Properties of determinants Questions in Gujarati

(A) $R_{1}, R_{2}$ અને $R_{3}$ માંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$\text{L.H.S.} = abc \left|\begin{array}{ccc} \frac{1}{a}+1 & \frac{1}{a} & \frac{1}{a} \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array}\right|$
$R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc} 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array}\right|$
$= abc \left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array}\right|$
હવે $C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = abc \left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{b} & 1 & 0 \\ \frac{1}{c} & 0 & 1 \end{array}\right|$
$= abc \left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) [1(1-0)]$
$= abc \left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) = abc + bc + ca + ab = \text{R.H.S.}$

(N/A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે નિશ્ચાયકને નીચે મુજબ બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & a & x \\ y & b & y \\ z & c & z\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}x & a & a \\ y & b & b \\ z & c & c\end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,સ્તંભ $1$ અને સ્તંભ $3$ સમાન છે $(C_1 = C_3)$. તેથી,તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,સ્તંભ $2$ અને સ્તંભ $3$ સમાન છે $(C_2 = C_3)$. તેથી,તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
આમ,$\Delta = 0 + 0 = 0$.

(N/A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$.
પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a-b) + (b-c) + (c-a) & (b-c) + (c-a) + (a-b) & (c-a) + (a-b) + (b-c) \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$
પ્રથમ હારના ઘટકોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$
અહીં પ્રથમ હાર $R_{1}$ ના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
$\therefore \Delta = 0$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|$.
આપણે ત્રીજા સ્તંભને $C_3 = 9C_2 + C_1$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7)+2 \\ 3 & 8 & 9(8)+3 \\ 5 & 9 & 9(9)+5\end{array}\right|$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને બે નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7) \\ 3 & 8 & 9(8) \\ 5 & 9 & 9(9)\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,આપણે ત્રીજા સ્તંભમાંથી $9$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લઈ શકીએ છીએ:
$\Delta = 9 \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 7 \\ 3 & 8 & 8 \\ 5 & 9 & 9\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,બીજો અને ત્રીજો સ્તંભ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ અને ત્રીજો સ્તંભ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
તેથી,$\Delta = 9(0) + 0 = 0$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & bc & a(b+c) \\ 1 & ca & b(c+a) \\ 1 & ab & c(a+b)\end{array}\right|$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_{3} \rightarrow C_{3} + C_{2}$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & bc & ab+bc+ca \\ 1 & ca & ab+bc+ca \\ 1 & ab & ab+bc+ca\end{array}\right|$
$C_{3}$ માંથી $(ab+bc+ca)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (ab+bc+ca) \left|\begin{array}{lll}1 & bc & 1 \\ 1 & ca & 1 \\ 1 & ab & 1\end{array}\right|$
અહીં સ્તંભ $C_{1}$ અને $C_{3}$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
$\therefore \Delta = (ab+bc+ca) \times 0 = 0$.

(N/A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2(a+b+c) & 2(p+q+r) & 2(x+y+z) \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{lll}a+b+c & p+q+r & x+y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે:
$\Delta = 2 \left|\begin{array}{lll}a+b+c & p+q+r & x+y+z \\ -b & -q & -y \\ -c & -r & -z\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે:
$\Delta = 2 \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ -b & -q & -y \\ -c & -r & -z\end{array}\right|$.
$R_2$ અને $R_3$ માંથી $-1$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે:
$\Delta = 2(-1)(-1) \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right|$.
આ $3 \times 3$ કક્ષાનો વિષમ-સંમિત (skew-symmetric) નિશ્ચાયક છે.
આપણે પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = 0(0 - (-c^2)) - a(0 - (-bc)) + (-b)(-ac - 0)$
$\Delta = 0 - a(bc) - b(-ac)$
$\Delta = -abc + abc$
$\Delta = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,જો આપણે $R_1, R_2,$ અને $R_3$ માંથી $-1$ સામાન્ય લઈએ,તો આપણને મળે:
$\Delta = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc}0 & -a & b \\ a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right| = -\Delta^T$
કારણ કે $\Delta = -\Delta$,તેથી $2\Delta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta = 0$.

