Rank of Matrices , Some special determinants, differentiation and integration of determinants Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x & 2x \\ \sin x & x & x \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = \cos x(x^2 - 2x^2) - x(2x \sin x - 2x \sin x) + 1(2x \sin x - x \sin x)$
$f(x) = \cos x(-x^2) - x(0) + x \sin x$
$f(x) = -x^2 \cos x + x \sin x$
હવે,આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$ ની કિંમત મેળવવાની છે:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x^2 \cos x + x \sin x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( -\cos x + \frac{\sin x}{x} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\cos(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -1 + 1 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x^2 - 1$.
નિશ્ચાયક $B$ આ મુજબ છે: $B = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને $B$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$B = x(x^2 - 1) - 1(x - 1) + 1(1 - x)$
$B = x(x^2 - 1) - (x - 1) - (x - 1)$
$B = x(x^2 - 1) - 2(x - 1)$
$B = x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)$
$B = (x - 1)[x(x + 1) - 2]$
$B = (x - 1)(x^2 + x - 2)$
$B = (x - 1)(x + 2)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 2) = x^3 - 3x + 2$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે $B$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dB}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
કારણ કે $A = x^2 - 1$,તેથી $\frac{dB}{dx} = 3A$.

(B) આપેલ છે,$A = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$A = x(x^2 - 1) - 1(x - 1) + 1(1 - x)$
$A = x^3 - x - x + 1 + 1 - x$
$A = x^3 - 3x + 2$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dx} = 3x^2 - 3$ ... $(i)$
વળી,આપેલ છે કે $B = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x^2 - 1$
$3$ વડે ગુણતા:
$3B = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dx} = 3B$

(C) આપણી પાસે છે,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 - x & a + x & b + x \\ x - a & x^2 - x & c + x \\ x - b & x - c & 0 \end{array} \right|$.
$f(0)$ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકમાં $x = 0$ મૂકીએ છીએ:
$f(0) = \left| \begin{array}{ccc} 0^3 - 0 & a + 0 & b + 0 \\ 0 - a & 0^2 - 0 & c + 0 \\ 0 - b & 0 - c & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right|$.
ધારો કે $A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right]$.
અહીં $A^T = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{array} \right] = -A$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત (skew-symmetric) શ્રેણિક છે.
એકી કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.
તેથી,$f(0) = 0$.

(A) આપેલ છે કે,$y = \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું વિકલન એ દરેક હારનું વારાફરતી વિકલન કરીને અને બાકીની હારને અચળ રાખીને મેળવેલા નિશ્ચાયકોનો સરવાળો છે.
$\frac{dy}{dx} = \left|\begin{array}{ccc}f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ 0 & 0 & 0 \\ a & b & c\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right|$.
કારણ કે જે નિશ્ચાયકમાં કોઈ એક હારના તમામ ઘટકો $0$ હોય,તે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે,તેથી બીજો અને ત્રીજો નિશ્ચાયક શૂન્ય થઈ જશે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \left|\begin{array}{ccc}f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right|$.

(D) વિધાન $1$: કોઈપણ એકી ક્રમ $n$ ના વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય છે. અહીં ક્રમ $5 \times 5$ હોવાથી,$|A| = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\text{rank}(A) < 5$. આ વિધાન સત્ય છે.
વિધાન $2$: જો $P$ એ $m \times 1$ શૂન્યતર સ્તંભ શ્રેણિક હોય અને $Q$ એ $1 \times n$ શૂન્યતર હાર શ્રેણિક હોય,તો $PQ$ એ $m \times n$ શ્રેણિક છે જેનો નિશ્ચાયક $1$ હોય છે. આ વિધાન સત્ય છે.
વિધાન $3$: ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = 1(21-24) - 2(14-20) + 3(12-15) = -3 + 12 - 9 = 0$. કારણ કે ઓછામાં ઓછો એક $2 \times 2$ નિશ્ચાયક શૂન્યતર છે (દા.ત.,$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$),તેથી નિશ્ચાયક $2$ છે. આ વિધાન સત્ય છે.
વિધાન $4$: જો ત્રણ ભિન્ન રેખાઓ $a_r x + b_r y + c_r = 0$ એક બિંદુએ છેદતી હોય,તો શ્રેણિકની હાર સુરેખ રીતે આધારિત હોય છે,એટલે કે નિશ્ચાયક $0$ થાય છે. તેથી,નિશ્ચાયક $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. નિશ્ચાયક $3$ છે તેવું કહેતું વિધાન અસત્ય છે.

