Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Hindi

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ क्योंकि यह एक सममित आव्यूह है।
दिया गया है $|A| = ac - b^2 = 2$।
आव्यूह समीकरण $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$2a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - 2a$
$2b + c = 2 \Rightarrow c = 2 - 2b = 2 - 2(1 - 2a) = 4a$
$ac - b^2 = 2$ में $b$ और $c$ का मान रखने पर:
$a(4a) - (1 - 2a)^2 = 2$
$4a^2 - (1 - 4a + 4a^2) = 2$
$4a^2 - 1 + 4a - 4a^2 = 2$
$4a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{4}$
तब $b = 1 - 2(\frac{3}{4}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ और $c = 4(\frac{3}{4}) = 3$।
अब,$\alpha$ और $\beta$ की गणना करें:
$\alpha = 3a + \frac{3}{2}b = 3(\frac{3}{4}) + \frac{3}{2}(-\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$\beta = 3b + \frac{3}{2}c = 3(-\frac{1}{2}) + \frac{3}{2}(3) = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{6}{2} = 3$
विकर्ण तत्वों का योग $s = a + c = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$।
अंत में,$\frac{\beta s}{\alpha^2} = \frac{3 \times \frac{15}{4}}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{\frac{45}{4}}{\frac{9}{4}} = 5$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix}$,जहाँ $d = |A| = mq - np \neq 0$ है।
$A$ का एड्जॉइंट $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} q & -n \\ -p & m \end{bmatrix}$ है।
हमें दिया गया है $|A - d(\operatorname{adj} A)| = 0$ है।
मैट्रिक्स को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix} - d \begin{bmatrix} q & -n \\ -p & m \end{bmatrix}| = 0$
$|\begin{bmatrix} m - qd & n + nd \\ p + pd & q - md \end{bmatrix}| = 0$
$|\begin{bmatrix} m - qd & n(1+d) \\ p(1+d) & q - md \end{bmatrix}| = 0$
$(m - qd)(q - md) - np(1+d)^2 = 0$
$mq - m^2d - q^2d + mqd^2 - np(1+d)^2 = 0$
$(mq - np) + d^2(mq - np) - d(m^2 + q^2 + 2np) = 0$
चूँकि $d = mq - np$,हमारे पास है:
$d + d^3 - d(m^2 + q^2 + 2np) = 0$
$d$ से विभाजित करने पर (चूँकि $d \neq 0$):
$1 + d^2 - (m^2 + q^2 + 2np) = 0$
$1 + d^2 = m^2 + q^2 + 2np$
चूँकि $(m+q)^2 = m^2 + q^2 + 2mq$,हम लिख सकते हैं $m^2 + q^2 = (m+q)^2 - 2mq$।
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2mq + 2np$
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2(mq - np)$
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2d$
$1 + 2d + d^2 = (m+q)^2$
$(1+d)^2 = (m+q)^2$।

(C) सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = A$.
चूंकि $A^2 = A$,इसलिए सभी $n \geq 1$ के लिए $A^n = A$ होगा।
$(A + I)^{11}$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए:
$(A + I)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} A^k I^{11-k} = \binom{11}{0} I + \sum_{k=1}^{11} \binom{11}{k} A^k$.
चूंकि $k \geq 1$ के लिए $A^k = A$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(A + I)^{11} = I + A \left( \sum_{k=1}^{11} \binom{11}{k} \right) = I + A (2^{11} - 1) = I + 2047A$.
$(A + I)^{11} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 2047 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2048 & 0 & 0 \\ 0 & 8189 & -2047 \\ 0 & 24564 & -6140 \end{bmatrix}$.
विकर्ण तत्वों का योग (ट्रेस) $2048 + 8189 - 6140 = 4097$ है।

(D) मान लीजिए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ है।
हमें $a+b+c+d = S$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है,जहाँ $S \in \{3, 5, 7, 11\}$ है।
एक प्रविष्टि के लिए जनरेटिंग फलन $(1+x+x^2+x^3+x^4) = \frac{1-x^5}{1-x}$ है।
चार प्रविष्टियों के लिए,जनरेटिंग फलन $(1-x^5)^4(1-x)^{-4}$ है।
$S=3$ के लिए: $x^3$ का गुणांक $\binom{6}{3} = 20$ है।
$S=5$ के लिए: $x^5$ का गुणांक $\binom{8}{5} - 4 = 52$ है।
$S=7$ के लिए: $x^7$ का गुणांक $\binom{10}{7} - 4\binom{5}{2} = 80$ है।
$S=11$ के लिए: $x^{11}$ का गुणांक $\binom{14}{11} - 4\binom{9}{6} + 6\binom{4}{1} = 52$ है।
कुल आव्यूहों की संख्या $= 20 + 52 + 80 + 52 = 204$।

(A) दिया गया है $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$.
$C_1 \rightarrow C_1+C_2+C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}2+\sin 2x & \cos^2 x & \sin 2x \\ 2+\sin 2x & 1+\cos^2 x & \sin 2x \\ 2+\sin 2x & \cos^2 x & 1+\sin 2x\end{array}\right|$
$C_1$ से $(2+\sin 2x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$f(x)=(2+\sin 2x)\left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 x & \sin 2x \\ 1 & 1+\cos^2 x & \sin 2x \\ 1 & \cos^2 x & 1+\sin 2x\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ लागू करने पर:
$f(x)=(2+\sin 2x)\left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 x & \sin 2x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = 2+\sin 2x$.
$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ के लिए,$2x \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$ है।
अतः,$\sin 2x \in \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$ है।
इस प्रकार,$f(x) \in \left[2+\frac{\sqrt{3}}{2}, 3\right]$ है।
इसलिए,$\alpha = 3$ और $\beta = 2+\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4+\sqrt{3}}{2}$ है।

(D) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A^2 = I$,अतः:
$\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p^2 + qr & pq + qs \\ pr + rs & rq + s^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
विकर्ण के अलावा अन्य तत्वों से,$q(p + s) = 0$ और $r(p + s) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $a_{ij} \neq 0$,इसलिए $q \neq 0$ और $r \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $p + s = 0$.
विकर्ण तत्वों का योग $a = p + s = 0$.
साथ ही,$p^2 + qr = 1$ और $s^2 + qr = 1$ है। चूँकि $p + s = 0$,$s = -p$,इसलिए $p^2 = s^2$,जो सुसंगत है।
सारणिक $b = |A| = ps - qr$.
चूँकि $s = -p$,$b = -p^2 - qr = -(p^2 + qr) = -1$.
हमें $3a^2 + 4b^2$ की गणना करनी है।
$a = 0$ और $b = -1$ रखने पर:
$3(0)^2 + 4(-1)^2 = 3(0) + 4(1) = 4$.

(C) दिया गया है $P^2 = I - P$.
हम $P$ की घातों की गणना करते हैं:
$P^3 = P(I - P) = P - P^2 = P - (I - P) = 2P - I$.
$P^4 = P(2P - I) = 2P^2 - P = 2(I - P) - P = 2I - 3P$.
$P^5 = P(2I - 3P) = 2P - 3P^2 = 2P - 3(I - P) = 5P - 3I$.
$P^6 = P(5P - 3I) = 5P^2 - 3P = 5(I - P) - 3P = 5I - 8P$.
$P^7 = P(5I - 8P) = 5P - 8P^2 = 5P - 8(I - P) = 13P - 8I$.
$P^8 = P(13P - 8I) = 13P^2 - 8P = 13(I - P) - 8P = 13I - 21P$.
अब,$P^8 + P^6 = (13I - 21P) + (5I - 8P) = 18I - 29P$.
$P^\alpha + P^\beta = \gamma I - 29P$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 8, \beta = 6, \gamma = 18$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$P^8 - P^6 = (13I - 21P) - (5I - 8P) = 8I - 13P$.
$P^\alpha - P^\beta = \delta I - 13P$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\delta = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma - \delta = 8 + 6 + 18 - 8 = 24$.