(N/A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-a^{2} & ab & ac \\ ba & -b^{2} & bc \\ ca & cb & -c^{2}\end{array}\right|$.
$R_{1}, R_{2}$ અને $R_{3}$ માંથી સામાન્ય અવયવો $a, b, c$ બહાર લેતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}-a & b & c \\ a & -b & c \\ a & b & -c\end{array}\right|$.
$C_{1}, C_{2}$ અને $C_{3}$ માંથી સામાન્ય અવયવો $a, b, c$ બહાર લેતા:
$\Delta = a^{2}b^{2}c^{2} \left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2} + R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3} + R_{1}$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = a^{2}b^{2}c^{2} \left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right|$.
$C_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = a^{2}b^{2}c^{2} [(-1)(0 - 4) - 0 + 0] = a^{2}b^{2}c^{2}(4) = 4a^{2}b^{2}c^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2}$ અને $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{3}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1-1 & a-b & a^{2}-b^{2} \\ 1-1 & b-c & b^{2}-c^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}0 & a-b & (a-b)(a+b) \\ 0 & b-c & (b-c)(b+c) \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
$R_{1}$ માંથી $(a-b)$ અને $R_{2}$ માંથી $(b-c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)(b-c) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & b+c \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (a-b)(b-c) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & a+b \\ 0 & 0 & c-a \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
$C_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a-b)(b-c) \cdot 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}1 & a+b \\ 0 & c-a\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)(1-0) = (a-b)(b-c)(c-a)$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow C_{1}-C_{2}$ અને $C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{3}$ લેતા:
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ a^{3}-b^{3} & b^{3}-c^{3} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1}$ માંથી $(a-b)$ અને $C_{2}$ માંથી $(b-c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & c \\ a^{2}+ab+b^{2} & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow C_{1}-C_{2}$ લેતા:
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ a^{2}-c^{2}+ab-bc & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ (a-c)(a+c)+b(a-c) & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$\Delta=(a-b)(b-c)(a-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ a+b+c & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta=(a-b)(b-c)(a-c)(1)[0 - (a+b+c)] = -(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$.
કારણ કે $-(a-c) = (c-a)$,તેથી:
$\Delta=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $\Delta=\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ લેતા:
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ y-x & y^{2}-x^{2} & z x-y z \\ z-x & z^{2}-x^{2} & x y-y z\end{array}\right|$
$R_{2}$ માંથી $(y-x)$ અને $R_{3}$ માંથી $(z-x)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta=(y-x)(z-x)\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ -1 & -(x+y) & z \\ 1 & z+x & -y\end{array}\right|$
$R_{3} \rightarrow R_{3}+R_{2}$ લેતા:
$\Delta=(y-x)(z-x)\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ -1 & -(x+y) & z \\ 0 & z-y & z-y\end{array}\right|$
$R_{3}$ માંથી $(z-y)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta=(y-x)(z-x)(z-y)\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ -1 & -(x+y) & z \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|$
$R_{3}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta=(y-x)(z-x)(z-y) [0 - 1(x z + y z) + 1(-x^{2}-x y + x^{2})]$
$\Delta=(y-x)(z-x)(z-y) [-(x z + y z) - x y]$
$\Delta=-(y-x)(z-x)(z-y)(x y+y z+z x)$
કારણ કે $-(y-x) = (x-y)$ અને $-(z-y) = (y-z)$,તેથી:
$\Delta=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2x & 2x \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}5x+4 & 5x+4 & 5x+4 \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
$R_{1}$ માંથી $(5x+4)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2x & 4-x & 0 \\ 2x & 0 & 4-x\end{array}\right|$.
$C_{2}$ અને $C_{3}$ માંથી $(4-x)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (5x+4)(4-x)(4-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2x & 1 & 0 \\ 2x & 0 & 1\end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (5x+4)(4-x)^{2} [1(1-0)] = (5x+4)(4-x)^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}3y+k & 3y+k & 3y+k \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|$.
$R_{1}$ માંથી $(3y+k)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (3y+k) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|$.
સ્તંભની પ્રક્રિયાઓ $C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (3y+k) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ y & k & 0 \\ y & 0 & k\end{array}\right|$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (3y+k) \cdot 1 \cdot (k \cdot k - 0 \cdot 0) = k^{2}(3y+k)$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_{1}$ માંથી $(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 b & -(a+b+c) & 0 \\ 2 c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$
$C_{2}$ અને $C_{3}$ માંથી $(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 b & -1 & 0 \\ 2 c & 0 & -1\end{array}\right|$
$\Delta = (a+b+c)^{3} [1((-1)(-1) - 0)] = (a+b+c)^{3}$
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+y+2z & x & y \\ z & y+z+2x & y \\ z & x & z+x+2y\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_{1} \rightarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}2(x+y+z) & x & y \\ 2(x+y+z) & y+z+2x & y \\ 2(x+y+z) & x & z+x+2y\end{array}\right|$
$C_{1}$ માંથી $2(x+y+z)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 2(x+y+z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 1 & y+z+2x & y \\ 1 & x & z+x+2y\end{array}\right|$
હાર પ્રક્રિયા $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ લાગુ કરતા:
$\Delta = 2(x+y+z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 0 & x+y+z & 0 \\ 0 & 0 & x+y+z\end{array}\right|$
$R_{2}$ અને $R_{3}$ માંથી $(x+y+z)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 2(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$
$\Delta = 2(x+y+z)^{3} \times (1(1-0)) = 2(x+y+z)^{3}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|$.
$R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ લેતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+x+x^{2} & 1+x+x^{2} & 1+x+x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|$
$R_{1}$ માંથી $(1+x+x^{2})$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (1+x+x^{2}) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ લેતા:
$\Delta = (1+x+x^{2}) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ x^{2} & 1-x^{2} & x-x^{2} \\ x & x^{2}-x & 1-x\end{array}\right|$
$C_{2}$ અને $C_{3}$ માંથી $(1-x)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (1+x+x^{2})(1-x)(1-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ x^{2} & 1+x & x \\ x & -x & 1\end{array}\right|$
કારણ કે $(1-x)(1+x+x^{2}) = (1-x^{3})$:
$\Delta = (1-x^{3})(1-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ x^{2} & 1+x & x \\ x & -x & 1\end{array}\right|$
$R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (1-x^{3})(1-x) [1((1+x)(1) - (x)(-x)) - 0 + 0]$
$\Delta = (1-x^{3})(1-x) (1+x+x^{2})$
$\Delta = (1-x^{3})(1-x^{3}) = (1-x^{3})^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
હરોળ પ્રક્રિયાઓ $R_{1} \rightarrow R_{1} + b R_{3}$ અને $R_{2} \rightarrow R_{2} - a R_{3}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}+b^{2} & 0 & -b(1+a^{2}+b^{2}) \\ 0 & 1+a^{2}+b^{2} & a(1+a^{2}+b^{2}) \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$R_{1}$ અને $R_{2}$ માંથી સામાન્ય અવયવ $(1+a^{2}+b^{2})$ બહાર કાઢતા:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -b \\ 0 & 1 & a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1(1-a^{2}-b^{2} + 2a^{2}) - 0 + (-b)(0 - 2b)]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1+a^{2}-b^{2} + 2b^{2}]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} (1+a^{2}+b^{2}) = (1+a^{2}+b^{2})^{3}$

