Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Gujarati

(D) શ્રેણિક $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ અસામાન્ય (singular) છે જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $ad - bc = 0$,જેનો અર્થ છે $ad = bc$.
$a, b, c, d \in \{-1, 1\}$ હોવાથી,$ad$ માટે શક્ય કિંમતો $1$ અને $-1$ છે.
$ad = 1$ મેળવવા માટે $2$ રીતો છે અને $ad = -1$ મેળવવા માટે $2$ રીતો છે.
તે જ રીતે,$bc = 1$ મેળવવા માટે $2$ રીતો છે અને $bc = -1$ મેળવવા માટે $2$ રીતો છે.
$ad = bc$ માટે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $ad = 1$ અને $bc = 1$. રીતોની સંખ્યા $2 \times 2 = 4$ છે.
કિસ્સો $2$: $ad = -1$ અને $bc = -1$. રીતોની સંખ્યા $2 \times 2 = 4$ છે.
અસામાન્ય શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $= 4 + 4 = 8$ છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$ છે.
$a, b, c$ એ ત્રિકોણની બાજુઓ હોવાથી,$a+b+c \neq 0$.
તેથી,$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a=b=c$.
$a=b=c$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે,તેથી $A=B=C=60^\circ$.
તેથી $\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A = \cos 60^\circ \cos 60^\circ + \cos 60^\circ \cos 60^\circ + \cos 60^\circ \cos 60^\circ$.
$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ સંમિત હોવાથી,$A^T = A$ થાય.
$A$ અને $A^T$ ના ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & y \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & x & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $y = 1$ અને $x = 1$ મળે છે.
હવે,ચકાસો કે શું આ કિંમતો માટે $A$ સિંગ્યુલર છે,એટલે કે $|A| = 0$.
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4 - 1) - 2(4 - 1) + 1(2 - 2) = 1(3) - 2(3) + 0 = 3 - 6 = -3$.
અહીં $|A| = -3 \neq 0$ હોવાથી,એવી કોઈ $(x, y)$ ની કિંમતો નથી જે બંને શરતોનું એકસાથે પાલન કરે.
તેથી,આવી ક્રમયુક્ત જોડીઓની સંખ્યા $0$ છે.