(B) दिया गया है $Q = PAP^{T}$।
हमें $P^{T}Q^{2007}P$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $Q = PAP^{T}$,तो $Q^{2007} = (PAP^{T})(PAP^{T})\dots(PAP^{T})$ ($2007$ बार)।
$Q^{2007} = PA(P^{T}P)A(P^{T}P)A\dots A P^{T}$।
चूंकि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $P^{T}P = I$ होता है।
अतः,$Q^{2007} = PA^{2007}P^{T}$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$P^{T}(PA^{2007}P^{T})P = (P^{T}P)A^{2007}(P^{T}P) = I \cdot A^{2007} \cdot I = A^{2007}$ प्राप्त होता है।
$A = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ के लिए,$A^{n} = \left[\begin{array}{ll}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right]$ होता है।
इसलिए,$A^{2007} = \left[\begin{array}{cc}1 & 2007 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$।
इससे $a=1, b=2007, c=0, d=1$ प्राप्त होता है।
अब $2a+b-3c-4d = 2(1) + 2007 - 3(0) - 4(1) = 2 + 2007 - 4 = 2005$।

(A) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b, c, d \in \{0, 1, 2\}$ है।
कुल आव्यूहों की संख्या $n(S) = 3^4 = 81$ है।
$M$ व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि $\det(M) = ad - bc \neq 0$ हो।
यहाँ $P(A) = \frac{50}{81}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $A^{T} = \alpha A + I$। दोनों पक्षों का परिवर्त लेने पर,$A = \alpha A^{T} + I$।
दूसरे समीकरण में $A^{T}$ का मान रखने पर: $A = \alpha(\alpha A + I) + I = \alpha^2 A + (\alpha + 1)I$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $A(1 - \alpha^2) = (\alpha + 1)I$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha \neq -1$,$(1 + \alpha)$ से विभाजित करने पर $A(1 - \alpha) = I$ मिलता है,इसलिए $A = \frac{1}{1 - \alpha}I$।
अतः $\det(A) = \frac{1}{(1 - \alpha)^2}$।
साथ ही,$A - I = \frac{1}{1 - \alpha}I - I = \frac{1 - (1 - \alpha)}{1 - \alpha}I = \frac{\alpha}{1 - \alpha}I$।
अतः $\det(A - I) = \left(\frac{\alpha}{1 - \alpha}\right)^2$।
दिया गया है $\det(A^2 - A) = \det(A)\det(A - I) = 4$।
मान रखने पर: $\frac{1}{(1 - \alpha)^2} \cdot \frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^2} = 4$।
$\frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^4} = 4 \Rightarrow \left(\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2}\right)^2 = 2^2$।
इसका अर्थ है $\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} = 2$ या $\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} = -2$।
स्थिति $1$: $\alpha = 2(1 - 2\alpha + \alpha^2) \Rightarrow 2\alpha^2 - 5\alpha + 2 = 0$। हल $\alpha = 2$ और $\alpha = 1/2$ हैं।
स्थिति $2$: $\alpha = -2(1 - 2\alpha + \alpha^2) \Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0$। विविक्तकर $D = 9 - 16 = -7 < 0$,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
$\alpha$ के संभावित मान $2$ और $1/2$ हैं।
योग $2 + 1/2 = 5/2$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+2 & 2c & 3 \\ 3 & a+3c & 2a \\ ac & 1 & 2+3c \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} a+2 & 2c & 3 \\ 3 & a+3c & 2a \\ ac & 1 & 2+3c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A$ की तुलना करने पर,$(1,1)$ अवयव के लिए: $2ac + 3 = 0 \implies ac = -\frac{3}{2}$.
$(1,2)$ अवयव के लिए: $a + 2 + 3c = 1 \implies a + 3c = -1$.
$c = -\frac{3}{2a}$ को $a + 3c = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 3(-\frac{3}{2a}) = -1 \implies a - \frac{9}{2a} = -1 \implies 2a^2 + 2a - 9 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-9)}}{2(2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{2}$.
चूंकि $a > 0$,हम $a = \frac{\sqrt{19} - 1}{2}$ लेते हैं।
चूंकि $4 < \sqrt{19} < 5$,इसलिए $3 < \sqrt{19} - 1 < 4$,अतः $1.5 < a < 2$.
इस प्रकार,$a \in (1, 2]$,जिसका अर्थ है कि $n = 2$।

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103x+81)$ है।
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,हम $x=0$ रखकर इसे सरल बना सकते हैं:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103(0)+81)$
विकर्ण आव्यूह का सारणिक ज्ञात करने पर:
$1 \times \lambda \times \lambda^2 = \frac{9}{8} \times 81$
$\lambda^3 = \frac{9^3}{2^3}$
$\lambda = \frac{9}{2}$.
अब,दूसरा मूल ज्ञात करें:
$\frac{\lambda}{3} = \frac{9/2}{3} = \frac{3}{2}$.
आवश्यक द्विघात समीकरण के मूल $\alpha = \frac{9}{2}$ और $\beta = \frac{3}{2}$ हैं।
समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x^2 - (\frac{9}{2} + \frac{3}{2})x + (\frac{9}{2} \times \frac{3}{2}) = 0$
$x^2 - (\frac{12}{2})x + \frac{27}{4} = 0$
$x^2 - 6x + \frac{27}{4} = 0$
$4$ से गुणा करने पर: $4x^2 - 24x + 27 = 0$.

(A) मान लीजिए $C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ और $D = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
यहाँ $CD = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ है।
चूँकि $B = CAD$ है,इसलिए $B^n = (CAD)(CAD)...(CAD) = CA^n D$ होगा।
दिए गए $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत से $A^n = \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अतः,$B^n = C A^n D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ होगा।
$B^n = \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} + 2 \\ -1 & -\frac{n}{51} - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{n}{51} + 1 & \frac{n}{51} \\ -\frac{n}{51} & 1 - \frac{n}{51} \end{bmatrix}$ होगा।
$n=1$ से $50$ तक योग करने पर:
$\sum_{n=1}^{50} B^n = \begin{bmatrix} \sum_{n=1}^{50} (\frac{n}{51} + 1) & \sum_{n=1}^{50} \frac{n}{51} \\ \sum_{n=1}^{50} (-\frac{n}{51}) & \sum_{n=1}^{50} (1 - \frac{n}{51}) \end{bmatrix}$ होगा।
$\sum_{n=1}^{50} n = \frac{50 \times 51}{2} = 1275$ का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=1}^{50} \frac{n}{51} = \frac{1275}{51} = 25$ प्राप्त होता है।
$\sum_{n=1}^{50} B^n = \begin{bmatrix} 25 + 50 & 25 \\ -25 & 50 - 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 75 & 25 \\ -25 & 25 \end{bmatrix}$ होगा।
सभी अवयवों का योग $75 + 25 - 25 + 25 = 100$ है।

(C) दिया गया है $B = \text{adj}(A)$। हम जानते हैं कि $|B| = |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$। यहाँ $n=3$ और $|A|=2$ है,इसलिए $|B| = 2^{3-1} = 2^2 = 4$।
$B$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|B| = 1(8 - 3\alpha) - 3(4 - 3\alpha) + \alpha(\alpha - 2\alpha) = 4$
$8 - 3\alpha - 12 + 9\alpha - \alpha^2 = 4$
$-\alpha^2 + 6\alpha - 4 = 4$
$\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$
$(\alpha - 2)(\alpha - 4) = 0$
चूंकि $\alpha > 2$,इसलिए $\alpha = 4$ है।
अब,$\alpha = 4$ को व्यंजक में रखने पर:
$B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 \end{bmatrix}$
व्यंजक $X^T B X$ है जहाँ $X = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix}$ है।
$X^T B X = \begin{bmatrix} 4 & -8 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 12 & 12 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix} = 48 - 96 - 32 = -80$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $|A| = 2$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$|A| = 1(6 - 1) - 2(2a - 1) + 3(a - 3) = 2$
$5 - 4a + 2 + 3a - 9 = 2$
$-a - 2 = 2 \implies a = -4$.
अब,$|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(2A))|$ का मान ज्ञात करते हैं।
चूँकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$|kA| = k^3|A|$ और $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$ होता है।
माना $M = 2A$,तो $|M| = 2^3|A| = 8(2) = 16$ है।
$|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(M))| = 2^3 |\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(M))| = 8 |2 \operatorname{adj}(M)|^2 = 8 \cdot (2^3 |\operatorname{adj}(M)|)^2 = 8 \cdot 8^2 \cdot |\operatorname{adj}(M)|^2 = 8^3 \cdot (|M|^2)^2 = 8^3 \cdot |M|^4$.
$|M| = 16 = 2^4$ रखने पर:
$|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(2A))| = (2^3)^3 \cdot (2^4)^4 = 2^9 \cdot 2^{16} = 2^{25} = (2^5)^5 = 32^5$.
अतः,$n = 5$ है।
हमें $3n + \alpha$ ज्ञात करना है,जहाँ $\alpha = a = -4$ है।
$3(5) + (-4) = 15 - 4 = 11$.