(N/A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|$.
અનુક્રમે $R_{1}, R_{2}$ અને $R_{3}$ માંથી સામાન્ય અવયવો $a, b$ અને $c$ બહાર કાઢતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = a b c \left|\begin{array}{ccc}a+\frac{1}{a} & b & c \\ a & b+\frac{1}{b} & c \\ a & b & c+\frac{1}{c}\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = a b c \left|\begin{array}{ccc}a+\frac{1}{a} & b & c \\ -\frac{1}{a} & \frac{1}{b} & 0 \\ -\frac{1}{a} & 0 & \frac{1}{c}\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow a C_{1}, C_{2} \rightarrow b C_{2}$ અને $C_{3} \rightarrow c C_{3}$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = a b c \times \frac{1}{a b c} \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & b^{2} & c^{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & b^{2} & c^{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right|$.
$R_{3}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = -1 \left|\begin{array}{cc}b^{2} & c^{2} \\ 1 & 0\end{array}\right| + 1 \left|\begin{array}{cc}a^{2}+1 & b^{2} \\ -1 & 1\end{array}\right|$.
$\Delta = -1(0 - c^{2}) + 1(a^{2} + 1 + b^{2}) = c^{2} + a^{2} + 1 + b^{2} = 1 + a^{2} + b^{2} + c^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $n \times n$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક છે,નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ $|kA| = k^n |A|$ થાય છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $3 \times 3$ છે,તેથી $n = 3$ છે.
તેથી,$|kA| = k^3 |A|$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ હોય,તો $kA = \begin{bmatrix} ka_1 & kb_1 & kc_1 \\ ka_2 & kb_2 & kc_2 \\ ka_3 & kb_3 & kc_3 \end{bmatrix}$ થાય.
નિશ્ચાયક લેતા,આપણે દરેક $3$ હારમાંથી $k$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$|kA| = k \cdot k \cdot k \cdot \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = k^3 |A|$.
તેથી,સાચો જવાબ $C$ છે.

(N/A) $\Delta$ પર $R_{1} \rightarrow x R_{1}, R_{2} \rightarrow y R_{2}, R_{3} \rightarrow z R_{3}$ પ્રક્રિયા કરતા અને $x y z$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે
$\Delta=\frac{1}{x y z}\left|\begin{array}{ccc} x(y+z)^{2} & x^{2} y & x^{2} z \\ x y^{2} & y(x+z)^{2} & y^{2} z \\ x z^{2} & y z^{2} & z(x+y)^{2} \end{array}\right|$
$C_{1}, C_{2}$ અને $C_{3}$ માંથી અનુક્રમે $x, y, z$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે
$\Delta=\frac{x y z}{x y z}\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x^{2} & x^{2} \\ y^{2} & (x+z)^{2} & y^{2} \\ z^{2} & z^{2} & (x+y)^{2} \end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}, C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે છે
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x^{2}-(y+z)^{2} & x^{2}-(y+z)^{2} \\ y^{2} & (x+z)^{2}-y^{2} & 0 \\ z^{2} & 0 & (x+y)^{2}-z^{2} \end{array}\right|$
$C_{2}$ અને $C_{3}$ માંથી $(x+y+z)$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે
$\Delta=(x+y+z)^{2}\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x-(y+z) & x-(y+z) \\ y^{2} & (x+z)-y & 0 \\ z^{2} & 0 & (x+y)-z \end{array}\right|$
$R_{1} \rightarrow R_{1}-(R_{2}+R_{3})$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે છે
$\Delta=(x+y+z)^{2}\left|\begin{array}{ccc} 2 y z & -2 z & -2 y \\ y^{2} & x-y+z & 0 \\ z^{2} & 0 & x+y-z \end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow (C_{2}+\frac{1}{y} C_{1})$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3}+\frac{1}{z} C_{1}$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે છે
$\Delta=(x+y+z)^{2}\left|\begin{array}{ccc} 2 y z & 0 & 0 \\ y^{2} & x+z & \frac{y^{2}}{z} \\ z^{2} & \frac{z^{2}}{y} & x+y \end{array}\right|$
છેલ્લે $R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે
$\Delta = (x+y+z)^{2}(2 y z)[(x+z)(x+y)-y z]$
$= (x+y+z)^{2}(2 y z)(x^{2}+x y+x z)$
$= (x+y+z)^{3}(2 x y z)$