(A) શ્રેણિક $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિક નોન-સિંગ્યુલર હોવા માટે,તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\det(M) \neq 0$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા: $\det(M) = 1(1 - \omega c) - a(\omega - \omega^2 c) + b(\omega^2 - \omega^2) = 1 - \omega c - a\omega + a\omega^2 c = 1 - \omega(a + c) + a\omega^2 c$.
આપેલ છે કે $a, c \in \{\omega, \omega^2\}$,આપણે સંયોજનો તપાસીએ:
$1$. જો $a = \omega, c = \omega$: $\det(M) = 1 - \omega(2\omega) + \omega(\omega^2)(\omega) = 1 - 2\omega^2 + \omega^4 = 1 - 2\omega^2 + \omega = 1 - 2\omega^2 + (-1 - \omega^2) = -3\omega^2 \neq 0$.
$2$. જો $a = \omega^2, c = \omega^2$: $\det(M) = 1 - \omega(2\omega^2) + \omega^2(\omega^2)(\omega^2) = 1 - 2\omega^3 + \omega^6 = 1 - 2(1) + 1 = 0$.
$3$. જો $a = \omega, c = \omega^2$: $\det(M) = 1 - \omega(\omega + \omega^2) + \omega(\omega^2)(\omega^2) = 1 - \omega(-1) + \omega^5 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$4$. જો $a = \omega^2, c = \omega$: $\det(M) = 1 - \omega(\omega^2 + \omega) + \omega^2(\omega^2)(\omega) = 1 - \omega(-1) + \omega^5 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$.
જ્યારે $\det(M) \neq 0$ હોય ત્યારે $b$ એ $\omega$ અથવા $\omega^2$ હોઈ શકે છે,અને માત્ર $(a, c) = (\omega, \omega)$ કિસ્સામાં જ નિશ્ચાયક શૂન્યતર મળે છે,તેથી $b$ માટે $2$ શક્ય કિંમતો છે.
આમ,$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ અને $ab = 5/2 \quad \dots (i)$
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી $AA^T = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & 0 \\ 0 & a^2 + b^2 \end{bmatrix}$ મળે.
આપેલ છે કે $AA^T = 20I = \begin{bmatrix} 20 & 0 \\ 0 & 20 \end{bmatrix}$,તેથી $a^2 + b^2 = 20$ થાય.
નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a+b)^2 = 20 + 2(5/2) = 20 + 5 = 25$ મળે.
આમ,$a+b = \pm 5$ થાય.
$a$ અને $b$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 \mp 5x + 5/2 = 0$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$2x^2 \mp 10x + 5 = 0$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $P^{2006} = O$ અને $PQ = P + Q$.
સમીકરણ $PQ = P + Q$ ને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $PQ - P - Q = O$ મળે છે.
બંને બાજુ $I$ ઉમેરતા,$(P - I)(Q - I) = I$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $(P - I)$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
કારણ કે $P^{2006} = O$,$P$ એ શૂન્યઘાતી શ્રેણિક છે,તેથી તેના તમામ આઈગન મૂલ્યો $0$ છે.
આમ,$\det(P) = 0$.
સમીકરણ $PQ = P + Q$ પરથી,$Q(P - I) = P$ અથવા $Q = P(P - I)^{-1}$ લખી શકાય.
તેથી,$\det(Q) = \det(P) \cdot \det((P - I)^{-1}) = 0 \cdot \det((P - I)^{-1}) = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $A^2 X = cAX$ ને $(A^2 - cA)X = 0$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $A(A - cI)X = 0$. કારણ કે $X$ શૂન્યતર શ્રેણિક છે,આ સૂચવે છે કે $c$ એ $A$ નું આઈગન મૂલ્ય (eigenvalue) હોવું જોઈએ.
$A$ ના આઈગન મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ ઉકેલીએ:
$\begin{vmatrix} 5-\lambda & -3 & 0 \\ -3 & 5-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
$(2-\lambda) [(5-\lambda)^2 - (-3)^2] = 0$
$(2-\lambda) (\lambda^2 - 10\lambda + 16) = 0$
$(2-\lambda) (\lambda - 8)(\lambda - 2) = 0$
આમ,આઈગન મૂલ્યો $\lambda = 2, 2, 8$ મળે છે.
તેથી,$c$ ની શક્ય ભિન્ન કિંમતો $2$ અને $8$ છે.
આમ,$c$ ની કુલ $2$ ભિન્ન કિંમતો મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $P^2 = P$. આનો અર્થ એ છે કે $P$ એ આઈડેમપોટન્ટ શ્રેણિક છે.
આપણે $(P+I)^4$ ની કિંમત શોધવાની છે.
શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કારણ કે $P$ અને $I$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(PI = IP = P)$:
$(P+I)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P^k I^{n-k}$.
$n=4$ માટે:
$(P+I)^4 = \binom{4}{0} P^0 I^4 + \binom{4}{1} P^1 I^3 + \binom{4}{2} P^2 I^2 + \binom{4}{3} P^3 I^1 + \binom{4}{4} P^4 I^0$.
કારણ કે $I^n = I$ અને બધા $k \ge 1$ માટે $P^k = P$ (કારણ કે $P^2=P, P^3=P^2 \cdot P = P \cdot P = P$,વગેરે):
$(P+I)^4 = I + 4P + 6P + 4P + P$.
$(P+I)^4 = I + (4+6+4+1)P$.
$(P+I)^4 = I + 15P$.