(D) कथन $I$ की जाँच करने के लिए: हम $f(x)$ में $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करके $f(-x)$ प्राप्त करते हैं।
$f(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & -\sin(-x) & 0 \\ \sin(-x) & \cos(-x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$f(x) \cdot f(-x)$ की गणना करें:
$f(x) \cdot f(-x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 x + \sin^2 x & 0 & 0 \\ 0 & \sin^2 x + \cos^2 x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूँकि $f(x) \cdot f(-x) = I$,इसलिए $f(-x)$,$f(x)$ का व्युत्क्रम है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ की जाँच करने के लिए: $f(x) \cdot f(y)$ की गणना करें:
$f(x) \cdot f(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos y & -\sin y & 0 \\ \sin y & \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x \cos y - \sin x \sin y & -(\cos x \sin y + \sin x \cos y) & 0 \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y & \cos x \cos y - \sin x \sin y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ और $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) \cdot f(y) = \begin{bmatrix} \cos(x+y) & -\sin(x+y) & 0 \\ \sin(x+y) & \cos(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = f(x+y)$.
अतः,कथन $II$ भी सत्य है।

(C) समीकरण $|A-xI|=0$ आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण है।
दिए गए मूल $\lambda_1 = -1$ और $\lambda_2 = 3$ हैं।
मूलों का योग (आव्यूह $A$ का ट्रेस) $\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 = -1 + 3 = 2$ है।
मूलों का गुणनफल (आव्यूह $A$ का सारणिक) $|A| = \lambda_1 \lambda_2 = (-1)(3) = -3$ है।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने स्वयं के अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है: $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + |A|I = 0$.
मान रखने पर: $A^2 - 2A - 3I = 0$,जिसका अर्थ है $A^2 = 2A + 3I$.
दोनों पक्षों का ट्रेस लेने पर: $\operatorname{tr}(A^2) = \operatorname{tr}(2A + 3I) = 2\operatorname{tr}(A) + 3\operatorname{tr}(I)$.
चूंकि $\operatorname{tr}(A) = 2$ और $\operatorname{tr}(I) = 1 + 1 = 2$,इसलिए:
$\operatorname{tr}(A^2) = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$.

(D) दिया गया है कि $A$ एक वर्ग आव्यूह है जिसके लिए $AA^T = I$ है। चूँकि $A$ एक वर्ग आव्यूह है,$AA^T = I$ का अर्थ है कि $A^TA = I$ भी होगा।
अब,व्यंजक $\frac{1}{2} A[(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2]$ पर विचार करें।
कोष्ठक के अंदर के वर्गों का विस्तार करने पर:
$(A+A^T)^2 = A^2 + AA^T + A^TA + (A^T)^2 = A^2 + I + I + (A^T)^2 = A^2 + (A^T)^2 + 2I$.
$(A-A^T)^2 = A^2 - AA^T - A^TA + (A^T)^2 = A^2 - I - I + (A^T)^2 = A^2 + (A^T)^2 - 2I$.
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2 = (A^2 + (A^T)^2 + 2I) + (A^2 + (A^T)^2 - 2I) = 2A^2 + 2(A^T)^2$.
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} A[2A^2 + 2(A^T)^2] = A[A^2 + (A^T)^2] = A^3 + A(A^T)^2$.
चूँकि $A(A^T) = I$,इसलिए $A(A^T)^2 = (AA^T)A^T = I A^T = A^T$.
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $A^3 + A^T$ है।

(A) हम जानते हैं कि $|P^{-1}AP - 2I| = |P^{-1}AP - 2P^{-1}IP| = |P^{-1}(A - 2I)P|$।
सारणिक के गुणधर्म $|ABC| = |A||B||C|$ का उपयोग करने पर,हमें $|P^{-1}||A - 2I||P| = |P^{-1}||P||A - 2I| = |I||A - 2I| = |A - 2I|$ प्राप्त होता है।
अब,$A - 2I = \begin{bmatrix} 2-2 & 1 & 2 \\ 6 & 2-2 & 11 \\ 3 & 3 & 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 6 & 0 & 11 \\ 3 & 3 & 0 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|A - 2I| = 0(0 - 33) - 1(0 - 33) + 2(18 - 0) = 0 + 33 + 36 = 69$ की गणना करने पर।
$69$ के अभाज्य गुणनखंड $3$ और $23$ हैं।
अतः,अभाज्य गुणनखंडों का योग $3 + 23 = 26$ है।

(C) दिया गया है $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = \lambda \neq 0$.
चूँकि $\sin \theta + \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) + \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = 0$,इसलिए $x = \frac{\lambda}{\sin \theta}$,$y = \frac{\lambda}{\sin(\theta + 2\pi/3)}$,$z = \frac{\lambda}{\sin(\theta + 4\pi/3)}$.
$\text{Trace}(R) = x + y + z = \lambda \left( \frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\sin(\theta + 2\pi/3)} + \frac{1}{\sin(\theta + 4\pi/3)} \right) = \frac{3\lambda}{\sin(3\theta)} \neq 0$.
अतः,कथन $(I)$ असत्य है।
कथन $(II)$ के लिए,$\text{adj}(\text{adj}(R)) = |R| R = (xyz) R = \begin{bmatrix} x^2yz & 0 & 0 \\ 0 & xy^2z & 0 \\ 0 & 0 & xyz^2 \end{bmatrix}$.
$\text{Trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = xyz(x+y+z)$. चूँकि $x, y, z \neq 0$ और $x+y+z \neq 0$,इसलिए ट्रेस शून्य नहीं है।
एक सशर्त कथन "यदि $P$,तो $Q$" सत्य होता है यदि $P$ असत्य हो। चूँकि परिकल्पना "trace$(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0$" असत्य है,इसलिए कथन $(II)$ रिक्त रूप से (vacuously) सत्य है।

(B) दिया गया है $A=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$,इसलिए $\operatorname{det}(A) = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) - (1)(-1) = 2 + 1 = 3$.
दिया गया है $B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $\operatorname{det}(B) = (1)(1) - (0)(1) = 1$.
चूंकि $C = ABA^T$,इसलिए $C$ का सारणिक $\operatorname{det}(C) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B) \cdot \operatorname{det}(A^T)$ होगा।
$\operatorname{det}(A^T) = \operatorname{det}(A)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\operatorname{det}(C) = \operatorname{det}(A)^2 \cdot \operatorname{det}(B) = (3)^2 \cdot 1 = 9$.
अब,हमें $\operatorname{det}(X)$ ज्ञात करना है जहाँ $X = A^T C^2 A$ है।
$\operatorname{det}(MN) = \operatorname{det}(M)\operatorname{det}(N)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\operatorname{det}(X) = \operatorname{det}(A^T) \cdot \operatorname{det}(C^2) \cdot \operatorname{det}(A)$.
चूंकि $\operatorname{det}(C^2) = (\operatorname{det}(C))^2$,इसलिए $\operatorname{det}(X) = \operatorname{det}(A) \cdot (\operatorname{det}(C))^2 \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^2 \cdot (\operatorname{det}(C))^2$.
मान रखने पर,$\operatorname{det}(X) = (3)^2 \cdot (9)^2 = 9 \cdot 81 = 729$.

