Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3\end{array}\right]$.
લાક્ષણિક સમીકરણ $|A-\lambda I|=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 1 & 3 \\ 5 & 2-\lambda & 6 \\ -2 & -1 & -3-\lambda\end{array}\right|=0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\lambda)[(2-\lambda)(-3-\lambda) - (-6)] - 1[5(-3-\lambda) - (-12)] + 3[5(-1) - (-2)(2-\lambda)] = 0$
$(1-\lambda)[\lambda^2+\lambda-6+6] - 1[-15-5\lambda+12] + 3[-5+4-2\lambda] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda^2+\lambda) - 1(-5\lambda-3) + 3(-2\lambda-1) = 0$
$\lambda^2+\lambda-\lambda^3-\lambda^2 + 5\lambda+3 - 6\lambda-3 = 0$
$-\lambda^3 = 0 \Rightarrow \lambda^3 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે,તેથી $A^3 = 0$.
કારણ કે $A^3 = 0$,તેથી $A^4 = A^3 \cdot A = 0$ અને $A^5 = A^3 \cdot A^2 = 0$.
તેથી,$A+A^3+A^4+A^5+3I = A + 0 + 0 + 0 + 3I = A + 3I$.
$A+3I = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 6 \\ -2 & -1 & 0\end{array}\right]$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} -x & 14x & 7x \\ 0 & 1 & 0 \\ x & -4x & -2x \end{bmatrix}$. વ્યસ્ત $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
$A$ ની પ્રથમ હાર અને $A^{-1}$ ના પ્રથમ સ્તંભનો ગુણાકાર કરતા:
$(-x)(2) + (14x)(0) + (7x)(1) = 1$ (કારણ કે $I$ ના $(1,1)$ સ્થાન પર $1$ છે)
$-2x + 7x = 1 \implies 5x = 1 \implies x = 1/5$.
હવે,આપણે નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc} x & x+1 & x+2 \\ x+1 & x+2 & x+3 \\ x+2 & x+3 & x+4 \end{array}\right|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
હાર પર પ્રક્રિયા કરતા: $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$.
$D = \left|\begin{array}{ccc} x & x+1 & x+2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|$.
બે હાર સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) પ્રથમ,$A$ ની કિંમત શોધો: $A = \int_{1}^{\sin \theta} \frac{t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} [\ln(1+t^2)]_{1}^{\sin \theta} = \frac{1}{2} \ln(1+\sin^2 \theta) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 \theta}{2})$.
ત્યારબાદ,$B$ ની કિંમત શોધો: $B = \int_{1}^{\operatorname{cosec} \theta} \frac{1}{t(1+t^2)} dt$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$.
તેથી,$B = [\ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)]_{1}^{\operatorname{cosec} \theta} = [\ln(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}})]_{1}^{\operatorname{cosec} \theta}$.
કારણ કે $\frac{t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{\sqrt{1+\operatorname{cosec}^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \theta + 1}}$,તેથી $B = \ln(\frac{1}{\sqrt{1+\sin^2 \theta}}) - \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \ln(\sqrt{\frac{2}{1+\sin^2 \theta}}) = -\frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 \theta}{2}) = -A$.
આમ,$A+B = 0$,જેનો અર્થ છે કે $e^{A+B} = e^0 = 1$.
નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & -A \\ 1 & (-A)^2 & -1 \\ 1 & A^2+(-A)^2 & -1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & -A \\ 1 & A^2 & -1 \\ 1 & 2A^2 & -1 \end{array} \right|$ બને છે.
પ્રથમ અને ત્રીજી સ્તંભ પ્રમાણસર હોવાથી (ત્રીજી સ્તંભ એ પ્રથમ સ્તંભ કરતા $-1$ ગણી છે),નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A)

$A$. આપેલ $A$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય છે. તેથી $3 - |A| = 3$. જે $(iii)$ સાથે જોડાય છે.

$B$. આપેલ વિધેયનું આવર્તમાન $2\pi$ છે. $\frac{2k\pi}{5} = 2\pi$ લેતા,$k = 5$ મળે છે. જે $(v)$ સાથે જોડાય છે.

$C$. $y$ નું સાદું રૂપ આપતા $y = \frac{3}{2} - \frac{\sin 2x}{2}$ મળે છે. મહત્તમ કિંમત $2$ છે. જે $(ii)$ સાથે જોડાય છે.

$D$. ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,કિંમત $4$ મળે છે. જે $(iv)$ સાથે જોડાય છે.