(C) શ્રેણીક $A$ નો રેન્ક $2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $A$ નો નિશ્ચાયક $0$ હોવો જોઈએ (કારણ કે શ્રેણીક $3 \times 3$ છે અને રેન્ક $< 3$ છે).
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$
આમ,$x$ ની કિંમત $-3$ છે.

(B) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 4 & 0 \\ 5 & -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 5 & -4 \end{bmatrix}$ નો ક્રમ શોધવા માટે,આપણે તેને હાર-સોપાન સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓ કરીશું.
પગલું $1$: પ્રથમ સ્થાને $1$ મેળવવા માટે $R_1$ અને $R_3$ ની અદલાબદલી કરો:
$R_1 \leftrightarrow R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 5 & -4 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$
પગલું $2$: પિવોટની નીચેની પ્રથમ સ્તંભની એન્ટ્રીઓને દૂર કરો:
$R_2 \to R_2 - 5R_1 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 11 & -23 & 21 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - 2R_1 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 11 & -23 & 21 \\ 0 & 3 & -6 & 8 \end{bmatrix}$
પગલું $3$: બીજી અને ત્રીજી હારને સરળ બનાવો:
$R_2 \to R_2 - 3R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 3 & -6 & 8 \end{bmatrix}$
$R_3 \to 2R_3 - 3R_2 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 25 \end{bmatrix}$
હાર-સોપાન સ્વરૂપમાં $3$ શૂન્યતર હાર હોવાથી,શ્રેણિકનો ક્રમ $3$ છે.

(C) આપેલ છે કે $n \geq 2$ અને $a_{ij} = i + j$.
કિસ્સો-$1$: ધારો કે $n = 2$.
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow |A| = (2)(4) - (3)(3) = 8 - 9 = -1 \neq 0$.
નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોવાથી,$A$ નો ક્રમ $2$ છે.
કિસ્સો-$2$: ધારો કે $n = 3$.
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
અહીં $R_2$ અને $R_3$ સમાન હોવાથી,ક્રમ $2$ છે.
કોઈપણ $n > 2$ માટે,હાર $R_i$ એ $R_i = (i+1, i+2, \dots, i+n)$ સ્વરૂપમાં છે.
નોંધો કે $R_3 - R_2 = R_2 - R_1 = (1, 1, \dots, 1)$.
આમ,$R_3 - 2R_2 + R_1 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $n \geq 3$ માટે હાર સુરેખ રીતે આધારિત છે.
તેથી,તમામ $n \geq 2$ માટે $A$ નો ક્રમ $2$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ નો માત્ર શૂન્યતર ઉકેલ $(x = 0, y = 0, z = 0)$ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \neq 0$.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,જો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,તો શ્રેણિક અસામાન્ય (non-singular) છે અને તેની કક્ષા (rank) મહત્તમ હોય છે.
અહીં શ્રેણિક $A$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો છે અને $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $3$ છે.

(C) શ્રેણિક $P$ નો ક્રમ $m \times n$ છે.
શ્રેણિક $P$ નો શ્રેણીક (rank),જેને $\rho$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તેના પરિમાણોના ન્યૂનતમ મૂલ્યથી વધી શકતો નથી.
તેથી,$\rho \leq \min(m, n)$ ...$(i)$
વ્યાખ્યા મુજબ,શ્રેણિકનો શ્રેણીક એ સૌથી મોટા અસામાન્ય (non-singular) ઉપશ્રેણિકનો ક્રમ છે.
કારણ કે $k$ ક્રમનો અસામાન્ય ઉપશ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી શ્રેણીક $\rho$ એ ઓછામાં ઓછો $k$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\rho \geq k$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને જોડતા,આપણને મળે છે:
$k \leq \rho \leq \min(m, n)$.