(B) दिया गया है $A=I_2-2 MM^{T}$,जहाँ $M^T M=I_1=1$.
सबसे पहले,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = (I_2-2 MM^{T})(I_2-2 MM^{T})$
$= I_2 - 2 MM^{T} - 2 MM^{T} + 4 MM^{T} MM^{T}$
चूँकि $M^T M = 1$,इसलिए $M^T M M^T = (M^T M) M^T = 1 \cdot M^T = M^T$.
अतः,$A^2 = I_2 - 4 MM^{T} + 4 M(M^T M) M^T = I_2 - 4 MM^{T} + 4 MM^{T} = I_2$.
शून्येतर आव्यूह $X$ के लिए $AX = \lambda X$ दिया गया है,इसलिए:
$A^2 X = A(\lambda X) = \lambda(AX) = \lambda^2 X$.
चूँकि $A^2 = I_2$,हमारे पास $I_2 X = \lambda^2 X$ है,जिसका अर्थ है $X = \lambda^2 X$.
चूँकि $X \neq 0$,इसलिए $\lambda^2 = 1$ होना चाहिए,अर्थात $\lambda = 1$ या $\lambda = -1$.
$\lambda$ के संभावित मान $1$ और $-1$ हैं।
$\lambda$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $(1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$।
मान लीजिए $M = 2A - A^T$ और $N = A - 2A^T$ है। यहाँ $M = -N^T$ है,इसलिए $\operatorname{det}(M) = \operatorname{det}(-N^T) = (-1)^3 \operatorname{det}(N) = -\operatorname{det}(N)$।
दिया गया समीकरण $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M) \cdot \operatorname{adj}(N)) = 2^8$ है।
गुणधर्म $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(X)) = (\operatorname{det}(X))^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$,हमें प्राप्त होता है $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M)) = (\operatorname{det}(M))^2$ और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(N)) = (\operatorname{det}(N))^2$।
अतः,$(\operatorname{det}(M))^2 \cdot (\operatorname{det}(N))^2 = 2^8$।
चूँकि $\operatorname{det}(M) = -\operatorname{det}(N)$,इसलिए $(-\operatorname{det}(N))^2 \cdot (\operatorname{det}(N))^2 = 2^8$,जिसका अर्थ है $(\operatorname{det}(N))^4 = 2^8$।
इसलिए,$(\operatorname{det}(N))^2 = 2^4 = 16$,अर्थात $\operatorname{det}(N) = \pm 4$।
अब,$N = A - 2A^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 & \alpha \\ -3 & 0 & -1 \\ -2\alpha & -1 & -2 \end{bmatrix}$।
सारणिक की गणना करने पर: $\operatorname{det}(N) = -1(0 - 1) - 0 + \alpha(3 - 0) = 1 + 3\alpha$।
$1 + 3\alpha = 4$ लेने पर (चूँकि $\alpha > 0$),हमें $3\alpha = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = 1$।
अब $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$।
$\operatorname{det}(A) = 1(0 - 1) - 2(2 - 0) + 1(1 - 0) = -1 - 4 + 1 = -4$।
अंत में,$(\operatorname{det}(A))^2 = (-4)^2 = 16$।

(B) $2 \times 2$ आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $A^2 - (\text{tr}(A))A + |A|I = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\text{tr}(A) = -3$ और $|A| = 2$,इसलिए समीकरण $A^2 + 3A + 2I = 0$ बन जाता है।
दिए गए समीकरण $A^2 + xA + yI = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के गुणों का उपयोग करते हुए,$e^4 + \ell^4 = 78$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है $A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$,जिससे हमें प्राप्त होता है:
$a_1 + a_2 + a_3 = 3$
$b_1 + b_2 + b_3 = 3$
$c_1 + c_2 + c_3 = 3$
चूंकि सभी तत्व गैर-ऋणात्मक हैं,समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमानता के अनुसार,प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का गुणनफल तब अधिकतम होता है जब उस पंक्ति के सभी तत्व समान हों।
पंक्ति $1$ के लिए: $a_1 a_2 a_3 \le (\frac{a_1+a_2+a_3}{3})^3 = (\frac{3}{3})^3 = 1$.
इसी प्रकार,पंक्ति $2$ और पंक्ति $3$ के लिए,गुणनफल अधिकतम $1$ है।
सारणिक $\operatorname{det}(A)$ तत्वों के गुणनफल का योग है। हैडामार्ड की असमानता या पंक्ति योग पर विचार करने पर,$n \times n$ आव्यूह जिसका पंक्ति योग $S$ है,उसका अधिकतम सारणिक $S^n$ होता है यदि आव्यूह विकर्ण आव्यूह हो।
यहाँ,$S=3$ और $n=3$ है,इसलिए $\operatorname{det}(A) \le 3^3 = 27$.
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ हो,जो $\operatorname{det}(A) = 27$ देता है।

(A) दिया गया है $|A|=3$ और $|B|=2$,जहाँ आव्यूह का क्रम $n=3$ है।
हम जानते हैं कि $|A^T| = |A| = 3$,इसलिए $|A^T A| = |A^T||A| = |A|^2 = 3^2 = 9$ है।
साथ ही,$|\operatorname{adj}(kA)| = |kA|^{n-1} = (k^n |A|)^{n-1} = (k^3 \cdot 3)^2 = k^6 \cdot 9$ होता है।
$k=2$ के लिए,$|\operatorname{adj}(2A)| = 2^6 \cdot 3^2 = 64 \cdot 9 = 576$ है।
$k=4$ के लिए,$|\operatorname{adj}(4B)| = (4^3 |B|)^2 = (64 \cdot 2)^2 = 128^2 = 16384$ है।
$|\operatorname{adj}(AB)| = |AB|^{n-1} = (|A||B|)^{3-1} = (3 \cdot 2)^2 = 6^2 = 36$ है।
अब,व्यंजक का मान:
$|A^T A| \cdot |(\operatorname{adj}(2A))^{-1}| \cdot |\operatorname{adj}(4B)| \cdot |(\operatorname{adj}(AB))^{-1}| \cdot |AA^T|$
$= 9 \cdot \frac{1}{576} \cdot 16384 \cdot \frac{1}{36} \cdot 9$
$= \frac{81 \cdot 16384}{576 \cdot 36} = \frac{1327104}{20736} = 64$.

(A) दिया गया है $A_r = \begin{vmatrix} r & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 2r & 2 & n^2 - \beta \\ 3r - 2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$.
हमें $2A_{10} - A_8$ का मान ज्ञात करना है।
$2A_{10} - A_8 = \begin{vmatrix} 20 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 40 & 2 & n^2 - \beta \\ 56 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 8 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 16 & 2 & n^2 - \beta \\ 22 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
स्तंभों को घटाने पर: $\begin{vmatrix} 12 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 24 & 2 & n^2 - \beta \\ 34 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
$C_1 \to C_1 - 12C_2$ संक्रिया का उपयोग करने पर: $\begin{vmatrix} 0 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 0 & 2 & n^2 - \beta \\ -2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर: $-2 \times (1 \times (n^2 - \beta) - 2 \times (\frac{n^2}{2} + \alpha)) = -2(n^2 - \beta - n^2 - 2\alpha) = -2(-\beta - 2\alpha) = 4\alpha + 2\beta$.

(A) दिया गया है कि $\alpha \beta \gamma = 45$ और रैखिक समीकरणों का निकाय:
$x(\alpha, 1, 2) + y(1, \beta, 2) + z(2, 3, \gamma) = (0, 0, 0)$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$1) \alpha x + y + 2z = 0$
$2) x + \beta y + 3z = 0$
$3) 2x + 2y + \gamma z = 0$
चूंकि $xyz \neq 0$,निकाय का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,जिसका अर्थ है कि गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \alpha & 1 & 2 \\ 1 & \beta & 3 \\ 2 & 2 & \gamma \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\alpha(\beta \gamma - 6) - 1(\gamma - 6) + 2(2 - 2\beta) = 0$
$\alpha \beta \gamma - 6\alpha - \gamma + 6 + 4 - 4\beta = 0$
$\alpha \beta \gamma = 45$ प्रतिस्थापित करने पर:
$45 - 6\alpha - \gamma + 10 - 4\beta = 0$
$55 - (6\alpha + 4\beta + \gamma) = 0$
अतः,$6\alpha + 4\beta + \gamma = 55$.