(A) શ્રેણિક $A$ એ વિકર્ણ શ્રેણિક છે જ્યાં વિકર્ણના ઘટકો $a_{ii} = k^i$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \dots, n$.
$A$ નો ટ્રેસ (trace),જેને $m$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તેના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે:
$m = \sum_{i=1}^{n} k^i = k + k^2 + \dots + k^n = \frac{k(1-k^n)}{1-k}$.
આપણને લક્ષ (limit) આપેલ છે: $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n-m}{1-k} = 171$.
$m$ ની કિંમત મૂકતા: $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n - \frac{k(1-k^n)}{1-k}}{1-k} = \lim_{k \rightarrow 1} \frac{n(1-k) - (k - k^{n+1})}{(1-k)^2} = 171$.
$L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા (અંશ અને છેદનું $k$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા):
અંશનું વિકલન: $\frac{d}{dk} [n - nk - k + k^{n+1}] = -n - 1 + (n+1)k^n$.
છેદનું વિકલન: $\frac{d}{dk} [(1-k)^2] = 2(1-k)(-1) = -2(1-k)$.
ફરીથી $L$'Hospital નો નિયમ લાગુ કરતા:
$\lim_{k \rightarrow 1} \frac{-n - 1 + (n+1)k^n}{-2(1-k)} = \lim_{k \rightarrow 1} \frac{(n+1)n k^{n-1}}{2} = 171$.
$\frac{n(n+1)}{2} = 171 \Rightarrow n^2 + n - 342 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n+19)(n-18) = 0$.
$n > 0$ હોવાથી,$n = 18$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$.
દરેક હારનો સરવાળો $6$ છે:
$a_{11} + a_{12} + a_{13} = 6 \dots (i)$
$a_{21} + a_{22} + a_{23} = 6 \dots (ii)$
$a_{31} + a_{32} + a_{33} = 6 \dots (iii)$
વિકર્ણ ઘટકો પરની શરત મુજબ:
$a_{11} = a_{12} + a_{21} \dots (iv)$
$a_{22} = a_{23} + a_{32} = 2 \dots (v)$
$a_{33} = a_{13} + a_{31} \dots (vi)$
ઘટકો ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,$(v)$ પરથી,$a_{23} = 1$ અને $a_{32} = 1$. $(ii)$ માં મૂકતા,$a_{21} + 2 + 1 = 6 \Rightarrow a_{21} = 3$.
$(iv)$ પરથી,$a_{11} = a_{12} + 3$. $(i)$ માં મૂકતા,$(a_{12} + 3) + a_{12} + a_{13} = 6 \Rightarrow 2a_{12} + a_{13} = 3$. $a_{ij} \ge 1$ હોવાથી,$a_{12} = 1, a_{13} = 1$ અને $a_{11} = 4$ મળે.
$(iii)$ અને $(vi)$ પરથી,$a_{31} + a_{32} + a_{33} = 6 \Rightarrow a_{31} + 1 + a_{33} = 6 \Rightarrow a_{31} + a_{33} = 5$. વળી $a_{33} = a_{13} + a_{31} = 1 + a_{31}$.
$a_{33}$ ની કિંમત સરવાળામાં મૂકતા,$a_{31} + (1 + a_{31}) = 5 \Rightarrow 2a_{31} = 4 \Rightarrow a_{31} = 2$,તેથી $a_{33} = 3$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 4(6 - 1) - 1(9 - 2) + 1(3 - 4) = 4(5) - 1(7) + 1(-1) = 20 - 7 - 1 = 12$.

(A) આપેલ છે કે,$A+B=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right]$ અને $AB=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$.
આપણે $A^2+B(A+B)$ શોધવાનું છે.
નોંધો કે $A^2+B(A+B) = A^2+BA+B^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2+AB+BA+B^2$.
તેથી,$A^2+BA+B^2 = (A+B)^2 - AB$.
પ્રથમ,$(A+B)^2 = \left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 5 & 8 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 8 & 4\end{array}\right]$ ગણીએ.
હવે,$A^2+B(A+B) = \left[\begin{array}{lll} 5 & 8 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 8 & 4\end{array}\right] - \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 4 & 6 & 6 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 6 & 3\end{array}\right]$.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & a \\ b & 0 & 4 \\ -3 & c & 0\end{array}\right]$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$A = -A^T$.
$\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & a \\ b & 0 & 4 \\ -3 & c & 0\end{array}\right] = -\left[\begin{array}{ccc}0 & b & -3 \\ 2 & 0 & c \\ a & 4 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & -b & 3 \\ -2 & 0 & -c \\ -a & -4 & 0\end{array}\right]$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$-b = 2 \Rightarrow b = -2$
$a = 3$
$c = -4$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left[\begin{array}{cc}a & b \\ b & a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}b & c \\ c & b\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\ -2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2 & -4 \\ -4 & -2\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}(3)(-2) + (-2)(-4) & (3)(-4) + (-2)(-2) \\ (-2)(-2) + (3)(-4) & (-2)(-4) + (3)(-2)\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}-6 + 8 & -12 + 4 \\ 4 - 12 & 8 - 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -8 \\ -8 & 2\end{array}\right]$.

(A) આપેલ છે કે,$A B A = B A^2 B$ અને $A^3 = I$.
$A B A = B A^2 B$ ના બંને બાજુએ જમણી બાજુ $A^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$A B A \cdot A^2 = B A^2 B \cdot A^2$
$A B A^3 = B A^2 B A^2$
$A^3 = I$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$A B = B A^2 B A^2$
હવે,જમણી બાજુ $B$ વડે ગુણતા:
$A B^2 = B A^2 B A^2 B$
આપેલ સમીકરણમાંથી $A^2 B = A B A$ મૂકતા:
$A B^2 = B A^2 B (A B A)$
$A B^2 = B A^2 B A B A$
$A^3 = I$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વધુ સાદું રૂપ આપી શકીએ છીએ.
વૈકલ્પિક રીતે,નોંધો કે $A B A = B A^2 B \implies A B = B A^2 B A^{-1}$.
$A^3 = I$ હોવાથી,$A^{-1} = A^2$.
તેથી $A B = B A^2 B A^2$.
પુનરાવર્તિત પ્રતિસ્થાપન દ્વારા,$A B^4 = B^4 A$.
તેથી,$A B^4 - B^4 A = O_{3 \times 3}$.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિક $A$ એ સમીકરણ $x^2 + 4x - p = 0$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી $A^2 + 4A - pI = 0$ થાય,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-8)(-8) + (5)(2) & (-8)(5) + (5)(4) \\ (2)(-8) + (4)(2) & (2)(5) + (4)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 + 10 & -40 + 20 \\ -16 + 8 & 10 + 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix}$.
હવે,$4A$ ની ગણતરી કરીએ:
$4A = 4 \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix}$.
હવે,આ કિંમતોને $A^2 + 4A - pI = 0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} p & 0 \\ 0 & p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 74 - 32 - p & -20 + 20 - 0 \\ -8 + 8 - 0 & 26 + 16 - p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} 42 - p & 0 \\ 0 & 42 - p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $42 - p = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = 42$.