(A) શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક એ સૌથી મોટા અસામાન્ય ન હોય તેવા (non-singular) ઉપ-શ્રેણિકની કક્ષા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $k$ કક્ષાના તમામ ઉપ-શ્રેણિકો અસામાન્ય (singular) છે,તેથી નિશ્ચાયક $\rho$ એ $k$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ,એટલે કે $\rho < k$ ... $(i)$.
કારણ કે $r$ કક્ષાનો ઓછામાં ઓછો એક અસામાન્ય ન હોય તેવો (non-singular) ઉપ-શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી નિશ્ચાયક $\rho$ એ ઓછામાં ઓછો $r$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $r \leq \rho$ ... (ii).
અસમતાઓ $(i)$ અને (ii) ને જોડતા,આપણને $r \leq \rho < k$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરતા:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લેતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}$.
$R_2 \rightarrow -\frac{1}{3}R_2$ અને $R_3 \rightarrow -\frac{1}{2}R_3$ લેતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લેતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $2$ છે.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 8 \end{array}\right]$.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરતા:
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ અને $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$ લેતા:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right]$.
ત્યારબાદ,$R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ અને $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_2$ લેતા:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right]$.
$R_3$ અને $R_4$ ની અદલાબદલી કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$.
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $3$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે આપણે હાર પ્રક્રિયાઓ કરીએ છીએ.
$R_2 \rightarrow R_2 + R_1$ લાગુ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$.
$R_2 \rightarrow \frac{1}{4}R_2$ લાગુ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$.
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & k-1 & k-1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો શ્રેણી $2$ હોવા માટે,ત્રીજી હાર શૂન્ય હાર હોવી જોઈએ. તેથી,$k-1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયા દ્વિઘાત સમીકરણ માટે $k=1$ એ બીજ છે:
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^2+x-2 = (1)^2 + (1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$.
આમ,$k=1$ એ $x^2+x-2=0$ નું બીજ છે.

(B) પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ નો ક્રમ શોધીએ.
$A$ નો નિશ્ચાયક ગણતા:
$|A| = 1(1(-1) - 2(0)) - 0(2(-1) - 2(1)) + 1(2(0) - 1(1)) = 1(-1) - 0 + 1(-1) = -1 - 1 = -2$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A$ નો ક્રમ $(r_1)$ $3$ છે.
હવે,શ્રેણિક $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & -8 \end{bmatrix}$ નો ક્રમ શોધીએ.
આ $2 \times 4$ શ્રેણિક છે. મહત્તમ શક્ય ક્રમ $2$ છે.
આપણે શૂન્યતર $2 \times 2$ માઇનર તપાસીએ. છેલ્લા બે સ્તંભો દ્વારા બનતો માઇનર લઈએ:
$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 6 & -8 \end{vmatrix} = (3)(-8) - (4)(6) = -24 - 24 = -48 \neq 0$.
કારણ કે શૂન્યતર $2 \times 2$ માઇનર અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $B$ નો ક્રમ $(r_2)$ $2$ છે.
અંતે,$r_1 - r_2 = 3 - 2 = 1$.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & k-1 \\ 0 & 0 & k-1 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકનો રેન્ક એ તેના રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં રહેલી શૂન્યતર હારની સંખ્યા છે.
$A$ નો રેન્ક $2$ થાય તે માટે ત્રીજી હાર શૂન્ય હાર બનવી જોઈએ.
આ માટે ત્રીજી હારના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ,એટલે કે $k-1 = 0$ અને $1 = 0$.
અહીં $1 = 0$ એ વિરોધાભાસ છે,તેથી $k$ ની કોઈપણ કિંમત માટે ત્રીજી હાર શૂન્ય હાર બની શકે નહીં.
તેથી,કોઈપણ $k \in R$ (જ્યાં $k \neq 1$) માટે $A$ નો રેન્ક હંમેશા $3$ રહેશે.
જો $k = 1$ લઈએ,તો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ બને છે,જેનો રેન્ક પણ $3$ છે.
આમ,$k$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જેના માટે $A$ નો રેન્ક $2$ થાય.

(C) શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (rank) શોધવા માટે,આપણે તેને પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix}$
હવે,પ્રથમ સ્તંભમાં શૂન્ય બનાવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરો:
$\xrightarrow[R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1]{R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
આગળ,બીજા સ્તંભમાં શૂન્ય બનાવવા માટે હાર પ્રક્રિયા લાગુ કરો:
$\xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક હવે રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં છે. શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (rank) $2$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણીક $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$ છે.
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$.
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_2$ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,$A$ નો શ્રેણીક (rank) $2$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 8 \\ -2 & 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે આપણે પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પગલું $1$: $R_2 \rightarrow R_2 + 4R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$ લાગુ કરતા.
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$.
પગલું $2$: $R_2$ અને $R_3$ ની અદલાબદલી $(R_2 \leftrightarrow R_3)$ કરતા.
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે શ્રેણિક રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં છે. શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $2$ છે.