(C) यहाँ $A$ क्रम $3$ का आव्यूह है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M)) = (\operatorname{det} M)^{n-1} = (\operatorname{det} M)^2$.
पहले,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}((\operatorname{det} A) A)))$ पर विचार करें।
मान लीजिए $k = \operatorname{det} A$. तब $\operatorname{adj}(kA) = k^2 \operatorname{adj}(A)$.
अतः,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(k^2 \operatorname{adj} A))) = (\operatorname{det}(2k^2 \operatorname{adj} A))^2 = (2^3 k^6 \operatorname{det}(\operatorname{adj} A))^2 = (2^3 k^6 k^2)^2 = 2^6 k^{16}$.
दिया गया है कि $2^6 k^{16} = 2^{-10} 3^{-13}$.
अब,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A)) = (\operatorname{det}(2A))^2 = (2^3 \operatorname{det} A)^2 = 2^6 k^2$.
दिए गए समाधान के अनुसार $m=-4$ और $n=-1$ लेने पर,$|3m+2n| = |3(-4) + 2(-1)| = |-12-2| = 14$.

(D) दिया गया है $BCB^{-1}=A$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(BCB^{-1})(BCB^{-1}) = A^2$ प्राप्त होता है,जो $BC^2B^{-1} = A^2$ में सरल हो जाता है।
दी गई शर्त $AB^{-1}=A^{-1}$ से,हमें $A^2 = B$ प्राप्त होता है।
चूंकि $BCB^{-1}=A$,इसलिए $A^2 = (BCB^{-1})(BCB^{-1}) = BC^2B^{-1}$ होगा।
अतः,$B = BC^2B^{-1}$,जिसका अर्थ है $C^2 = B$।
चूंकि $C^2 = B$,$B$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|B-\lambda I| = 0$ है।
$|\begin{bmatrix} 1-\lambda & 3 \\ 1 & 5-\lambda \end{bmatrix}| = (1-\lambda)(5-\lambda) - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 5 - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 2 = 0$।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$C^4 - 6C^2 + 2I = O$।
इसकी तुलना $C^4 + \alpha C^2 + \beta I = O$ से करने पर,हमें $\alpha = -6$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$2\beta - \alpha = 2(2) - (-6) = 4 + 6 = 10$।

(D) निकाय का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ है।
$(A)$ यदि $a+b+c \neq 0$ और $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ है,तो $a=b=c \neq 0$ होता है। समीकरण $a(x+y+z)=0$ बन जाते हैं,जो समान समतलों को दर्शाते हैं। अतः,$(A)-(r)$।
$(B)$ यदि $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$ है,तो $\Delta=0$ होता है। निकाय के अनंत हल होते हैं। समीकरणों को हल करने पर $x=y=z$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)-(q)$।
$(C)$ यदि $a+b+c \neq 0$ और $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$ है,तो $\Delta \neq 0$ होता है। निकाय का अद्वितीय हल $(0,0,0)$ है,जो दर्शाता है कि समतल एक बिंदु पर मिलते हैं। अतः,$(C)-(p)$।
$(D)$ यदि $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ है,तो $a=b=c=0$ होता है। समीकरण $0=0$ बन जाते हैं,जो संपूर्ण त्रिविमीय आकाश को दर्शाते हैं। अतः,$(D)-(s)$।

(C) माना $y = \frac{x^2+2x+4}{x+2} = (x+2) + \frac{4}{x+2} - 2$. $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$x > -2$ के लिए,$(x+2) + \frac{4}{x+2} \geq 4$. अतः,$y \geq 2$. न्यूनतम मान $2$ है (विकल्प $r$)।
$(B)$ दिया है $(A+B)(A-B) = (A-B)(A+B) \Rightarrow AB = BA$. चूँकि $A$ सममित और $B$ विषम-सममित है,$(AB)^t = B^t A^t = -BA = -AB$. अतः,$(-1)^k AB = -AB$,जिसका अर्थ है $(-1)^k = -1$. यह $k$ के विषम मानों के लिए सत्य है। ${1, 2, 3}$ में,$k=1$ या $k=3$ (विकल्प $q, s$)।
$(C)$ $a = \log_3 \log_3 2$. $3^{-a} = \log_2 3$. असमिका $1 < 2^{-k + \log_2 3} < 2 \Rightarrow 1 < 2^{-k} \cdot 3 < 2 \Rightarrow \log_2 3 - 1 < k < \log_2 3$. चूँकि $0.58 < k < 1.58$,पूर्णांक $k=1$ है। $1$,$2$ और $3$ से छोटा है (विकल्प $r, s$)।
$(D)$ $\sin \theta = \cos \phi \Rightarrow \theta \pm \phi - \frac{\pi}{2} = -2n\pi$. अतः,$\frac{1}{\pi}(\theta \pm \phi - \frac{\pi}{2}) = -2n$,जो सम पूर्णांक हैं। विकल्पों में से $0$ सम है (विकल्प $p$)।

(A, D, C) एक $3 \times 3$ सममित आव्यूह $A$ अपनी $6$ प्रविष्टियों द्वारा निर्धारित होता है: $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$.
$1.$ कुल $9$ प्रविष्टियाँ हैं। $5$ एक और $4$ शून्य दिए गए हैं। चूंकि $A$ सममित है,$a_{12}=a_{21}, a_{13}=a_{31}, a_{23}=a_{32}$।
मान लीजिए विकर्ण पर $1$ की संख्या $k$ है। विकर्ण के बाहर $1$ की संख्या $(5-k)$ होनी चाहिए। चूंकि विकर्ण के बाहर की प्रविष्टियाँ जोड़ों में होती हैं,$(5-k)$ सम होनी चाहिए। अतः $k$ विषम ($1$ या $3$) होना चाहिए।
यदि $k=3$ है,तो सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ $1$ हैं। हमें विकर्ण के बाहर $5-3=2$ एक चाहिए। हम $3$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा चुनते हैं (अर्थात $3$ आव्यूह)।
यदि $k=1$ है,तो एक विकर्ण प्रविष्टि $1$ है। हमें विकर्ण के बाहर $5-1=4$ एक चाहिए। हम $3$ जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनते हैं (अर्थात $3 \times 3 = 9$ आव्यूह)।
कुल आव्यूह $= 3 + 9 = 12$।
$2.$ अद्वितीय हल तब होता है जब $|A| \neq 0$ हो। $12$ आव्यूहों का मूल्यांकन करने पर,हम पाते हैं कि $6$ आव्यूहों के लिए $|A| \neq 0$ है।
$3.$ शेष $6$ आव्यूहों के लिए जहाँ $|A| = 0$ है,हम असंगति की जाँच करते हैं। संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $2$ आव्यूह असंगत हैं।

(C) दिया गया है $z = \frac{-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \omega$, जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है। अतः, $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$P = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix}$.
$P^2 = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)^{2r} \omega^{2r} + \omega^{4s} & (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} \\ (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} & \omega^{4s} + \omega^{2r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
विकर्ण के अतिरिक्त अवयवों के शून्य होने के लिए: $((-1)^r + 1) \omega^{r+2s} = 0$। चूँकि $\omega \neq 0$, इसलिए $(-1)^r + 1 = 0$ होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $r$ एक विषम संख्या होनी चाहिए। अतः, $r \in \{1, 3\}$।
स्थिति $1$: $r = 1$। विकर्ण अवयवों से $\omega^2 + \omega^{4s} = -1$ प्राप्त होता है। चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$, इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$। अतः, $\omega^{4s} = \omega$, जिसका अर्थ है $4s \equiv 1 \pmod 3$, इसलिए $s \equiv 1 \pmod 3$। $s \in \{1, 2, 3\}$ के लिए, $s = 1$।
स्थिति $2$: $r = 3$। विकर्ण अवयवों से $\omega^6 + \omega^{4s} = -1$ प्राप्त होता है। चूँकि $\omega^3 = 1$, इसलिए $1 + \omega^{4s} = -1$, अर्थात $\omega^{4s} = -2$। यह असंभव है क्योंकि $|\omega^{4s}| = 1$।
अतः, केवल एक ही मान्य युग्म $(r, s) = (1, 1)$ है। युग्मों की कुल संख्या $1$ है।

(B) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix}$. मान लीजिए $P = I + A$,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 16 & 4 & 0 \end{bmatrix}$.
ध्यान दें कि $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $A^3 = O$ (शून्य आव्यूह)।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P^n = (I+A)^n = I + nA + \frac{n(n-1)}{2}A^2$.
$n=50$ के लिए,$P^{50} = I + 50A + \frac{50 \times 49}{2}A^2 = I + 50A + 1225A^2$.
$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 50 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 16 & 4 & 0 \end{bmatrix} + 1225 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 200 & 1 & 0 \\ 800 + 19600 & 200 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 200 & 1 & 0 \\ 20400 & 200 & 1 \end{bmatrix}$.
चूँकि $P^{50}-Q=I$,इसलिए $Q = P^{50}-I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 200 & 0 & 0 \\ 20400 & 200 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,$q_{31} = 20400$,$q_{32} = 200$,और $q_{21} = 200$.
इसलिए,$\frac{q_{31}+q_{32}}{q_{21}} = \frac{20400+200}{200} = \frac{20600}{200} = 103$.

