Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Hindi

(C) दिया गया है $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} \sin^{2} x & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 1+\sin^{2} x & \cos^{2} x & \cos 2x \\ \sin^{2} x & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_{1} \rightarrow C_{1} + C_{2}$ लागू करने पर:
$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 2 & \cos^{2} x & \cos 2x \\ 1 & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2}$ लागू करने पर:
$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & \cos^{2} x & \cos 2x \\ 1 & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
$R_{1}$ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$f(x) = -1 \times (2 \sin 2x - \cos 2x) = \cos 2x - 2 \sin 2x$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ होता है।
यहाँ $a = 1$ और $b = -2$ है।
अतः,$f(x)_{\max} = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

(B) दिया गया है $A = XB$,अतः $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$ है।
गुणा करने पर,हमें $\sqrt{3} a_1 = b_1 - b_2$ और $\sqrt{3} a_2 = b_1 + k b_2$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$3(a_1^2 + a_2^2) = (b_1 - b_2)^2 + (b_1 + k b_2)^2$
$3(a_1^2 + a_2^2) = (b_1^2 + b_2^2 - 2b_1b_2) + (b_1^2 + k^2b_2^2 + 2kb_1b_2)$
$3(a_1^2 + a_2^2) = 2b_1^2 + (1 + k^2)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1)$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है $a_1^2 + a_2^2 = \frac{2}{3}(b_1^2 + b_2^2)$,इसलिए $3(a_1^2 + a_2^2) = 2b_1^2 + 2b_2^2$ है।
$3(a_1^2 + a_2^2)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2b_1^2 + (1 + k^2)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 2b_1^2 + 2b_2^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(k^2 + 1)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 2b_2^2$ मिलता है।
$(k^2 - 1)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 0$ होगा।
$(k - 1)[(k + 1)b_2^2 + 2b_1b_2] = 0$ प्राप्त होता है।
शर्त $(k^2 + 1)b_2^2 \neq -2b_1b_2$ के अनुसार,कोष्ठक में दिया गया पद शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $k = 1$ है।

(D) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$5I - 8P$ की गणना करें:
$5I - 8P = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 16 & -8 \\ 40 & -24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & 8 \\ -40 & 29 \end{bmatrix}$.
अब,$P$ की घातों की गणना करें:
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 4 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \cdot P = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix}$.
$P^6 = (P^3)^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & 8 \\ -40 & 29 \end{bmatrix}$.
$P^n$ और $5I - 8P$ की तुलना करने पर,हमें $P^6 = 5I - 8P$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 6$.

(D) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ है। $M^{T}M$ के विकर्ण अवयवों का योग $M^{T}M$ का ट्रेस है,जो $M$ के सभी अवयवों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
अतः,$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} + f^{2} + g^{2} + h^{2} + i^{2} = 7$ है।
चूंकि अवयव $\{0, 1, 2\}$ से हैं,हम वर्गों के संभावित संयोजनों पर विचार करते हैं जिनका योग $7$ है:
स्थिति-$I$: सात $1$ और दो $0$।
तरीकों की संख्या = $\binom{9}{7} = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$।
स्थिति-$II$: एक $2$ $(2^{2} = 4)$,तीन $1$ $(1^{2} = 1)$,और पांच $0$ $(0^{2} = 0)$।
योग = $4 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 7$।
तरीकों की संख्या = $\frac{9!}{1! 3! 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 504$।
आव्यूहों की कुल संख्या = $36 + 504 = 540$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}$। चूँकि $A$ एक सममित आव्यूह है,$A^T = A$ है।
दिया गया है $A^2 = I$,इसलिए $AA^T = I$ है,जिसका अर्थ है कि $A$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है।
आव्यूह $A$ के लिए,$AA^T = I$ की शर्त का अर्थ है:
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$ और $xy + yz + zx = 0$।
हम जानते हैं कि $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$।
मान रखने पर,$(x + y + z)^2 = 1 + 2(0) = 1$।
चूँकि $x + y + z > 0$ है,इसलिए $x + y + z = 1$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx))$ का उपयोग करते हुए,
$x^3 + y^3 + z^3 - 3(2) = (1)(1 - 0)$।
$x^3 + y^3 + z^3 - 6 = 1$।
$x^3 + y^3 + z^3 = 7$।

(C) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^{T} = A$.
दिया गया है कि $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $B^{T} = -B$.
मान लीजिए $C = A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2}$.
अब,$C$ का परिवर्त (transpose) लेते हैं:
$C^{T} = (A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2})^{T} = (A^{2}B^{2})^{T} - (B^{2}A^{2})^{T}$.
$(PQ)^{T} = Q^{T}P^{T}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$C^{T} = (B^{2})^{T}(A^{2})^{T} - (A^{2})^{T}(B^{2})^{T}$.
चूंकि $(A^{2})^{T} = (A^{T})^{2} = A^{2}$ और $(B^{2})^{T} = (B^{T})^{2} = (-B)^{2} = B^{2}$,इसलिए:
$C^{T} = B^{2}A^{2} - A^{2}B^{2} = -(A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2}) = -C$.
अतः,$C$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
विषम कोटि $n$ (यहाँ $n = 3$) के किसी भी विषम-सममित आव्यूह $C$ के लिए,सारणिक हमेशा शून्य होता है,अर्थात $\det(C) = 0$.
चूंकि निकाय $(C)X = O$ है और $\det(C) = 0$ है,इसलिए निकाय के अनंत हल हैं।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$,$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
प्रेरण द्वारा,सम $n$ के लिए $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और विषम $n$ के लिए $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{20} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{20} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $A^{19} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{19} & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
समीकरण $A^{20} + \alpha A^{19} + \beta A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ में मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 1+\alpha+\beta & 0 & 0 \\ 0 & 2^{20}+\alpha 2^{19}+2\beta & 0 \\ 3\alpha+3\beta & 0 & 1-\alpha-\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
तुलना करने पर: $1+\alpha+\beta = 1 \Rightarrow \alpha+\beta = 0 \Rightarrow \beta = -\alpha$.
साथ ही,$2^{20} + \alpha 2^{19} + 2\beta = 4$. $\beta = -\alpha$ रखने पर:
$2^{20} + \alpha 2^{19} - 2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha(2^{19}-2) = 4 - 2^{20}$.
$\alpha = \frac{4 - 2^{20}}{2^{19}-2} = -2$.
इसलिए $\beta = 2$.
अतः,$\beta - \alpha = 2 - (-2) = 4$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{2025} - A^{2020} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अब $A^6 - A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
इस प्रकार,$A^{2025} - A^{2020} = A^6 - A$.