(A) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1-x \\ 5 & k & 1 \\ 6 & 3 & 1+x \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકનો ક્રમ $1$ હોવા માટે,બધી હાર એકબીજાના પ્રમાણમાં હોવી જોઈએ.
હાર $R_1$ અને $R_3$ ની સરખામણી કરતા:
$R_3 = c R_1 \Rightarrow 6 = 4c \Rightarrow c = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
બીજા ઘટકની ચકાસણી: $3 = 2 \times \frac{3}{2} = 3$ (આ સાચું છે).
ત્રીજા ઘટકની ચકાસણી: $1+x = (1-x) \times \frac{3}{2}$.
$2(1+x) = 3(1-x) \Rightarrow 2 + 2x = 3 - 3x \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$.
હવે,હાર $R_1$ અને $R_2$ ની સરખામણી કરતા:
$R_2 = d R_1 \Rightarrow 5 = 4d \Rightarrow d = \frac{5}{4}$.
બીજા ઘટકની ચકાસણી: $k = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{5}{2}$.
ત્રીજા ઘટકની ચકાસણી: $1 = (1-x) \times \frac{5}{4}$.
$x = \frac{1}{5}$ મૂકતા: $1 = (1 - \frac{1}{5}) \times \frac{5}{4} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{4} = 1$ (આ સાચું છે).
આમ,જ્યારે $k = \frac{5}{2}$ અને $x = \frac{1}{5}$ હોય ત્યારે શ્રેણિકનો ક્રમ $1$ થાય છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ \sqrt{4040} & \sqrt{4042} & \sqrt{4044} & \sqrt{4046} \\ \sqrt{6060} & \sqrt{6063} & \sqrt{6066} & \sqrt{6069} \\ \sqrt{8080} & \sqrt{8084} & \sqrt{8088} & \sqrt{8092} \end{bmatrix}$ છે.
આપણે હારને પ્રથમ હારના ગુણાંક તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$R_2 = \sqrt{2} R_1$,$R_3 = \sqrt{3} R_1$,અને $R_4 = 2 R_1$.
આ કિંમતો શ્રેણિકમાં મૂકતા:
$A = \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ \sqrt{2}\sqrt{2020} & \sqrt{2}\sqrt{2021} & \sqrt{2}\sqrt{2022} & \sqrt{2}\sqrt{2023} \\ \sqrt{3}\sqrt{2020} & \sqrt{3}\sqrt{2021} & \sqrt{3}\sqrt{2022} & \sqrt{3}\sqrt{2023} \\ 2\sqrt{2020} & 2\sqrt{2021} & 2\sqrt{2022} & 2\sqrt{2023} \end{bmatrix}$.
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - \sqrt{2}R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - \sqrt{3}R_1$,અને $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$A \sim \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં માત્ર એક જ શૂન્યતર હાર હોવાથી,$A$ નો ક્રમ (rank) $1$ છે.

(B) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (Rank) શોધવા માટે,આપણે હાર સંક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને તેને હાર સોપાન સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.
શ્રેણિકના હાર સોપાન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,$A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $1$ છે.

