मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b \in \mathbb{R}$ है। यदि किसी $n \in \mathbb{N}$ के लिए,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 48 & 2160 \\ 0 & 1 & 96 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो $n + a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$ वास्तविक प्रविष्टियों वाले दो $2 \times 1$ आव्यूह हैं,ताकि $A = XB$,जहाँ $X = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & k \end{bmatrix}$ और $k \in R$ है। यदि $a_1^2 + a_2^2 = \frac{2}{3}(b_1^2 + b_2^2)$ और $(k^2 + 1)b_2^2 \neq -2b_1b_2$ है,तो $k$ का मान ....... है।

मान लीजिए कि $M$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसके अवयव समुच्चय $\{0, 1, 2\}$ से हैं। ऐसे आव्यूहों की अधिकतम संख्या,जिनके लिए $M^{T}M$ के विकर्ण अवयवों का योग $7$ है,............. है।

यदि $a > 0$ और $ax^2 + 2bx + c$ का विविक्तकर (discriminant) ऋणात्मक है,तो $\left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ ax + b & bx + c & 0 \end{array} \right|$ है

मान लीजिए कि $A$ एक सममित आव्यूह है और $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इस प्रकार कि $A - B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ है। तो $|A|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ क्रम $3$ के वर्ग आव्यूह हैं,तो $|(A-A^T)+(B-B^T)|=$