(A) નિશ્ચાયક $\Delta$ પર હાર પ્રક્રિયા $R_1 \rightarrow R_1 - x R_2$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a+bx - x(ax+b) & c+dx - x(cx+d) & p+qx - x(px+q) \\ ax+b & cx+d & px+q \\ u & v & w \end{array} \right|$
$= \left| \begin{array}{ccc} a(1-x^2) & c(1-x^2) & p(1-x^2) \\ ax+b & cx+d & px+q \\ u & v & w \end{array} \right|$
$R_1$ માંથી $(1-x^2)$ સામાન્ય લેતા:
$= (1-x^2) \left| \begin{array}{ccc} a & c & p \\ ax+b & cx+d & px+q \\ u & v & w \end{array} \right|$
હવે,પરિણામી નિશ્ચાયક પર હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - x R_1$ લાગુ કરતા:
$= (1-x^2) \left| \begin{array}{ccc} a & c & p \\ (ax+b) - x(a) & (cx+d) - x(c) & (px+q) - x(p) \\ u & v & w \end{array} \right|$
$= (1-x^2) \left| \begin{array}{ccc} a & c & p \\ b & d & q \\ u & v & w \end{array} \right|$
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

(A) $L.H.S. = \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|$
$R_{1}$ ને $a$ વડે,$R_{2}$ ને $b$ વડે અને $R_{3}$ ને $c$ વડે ગુણતા:
$= \frac{1}{abc} \left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & abc \\ b^{2} & b^{3} & abc \\ c^{2} & c^{3} & abc\end{array}\right|$
$C_{3}$ માંથી સામાન્ય અવયવ $abc$ બહાર લેતા:
$= \frac{abc}{abc} \left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & 1 \\ b^{2} & b^{3} & 1 \\ c^{2} & c^{3} & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & 1 \\ b^{2} & b^{3} & 1 \\ c^{2} & c^{3} & 1\end{array}\right|$
$C_{1} \leftrightarrow C_{3}$ અને ત્યારબાદ $C_{2} \leftrightarrow C_{3}$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$= \left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| = R.H.S.$
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|$.
$C_{1}$ માંથી $a$,$C_{2}$ માંથી $b$ અને $C_{3}$ માંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & a+c \\ a+b & b & a \\ b & b+c & c\end{array}\right|$.
$C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1} - C_{2}$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & 0 \\ a+b & b & -b \\ b & b+c & -b\end{array}\right|$.
$R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{2}$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & 0 \\ a+b & b & -b \\ -a & c & 0\end{array}\right|$.
$C_{3}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = abc \cdot (b) \cdot (ac - (-ac)) = abc \cdot b \cdot (2ac) = 2a^2b^2c^2$.
(નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ પરિણામ $4a^2b^2c^2$ છે,જે ગણતરી મુજબ $2a^2b^2c^2$ મળે છે.)