(A) આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $A^3-5A^2+7A+I=0$ છે,તેથી $A^3 = 5A^2-7A-I$.
આપણે $P(A) = A^5-6A^4+12A^3-6A^2+2A+2I$ ને સરળ બનાવવાની જરૂર છે.
બહુપદી ભાગાકારનો ઉપયોગ કરીને $P(A)$ ને $A^3-5A^2+7A+I$ વડે ભાગતા:
$A^5-6A^4+12A^3-6A^2+2A+2I = (A^2-A)(A^3-5A^2+7A+I) + (0A^2+2A+3I)$.
કારણ કે $A^3-5A^2+7A+I=0$,તેથી પદાવલિ $0 + 2A+3I$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આને $lA+mI$ સાથે સરખાવતા,આપણને $l=2$ અને $m=3$ મળે છે.
તેથી,$l+m = 2+3 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $A^2+I=2 A$,તેથી $A^2=2 A-I$.
$A$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $A^3=2 A^2-A=2(2 A-I)-A=4 A-2 I-A=3 A-2 I$.
હવે,$A^6 = A^3 \cdot A^3 = (3 A-2 I)(3 A-2 I) = 9 A^2-12 A+4 I$.
$A^2=2 A-I$ મૂકતા,આપણને મળે $A^6 = 9(2 A-I)-12 A+4 I = 18 A-9 I-12 A+4 I = 6 A-5 I$.
અંતે,$A^9 = A^6 \cdot A^3 = (6 A-5 I)(3 A-2 I) = 18 A^2-12 A-15 A+10 I = 18 A^2-27 A+10 I$.
ફરીથી $A^2=2 A-I$ મૂકતા,$A^9 = 18(2 A-I)-27 A+10 I = 36 A-18 I-27 A+10 I = 9 A-8 I$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $I+P+P^2+\ldots+P^{n}=0$ ... $(i)$
આપણે આને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $I+P+P^2+\ldots+P^{n-1} = -P^n$ ... $(ii)$
હવે,સમીકરણ $(i)$ ને ડાબી બાજુથી $P^{-1}$ વડે ગુણતા:
$P^{-1}(I+P+P^2+\ldots+P^{n}) = P^{-1}(0)$
$P^{-1}I + P^{-1}P + P^{-1}P^2 + \ldots + P^{-1}P^n = 0$
$P^{-1} + I + P + \ldots + P^{n-1} = 0$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $I+P+\ldots+P^{n-1} = -P^n$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P^{-1} + (-P^n) = 0$
તેથી,$P^{-1} = P^n$.

(B) શ્રેણિક $A$ સંમિત હોવા માટે,$A = A^T$,જેનો અર્થ છે કે $a=b$,$c=d$,અને $3=3$. તેથી,$A = \begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ a & 2 & c \\ 3 & c & 4 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $B$ વિસંમિત હોવા માટે,$B = -B^T$,જેનો અર્થ છે કે વિકર્ણ ઘટકો $0$ છે. $B_{13} = -B_{31}$ પરથી,આપણને $b = -6$ મળે છે. $B_{23} = -B_{32}$ પરથી,આપણને $-7 = -c$ મળે છે,તેથી $c = 7$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $a = b = -6$ અને $d = c = 7$ મળે છે.
તેથી,$A = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 3 \\ -6 & 2 & 7 \\ 3 & 7 & 4 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 5 & -6 \\ -5 & 0 & -7 \\ 6 & 7 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 3 \\ -6 & 2 & 7 \\ 3 & 7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5 & -6 \\ -5 & 0 & -7 \\ 6 & 7 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 48 & 26 & 36 \\ 32 & 19 & 22 \\ -11 & 43 & -67 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ શ્રેણિક $X = \begin{bmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 5 & 6 \\ 3 & c & 7 \end{bmatrix}$ એ સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $X = X^T$.
ઘટકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 5 & 6 \\ 3 & c & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & a & 3 \\ 2 & 5 & c \\ b & 6 & 7 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,$a = 2$,$b = 3$,અને $c = 6$ મળે છે.
હવે,આપણે નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & 2 \\ 6 & 2 & 3 \end{vmatrix}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ હાર $(R_1)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$= 2(6 \times 3 - 2 \times 2) - 3(3 \times 3 - 6 \times 2) + 6(3 \times 2 - 6 \times 6)$
$= 2(18 - 4) - 3(9 - 12) + 6(6 - 36)$
$= 2(14) - 3(-3) + 6(-30)$
$= 28 + 9 - 180$
$= 37 - 180 = -143$.

(C) આપેલ છે કે $A=B+C$,$BC=CB$,અને $C^2=0$.
કારણ કે $B$ અને $C$ ક્રમનો વિનિમય કરે છે,આપણે શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$A^k = (B+C)^k = \sum_{r=0}^{k} \binom{k}{r} B^{k-r} C^r$.
$C^2=0$ હોવાથી,$r \ge 2$ માટે તમામ ઉચ્ચ ઘાત $C^r=0$ થશે.
તેથી,$A^k = \binom{k}{0} B^k C^0 + \binom{k}{1} B^{k-1} C^1 = B^k + k B^{k-1} C = B^{k-1}(B+kC)$.
$k=2021$ લેતા,આપણને મળે છે:
$A^{2021} = B^{2021-1}(B+2021C) = B^{2020}(B+2021C)$.
તેથી,$B^{2020}[B+(2021)C] = A^{2021}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 41 & 42 & 42 \\ 42 & 41 & 42 \\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,આ કિંમતોને $A^3 - 4A^2 - 6A$ માં મૂકતા:
$= \begin{bmatrix} 41 & 42 & 42 \\ 42 & 41 & 42 \\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 41-36-6 & 42-32-12 & 42-32-12 \\ 42-32-12 & 41-36-6 & 42-32-12 \\ 42-32-12 & 42-32-12 & 41-36-6 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -1 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = -A$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(AB+BA)^{T}+(AB-BA)^{T}=2BA$
ગુણધર્મ $(X+Y)^T = X^T + Y^T$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(AB)^T + (BA)^T + (AB)^T - (BA)^T = 2BA$
$2(AB)^T = 2BA$
$(AB)^T = BA$
$B^T A^T = BA$
જો $A$ અને $B$ સંમિત હોય,તો $A^T = A$ અને $B^T = B$. આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $BA = BA$ મળે છે,જે સત્ય છે.
જો $A$ અને $B$ વિસંમિત હોય,તો $A^T = -A$ અને $B^T = -B$. આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-B)(-A) = BA$ મળે છે,એટલે કે $BA = BA$,જે પણ સત્ય છે.
આમ,જો $A$ અને $B$ બંને સંમિત હોય અથવા બંને વિસંમિત હોય તો આ શરતનું પાલન થાય છે.

