Properties of determinants Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $A$ એક એવો ચોરસ શ્રેણિક છે કે જેથી $AA^T = I$ થાય,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|AA^T| = |I|$ મળે છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A||A^T| = |I|$ મળે છે.
શ્રેણિક અને તેના પરિવર્તિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક સમાન હોવાથી,$|A| = |A^T|$ થાય.
તેથી,$|A||A| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|A|^2 = 1$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|A| = \pm 1$ મળે છે.

(D) નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ જણાવે છે કે જો કોઈ સ્તંભ (અથવા હાર) નો દરેક ઘટક $k$ પદોનો સરવાળો હોય,તો નિશ્ચાયકને $k$ નિશ્ચાયકોના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$3 \times 3$ નિશ્ચાયક આપેલ છે:
સ્તંભ $1$ માં $2$ પદો છે,તેથી તેને $2$ નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
સ્તંભ $2$ માં $3$ પદો છે,તેથી તે $2$ નિશ્ચાયકોમાંથી દરેકને $3$ નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે,જેના પરિણામે $2 \times 3 = 6$ નિશ્ચાયકો મળે છે.
સ્તંભ $3$ માં $4$ પદો છે,તેથી તે $6$ નિશ્ચાયકોમાંથી દરેકને $4$ નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે,જેના પરિણામે $6 \times 4 = 24$ નિશ્ચાયકો મળે છે.
તેથી,નિશ્ચાયકોની કુલ સંખ્યા $n = 2 \times 3 \times 4 = 24$ છે.

(A) આપેલ છે કે $F(x) = \left| \begin{matrix} {f_1}(x) & {f_2}(x) & {f_3}(x) \\ {g_1}(x) & {g_2}(x) & {g_3}(x) \\ {h_1}(x) & {h_2}(x) & {h_3}(x) \end{matrix} \right|$.
$x = a$ આગળ,નિશ્ચાયક નીચે મુજબ બને છે:
$F(a) = \left| \begin{matrix} {f_1}(a) & {f_2}(a) & {f_3}(a) \\ {g_1}(a) & {g_2}(a) & {g_3}(a) \\ {h_1}(a) & {h_2}(a) & {h_3}(a) \end{matrix} \right|$.
આપેલ છે કે ${f_n}(a) = {g_n}(a) = {h_n}(a)$ જ્યાં $n = 1, 2, 3$,ધારો કે $k_n = {f_n}(a) = {g_n}(a) = {h_n}(a)$.
તેથી નિશ્ચાયક નીચે મુજબ બને છે:
$F(a) = \left| \begin{matrix} k_1 & k_2 & k_3 \\ k_1 & k_2 & k_3 \\ k_1 & k_2 & k_3 \end{matrix} \right|$.
અહીં ત્રણેય હાર સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $D_1 + D_2 = 0$ છે.
પ્રથમ,આપણે જોઈએ છીએ કે બીજા નિશ્ચાયક $D_2$ ને તેનું મૂલ્ય બદલ્યા વિના ટ્રાન્સપોઝ કરી શકાય છે.
$D_2 = \left| \begin{array}{ccc} a+1 & a-1 & (-1)^{n+2}a \\ b+1 & b-1 & (-1)^{n+1}b \\ c-1 & c+1 & (-1)^n c \end{array} \right|$.
બંને નિશ્ચાયકોનો સરવાળો કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $a, b, c$ ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સરવાળો શૂન્ય થવા માટે સ્તંભો એકબીજાને રદ કરવા જોઈએ.
ચોક્કસપણે,જો $n$ એ એકી પૂર્ણાંક હોય,તો $(-1)^{n+2} = -1$,$(-1)^{n+1} = 1$,અને $(-1)^n = -1$ થાય.
આ કિંમતો નિશ્ચાયકોના સરવાળામાં મૂકતા,પદો શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,$n$ એ કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.

(A) વિધાન-$1$ માટે: વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે $A^T = -A$ થાય છે. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$\det(A^T) = \det(-A)$ મળે. $n$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે $\det(A^T) = \det(A)$ અને $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ હોવાથી,$\det(A) = (-1)^n \det(A)$ મળે. $n=3$ માટે,$\det(A) = -\det(A)$,જેનો અર્થ છે કે $2 \det(A) = 0$,તેથી $\det(A) = 0$. આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે: ગુણધર્મ $\det(A^T) = \det(A)$ હંમેશા સાચો છે. $n$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ ગુણધર્મ પણ સાચો છે. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ને સાબિત કરવા માટે વપરાતા ગાણિતિક ગુણધર્મો પૂરા પાડે છે,તેથી તે વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{matrix} x - 4 & 2x & 2x \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right|$.
પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 5x - 4 & 5x - 4 & 5x - 4 \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right| = (5x - 4) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (5x - 4) \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2x & -x - 4 & 0 \\ 2x & 0 & -x - 4 \end{matrix} \right| = (5x - 4)(-x - 4)^2 = (5x - 4)(x + 4)^2$.
આને $(A + Bx)(x - A)^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે $(A + Bx)(x - A)^2 = (5x - 4)(x - (-4))^2$.
આમ,$A = -4$ અને $B = 5$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(A, B) = (-4, 5)$ છે.

(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta$ છે. સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_3$ લાગુ કરો.
$\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2\cos A \cos B$ અને $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2\sin A \cos B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$C_1 = \begin{bmatrix} 1+a^2 \\ 2\cos px \cos dx \\ 2\sin px \cos dx \end{bmatrix}$.
હવે,$C_1 \to C_1 - 2\cos dx \cdot C_2$ લાગુ કરો:
$C_1 = \begin{bmatrix} 1+a^2 - 2a\cos dx \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (1+a^2 - 2a\cos dx) \cdot [\cos px \sin(p+d)x - \sin px \cos(p+d)x]$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = (1+a^2 - 2a\cos dx) \cdot \sin((p+d)x - px) = (1+a^2 - 2a\cos dx) \sin dx$.
અંતિમ પદ $(1+a^2 - 2a\cos dx) \sin dx$ માં $p$ આવતો નથી,તેથી નિશ્ચાયક $p$ પર આધારિત નથી.