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix}$ है।
दिया गया समीकरण $A(A^{3} + 3I) = 2I$ है,जिसका अर्थ है $A^{4} + 3A = 2I$,या $A^{4} = 2I - 3A$ है।
$A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ K & -1 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda + 1) - 2K = 0 \Rightarrow \lambda^{2} + \lambda - 2K = 0$ है।
कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^{2} + A - 2KI = 0$,इसलिए $A^{2} = 2KI - A$ है।
अब,$A^{4} = (A^{2})^{2} = (2KI - A)^{2} = 4K^{2}I - 4KA + A^{2}$ है।
$A^{4}$ के व्यंजक में $A^{2} = 2KI - A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^{4} = 4K^{2}I - 4KA + (2KI - A) = (4K^{2} + 2K)I - (4K + 1)A$ है।
$A^{4}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2I - 3A = (4K^{2} + 2K)I - (4K + 1)A$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(4K + 1 - 3)A = (4K^{2} + 2K - 2)I$ है।
$(4K - 2)A = (4K^{2} + 2K - 2)I$ है।
$2(2K - 1)A = 2(2K^{2} + K - 1)I$ है।
$2(2K - 1)A = 2(2K - 1)(K + 1)I$ है।
यदि $2K - 1 \neq 0$ है,तो $A = (K + 1)I$,जिसका अर्थ है $\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K+1 & 0 \\ 0 & K+1 \end{bmatrix}$ है।
यह $K+1 = 0$ और $2 = 0$ की ओर ले जाता है,जो असंभव है।
अतः,$2K - 1 = 0$ होना चाहिए,जिससे $K = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $a_{r} = e^{i \frac{2 \pi r}{9}}$.
ध्यान दें कि $a_{r} = (a_{1})^{r}$ होता है।
सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{1}^{2} & a_{1}^{3} \\ a_{1}^{4} & a_{1}^{5} & a_{1}^{6} \\ a_{1}^{7} & a_{1}^{8} & a_{1}^{9}\end{array}\right|$ है।
$C_{1}$ से $a_{1}$,$C_{2}$ से $a_{1}^{2}$ और $C_{3}$ से $a_{1}^{3}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = a_{1} \cdot a_{1}^{2} \cdot a_{1}^{3} \left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a_{1}^{3} & a_{1}^{3} & a_{1}^{3} \\ a_{1}^{6} & a_{1}^{6} & a_{1}^{6}\end{array}\right|$.
चूँकि सभी स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।

(A) दी गई शर्त $(I-A)^3 = I-A^3$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $I^3 - 3I^2A + 3IA^2 - A^3 = I - A^3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $I^2 = I$ और $IA = AI = A$ है,यह समीकरण $I - 3A + 3A^2 - A^3 = I - A^3$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों से $I$ घटाने और $A^3$ जोड़ने पर,हमें $3A^2 - 3A = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A^2 = A$।
माना $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ है। तब $A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & ab+bd \\ 0 & d^2 \end{bmatrix}$ होगा।
$A^2 = A$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 = a \Rightarrow a \in \{0, 1\}$।
$d^2 = d \Rightarrow d \in \{0, 1\}$।
$ab + bd = b \Rightarrow b(a + d - 1) = 0$।
स्थिति $1$: यदि $b = 0$ है,तो $a \in \{0, 1\}$ और $d \in \{0, 1\}$ होगा। इससे $2 \times 2 = 4$ आव्यूह मिलते हैं।
स्थिति $2$: यदि $b \neq 0$ है,तो $a + d - 1 = 0$,अर्थात $a + d = 1$ होगा।
संभावित युग्म $(a, d)$ $(1, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
प्रत्येक युग्म के लिए,$b \in \{-1, 1\}$ हो सकता है (क्योंकि $b \neq 0$ है)।
इससे $2 \times 2 = 4$ आव्यूह मिलते हैं।
कुल आव्यूहों की संख्या = $4 + 4 = 8$।

(C) दिया गया है $J_{n, m}=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{n}}{x^{m}-1} d x$.
$i \leq j$ के लिए,$a_{i j}=J_{6+i, 3}-J_{i+3,3} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{6+i}-x^{i+3}}{x^{3}-1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{i+3}(x^{3}-1)}{x^{3}-1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{i+3} d x$.
समाकलन करने पर: $a_{i j} = \left[ \frac{x^{i+4}}{i+4} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{(1/2)^{i+4}}{i+4}$.
अतः,$a_{11} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$,$a_{12} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$,$a_{13} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$.
$a_{22} = \frac{(1/2)^{6}}{6} = \frac{1}{6 \cdot 2^{6}}$,$a_{23} = \frac{(1/2)^{6}}{6} = \frac{1}{6 \cdot 2^{6}}$.
$a_{33} = \frac{(1/2)^{7}}{7} = \frac{1}{7 \cdot 2^{7}}$.
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} & \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} & \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} \\ 0 & \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} & \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{7 \cdot 2^{7}} \end{bmatrix}$.
$|A| = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} \cdot \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2^{7}} = \frac{1}{210 \cdot 2^{18}}$.
हमें $|\operatorname{adj} A^{-1}| = |A^{-1}|^{3-1} = |A^{-1}|^{2} = \frac{1}{|A|^{2}} = (210 \cdot 2^{18})^{2} = (2 \cdot 105)^{2} \cdot 2^{36} = 4 \cdot (105)^{2} \cdot 2^{36} = (105)^{2} \cdot 2^{38}$.

(B) आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -x & 2x+1 \\ -x & 1 & -x \\ 2x+1 & -x & 1 \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(1 - x^2) + x(-x + x(2x+1)) + (2x+1)(x^2 - (2x+1))$
$|A| = 4x^3 - 4x^2 - 4x = f(x)$
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$f'(x) = 12x^2 - 8x - 4 = 4(3x+1)(x-1) = 0$
अतः,$x = 1$ और $x = -\frac{1}{3}$.
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = -4$ (न्यूनतम मान)
$f(-\frac{1}{3}) = \frac{20}{27}$ (अधिकतम मान)
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग:
$-4 + \frac{20}{27} = -\frac{88}{27}$

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix}$.
किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को $A = P + Q$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $P = \frac{A + A^T}{2}$ सममित है और $Q = \frac{A - A^T}{2}$ विषम-सममित है।
$P = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & a \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & \frac{3+a}{2} \\ \frac{3+a}{2} & 0 \end{bmatrix}$.
$Q = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & a \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 0 & \frac{3-a}{2} \\ \frac{a-3}{2} & 0 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $\operatorname{det}(Q) = 9$,इसलिए $0 - \left( \frac{3-a}{2} \right) \left( \frac{a-3}{2} \right) = 9$.
$\Rightarrow \frac{(a-3)^2}{4} = 9 \Rightarrow (a-3)^2 = 36 \Rightarrow a-3 = \pm 6$.
अतः,$a = 9$ या $a = -3$.
अब,$\operatorname{det}(P) = 0 - \left( \frac{3+a}{2} \right)^2 = -\frac{(a+3)^2}{4}$.
$a = 9$ के लिए,$\operatorname{det}(P) = -\frac{(9+3)^2}{4} = -\frac{144}{4} = -36$.
$a = -3$ के लिए,$\operatorname{det}(P) = -\frac{(-3+3)^2}{4} = 0$.
$\operatorname{det}(P)$ के सभी संभावित मानों का योग $-36 + 0 = -36$ है।
योग का मापांक $|-36| = 36$ है।