(B) $\{-1, 0, 1\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા $3 \times 3$ શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $3^9 = 19683$ છે. આપણે માત્ર શૂન્યતર શ્રેણિકો ધ્યાનમાં લેતા હોવાથી,કુલ શક્ય શ્રેણિકોની સંખ્યા $3^9 - 1 = 19682$ છે.
વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે $A^T = -A$ થાય. $3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણના ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ. શ્રેણિકનું સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
$\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$
ઘટકો $a, b, c$ દરેક $\{-1, 0, 1\}$ માંથી પસંદ કરી શકાય છે. આમ,આવા $3^3 = 27$ શ્રેણિકો છે.
શૂન્ય શ્રેણિકને બાદ કરતાં (જ્યાં $a=b=c=0$),શૂન્યતર વિસંમિત શ્રેણિકોની સંખ્યા $27 - 1 = 26$ છે.
સંભાવના $\frac{26}{19682} = \frac{1}{757}$ થાય.

(D) વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે,આપણી પાસે $A = -A^T$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણના ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ,તેથી $a = e = i = 0$.
આમ,શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & b & c \\ d & 0 & f \\ g & h & 0 \end{bmatrix}$ છે.
કારણ કે $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $d = -b$,$g = -c$,અને $h = -f$ થાય.
$\frac{b}{c}$ ના પદમાં આ કિંમતો મૂકતા:
આપણે જાણીએ છીએ કે એકી કક્ષાના કોઈપણ વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય છે.
$|A| = 0 \cdot (0 - fh) - b(0 - gf) + c(dh - 0) = 0$.
$bgf + cdh = 0$.
$bgf = -cdh$.
$cf$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{b}{c} = \frac{-dh}{fg}$ મળે છે.

(C) $3$ કક્ષાના બે ચોરસ શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે:
$1$. જો $M$ અને $N$ સંમિત શ્રેણિકો હોય,તો શ્રેણિક $MN - NM$ વિસંમિત છે,કારણ કે $(MN - NM)^T = (MN)^T - (NM)^T = N^T M^T - M^T N^T = NM - MN = -(MN - NM)$.
$2$. શ્રેણિક $N^T MN$ એ $M$ સંમિત કે વિસંમિત હોય તે મુજબ સંમિત અથવા વિસંમિત છે,કારણ કે $(N^T MN)^T = N^T M^T (N^T)^T = N^T M^T N$. જો $M^T = M$ હોય,તો $(N^T MN)^T = N^T MN$ (સંમિત). જો $M^T = -M$ હોય,તો $(N^T MN)^T = -N^T MN$ (વિસંમિત).
$3$. બે સંમિત શ્રેણિકોનો ગુણાકાર $MN$ ત્યારે જ સંમિત હોય જો $MN = NM$ હોય. આ બધા સંમિત શ્રેણિકો માટે સાચું નથી,તેથી વિધાન $(c)$ ખોટું છે.
$4$. કોઈપણ બે શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે,$\text{adj}(MN)$ અને $\text{adj}(NM)$ સમાન હોવા જરૂરી નથી.
આમ,જે વિધાન સત્ય નથી તે $(c)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a_{i j} = xi + yj$. શ્રેણિક $A$ ને $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપણે $A$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$A = \begin{bmatrix} x+y & 2x+y & \dots & nx+y \\ x+2y & 2x+2y & \dots & nx+2y \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x+ny & 2x+ny & \dots & nx+ny \end{bmatrix}$
આને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકાય:
$A = x \begin{bmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & \dots & n \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 2 & \dots & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & \dots & n \end{bmatrix}$
ધારો કે $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & \dots & n \end{bmatrix}$ અને $Q = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 2 & \dots & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & \dots & n \end{bmatrix}$.
$P+Q = [i+j]_{n \times n}$, જે એક સંમિત શ્રેણિક છે કારણ કે $(P+Q)^T = [j+i]^T = [i+j] = P+Q$.
$P-Q = [i-j]_{n \times n}$, જે એક વિસંમિત શ્રેણિક છે કારણ કે $(P-Q)^T = [j-i]^T = [-(i-j)] = -(P-Q)$.

