(AX) = AX = X$ મળે છે.
ફરીથી $A$ વડે ગુણતા,આપણને $A^3X = A(A^2X) = AX = X$ મળે છે.
ધારો કે $A^3 = [b_{ij}]$. તો $A^3X = \begin{bmatrix} b_{11} + b_{12} + b_{13} \\ b_{21} + b_{22} + b_{23} \\ b_{31} + b_{32} + b_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
$A^3$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $(b_{11} + b_{12} + b_{13}) + (b_{21} + b_{22} + b_{23}) + (b_{31} + b_{32} + b_{33}) = 1 + 1 + 1 = 3$ થાય છે.

(B) ધારો કે શ્રેણિક $B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $AB = BA$,તેથી:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & a & c \\ e & d & f \\ h & g & i \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$d = b, e = a, f = c, g = h$
આમ,શ્રેણિક $B$ નીચે મુજબનું સ્વરૂપ ધારણ કરે છે:
$B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & a & c \\ g & g & i \end{bmatrix}$
દરેક ઘટક $a, b, c, g, i$ ને ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી પસંદ કરી શકાય છે,તેથી $5$ સ્વતંત્ર ચલ માટે દરેકના $5$ વિકલ્પો છે.
શ્રેણિક $B$ ની કુલ સંખ્યા $= 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 = 3125$.

(B) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^2 = P \times P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 + 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \times P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 + 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^4 = P^2 \times P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
આ પેટર્ન જોતા,$P^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n/2 & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.
તેથી,$n = 50$ માટે,$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 50/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 25 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-2 & -4+2 \\ 2-1 & -2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = A$.
તેથી $A^2 = A$ હોવાથી,તમામ $n \geq 1$ માટે $A^n = A$ થાય છે.
હવે,$B^2$ ની ગણતરી કરો:
$B^2 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 & -2+4 \\ 1-2 & -2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = B$.
તેથી $B^2 = B$ હોવાથી,તમામ $m \geq 1$ માટે $B^m = B$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $nA^n + mB^m = I$ એ $nA + mB = I$ બને છે.
શ્રેણિકો મૂકતા:
$n \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + m \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આનાથી સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$2n - m = 1$
$-2n + 2m = 0 \implies n = m$.
$n = m$ ને $2n - m = 1$ માં મૂકતા,આપણને $2n - n = 1$ મળે છે,તેથી $n = 1$.
આમ,$n = 1$ અને $m = 1$.
માત્ર એક જ જોડ $(n, m) = (1, 1)$ શક્ય છે,તેથી ગણમાં $1$ ઘટક છે.

(B) ધારો કે $1$ ની સંખ્યા $x$,$-1$ ની સંખ્યા $y$ અને $0$ ની સંખ્યા $z$ છે. શ્રેણિક $3 \times 3$ હોવાથી,$x + y + z = 9$.
ઘટકોનો સરવાળો $1(x) + (-1)(y) + 0(z) = 5$ છે,જે $x - y = 5$ એટલે કે $x = y + 5$ આપે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $(y + 5) + y + z = 9 \implies 2y + z = 4$.
અહીં શક્ય ઉકેલો $(x, y, z)$ માટે:
કિસ્સો-$I$: જો $y = 0$,તો $z = 4$ અને $x = 5$. શ્રેણિકોની સંખ્યા $= \frac{9!}{5!0!4!} = 126$.
કિસ્સો-$II$: જો $y = 1$,તો $z = 2$ અને $x = 6$. શ્રેણિકોની સંખ્યા $= \frac{9!}{6!1!2!} = 252$.
કિસ્સો-$III$: જો $y = 2$,તો $z = 0$ અને $x = 7$. શ્રેણિકોની સંખ્યા $= \frac{9!}{7!2!0!} = 36$.
કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $= 126 + 252 + 36 = 414$.

