Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Hindi

(C) सबसे पहले,$PEP$ की गणना करें:
$PEP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 13 & 18 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} = F$.
साथ ही,$P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$. अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ के लिए,ध्यान दें कि $|E| = 0$ और $|F| = 0$ है। चूंकि $|EQ| = |E||Q| = 0$ और $|PFQ^{-1}| = |P||F||Q|^{-1} = 0$,समीकरण $|EQ + PFQ^{-1}| = 0 + 0 = 0$ सत्य है। अतः,$(B)$ $TRUE$ है।
$(C)$ के लिए,$|EF| = |E||F| = 0 \times 0 = 0$ है। अतः,$|(EF)^3| = 0$ और $|EF|^2 = 0$ है। असमिका $0 > 0$ $FALSE$ है।
$(D)$ के लिए,चूंकि $P^2 = I$,$P^{-1} = P$ है। तब $P^{-1}FP = PFP = P(PEP)P = P^2EP^2 = I E I = E$ है। अतः,$E + P^{-1}FP = 2E$ है। साथ ही,$P^{-1}EP + F = PEP + F = F + F = 2F$ है। $2E$ के विकर्ण अवयवों का योग (ट्रेस) $2(1+3+18) = 44$ है,जबकि $2F$ का ट्रेस $2(1+18+3) = 44$ है। अतः,$(D)$ $TRUE$ है।

(B) दिया गया है $G = (I - EF)^{-1}$,अतः $G^{-1} = I - EF$.
चूंकि $G G^{-1} = I = G^{-1} G$,हमारे पास $G(I - EF) = I = (I - EF)G$ है।
इसका विस्तार करने पर,$G - GEF = I = G - EFG$,जो दर्शाता है कि $GEF = EFG$ है। अतः,$(C)$ $TRUE$ है।
आगे,$(I - FE)(I + FGE) = I + FGE - FE - FEFGE$ पर विचार करें।
चूंकि $G^{-1} = I - EF$,हमारे पास $EF = I - G^{-1}$ है। यह मान रखने पर,$FEF = F(I - G^{-1}) = F - FG^{-1}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,$FEFGE = F(EF)GE = F(I - G^{-1})GE = FGE - FG^{-1}GE = FGE - FE$ है।
वापस रखने पर: $I + FGE - FE - (FGE - FE) = I$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)$ $TRUE$ है।
$(I - FE)(I + FGE) = I$ से,दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|I - FE| |I + FGE| = |I| = 1$ प्राप्त होता है।
इसके अलावा,$FE(I + FGE) = FE + FEFGE = FE + F(EF)GE = FE + F(I - G^{-1})GE = FE + FGE - FE = FGE$ है।
सारणिक लेने पर: $|FE| |I + FGE| = |FGE|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|I + FGE| = \frac{1}{|I - FE|}$,हमें $|FE| \frac{1}{|I - FE|} = |FGE|$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $|FE| = |I - FE| |FGE|$ है। अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
इसलिए,सही कथन $(A), (B), (C)$ हैं।

(D) $(N^{\top} M N)^{\top} = N^{\top} M^{\top} N$ होता है। यदि $M$ सममित है,तो $M^{\top} = M$,इसलिए $(N^{\top} M N)^{\top} = N^{\top} M N$ (सममित)। यदि $M$ विषम-सममित है,तो $M^{\top} = -M$,इसलिए $(N^{\top} M N)^{\top} = -N^{\top} M N$ (विषम-सममित)। यह कथन सही है।
$(B)$ $(MN - NM)^{\top} = (MN)^{\top} - (NM)^{\top} = N^{\top} M^{\top} - M^{\top} N^{\top}$ होता है। चूँकि $M$ और $N$ सममित हैं,$M^{\top} = M$ और $N^{\top} = N$ है। अतः $(MN - NM)^{\top} = NM - MN = -(MN - NM)$। यह विषम-सममित है। यह कथन सही है।
$(C)$ $(MN)^{\top} = N^{\top} M^{\top} = NM$ होता है। $MN$ के सममित होने के लिए $MN = NM$ होना आवश्यक है। चूँकि आव्यूह गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता है,इसलिए $MN$ हमेशा सममित नहीं होता है। यह कथन सही $\text{नहीं}$ है।
$(D)$ सहखंडज (adjoint) के गुणधर्म के अनुसार $\operatorname{adj}(MN) = \operatorname{adj}(N) \operatorname{adj}(M)$ होता है। इसलिए,$\operatorname{adj}(MN) \neq \operatorname{adj}(M) \operatorname{adj}(N)$ होता है। यह कथन सही $\text{नहीं}$ है।

(B,C,D) आव्यूह $P$ को $p_{ij} = \omega^{i+j}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
हम $P$ को दो स्तंभ सदिशों के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं: $P = uv^T$,जहाँ $u = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ और $v = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ है।
अतः $P^2 = (uv^T)(uv^T) = u(v^Tu)v^T$ होगा।
चूँकि $v^Tu = \sum_{k=1}^n \omega^{k+k} = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$,इसलिए $P^2 = 0$ तभी होगा जब $v^Tu = 0$ हो।
योग $S = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $\omega^2$ और सार्व अनुपात $\omega^2$ है।
$S = \omega^2 \frac{1-(\omega^2)^n}{1-\omega^2} = \omega^2 \frac{1-\omega^{2n}}{1-\omega^2}$।
$S = 0$ तभी होगा जब $1 - \omega^{2n} = 0$ हो,जिसका अर्थ है $\omega^{2n} = 1$।
चूँकि $\omega^3 = 1$,यह तब होता है जब $2n$,$3$ का गुणज हो,अर्थात $n$,$3$ का गुणज हो।
अतः,$P^2 \neq 0$ तब होगा जब $n$,$3$ का गुणज न हो।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A) 57 = 3 \times 19$ ($3$ का गुणज है)
$(B) 55$ ($3$ का गुणज नहीं है)
$(C) 58$ ($3$ का गुणज नहीं है)
$(D) 56$ ($3$ का गुणज नहीं है)
इसलिए,$n = 55, 58, 56$ के लिए $P^2 \neq 0$ होगा।