(D) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है। सारणिक $|A| = ad - bc$ है।
पासे के $6$ फलकों में से $4$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $6^4 = 1296$ हैं।
हम चाहते हैं कि सभी प्रविष्टियाँ $a, b, c, d$ अलग-अलग हों। ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ में से $4$ अलग संख्याएँ चुनकर उन्हें आव्यूह में व्यवस्थित करने के तरीके $^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ हैं।
आव्यूह के व्युत्क्रमणीय (nonsingular) होने के लिए $|A| \neq 0$,अर्थात $ad \neq bc$ होना चाहिए।
हम उन स्थितियों की गणना करते हैं जहाँ $ad = bc$ है और $a, b, c, d$ अलग-अलग हैं:
$1$. $6 \times 1 = 2 \times 3$: समुच्चय ${1, 2, 3, 6}$ है। $ad=bc$ होने वाली व्यवस्थाएँ $(6, 2, 3, 1), (6, 3, 2, 1), (1, 2, 3, 6), (1, 3, 2, 6), (2, 6, 1, 3), (3, 6, 1, 2), (2, 1, 6, 3), (3, 1, 6, 2)$ हैं। कुल $8$ स्थितियाँ।
$2$. $6 \times 2 = 3 \times 4$: समुच्चय ${2, 3, 4, 6}$ है। $ad=bc$ होने वाली व्यवस्थाएँ $(6, 3, 4, 2), (6, 4, 3, 2), (2, 3, 4, 6), (2, 4, 3, 6), (3, 6, 2, 4), (4, 6, 2, 3), (3, 2, 6, 4), (4, 2, 6, 3)$ हैं। कुल $8$ स्थितियाँ।
$ad = bc$ वाली कुल स्थितियाँ $8 + 8 = 16$ हैं।
अनुकूल स्थितियाँ = (अलग प्रविष्टियों के साथ कुल तरीके) - ($ad = bc$ वाली स्थितियाँ) = $360 - 16 = 344$.
आवश्यक प्रायिकता = $\frac{344}{1296} = \frac{43}{162}$.

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है।
दी गई शर्त $A^n X = X$ सभी $a, b, c, d \in R$ के लिए है।
चूंकि $X$ कोई भी $2 \times 2$ आव्यूह हो सकता है,हम $X = I$ (तत्समक आव्यूह) ले सकते हैं,जिसका अर्थ है $A^n = I$ है।
अब,$A$ की घातों की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = iI$ है।
$A^4 = (A^2)^2 = (iI)^2 = i^2 I = -I$ है।
$A^8 = (A^4)^2 = (-I)^2 = I$ है।
अतः,$A^n = I$ तभी होता है जब $n$,$8$ का गुणज हो।
हमें $2$-अंकीय ऐसी संख्याएँ $n$ ज्ञात करनी हैं जो $8$ का गुणज हों।
$8$ के $2$-अंकीय गुणज $16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96$ हैं।
इनकी गणना करने पर,हमें कुल $11$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(A) दिया गया है कि $A^{5}=B^{5}$ और $A^{3} B^{2}=A^{2} B^{3}$ है।
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर:
$A^{5}-A^{3} B^{2} = B^{5}-A^{2} B^{3}$
$A^{3}(A^{2}-B^{2}) = B^{5}-A^{2} B^{3}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$A^{3}(A^{2}-B^{2}) + B^{3}(A^{2}-B^{2}) = 0$
$(A^{3}+B^{3})(A^{2}-B^{2}) = 0$
चूंकि $(A^{2}-B^{2})$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,हम इसके प्रतिलोम $(A^{2}-B^{2})^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$(A^{3}+B^{3})(A^{2}-B^{2})(A^{2}-B^{2})^{-1} = 0 \cdot (A^{2}-B^{2})^{-1}$
$A^{3}+B^{3} = 0$
अतः,शून्य आव्यूह का सारणिक $|A^{3}+B^{3}| = |0| = 0$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
हम देख सकते हैं कि $A = I + N$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है और $N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
यहाँ $N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $N^3 = 0$ है।
द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$A^n = (I+N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2}N^2$.
अतः,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n^2+n}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$A^n$ के अवयवों का योग $S_n = 1 + n + \frac{n^2+n}{2} + 0 + 1 + n + 0 + 0 + 1 = 3 + 2n + \frac{n^2+n}{2} = 3 + \frac{5n+n^2}{2}$ है।
$M$ के अवयवों का योग $= \sum_{n=1}^{20} S_n = \sum_{n=1}^{20} (3 + \frac{5}{2}n + \frac{1}{2}n^2) = 3(20) + \frac{5}{2} \frac{20(21)}{2} + \frac{1}{2} \frac{20(21)(41)}{6}$.
$= 60 + 525 + 1435 = 2020$.

(C) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -a + ab \\ 0 & b^2 \end{bmatrix}$।
सभी $n \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ के लिए $A^{n(n+1)} = I$ की शर्त को पूरा करने के लिए,हम $A^{n(n+1)} = I$ की जाँच करते हैं।
यदि $b = 1$ है,तो $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
चूँकि किसी भी पूर्णांक $n \ge 1$ के लिए $n(n+1)$ हमेशा सम संख्या होती है,इसलिए $A^{n(n+1)} = (A^2)^{\frac{n(n+1)}{2}} = I^{\frac{n(n+1)}{2}} = I$।
अतः,यदि $b = 1$ है,तो $A \in T_n$ सभी $n$ के लिए सत्य है।
यदि $b \neq 1$ है,तो $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & a(b-1) \\ 0 & b^2 \end{bmatrix}$।
$A^{n(n+1)} = I$ के लिए,हमें $b^{n(n+1)} = 1$ और ऊपरी दाएँ अवयव को $0$ होने की आवश्यकता है।
चूँकि $b \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ है,$b^{n(n+1)} = 1$ का अर्थ है $b = 1$ (क्योंकि $b > 0$)।
इसलिए,केवल $b = 1$ वाले आव्यूह ही सभी $n$ के लिए इस शर्त को पूरा करते हैं।
$b = 1$ के साथ,$a$ का मान $\{1, 2, \ldots, 100\}$ में से कुछ भी हो सकता है।
ऐसे कुल $100$ अवयव हैं।