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
પગલું $1$: ત્રીજી સ્તંભને સમાન બનાવવા માટે $C_3$ ને $C_2$ માં ઉમેરો.
$C_2 \rightarrow C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha+\beta+\gamma & \beta+\gamma \\ \beta & \alpha+\beta+\gamma & \gamma+\alpha \\ \gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
પગલું $2$: $C_2$ માંથી $(\alpha+\beta+\gamma)$ સામાન્ય લો.
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \beta+\gamma \\ \beta & 1 & \gamma+\alpha \\ \gamma & 1 & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
પગલું $3$: $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરો.
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \beta+\gamma \\ \beta-\alpha & 0 & \alpha-\beta \\ \gamma-\alpha & 0 & \beta-\gamma\end{array}\right|$.
પગલું $4$: $C_2$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \cdot (-1) \cdot [(\beta-\alpha)(\beta-\gamma) - (\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)]$.
આમ,આપેલ પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1 \\ z & z^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & p x^{3} \\ y & y^{2} & p y^{3} \\ z & z^{2} & p z^{3}\end{array}\right|$
બીજા નિશ્ચાયકમાં,$C_3$ માંથી $p$ સામાન્ય લો,પછી $R_1, R_2, R_3$ માંથી અનુક્રમે $x, y, z$ સામાન્ય લો:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + pxyz \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$\Delta = (1 + pxyz) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (1 + pxyz) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2}\end{array}\right|$
$R_2$ માંથી $(y-x)$ અને $R_3$ માંથી $(z-x)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 1 & z+x\end{array}\right|$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 0 & z-y\end{array}\right|$
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (1 + pxyz)(y-x)(z-x)(z-y)(1) = (1 + pxyz)(x-y)(y-z)(z-x)$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{2}+C_{3}$ લેતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & -a+b & -a+c \\ a+b+c & 3 b & -b+c \\ a+b+c & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$C_{1}$ માંથી $(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & -a+b & -a+c \\ 1 & 3 b & -b+c \\ 1 & -c+b & 3 c\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ લેતા:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & -a+b & -a+c \\ 0 & 2 b+a & a-b \\ 0 & a-c & 2 c+a\end{array}\right|$.
$C_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a+b+c) [ (2 b+a)(2 c+a) - (a-b)(a-c) ]$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુરૂપ આપતા:
$= (a+b+c) [ (4bc + 2ab + 2ac + a^2) - (a^2 - ac - ab + bc) ]$
$= (a+b+c) [ 4bc + 2ab + 2ac + a^2 - a^2 + ac + ab - bc ]$
$= (a+b+c) [ 3ab + 3bc + 3ac ]$
$= 3(a+b+c)(ab + bc + ca)$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2}-2 R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-3 R_{1}$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 2-2(1) & (3+2p)-2(1+p) & (4+3p+2q)-2(1+p+q) \\ 3-3(1) & (6+3p)-3(1+p) & (10+6p+3q)-3(1+p+q)\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 0 & 1 & 2+p \\ 0 & 3 & 7+3p\end{array}\right|$.
હવે,હારની પ્રક્રિયા $R_{3} \rightarrow R_{3}-3 R_{2}$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 0 & 1 & 2+p \\ 0 & 3-3(1) & (7+3p)-3(2+p)\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 0 & 1 & 2+p \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભ $(C_{1})$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}1 & 2+p \\ 0 & 1\end{array}\right| - 0 + 0 = 1(1 - 0) = 1$.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $1$ છે.

(A) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha + \delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta + \delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma + \delta) \end{array} \right|$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા સ્તંભનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta - \sin \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta - \sin \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta - \sin \gamma \sin \delta \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \rightarrow C_3 + (\sin \delta) C_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta \end{array} \right|$.
હવે,$C_3$ માંથી $\cos \delta$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \cos \delta \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \end{array} \right|$.
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
$\Delta = \cos \delta \times 0 = 0$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $\operatorname{det}(A) = 4$.
પ્રથમ,$2A$ શ્રેણિક ધ્યાનમાં લો. $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$\operatorname{det}(2A) = 2^{3} \times \operatorname{det}(A) = 8 \times 4 = 32$.
ત્યારબાદ,શ્રેણિક $B$ એ $2A$ પર $R_{2} \rightarrow 2R_{2} + 5R_{3}$ હાર પ્રક્રિયા કરીને મેળવવામાં આવે છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,જો કોઈ હારને અદિશ $k$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $k$ ગણું થાય છે. અહીં,$R_{2}$ ને $2R_{2} + 5R_{3}$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયાનો અર્થ એ છે કે બીજી હારને $2$ વડે ગુણીને તેમાં ત્રીજી હારના $5$ ગણા ઉમેરવામાં આવે છે. એક હારમાં બીજી હારના ગુણક ઉમેરવાથી નિશ્ચાયકના મૂલ્યમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,$\operatorname{det}(B) = 2 \times \operatorname{det}(2A) = 2 \times 32 = 64$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c, d$ એ સામાન્ય તફાવત $\lambda$ સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b = a + \lambda$,$c = a + 2\lambda$,અને $d = a + 3\lambda$ થાય.
આ કિંમતો નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$a - c = -2\lambda$,$b - d = -2\lambda$,$d - b = 2\lambda$,$c - b = \lambda$,$d - c = \lambda$.
નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & x+b & x+a \\ x-1 & x+c & x+b \\ x+2\lambda & x+d & x+c \end{array}\right| = 2$ છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & \lambda & x+a \\ x-1 & \lambda & x+b \\ x+2\lambda & \lambda & x+c \end{array}\right| = 2$.
$C_2$ માંથી $\lambda$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \lambda \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & 1 & x+a \\ x-1 & 1 & x+b \\ x+2\lambda & 1 & x+c \end{array}\right| = 2$.
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \lambda \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & 1 & x+a \\ 2\lambda-1 & 0 & \lambda \\ 4\lambda & 0 & 2\lambda \end{array}\right| = 2$.
$C_2$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \lambda \cdot (-1) \cdot ((2\lambda-1)(2\lambda) - (4\lambda)(\lambda)) = 2$.
$\Delta = -\lambda \cdot (4\lambda^2 - 2\lambda - 4\lambda^2) = 2$.
$\Delta = -\lambda \cdot (-2\lambda) = 2\lambda^2 = 2$.
તેથી,$\lambda^2 = 1$.