(A) આપેલ છે કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} = 2^{j-i}$.
$A = \begin{bmatrix} 2^{1-1} & 2^{2-1} & 2^{3-1} \\ 2^{1-2} & 2^{2-2} & 2^{3-2} \\ 2^{1-3} & 2^{2-3} & 2^{3-3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 12 \\ 3/2 & 3 & 6 \\ 3/4 & 3/2 & 3 \end{bmatrix} = 3A$.
$A^2 = 3A$ હોવાથી,$A^3 = A^2 \cdot A = (3A) \cdot A = 3A^2 = 3(3A) = 3^2 A$.
ગાણિતિક અનુમાન મુજબ,$A^n = 3^{n-1} A$.
આપણે $S = A^2 + A^3 + \ldots + A^{10}$ શોધવાનું છે.
$S = 3A + 3^2 A + \ldots + 3^9 A = (3 + 3^2 + \ldots + 3^9) A$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $n=9$ પદો છે,પ્રથમ પદ $a=3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=3$ છે.
સરવાળો $= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{3(3^9 - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{10} - 3}{2}$.
તેથી,$S = \left(\frac{3^{10} - 3}{2}\right) A$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$,તેથી $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A^{\prime} BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9^2 & -10^2 & 11^2 \\ 12^2 & 13^2 & -14^2 \\ -15^2 & 16^2 & 17^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$A^{\prime} B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9^2 & -10^2 & 11^2 \\ 12^2 & 13^2 & -14^2 \\ -15^2 & 16^2 & 17^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9^2+12^2-15^2 & -10^2+13^2+16^2 & 11^2-14^2+17^2 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
કિંમતોની ગણતરી:
$9^2+12^2-15^2 = 81+144-225 = 0$.
$-10^2+13^2+16^2 = -100+169+256 = 325$.
$11^2-14^2+17^2 = 121-196+289 = 214$.
તેથી,$A^{\prime} B = \begin{bmatrix} 0 & 325 & 214 \end{bmatrix}$.
હવે,$(A^{\prime} B) A = \begin{bmatrix} 0 & 325 & 214 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 0(1) + 325(1) + 214(1) = 539$.

(C) આપેલ છે કે $A^{T} = A$ અને $B^{T} = -B$.
વિકલ્પ $A$ માટે: ધારો કે $C = A^{4} - B^{4}$.
$C^{T} = (A^{4} - B^{4})^{T} = (A^{T})^{4} - (B^{T})^{4} = A^{4} - (-B)^{4} = A^{4} - B^{4} = C$. આમ,$A^{4} - B^{4}$ સંમિત છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: ધારો કે $C = AB - BA$.
$C^{T} = (AB - BA)^{T} = (AB)^{T} - (BA)^{T} = B^{T}A^{T} - A^{T}B^{T} = (-B)(A) - (A)(-B) = -BA + AB = AB - BA = C$. આમ,$AB - BA$ સંમિત છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: ધારો કે $C = B^{5} - A^{5}$.
$C^{T} = (B^{5} - A^{5})^{T} = (B^{T})^{5} - (A^{T})^{5} = (-B)^{5} - A^{5} = -B^{5} - A^{5} = -(B^{5} + A^{5})$. આ $-C = -(B^{5} - A^{5})$ ને સમાન નથી. તેથી,આ વિધાન સાચું નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: ધારો કે $C = AB + BA$.
$C^{T} = (AB + BA)^{T} = (AB)^{T} + (BA)^{T} = B^{T}A^{T} + A^{T}B^{T} = (-B)(A) + (A)(-B) = -BA - AB = -(AB + BA) = -C$. આમ,$AB + BA$ વિસંમિત છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચું નથી.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$.
$1$. વિકલ્પ $A$ માટે: $R_1 \rightarrow R_1 + R_2$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને $\left[\begin{array}{cc}-1+1 & 2-1 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ મળે છે. જે શક્ય છે.
$2$. વિકલ્પ $B$ માટે: $R_1 \leftrightarrow R_2$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ મળે છે. જે શક્ય છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ માટે: $\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ -2 & 7\end{array}\right]$ મેળવવા માટે,આપણે $R_2 \rightarrow R_2 + k R_1$ ની જરૂર પડે. અહીં,$-1 + k(-1) = -2 \implies k=1$,પરંતુ ત્યારબાદ $2 + k(2) = 2 + 1(2) = 4 \neq 7$. આમ,આ શક્ય નથી.
$4$. વિકલ્પ $D$ માટે: $R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને $\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1+2(-1) & -1+2(2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]$ મળે છે. જે શક્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલો શ્રેણિક એક પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયા દ્વારા મેળવી શકાતો નથી.

