$\left| \begin{array}{ccc} a - b & b - c & c - a \\ x - y & y - z & z - x \\ p - q & q - r & r - p \end{array} \right| = $

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$

$\left|\begin{array}{lll}1990 & 1991 & 1992 \\ 1991 & 1992 & 1993 \\ 1992 & 1993 & 1994\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & b + c \\ 1 & b & c + a \\ 1 & c & a + b \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $A = [a_{ij}]$ અને $B = [b_{ij}]$ એ બે $3 \times 3$ વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે,જ્યાં $b_{ij} = (3)^{(i+j-2)} a_{ji}$,જ્યાં $i, j = 1, 2, 3$. જો $B$ નો નિશ્ચાયક $81$ હોય,તો $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$