(B) एक आव्यूह $M \in R$ व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसका सारणिक $|M| \neq 0$ हो।
आव्यूह का सारणिक इस प्रकार है:
$|M| = a(2 \times 0 - 5 \times d) - 3(c \times 0 - 0 \times d) + b(c \times 5 - 2 \times 0)$
$|M| = a(-5d) - 3(0) + b(5c) = 5bc - 5ad = 5(bc - ad)$।
आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,$|M| \neq 0$,जिसका अर्थ है $bc - ad \neq 0$,या $bc \neq ad$।
$a, b, c, d$ के लिए मानों का समुच्चय $S = \{0, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$ है,जिसमें $8$ तत्व हैं।
$R$ में आव्यूहों की कुल संख्या $8^4 = 4096$ है।
हमें उन मामलों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $bc = ad$ है।
मान लीजिए $X = bc$ और $Y = ad$।
$1$. यदि $ad = 0$,तो $a=0$ या $d=0$। तरीकों की संख्या = $8^2 - 7^2 = 15$।
$2$. यदि $bc = 0$,तो $b=0$ या $c=0$। तरीकों की संख्या = $8^2 - 7^2 = 15$।
$bc = ad = 0$ होने के कुल तरीके $15 \times 15 = 225$ हैं।
अब $bc = ad = k$ पर विचार करें,जहाँ $k \neq 0$।
$bc = ad \neq 0$ होने के कुल मामले $91$ हैं।
अतः,$|M| = 0$ होने के $225 + 91 = 316$ मामले हैं।
व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या = $4096 - 316 = 3780$।

(A) मान लीजिए $M$ एक $3 \times 3$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला आव्यूह है ताकि $M^2 = A$ हो। तब $\det(M^2) = \det(A)$,जिसका अर्थ है $(\det(M))^2 = \det(A)$। चूंकि $M$ की प्रविष्टियाँ वास्तविक हैं,$\det(M)$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $(\det(M))^2 \ge 0$। अतः,$A$ के एक वास्तविक आव्यूह का वर्ग होने के लिए,इसका सारणिक (determinant) गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
विकल्प $A$ के लिए: $\det(A) = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -1 < 0$। अतः,$A$ किसी आव्यूह का वर्ग नहीं हो सकता।
विकल्प $B$ के लिए: $\det(B) = \det \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -1 < 0$। अतः,$B$ किसी आव्यूह का वर्ग नहीं हो सकता।
विकल्प $C$ के लिए: $\det(C) = 1 > 0$। यह तत्समक आव्यूह $I^2 = I$ का वर्ग है।
विकल्प $D$ के लिए: $\det(D) = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = 1 > 0$। यह आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ का वर्ग है।
अतः,$A$ और $B$ वास्तविक $3 \times 3$ आव्यूहों के वर्ग नहीं हैं।

(B) मान लीजिए $M = [m_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ $m_{ij} \in \{0, 1, 2\}$ है।
$M^T M$ के विकर्ण प्रविष्टियों का योग $M^T M$ का ट्रेस (trace) है,जो $M$ की सभी प्रविष्टियों के वर्गों के योग के बराबर होता है,अर्थात $\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 m_{ij}^2 = 5$ है।
चूँकि $m_{ij} \in \{0, 1, 2\}$,इसलिए प्रविष्टियों के वर्ग $m_{ij}^2 \in \{0, 1, 4\}$ हैं।
हमें $9$ प्रविष्टियों को इस प्रकार चुनना है कि उनके वर्गों का योग $5$ हो। वर्गों के संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
स्थिति $1$: पाँच प्रविष्टियाँ $1$ हैं और चार प्रविष्टियाँ $0$ हैं। चुनने के तरीके $\binom{9}{5} = 126$ हैं।
स्थिति $2$: एक प्रविष्टि $2$ है (जिसका वर्ग $4$ है),एक प्रविष्टि $1$ है (जिसका वर्ग $1$ है),और सात प्रविष्टियाँ $0$ हैं। $2$ के स्थान को चुनने के तरीके $\binom{9}{1} = 9$ हैं,और शेष $8$ स्थानों में से $1$ के स्थान को चुनने के तरीके $\binom{8}{1} = 8$ हैं। अतः,$9 \times 8 = 72$ तरीके हैं।
आव्यूहों की कुल संख्या $= 126 + 72 = 198$ है।

(B) $1.$ $A$ के सममित होने के लिए $b=c$। $A$ के विषम-सममित होने के लिए $a=0$ और $b=-c$।
यदि $A$ सममित है,तो $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$,$\det(A) = a^2-b^2$। $\det(A) \equiv 0 \pmod{p} \implies a^2 \equiv b^2 \pmod{p} \implies a \equiv \pm b \pmod{p}$।
$a=b$ के लिए $p$ विकल्प हैं। $a=-b$ के लिए $p$ विकल्प हैं। $a=b=0$ स्थिति दो बार गिनी गई है,इसलिए कुल $2p-1$ सममित आव्यूह हैं।
यदि $A$ विषम-सममित है,तो $a=0, b=-c$। $\det(A) = b^2$। $\det(A) \equiv 0 \pmod{p} \implies b=0$। अतः $A$ शून्य आव्यूह है,जो पहले ही गिना जा चुका है।
कुल संख्या $2p-1$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ $\text{tr}(A) = 2a$। चूंकि $p$ एक विषम अभाज्य है,$2a \not\equiv 0 \pmod{p} \implies a \not\equiv 0 \pmod{p}$। $a$ के लिए $p-1$ विकल्प हैं।
$\det(A) = a^2 - bc \equiv 0 \pmod{p} \implies bc \equiv a^2 \pmod{p}$।
प्रत्येक $a \in \{1, \ldots, p-1\}$ के लिए,$a^2 \not\equiv 0 \pmod{p}$। अतः $b$ के लिए $p-1$ विकल्प हैं और $c$ अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है।
कुल संख्या $(p-1)(p-1) = (p-1)^2$ है। सही विकल्प $(C)$ है।
$3.$ $\det(A) = a^2 - bc \not\equiv 0 \pmod{p}$।
$T_p$ में कुल आव्यूह $p^3$ हैं।
यदि $a=0$,$\det(A) = -bc \not\equiv 0 \implies b \neq 0, c \neq 0$। विकल्प: $(p-1)(p-1) = (p-1)^2$।
यदि $a \neq 0$,$bc \not\equiv a^2 \pmod{p}$। प्रत्येक $a$ के लिए,$p^2 - (p-1)$ युग्म $(b, c)$ मिलते हैं।
कुल = $(p-1)^2 + (p-1)(p^2 - p + 1) = p^3 - p^2$। सही विकल्प $(D)$ है।

(A) दिया गया है $\omega = e^{i 2 \pi / 3}$,हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right|$ है।
संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} z+1+\omega+\omega^2 & \omega & \omega^2 \\ z+\omega+\omega^2+1 & z+\omega^2 & 1 \\ z+\omega^2+1+\omega & 1 & z+\omega \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} z & \omega & \omega^2 \\ z & z+\omega^2 & 1 \\ z & 1 & z+\omega \end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ से $z$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = z \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & z+\omega^2 & 1 \\ 1 & 1 & z+\omega \end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = z \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & \omega^2 \\ 0 & z+\omega^2-\omega & 1-\omega^2 \\ 0 & 1-\omega & z+\omega-\omega^2 \end{array}\right| = z[(z+\omega^2-\omega)(z+\omega-\omega^2) - (1-\omega^2)(1-\omega)]$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $\Delta = z(z^2) = z^3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$z = 0$ ही एकमात्र हल है। भिन्न सम्मिश्र संख्याओं की संख्या $1$ है।