(B) समुच्चय $S$ में $1$ से $50$ तक की विषम पूर्णांक संख्याओं के वर्गमूल शामिल हैं। अतः,$S = \{\sqrt{1}, \sqrt{3}, \dots, \sqrt{49}\}$। $S$ में पदों की संख्या $25$ है।
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ -1 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,सारणिक $|A| = 1(1 - 0) - 0 + a(0 - (-a)) = 1 + a^2$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n=3$ है,इसलिए $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = |A|^2 = (1 + a^2)^2$।
हमें $\sum_{a \in S} (1 + a^2)^2$ की गणना करनी है। चूँकि $a = \sqrt{n}$,इसलिए $a^2 = n$ है। योग $\sum_{n \in \{1, 3, \dots, 49\}} (1 + n)^2$ हो जाता है।
मान लीजिए $n = 2k - 1$ जहाँ $k = 1, 2, \dots, 25$ है। तो $1 + n = 1 + 2k - 1 = 2k$ होगा।
योग $\sum_{k=1}^{25} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{25} k^2$ है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,हमें $4 \times \frac{25(26)(51)}{6} = 4 \times 25 \times 13 \times 17 = 22100$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\sum \operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 100 \lambda$,इसलिए $22100 = 100 \lambda$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = 221$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$।
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix} = -4I$।
$A^3 = A^2 \cdot A = -4A$।
$A^4 = (A^2)^2 = (-4I)^2 = 16I$।
सामान्यतः,$A^{2k} = (-4)^k I$ और $A^{2k-1} = (-4)^{k-1} A$।
$M = \sum_{k=1}^{10} A^{2k} = \sum_{k=1}^{10} (-4)^k I = I \sum_{k=1}^{10} (-4)^k$। चूँकि $M$,तत्समक आव्यूह $I$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए $M$ सममित है।
$N = \sum_{k=1}^{10} A^{2k-1} = \sum_{k=1}^{10} (-4)^{k-1} A = A \sum_{k=1}^{10} (-4)^{k-1}$। चूँकि $A$ विषम-सममित है,$N$,$A$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए $N$ विषम-सममित है।
$N^2 = (\text{अदिश} \cdot A)^2 = \text{अदिश}^2 \cdot A^2 = \text{अदिश}^2 \cdot (-4I)$,जो $I$ का एक अदिश गुणज है,अतः $N^2$ सममित है।
चूँकि $M$ और $N^2$ दोनों सममित हैं और क्रमविनिमेय हैं,उनका गुणनफल $MN^2$ भी सममित है।
चूँकि $M$ और $N^2$ अदिश आव्यूह हैं,$MN^2$ एक अदिश आव्यूह है,जो सममित है लेकिन आवश्यक रूप से तत्समक आव्यूह नहीं है।

(C) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $|A| = \Delta$ है।
गुणधर्म $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$,हमें $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $|\operatorname{adj}(24A)| = |\operatorname{adj}(3 \operatorname{adj}(2A))|$ है।
$|24A|^2 = |3 \operatorname{adj}(2A)|^2$ है।
चूंकि $|kA| = k^n|A|$ होता है,इसलिए $|24A| = 24^3|A|$ है।
अतः,$(24^3|A|)^2 = (3^3 |\operatorname{adj}(2A)|)^2$ है।
$(24^3|A|)^2 = (27 |2A|^2)^2$ है।
चूंकि $|2A| = 2^3|A| = 8|A|$ है,इसलिए $|\operatorname{adj}(2A)| = (8|A|)^2 = 64|A|^2$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $(24^3|A|)^2 = (27 \times 64|A|^2)^2$ है।
$(24^3|A|)^2 = (1728|A|^2)^2$ है।
चूंकि $24^3 = 13824$ है,इसलिए $(13824|A|)^2 = (1728|A|^2)^2$ है।
$13824|A| = 1728|A|^2$ ($|A| \neq 0$ मानते हुए)।
$|A| = \frac{13824}{1728} = 8$ है।
हमें $|A^2| = |A|^2 = 8^2 = 64 = 2^6$ ज्ञात करना है।

(B) दिया गया है $a = \alpha - i \beta$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
समीकरण निकाय है:
$4ix + (1 + i)y = 0$
$8(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})x + \bar{a}y = 0$
चूंकि निकाय के एक से अधिक हल हैं,इसलिए गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 4i & 1 + i \\ 8e^{i2\pi/3} & \bar{a} \end{vmatrix} = 0$
$4i\bar{a} - (1 + i)8e^{i2\pi/3} = 0$
$4i(\alpha + i\beta) - 8(1 + i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$i\alpha - \beta + 1 + \sqrt{3} - i(\sqrt{3} - 1) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\beta = \sqrt{3} + 1$ और $\alpha = \sqrt{3} - 1$
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = 2 - \sqrt{3}$.

(C) दिया गया है कि $AB = I$,दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A||B| = |I| = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A| = \frac{1}{8}$,इसलिए $\frac{1}{8}|B| = 1$,जिसका अर्थ है कि $|B| = 8$ है।
हमें $|\operatorname{adj}(B \operatorname{adj}(2A))|$ का मान ज्ञात करना है।
$n \times n$ आव्यूह के लिए $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$ होगा।
अतः,$|\operatorname{adj}(B \operatorname{adj}(2A))| = |B \operatorname{adj}(2A)|^2 = |B|^2 |\operatorname{adj}(2A)|^2$।
चूंकि $|\operatorname{adj}(2A)| = |2A|^{3-1} = |2A|^2 = (2^3 |A|)^2 = (8 \times \frac{1}{8})^2 = 1^2 = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $|B|^2 \times (1)^2 = 8^2 \times 1 = 64$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है। योग $S = a + b + c + d = p$,जहाँ $p \in \{3, 5, 7\}$ है।
स्थिति $(i): S = 3$। $a + b + c + d = 3$ के अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{3+4-1}{4-1} = \binom{6}{3} = 20$ है।
स्थिति $(ii): S = 5$। $a + b + c + d = 5$ के अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{5+4-1}{4-1} = \binom{8}{3} = 56$ है।
स्थिति $(iii): S = 7$। $a, b, c, d \le 5$ के साथ $a + b + c + d = 7$ के हलों की संख्या समावेशन-अपवर्जन द्वारा ज्ञात करने पर,कुल हल $\binom{10}{3} = 120$ हैं। कम से कम एक चर $\ge 6$ होने वाली स्थितियों को घटाने पर,$120 - 16 = 104$ प्राप्त होता है।
आव्यूहों की कुल संख्या = $20 + 56 + 104 = 180$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix}$।
$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+i)^2 - i & 1+i \\ -i(1+i) & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2i - i & 1+i \\ -i+1 & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix}$।
$A^4 = (A^2)^2$ की गणना करें:
$A^4 = \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 + (1+i)(1-i) & i(1+i) - i(1+i) \\ i(1-i) - i(1-i) & (1-i)(1+i) + i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2 & 0 \\ 0 & 2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
हमें $A^n = A$ चाहिए। चूँकि $A^4 = I$,इसलिए $A^{4k+1} = (A^4)^k \cdot A = I^k \cdot A = A$।
अतः,$n$ को $4k+1$ के रूप में होना चाहिए जहाँ $k \ge 0$ है।
दिया गया है $1 \le n \le 100$,तो $1 \le 4k+1 \le 100 \Rightarrow 0 \le 4k \le 99 \Rightarrow 0 \le k \le 24.75$।
चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,$k \in \{0, 1, 2, \ldots, 24\}$।
$k$ के ऐसे $25$ मान हैं,इसलिए समुच्चय में $25$ अवयव हैं।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम $\operatorname{adj} A$ ज्ञात करते हैं। एक $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
$B$ के लिए व्यंजक द्विपद विस्तार द्वारा दिया गया है: $B = (I - \operatorname{adj} A)^{5}$।
$I - \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ है। हमें $M^{5}$ ज्ञात करना है।
$M^{2} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$M^{3} = M^{2} \cdot M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$।
$M^{4} = M^{2} \cdot M^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$M^{5} = M^{4} \cdot M = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -5 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $B$ के सभी अवयवों का योग $(-1) + (-5) + 0 + (-1) = -7$ है।