(A) આપેલ છે કે $B$ એ લંબકોણીય શ્રેણિક છે,$B^T = B^{-1}$,જેનો અર્થ છે કે $B^T B = I$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|B^T B| = |I| = 1$ મળે છે.
કારણ કે $|B^T| = |B|$,તેથી $|B|^2 = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $|B| = 1$,આપણે શ્રેણિક $B-I$ ધ્યાનમાં લઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|B-I| = |B-I|^T = |B^T - I^T| = |B^T - I|$.
કારણ કે $B^T = B^{-1}$,તેથી $|B^T - I| = |B^{-1} - I| = |B^{-1}(I - B)| = |B^{-1}| |I - B| = \frac{1}{|B|} |-(B-I)| = \frac{1}{1} (-1)^3 |B-I| = -|B-I|$.
આમ,$|B-I| = -|B-I|$,જે સૂચવે છે કે $2|B-I| = 0$,તેથી $|B-I| = 0$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરીએ.
$A^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \frac{1}{36} \begin{bmatrix} 6 & -12 & -6 \\ -12 & 24 & 12 \\ -6 & 12 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = A$.
કારણ કે $A^2 = A$,તેથી તમામ $k \in N$ માટે $A^k = A$ થાય.
તેથી,$A^{2016l} = A$,$A^{2017m} = A$,અને $A^{2018n} = A$.
આપેલ સમીકરણ $A + A + A = \frac{1}{\alpha} A$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $3A = \frac{1}{\alpha} A$ થાય છે.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\frac{1}{\alpha} = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{1}{3}$.

(B) આપેલ છે કે,$\operatorname{adj} A = |A| B$.
કારણ કે $A$ નોન-સિંગ્યુલર છે,$\operatorname{adj} A = |A| A^{-1}$.
તેથી,$|A| B = |A| A^{-1}$,જેનો અર્થ છે કે $B = A^{-1}$.
તેથી,$A B = A A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
હવે,સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\frac{1}{3^k}(A B)^k C\right)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $(A B)^k = I^k = I$,પદાવલિ $S = \sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\frac{1}{3^k} I C\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \operatorname{tr}(C)$ બને છે.
$C$ નો ટ્રેસ $\operatorname{tr}(C) = 4 + (-2) + 6 = 8$ છે.
તેથી,$S = 8 \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^k$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
સરવાળો $S = 8 \left( \frac{1/3}{1 - 1/3} \right) = 8 \left( \frac{1/3}{2/3} \right) = 8 \times \frac{1}{2} = 4$ થાય છે.

(B) ધારો કે $2 \times 2$ શ્રેણિક $A$ ના આઈગન મૂલ્યો $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ છે.
આપેલ છે કે $\operatorname{det} A = \lambda_1 \lambda_2 = -21$.
$A^3$ ના આઈગન મૂલ્યો $\lambda_1^3$ અને $\lambda_2^3$ છે.
$A^3$ નો ટ્રેસ $\lambda_1^3 + \lambda_2^3 = 2024$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda_1^3 + \lambda_2^3 = (\lambda_1 + \lambda_2)(\lambda_1^2 - \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_2^2)$.
$\lambda_1^2 + \lambda_2^2 = (\lambda_1 + \lambda_2)^2 - 2\lambda_1 \lambda_2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\lambda_1^3 + \lambda_2^3 = (\lambda_1 + \lambda_2)((\lambda_1 + \lambda_2)^2 - 3\lambda_1 \lambda_2)$.
ધારો કે $T = \lambda_1 + \lambda_2$ એ $A$ નો ટ્રેસ છે.
તેથી $2024 = T(T^2 - 3(-21)) = T(T^2 + 63) = T^3 + 63T$.
આમ,$T^3 + 63T - 2024 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$T = 11$ માટે: $11^3 + 63(11) = 1331 + 693 = 2024$.
આમ,$A$ નો ટ્રેસ $11$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\left(A^T\right)^{-1}=A$,જેનો અર્થ છે કે $A A^T=A^T A=I$.
હવે,$X=A B A^T$.
તેથી $X^{2021}=\left(A B A^T\right)^{2021} = (A B A^T)(A B A^T) \dots (A B A^T)$.
શ્રેણિક ગુણાકારના જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $X^{2021}=A B (A^T A) B (A^T A) B \dots (A^T A) B A^T$.
કારણ કે $A^T A=I$,આ સાદું રૂપ થઈને $X^{2021}=A B I B I B \dots I B A^T = A B^{2021} A^T$ બને છે.
હવે,આપણે $A^T X^{2021} A = A^T (A B^{2021} A^T) A = (A^T A) B^{2021} (A^T A) = I B^{2021} I = B^{2021}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
શ્રેણિક $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ માટે,આપણે અવલોકન કરીએ છીએ:
$B^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \times 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$B^3 = B^2 B = \left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \times 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$B^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 2n \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
તેથી,$B^{2021} = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \times 2021 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 4042 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $3$ કક્ષાના અસામાન્ય શ્રેણિકો છે અને $|B|=k$.
$A$. $|k^{-1} A^{-1}| = (k^{-1})^3 |A^{-1}| = \frac{1}{k^3 |A|} = \frac{1}{|B|^3 |A|}$. તેથી,$A-III$.
$B$. $|\text{Adj}(A^{-1})| = |A^{-1}|^{3-1} = |A^{-1}|^2 = \frac{1}{|A|^2}$. તેથી,$B-V$.
$C$. જો $BAB^{-1} = I$ હોય,તો $BA^kB^{-1} = (BAB^{-1})^k = I^k = I$. અહીં $B \frac{\text{Adj}(B)}{|B|} = I$ થાય છે. તેથી,$C-II$.
$D$. $\text{Adj}(\text{Adj}(A^{-1})) = |A^{-1}|^{3-2} (A^{-1}) = |A^{-1}| A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{-1}$. તેથી,$D-IV$.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-V, C-II, D-IV$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A^{-1}=\frac{1}{3}(A^2-5A+7I)$.
$3A$ વડે ગુણતા,આપણને $3I = A^3-5A^2+7A$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A^3-5A^2+7A-3I=0$.
ધારો કે $P(x) = x^3-5x^2+7x-3$. કારણ કે $P(A)=0$,આપણે આપેલ પદાવલિ $17A^8-85A^7+119A^6-51A^5-19A^4+95A^3-133A^2+58A+I$ નો $A^3-5A^2+7A-3I$ વડે બહુપદી ભાગાકાર કરી શકીએ છીએ.
બહુપદી $17x^8-85x^7+119x^6-51x^5-19x^4+95x^3-133x^2+58x+1$ ને $x^3-5x^2+7x-3$ વડે ભાગતા ભાગફળ $17x^5-19x$ અને શેષ $x+1$ મળે છે.
આમ,$17A^8-85A^7+119A^6-51A^5-19A^4+95A^3-133A^2+58A+I = (A^3-5A^2+7A-3I)(17A^5-19A) + (A+I)$.
કારણ કે $A^3-5A^2+7A-3I=0$,પદાવલિનું સાદું રૂપ $0 + A+I = A+I$ થાય છે.