(A) આપણને નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \omega^n & \omega^{2n} \\ \omega^n & \omega^{2n} & 1 \\ \omega^{2n} & 1 & \omega^n \end{vmatrix}$ આપેલ છે.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(\omega^n \cdot \omega^n - 1 \cdot 1) - \omega^n(\omega^n \cdot \omega^n - \omega^{2n} \cdot 1) + \omega^{2n}(\omega^n \cdot 1 - \omega^{2n} \cdot \omega^{2n})$
$\Delta = 1(\omega^{2n} - 1) - \omega^n(\omega^{2n} - \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^{4n})$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{3n} = 1$ અને $\omega^{4n} = \omega^n$ થાય.
$\Delta = (\omega^{2n} - 1) - 0 + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^n)$
$\Delta = \omega^{2n} - 1 + 0 = \omega^{2n} - 1$.
જો આપણે સ્તંભોનો સરવાળો $C_1 + C_2 + C_3$ કરીએ તો:
$1 + \omega^n + \omega^{2n}$ મળે.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય,તો $1 + \omega^n + \omega^{2n} = 0$ થાય,તેથી નિશ્ચાયક $0$ બને છે.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,તો $\omega^n = 1$ થાય,તેથી નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ બને છે.
આમ,દરેક કિસ્સામાં $\Delta = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G.P.$ માં છે.
તેથી,${a_{n+1}} = {a_n} \cdot r$,જેનો અર્થ છે કે $\log {a_{n+1}} = \log {a_n} + \log r$.
તે જ રીતે,$\log {a_{n+k}} = \log {a_n} + k \log r$.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} & \log {a_{n+2}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} & \log {a_{n+5}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} & \log {a_{n+8}} \end{array} \right|$ છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ ${C_2} \to {C_2} - {C_1}$ અને ${C_3} \to {C_3} - {C_2}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} - \log {a_n} & \log {a_{n+2}} - \log {a_{n+1}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} - \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+5}} - \log {a_{n+4}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} - \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+8}} - \log {a_{n+7}} \end{array} \right|$.
કોઈપણ $k$ માટે $\log {a_{n+k}} - \log {a_{n+k-1}} = \log r$ હોવાથી,નિશ્ચાયક નીચે મુજબ બને છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+3}} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+6}} & \log r & \log r \end{array} \right|$.
અહીં સ્તંભ $2$ અને સ્તંભ $3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{array} \right| = 0$.
$R_1$ ને $a$ વડે,$R_2$ ને $b$ વડે,અને $R_3$ ને $c$ વડે ભાગતા: $abc \left| \begin{array}{ccc} \frac{1}{a}+1 & \frac{1}{a} & \frac{1}{a} \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array} \right| = 0$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા: $abc \left| \begin{array}{ccc} 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array} \right| = 0$.
$R_1$ માંથી $(1 + a^{-1} + b^{-1} + c^{-1})$ સામાન્ય લેતા: $abc(1 + a^{-1} + b^{-1} + c^{-1}) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1 \end{array} \right| = 0$.
$a, b, c \neq 0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનો ભાગ $1$ થાય છે,તેથી $1 + a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = 0$.
તેથી,$a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} = -1$.

(A) આપેલ છે $D = \begin{vmatrix} a^2 + 1 & ab & ac \\ ba & b^2 + 1 & bc \\ ca & cb & c^2 + 1 \end{vmatrix}$.
$R_1$ ને $a$ વડે,$R_2$ ને $b$ વડે અને $R_3$ ને $c$ વડે ગુણતા અને નિશ્ચાયકને $abc$ વડે ભાગતા:
$D = \frac{1}{abc} \begin{vmatrix} a(a^2 + 1) & a^2b & a^2c \\ ab^2 & b(b^2 + 1) & b^2c \\ ac^2 & bc^2 & c(c^2 + 1) \end{vmatrix}$.
અનુક્રમે $C_1, C_2, C_3$ માંથી $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$D = \frac{abc}{abc} \begin{vmatrix} a^2 + 1 & a^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 + 1 & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a^2 + 1 & a^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 + 1 & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + 1 \end{vmatrix}$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$D = \begin{vmatrix} a^2 + b^2 + c^2 + 1 & a^2 & a^2 \\ a^2 + b^2 + c^2 + 1 & b^2 + 1 & b^2 \\ a^2 + b^2 + c^2 + 1 & c^2 & c^2 + 1 \end{vmatrix} = (1 + a^2 + b^2 + c^2) \begin{vmatrix} 1 & a^2 & a^2 \\ 1 & b^2 + 1 & b^2 \\ 1 & c^2 & c^2 + 1 \end{vmatrix}$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$D = (1 + a^2 + b^2 + c^2) \begin{vmatrix} 1 & a^2 & a^2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 + a^2 + b^2 + c^2)(1 - 0) = 1 + a^2 + b^2 + c^2$.