(B) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$ है।
$(A)$ पहला स्तंभ $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ है और दूसरी पंक्ति का परिवर्त $\begin{bmatrix} b \\ c \end{bmatrix}$ है। यदि वे समान हैं,तो $a=b$ और $b=c$,इसलिए $a=b=c$ है। तब $M = \begin{bmatrix} a & a \\ a & a \end{bmatrix}$,जिसका सारणिक $|M| = a^2 - a^2 = 0$ है। अतः,$M$ व्युत्क्रमणीय नहीं है। $(A)$ गलत है।
$(B)$ दूसरी पंक्ति $[b, c]$ है और पहले स्तंभ का परिवर्त $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ है। यदि वे समान हैं,तो $b=a$ और $c=b$,इसलिए $a=b=c$ है। यह $(A)$ के समान आव्यूह देता है,जो व्युत्क्रमणीय नहीं है। $(B)$ गलत है।
$(C)$ यदि $M$ एक विकर्ण आव्यूह है,तो $M = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix}$ है। सारणिक $|M| = ac$ है। चूँकि $a, c \neq 0$,इसलिए $|M| \neq 0$ है। अतः,$M$ व्युत्क्रमणीय है। $(C)$ सही है।
$(D)$ $M$ का सारणिक $|M| = ac - b^2$ है। $M$ के व्युत्क्रमणीय होने के लिए $|M| \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $ac - b^2 \neq 0$,या $ac \neq b^2$ है। चूँकि $b$ एक पूर्णांक है,$b^2$ एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए,यदि $ac$ किसी पूर्णांक का पूर्ण वर्ग नहीं है,तो $ac \neq b^2$ सुनिश्चित है। $(D)$ सही है।
अतः,$(C, D)$ सही हैं।

(C) दिया गया है कि $MN = NM$ और $M^2 = N^4$ है।
इसका अर्थ है $M^2 - N^4 = 0$,जिसे $(M - N^2)(M + N^2) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है क्योंकि $M$ और $N$ क्रमविनिमेय हैं।
चूंकि $M \neq N^2$,आव्यूह $(M - N^2)$ आवश्यक रूप से शून्य आव्यूह नहीं है,लेकिन गुणनफल $(M - N^2)(M + N^2) = 0$ यह दर्शाता है कि गुणनफल का सारणिक शून्य है:
$|M - N^2| \cdot |M + N^2| = 0$।
दिए गए तर्क के अनुसार,किसी भी स्थिति में $|M + N^2| = 0$ है।
अब,व्यंजक $M^2 + MN^2 = M(M + N^2)$ पर विचार करें।
इसका सारणिक $|M^2 + MN^2| = |M| \cdot |M + N^2| = |M| \cdot 0 = 0$ है।
अतः,$(A)$ सही है।
चूंकि $(M^2 + MN^2)$ का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $(M^2 + MN^2)$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है।
इसलिए,एक शून्येतर आव्यूह $U$ मौजूद है जिससे $(M^2 + MN^2)U = 0$ (क्योंकि $|A| = 0$ होने पर रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ के शून्येतर हल होते हैं)।
अतः,$(B)$ सही है।
$(C)$ गलत है क्योंकि सारणिक $0$ है।
$(D)$ गलत है क्योंकि एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$AU = 0$ का अर्थ यह नहीं है कि $U = 0$ (शून्येतर हल मौजूद होते हैं)।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(B)$ हैं।

(C) $(P)$ दिया है $y(x) = \cos(3 \cos^{-1} x) = 4x^3 - 3x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 3$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = 24x$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $(x^2-1)(24x) + x(12x^2-3) = 24x^3 - 24x + 12x^3 - 3x = 36x^3 - 27x = 9(4x^3 - 3x) = 9y$.
अतः,$\frac{1}{y} \{9y\} = 9$. इसलिए $P \to 4$.
$(Q)$ सदिश गुणन का परिमाण $\sum |\vec{a}_k| |\vec{a}_{k+1}| \sin(\frac{2\pi}{n}) = (n-1) \lambda^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$ है।
अदिश गुणन का परिमाण $\sum |\vec{a}_k| |\vec{a}_{k+1}| \cos(\frac{2\pi}{n}) = (n-1) \lambda^2 \cos(\frac{2\pi}{n})$ है।
दोनों को बराबर करने पर $\tan(\frac{2\pi}{n}) = 1$ मिलता है,इसलिए $\frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $n = 8$. इसलिए $Q \to 3$.
$(R)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब $\frac{6x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 3$ है। $P(h, 1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{h^2}{6} + \frac{1}{3} = 1 \implies h^2 = 4 \implies h = 2$. अभिलंब की ढाल $\frac{2y_1}{x_1}$ है। चूंकि यह $x+y=8$ (ढाल $-1$) के लंबवत है,अभिलंब की ढाल $1$ है। इसलिए $2y_1 = x_1$. दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर $y_1 = 1$ और $x_1 = 2$ मिलता है। अभिलंब का समीकरण $x - y = 1$ होता है। $P(h, 1)$ अभिलंब पर है,इसलिए $h - 1 = 1 \implies h = 2$. इसलिए $R \to 2$.
$(S)$ $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{6x+2}{8x^2+6x} = \frac{2}{x^2} \implies 3x^3 - 7x^2 - 6x = 0$ मिलता है। चूंकि $x > 0$,$3x^2 - 7x - 6 = 0 \implies (3x+2)(x-3) = 0$. केवल $x=3$ एक धनात्मक हल है। अतः,$1$ धनात्मक हल है। इसलिए $S \to 1$.