(C) $3 \times 3$ શ્રેણિકનો ક્રમાંક શોધવા માટે,આપણે તેનો નિશ્ચાયક શોધીએ છીએ. જો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,તો ક્રમાંક $3$ છે.
વિકલ્પ $(A)$: ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}10 & 11 & 12 \\ 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14\end{array}\right]$. હાર સમાંતર શ્રેણીમાં છે. $R_2 - R_1 = [1, 1, 1]$ અને $R_3 - R_2 = [1, 1, 1]$. તેથી,$\det(A) = 0$ અને $\text{rank}(A) < 3$.
વિકલ્પ $(B)$: ધારો કે $B = \left[\begin{array}{ccc}0 & -51 & 101 \\ 51 & 0 & -581 \\ -101 & 581 & 0\end{array}\right]$. આ એક વિષમ-સંમિત શ્રેણિક છે. એકી કક્ષાના વિષમ-સંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે. તેથી,$\text{rank}(B) < 3$.
વિકલ્પ $(C)$: ધારો કે $C = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 5 \\ -2 & 7 & 0\end{array}\right]$. નિશ્ચાયક ગણતા: $\det(C) = 0(0 - 35) - 1(0 - (-10)) + 2(-7 - 0) = 0 - 10 - 14 = -24$. $\det(C) \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $C$ નો ક્રમાંક $3$ છે.
વિકલ્પ $(D)$: ધારો કે $D = \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right]$. અહીં,$R_2 = 2R_1$ અને $R_3 = 3R_1$. તેથી,$\det(D) = 0$ અને $\text{rank}(D) = 1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right]$.
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow 2R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right]$.
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$.
અહીં રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં $2$ શૂન્યતર હાર હોવાથી,$A$ નો ક્રમ (Rank) $2$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $a, b \in R-\{0\}$,આપણે બ્લોક શ્રેણિક પર હાર પ્રક્રિયાઓ કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ બ્લોક હારને બીજી બ્લોક હારમાંથી બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$M \sim \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 - a I_2 & b I_2 - b I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો ક્રમ (rank) એ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હારની સંખ્યા છે.
અહીં,પ્રથમ બ્લોક હાર $\begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ છે,જે શૂન્ય નથી કારણ કે $a \neq 0$.
બીજી બ્લોક હાર એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
આમ,શ્રેણિકનો ક્રમ એ $a I_2$ ના ક્રમ જેટલો છે,જે $2$ છે.

(C) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે.
નિશ્ચાયક શોધવા માટે,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક ગણીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(3 \times 2 - 0 \times 1) - 4(2 \times 2 - 0 \times 0) + (-1)(2 \times 1 - 3 \times 0)$
$|A| = 1(6 - 0) - 4(4 - 0) - 1(2 - 0)$
$|A| = 6 - 16 - 2 = -12$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક અસામાન્ય (non-singular) છે.
$n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક માટે,જો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,તો શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (rank) $n$ થાય છે.
તેથી,આપેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (rank) $3$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 4 & -3 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (rank) $3$ હોવા માટે,શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવો જોઈએ અને $3$ ક્રમનો ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર માઇનર અસ્તિત્વ ધરાવવો જોઈએ.
શ્રેણિકને સરળ બનાવવા માટે હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરતા:
$R_2 \rightarrow R_2 - 4R_1$ અને $R_4 \rightarrow R_4 - 9R_1$:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & b+9 & 3 \end{bmatrix}$.
$R_4 \rightarrow R_4 - 3R_2$ લાગુ કરતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & b+6 & 0 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $3$ હોવા માટે,ચોથી હાર અન્ય હારનું રેખીય સંયોજન હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે છેલ્લી હાર શૂન્ય થવી જોઈએ.
તેથી,$b+6 = 0$ લેતા,$b = -6$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 2 & 9 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 10 & -3 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરો:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 4 & 5 & 10 & -3 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_4 \rightarrow R_4 - R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 13 & -4 & 13 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & -4 & 13 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_4 \rightarrow R_4 - R_2$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}$ મળે.
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ છે.

(B) આપેલ છે,$A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha\end{array}\right]$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2-2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3-3R_1$,અને $R_4 \rightarrow R_4-6R_1$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & -4 & -11 & \alpha\end{array}\right]$.
$R_4 \rightarrow R_4-R_3$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & \alpha-3\end{array}\right]$.
$R_4 \rightarrow R_4-R_2$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha-5\end{array}\right]$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ હોવાથી,છેલ્લી હાર શૂન્ય હાર હોવી જોઈએ.
તેથી,$\alpha-5=0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha=5$.