(D) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ લાગુ પાડતા,પ્રથમ સ્તંભ નીચે મુજબ બને છે:
$(a^x + a^{-x})^2 - (a^x - a^{-x})^2 = 4(a^x)(a^{-x}) = 4(a^0) = 4$.
તે જ રીતે,બીજી અને ત્રીજી હાર માટે,પ્રથમ સ્તંભના ઘટકો $4$ બને છે.
હવે નિશ્ચાયક આ મુજબ થશે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 4 & (a^x - a^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (b^y - b^{-y})^2 & 1 \\ 4 & (c^z - c^{-z})^2 & 1 \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $4$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = 4 \left| \begin{array}{ccc} 1 & (a^x - a^{-x})^2 & 1 \\ 1 & (b^y - b^{-y})^2 & 1 \\ 1 & (c^z - c^{-z})^2 & 1 \end{array} \right|$.
અહીં પ્રથમ સ્તંભ અને ત્રીજો સ્તંભ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1} + {c_1}}&{{c_1} + {a_1}}&{{a_1} + {b_1}}\\{{b_2} + {c_2}}&{{c_2} + {a_2}}&{{a_2} + {b_2}}\\{{b_3} + {c_3}}&{{c_3} + {a_3}}&{{a_3} + {b_3}}\end{array}} \right|$.
પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2(a_1+b_1+c_1)}&{{c_1} + {a_1}}&{{a_1} + {b_1}}\\{2(a_2+b_2+c_2)}&{{c_2} + {a_2}}&{{a_2} + {b_2}}\\{2(a_3+b_3+c_3)}&{{c_3} + {a_3}}&{{a_3} + {b_3}}\end{array}} \right|$.
$C_1$ માંથી $2$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1} + {b_1} + {c_1}}&{{c_1} + {a_1}}&{{a_1} + {b_1}}\\{{a_2} + {b_2} + {c_2}}&{{c_2} + {a_2}}&{{a_2} + {b_2}}\\{{a_3} + {b_3} + {c_3}}&{{c_3} + {a_3}}&{{a_3} + {b_3}}\end{array}} \right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = 2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1} + {a_1}}&{{a_1} + {b_1}}\\{{b_2}}&{{c_2} + {a_2}}&{{a_2} + {b_2}}\\{{b_3}}&{{c_3} + {a_3}}&{{a_3} + {b_3}}\end{array}} \right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = 2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}&{{a_1} + {b_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}&{{a_2} + {b_2}}\\{{b_3}}&{{c_3}}&{{a_3} + {b_3}}\end{array}} \right|$.
$C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = 2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}&{{a_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}&{{a_2}}\\{{b_3}}&{{c_3}}&{{a_3}}\end{array}} \right|$.
$C_1$ અને $C_2$ ની અદલાબદલી કરતા,ત્યારબાદ $C_2$ અને $C_3$ ની અદલાબદલી કરતા (બે વાર અદલાબદલી,તેથી ચિહ્ન ધન રહેશે):
$\Delta = 2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}} \right|$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a + x}&{a + y}&{a + z}\\{b + x}&{1 + b + y}&{b + z}\\{c + x}&{c + y}&{1 + c + z}\end{array}} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a + b + c + x + y + z}&{a + y}&{a + z}\\{1 + a + b + c + x + y + z}&{1 + b + y}&{b + z}\\{1 + a + b + c + x + y + z}&{c + y}&{1 + c + z}\end{array}} \right|$.
ધારો કે $S = 1 + a + b + c + x + y + z$. તેથી $\Delta = S \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{a + y}&{a + z}\\1&{1 + b + y}&{b + z}\\1&{c + y}&{1 + c + z}\end{array}} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = S \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{a + y}&{a + z}\\0&{1 + b - a}&{b - a}\\0&{c - a}&{1 + c - a}\end{array}} \right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = S \times [1 \times ((1 + b - a)(1 + c - a) - (b - a)(c - a))]$.
$\Delta = S \times [1 + c - a + b + bc - ab - a - ac + a^2 - (bc - ab - ac + a^2)]$.
$\Delta = S \times [1 + c - a + b - c + a] = S \times 1 = 1 + a + b + c + x + y + z$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 - 1 \\ b & b^3 & b^4 - 1 \\ c & c^3 & c^4 - 1 \end{array} \right| = 0$ છે.
આપણે તેને બે નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 \\ b & b^3 & b^4 \\ c & c^3 & c^4 \end{array} \right| - \left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & 1 \\ b & b^3 & 1 \\ c & c^3 & 1 \end{array} \right| = 0$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આ પદાવલિનું સાદું રૂપ $\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)(abc(a+b+c) - (ab+bc+ca)) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $a, b, c$ ભિન્ન છે,તેથી $(a-b)(b-c)(c-a) \neq 0$.
આમ,$abc(a+b+c) - (ab+bc+ca) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $abc(a+b+c) = ab+bc+ca$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \omega^3 & \omega^2 \\ \omega^3 & 1 & \omega \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{array} \right|$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega$ એ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ હોવાથી $\omega^3 = 1$ થાય.
નિશ્ચાયકમાં $\omega^3 = 1$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & \omega^2 \\ 1 & 1 & \omega \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{array} \right|$.
અહીં જોઈ શકાય છે કે પ્રથમ બે સ્તંભ સમાન છે $(C_1 = C_2)$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,જો કોઈપણ બે સ્તંભ કે હાર સમાન હોય,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,$\Delta = 0$.

(B) નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,જો કોઈ સ્તંભ (અથવા હાર) નો દરેક ઘટક $n$ પદોનો સરવાળો હોય,તો નિશ્ચાયકને $n$ નિશ્ચાયકોના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ નિશ્ચાયકમાં,દરેક સ્તંભ $2$ પદોનો સરવાળો છે.
સ્તંભ $1$ માં $2$ પદો છે $(a+p, b+q, c+r)$.
સ્તંભ $2$ માં $2$ પદો છે $(1+x, m+y, n+z)$.
સ્તંભ $3$ માં $2$ પદો છે $(u+f, v+g, w+h)$.
અહીં $3$ સ્તંભો છે અને દરેક સ્તંભમાં $2$ પદો હોવાથી,બનતા નિશ્ચાયકોની કુલ સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ થશે.
તેથી,$K = 8$.