(D) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$.
$M^2$ की गणना करने पर: $M^2 = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\alpha^2 & 0 \\ 0 & -\alpha^2 \end{bmatrix} = -\alpha^2 I$.
अब,$N = \sum_{k=1}^{49} M^{2k} = M^2 + M^4 + \dots + M^{98}$.
चूँकि $M^2 = -\alpha^2 I$,इसलिए $M^{2k} = (M^2)^k = (-\alpha^2)^k I$.
अतः,$N = \sum_{k=1}^{49} (-\alpha^2)^k I = I \sum_{k=1}^{49} (-\alpha^2)^k$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = -\alpha^2$ और सार्व अनुपात $r = -\alpha^2$ है,जिसमें $49$ पद हैं।
$N = I \left( \frac{-\alpha^2(1 - (-\alpha^2)^{49})}{1 - (-\alpha^2)} \right) = I \left( \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} \right)$.
दिया गया है कि $(I - M^2)N = -2I$.
चूँकि $M^2 = -\alpha^2 I$,इसलिए $I - M^2 = I - (-\alpha^2 I) = (1 + \alpha^2)I$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(1 + \alpha^2)I \cdot \left( \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} \right) I = -2I$.
$(1 + \alpha^2) \cdot \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} = -2$.
$-\alpha^2(1 + \alpha^{98}) = -2$.
$\alpha^2(1 + \alpha^{98}) = 2$.
यदि $\alpha = 1$ है,तो $1^2(1 + 1^{98}) = 1(1 + 1) = 2$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,$\alpha$ का धनात्मक पूर्णांक मान $1$ है।

(A) मान लीजिए $A = I + B$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & a & a \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B^3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$A^n = (I + B)^n = I + nB + \frac{n(n-1)}{2} B^2$.
$A^n = \begin{bmatrix} 1 & na & na + \frac{n(n-1)ab}{2} \\ 0 & 1 & nb \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
दिए गए आव्यूह के साथ तुलना करने पर: $na = 48$,$nb = 96$,और $na + \frac{n(n-1)ab}{2} = 2160$.
$na = 48$ और $nb = 96$ से $b = 2a$ प्राप्त होता है।
तीसरे समीकरण में मान रखने पर: $48 + \frac{n(n-1)a(2a)}{2} = 2160 \Rightarrow n(n-1)a^2 = 2112$.
$a = \frac{48}{n}$ रखने पर,$n(n-1)(\frac{48}{n})^2 = 2112 \Rightarrow (n-1) \frac{2304}{n} = 2112 \Rightarrow 192n = 2304 \Rightarrow n = 12$.
अतः $a = 4$ और $b = 8$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$n + a + b = 12 + 4 + 8 = 24$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$। $A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = A$।
अतः, सभी $n \geq 1$ के लिए $A^n = A$ है।
अब, $B = A - I = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$।
$B^2$ की गणना करने पर:
$B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = -B$।
तब $B^3 = -B^2 = B$, $B^4 = -B$, $B^5 = B$, और सामान्यतः विषम $n$ के लिए $B^n = B$ तथा सम $n$ के लिए $B^n = -B$ है।
समीकरण $A + \omega^n B^n = A + B$ है।
इसका अर्थ है $\omega^n B^n = B$।
स्थिति $1$: $n$ विषम है। तब $B^n = B$, अतः $\omega^n B = B \Rightarrow \omega^n = 1$।
चूंकि $\omega = e^{i2\pi/3}$, $\omega^n = 1$ का अर्थ है कि $n$, $3$ का गुणज है।
अतः $n \in \{3, 9, 15, \ldots, 99\}$। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a=3, d=6, l=99$ है।
$99 = 3 + (k-1)6 \Rightarrow 96 = (k-1)6 \Rightarrow 16 = k-1 \Rightarrow k = 17$।
स्थिति $2$: $n$ सम है। तब $B^n = -B$, अतः $\omega^n (-B) = B \Rightarrow \omega^n = -1$।
$\omega^n = -1$ का अर्थ है कि $n$, $3$ का विषम गुणज है, लेकिन $n$ को सम होना चाहिए, अतः यहाँ कोई हल नहीं है।
इस प्रकार, कुल $17$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ और $A = A^{-1}$।
इसका अर्थ है $A^2 = I$,अतः $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
इससे समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$1) a^2 + bc = 1$
$2) b(a + d) = 0$
$3) c(a + d) = 0$
$4) bc + d^2 = 1$
$(1)$ और $(4)$ से,$a^2 = d^2$,अतः $a = d$ या $a = -d$।
स्थिति $I$: $a = -d$। तब $b(a - a) = 0$ हमेशा सत्य है। हमें $a^2 + bc = 1$ की आवश्यकता है।
यदि $a = 0$,तो $d = 0$ और $bc = 1$। चूँकि $b, c \in \{-1, 0, 1, \ldots, 10\}$,$bc = 1$ का अर्थ है $(b, c) = (1, 1)$ या $(-1, -1)$। ($2$ जोड़े)।
यदि $a = 1$,तो $d = -1$ और $1 + bc = 1 \Rightarrow bc = 0$। इसका अर्थ है $b=0$ ($c$ के लिए $12$ मान) या $c=0$ ($b$ के लिए $12$ मान)। $(0,0)$ को छोड़कर जो दो बार गिना गया है,हमारे पास $12 + 12 - 1 = 23$ जोड़े हैं।
यदि $a = -1$,तो $d = 1$ और $1 + bc = 1 \Rightarrow bc = 0$। इसी प्रकार,$23$ जोड़े।
स्थिति $II$: $a = d$। तब $b(2a) = 0$ और $c(2a) = 0$। यदि $a \neq 0$,तो $b = c = 0$। चूँकि $a^2 = 1$,$a = 1$ या $a = -1$। यह $(a, d)$ के लिए $(1, 1)$ और $(-1, -1)$ देता है। ($2$ जोड़े)।
यदि $a = 0$,तो $d = 0$,जो $bc = 1$ की ओर ले जाता है,जिसे स्थिति $I$ में कवर किया गया है।
कुल = $2 + 23 + 23 + 2 = 50$।