(B) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$A^2 - 2A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
આગળ,$|A| = 1(0-1) - 0 + 1(0-0) = -1$ શોધો.
સહ-અવયવ શ્રેણિક $C$ માટે $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ છે.
$C_{11} = -1, C_{12} = 0, C_{13} = 0$.
$C_{21} = 1, C_{22} = 0, C_{23} = -1$.
$C_{31} = -1, C_{32} = -1, C_{33} = 1$.
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^2 - 2A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $-A^{-1} = - \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ ની સરખામણી કરતા.
આમ,$A^2 - 2A = -A^{-1}$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta_{r} = \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3r-2} & \frac{2}{3r-5} \\ 0 & \frac{3}{3r+1}\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta_{r} = \left(\frac{1}{3r-2}\right) \left(\frac{3}{3r+1}\right) - (0) \left(\frac{2}{3r-5}\right) = \frac{3}{(3r-2)(3r+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3}{(3r-2)(3r+1)} = \frac{A}{3r-2} + \frac{B}{3r+1}$.
$3 = A(3r+1) + B(3r-2)$.
$r = 2/3$ માટે,$3 = A(3) \implies A = 1$.
$r = -1/3$ માટે,$3 = B(-3) \implies B = -1$.
આમ,$\Delta_{r} = \frac{1}{3r-2} - \frac{1}{3r+1}$.
હવે,સરવાળો $\sum_{r=1}^{33} \Delta_{r} = \sum_{r=1}^{33} \left( \frac{1}{3r-2} - \frac{1}{3r+1} \right)$ ગણીએ.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$= \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3(33)-2} - \frac{1}{3(33)+1} \right)$.
$= 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} = 0.99$.

(C) અને $A$ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયક $\Delta(\lambda) = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3-\lambda \\ 0 & -1-\lambda & 2 \\ 1-\lambda & 1 & 3\end{array}\right|$ નું વિસ્તરણ કરીએ.
પગલું $1$: $\lambda = 0$ મૂકીને $D$ શોધો.
$D = \Delta(0) = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right| = 1(-3-2) - 0 + 1(4+3) = -5 + 7 = 2$.
પગલું $2$: $\lambda^3$ નો સહગુણક $A$ શોધો.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $\Delta(\lambda) = 1((-1-\lambda)(3) - 2) - 2(0 - 2(1-\lambda)) + (3-\lambda)(0 - (-1-\lambda)(1-\lambda)) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 6\lambda - 4$.
તેથી,$A = -1$ અને $D = -4$.
પગલું $3$: $D+A$ ની ગણતરી કરો.
$D+A = -4 + (-1) = -5$.