(A) $D_1$ માટે,સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \rightarrow C_3 - (C_1 + C_2)$ લાગુ કરો:
$D_1 = \begin{vmatrix} a & b & a+b-(a+b) \\ c & d & c+d-(c+d) \\ a & b & a-b-(a+b) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ a & b & -2b \end{vmatrix}$.
$C_3$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા,આપણને $D_1 = -2b(ad - bc)$ મળે છે.
$D_2$ માટે,સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \rightarrow C_3 - (C_1 + C_2)$ લાગુ કરો:
$D_2 = \begin{vmatrix} a & c & a+c-(a+c) \\ b & d & b+d-(b+d) \\ a & c & a+b+c-(a+c) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c & 0 \\ b & d & 0 \\ a & c & b \end{vmatrix}$.
$C_3$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા,આપણને $D_2 = b(ad - bc)$ મળે છે.
તેથી,$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-2b(ad - bc)}{b(ad - bc)} = -2$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right|$.
$R_1$ માંથી $1/c$,$R_2$ માંથી $1/a$ અને $R_3$ માંથી $1/b$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2 & c^2 & c^2 \\ a^2 & b^2+c^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 & c^2+a^2 \end{array} \right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 - (R_2 + R_3)$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} 0 & -2b^2 & -2a^2 \\ a^2 & b^2+c^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 & c^2+a^2 \end{array} \right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 + \frac{1}{2}R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 + \frac{1}{2}R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} 0 & -2b^2 & -2a^2 \\ a^2 & c^2 & 0 \\ b^2 & 0 & c^2 \end{array} \right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} [0 - (-2b^2)(a^2c^2 - 0) + (-2a^2)(0 - b^2c^2)]$
$\Delta = \frac{1}{abc} [2a^2b^2c^2 + 2a^2b^2c^2] = \frac{4a^2b^2c^2}{abc} = 4abc$.
આપેલ છે કે $\Delta = \alpha abc$,તેથી $\alpha = 4$.

(B) આપેલ છે કે $|A| = 2$,$|B| = 3$,અને $|C| = 5$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $|A^k| = |A|^k$,$|AB| = |A||B|$,અને $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$.
તેથી,$\det(A^2BC^{-1}) = |A^2| \cdot |B| \cdot |C^{-1}|$.
આનું સાદું રૂપ $|A|^2 \cdot |B| \cdot \frac{1}{|C|}$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(2)^2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{5} = 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{12}{5}$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a+b & a+2b \\ a+2b & a & a+b \\ a+b & a+2b & a \end{array} \right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 3a+3b & a+b & a+2b \\ 3a+3b & a & a+b \\ 3a+3b & a+2b & a \end{array} \right| = 3(a+b) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a+b & a+2b \\ 1 & a & a+b \\ 1 & a+2b & a \end{array} \right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = 3(a+b) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a+b & a+2b \\ 0 & -b & -b \\ 0 & b & -2b \end{array} \right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 3(a+b) [1((-b)(-2b) - (-b)(b))] = 3(a+b) [2b^2 + b^2] = 3(a+b)(3b^2) = 9b^2(a+b)$.

(B) નિશ્ચાયક $A$ શોધવા માટે,આપણે ઓબ્જેક્ટિવ અભિગમ માટે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે $y = 0$ અને $z = 0$.
તો શ્રેણિક $A$ આ મુજબ બને છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 + x^2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - x^2 & 2x \\ 0 & -2x & 1 - x^2 \end{bmatrix}$.
આ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\det(A) = (1 + x^2) \cdot [(1 - x^2)^2 - (-2x)(2x)] = (1 + x^2) \cdot [1 - 2x^2 + x^4 + 4x^2] = (1 + x^2)(1 + 2x^2 + x^4) = (1 + x^2)(1 + x^2)^2 = (1 + x^2)^3$.
$y=0, z=0$ મૂકીને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
$A: (1 + 0 + 0 + 0)^3 = 1$
$B: (1 + x^2 + 0 + 0)^3 = (1 + x^2)^3$
$C: (0 + 0 + 0)^3 = 0$
$D: (1 + x^3 + 0 + 0)^2 = (1 + x^3)^2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે ${I_1} = \int_1^{\sin \theta } {\frac{x}{{1 + x^2}}} dx$ અને ${I_2} = \int_1^{\csc \theta } {\frac{1}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}} dx$.
${I_2}$ માટે,$x = \frac{1}{t}$ આદેશ લેતા,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ મળે.
જ્યારે $x=1, t=1$ અને જ્યારે $x=\csc \theta, t=\sin \theta$.
${I_2} = \int_1^{\sin \theta } {\frac{{ - \frac{1}{t^2} dt}}{{\frac{1}{t}\left( {\frac{1}{t^2} + 1} \right)}}} = \int_1^{\sin \theta } {\frac{{ - \frac{1}{t^2} dt}}{{\frac{1}{t}\left( {\frac{{1 + t^2}}{{t^2}}} \right)}}} = \int_1^{\sin \theta } {\frac{{ - t dt}}{{1 + t^2}}} = - \int_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + t^2}}} dt = -{I_1}$.
આમ,${I_1} + {I_2} = 0$.
હવે,નિશ્ચાયક $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{I_1^2}&{{I_2}} \\ {{e^{{I_1} + {I_2}}}}&{I_2^2}&{ - 1} \\ 1&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right|$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે ${I_1} + {I_2} = 0$,તેથી $e^{{I_1} + {I_2}} = e^0 = 1$.
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{I_1^2}&{{I_2}} \\ 1&{I_2^2}&{ - 1} \\ 1&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right|$.
પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1} + {I_2}}&{I_1^2}&{{I_2}} \\ {1 - 1}&{I_2^2}&{ - 1} \\ {1 - 1}&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{I_1^2}&{{I_2}} \\ 0&{I_2^2}&{ - 1} \\ 0&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે નિશ્ચાયક $D'$ ને નિશ્ચાયકોના સરવાળા તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
$D' = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} pb_1 & qc_1 & ra_1 \\ pb_2 & qc_2 & ra_2 \\ pb_3 & qc_3 & ra_3 \end{vmatrix}$
$D' = D + pqr \begin{vmatrix} b_1 & c_1 & a_1 \\ b_2 & c_2 & a_2 \\ b_3 & c_3 & a_3 \end{vmatrix}$
સ્તંભોને બે વાર અદલાબદલી કરીને મૂળ ક્રમ $(b, c, a \to a, b, c)$ પુનઃસ્થાપિત કરતા,આપણને મળે છે:
$\begin{vmatrix} b_1 & c_1 & a_1 \\ b_2 & c_2 & a_2 \\ b_3 & c_3 & a_3 \end{vmatrix} = (-1)^2 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = D$
તેથી,$D' = D + pqrD = (1 + pqr)D$.