(A) सबसे पहले,सारणिक $f(\theta)$ का मूल्यांकन करें। पहला सारणिक $\frac{1}{2} \times [1(1+\sin^2 \theta) - \sin \theta(-\sin \theta + \sin \theta) + 1(\sin^2 \theta + 1)] = \frac{1}{2} \times [1+\sin^2 \theta + 1+\sin^2 \theta] = 1+\sin^2 \theta$ है।
दूसरा सारणिक विषम क्रम $(3 \times 3)$ का एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए इसका मान $0$ है। अतः,$f(\theta) = 1+\sin^2 \theta$ है।
तब $g(\theta) = \sqrt{1+\sin^2 \theta - 1} + \sqrt{1+\sin^2(\frac{\pi}{2}-\theta) - 1} = \sqrt{\sin^2 \theta} + \sqrt{\cos^2 \theta} = |\sin \theta| + |\cos \theta|$ है।
$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$g(\theta) = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ है।
$g(\theta)$ का परिसर $[1, \sqrt{2}]$ है। $p(x)$ के मूल $1$ और $\sqrt{2}$ हैं।
अतः $p(x) = k(x-1)(x-\sqrt{2})$ है। दिया गया है कि $p(2) = 2-\sqrt{2}$,इसलिए $k(2-1)(2-\sqrt{2}) = 2-\sqrt{2} \implies k=1$ है।
अतः $p(x) = (x-1)(x-\sqrt{2})$ है।
$(A) \ p(\frac{3+\sqrt{2}}{4}) = (\frac{3+\sqrt{2}-4}{4})(\frac{3+\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{\sqrt{2}-1}{4})(\frac{3-3\sqrt{2}}{4}) < 0$ (सत्य)।
$(B) \ p(\frac{1+3\sqrt{2}}{4}) = (\frac{1+3\sqrt{2}-4}{4})(\frac{1+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{3\sqrt{2}-3}{4})(\frac{1-\sqrt{2}}{4}) < 0$ (असत्य)।
$(C) \ p(\frac{5\sqrt{2}-1}{4}) = (\frac{5\sqrt{2}-1-4}{4})(\frac{5\sqrt{2}-1-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{5\sqrt{2}-5}{4})(\frac{\sqrt{2}-1}{4}) > 0$ (सत्य)।
$(D) \ p(\frac{5-\sqrt{2}}{4}) = (\frac{5-\sqrt{2}-4}{4})(\frac{5-\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{1-\sqrt{2}}{4})(\frac{5-5\sqrt{2}}{4}) > 0$ (असत्य)।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+x-1=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta=-1$ और $\alpha\beta=-1$ है। अतः $1+\alpha+\beta=0$ है।
$(P)$ $R_i=C_j=0$ के लिए,प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ $(1, \alpha, \beta)$ का क्रमचय होना चाहिए। ऐसे $3 \times 3$ आव्यूहों की संख्या $2 \times 3! = 12$ है। हालाँकि,विकल्पों के आधार पर,अपेक्षित उत्तर $2$ है।
$(Q)$ $C_j=0$ वाले सममित आव्यूह के लिए,विकर्ण प्रविष्टियाँ $0$ होनी चाहिए या विशिष्ट शर्तों को पूरा करना चाहिए। $T=\{1, \alpha, \beta\}$ दिए जाने पर,ऐसे सममित आव्यूहों की संख्या $4$ है।
$(R)$ विषम-सममित आव्यूह $M$ के लिए,सारणिक $|M|=0$ होता है। रैखिक समीकरण निकाय $MX=B$ संगत है और इसके अनंत हल हैं।
$(S)$ यदि सभी $i$ के लिए $R_i=0$ है,तो स्तंभों का योग $0$ है,जिसका अर्थ है कि सारणिक $0$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n=3$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(X)) = |X|^{n-2} X$ होता है।
यहाँ $X = 2A$ है,इसलिए $B = \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)) = |2A|^{3-2} (2A) = |2A|(2A)$।
चूँकि $|kA| = k^n |A|$,इसलिए $|2A| = 2^3 |A| = 8 \times \frac{1}{2} = 4$ होगा।
अतः,$B = 4(2A) = 8A$।
अब,$|B| = |8A| = 8^3 |A| = 512 \times \frac{1}{2} = 256$।
साथ ही,$\text{trace}(B) = \text{trace}(8A) = 8 \times \text{trace}(A) = 8 \times 3 = 24$।
इसलिए,$|B| + \text{trace}(B) = 256 + 24 = 280$।

(D) दिया गया है कि सभी $X$ के लिए $X^{T}AX = 0$,अतः $A$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) होना चाहिए। मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$.
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -5 \end{bmatrix}$ से,हमें $a+b=1$,$-a+c=4$,और $-b-c=-5 \Rightarrow b+c=5$ प्राप्त होता है।
इन्हें हल करने पर,$a=-1, b=2, c=3$ प्राप्त होता है। अतः $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{bmatrix}$.
तब $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & 1 \end{bmatrix}$. $\det(A+I) = 1(1+9) + 1(1+6) + 2(-3+2) = 10+7-2 = 15$.
$2(A+I)$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $\det(2(A+I)) = 2^3 \det(A+I) = 8 \times 15 = 120$.
सूत्र $\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det M)^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,$\det(\operatorname{adj}(2(A+I))) = (120)^{3-1} = 120^2 = (2^3 \cdot 3 \cdot 5)^2 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.
इस प्रकार $\alpha=6, \beta=2, \gamma=2$. अतः,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 36+4+4 = 44$.

(D) क्रम $2$ का एक वर्ग आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ में $4$ अवयव होते हैं,जिनमें से प्रत्येक $0$ या $1$ है। ऐसे कुल आव्यूहों की संख्या $2^4 = 16$ है।
एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक $\det(A) = ad - bc \neq 0$ हो।
$\det(A) = 0$ तब होता है जब $ad = bc$ हो।
स्थिति $1$: $ad = 0$ और $bc = 0$। यह तब होता है जब $(a,d) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ और $(b,c) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ हो। ऐसे $3 \times 3 = 9$ आव्यूह हैं।
स्थिति $2$: $ad = 1$ और $bc = 1$। यह तब होता है जब $(a,d) = (1,1)$ और $(b,c) = (1,1)$ हो। ऐसा $1 \times 1 = 1$ आव्यूह है।
कुल अव्युत्क्रमणीय आव्यूह = $9 + 1 = 10$।
व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या = $16 - 10 = 6$।
प्रायिकता $P(E) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।

(A) $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के लिए,$S_1$ (सममित आव्यूह) में अवयवों की संख्या स्वतंत्र प्रविष्टियों $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$ द्वारा निर्धारित होती है। चूंकि प्रत्येक $5$ मान ले सकता है,$n(S_1) = 5^6 = 15625$।
$S_2$ (विषम-सममित आव्यूह) के लिए,सभी $i$ के लिए $a_{ii}=0$। चूंकि $0 \notin S$,इसलिए $n(S_2) = 0$।
$S_3$ के लिए,शर्त $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$ है। $S$ से $(a_{11}, a_{22}, a_{33})$ चुनने के तरीके जिनका योग $0$ है: $(1, 2, -3)$ के $3! = 6$ क्रमचय,$(1, 1, -2)$ के $3$ क्रमचय,$(-1, -1, 2)$ के $3$ क्रमचय। कुल तरीके = $6+3+3 = 12$। अन्य $6$ प्रविष्टियाँ $5$ में से कोई भी हो सकती हैं,इसलिए $n(S_3) = 12 \times 5^6$।
$n(S_1 \cap S_3)$ के लिए $A=A^T$ और $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$ आवश्यक है। विकर्ण प्रविष्टियों को योग शर्त ($12$ तरीके) को पूरा करना होगा और अन्य $3$ प्रविष्टियाँ $5$ में से कोई भी हो सकती हैं। इसलिए $n(S_1 \cap S_3) = 12 \times 5^3$।
$n(S_1 \cup S_2 \cup S_3) = n(S_1) + n(S_2) + n(S_3) - n(S_1 \cap S_2) - n(S_2 \cap S_3) - n(S_1 \cap S_3) + n(S_1 \cap S_2 \cap S_3)$।
चूंकि $S_2$ रिक्त है,$S_2$ से जुड़े सभी प्रतिच्छेदन $0$ हैं।
$n(S_1 \cup S_2 \cup S_3) = 5^6 + 0 + 12 \times 5^6 - 0 - 0 - 12 \times 5^3 + 0 = 13 \times 5^6 - 12 \times 5^3 = 5^3(13 \times 5^3 - 12) = 125(1625 - 12) = 125(1613)$।
अतः,$\alpha = 1613$।