(D) ધારો કે $S_A = A - A^T$. કારણ કે $S_A^T = (A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -S_A$,તેથી $S_A$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક છે.
તે જ રીતે,ધારો કે $S_B = B - B^T$. કારણ કે $S_B^T = (B - B^T)^T = B^T - B = -(B - B^T) = -S_B$,તેથી $S_B$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક છે.
ધારો કે $M = S_A + S_B$. તો $M^T = (S_A + S_B)^T = S_A^T + S_B^T = -S_A - S_B = -(S_A + S_B) = -M$.
આમ,$M$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક છે.
એકી કક્ષા $n$ ધરાવતા વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે,કારણ કે એકી $n$ માટે $|M| = |M^T| = |-M| = (-1)^n |M| = -|M|$,જે સૂચવે છે કે $2|M| = 0$,તેથી $|M| = 0$.
અહીં $n = 3$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$|M| = |(A-A^T)+(B-B^T)| = 0$.

(B) વિધાન $(i)$: $AB=0$ નો અર્થ એ નથી કે $A=0$ અથવા $B=0$ હોવું જ જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે,બે શૂન્યતર શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ લો. તેમનો ગુણાકાર $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$ થાય છે. તેથી,$(i)$ ખોટું છે.
વિધાન (ii): જો $AB=I_3$ હોય,તો વ્યસ્ત શ્રેણિકની વ્યાખ્યા મુજબ,$B$ એ $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે (એટલે કે $A^{-1}=B$). તેથી,(ii) સાચું છે.
વિધાન (iii): વિસ્તરણ $(A-B)^2 = (A-B)(A-B) = A^2 - AB - BA + B^2$ થાય. સામાન્ય રીતે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી $(AB \neq BA)$,તેથી $A^2 - AB - BA + B^2$ એ $A^2 - 2AB + B^2$ ને સમાન નથી,સિવાય કે $AB=BA$ હોય. તેથી,(iii) ખોટું છે.
આમ,માત્ર (ii) સાચું છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} x & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = 0$
પ્રથમ,પ્રથમ બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} x & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x+4 & x-2 & 4 \end{bmatrix}$
હવે,આ પરિણામનો ત્રીજા શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} 2x+4 & x-2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = 0$
આનાથી અદિશ સમીકરણ મળે છે: $x(2x+4) + 4(x-2) + 4(-1) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 + 4x + 4x - 8 - 4 = 0$
સાદું રૂપ આપતા: $2x^2 + 8x - 12 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 + 4x - 6 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2}$
$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$

(B) આપેલ શ્રેણિકો $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ છે.
પ્રથમ,આપણે $A^n$ માટેનું સામાન્ય સ્વરૂપ શોધીએ:
$A^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 4 & 1\end{array}\right]$
$A^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 4 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 6 & 1\end{array}\right]$
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$A^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2n & 1\end{array}\right]$. તેથી,$A^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 12 & 1\end{array}\right]$.
હવે,આપણે $B^n$ માટેનું સામાન્ય સ્વરૂપ શોધીએ:
$B^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
$B^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 9 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$B^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 3n \\ 0 & 1\end{array}\right]$. તેથી,$B^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 18 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$A^6 + B^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 12 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & 18 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 18 \\ 12 & 2\end{array}\right]$.
અંતે,$\operatorname{det}(A^6 + B^6) = (2 \times 2) - (18 \times 12) = 4 - 216 = -212$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x & 4y \\ 5x & 6y \end{bmatrix}$.
$BA$ ની ગણતરી કરતા:
$BA = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x & 4x \\ 5y & 6y \end{bmatrix}$.
$AB = BA$ માટે,આપણે મેળવીએ છીએ:
$3x = 3x$ (હંમેશા સાચું)
$4y = 4x \Rightarrow x = y$
$5x = 5y \Rightarrow x = y$
$6y = 6y$ (હંમેશા સાચું)
આમ,$AB = BA$ ત્યારે જ થાય જો $x = y$ હોય.
કારણ કે $x, y \in \mathbb{N}$,આપણે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ પસંદ કરી શકીએ છીએ જેથી $x = y = n$. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અનંત હોવાથી,આવા અનંત શ્રેણિકો $B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(D) આપેલ છે: $C^T = DAB$,$D^T = ABC$,અને $S = ABCD$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ શ્રેણિક $M$ માટે,$(M^T)^T = M$ થાય છે.
$S$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$S^T = (ABCD)^T = D^T C^T B^T A^T$.
$D^T = ABC$ અને $C^T = DAB$ મૂકતા:
$S^T = (ABC)(DAB)B^T A^T = ABCDAB B^T A^T$.
વૈકલ્પિક રીતે,$S^2 = (ABCD)(ABCD)$ ધ્યાનમાં લો.
નોંધો કે $S^T = D^T C^T B^T A^T$.
$C^T = DAB$ અને $D^T = ABC$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$S^T = (ABC)(DAB)B^T A^T$.
પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મો તપાસતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $(S^T)^2 = (S^2)^T$ એ આ શ્રેણિકો માટે સાચું છે.