(A) $3 \times 3$ ક્રમના શ્રેણિક $A$ માં $9$ ઘટકો હોય છે,જ્યાં દરેક ઘટક $a_{ij} \in \{0, 1\}$ છે.
તમામ ઘટકોનો સરવાળો $S = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}$ એ $0$ થી $9$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવો જોઈએ,તેથી શક્ય સરવાળા $2, 3, 5, 7$ છે (કારણ કે $0$ અને $1$ અવિભાજ્ય નથી,અને $9$ અવિભાજ્ય નથી).
$k$ ઘટકોને $1$ તરીકે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{9}{k}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા = $\binom{9}{2} + \binom{9}{3} + \binom{9}{5} + \binom{9}{7}$.
દરેક પદની ગણતરી:
$\binom{9}{2} = 36$
$\binom{9}{3} = 84$
$\binom{9}{5} = 126$
$\binom{9}{7} = 36$
કુલ = $36 + 84 + 126 + 36 = 282$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ અને $A^2 = A$.
$A^2$ ની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix}$.
$A^2 = A$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$ab + bd = b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b(a + d) = b$.
અહીં ઘટકો શૂન્યતર છે,તેથી $b \neq 0$,તેથી $b$ વડે ભાગતા આપણને $a + d = 1$ મળે છે.

(B) $5$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક જેમાં દરેક હારનો સરવાળો $1$ અને દરેક સ્તંભનો સરવાળો $1$ હોય અને ઘટકો $\{0, 1\}$ માંથી હોય,તેને ક્રમચય શ્રેણિક (permutation matrix) કહેવાય.
પ્રથમ હારમાં,$1$ મૂકવા માટે $5$ શક્ય સ્થાનો છે.
બીજી હારમાં,$1$ મૂકવા માટે $4$ બાકી રહેલા સ્થાનો ઉપલબ્ધ છે (કારણ કે પ્રથમ હારમાં વપરાયેલ સ્તંભ ફરીથી વાપરી શકાતો નથી).
ત્રીજી હારમાં,$3$ બાકી રહેલા સ્થાનો છે.
ચોથી હારમાં,$2$ બાકી રહેલા સ્થાનો છે.
પાંચમી હારમાં,માત્ર $1$ બાકી રહેલું સ્થાન છે.
તેથી,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos 60^{\circ} & \sin 60^{\circ} \\ -\sin 60^{\circ} & \cos 60^{\circ} \end{bmatrix}$.
ધારો કે $\alpha = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.
તેથી $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\alpha) & \sin(n\alpha) \\ -\sin(n\alpha) & \cos(n\alpha) \end{bmatrix}$.
$A^{30}$ માટે,$n = 30$,તેથી $n\alpha = 30 \times \frac{\pi}{3} = 10\pi$.
$A^{30} = \begin{bmatrix} \cos(10\pi) & \sin(10\pi) \\ -\sin(10\pi) & \cos(10\pi) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$A^{25}$ માટે,$n = 25$,તેથી $n\alpha = 25 \times \frac{\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}$.
$A^{25} = \begin{bmatrix} \cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) & \sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) \\ -\sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) & \cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{3}) & \sin(\frac{\pi}{3}) \\ -\sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3}) \end{bmatrix} = A$.
આમ,$A^{30} = I$ અને $A^{25} = A$.
વિકલ્પો તપાસતા: $A^{30} + A^{25} - A = I + A - A = I$. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) $3 \times 3$ ક્રમનો સંમિત શ્રેણિક $A$ એ $A = A^T$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,તે આ સ્વરૂપમાં હોય છે:
$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{bmatrix}$
અહીં,સ્વતંત્ર ઘટકો $a, b, c, d, e,$ અને $f$ છે.
શ્રેણિકમાં $6$ સ્વતંત્ર સ્થાનો છે જેને ભરી શકાય છે.
આ દરેક $6$ સ્થાનોને $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ગણમાંથી કોઈપણ $10$ અંકો વડે ભરી શકાય છે.
તેથી,આવા સંમિત શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધો: $|A - \lambda I| = 0$.
$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(1-\lambda) + 1 = \lambda^2 - 3\lambda + 3 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^2 - 3A + 3I = 0$,તેથી $A^2 = 3A - 3I$.
આપણે જોઈએ છીએ કે $A^6 = -27I = -3^3 I$.
તેથી $A^{12} = (A^6)^2 = (-3^3 I)^2 = 3^6 I$.
$A^{13} = A^{12} \cdot A = 3^6 A = 3^6 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 3^6 & -3^6 \\ 3^6 & 3^6 \end{bmatrix}$.
$A^{13}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $2 \cdot 3^6 + 3^6 = 3 \cdot 3^6 = 3^7$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો $3^n$ છે,તેથી $3^n = 3^7$,જેનો અર્થ છે કે $n = 7$.

