જો $a,b,c$ એ અસમાન હોય તો $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^2}}&{{a^3} + 1}\\b&{{b^2}}&{{b^3} + 1}\\c&{{c^2}}&{{c^3} + 1}\end{array}\,} \right|= 0$ માટે . . . .શરતનું પાલન થવું જોઈએ.

$\left|\begin{array}{ccc}102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \operatorname{csin} \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}0&{{b^3} - {a^3}}&{{c^3} - {a^3}}\\{{a^3} - {b^3}}&0&{{c^3} - {b^3}}\\{{a^3} - {c^3}}&{{b^3} - {c^3}}&0\end{array}\,} \right| = . . $

જો $A$, $B$ અને  $C$ ત્રિકોણના ખૂણા હોય તો નિશ્ચાયક 

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  { - 1 + \cos B}&{\cos C + \cos B}&{\cos B} \\ 
  {\cos C + \cos A}&{ - 1 + \cos A}&{\cos A} \\ 
  { - 1 + \cos B}&{ - 1 + \cos A}&{ - 1} 
\end{array}} \right|$ ની કિમંત મેળવો.

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી  સાબિત કરો કે, $\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$