(C) આપેલ છે કે $z_1 = 2 + 3 \ i$ અને $z_2 = 3 + 2 \ i$.
તેથી $\bar{z}_1 = 2 - 3 \ i$ અને $\bar{z}_2 = 3 - 2 \ i$.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} z_1 & z_2 \\ -\bar{z}_2 & \bar{z}_1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \bar{z}_1 & -z_2 \\ \bar{z}_2 & z_1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} z_1 \bar{z}_1 + z_2 \bar{z}_2 & -z_1 z_2 + z_1 z_2 \\ -\bar{z}_2 \bar{z}_1 + \bar{z}_1 \bar{z}_2 & \bar{z}_2 z_2 + \bar{z}_1 z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |z_1|^2 + |z_2|^2 & 0 \\ 0 & |z_1|^2 + |z_2|^2 \end{bmatrix}$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$|z_1|^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
$|z_2|^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.
આમ,$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 13 + 13 = 26$.
તેથી,$AB = \begin{bmatrix} 26 & 0 \\ 0 & 26 \end{bmatrix} = 26 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 26 \ I$.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right]$ અને $B = \left[\begin{array}{cc} 2022 & 2024 \\ 2021 & 2023 \end{array}\right]$.
ઘાતાંક એ નિશ્ચાયક $|B| = (2022 \times 2023) - (2024 \times 2021)$ છે.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|B| = (2022 \times 2023) - ((2022+2) \times (2022-1)) = 2022 \times 2023 - (2022^2 + 2022 - 2) = 2022(2023 - 2022 - 1) + 2 = 2$.
તેથી,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$A^2 = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc} (1-2+9) & (2+2+0) & (3+4+6) \\ (-1-1+6) & (-2+1+0) & (-3+2+4) \\ (3+0+6) & (6+0+0) & (9+0+4) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 13 \\ 4 & -1 & 3 \\ 9 & 6 & 13 \end{array}\right]$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5$. તેથી,$f(A) = A^3 - 2A^2 - 5I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-15 & -10-5 \\ 6+3 & -15+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A^3 = A \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -22-45 & -30+70 \\ -33+9 & -45-14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,આ કિંમતોને $f(A)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -22 & -30 \\ 18 & -28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 - (-22) - 5 & 40 - (-30) - 0 \\ -24 - 18 - 0 & -59 - (-28) - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -50 & 70 \\ -42 & -36 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$. ધારો કે $Y = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ એ $2 \times 2$ નો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જેથી $XY = YX$ થાય.
$XY$ ની ગણતરી કરતા:
$XY = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a-c & b-d \\ a+c & b+d \end{bmatrix}$.
$YX$ ની ગણતરી કરતા:
$YX = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & -a+b \\ c+d & -c+d \end{bmatrix}$.
$XY = YX$ સરખાવતા:
$a-c = a+b \implies c = -b$.
$b-d = -a+b \implies d = a$.
આમ,$Y$ એ $\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ.
$Y$ નો નિશ્ચાયક $\det(Y) = a^2 - (-b^2) = a^2 + b^2$ છે.
કારણ કે $a, b \in \mathbb{R}$,$a^2 + b^2$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $0$ છે (જ્યારે $a=0$ અને $b=0$ હોય).
તેથી,$\det(Y)$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $0$ છે.