(B) ધારો કે શ્રેણીનું $n$-મું પદ $D_n = \left|\begin{array}{cc} a_n & b_n \\ 5 & 4 \end{array}\right| = 4a_n - 5b_n$ છે.
અહીં,$a_n$ એ પ્રથમ પદ $a_1 = 3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r_1 = 1/3$ ધરાવતી ગુણોત્તર શ્રેણી છે. તેથી,$a_n = 3(1/3)^{n-1}$.
તે જ રીતે,$b_n$ એ પ્રથમ પદ $b_1 = 4$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r_2 = -1/4$ ધરાવતી ગુણોત્તર શ્રેણી છે. તેથી,$b_n = 4(-1/4)^{n-1}$.
તેથી,$K = \sum_{n=1}^{\infty} (4a_n - 5b_n) = 4 \sum_{n=1}^{\infty} a_n - 5 \sum_{n=1}^{\infty} b_n$.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{3}{1 - 1/3} = \frac{3}{2/3} = \frac{9}{2}$.
$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{4}{1 - (-1/4)} = \frac{4}{5/4} = \frac{16}{5}$.
આ કિંમતોને $K$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = 4 \left(\frac{9}{2}\right) - 5 \left(\frac{16}{5}\right) = 18 - 16 = 2$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right|$.
$R_1$ ને $c$ વડે,$R_2$ ને $a$ વડે,અને $R_3$ ને $b$ વડે ગુણતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2 & c^2 & c^2 \\ a^2 & b^2+c^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 & c^2+a^2 \end{array} \right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 - C_3$ અને $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2-c^2 & 0 & c^2 \\ 0 & b^2+c^2-a^2 & a^2 \\ b^2-c^2-a^2 & b^2-a^2-c^2 & c^2+a^2 \end{array} \right|$.
$R_3 \rightarrow R_3 + R_1 + R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2-c^2 & 0 & c^2 \\ 0 & b^2+c^2-a^2 & a^2 \\ 2b^2-2c^2 & 2b^2-2a^2 & 2a^2+2c^2 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $\Delta = 4abc$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A, P, B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે.
$1$. $|-B|=5$ માટે:
$B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$|-B| = (-1)^3 |B| = -|B|$.
તેથી,$-|B| = 5 \Rightarrow |B| = -5$.
$2$. $|BA^T|=15$ માટે:
$|XY| = |X||Y|$ અને $|A^T| = |A|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|B||A| = 15$
$(-5)|A| = 15 \Rightarrow |A| = -3$.
$3$. $|P^T AP| = -27$ માટે:
$|P^T| = |P|$ અને $|XY| = |X||Y|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|P^T||A||P| = -27$
$|P||A||P| = -27$
$|P|^2 (-3) = -27$
$|P|^2 = 9$
$|P| = \pm 3$.
તેથી,$|P|$ ની એક કિંમત $3$ છે.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2+7}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x^2+1)(x-2)$ વડે ગુણતા: $x^2+7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2) \quad \dots (1)$.
$x=2$ લેતા: $2^2+7 = A(2^2+1) \Rightarrow 11 = 5A \Rightarrow A = \frac{11}{5}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $1 = A+B \Rightarrow B = 1 - \frac{11}{5} = -\frac{6}{5}$.
સમીકરણ $(1)$ માં અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $7 = A - 2C \Rightarrow 2C = A - 7 = \frac{11}{5} - 7 = -\frac{24}{5} \Rightarrow C = -\frac{12}{5}$.
હવે,શ્રેણિક $\begin{bmatrix} A & B \\ C & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક ગણતા:
$\det = A \cdot \frac{2}{5} - B \cdot C = \left(\frac{11}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right) - \left(-\frac{6}{5}\right)\left(-\frac{12}{5}\right)$.
$\det = \frac{22}{25} - \frac{72}{25} = -\frac{50}{25} = -2$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,તેથી $AB-C = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\det(AB-C) = -1 \neq 0$,$AB-C$ એ અસામાન્ય છે અને $D = (AB-C)^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -C$.
વિધાન $I$ માટે: $\det(BA) = \det(0) = 0$. $\det(BA-C) = \det(-C) = -1$. $\det(BDA) = \det(-CBA) = \det(0) = 0$. આમ $0 = (-1)(0)$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: $ABD = AB(-C) = -AB = 0$. $DAB = (-C)AB = -AB = 0$. આમ $ABD = DAB$ સાચું છે.
બંને વિધાનો સાચા છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $\Delta_1 = \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3\end{array}\right|$ ની ગણતરી કરીએ.
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b^2-a^2 & b^3-a^3 \\ 0 & c^2-a^2 & c^3-a^3\end{array}\right| = (b-a)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b+a & b^2+a^2+ab \\ 0 & c+a & c^2+a^2+ac\end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta_1 = (b-a)(c-a) [(b+a)(c^2+a^2+ac) - (c+a)(b^2+a^2+ab)]$
$= -(a-b)(b-c)(c-a) (ab+bc+ca)$.
હવે,આપણે $\Delta_2 = \left|\begin{array}{lll}bc & b+c & 1 \\ ca & c+a & 1 \\ ab & a+b & 1\end{array}\right|$ ની ગણતરી કરીએ.
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ ca-bc & a-b & 0 \\ ab-bc & a-c & 0\end{array}\right| = -(a-b)(b-c)(c-a)$.
અંતે,$\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)}{-(a-b)(b-c)(c-a)} = ab+bc+ca$.

(B) આપેલ છે,$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$.
આ એક અપર ટ્રાયન્ગ્યુલર મેટ્રિક્સ હોવાથી,નિશ્ચાયક એ વિકર્ણ ઘટકોનો ગુણાકાર છે:
$\Delta = 1 \times 1 \times 1 = 1$.
હવે,$\Delta^{\prime} = \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 3 \\ 4 & 6 & 100\end{array}\right|$.
બીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta^{\prime} = -0(300-12) + 0(100-4) - 6(3-3) = 0$.
હવે,$(\Delta+\Delta^{\prime})^2-3(\Delta+\Delta^{\prime})+2$ માં $\Delta = 1$ અને $\Delta^{\prime} = 0$ મુકતા:
$= (1+0)^2 - 3(1+0) + 2$
$= 1^2 - 3 + 2$
$= 1 - 3 + 2 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $C$ અને $D$ એ $n \times n$ કક્ષાના અસામાન્ય શ્રેણિકો છે.
કારણ કે $C$ અને $D$ અસામાન્ય છે,તેથી $|C| \neq 0$ અને $|D| \neq 0$.
આપણને સંબંધ $CD = -DC$ આપેલ છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|CD| = |-DC|$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ અને $|kA| = k^n|A|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|C||D| = (-1)^n |D||C|$ મળે છે.
કારણ કે $|C| \neq 0$ અને $|D| \neq 0$,આપણે બંને બાજુને $|C||D|$ વડે ભાગી શકીએ છીએ,જેનાથી $1 = (-1)^n$ મળે છે.
$(-1)^n = 1$ સાચું હોવા માટે,$n$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.