(A) ધારો કે $\Delta_2 = \begin{vmatrix} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયક $\Delta_1$ એ $\Delta_2$ ના સહઅવયવ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,જો $\Delta_1$ એ $\Delta_2$ ના સહઅવયવ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હોય,તો $\Delta_1 = (\Delta_2)^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,શ્રેણિકનો ક્રમ $n = 3$ છે,તેથી $\Delta_1 = (\Delta_2)^{3-1} = \Delta_2^2$.
તેથી,$\Delta_1 \Delta_2 = \Delta_2^2 \cdot \Delta_2 = \Delta_2^3$.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ છે. આપણે ત્રીજી હારમાં નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને તેને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}{a-b} & {b-c} & {c-a} \\ {b-c} & {c-a} & {a-b} \\ {c-a} & {a-b} & {b-c}\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}{0} & {b-c} & {c-a} \\ {0} & {c-a} & {a-b} \\ {1} & {a-b} & {b-c}\end{array}\right| = 0$
પ્રથમ નિશ્ચાયક $0$ છે કારણ કે તેની સ્તંભોનો સરવાળો $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયક માટે,પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$1 \cdot ((b-c)(a-b) - (c-a)(c-a)) = 0$
$(b-c)(a-b) - (c-a)^2 = 0$
$ab - b^2 - ac + bc - (c^2 + a^2 - 2ac) = 0$
$ab - b^2 - ac + bc - c^2 - a^2 + 2ac = 0$
$ab + bc + ac - a^2 - b^2 - c^2 = 0$
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$
કારણ કે $a, b, c \in R$,આ સૂચવે છે કે $a-b=0, b-c=0, c-a=0$,જેનો અર્થ છે કે $a=b=c$.

(D) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha & \sin(\alpha + \gamma) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin(\beta + \gamma) \\ \sin \delta & \cos \delta & \sin(\delta + \gamma) \end{matrix} \right|$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભનું વિસ્તરણ કરી શકીએ છીએ:
$\sin(\alpha + \gamma) = \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma$
$\sin(\beta + \gamma) = \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma$
$\sin(\delta + \gamma) = \sin \delta \cos \gamma + \cos \delta \sin \gamma$
હવે,નિશ્ચાયક આ મુજબ થશે:
$\Delta = \left| \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma \\ \sin \delta & \cos \delta & \sin \delta \cos \gamma + \cos \delta \sin \gamma \end{matrix} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \rightarrow C_3 - (\cos \gamma) C_1 - (\sin \gamma) C_2$ લાગુ કરો:
ત્રીજા સ્તંભનો દરેક ઘટક $(\sin \theta \cos \gamma + \cos \theta \sin \gamma) - (\cos \gamma)(\sin \theta) - (\sin \gamma)(\cos \theta) = 0$ થશે.
કારણ કે ત્રીજા સ્તંભના તમામ ઘટકો $0$ છે,તેથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\Delta = 0$ છે.

(D) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ 2 & \sin x + 2x & \sin y + 2y \\ 3 & \cos x + 3x & \cos y + 3y \end{array} \right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2} - 2R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3} - 3R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ 2 - 2(1) & (\sin x + 2x) - 2x & (\sin y + 2y) - 2y \\ 3 - 3(1) & (\cos x + 3x) - 3x & (\cos y + 3y) - 3y \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ 0 & \sin x & \sin y \\ 0 & \cos x & \cos y \end{array} \right|$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \cdot (\sin x \cos y - \cos x \sin y)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \sin(x - y)$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{bmatrix}$. આપણને આપેલ છે કે $|A| = 5$.
બીજો નિશ્ચાયક $D = \left| \begin{matrix} bc(c-b) & ac(a-c) & ab(b-a) \\ (b-c)(b+c) & (c-a)(c+a) & (a-b)(a+b) \\ -(b-c) & -(c-a) & -(a-b) \end{matrix} \right|$ છે.
આ નિશ્ચાયક મૂળ નિશ્ચાયક $|A|$ ના વર્ગ જેટલો થાય છે.
તેથી,$D = |A|^2 = 5^2 = 25$.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{(b + c)}^2} & {{a^2}} & {{a^2}} \\ {{b^2}} & {{(a + c)}^2} & {{b^2}} \\ {{c^2}} & {{c^2}} & {{(a + b)}^2} \end{array}} \right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 - C_3$ અને $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{(b + c)}^2 - a^2} & 0 & {{a^2}} \\ 0 & {{(a + c)}^2 - b^2} & {{b^2}} \\ {{c^2 - (a + b)^2}} & {{c^2 - (a + b)^2}} & {{(a + b)}^2} \end{array}} \right|$
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {(b+c-a)(b+c+a)} & 0 & {{a^2}} \\ 0 & {(a+c-b)(a+c+b)} & {{b^2}} \\ {(c-a-b)(c+a+b)} & {(c-a-b)(c+a+b)} & {{(a + b)}^2} \end{array}} \right|$
$C_1$ અને $C_2$ માંથી $(a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a+b+c)^2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {b+c-a} & 0 & {{a^2}} \\ 0 & {a+c-b} & {{b^2}} \\ {-(c-a-b)} & {-(c-a-b)} & {{(a + b)}^2} \end{array}} \right|$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\Delta = 2abc(a+b+c)^3$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $2^{a_1}, 2^{a_2}, 2^{a_3}, \dots$ એ $G.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઘાતાંકો $a_1, a_2, a_3, \dots$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તો $a_k = a_1 + (k-1)d$.
નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_{n+1} & a_{n+2} & a_{n+3} \\ a_{2n+1} & a_{2n+2} & a_{2n+3} \end{array} \right|$ માં,નોંધો કે સ્તંભો $A.P.$ માં છે.
ખાસ કરીને,$a_2 - a_1 = d$,$a_{n+2} - a_{n+1} = d$,અને $a_{2n+2} - a_{2n+1} = d$.
તે જ રીતે,$a_3 - a_2 = d$,$a_{n+3} - a_{n+2} = d$,અને $a_{2n+3} - a_{2n+2} = d$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા,આપણને સમાન તફાવત વાળા સ્તંભો મળે છે.
કારણ કે હાર પણ $A.P.$ માં છે,હાર $R_1, R_2, R_3$ એ $R_1 + R_3 = 2R_2$ નું પાલન કરે છે.
આમ,$R_2 = \frac{R_1 + R_3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે હાર રેખીય રીતે આધારિત છે.
તેથી,નિશ્ચાયક $\Delta = 0$.