(C) दिया गया है कि $M$ और $N$ विषम-सममित आव्यूह हैं,इसलिए $M^T = -M$ और $N^T = -N$ है।
चूंकि $M$ और $N$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं,वे नॉन-सिंगुलर हैं और $MN = NM$ है।
हमें व्यंजक $E = M^2 N^2 (M^T N)^{-1} (M N^{-1})^T$ को सरल करना है।
सबसे पहले,$M^T = -M$ को व्यंजक में रखने पर:
$E = M^2 N^2 (-M N)^{-1} (M N^{-1})^T$.
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ गुण का उपयोग करने पर,$(-MN)^{-1} = N^{-1} (-M)^{-1} = -N^{-1} M^{-1}$ प्राप्त होता है।
$(AB)^T = B^T A^T$ गुण का उपयोग करने पर,$(M N^{-1})^T = (N^{-1})^T M^T = (N^T)^{-1} M^T = (-N)^{-1} (-M) = (-N^{-1}) (-M) = N^{-1} M$ प्राप्त होता है।
अब इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = M^2 N^2 (-N^{-1} M^{-1}) (N^{-1} M)$.
चूंकि $MN = NM$ है,इसलिए $M^{-1} N^{-1} = N^{-1} M^{-1}$ और $M N^{-1} = N^{-1} M$ होता है।
$E = -M^2 N^2 N^{-1} M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 N (N N^{-1}) M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 N I M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 (N M^{-1}) N^{-1} M$.
चूंकि $N M^{-1} = M^{-1} N$ है,इसलिए:
$E = -M^2 M^{-1} N N^{-1} M$.
$E = -M (N N^{-1}) M$.
$E = -M I M = -M^2$.
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(C) मैट्रिक्स समीकरण से, हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$a + 8b + 7c = 0$
$9a + 2b + 3c = 0$
$7a + 7b + 7c = 0 \implies a + b + c = 0$
इन्हें हल करने पर, हमें $b = 6a$ और $c = -7a$ प्राप्त होता है।
$1.$ दिया गया है $2a + b + c = 1$। $b=6a$ और $c=-7a$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $2a + 6a - 7a = 1 \implies a = 1$ प्राप्त होता है। अतः $b=6, c=-7$। मान $7a + b + c = 7(1) + 6 - 7 = 6$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ दिया गया है $a=2$, अतः $b=12, c=-14$। चूँकि $\omega^3=1$, इसलिए $\omega^{12}=1$ और $\omega^{-14} = \omega^{-14+15} = \omega$। व्यंजक $\frac{3}{\omega^2} + \frac{1}{\omega^{12}} + \frac{3}{\omega^{-14}} = 3\omega + 1 + 3\omega^2 = 1 + 3(\omega + \omega^2) = 1 + 3(-1) = -2$ है। सही विकल्प $(A)$ है।
$3.$ दिया गया है $b=6$, अतः $a=1, c=-7$। द्विघात समीकरण $x^2 + 6x - 7 = 0$ है। मूल $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$ हैं, इसलिए $\alpha = 1, \beta = -7$। तब $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$। योग $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{6}{7})^n = \frac{1}{1 - 6/7} = 7$ है। सही विकल्प $(B)$ है।

(A) मान लीजिए आव्यूह $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह के गैर-शून्य (non-singular) होने के लिए,इसका सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए,अर्थात $|M| \neq 0$ होना चाहिए।
$|M| = 1(1 - c\omega) - a(\omega - c\omega^2) + b(\omega^2 - \omega^2) = 1 - c\omega - a\omega + ac\omega^2$.
$|M| = 1 - c\omega - a\omega + ac\omega^2 = (1 - a\omega)(1 - c\omega)$.
$|M| \neq 0$ के लिए,हमारे पास $1 - a\omega \neq 0$ और $1 - c\omega \neq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $a\omega \neq 1$ और $c\omega \neq 1$।
चूँकि $\omega^3 = 1$,हमारे पास $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ है। अतः,$a \neq \omega^2$ और $c \neq \omega^2$।
यह दिया गया है कि $a, b, c \in \{\omega, \omega^2\}$,इसलिए $a \neq \omega^2$ का अर्थ है $a = \omega$,और $c \neq \omega^2$ का अर्थ है $c = \omega$।
हालाँकि,$b$ या तो $\omega$ या $\omega^2$ हो सकता है क्योंकि $b$ सारणिक के व्यंजक में नहीं आता है।
अतः,$(a, b, c)$ के लिए संभावित मान $(\omega, \omega, \omega)$ और $(\omega, \omega^2, \omega)$ हैं।
इसलिए,भिन्न गैर-शून्य आव्यूहों की संख्या $2$ है।

(A) माना $z = \cos \theta + i \sin \theta$ है। तब $\frac{2iz}{1-z^2} = \frac{2i(\cos \theta + i \sin \theta)}{1-(\cos 2\theta + i \sin 2\theta)} = \frac{2i \cos \theta - 2 \sin \theta}{2 \sin^2 \theta - i \sin 2\theta} = \frac{2i \cos \theta - 2 \sin \theta}{2 \sin \theta (\sin \theta - i \cos \theta)} = \frac{2i(\cos \theta + i \sin \theta)}{-2i \sin \theta (\cos \theta + i \sin \theta)} = -\frac{1}{\sin \theta} = -\csc \theta$ है। चूँकि $\sin \theta \in [-1, 1] \setminus \{0\}$,इसलिए $-\csc \theta \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है। अतः,$(A)-(s)$।
$(B)$ $f(x) = \sin^{-1}(\frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}})$ के लिए,हमें $-1 \leq \frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}} \leq 1$ की आवश्यकता है। माना $u = 3^{x-1}$ है। तब $\frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}} = \frac{8 \cdot 3^{x-1} \cdot 3^{-1}}{1-(3^{x-1})^2} = \frac{8u/3}{1-u^2}$ है। $-1 \leq \frac{8u/3}{1-u^2} \leq 1$ को हल करने पर $u \leq 1/3$ प्राप्त होता है,इसलिए $3^{x-1} \leq 3^{-1} \Rightarrow x-1 \leq -1 \Rightarrow x \leq 0$ है। अतः,$(B)-(t)$।
$(C)$ $f(\theta) = 1(1 + \tan^2 \theta) - \tan \theta(-\tan \theta + \tan \theta) + 1(\tan^2 \theta + 1) = 2(1 + \tan^2 \theta) = 2 \sec^2 \theta$ है। $0 \leq \theta < \pi/2$ के लिए,$\sec^2 \theta \in [1, \infty)$,इसलिए $f(\theta) \in [2, \infty)$ है। अतः,$(C)-(r)$।
$(D)$ $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}(3x-10) + x^{3/2}(3) = \frac{3}{2}x^{1/2}(3x-10+2x) = \frac{15}{2}x^{1/2}(x-2)$ है। $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \geq 2$। अतः,$(D)-(r)$।

(B) दिया गया है $M = \alpha I + \beta M^{-1}$। $M$ से गुणा करने पर,हमें $M^2 = \alpha M + \beta I$ प्राप्त होता है,या $M^2 - \alpha M - \beta I = O$।
कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$M^2 - \text{tr}(M)M + \det(M)I = O$।
गुणांकों की तुलना करने पर,$\alpha = \text{tr}(M) = \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\theta)$।
चूंकि $\sin^2(2\theta) \in [0, 1]$,न्यूनतम मान $\alpha^* = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
साथ ही,$-\beta = \det(M) = \sin^4 \theta \cos^4 \theta + (1+\cos^2 \theta)(1+\sin^2 \theta) = \frac{\sin^4(2\theta)}{16} + 1 + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^4(2\theta)}{16} + 2 + \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$।
मान लीजिए $t = \sin^2(2\theta) \in [0, 1]$। तो $-\beta(t) = \frac{t^2}{16} + \frac{t}{4} + 2$।
$\beta$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $-\beta$ का अधिकतम मान ज्ञात करते हैं। चूँकि $f(t) = \frac{t^2}{16} + \frac{t}{4} + 2$ अंतराल $[0, 1]$ पर एक वर्धमान फलन है,इसलिए इसका अधिकतम मान $t=1$ पर प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{32}{16} = \frac{37}{16}$ है।
अतः,$\beta^* = -\frac{37}{16}$।
इसलिए,$\alpha^* + \beta^* = \frac{1}{2} - \frac{37}{16} = \frac{8-37}{16} = -\frac{29}{16}$।