(A) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$.
પ્રથમ શરત પરથી,$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b \\ e \\ h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$. તેથી,$b = -1, e = 2, h = 3$.
હવે,$M = \begin{bmatrix} a & -1 & c \\ d & 2 & f \\ g & 3 & i \end{bmatrix}$.
બીજી શરત પરથી,$\begin{bmatrix} a & -1 & c \\ d & 2 & f \\ g & 3 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+1 \\ d-2 \\ g-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$.
આને ઉકેલતા,આપણને $a+1 = 1 \Rightarrow a = 0$,$d-2 = 1 \Rightarrow d = 3$,અને $g-3 = -1 \Rightarrow g = 2$ મળે છે.
હવે,$M = \begin{bmatrix} 0 & -1 & c \\ 3 & 2 & f \\ 2 & 3 & i \end{bmatrix}$.
ત્રીજી શરત પરથી,$\begin{bmatrix} 0 & -1 & c \\ 3 & 2 & f \\ 2 & 3 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+c \\ 5+f \\ 5+i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{bmatrix}$.
ત્રીજી હાર પરથી,$5+i = 12 \Rightarrow i = 7$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $a + e + i = 0 + 2 + 7 = 9$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.
આપણે $M$ ને $M = I + \frac{3}{2} A$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-1 & 1-1 \\ -1+1 & -1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
કારણ કે $A^2 = O$,આપણે $(I + \frac{3}{2} A)^n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$M^n = (I + \frac{3}{2} A)^n = I^n + n(I^{n-1})(\frac{3}{2} A) + \frac{n(n-1)}{2} I^{n-2} (\frac{3}{2} A)^2 + \dots$
કારણ કે $A^2 = O$,$A^k$ (જ્યાં $k \ge 2$) વાળા તમામ પદો શૂન્ય થઈ જશે.
તેથી,$M^n = I + n \cdot \frac{3}{2} A$.
$n = 2022$ માટે:
$M^{2022} = I + 2022 \cdot \frac{3}{2} A = I + 3033 A$.
$M^{2022} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 3033 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3033 & 0+3033 \\ 0-3033 & 1-3033 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3034 & 3033 \\ -3033 & -3032 \end{bmatrix}$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ છે.
$A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને $A$ નો બીજો સ્તંભ $\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ મળે છે. તેથી,$a_{12} = 0, a_{22} = 0, a_{32} = 1$.
$A \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ પરથી,બીજી હારનું સમીકરણ $4a_{21} + a_{22} + 3a_{23} = 1$ છે. $a_{22} = 0$ હોવાથી,$4a_{21} + 3a_{23} = 1$ (સમીકરણ $1$).
$A \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ પરથી,બીજી હારનું સમીકરણ $2a_{21} + a_{22} + 2a_{23} = 0$ છે. $a_{22} = 0$ હોવાથી,$2a_{21} + 2a_{23} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a_{21} = -a_{23}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $4(-a_{23}) + 3a_{23} = 1 \Rightarrow -4a_{23} + 3a_{23} = 1 \Rightarrow -a_{23} = 1 \Rightarrow a_{23} = -1$.