(A) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યાઓ $N_1 = 100A_1 + 10B_1 + C_1 = pk$,$N_2 = 100A_2 + 10B_2 + C_2 = qk$,અને $N_3 = 100A_3 + 10B_3 + C_3 = rk$ છે,જ્યાં $p, q, r$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \rightarrow 100C_1 + 10C_2 + C_3$ કરવાને બદલે,આપણે $C_3 \rightarrow 100C_1 + 10C_2 + C_3$ ને બદલે $C_3 \rightarrow 100A_i + 10B_i + C_i$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & 100A_1 + 10B_1 + C_1 \\ A_2 & B_2 & 100A_2 + 10B_2 + C_2 \\ A_3 & B_3 & 100A_3 + 10B_3 + C_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & pk \\ A_2 & B_2 & qk \\ A_3 & B_3 & rk \end{vmatrix}$.
ત્રીજા સ્તંભમાંથી $k$ સામાન્ય લેતા,$\Delta = k \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & p \\ A_2 & B_2 & q \\ A_3 & B_3 & r \end{vmatrix}$ મળે છે.
આમ,નિશ્ચાયક એ $k$ અને કોઈ પૂર્ણાંકનો ગુણાકાર છે,તેથી $\Delta$ એ $k$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $D = \left| \begin{matrix} 0 & x - y & x - z \\ y - x & 0 & y - z \\ z - x & z - y & 0 \end{matrix} \right|$ છે.
અહીં નિરીક્ષણ કરો કે આ નિશ્ચાયક $A = [a_{ij}]$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં દરેક $i, j$ માટે $a_{ij} = -a_{ji}$ થાય છે. ખાસ કરીને,$a_{11} = 0, a_{22} = 0, a_{33} = 0$,અને $a_{12} = -(a_{21})$,$a_{13} = -(a_{31})$,$a_{23} = -(a_{32})$ છે.
આ વિસંમિત (skew-symmetric) શ્રેણિકની વ્યાખ્યા છે.
એકી કક્ષાના (odd order) વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.
આ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી (કક્ષા $3$ છે,જે એકી સંખ્યા છે),તેથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) સંચયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 + C_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} ^9C_4 & ^9C_4 + ^9C_5 & ^{10}C_r \\ ^{10}C_6 & ^{10}C_6 + ^{10}C_7 & ^{11}C_{r+2} \\ ^{11}C_8 & ^{11}C_8 + ^{11}C_9 & ^{12}C_{r+4} \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} ^9C_4 & ^{10}C_5 & ^{10}C_r \\ ^{10}C_6 & ^{11}C_7 & ^{11}C_{r+2} \\ ^{11}C_8 & ^{12}C_9 & ^{12}C_{r+4} \end{vmatrix} = 0$
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જો $r=5$ લઈએ,તો ત્રીજો સ્તંભ બીજા સ્તંભ જેવો જ બને છે:
સ્તંભ $3 = \begin{bmatrix} ^{10}C_5 \\ ^{11}C_7 \\ ^{12}C_9 \end{bmatrix}$.
જ્યારે નિશ્ચાયકના બે સ્તંભ સમાન હોય,ત્યારે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,$r = 5$.