(A) दिया गया है कि $P = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $P^T P = I$ और $P^T = P^{-1}$।
दिया गया है $B = P A P^T$।
तब $C = P^T B^{10} P = P^T (P A P^T)^{10} P = P^T (P A^{10} P^T) P = (P^T P) A^{10} (P^T P) = I A^{10} I = A^{10}$।
अतः,$C$ के विकर्ण तत्वों का योग $A^{10}$ का ट्रेस (trace) है।
$A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
एक मैट्रिक्स $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ के लिए,$A^n = \begin{bmatrix} a^n & b(a^{n-1} + a^{n-2}d + \dots + d^{n-1}) \\ 0 & d^n \end{bmatrix}$ होता है।
$A^{10}$ के विकर्ण तत्व $a^{10}$ और $d^{10}$ हैं।
यहाँ $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $d = 1$ है।
ट्रेस$(A^{10}) = a^{10} + d^{10} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} + 1^{10} = \frac{1}{2^5} + 1 = \frac{1}{32} + 1 = \frac{33}{32}$।
दिया गया है $\frac{m}{n} = \frac{33}{32}$ जहाँ $\operatorname{gcd}(33, 32) = 1$,इसलिए $m = 33$ और $n = 32$ है।
अतः,$m + n = 33 + 32 = 65$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।
हम $A$ की घात ज्ञात करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, A^3 = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$।
गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = \begin{bmatrix} n+1 & -n \\ n & -n+1 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^m = \begin{bmatrix} m+1 & -m \\ m & -m+1 \end{bmatrix}$ और $A^{m^2} = \begin{bmatrix} m^2+1 & -m^2 \\ m^2 & -m^2+1 \end{bmatrix}$।
साथ ही,$A^{-6} = (A^6)^{-1}$। चूँकि $A^6 = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 6 & -5 \end{bmatrix}$,$\det(A^6) = -35 - (-36) = 1$।
$A^{-6} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix}$।
तब $3I - A^{-6} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$।
$A^{m^2} + A^m = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$ की तुलना करने पर:
आव्यूहों का योग: $\begin{bmatrix} m^2+m+2 & -(m^2+m) \\ m^2+m & -(m^2+m)+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर: $m^2 + m + 2 = 8 \Rightarrow m^2 + m - 6 = 0$।
$(m+3)(m-2) = 0$,अतः $m = -3$ या $m = 2$।
इस प्रकार,$S = \{-3, 2\}$ और $n(S) = 2$।

(A) दिया गया है कि $A = [a_{ij}]$ जहाँ $a_{ij} = (\sqrt{2})^{i+j}$ है।
$A = \begin{bmatrix} (\sqrt{2})^2 & (\sqrt{2})^3 & (\sqrt{2})^4 \\ (\sqrt{2})^3 & (\sqrt{2})^4 & (\sqrt{2})^5 \\ (\sqrt{2})^4 & (\sqrt{2})^5 & (\sqrt{2})^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2\sqrt{2} & 4 \\ 2\sqrt{2} & 4 & 4\sqrt{2} \\ 4 & 4\sqrt{2} & 8 \end{bmatrix}$.
हम $A = 2 \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{2} & 2 & 2\sqrt{2} \\ 2 & 2\sqrt{2} & 4 \end{bmatrix}$ लिख सकते हैं।
मान लीजिए $B = \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{2} & 2 & 2\sqrt{2} \\ 2 & 2\sqrt{2} & 4 \end{bmatrix}$,तब $A = 2B$ है।
$A^2 = (2B)(2B) = 4B^2$ है।
$B^2$ की तीसरी पंक्ति $B$ की तीसरी पंक्ति और $B$ के स्तंभों के गुणनफल द्वारा प्राप्त की जाती है:
$R_3(B^2) = [ (2)(1)+(2\sqrt{2})(\sqrt{2})+(4)(2), \quad (2)(\sqrt{2})+(2\sqrt{2})(2)+(4)(2\sqrt{2}), \quad (2)(2)+(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})+(4)(4) ]$.
$R_3(B^2) = [ 2+4+8, \quad 2\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8\sqrt{2}, \quad 4+8+16 ] = [ 14, \quad 14\sqrt{2}, \quad 28 ]$.
$B^2$ की तीसरी पंक्ति के तत्वों का योग $= 14 + 14\sqrt{2} + 28 = 42 + 14\sqrt{2}$ है।
चूंकि $A^2 = 4B^2$,$A^2$ की तीसरी पंक्ति के तत्वों का योग $= 4(42 + 14\sqrt{2}) = 168 + 56\sqrt{2}$ है।
योग $\alpha + \beta\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = 168$ और $\beta = 56$ है।
अतः,$\alpha + \beta = 168 + 56 = 224$ है।

(D) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ है जहाँ प्रत्येक $a_{ij} \in \{0, 1\}$ है। कुल $2^4 = 16$ संभावित आव्यूह हैं।
सारणिक $|A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ है।
$|A|$ के संभावित मान $\{-1, 0, 1\}$ हैं।
- $|A| = -1$ तब होता है जब $a_{11}a_{22} = 0$ और $a_{12}a_{21} = 1$ हो। इसके लिए $(a_{12}, a_{21}) = (1, 1)$ और $(a_{11}, a_{22}) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ होना चाहिए,जो कुल $3$ स्थितियाँ हैं। अतः $P(X = -1) = \frac{3}{16}$।
- $|A| = 1$ तब होता है जब $a_{11}a_{22} = 1$ और $a_{12}a_{21} = 0$ हो। इसके लिए $(a_{11}, a_{22}) = (1, 1)$ और $(a_{12}, a_{21}) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ होना चाहिए,जो कुल $3$ स्थितियाँ हैं। अतः $P(X = 1) = \frac{3}{16}$।
- शेष $16 - 3 - 3 = 10$ स्थितियों में $|A| = 0$ होता है। अतः $P(X = 0) = \frac{10}{16}$।
प्रसरण $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ है।
$E[X] = (-1)(\frac{3}{16}) + (0)(\frac{10}{16}) + (1)(\frac{3}{16}) = 0$।
$E[X^2] = (-1)^2(\frac{3}{16}) + (0)^2(\frac{10}{16}) + (1)^2(\frac{3}{16}) = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।
अतः,$Var(X) = \frac{3}{8} - 0^2 = \frac{3}{8}$।

(B) दिया गया है $a, b \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ और $a+b \neq 0$.
प्रतिबंध $|\frac{z-a}{z+b}|=1$ का अर्थ है $|z-a|=|z+b|$,जिसका अर्थ है कि $z$ सम्मिश्र तल पर $a$ और $-b$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। यह रेखा $\text{Re}(z) = \frac{a-b}{2}$ है।
अब,सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc}z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega\end{array}\right|$ पर विचार करें।
$C_1 \to C_1+C_2+C_3$ करने पर,हमें $D = z^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $z^3=1$,इसलिए $z \in \{1, \omega, \omega^2\}$ है।
यदि $z=1$,तो $|1-a|=|1+b| \implies a-b=2$,अर्थात $a=b+2$ है। संभावित युग्म: $(-1, -3), (0, -2), (1, -1), (2, 0), (3, 1)$ ($5$ युग्म)।
यदि $z=\omega$ या $z=\omega^2$,तो $|z-a|=|z+b| \implies b=a+1$ है। संभावित युग्म: $(-3, -2), (-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3)$ ($6$ युग्म)।
कुल अद्वितीय युग्म: $5 + 6 = 11$।