(A) આપેલ છે કે $A^n = A^{n-2} + A^2 - I$. $n=50$ માટે,આપણને $A^{50} = A^{48} + A^2 - I$ મળે છે.
આ પુનરાવર્તિત સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$A^{50} = A^{48} + (A^2 - I) = A^{46} + 2(A^2 - I) = A^{44} + 3(A^2 - I) = \dots = A^2 + 24(A^2 - I) = 25A^2 - 24I$ મળે છે.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ: $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{50} = 25 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} - 24 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25-24 & 0 & 0 \\ 25 & 25-24 & 0 \\ 25 & 0 & 25-24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 25 & 1 & 0 \\ 25 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તમામ ઘટકોનો સરવાળો $1 + 0 + 0 + 25 + 1 + 0 + 25 + 0 + 1 = 53$ થાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (0)(-1) & (1)(0) + (0)(7) \\ (-1)(1) + (7)(-1) & (-1)(0) + (7)(7) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix}$
આપેલ સમીકરણ $A^{2} = 8A + kI$ માં શ્રેણિકોની કિંમત મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ -8 & 56 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 + k & 0 \\ -8 & 56 + k \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$8 + k = 1 \Rightarrow k = 1 - 8 = -7$
તે જ રીતે,$56 + k = 49 \Rightarrow k = 49 - 56 = -7$
આમ,$k$ ની કિંમત $-7$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $A^4 A^{-1} = A^{4-1} = A^3$.
કારણ કે $A$ એ વિકર્ણ શ્રેણિક (diagonal matrix) છે,તેથી $A^n = \begin{bmatrix} a_{11}^n & 0 & 0 \\ 0 & a_{22}^n & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}^n \end{bmatrix}$.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ માટે,આપણે $A^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 = \begin{bmatrix} 2^3 & 0 & 0 \\ 0 & (-2)^3 & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^4 A^{-1} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે $A^2 = A$ (idempotent શ્રેણિક).
આપણે $(I + A)^2 - 3A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $(I + A)^2 = I^2 + IA + AI + A^2 = I + A + A + A^2 = I + 2A + A^2$.
કારણ કે $A^2 = A$,આપણે તેને પદમાં મૂકીએ: $I + 2A + A = I + 3A$.
હવે,$3A$ બાદ કરતા: $(I + 3A) - 3A = I$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,આપણે $A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
હાર $1$: $(0)(0) + (0)(0) + (-1)(-1) = 1$,$(0)(0) + (0)(-1) + (-1)(0) = 0$,$(0)(-1) + (0)(0) + (-1)(0) = 0$
હાર $2$: $(0)(0) + (-1)(0) + (0)(-1) = 0$,$(0)(0) + (-1)(-1) + (0)(0) = 1$,$(0)(-1) + (-1)(0) + (0)(0) = 0$
હાર $3$: $(-1)(0) + (0)(0) + (0)(-1) = 0$,$(-1)(0) + (0)(-1) + (0)(0) = 0$,$(-1)(-1) + (0)(0) + (0)(0) = 1$
આમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
હવે,આપણે $I + A^2 = I + I = 2I$ ની ગણતરી કરીએ.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
તેથી,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
શરત $A+A^{\prime} = I$ મુજબ,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ અને $A^{\prime}$ નો સરવાળો કરતા:
$A+A^{\prime} = \begin{bmatrix} 2\sin \alpha & 0 \\ 0 & 2\sin \alpha \end{bmatrix}$.
આને એકમ શ્રેણિક $I$ સાથે સરખાવતા:
$2\sin \alpha = 1$,તેથી $\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,તેથી $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
આમ,$\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે $A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
હાર $1$: $(0)(0) + (0)(0) + (-5)(-5) = 25$,$(0)(0) + (0)(-5) + (-5)(0) = 0$,$(0)(-5) + (0)(0) + (-5)(0) = 0$.
હાર $2$: $(0)(0) + (-5)(0) + (0)(-5) = 0$,$(0)(0) + (-5)(-5) + (0)(0) = 25$,$(0)(-5) + (-5)(0) + (0)(0) = 0$.
હાર $3$: $(-5)(0) + (0)(0) + (0)(-5) = 0$,$(-5)(0) + (0)(-5) + (0)(0) = 0$,$(-5)(-5) + (0)(0) + (0)(0) = 25$.
આમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 25 & 0 & 0 \\ 0 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 25 \end{bmatrix} = 25 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 25 I$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = [2]$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,ગુણાકાર $BA$ શોધો:
$BA = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} [2] = \begin{bmatrix} 3 \times 2 \\ 4 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix}$.
હવે,પરિવર્તિત શ્રેણિક $(BA)'$ શોધો:
$(BA)' = \begin{bmatrix} 6 & 8 \end{bmatrix}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,મૂળ પ્રશ્નમાં $A$ શ્રેણિકમાં ભૂલ જણાય છે. જો $A = [1 \quad 2]$ લેવામાં આવે,તો $BA = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} [1 \quad 2] = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$.
તેથી $(BA)' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$,જે વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$AB$ ની ગણતરી કરો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(x) + 1(0) & 1(y) + 1(x) \\ 0(x) + 1(0) & 0(y) + 1(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x+y \\ 0 & x \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$BA$ ની ગણતરી કરો:
$BA = \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x(1) + y(0) & x(1) + y(1) \\ 0(1) + x(0) & 0(1) + x(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x+y \\ 0 & x \end{bmatrix}$.
આમ,$AB = BA$ હોવાથી,શ્રેણિક $B$ એ $\begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix}$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.