(C) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} x + 1 & x + 2 & x + a \\ x + 2 & x + 3 & x + b \\ x + 3 & x + 4 & x + c \end{array} \right|$ છે.
હવે,હાર પ્રક્રિયા $R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2 + R_3$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ હારના ઘટકો:
$R_1(1) = (x + 1) - 2(x + 2) + (x + 3) = x + 1 - 2x - 4 + x + 3 = 0$
$R_1(2) = (x + 2) - 2(x + 3) + (x + 4) = x + 2 - 2x - 6 + x + 4 = 0$
$R_1(3) = (x + a) - 2(x + b) + (x + c) = x + a - 2x - 2b + x + c = a - 2b + c$
આપેલ છે કે $a - 2b + c = 1$,તેથી:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ x + 2 & x + 3 & x + b \\ x + 3 & x + 4 & x + c \end{array} \right|$
પ્રથમ હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \cdot [(x + 2)(x + 4) - (x + 3)^2]$
$\Delta = (x^2 + 6x + 8) - (x^2 + 6x + 9)$
$\Delta = x^2 + 6x + 8 - x^2 - 6x - 9 = -1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ (a + \lambda)^2 & (b + \lambda)^2 & (c + \lambda)^2 \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ (a + \lambda)^2 - (a - \lambda)^2 & (b + \lambda)^2 - (b - \lambda)^2 & (c + \lambda)^2 - (c - \lambda)^2 \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ 4a\lambda & 4b\lambda & 4c\lambda \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_2$ માંથી $4\lambda$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 4\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_3 \to R_3 - R_1 + 2\lambda R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$(a - \lambda)^2 = a^2 + \lambda^2 - 2a\lambda$ હોવાથી,$R_3 - R_1 + 2\lambda R_2 = \lambda^2$ મળે છે:
$\Delta = 4\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ \lambda^2 & \lambda^2 & \lambda^2 \end{array} \right|$.
$R_3$ માંથી $\lambda^2$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 4\lambda^3 \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
આપેલ સમીકરણ $k\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$ સાથે સરખાવતા,$k\lambda = 4\lambda^3$ મળે,તેથી $k = 4\lambda^2$.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -2a & a+b & a+c \\ b+a & -2b & b+c \\ c+a & b+c & -2c \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 + C_3$ અને $C_2 \to C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -a+c & 2a+b+c & a+c \\ 2b+a+c & -b+c & b+c \\ a-c & b-c & -2c \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_3$ અને $R_2 \to R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2(a+b) & a-c \\ 2(a+b) & 0 & b-c \\ a-c & b-c & -2c \end{array} \right|$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 0 - 2(a+b) \left[ -4c(a+b) - (a-c)(b-c) \right] + (a-c) \left[ 2(a+b)(b-c) - 0 \right]$.
$\Delta = 8c(a+b)^2 + 2(a+b)(a-c)(b-c) + 2(a+b)(a-c)(b-c)$.
$\Delta = 8c(a+b)^2 + 4(a+b)(a-c)(b-c)$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ 2c(a+b) + (a-c)(b-c) \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ 2ac + 2bc + ab - ac - bc + c^2 \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ ac + bc + ab + c^2 \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ c(a+c) + b(a+c) \right]$.
$\Delta = 4(a+b)(b+c)(c+a)$.
$\alpha(a+b)(b+c)(c+a)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 4$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{matrix} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
હારની પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{matrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
$R_1$ માંથી $(a + b + c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a + b + c) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
સ્તંભની પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (a + b + c) \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a + b + c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a + b + c) \end{matrix} \right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a + b + c) [1 \cdot (-(a + b + c)) \cdot (-(a + b + c)) - 0] = (a + b + c)^3$.
આપેલ છે કે $\Delta = (a + b + c)(x + a + b + c)^2$,તેથી:
$(a + b + c)^3 = (a + b + c)(x + a + b + c)^2$.
$a + b + c \ne 0$ હોવાથી,$(a + b + c)$ વડે ભાગતા:
$(a + b + c)^2 = (x + a + b + c)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x + a + b + c = \pm(a + b + c)$.
જો $x + a + b + c = a + b + c$ હોય,તો $x = 0$ (જે શક્ય નથી કારણ કે $x \ne 0$).
જો $x + a + b + c = -(a + b + c)$ હોય,તો $x = -2(a + b + c)$.

(B) આપેલ છે કે $\theta \in (0, \frac{\pi}{3})$.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & 1 + \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 1 + 4 \cos 6\theta \end{array} \right| = 0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0$.
સ્તંભની પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 2 & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$2(1 - 0) - 0 + (-1)(0 - 4 \cos 6\theta) = 0$.
$2 + 4 \cos 6\theta = 0$.
$4 \cos 6\theta = -2 \Rightarrow \cos 6\theta = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\theta \in (0, \frac{\pi}{3})$,તેથી $6\theta \in (0, 2\pi)$.
$\cos 6\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow 6\theta = \frac{2\pi}{3}$ અથવા $6\theta = \frac{4\pi}{3}$.
$\theta = \frac{\pi}{9}$ અથવા $\theta = \frac{2\pi}{9}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\theta = \frac{\pi}{9}$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે કે $b_{ij} = 3^{(i+j-2)} a_{ji}$.
આપણે શ્રેણિક $B$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$B = \begin{bmatrix} a_{11} & 3a_{21} & 9a_{31} \\ 3a_{12} & 9a_{22} & 27a_{32} \\ 9a_{13} & 27a_{23} & 81a_{33} \end{bmatrix}$
હાર અને સ્તંભમાંથી સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢતા:
$|B| = (3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2) \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & 3a_{22} & 9a_{32} \\ a_{13} & 3a_{23} & 9a_{33} \end{vmatrix}$
$|B| = 3^3 \cdot (3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2) \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$
$|B| = 3^3 \cdot 3^3 \cdot |A^T| = 3^6 |A| = 729 |A|$.
આપેલ છે કે $|B| = 81$,તેથી $729 |A| = 81$.
$|A| = \frac{81}{729} = \frac{1}{9}$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $f(x) = \begin{vmatrix} x+a & x+2 & x+1 \\ x+b & x+3 & x+2 \\ x+c & x+4 & x+3 \end{vmatrix}$ છે.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \rightarrow R_1 + R_3 - 2R_2$ લાગુ પાડતા:
પ્રથમ હાર નીચે મુજબ બને છે:
$(x+a) + (x+c) - 2(x+b) = x+a+x+c-2x-2b = a-2b+c = 1$.
$(x+2) + (x+4) - 2(x+3) = 2x+6-2x-6 = 0$.
$(x+1) + (x+3) - 2(x+2) = 2x+4-2x-4 = 0$.
તેથી,$f(x) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x+b & x+3 & x+2 \\ x+c & x+4 & x+3 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = 1 \cdot ((x+3)(x+3) - (x+2)(x+4)) = (x^2+6x+9) - (x^2+6x+8) = 1$.
કારણ કે $f(x) = 1$ દરેક $x$ માટે છે,તેથી $f(50) = 1$.