(C) આપેલ છે,$A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$.
$A$ નો નિશ્ચાયક શોધતા:
$|A| = -1(24-25) + 2(18-20) - 3(15-16) = 1 - 4 + 3 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,તેથી $A$ નો ક્રમ $3$ થી ઓછો છે. આપણે $2 \times 2$ નો માઇનર તપાસીએ: $\left|\begin{array}{rr}4 & 5 \\ 5 & 6\end{array}\right| = 24 - 25 = -1 \neq 0$.
તેથી,$A$ નો ક્રમ $a = 2$ છે.
આપેલ છે,$B=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 2\end{array}\right]$.
$B$ નો નિશ્ચાયક શોધતા:
$|B| = (1)(2) - (-2)(-1) = 2 - 2 = 0$.
કારણ કે $|B| = 0$ અને ઓછામાં ઓછો એક ઘટક શૂન્યતર છે,તેથી $B$ નો ક્રમ $b = 1$ છે.
આપેલ છે,$C=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$.
$C$ નો નિશ્ચાયક શોધતા:
$|C| = 2(4-0) = 8 \neq 0$.
કારણ કે $C$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને તેનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર છે,તેથી $C$ નો ક્રમ $c = 3$ છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $b = 1, a = 2, c = 3$.
આમ,$b < a < c$.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right]$.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (Rank) શોધવા માટે,આપણે તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ ગણીએ.
$|A| = 1(1 - (-1)) - (-1)(1 - 1) + 1(1 - (-1))$
$|A| = 1(2) + 1(0) + 1(2)$
$|A| = 2 + 0 + 2 = 4$.
અહીં $|A| = 4 \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક અસામાન્ય (non-singular) છે.
તેથી,$3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $3$ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) & \sin(x+b+c) & 10 \\ \cos(x+c+a) & \sin(x+c+a) & 10 \end{array} \right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) - \cos(x+a+b) & \sin(x+b+c) - \sin(x+a+b) & 0 \\ \cos(x+c+a) - \cos(x+a+b) & \sin(x+c+a) - \sin(x+a+b) & 0 \end{array} \right|$.
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = 10 \cdot [(\cos(x+b+c) - \cos(x+a+b))(\sin(x+c+a) - \sin(x+a+b)) - (\sin(x+b+c) - \sin(x+a+b))(\cos(x+c+a) - \cos(x+a+b))]$.
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,કૌંસની અંદરનું પદ $\sin((x+c+a) - (x+b+c)) = \sin(a-b)$ માં સરળ બને છે.
આમ,$f(x) = 10 \sin(a-b)$,જે $x$ થી સ્વતંત્ર અચળ છે.
કારણ કે $f(x)$ અચળ છે,તેથી $f(2019) = f(2020) = k$.
તેથી,$f(2019)^{f(2020)} - f(2020)^{f(2019)} = k^k - k^k = 0$.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $D(x)$ છે. આપણને $D(x) = xA + B$ આપેલ છે.
$A$ શોધવા માટે,આપણે $D(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને $x=0$ આગળ કિંમત મેળવીએ.
$D'(0) = A$.
નિશ્ચાયકના વિકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$D'(x)$ એ ત્રણ નિશ્ચાયકોનો સરવાળો છે જ્યાં દરેક હારનું વારાફરતી વિકલન થાય છે.
ધારો કે $R_1, R_2, R_3$ એ નિશ્ચાયકની હાર છે.
$D'(x) = \begin{vmatrix} 2x+1 & 1 & 1 \\ 4x+3 & 3 & 3 \\ 2x+2 & 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x^2+x & x+1 & x-2 \\ 4x+3 & 3 & 3 \\ x^2+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x^2+x & x+1 & x-2 \\ 2x^2+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ 2x+2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$.
$x=0$ આગળ કિંમત મૂકતા:
$D'(0) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ નિશ્ચાયક $0$ છે કારણ કે હાર પ્રમાણસર છે.
$A = 0 + [0(0 - (-3)) - 1(-3 - 9) - 2(-3 - 0)] + [0(0 - (-6)) - 1(-2 - (-6)) - 2(-2 - 0)]$.
$A = [0 + 12 + 6] + [0 - 4 + 4] = 18 + 0 = 18$.
આમ,$|A| = 18$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2x & 3x^2 \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = x(12x^2 - 6x^2) - 1(6x^3 - 2x^3) + 0$
$f(x) = x(6x^2) - 1(4x^3) = 6x^3 - 4x^3 = 2x^3$.
હવે,વિકલન મેળવતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2$.
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2) = 12x$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{f''(x)}{f'(x)} = \frac{12x}{6x^2} = \frac{2}{x}$ અથવા $2 : x$ થાય.

(D) આપેલ છે કે,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકના વિકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x)$ એ ત્રણ નિશ્ચાયકોનો સરવાળો છે જ્યાં દરેક હારનું વારાફરતી વિકલન કરવામાં આવે છે:
$f'(x) = \left| \begin{array}{ccc} -\sin x & 1 & 0 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \cos x & 2x & 2 \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \sec^2 x & 1 & 0 \end{array} \right|$.
$x = 0$ આગળ:
$f'(0) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,બીજી હારના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ અને ત્રીજી સ્તંભ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
ત્રીજા નિશ્ચાયકમાં,બીજી હારના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
તેથી,$f'(0) = 0 + 0 + 0 = 0$.