(D) આપેલ છે કે $D_{k} = \begin{vmatrix} 1 & 2k & 2k-1 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix}$.
આપણને $\sum_{k=1}^{n} D_{k} = 96$ આપેલ છે. સરવાળો ફક્ત પ્રથમ હારને અસર કરે છે,તેથી:
$\sum_{k=1}^{n} D_{k} = \begin{vmatrix} \sum_{k=1}^{n} 1 & \sum_{k=1}^{n} 2k & \sum_{k=1}^{n} (2k-1) \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix} = 96$.
સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$,$\sum_{k=1}^{n} 2k = n^2+n$,અને $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{vmatrix} n & n^2+n & n^2 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix} = 96$.
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} n & n^2+n & n^2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & n+2 \end{vmatrix} = 96$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$n \cdot [2(n+2) - 0] = 96 \Rightarrow 2n(n+2) = 96 \Rightarrow n(n+2) = 48$.
$n^2 + 2n - 48 = 0 \Rightarrow (n+8)(n-6) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$n = 6$ મળે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1+x^3 \\ 2x & 4x^2 & 1+8x^3 \\ 3x & 9x^2 & 1+27x^3 \end{array}\right| = 10$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને આપણે નિશ્ચાયકને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1 \\ 2x & 4x^2 & 1 \\ 3x & 9x^2 & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & x^3 \\ 2x & 4x^2 & 8x^3 \\ 3x & 9x^2 & 27x^3 \end{array}\right| = 10$
બીજા નિશ્ચાયકમાં $C_1$ માંથી $x$,$C_2$ માંથી $x^2$ અને $C_3$ માંથી $x^3$ સામાન્ય લેતા:
$x^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| + x^6 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| = 10$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| = 1(108-72) - 1(54-24) + 1(18-12) = 36 - 30 + 6 = 12$ મળે છે.
તેથી,$12x^3 + 12x^6 = 10 \Rightarrow 6x^6 + 6x^3 - 5 = 0$.
ધારો કે $t = x^3$. તો $6t^2 + 6t - 5 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(6)(-5)}}{12} = \frac{-6 \pm \sqrt{156}}{12} = \frac{-3 \pm \sqrt{39}}{6}$.
$x^3 = t$ હોવાથી,$t$ ની દરેક વાસ્તવિક કિંમત માટે $x = \sqrt[3]{t}$ ની એક જ વાસ્તવિક કિંમત મળે.
આમ,$t$ ની બે ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો હોવાથી,$x$ ની કુલ $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો મળે.

(D) આપેલ છે કે $P = [a_{ij}]_{3 \times 3}$ અને $b_{ij} = 2^{i+j} a_{ij}$.
$Q = [b_{ij}]_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} 2^{1+1}a_{11} & 2^{1+2}a_{12} & 2^{1+3}a_{13} \\ 2^{2+1}a_{21} & 2^{2+2}a_{22} & 2^{2+3}a_{23} \\ 2^{3+1}a_{31} & 2^{3+2}a_{32} & 2^{3+3}a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a_{11} & 8a_{12} & 16a_{13} \\ 8a_{21} & 16a_{22} & 32a_{23} \\ 16a_{31} & 32a_{32} & 64a_{33} \end{bmatrix}$.
દરેક હારમાંથી સામાન્ય અવયવ લેતા:
હાર $1$ માંથી $4 = 2^2$ સામાન્ય નીકળે છે.
હાર $2$ માંથી $8 = 2^3$ સામાન્ય નીકળે છે.
હાર $3$ માંથી $16 = 2^4$ સામાન્ય નીકળે છે.
$|Q| = (2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4) \begin{vmatrix} a_{11} & 2a_{12} & 4a_{13} \\ a_{21} & 2a_{22} & 4a_{23} \\ a_{31} & 2a_{32} & 4a_{33} \end{vmatrix}$.
દરેક સ્તંભમાંથી સામાન્ય અવયવ લેતા:
સ્તંભ $2$ માંથી $2 = 2^1$ સામાન્ય નીકળે છે.
સ્તંભ $3$ માંથી $4 = 2^2$ સામાન્ય નીકળે છે.
$|Q| = (2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4) \cdot (2^1 \cdot 2^2) \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$.
$|Q| = 2^{2+3+4+1+2} |P| = 2^{12} \cdot 2 = 2^{13}$.