(N/A) ઉકેલ: પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = 2\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & -7 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 1 & -7 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}$
$= 2(0 - 20) + 3(-42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= -40 - 138 + 150 = -28$
હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરતા,આપણને પરિવર્તિત નિશ્ચાયક $\Delta_{1}$ મળે છે:
$\Delta_{1} = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ 5 & 4 & -7 \end{vmatrix}$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta_{1} = 2\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 4 & -7 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 4 & -7 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}$
$= 2(0 - 20) + 3(-42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= -40 - 138 + 150 = -28$
સ્પષ્ટપણે,$\Delta = \Delta_{1}$.
આમ,ગુણધર્મ $1$ (જો નિશ્ચાયકની હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરવામાં આવે તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી) ચકાસાયેલ છે.

(N/A) નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{array} \right|$ છે.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2(0 - 20) - (-3)(-42 - 4) + 5(30 - 0) = 2(-20) + 3(-46) + 5(30) = -40 - 138 + 150 = -28$.
હાર $R_{2}$ અને $R_{3}$ ની અદલાબદલી કરતા,એટલે કે $R_{2} \leftrightarrow R_{3}$,આપણને $\Delta_{1} = \left| \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 5 & -7 \\ 6 & 0 & 4 \end{array} \right|$ મળે છે.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને $\Delta_{1}$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta_{1} = 2(20 - 0) - (-3)(4 + 42) + 5(0 - 30) = 2(20) + 3(46) + 5(-30) = 40 + 138 - 150 = 28$.
સ્પષ્ટપણે,$\Delta_{1} = -\Delta$,જે $28 = -(-28)$ છે.
આમ,ગુણધર્મ $2$ ચકાસાયેલ છે.

(A) નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિકની હારનું અવલોકન કરીએ.
અહીં પ્રથમ હાર $R_1 = (3, 2, 3)$ અને ત્રીજી હાર $R_3 = (3, 2, 3)$ છે.
જેથી $R_1 = R_3$ હોવાથી,બે હાર સમાન છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,જો નિશ્ચાયકની કોઈપણ બે હાર અથવા બે સ્તંભ સમાન હોય,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 3(2 \times 3 - 3 \times 2) - 2(2 \times 3 - 3 \times 3) + 3(2 \times 2 - 3 \times 2)$
$\Delta = 3(6 - 6) - 2(6 - 9) + 3(4 - 6)$
$\Delta = 3(0) - 2(-3) + 3(-2)$
$\Delta = 0 + 6 - 6 = 0$.

(B) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6\end{array}\right|$ છે.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રથમ હારને $6 \times (17, 3, 6)$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રથમ હાર $(R_1)$ માંથી $6$ સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = 6 \left|\begin{array}{ccc}17 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6\end{array}\right|$.
કારણ કે પ્રથમ હાર $(R_1)$ અને ત્રીજી હાર $(R_3)$ સમાન છે,તેથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,$\Delta = 6 \times 0 = 0$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z\end{array}\right|$ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બીજી હારને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a & b & c \\ x & y & z\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ 2x & 2y & 2z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ હાર અને બીજી હાર સમાન છે $(R_1 = R_2)$,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,આપણે બીજી હારમાંથી $2$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$\Delta = 0 + 2 \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ x & y & z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
અહીં,બીજી હાર અને ત્રીજી હાર સમાન છે $(R_2 = R_3)$,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
આમ,$\Delta = 0 + 2(0) = 0$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 2a & 3a+2b & 4a+3b+2c \\ 3a & 6a+3b & 10a+6b+3c\end{array}\right|$.
પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2}-2R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-3R_{1}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2a+b \\ 0 & 3a & 7a+3b\end{array}\right|$.
હવે,$R_{3} \rightarrow R_{3}-3R_{2}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2a+b \\ 0 & 0 & a\end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભ $C_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = a \left|\begin{array}{cc}a & 2a+b \\ 0 & a\end{array}\right| - 0 + 0 = a(a^{2} - 0) = a(a^{2}) = a^{3}$.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $a^{3}$ છે.

(A) નિશ્ચાયક $\Delta$ પર હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2}$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે: $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z & x+y+z & x+y+z \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
$R_{1}$ માંથી $(x+y+z)$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે: $\Delta = (x+y+z) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
અહીં હાર $R_{1}$ અને હાર $R_{3}$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકના ગુણધર્મો મુજબ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે. તેથી,$\Delta = (x+y+z) \times 0 = 0$.

(A) આપણી પાસે $\Delta=\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3}\end{array}\right|$ છે.
$= \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1 \\ z & z^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & x^{3} \\ y & y^{2} & y^{3} \\ z & z^{2} & z^{3}\end{array}\right|$
$= (-1)^{2} \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + x y z \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| \quad (C_{3} \leftrightarrow C_{2} \text{ અને ત્યારબાદ } C_{1} \leftrightarrow C_{2} \text{ નો ઉપયોગ કરતા})$
$= (1+x y z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$= (1+x y z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2}\end{array}\right| \quad (R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1} \text{ અને } R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1} \text{ નો ઉપયોગ કરતા})$
$R_{2}$ માંથી $(y-x)$ અને $R_{3}$ માંથી $(z-x)$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = (1+x y z)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 1 & z+x\end{array}\right|$
$= (1+x y z)(y-x)(z-x)(z-y)$ ($C_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા)
કારણ કે $\Delta=0$ અને $x, y, z$ બધા ભિન્ન છે,એટલે કે $x-y \neq 0, y-z \neq 0, z-x \neq 0$,તેથી આપણને $1+x y z=0$ મળે છે.