(B) સમાંગ પ્રણાલી $AX=O$ માટે,જો પ્રણાલી પાસે શૂન્યેતર ઉકેલો (અનંત ઉકેલો) હોય,તો શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $A$ નો શ્રેણીક (rank) ચલોની સંખ્યા $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે $X = [l, m, 0]^T$ એ $l, m \neq 0$ સાથેનો ઉકેલ છે,તેથી ઉકેલ અવકાશમાં ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યેતર સદિશ છે.
ઉકેલ $k[l, m, 0]^T$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,નલ સ્પેસનું પરિમાણ (nullity) ઓછામાં ઓછું $1$ છે.
રેન્ક-નલિટી પ્રમેય મુજબ,$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$,જ્યાં $n=3$.
જો નલિટી $1$ હોય,તો $\text{rank}(A) = 3 - 1 = 2$.
આમ,$A$ નો શ્રેણીક $2$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $m \times n$ શ્રેણિક છે જેનો ક્રમ $4$ છે.
કારણ કે $A$ માં $m$-ક્રમનો અસામાન્ય ઉપ-શ્રેણિક છે,તેથી $A$ એ $m \times m$ ચોરસ શ્રેણિક હોવો જોઈએ.
આમ,$n = m$,અને $A$ નો ક્રમ $m$ છે.
આપેલ છે કે $A$ નો ક્રમ $4$ છે,તેથી $m = 4$.
વળી,$A^T A$ એ $n \times n$ ક્રમનો શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A^T A$ એ $7 \times 7$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 7$.
જોકે,શરત મુજબ $A$ માં $m$-ક્રમનો અસામાન્ય ઉપ-શ્રેણિક છે,જેનો અર્થ છે કે $A$ એ $m \times m$ ચોરસ શ્રેણિક છે,એટલે કે $m = n$.
પ્રશ્નનું પુનઃ મૂલ્યાંકન કરતા: જો $A^T A$ એ $7 \times 7$ હોય,તો $n = 7$.
જો $A$ માં $m$-ક્રમનો અસામાન્ય ઉપ-શ્રેણિક હોય,તો $m$ એ $A$ ના ક્રમ જેટલો હોવો જોઈએ,જે $4$ છે.
તેથી,$A$ ની હારની સંખ્યા $m = 4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $5$ ક્રમનો સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય. આ સૂચવે છે કે રેન્ક $\rho(A) < 5$ છે.
કારણ કે $B$ પાસે $3$ ક્રમનો શૂન્યતર નિશ્ચાયક છે,તેથી રેન્ક $\rho(B) \geq 3$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $\rho(B) = \rho(A)$.
જો $\rho(A) = 3$ હોય,તો $\rho(B) = 3$ થાય.
જો $\rho(A) = 4$ હોય,તો $\rho(B) = 4$ થાય.
વિકલ્પ $C$ જણાવે છે કે જ્યારે $A$ ના તમામ ચતુર્થ ક્રમના નિશ્ચાયકો શૂન્ય હોય ત્યારે $\rho(A) = \rho(B) = 3$ થાય.
જો $A$ ના તમામ ચતુર્થ ક્રમના નિશ્ચાયકો શૂન્ય હોય,તો $\rho(A) \leq 3$ થાય. કારણ કે $B$ પાસે $3$ ક્રમનો શૂન્યતર નિશ્ચાયક છે,તેથી $\rho(B) = 3$ થાય.
આમ,જો $\rho(A) = 3$ હોય,તો $\rho(A) = \rho(B) = 3$ એ એક સુસંગત વિધાન છે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & x(x-1)(x+1) \end{bmatrix}$.
બીજી કોલમમાંથી $x$ અને ત્રીજી હારમાંથી $x(x-1)$ સામાન્ય લેતા:
$A = x(x-1) \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x-1 & x+1 \\ 3 & x-2 & x+1 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$|A| = -4x(x-1)^2(x+1)$.
જો $x \neq 0, 1, -1$ હોય,તો $|A| \neq 0$,તેથી રેન્ક $3$ છે.
જો $x=0$ હોય,તો રેન્ક $1$ છે.
જો $x=1$ હોય,તો રેન્ક $2$ છે.
જો $x=-1$ હોય,તો રેન્ક $1$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix}$ અને $A^2 = A$.
$A^2$ ની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -16-4x \\ -1 & 3 & 16+4x \\ 4+x & -8-2x & -16+x^2 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A^2 = A$,ઘટકોની સરખામણી કરતા $4+x = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ $x = -3$ થાય.
$x = -3$ ને $A$ માં મૂકતા:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = 2(-9+8) + 2(3-4) - 4(2-3) = 2(-1) + 2(-1) - 4(-1) = -2 - 2 + 4 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,તેથી શ્રેણીકનો ક્રમ $r < 3$ છે.
$2$ ક્રમના માઇનર તપાસતા: $\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4 \neq 0$.
આમ,શ્રેણીકનો ક્રમ $r = 2$ છે.
તેથી,$r + x = 2 + (-3) = -1$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 11 & 1 & 6 \\ -7 & -14 & 6 & -14 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરતા:
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 11 & 1 & 6 \\ -7 & -14 & 6 & -14 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - 8R_1$,$R_4 \rightarrow R_4 + 7R_1$ પ્રક્રિયાઓ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & -21 & 33 & -42 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \leftrightarrow R_4$ અદલાબદલી કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \rightarrow R_3 + 2R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ મળે.
અહીં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (Rank) $2$ છે.