(A) $2 \times 2$ आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने स्वयं के अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + \det(A)I = O$ होगा।
दिए गए समीकरण $A^2 + \gamma A + 18I = O$ की तुलना अभिलक्षणिक समीकरण $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + \det(A)I = O$ से करने पर।
अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $\det(A) = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,आव्यूह $A$ का सारणिक $18$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \beta+\gamma & \gamma+\alpha & \alpha+\beta \end{bmatrix}$.
$R_{3} \rightarrow R_{3} + R_{1}$ लागू करने पर,$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma \end{vmatrix}$.
$R_{3}$ से $(\alpha+\beta+\gamma)$ उभयनिष्ठ लेने पर,$|A| = (\alpha+\beta+\gamma) \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$|A| = -(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)$.
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))))| = |A|^{(n-1)^4} = |A|^{16}$ होता है,जहाँ $n=3$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{|A|^{16}}{(\alpha-\beta)^{16}(\beta-\gamma)^{16}(\gamma-\alpha)^{16}} = 2^{32} \times 3^{16}$.
इसका सरलीकरण $(\alpha+\beta+\gamma)^{16} = (2^2 \times 3)^{16} = 12^{16}$ होता है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = 12$.
चूँकि $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$,धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{12-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55$ है।
हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ भिन्न नहीं हैं। यदि $\alpha=\beta=\gamma$ है,तो $3\alpha=12 \Rightarrow \alpha=4$,जो $1$ स्थिति $(4,4,4)$ है।
यदि दो संख्याएँ समान हैं,जैसे $\alpha=\beta$,तो $2\alpha+\gamma=12$. $\alpha$ के लिए संभावित मान $1, 2, 3, 5$ हैं (क्योंकि $\alpha=4$ पर $\gamma=4$ होता है)। प्रत्येक क्रमचय के लिए $4$ युग्म मिलते हैं,इस प्रकार कुल $4 \times 3 = 12$ स्थितियाँ होती हैं।
कुल भिन्न टुपल्स = $55 - 1 - 12 = 42$.

(D) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ -2 & -5 - \lambda \end{vmatrix} = 0$
$(1 - \lambda)(-5 - \lambda) - (2)(-2) = 0$
$-5 - \lambda + 5\lambda + \lambda^{2} + 4 = 0$
$\lambda^{2} + 4\lambda - 1 = 0$
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $A^{2} + 4A - I = 0$,जिसका अर्थ है कि $A^{2} + 4A = I$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2A^{2} + 8A = 2I$ प्राप्त होता है।
हमें $\alpha A^{2} + \beta A = 2I$ दिया गया है।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$ और $\beta = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 2 + 8 = 10$।

(A) मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ है।
$A^{T}A$ के विकर्ण अवयवों का योग $A^{T}A$ का ट्रेस है,जिसे $\operatorname{Tr}(A^{T}A)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{Tr}(A^{T}A) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$ होता है।
दिया गया है कि $\operatorname{Tr}(A^{T}A) = 6$,इसलिए $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 6$ है।
चूँकि $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,इसलिए $a_{ij}^{2}$ केवल $0$ या $1$ हो सकता है।
ऐसे नौ वर्गों का योग $6$ होने के लिए,ठीक $6$ अवयव $\pm 1$ होने चाहिए और $3$ अवयव $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,हम $9$ में से $3$ स्थानों को $0$ के रूप में चुनते हैं,जिसे $\binom{9}{3}$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $6$ स्थानों के लिए,प्रत्येक $1$ या $-1$ हो सकता है,जो $2^{6}$ संभावनाएँ देता है।
अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $\binom{9}{3} \times 2^{6} = 84 \times 64 = 5376$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A + B = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix}$.
$(A + B)^{2} = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\beta + 1)^{2} & 0 \\ 3(\beta + 1) + 3\alpha & \alpha^{2} \end{bmatrix}$.
$A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 - \alpha \\ 2 + 2\alpha & \alpha^{2} - 2 \end{bmatrix}$.
$\alpha_{1}$ के लिए,$(A + B)^{2} = A^{2} + \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 - \alpha \\ 4 + 2\alpha & \alpha^{2} \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,$(\beta + 1)^{2} = 1 \implies \beta + 1 = \pm 1$. साथ ही,$1 - \alpha = 0 \implies \alpha_{1} = 1$.
$\alpha_{2}$ के लिए,$(A + B)^{2} = B^{2} = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta^{2} + 1 & \beta \\ \beta & 1 \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,$(1,2)$ स्थान से $0 = \beta$ प्राप्त होता है,और $(2,2)$ स्थान से $\alpha_{2}^{2} = 1$ प्राप्त होता है। $(2,1)$ स्थान से,$3(\beta + 1) + 3\alpha = \beta$। $\beta = 0$ रखने पर,$3(1) + 3\alpha = 0 \implies 3\alpha = -3 \implies \alpha_{2} = -1$.
अतः,$|\alpha_{1} - \alpha_{2}| = |1 - (-1)| = |2| = 2$.

(D) दिया गया है $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ और $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2}$ की गणना करें:
$A^{2} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$A^{4} = A^{2} \cdot A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
गणितीय आगमन द्वारा,किसी भी सम संख्या $k$ के लिए,$A^{k} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
हमें $X^{T} A^{k} X = 33$ दिया गया है। $A^{k}$ का मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 33$
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3k+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 33$
$1 + 1 + 3k + 1 = 33$
$3k + 3 = 33$
$3k = 30 \implies k = 10$.
चूंकि $10$ एक सम संख्या है,इसलिए यह हल मान्य है।

(A) दिया गया है $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} p! & (p+1)! & (p+2)! \\ (p+1)! & (p+2)! & (p+3)! \\ (p+2)! & (p+3)! & (p+4)!\end{array}\right|$.
पंक्ति $1, 2, 3$ से क्रमशः $p!$,$(p+1)!$,और $(p+2)!$ कॉमन लेने पर:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! \left|\begin{array}{ccc} 1 & p+1 & (p+2)(p+1) \\ 1 & p+2 & (p+3)(p+2) \\ 1 & p+3 & (p+4)(p+3)\end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! \left|\begin{array}{ccc} 1 & p+1 & (p+1)(p+2) \\ 0 & 1 & 2(p+2) \\ 0 & 1 & 2(p+3)\end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! [1 \cdot (2(p+3) - 2(p+2))] = p!(p+1)!(p+2)! [2] = 2 \cdot p!(p+1)!(p+2)!$.
चूंकि $p$ और $p+2$ अभाज्य हैं,$p!$ में $p$ एक बार आता है।
$(p+1)! = (p+1)p!$ है,इसलिए $p$ का गुणनखंड $p!$ और $(p+1)!$ में आता है,अतः $p^2$,$p!(p+1)!$ को विभाजित करता है। साथ ही $(p+2)!$ में $p$ एक बार आता है। इसलिए $p^3$,$\Delta$ को विभाजित करता है,अतः $\alpha = 3$.
$(p+2)!$ में $(p+2)$ एक बार आता है। इसलिए $(p+2)^1$,$\Delta$ को विभाजित करता है,अतः $\beta = 1$.
योग $\alpha + \beta = 3 + 1 = 4$.