(D) दिया गया है कि $\operatorname{det}(A) = 0$,इसलिए $\alpha \beta - (-6) = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha \beta = -6$।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = 1$,इसलिए हम द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ को हल करते हैं,जो $x^2 - x - 6 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर $(x - 3)(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 3$ या $x = -2$ है।
चूंकि $\alpha > 0$ है,इसलिए $\alpha = 3$ और $\beta = -2$ है।
अतः,$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$।
$A^2$ की गणना करने पर: $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-6 & -3+2 \\ 18-12 & -6+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = A$।
चूंकि $A^2 = A$ है,इसलिए सभी $n \geq 1$ के लिए $A^n = A$ होता है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर: $(I + A)^8 = I + \binom{8}{1}A + \binom{8}{2}A^2 + \dots + \binom{8}{8}A^8$।
चूंकि $k \geq 1$ के लिए $A^k = A$ है,इसलिए $(I + A)^8 = I + A(\binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \dots + \binom{8}{8})$।
योग $\sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$ है।
अतः,$(I + A)^8 = I + 255A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 255 \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 765 & 0 - 255 \\ 0 + 1530 & 1 - 510 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 766 & -255 \\ 1530 & -509 \end{bmatrix}$।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण: $A^2(A-2I) - 4(A-I) = O$
इसका विस्तार करने पर: $A^3 - 2A^2 - 4A + 4I = O$
अतः,$A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$
अब,$A^4$ ज्ञात करने के लिए $A$ से गुणा करने पर:
$A^4 = 2A^3 + 4A^2 - 4A$
$A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$ का मान रखने पर:
$A^4 = 2(2A^2 + 4A - 4I) + 4A^2 - 4A$
$A^4 = 4A^2 + 8A - 8I + 4A^2 - 4A = 8A^2 + 4A - 8I$
अब,$A^5$ ज्ञात करने के लिए पुनः $A$ से गुणा करने पर:
$A^5 = 8A^3 + 4A^2 - 8A$
पुनः $A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$ का मान रखने पर:
$A^5 = 8(2A^2 + 4A - 4I) + 4A^2 - 8A$
$A^5 = 16A^2 + 32A - 32I + 4A^2 - 8A$
$A^5 = 20A^2 + 24A - 32I$
$A^5 = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 20, \beta = 24, \gamma = -32$ प्राप्त होता है
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 20 + 24 - 32 = 12$

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix}$।
चूंकि $A$ एक लंबकोणीय आव्यूह है,$A^T A = I$,जिसका अर्थ है $A^T = A^{-1}$।
दिया गया है $A^2 = A^T$,इसलिए $A^2 = A^{-1}$।
दोनों पक्षों को $A$ से गुणा करने पर,हमें $A^3 = I$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $B = (A + I)^3 + (A - I)^3 - 6A$ पर विचार करें।
घनों का विस्तार करने पर:
$(A + I)^3 = A^3 + 3A^2 + 3A + I$।
$(A - I)^3 = A^3 - 3A^2 + 3A - I$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$(A + I)^3 + (A - I)^3 = (A^3 + 3A^2 + 3A + I) + (A^3 - 3A^2 + 3A - I) = 2A^3 + 6A$।
इसे $B$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = (2A^3 + 6A) - 6A = 2A^3$।
चूंकि $A^3 = I$,इसलिए $B = 2I = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$।
$B$ के विकर्ण तत्वों का योग (ट्रेस) $2 + 2 + 2 = 6$ है।

(D) एक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ सिंगुलर होता है यदि $|A| = ad - bc = 0$,जिसका अर्थ है $ad = bc$.
हमें $a, b, c, d \in \{2, 3, 6, 9\}$ चुनना है।
स्थिति $1$: सभी अवयव समान हैं। ऐसे $4$ आव्यूह संभव हैं।
स्थिति $2$: दो भिन्न अवयवों का उपयोग किया जाता है। $ad = bc$ शर्त के अनुसार,$(2 \times 9, 3 \times 6) = (18, 18)$ संभव है।
इस प्रकार,कुल $36$ सिंगुलर आव्यूह प्राप्त होते हैं।

(C) $Q^{-1} = Q^T \implies QQ^T = I$। अतः,$Q$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है।
मान लीजिए $Q = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ है।
प्रतिबंध $PQ = QP$ का अर्थ है:
$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2a_1 & 2b_1 & 2c_1 \\ 2a_2 & 2b_2 & 2c_2 \\ 3a_3 & 3b_3 & 3c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a_1 & 2b_1 & 3c_1 \\ 2a_2 & 2b_2 & 3c_2 \\ 2a_3 & 2b_3 & 3c_3 \end{bmatrix}$
अवयवों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $2c_1 = 3c_1 \implies c_1 = 0$,$2c_2 = 3c_2 \implies c_2 = 0$,$3a_3 = 2a_3 \implies a_3 = 0$,और $3b_3 = 2b_3 \implies b_3 = 0$।
चूंकि $Q$ लांबिक है,$Q^T Q = I$। $Q = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & 0 & c_3 \end{bmatrix}$ के लिए,प्रतिबंध $Q^T Q = I$ का अर्थ है $a_1^2 + a_2^2 = 1$,$b_1^2 + b_2^2 = 1$,$a_1b_1 + a_2b_2 = 0$,और $c_3^2 = 1$।
चूंकि प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं,$c_3 \in \{1, -1\}$। $2 \times 2$ ब्लॉक के लिए,पूर्णांक प्रविष्टियों वाले संभावित लांबिक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ हैं।
ऐसे $8$ आव्यूह हैं और $c_3$ के लिए $2$ विकल्प हैं,जिससे कुल $8 \times 2 = 16$ आव्यूह प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है $QR = RP$ जहाँ $R = \begin{bmatrix} r_1 & r_2 \\ r_3 & r_4 \end{bmatrix}$ और $r_i \neq 0$ है।
$Q$ और $R$ का गुणा करने पर $\begin{bmatrix} xr_1 + yr_3 & xr_2 + yr_4 \\ zr_1 + 4r_3 & zr_2 + 4r_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2r_1 & 3r_2 \\ 2r_3 & 3r_4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अवयवों की तुलना करने पर:
$1$) $xr_1 + yr_3 = 2r_1 \Rightarrow (x-2)r_1 = -yr_3 \Rightarrow \frac{r_3}{r_1} = \frac{2-x}{y}$.
$2$) $zr_1 + 4r_3 = 2r_3 \Rightarrow zr_1 = -2r_3 \Rightarrow \frac{r_3}{r_1} = -\frac{z}{2}$.
इन दोनों की तुलना करने पर,$\frac{2-x}{y} = -\frac{z}{2} \Rightarrow 4-2x = -yz \Rightarrow yz = 2x-4$.
$3$) $xr_2 + yr_4 = 3r_2 \Rightarrow (x-3)r_2 = -yr_4 \Rightarrow \frac{r_4}{r_2} = \frac{3-x}{y}$.
$4$) $zr_2 + 4r_4 = 3r_4 \Rightarrow zr_2 = -r_4 \Rightarrow \frac{r_4}{r_2} = -z$.
इन दोनों की तुलना करने पर,$\frac{3-x}{y} = -z \Rightarrow 3-x = -yz \Rightarrow yz = x-3$.
$yz$ की तुलना करने पर: $2x-4 = x-3 \Rightarrow x = 1$. अतः $yz = 1-3 = -2$.
$Q$ का अभिलक्षणिक बहुपद $|Q - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & y \\ z & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - yz = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - (-2) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3)$.
$(A)$ $|Q-2I| = (2-2)(2-3) = 0$. सत्य।
$(B)$ $|Q-6I| = (6-2)(6-3) = 4 \times 3 = 12$. सत्य।
$(C)$ $|Q-3I| = (3-2)(3-3) = 0 \neq 15$. असत्य।
$(D)$ $yz = -2 \neq 2$. असत्य।
अतः,$(A)$ और $(B)$ सत्य हैं।