(C) મેટ્રિક્સ $A$ નો રેન્ક $3$ હોય જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછો એક $3 \times 3$ માઇનર હોય જેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય.
પ્રથમ ત્રણ સ્તંભો દ્વારા રચાયેલ સબમેટ્રિક્સ $M$ ધ્યાનમાં લો:
$M = \begin{bmatrix} 1 & r & r^2 \\ r & r^2 & 1 \\ r^2 & 1 & r \end{bmatrix}$.
$M$ નો નિશ્ચાયક $|M| = 1(r^3 - 1) - r(r^2 - r^2) + r^2(r - r^4) = r^3 - 1 + r^3 - r^6 = -(r^6 - 2r^3 + 1) = -(r^3 - 1)^2$ છે.
રેન્ક $3$ હોવા માટે,આપણે $|M| \neq 0$ ની જરૂર છે.
$-(r^3 - 1)^2 \neq 0 \Rightarrow r^3 - 1 \neq 0 \Rightarrow r^3 \neq 1 \Rightarrow r \neq 1$.
આમ,$A$ નો રેન્ક $r \in R - \{1\}$ માટે $3$ છે.

(B) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \\ 1 & -6 & 3 & -8\end{array}\right]$.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે હારની પ્રક્રિયાઓ કરીએ:
$R_2 \rightarrow R_2 - \frac{2}{3}R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - \frac{1}{3}R_1$ લાગુ કરતા:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 0 & 5/3 & -2/3 & 5/3 \\ 0 & -20/3 & 8/3 & -20/3\end{array}\right]$
હવે,$R_3 \rightarrow R_3 + 4R_2$ લાગુ કરતા:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 0 & 5/3 & -2/3 & 5/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $2$ છે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} x & x & x \\ x & x^2 & x \\ x & x & x+1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $1$ હોવા માટે,$2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
પ્રથમ બે હાર અને પ્રથમ બે સ્તંભ દ્વારા બનતો નિશ્ચાયક લો: $\begin{vmatrix} x & x \\ x & x^2 \end{vmatrix} = x^3 - x^2 = x^2(x-1)$.
આ શૂન્ય થવા માટે,$x=0$ અથવા $x=1$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $x=1$ હોય,તો $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. અહીં નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1 = 1 \neq 0$ થાય છે. તેથી,નિશ્ચાયક ઓછામાં ઓછો $2$ છે. એટલે $x=1$ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $x=0$ હોય,તો $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. $2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકો શૂન્ય છે અને ઓછામાં ઓછો એક ઘટક શૂન્યતર છે ($A_{33}$ પર $1$). તેથી,નિશ્ચાયક $1$ છે.
આમ,માત્ર $x=0$ શક્ય છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha \end{bmatrix}$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$,અને $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_3$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & \alpha - 6 \end{bmatrix}$.
$R_4 \rightarrow R_4 + R_3$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & \alpha - 3 \end{bmatrix}$.
$R_4 \rightarrow R_4 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha - 5 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ હોવાથી,છેલ્લી હાર શૂન્ય હાર હોવી જોઈએ.
તેથી,$\alpha - 5 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 5$.