(D) આપણે બંને નિશ્ચાયકોનું અલગ-અલગ મૂલ્ય શોધીએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D_1 = \left|\begin{array}{lll}2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 2 \\ 5 & 2 & 3\end{array}\right|$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણધર્મ $\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right| = 3abc - a^3 - b^3 - c^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$D_1 = 3(2)(3)(5) - 2^3 - 3^3 - 5^3$
$D_1 = 90 - 8 - 27 - 125 = -70$.
હવે,નિશ્ચાયક $D_2 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 7 & 11 & 13 \\ 49 & 121 & 169\end{array}\right|$ ધ્યાનમાં લો.
આ વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે જેનું સ્વરૂપ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)$ છે,જ્યાં $a=7, b=11, c=13$.
$D_2 = (7-11)(11-13)(13-7)$
$D_2 = (-4)(-2)(6) = 48$.
માગેલ સરવાળો $D_1 + D_2 = -70 + 48 = -22$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,$\operatorname{det}(A^T B A) = 27$.
$\operatorname{det}(A^T) = \operatorname{det}(A)$ હોવાથી,આપણને $|A|^2 |B| = 27$ મળે છે $(i)$.
વળી,$\operatorname{det}(A B^{-1}) = 8$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{|A|}{|B|} = 8$,તેથી $|B| = \frac{|A|}{8}$ $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$|A|^2 \left(\frac{|A|}{8}\right) = 27 \Rightarrow |A|^3 = 216 \Rightarrow |A| = 6$.
તેથી,$|B| = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
આપણે $\operatorname{det}(B^T A^{-1} B) = |B^T| |A^{-1}| |B| = |B| \cdot \frac{1}{|A|} \cdot |B| = \frac{|B|^2}{|A|}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(\frac{3}{4})^2}{6} = \frac{9/16}{6} = \frac{9}{96} = \frac{3}{32}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે પાસપાસેની હાર (અથવા સ્તંભ) ની અદલાબદલી કરવાથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય માત્ર ચિહ્નમાં બદલાય છે,પરંતુ તેના માન (magnitude) માં નહીં.
તેથી,$B$ ના દરેક ઘટક $\Delta$ ને અનુરૂપ,$C$ માં એક ઘટક $\Delta^{\prime}$ મળે છે જે $\Delta$ માં બે પાસપાસેની હાર (અથવા સ્તંભ) ની અદલાબદલી કરીને મેળવી શકાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n(B) \leq n(C)$,એટલે કે $B$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા $C$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી છે.
તે જ રીતે,$C$ ના કોઈપણ નિશ્ચાયકમાં બે હારની અદલાબદલી કરીને,આપણને $B$ માં એક નિશ્ચાયક મળે છે,તેથી $n(C) \leq n(B)$.
તેથી,$n(B) = n(C)$,જેનો અર્થ છે કે $B$ માં $C$ જેટલા જ ઘટકો છે.

(B) ગણ $X$ એ તમામ $2 \times 2$ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો બનેલો છે. વિધેય $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(A) = \det(A) = ad - bc$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય $f$ એક-એક છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,બે અલગ શ્રેણિકો $A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$ લો.
અહીં,$f(A_1) = (1)(1) - (0)(0) = 1$ અને $f(A_2) = (2)(0.5) - (0)(0) = 1$.
અહીં $f(A_1) = f(A_2)$ છે પરંતુ $A_1 \neq A_2$ હોવાથી,વિધેય $f$ એક-એક નથી.
વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $k \in \mathbb{R}$ માટે,આપણે $A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in X$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $f(A) = (k)(1) - (0)(0) = k$ થાય.
સહ-પ્રદેશ $\mathbb{R}$ ના દરેક ઘટક માટે $X$ માં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવાથી,વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(A) આપેલ છે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin x & 1 \\ 1+\cos x & 1 & 1 \end{array} \right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લેતા:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & \sin x & 0 \\ 1+\cos x & -\cos x & -\cos x \end{array} \right|$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = 1 \cdot (\sin x \cdot (-\cos x) - 0) = -\sin x \cos x = -\frac{1}{2} \sin 2x$.
વિધેય $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર $\left[ -\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2} \right]$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$-\frac{\sqrt{3}}{4} \leq -\frac{1}{2} \sin 2x \leq \frac{1}{2}$.
$-2$ વડે ગુણતા: $-1 \leq \sin 2x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $2x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3} \right]$.
$2$ વડે ભાગતા: $x \in \left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6} \right]$.
આમ,$a = -\frac{\pi}{4}$ અને $b = \frac{\pi}{6}$.

(B) અહીં $X = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}$ અને $f(A) = \operatorname{det}(A) = ad - bc$ છે.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,દરેક $y \in \mathbb{R}$ માટે,એવો શ્રેણિક $A \in X$ હોવો જોઈએ કે જેથી $f(A) = y$ થાય.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} y & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ લો. તો $\operatorname{det}(A) = y(1) - 0(0) = y$. કોઈપણ $y \in \mathbb{R}$ માટે આવો શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
વિધેય એક-એક હોવા માટે,$f(A_1) = f(A_2)$ નો અર્થ $A_1 = A_2$ થવો જોઈએ.
$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ લો.
$f(A_1) = (1)(1) - (0)(0) = 1$ અને $f(A_2) = (2)(1) - (1)(1) = 1$.
અહીં $f(A_1) = f(A_2)$ છે પરંતુ $A_1 \neq A_2$ છે,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
આમ,$f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(B) શ્રેણિક $P$ માં $9$ ઘટકો છે: $5$ એકી $(1, 3, 5, 7, 9)$ અને $4$ બેકી $(2, 4, 6, 8)$.
$3$ ઘટકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{9}{3} = 84$ છે.
ઘટના $A$: $3$ ઘટકોનો સરવાળો એકી હોય. આ ત્યારે થાય જો આપણે ($3$ એકી) અથવા ($1$ એકી,$2$ બેકી) પસંદ કરીએ.
$A$ માટેની રીતો = $\binom{5}{3} + \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 10 + 30 = 40$.
તેથી,$P(A) = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$.
ઘટના $B$: હાર અથવા સ્તંભમાં $3$ ઘટકો પસંદ કરવા. કુલ $6$ રીતો છે.
$P(B) = \frac{6}{84} = \frac{1}{14}$.
$P(A|B)$ માટે,આપણે હાર અથવા સ્તંભમાં એવા ઘટકો જોઈએ જેનો સરવાળો એકી હોય.
હાર: $R_2(4,5,6)$ નો સરવાળો $15$ (એકી) છે.
સ્તંભ: $C_2(2,5,8)$ નો સરવાળો $15$ (એકી) છે.
આવા $2$ સેટ છે.
તેથી,$P(A \cap B) = \frac{2}{84}$.
$P(A|B) = \frac{2/84}{6/84} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(A|B) = \frac{10}{21} + \frac{1}{3} = \frac{17}{21}$.