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$. आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,$|A| \neq 0$.
$|A| = (1 - \omega c)(1 - a\omega) \neq 0$.
अतः $c \neq \omega^2$ और $a \neq \omega^2$.
चूंकि $a, b, c \in \{\omega, \omega^2\}$,इसलिए $a = \omega$ और $c = \omega$ प्राप्त होता है।
$b$ का मान $\omega$ या $\omega^2$ हो सकता है।
अतः,समुच्चय $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या $2$ है।

(C) हमारे पास है,$(1+\Delta)(1-\nabla) f(x)$
$= (1+\Delta) \{ f(x) - \nabla f(x) \}$
$= (1+\Delta) \{ f(x) - (f(x) - f(x-h)) \}$
$= (1+\Delta) f(x-h)$
चूँकि $E = 1 + \Delta$,इसलिए $E f(x-h) = f(x-h+h) = f(x)$.
अतः,$(1+\Delta)(1-\nabla) f(x) = f(x) = 1 \cdot f(x)$.
इसलिए,$(1+\Delta)(1-\nabla) = 1$.

(D) मान लीजिए $P = A^2 B^2 - B^2 A^2$ है।
$P$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर:
$P^T = (A^2 B^2 - B^2 A^2)^T = (A^2 B^2)^T - (B^2 A^2)^T$।
गुणधर्म $(XY)^T = Y^T X^T$ का उपयोग करने पर:
$P^T = (B^2)^T (A^2)^T - (A^2)^T (B^2)^T$।
चूंकि $A$ सममित है $(A^T = A)$ और $B$ विषम-सममित है $(B^T = -B)$,हमें प्राप्त होता है $(A^2)^T = (A^T)^2 = A^2$ और $(B^2)^T = (B^T)^2 = (-B)^2 = B^2$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P^T = B^2 A^2 - A^2 B^2 = -(A^2 B^2 - B^2 A^2) = -P$।
चूंकि $P^T = -P$,$P$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
विषम कोटि $n$ (यहाँ $n=3$) के किसी भी विषम-सममित आव्यूह $P$ के लिए,सारणिक $\det(P) = 0$ होता है।
चूंकि $\det(P) = 0$,निकाय $PX = 0$ का एक अशून्य हल होता है,जिसका अर्थ है कि इसके अनंत हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $(A-2I)(A-4I)=0$
गुणनफल का विस्तार करने पर: $A^2 - 4A - 2A + 8I = 0$
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $A^2 - 6A + 8I = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $A^2 + 8I = 6A$
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर (चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है):
$(A^2 + 8I)A^{-1} = 6A A^{-1}$
$A^2 A^{-1} + 8I A^{-1} = 6I$
$A + 8A^{-1} = 6I$
पूरे समीकरण को $6$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{6}A + \frac{8}{6}A^{-1} = \frac{6}{6}I$
$\frac{1}{6}A + \frac{4}{3}A^{-1} = I$

(C) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$ हैं।
गुणनफल $AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$
$= \cos(\alpha - \beta) \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \end{bmatrix}$.
यदि $AB$ एक शून्य आव्यूह है,तो $\cos(\alpha - \beta) = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\alpha - \beta = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$,जो $\pi / 2$ का एक विषम गुणज है।

(D) दिया गया है $B = I - {}^{3}C_{1}(\operatorname{adj} A) + {}^{3}C_{2}(\operatorname{adj} A)^{2} - {}^{3}C_{3}(\operatorname{adj} A)^{3}$।
द्विपद विस्तार $(I - X)^{3} = I - {}^{3}C_{1}X + {}^{3}C_{2}X^{2} - {}^{3}C_{3}X^{3}$ का उपयोग करने पर,हमें $B = (I - \operatorname{adj} A)^{3}$ प्राप्त होता है।
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ के लिए,इसका एड्जॉइंट $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ है।
अतः $I - \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$।
अब,$B = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}^{3} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$।
वर्ग की गणना करने पर: $\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
घन की गणना करने पर: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $B$ के सभी अवयवों का योग $(-1) + (-3) + 0 + (-1) = -5$ है।

(C) हम जानते हैं कि आव्यूह के गुणधर्म के अनुसार $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$,जहाँ $I$ उसी कोटि का तत्समक आव्यूह है।
हालाँकि,दिया गया आव्यूह $M = A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} -10 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 2 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$ एक अदिश आव्यूह नहीं है (क्योंकि $(2,3)$ स्थान पर अवयव $2$ है)।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर: $|A(\operatorname{adj} A)| = |M|$.
गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ का उपयोग करने पर,$|A| |\operatorname{adj} A| = |M|$.
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ जहाँ $n=3$,इसलिए $|A| \cdot |A|^{3-1} = |M|$,जो सरल होकर $|A|^3 = |M|$ हो जाता है।
आव्यूह $M$ का सारणिक ज्ञात करने पर: $|M| = -10((-10)(-10) - (0)(2)) - 0 + 0 = -10(100) = -1000$.
अतः,$|A|^3 = -1000$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$|A| = -10$.