(A) दिया है कि $(\operatorname{adj} M)_{11} = 2 - 3b = -1 \Rightarrow b = 1$.
साथ ही,$(\operatorname{adj} M)_{22} = -3a = -6 \Rightarrow a = 2$.
अतः,$a+b = 2+1 = 3$. इसलिए,$(1)$ सही है।
अब,$\operatorname{det} M = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 8 - 10 = -2$.
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} M^2) = (\operatorname{det}(\operatorname{adj} M))^2 = ((\operatorname{det} M)^2)^2 = ((-2)^2)^2 = 16 \neq 81$. इसलिए,$(2)$ गलत है।
चूँकि $M^{-1} = \frac{\operatorname{adj} M}{\operatorname{det} M}$,हमारे पास $\operatorname{adj} M = -2M^{-1}$ है।
अतः $(\operatorname{adj} M)^{-1} = ( -2M^{-1} )^{-1} = -\frac{1}{2}M$.
साथ ही,$\operatorname{adj}(M^{-1}) = \operatorname{det}(M^{-1}) (M^{-1})^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det} M} M = -\frac{1}{2}M$.
इस प्रकार,$(\operatorname{adj} M)^{-1} + \operatorname{adj}(M^{-1}) = -\frac{1}{2}M - \frac{1}{2}M = -M$. इसलिए,$(3)$ सही है।
$M \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ के लिए,$\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = M^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{\operatorname{adj} M}{-2} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
अतः $\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = 1$. तब $\alpha - \beta + \gamma = 1 - (-1) + 1 = 3$. इसलिए,$(4)$ सही है।

(B) मान लीजिए $Q = \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right]$ है।
$X = \sum_{k=1}^6 (P_k Q P_k^T)$ है।
$X^T = \sum_{k=1}^6 (P_k Q P_k^T)^T = \sum_{k=1}^6 (P_k Q^T P_k^T) = \sum_{k=1}^6 (P_k Q P_k^T) = X$ (चूंकि $Q$ सममित है)।
अतः,$X$ एक सममित आव्यूह है। विकल्प $(4)$ सही है।
मान लीजिए $R = \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ है। ध्यान दें कि सभी क्रमचय आव्यूहों $P_k$ के लिए,$P_k R = R$ और $P_k^T R = R$ होता है।
$X R = \sum_{k=1}^6 P_k Q P_k^T R = \sum_{k=1}^6 P_k Q R = (\sum_{k=1}^6 P_k) Q R$ है।
$\sum_{k=1}^6 P_k = \left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right]$ और $Q R = \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}6 \\ 3 \\ 6\end{array}\right]$ है।
$X R = \left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}6 \\ 3 \\ 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}30 \\ 30 \\ 30\end{array}\right] = 30 R$ है। अतः,$\alpha = 30$ है। विकल्प $(3)$ सही है।
चूंकि $X R = 30 R$ है,$(X - 30I) R = 0$,जिसका अर्थ है कि $X - 30I$ व्युत्क्रमणीय नहीं है। विकल्प $(1)$ गलत है।
$\text{Trace}(X) = \sum_{k=1}^6 \text{Trace}(P_k Q P_k^T) = \sum_{k=1}^6 \text{Trace}(P_k^T P_k Q) = \sum_{k=1}^6 \text{Trace}(I Q) = 6 \times \text{Trace}(Q) = 6 \times (2+0+1) = 18$ है। विकल्प $(2)$ सही है।
इसलिए,विकल्प $(2), (3), (4)$ सही हैं।

(A) दिया गया है $R = PQP^{-1}$।
$\det(R) = \det(PQP^{-1}) = \det(P) \det(Q) \det(P^{-1}) = \det(Q)$।
$\det(Q) = 2(24 - 0) - x(0 - 0) + x(0 - 4x) = 48 - 4x^2$।
विकल्प $(1)$: $x = 1$ के लिए,$\det(R) = 48 - 4(1)^2 = 44 \neq 0$। चूंकि $\det(R) \neq 0$,समीकरण $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \mathbf{0}$ का केवल तुच्छ हल $\alpha = \beta = \gamma = 0$ है। इकाई सदिश के लिए $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$ होना चाहिए,जो असंभव है। अतः,$(1)$ गलत है।
विकल्प $(2)$: $PQ = QP \iff PQP^{-1} = Q \iff R = Q$। इसका अर्थ है $PQP^{-1} = Q$। इस विशिष्ट $P$ के लिए,$R$ किसी भी $x$ के लिए $Q$ के बराबर नहीं है। अतः,$(2)$ गलत है।
विकल्प $(3)$: $\det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8 = [2(20 - 0) - x(0 - 0) + x(0 - 4x)] + 8 = (40 - 4x^2) + 8 = 48 - 4x^2 = \det(R)$। अतः,$(3)$ सही है।
विकल्प $(4)$: $x = 0$ के लिए,$Q = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$ और $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$। $P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}$।
$R = PQP^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2/3 \\ 0 & 4 & 4/3 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$।
$(R - 6I) \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 0$ को हल करने पर $\begin{bmatrix} -4 & 1 & 2/3 \\ 0 & -2 & 4/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 0$ प्राप्त होता है।
$-2a + 4b/3 = 0 \implies a = 2b/3$। $-4 + a + 2b/3 = 0 \implies -4 + 2b/3 + 2b/3 = 0 \implies 4b/3 = 4 \implies b = 3, a = 2$।
$a + b = 2 + 3 = 5$। अतः,$(4)$ सही है।

(C) आव्यूह के अवयव हैं:
$a_{11} = \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
$a_{12} = \sum_{k=0}^n {^nC_k} k^2 = n(n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} = n(n+1)2^{n-2}$
$a_{21} = \sum_{k=0}^n {^nC_k} k = n2^{n-1}$
$a_{22} = \sum_{k=0}^n {^nC_k} 3^k = (1+3)^n = 4^n$
सारणिक को शून्य रखने पर:
$\frac{n(n+1)}{2} \cdot 4^n - n(n+1)2^{n-2} \cdot n2^{n-1} = 0$
$\frac{n(n+1)}{2} \cdot 4^n - n^2(n+1)2^{2n-3} = 0$
$n(n+1)2^{2n-3}$ से विभाजित करने पर:
$2^2 - n = 0 \implies n = 4$
अब,$\sum_{k=0}^4 \frac{{^4C_k}}{k+1} = \frac{1}{5} \sum_{k=0}^4 {^5C_{k+1}} = \frac{1}{5} ({^5C_1} + {^5C_2} + {^5C_3} + {^5C_4} + {^5C_5}) = \frac{1}{5} (2^5 - 1) = \frac{31}{5} = 6.20$

(A) दिया गया है कि $M^{-1} = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)$.
हम जानते हैं कि $3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M) = (\operatorname{det} M)^{3-2} M = (\operatorname{det} M) M$.
अतः,$M^{-1} = (\operatorname{det} M) M$.
दोनों पक्षों को $M$ से गुणा करने पर,$M^{-1} M = (\operatorname{det} M) M^2$,जिसका अर्थ है $I = (\operatorname{det} M) M^2$.
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$\operatorname{det}(I) = \operatorname{det}((\operatorname{det} M) M^2)$.
$1 = (\operatorname{det} M)^3 \cdot (\operatorname{det} M)^2 = (\operatorname{det} M)^5$.
चूंकि $M$ की प्रविष्टियाँ वास्तविक हैं,$\operatorname{det} M = 1$.
$\operatorname{det} M = 1$ को $I = (\operatorname{det} M) M^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = M^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M^2 = I$,इसलिए $(\operatorname{adj} M)^2 = \operatorname{adj}(M^2) = \operatorname{adj}(I) = I$.
अतः,कथन $B, C,$ और $D$ हमेशा सत्य हैं।