(B) નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેની અનુરૂપ સહઅવયવ (cofactor) સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય આપે છે,પરંતુ કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો અન્ય કોઈ હાર (અથવા સ્તંભ) ના સહઅવયવ સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો હંમેશા $0$ થાય છે.
અહીં,આપણે $a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23}$ ની ગણતરી કરી રહ્યા છીએ,જે પ્રથમ હારના ઘટકો અને બીજી હારના સહઅવયવોનો ગુણાકાર છે.
તેથી,આ સરવાળો $0$ થશે.
ચકાસણી:
$a_{11} = 1, a_{12} = 1, a_{13} = 0$
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1(1-0) = -1$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) = 1$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1(2-1) = -1$
$a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23} = 1(-1) + 1(1) + 0(-1) = -1 + 1 + 0 = 0$.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $D$ છે.
નિત્યસમ $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 - C_2$ લાગુ કરીએ:
$D = \left|\begin{array}{lll} (a^x+a^{-x})^2 - (a^x-a^{-x})^2 & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ (b^x+b^{-x})^2 - (b^x-b^{-x})^2 & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ (c^x+c^{-x})^2 - (c^x-c^{-x})^2 & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$
$D = \left|\begin{array}{lll} 4(a^x)(a^{-x}) & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ 4(b^x)(b^{-x}) & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ 4(c^x)(c^{-x}) & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll} 4 & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$
અહીં બે સ્તંભો ($C_1$ અને $C_3$) પ્રમાણસર હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $D = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે $D = 2y + 6$,તેથી $0 = 2y + 6$.
$2y = -6 \implies y = -3$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+y+z & x+y+z & x+y+z \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
હવે,પ્રથમ હાર $R_1$ માંથી $(x+y+z)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (x+y+z) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
અહીં હાર $R_1$ અને હાર $R_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z^2 & x^2+y+z & x+y^2+z \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ x+y & y+z & x+z \end{vmatrix}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે હારની પ્રક્રિયાઓ કરીએ છીએ.
$R_1 \to R_1 - R_2 - R_3$ લાગુ કરતા:
પ્રથમ હાર નીચે મુજબ બને છે:
$(x+y+z^2) - z^2 - (x+y) = 0$
$(x^2+y+z) - x^2 - (y+z) = 0$
$(x+y^2+z) - y^2 - (x+z) = 0$
કારણ કે પ્રથમ હારના તમામ ઘટકો $0$ છે,તેથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\Delta = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+a \\ x+4 & x+5 & x+b \\ x+6 & x+7 & x+c\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2}$ અને $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{3}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-2 & -2 & a-b \\ -2 & -2 & b-c \\ x+6 & x+7 & x+c\end{array}\right|$.
કારણ કે $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $b-a = c-b$,જેનો અર્થ છે કે $a-b = b-c$.
આમ,પ્રથમ બે હાર $R_{1}$ અને $R_{2}$ સમાન છે.
બે હાર સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $n=3$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે.
આપણને $|A|=5$ અને $|B|=3$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|AB| = |A| \cdot |B| = 5 \times 3 = 15$.
ગુણધર્મ $|kA| = k^n |A|$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $k$ એ અદિશ છે અને $n$ એ ચોરસ શ્રેણિકની કક્ષા છે,આપણને મળે છે:
$|3AB| = 3^3 |AB|$.
અહીં $n=3$ હોવાથી,$3^3 = 27$.
તેથી,$|3AB| = 27 \times 15 = 405$.

(C) આપેલ છે કે,$\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|$ અને $\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b c & c a & a b \\ a & b & c\end{array}\right|$.
પ્રથમ,આપણે $\Delta$ ની કિંમત મેળવીએ:
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)$.
હવે,$\Delta_1$ માટે,નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b c & c a & a b \\ a & b & c\end{array}\right|$.
આ નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપતા આપણને મળે છે કે $\Delta_1 = -(a-b)(b-c)(c-a)$.
તેથી,$\Delta_1 = -\Delta$.