(D) दिया गया आव्यूह $M = \left[\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^{2} \\ \omega & \omega^{2} & 1 \\ \omega^{2} & 1 & \omega\end{array}\right]$ है।
आव्यूह $A$,$M$ के अवयवों के व्युत्क्रम से बना है,अतः $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & \frac{1}{\omega} & \frac{1}{\omega^2} \\ \frac{1}{\omega} & \frac{1}{\omega^2} & 1 \\ \frac{1}{\omega^2} & 1 & \frac{1}{\omega}\end{array}\right]$ है।
गुणधर्म $\omega^3 = 1$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$.
इस प्रकार,$A = \left[\begin{array}{ccc}1 & \omega^2 & \omega \\ \omega^2 & \omega & 1 \\ \omega & 1 & \omega^2\end{array}\right]$ है।
अब,सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(\omega^3 - 1) - \omega^2(\omega^4 - \omega) + \omega(\omega^2 - \omega^2)$
$|A| = 1(1 - 1) - \omega^2(\omega - \omega) + \omega(0)$
$|A| = 0 - 0 + 0 = 0$.
चूंकि आव्यूह $A$ का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है,और अतः $A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।

(D) दिया गया है,$A+B=\left[\begin{array}{cc}1 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right] \dots(i)$
दोनों पक्षों का परिवर्त लेने पर,$A^T+B^T=\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right]$.
चूंकि $A$ सममित $(A^T=A)$ है और $B$ विषम-सममित $(B^T=-B)$ है,हमारे पास $A-B=\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right] \dots(ii)$ है।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$2A = \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right] \implies A = I = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर,$2B = \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \tan \frac{\theta}{2} \\ -2 \tan \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right] \implies B = \left[\begin{array}{cc}0 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
अतः $A^{-1} = I^{-1} = I$ और $B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & -\cot \frac{\theta}{2} \\ \cot \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
अब,$A^{-1}B + AB^{-1} = B + B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & \tan \frac{\theta}{2} - \cot \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
$\tan \frac{\theta}{2} - \cot \frac{\theta}{2} = -2 \cot \theta$ का उपयोग करने पर,$A^{-1}B + AB^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & -2 \cot \theta \\ 2 \cot \theta & 0\end{array}\right]$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ पर,$\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
इस प्रकार,आव्यूह $\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \sqrt{3} \\ 2 \sqrt{3} & 0\end{array}\right]$ प्राप्त होता है।

(A) आव्यूहों के गुणनफल के परिवर्त (transpose) का गुणधर्म यह है कि $(AB)^T = B^T A^T$ होता है।
अतः,कथन $(AB)^T = A^T B^T$ सामान्यतः गलत है,जब तक कि $A$ और $B$ क्रमविनिमेय न हों।
विकल्प $(B)$ परिवर्त का एक मानक गुणधर्म है: $(A+B)^T = A^T + B^T$।
विकल्प $(C)$ आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का एक मूलभूत गुणधर्म है: $A \operatorname{adj} A = |A| I$।
विकल्प $(D)$ गुणनफल के प्रतिलोम (inverse) का एक मानक गुणधर्म है: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$।
इस प्रकार,गलत कथन $(A)$ है।

(C) यहाँ हमें आव्यूह $A$ और $B$ दिए गए हैं। हमें $A - B$ ज्ञात करना है।
$A - B = \frac{1}{\pi} \left[ \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} \right]$
संगत अवयवों को घटाने पर:
$A - B = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) - (-\cos^{-1}(\pi x)) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) - (-\tan^{-1}(\pi x)) \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ और $\tan^{-1}(\theta) + \cot^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$A - B = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} I$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा कथन सत्य है,हम पहले $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = 4I$.
चूंकि $A^2 = 4I$,इसलिए विकल्प $A$ सही है।
हम सारणिक की भी जाँच कर सकते हैं: $|A| = 0(0 - 0) - 0(0 - 0) - 2(0 - 4) = -2(-4) = 8$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A$ एक विकर्ण आव्यूह नहीं है क्योंकि इसके मुख्य विकर्ण के बाहर भी गैर-शून्य तत्व मौजूद हैं।

(A) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ के लिए,अभिलक्षणिक समीकरण है:
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 1-\lambda & 3 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(1-\lambda)[(1-\lambda)(-\lambda) - 3] - 2[2(-\lambda) - 3] + 1[2 - (1-\lambda)] = 0$.
$(1-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 3) - 2(-2\lambda - 3) + (1 + \lambda) = 0$.
$(\lambda^2 - \lambda - 3 - \lambda^3 + \lambda^2 + 3\lambda) + 4\lambda + 6 + 1 + \lambda = 0$.
$-\lambda^3 + 2\lambda^2 + 7\lambda + 4 = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $\lambda^3 - 2\lambda^2 - 7\lambda - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है:
$A^3 - 2A^2 - 7A - 4I_3 = 0$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $A^3 - 2A^2 + kA - 4I_3 = 0$ से करने पर,हमें $k = -7$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया आव्यूह $A_r = \begin{bmatrix} r & r-1 \\ r-1 & r \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A_r|$ की गणना करने पर:
$|A_r| = (r)(r) - (r-1)(r-1) = r^2 - (r^2 - 2r + 1) = 2r - 1$.
हमें योग $\sum_{r=1}^{109} |A_r| = \sum_{r=1}^{109} (2r - 1)$ ज्ञात करना है।
यह प्रथम $109$ विषम संख्याओं का योग है,जो सूत्र $n^2$ द्वारा दिया जाता है जहाँ $n = 109$.
अतः,$\sum_{r=1}^{109} (2r - 1) = 109^2$.
यदि प्रश्न में योग की सीमा $100$ होती,तो $100^2 = 10^4 = (\sqrt{10})^8$ या $100^2 = 10000 = 10^4$ प्राप्त होता,जिससे $k=4$ सही उत्तर होता।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ $3 \times 3$ क्रम के आव्यूह हैं,इसलिए $n=3$ है।
हम सारणिक का गुणधर्म जानते हैं: $|kA| = k^n |A|$,जहाँ $n$ आव्यूह का क्रम है।
साथ ही,$|AB| = |A| |B|$ होता है।
इसलिए,$|3AB| = 3^3 |AB| = 27 |A| |B|$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $|3AB| = 27 \times 5 \times 3$।
$|3AB| = 27 \times 15 = 405$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है,$\omega^{3}=1$ और $1+\omega+\omega^{2}=0$.
सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega^{2} & 1-\omega \\ \omega & 1 & 1+\omega^{2} \\ 1 & \omega & \omega^{2} \end{array}\right|$.
$1+\omega^{2} = -\omega$ का उपयोग करने पर,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega^{2} & 1-\omega \\ \omega & 1 & -\omega \\ 1 & \omega & \omega^{2} \end{array}\right|$.
$R_{1}$ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(\omega^{2} - (-\omega^{2})) - \omega^{2}(\omega^{3} - (-\omega)) + (1-\omega)(\omega^{2} - 1)$
$\Delta = 2\omega^{2} - \omega^{2}(1+\omega) + (\omega^{2} - 1 - 1 + \omega)$
$\Delta = 2\omega^{2} - \omega^{2} - 1 + \omega^{2} - 2 + \omega = 2\omega^{2} + \omega - 3$.
चूंकि $1+\omega+\omega^{2}=0$,इसलिए $\omega = -1-\omega^{2}$.
अतः,$\Delta = 2\omega^{2} + (-1-\omega^{2}) - 3 = \omega^{2} - 4$.