(B) दिया गया समीकरण: $-3 x^4 + \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix} = 0$.
सबसे पहले,सारणिक $D = \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix}$ का मान ज्ञात करते हैं।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = 1(x^2 \cdot x^6 - x^4 \cdot x^3) - x(1 \cdot x^6 - x^4 \cdot 1) + x^2(1 \cdot x^3 - x^2 \cdot 1)$
$D = (x^8 - x^7) - x(x^6 - x^4) + x^2(x^3 - x^2)$
$D = x^8 - x^7 - x^7 + x^5 + x^5 - x^4 = x^8 - 2x^7 + 2x^5 - x^4$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$-3x^4 + x^8 - 2x^7 + 2x^5 - x^4 = 0$
$x^8 - 2x^7 + 2x^5 - 4x^4 = 0$.
गुणनखंड करने पर:
$x^4(x^4 - 2x^3 + 2x - 4) = 0$
$x^4(x^3(x - 2) + 2(x - 2)) = 0$
$x^4(x^3 + 2)(x - 2) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x^4 = 0 \implies x = 0$
$x^3 + 2 = 0 \implies x^3 = -2 \implies x = \sqrt[3]{-2}$ (जो पूर्णांक नहीं है)
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
चूंकि $x$ एक पूर्णांक है,इसलिए संभावित मान $x = 0$ और $x = 2$ हैं।
अतः,ऐसे $2$ पूर्णांक हैं।

(A) आव्यूह $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसके अवयव $S = \{-1000, -999, \ldots, 1000\}$ समुच्चय से हैं। $S$ में कुल अवयवों की संख्या $2001$ है।
संभावित आव्यूहों $A$ की कुल संख्या $(2001)^9$ है।
स्थिति $1$: $A^2 = -I$. यदि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,तो अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I) = 0$ द्वारा दिया जाता है। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A$ अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है। यदि $A^2 = -I$ है,तो न्यूनतम बहुपद $x^2 + 1$ को विभाजित करता है। चूंकि न्यूनतम बहुपद की घात को आयाम $3$ को विभाजित करना चाहिए,और $x^2+1$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए वास्तविक (पूर्णांक) अवयवों वाले $3 \times 3$ आव्यूह के लिए यह असंभव है। अतः,ऐसे आव्यूहों की संख्या $0$ है।
स्थिति $2$: $A$ एक विकर्ण आव्यूह है। मान लीजिए $A = \text{diag}(a, b, c)$ है। ऐसे आव्यूहों की संख्या $(2001)^3$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $(2001)^3$ है।
प्रायिकता $P = \frac{(2001)^3}{(2001)^9} = \frac{1}{(2001)^6}$ द्वारा दी जाती है।
हमारे पास $P = \frac{1}{(2001)^6} = \frac{1}{(2000 + 1)^6} = \frac{1}{2000^6 (1 + \frac{1}{2000})^6} = \frac{1}{64 \times 10^{18} (1 + \frac{1}{2000})^6}$ है।
चूंकि $(1 + \frac{1}{2000})^6 > 1$,इसलिए $P < \frac{1}{64 \times 10^{18}} < \frac{1}{10^{18}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P < \frac{1}{10^{18}}$।

(C) दिया गया है $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2017 & 2 \\ 1 & 2017 & 4 \\ 1 & 2018 & 8 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A^{-1}|$ की गणना करें।
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ लागू करने पर:
$|A^{-1}| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2017 & 4 \\ 1 & 2018 & 8 \end{vmatrix}$।
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A^{-1}| = -2(2018 - 2017) = -2(1) = -2$।
हम जानते हैं कि $|A| = \frac{1}{|A^{-1}|} = \frac{1}{-2} = -0.5$।
$n=3$ कोटि के आव्यूह $A$ के लिए,$|kA| = k^n |A|$ होता है।
अतः,$|2A| = 2^3 |A| = 8|A| = 8 \times (-0.5) = -4$।
इसी प्रकार,$|2A^{-1}| = 2^3 |A^{-1}| = 8|A^{-1}| = 8 \times (-2) = -16$।
इसलिए,$|2A| - |2A^{-1}| = -4 - (-16) = -4 + 16 = 12$।

(D) दिया गया है कि $P^2 = P$ है। यह एक आइडेंपोटेंट (idempotent) आव्यूह है।
हम $(I+P)^n$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हैं:
$(I+P)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} I^{n-k} P^k$
चूंकि किसी भी $m \ge 1$ के लिए $I^m = I$ और सभी $k \ge 1$ के लिए $P^k = P$ होता है (क्योंकि $P^2=P, P^3=P^2P=PP=P$,आदि),इसलिए:
$(I+P)^n = I + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} P$
$(I+P)^n = I + P \left( \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \right)$
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$,इसलिए $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - \binom{n}{0} = 2^n - 1$ है।
अतः,$(I+P)^n = I + (2^n - 1)P$।

(B) दिया गया है कि $A B = B A$,$A^k = I$,और $B^l = 0$ कुछ धनात्मक पूर्णांकों $k$ और $l$ के लिए।
चूंकि $B^l = 0$,दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $\operatorname{det}(B^l) = \operatorname{det}(0) = 0$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\operatorname{det}(B^l) = (\operatorname{det}(B))^l$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $(\operatorname{det}(B))^l = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{det}(B) = 0$ है।
अब,गुणनफल $A B$ का सारणिक देखें:
$\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}(A) \times \operatorname{det}(B)$।
चूंकि $\operatorname{det}(B) = 0$,इसलिए $\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}(A) \times 0 = 0$ होता है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) दिया गया है $A = \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$।
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$A^3 = A^2 \cdot A = (-I) \cdot A = -A$.
$A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I$.
चूँकि $A^4 = I$,$A$ की घातें $4$ के चक्र में दोहराती हैं: $I, A, -I, -A, I, \dots$।
किन्हीं भी चार क्रमागत पदों का योग $I + A + A^2 + A^3 = I + A - I - A = 0$ है।
श्रेणी $S = I + A + A^2 + \dots + A^{2010}$ है।
कुल $2011$ पद हैं। चूँकि $2011 = 4 \times 502 + 3$,योग में $4$ पदों के $502$ समूह (जिनका योग $0$ है) और शेष $3$ पद होंगे:
$S = 502(0) + (I + A + A^2) = I + A - I = A$.
अतः,$S = \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$।

