$\left| {\begin{array}{ccc} 1/a & a^2 & bc \\ 1/b & b^2 & ca \\ 1/c & c^2 & ab \end{array}} \right| = $

જો $\Delta = \begin{vmatrix} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{vmatrix}$ હોય,તો $\begin{vmatrix} x & 2y & z \\ 2p & 4q & 2r \\ a & 2b & c \end{vmatrix}$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $P = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $Q = [b_{ij}]$ છે,જ્યાં $1 \leq i, j \leq 3$ માટે $b_{ij} = 2^{i+j} a_{ij}$ છે. જો $P$ નો નિશ્ચાયક $2$ હોય,તો શ્રેણિક $Q$ નો નિશ્ચાયક શોધો.

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$

નિશ્ચાયક $\Delta=\left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$