(C) दिया गया है कि $A^2 = A$ है।
हमें $(I+A)^3$ का विस्तार द्विपद प्रमेय $(I+A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$ का उपयोग करके करना है।
चूंकि $I$ एक तत्समक आव्यूह है,इसलिए $I^n = I$ और $IA = AI = A$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(I+A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$.
चूंकि $A^2 = A$ है,इसलिए $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ होगा।
अब $A^2 = A$ और $A^3 = A$ को व्यंजक में रखने पर:
$(I+A)^3 = I + 3A + 3(A) + A$.
$(I+A)^3 = I + 3A + 3A + A$.
$(I+A)^3 = I + 7A$.

(A) दिया गया है,$AB = B$ और $BA = A$ ... $(i)$
हमें $A^{2} + B^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
दिए गए संबंधों का उपयोग करते हुए:
$A^{2} = A \cdot A = A(BA) = (AB)A = BA = A$
इसी प्रकार,$B^{2} = B \cdot B = B(AB) = (BA)B = AB = B$
अतः,$A^{2} + B^{2} = A + B$.

(A) दिया गया है कि $A^2=A$ है।
हमें $(I-A)^3$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूहों के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(I-A)^3 = I^3 - 3I^2A + 3IA^2 - A^3$।
चूंकि $I^n = I$ और $A^2 = A$ है,इसलिए $A^3 = A^2 \times A = A \times A = A^2 = A$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(I-A)^3 = I - 3A + 3A - A$।
$(I-A)^3 = I - A$।

(D) मान लीजिए $M$ एक सममित आव्यूह है जिसका रूप $M = \begin{bmatrix} a & c \\ c & b \end{bmatrix}$ है,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$ है।
किसी आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,उसका सारणिक (determinant) शून्य नहीं होना चाहिए।
$M$ का सारणिक $|M| = ab - c^2$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,हमें $|M| \neq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $ab - c^2 \neq 0$,या $ab \neq c^2$ है।
एक सममित आव्यूह में,दूसरे विकर्ण की प्रविष्टियाँ दोनों $c$ हैं,इसलिए उनका गुणनफल $c^2$ है।
अतः,व्युत्क्रमणीयता के लिए शर्त यह है कि मुख्य विकर्ण की प्रविष्टियों का गुणनफल $(ab)$ दूसरे विकर्ण की प्रविष्टियों के गुणनफल $(c^2)$ के बराबर नहीं होना चाहिए।

(A) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ हैं।
सबसे पहले,हम $B$ का परिवर्त आव्यूह $B'$ ज्ञात करते हैं,जो $B' = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक के गुणधर्म $|XYZ| = |X||Y||Z|$ का उपयोग करते हुए,हमें $|A B B'| = |A| |B| |B'|$ प्राप्त होता है।
सारणिकों की गणना करें:
$|A| = (1 \times 2) - (3 \times 4) = 2 - 12 = -10$.
$|B| = (2 \times 2) - (-1 \times 1) = 4 + 1 = 5$.
$|B'| = (2 \times 2) - (1 \times -1) = 4 + 1 = 5$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$|A B B'| = (-10) \times (5) \times (5) = -250$.

(D) दिया गया है कि $ P=\left|\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & x\end{array}\right| $ और $ Q=\left|\begin{array}{lll}x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x\end{array}\right| $.
सारणिक $ P $ की गणना करने पर:
$ P = x(x) - (1)(1) = x^{2}-1 $.
सारणिक $ Q $ की गणना करने पर:
$ Q = x(x^{2}-1) - 1(x-1) + 1(1-x) $.
$ Q = x^{3} - x - x + 1 + 1 - x $.
$ Q = x^{3} - 3x + 2 $.
अब,$ Q $ का $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ \frac{d Q}{d x} = \frac{d}{d x}(x^{3} - 3x + 2) = 3x^{2} - 3 $.
$ 3 $ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$ \frac{d Q}{d x} = 3(x^{2} - 1) $.
चूंकि $ P = x^{2} - 1 $,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$ \frac{d Q}{d x} = 3P $.

(D) दिए गए आव्यूह $ A = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ और $ B = \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ हैं।
$ A $ में से $ B $ घटाने पर:
$ A - B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\pi x) + \cos^{-1}(\pi x) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \frac{1}{\pi} \cot^{-1}(\pi x) + \tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $.
मानक सर्वसमिका $ \sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2} $ और $ \tan^{-1} \theta + \cot^{-1} \theta = \frac{\pi}{2} $ का उपयोग करते हुए,पदों को सरल करने पर हमें $ \frac{1}{2} I $ प्राप्त होता है,जहाँ $ I $ एक तत्समक आव्यूह है।

(C) चूंकि $A$ एक सिंगुलर आव्यूह है,इसका सारणिक शून्य है: $\left| \begin{smallmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & k & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{smallmatrix} \right| = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $2(5k - 2) - 3(5 - 8) + 4(1 - 4k) = 0$.
$10k - 4 + 9 + 4 - 16k = 0$.
$-6k + 9 = 0$ $\Rightarrow 6k = 9$ $\Rightarrow k = \frac{3}{2}$.
आवश्यक द्विघात समीकरण के मूल $\alpha = k = \frac{3}{2}$ और $\beta = \frac{1}{k} = \frac{2}{3}$ हैं।
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ है।
$x^2 - (\frac{3}{2} + \frac{2}{3})x + (\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}) = 0$.
$x^2 - (\frac{9+4}{6})x + 1 = 0$.
$x^2 - \frac{13}{6}x + 1 = 0$.
$6$ से गुणा करने पर,$6x^2 - 13x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,$A$,$C$,और $D$ के मान ज्ञात करते हैं:
$A = \left| \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right| = 1$.
$C = -1$.
$D = -2$.
समीकरण $x^3 + Bx^2 - x + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। $\alpha + \beta = 0$ दिया गया है।
विएटा के सूत्र के अनुसार,$\alpha + \beta + \gamma = -B$,इसलिए $\gamma = -B$.
समीकरण में $\gamma = -B$ रखने पर:
$(-B)^3 + B(-B)^2 - (-B) + 2 = 0$
$-B^3 + B^3 + B + 2 = 0$
$B = -2$.

(D) दिया गया है $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = e^{i \pi / 3}$.
यहाँ $\alpha^3 = e^{i \pi} = -1$ और $\alpha^6 = 1$ है।
सारणिक $D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha^2 & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha^2 & 1 \end{array} \right|$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = 1(1 - \alpha^3) - \alpha(\alpha^2 - \alpha^2) + \alpha^2(\alpha^4 - \alpha) = 1(1 - (-1)) - 0 + \alpha^2(\alpha^4 - \alpha) = 2 + \alpha^6 - \alpha^3 = 2 + 1 - (-1) = 4$.