(A) माना $P(x)$ एक त्रिघात बहुपद है। हमें $x = 1, 2, 3, 4$ के लिए $P(x) = 2x$ दिया गया है।
एक नया बहुपद $Q(x) = P(x) - 2x$ परिभाषित करें।
चूंकि $P(x)$ एक त्रिघात बहुपद है,$Q(x)$ भी अधिकतम $3$ घात का बहुपद है।
दी गई शर्तों से,$Q(1) = 0, Q(2) = 0, Q(3) = 0, Q(4) = 0$ है।
अतः,$1, 2, 3, 4$ बहुपद $Q(x)$ के शून्यक हैं।
चूंकि $Q(x)$ अधिकतम $3$ घात का बहुपद है और इसके $4$ भिन्न शून्यक हैं,इसलिए $Q(x)$ को शून्य बहुपद होना चाहिए।
अतः,$P(x) - 2x = 0$,जिसका अर्थ है $P(x) = 2x$।
हालाँकि,$P(x) = 2x$ एक $1$ घात का बहुपद है,$3$ घात का नहीं।
अतः,ऐसा कोई त्रिघात बहुपद $P(x)$ संभव नहीं है जो दी गई शर्तों को पूरा करे।
इसलिए,ऐसे त्रिघात बहुपदों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $A^2 + B = A^2 B$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$A^2 = A^2 B - B$
$A^2 = (A^2 - I)B$
वैकल्पिक रूप से,गुणनखंड करने के लिए:
$A^2 B - B = A^2$
$B(A^2 - I) = A^2$
व्यंजक $(A^2 - I)(B - I) = A^2 B - A^2 - B + I$ पर विचार करें।
$A^2 B = A^2 + B$ का मान रखने पर:
$(A^2 - I)(B - I) = (A^2 + B) - A^2 - B + I = I$
चूंकि $(A^2 - I)(B - I) = I$,इसका अर्थ है कि आव्यूह $(A^2 - I)$ और $(B - I)$ क्रमविनिमेय हैं।
अतः,$(A^2 - I)(B - I) = (B - I)(A^2 - I) = I$
$(B - I)(A^2 - I) = I$ का विस्तार करने पर:
$B A^2 - B - A^2 + I = I$
$B A^2 = A^2 + B$
चूंकि $A^2 + B = A^2 B$,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि:
$A^2 B = B A^2$

(B) चूँकि आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है,इसका सारणिक $0$ होगा:
$\Delta = \begin{vmatrix} \alpha^2 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\alpha^2(c-b) - \alpha(c-a) + (b-a) = 0$
यह दिए गए समीकरण $(a-c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 0$ के समान है,जहाँ $\alpha=1$ एक मूल है क्योंकि $(a-c) + (b-a) + (c-b) = 0$ है।
मान लीजिए $X = a-c$,$Y = b-a$,और $Z = c-b$ है। यहाँ $X+Y+Z = 0$ है।
व्यंजक $\frac{X^2}{YZ} + \frac{Y^2}{XZ} + \frac{Z^2}{XY} = \frac{X^3 + Y^3 + Z^3}{XYZ}$ है।
चूँकि $X+Y+Z = 0$,सर्वसमिका $X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$ का उपयोग करने पर,
अतः,व्यंजक का मान $\frac{3XYZ}{XYZ} = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & \log_x y & \log_x z \\ \log_y x & 2 & \log_y z \\ \log_z x & \log_z y & 3 \end{bmatrix}$.
गुणधर्म $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करते हुए,$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{\ln y}{\ln x} & \frac{\ln z}{\ln x} \\ \frac{\ln x}{\ln y} & 2 & \frac{\ln z}{\ln y} \\ \frac{\ln x}{\ln z} & \frac{\ln y}{\ln z} & 3 \end{bmatrix}$.
$R_1$ को $\ln x$ से,$R_2$ को $\ln y$ से,और $R_3$ को $\ln z$ से गुणा करने पर:
$|A| = \frac{1}{\ln x \ln y \ln z} \begin{vmatrix} \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & 2 \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & 3 \ln z \end{vmatrix}$.
स्तंभों से $\ln x, \ln y, \ln z$ को बाहर निकालने पर:
$|A| = \frac{\ln x \ln y \ln z}{\ln x \ln y \ln z} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(6-1) - 1(3-1) + 1(1-2) = 5 - 2 - 1 = 2$.
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)| = |M|^{(n-1)^2}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)| = |A^2|^{(3-1)^2} = |A^2|^4 = (|A|^2)^4 = |A|^8$.
चूंकि $|A| = 2$,इसलिए $|A|^8 = 2^8$.

(B) समांतर श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = a_1 + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $A_1, A_2, A_3$ के प्रथम पद $A, A+1, A+2$ हैं और सार्व अंतर $d$ है:
$a = A + 6d$
$b = A + 1 + 8d$
$c = A + 2 + 16d$
चूँकि $a = 29$,इसलिए $A + 6d = 29$।
सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{lll} A+6d & 7 & 1 \\ 2(A+1+8d) & 17 & 1 \\ A+2+16d & 17 & 1\end{array}\right| + 70 = 0$
तीसरी पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाने पर:
$\left|\begin{array}{lll} A+6d & 7 & 1 \\ 2A+2+16d & 17 & 1 \\ -A & 0 & 0\end{array}\right| + 70 = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-A) \times (7 - 17) + 70 = 0 \Rightarrow 10A + 70 = 0 \Rightarrow A = -7$।
चूँकि $A + 6d = 29$,इसलिए $-7 + 6d = 29 \Rightarrow 6d = 36 \Rightarrow d = 6$।
अब,$a = 29$,$b = -7 + 1 + 48 = 42$,$c = -7 + 2 + 96 = 91$।
नई समांतर श्रेणी का प्रथम पद $c - a - b = 91 - 29 - 42 = 20$ है।
सार्व अंतर $\frac{d}{12} = \frac{6}{12} = 0.5$ है।
प्रथम $20$ पदों का योग $S_{20} = \frac{20}{2} [2(20) + (19)(0.5)] = 10 [40 + 9.5] = 495$।

(D) दिया गया है कि $A^2 = 3A + \alpha I$ है।
$A$ से गुणा करने पर,हमें $A^3 = 3A^2 + \alpha A$ प्राप्त होता है।
$A^3$ के व्यंजक में $A^2 = 3A + \alpha I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^3 = 3(3A + \alpha I) + \alpha A = 9A + 3\alpha I + \alpha A = (9 + \alpha)A + 3\alpha I$।
अब,$A^4$ ज्ञात करने के लिए पुनः $A$ से गुणा करने पर:
$A^4 = (9 + \alpha)A^2 + 3\alpha A$।
पुनः $A^2 = 3A + \alpha I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^4 = (9 + \alpha)(3A + \alpha I) + 3\alpha A$।
$A^4 = (27 + 3\alpha)A + (9\alpha + \alpha^2)I + 3\alpha A$।
$A^4 = (27 + 6\alpha)A + (9\alpha + \alpha^2)I$।
इसे $A^4 = 21A + \beta I$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$27 + 6\alpha = 21 \Rightarrow 6\alpha = -6 \Rightarrow \alpha = -1$।
और $\beta = 9\alpha + \alpha^2 = 9(-1) + (-1)^2 = -9 + 1 = -8$।
अतः,$\alpha = -1$ और $\beta = -8$।