(D) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ છે.
નિત્યસમ $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $(n^x + n^{-x})^2 - (n^x - n^{-x})^2$ સ્વરૂપના કોઈપણ પદ માટે,પરિણામ $4(n^x)(n^{-x}) = 4(n^0) = 4$ મળે છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ લાગુ પાડતા,પ્રથમ સ્તંભ આ મુજબ બને છે:
$C_1 = \begin{bmatrix} (5^x + 5^{-x})^2 - (5^x - 5^{-x})^2 \\ (6^x + 6^{-x})^2 - (6^x - 6^{-x})^2 \\ (7^x + 7^{-x})^2 - (7^x - 7^{-x})^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}$.
હવે નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc} 4 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$ છે.
પ્રથમ સ્તંભમાં સમાન ઘટકો $(4)$ હોવાથી,આપણે નિશ્ચાયકમાંથી $4$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$4 \left|\begin{array}{ccc} 1 & (5^x - 5^{-x})^2 & 1 \\ 1 & (6^x - 6^{-x})^2 & 1 \\ 1 & (7^x - 7^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$.
સ્તંભ $1$ અને સ્તંભ $3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $4 \times 0 = 0$ થાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \times n$ ક્રમના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ $|kA| = k^n|A|$ છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $n = 3$ છે અને અદિશ અચળાંક $k = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|5A| = 5^3 |A|$
$|5A| = 125|A|$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \times n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ $|kA| = k^n |A|$ છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $3 \times 3$ છે,તેથી $n = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $|3A| = 3^3 |A|$ મળે છે.
ઘાતની ગણતરી કરતા,$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ થાય.
તેથી,$|3A| = 27|A|$ થાય.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 2x & \log 2y & \log 2z \\ \log 3x & \log 3y & \log 3z \end{vmatrix}$ છે.
ગુણધર્મ $\log(ab) = \log a + \log b$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે હારને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ કરવાથી દરેક ઘટક માટે $\log 2x - \log x = \log 2$ મળે છે.
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ કરવાથી દરેક ઘટક માટે $\log 3x - \log x = \log 3$ મળે છે.
આમ,નિશ્ચાયક આ મુજબ બને છે:
$D = \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 2 & \log 2 & \log 2 \\ \log 3 & \log 3 & \log 3 \end{vmatrix}$.
$R_2$ માંથી $\log 2$ અને $R_3$ માંથી $\log 3$ સામાન્ય લેતા:
$D = (\log 2)(\log 3) \begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
અહીં $R_2$ અને $R_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin (\gamma+\delta)\end{array}\right|$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભનું વિસ્તરણ કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \delta + \cos \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \delta + \cos \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \cos \delta + \cos \gamma \sin \delta\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,આપણે તેને બે નિશ્ચાયકોના સરવાળા તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \cos \delta\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \sin \delta\end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકના ત્રીજા સ્તંભમાંથી $\cos \delta$ અને બીજા નિશ્ચાયકના ત્રીજા સ્તંભમાંથી $\sin \delta$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \cos \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma\end{array}\right| + \sin \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma\end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,સ્તંભ $1$ અને સ્તંભ $3$ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,સ્તંભ $2$ અને સ્તંભ $3$ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
તેથી,$\Delta = \cos \delta (0) + \sin \delta (0) = 0$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{2}$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta+1+\cos ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
કારણ કે $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$,તેથી આ સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 2 & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 1 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
હવે હાર પ્રક્રિયા $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow 2 R_{3}-R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-2\end{array}\right|=0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$2 \times [1 \times (4 \sin 2 \theta-2) - 0] = 0$
$8 \sin 2 \theta-4=0 \Rightarrow \sin 2 \theta=\frac{1}{2}$
હવે,નિત્યસમ $\cos 4 \theta=1-2 \sin ^{2} 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 4 \theta=1-2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1-2\left(\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $A = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|$ છે.
આપણને $B = \left|\begin{array}{ccc}c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$B$ ની પ્રથમ અને બીજી હારની અદલાબદલી કરતા $B' = -\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$ મળે.
ત્યારબાદ,$B'$ ની બીજી અને ત્રીજી હારની અદલાબદલી કરતા $B'' = -(-1) \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right|$ મળે.
કોઈપણ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક તેના પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) ના નિશ્ચાયક જેટલો જ હોવાથી,$\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| = A$ થાય.
તેથી,$A = B$.

(B) આપેલ છે કે $ \Delta = \begin{vmatrix} Ax & x^2 & 1 \\ By & y^2 & 1 \\ Cz & z^2 & 1 \end{vmatrix} $.
$ R_1, R_2, R_3 $ માંથી અનુક્રમે $ x, y, z $ સામાન્ય લેતા:
$ \Delta = xyz \begin{vmatrix} A & x & \frac{1}{x} \\ B & y & \frac{1}{y} \\ C & z & \frac{1}{z} \end{vmatrix} $.
$ C_3 $ ને $ xyz $ વડે ગુણતા:
$ \Delta = \begin{vmatrix} A & x & yz \\ B & y & zx \\ C & z & xy \end{vmatrix} $.
નિશ્ચાયકનો પરિવર્તિત (transpose) લેતા:
$ \Delta = \begin{vmatrix} A & B & C \\ x & y & z \\ yz & zx & xy \end{vmatrix} = \Delta_1 $.
તેથી,$ \Delta_1 = \Delta $.

(D) વિધાન $(a)$ એ નિશ્ચાયકનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે: જો બે હાર અથવા સ્તંભ સમાન હોય,તો નિશ્ચાયક $0$ થાય છે.
વિધાન $(b)$ એ ગુણધર્મનો ઉલ્લેખ કરે છે કે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક તેના પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ ના નિશ્ચાયક જેટલો હોય છે,એટલે કે $|A| = |A^T|$. તેથી,હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરવાથી મૂલ્ય બદલાતું નથી.
વિધાન $(c)$ એ ગુણધર્મ છે જે જણાવે છે કે કોઈપણ બે હાર અથવા સ્તંભોની અદલાબદલી કરવાથી નિશ્ચાયકને $-1$ વડે ગુણવામાં આવે છે,આમ તેનું ચિહ્ન બદલાય છે.
તેથી,તમામ વિધાનો $(a)$,$(b)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે,શ્રેણિક $A$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n \times n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક માટે,નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ $|KA| = K^{n}|A|$ છે.
અહીં,શ્રેણિકની કક્ષા $n = 3$ છે.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા,આપણને $|KA| = K^{3}|A|$ મળે છે.