(D) જો $P$ અને $Q$ એવા શૂન્યતર ચોરસ શ્રેણિકો હોય કે જેથી $PQ = 0$ થાય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $P$ અથવા $Q$ માંથી કોઈ એક અસામાન્ય (singular) હોવો જ જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ લો.
અહીં,$P \neq 0$ અને $Q \neq 0$,પરંતુ $PQ = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.
આ કિસ્સામાં,બંને શ્રેણિકો અસામાન્ય છે કારણ કે તેમના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ છે.
જો કે,બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર શૂન્ય હોવો શક્ય છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ વિકલ્પ અનિવાર્યપણે સાચો નથી.

(B) આપેલ છે કે $M = \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$M^2 = M \times M = \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}9-4 & -12+4 \\ 3-1 & -4+1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}5 & -8 \\ 2 & -3\end{array}\right]$ શોધો.
હવે,પદ $M^{n+1}-M^n = M^n(M-I)$ ધ્યાનમાં લો.
$n=1$ માટે,$M^2-M = \left[\begin{array}{ll}5 & -8 \\ 2 & -3\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
નોંધો કે $M^2 - M = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
કેરેક્ટરિસ્ટિક સમીકરણ $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$ હોવાથી,$M^2 = 2M - I$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $M^2 - M = M - I$.
આમ,તમામ $n \in N$ માટે $M^{n+1}-M^n = M^2-M = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$ થાય છે.

(C) ધારો કે $2$ કક્ષાના વાસ્તવિક શ્રેણિકો $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ અને $N = \begin{bmatrix} n_1 & 0 \\ 0 & n_2 \end{bmatrix}$ છે.
$M$ વ્યસ્ત હોવાથી,$M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$M N M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 & 0 \\ 0 & n_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર કરતા:
$M N M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 d & -n_1 b \\ -n_2 c & n_2 a \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} an_1d - bn_2c & -an_1b + bn_2a \\ cn_1d - dn_2c & -cn_1b + dn_2a \end{bmatrix}$.
$M N M^{-1}$ વિકર્ણ શ્રેણિક હોય તે માટે,વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$ab(n_2 - n_1) = 0$ અને $cd(n_1 - n_2) = 0$.
જો $M$ વિકર્ણ શ્રેણિક હોય,તો $b = 0$ અને $c = 0$ થાય,જે આ સમીકરણોનું પાલન કરે છે.
આમ,બધા વિકર્ણ શ્રેણિકો $M$ માટે $M N M^{-1}$ વિકર્ણ શ્રેણિક છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$.
અહીં,$n = 2017$ અને $\theta = \frac{2\pi}{19}$ છે.
તેથી,$n\theta = 2017 \times \frac{2\pi}{19} = \frac{4034\pi}{19}$.
$4034$ ને $19$ વડે ભાગતા: $4034 = 19 \times 212 + 6$.
આમ,$n\theta = (212 \times 19 + 6) \times \frac{2\pi}{19} = 212(2\pi) + \frac{12\pi}{19} = 424\pi + \frac{12\pi}{19}$.
$A^{19} = \begin{bmatrix} \cos(19 \times \frac{2\pi}{19}) & \sin(19 \times \frac{2\pi}{19}) \\ -\sin(19 \times \frac{2\pi}{19}) & \cos(19 \times \frac{2\pi}{19}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(2\pi) & \sin(2\pi) \\ -\sin(2\pi) & \cos(2\pi) \end{bmatrix} = I$.
તેથી,$A^{2017} = A^{19 \times 106 + 3} = (A^{19})^{106} \times A^3 = I^{106} \times A^3 = A^3$.

(C) આપેલ છે કે $A^2 = I$. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $\operatorname{det}(A^2) = \operatorname{det}(I) = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\operatorname{det}(A^2) = (\operatorname{det}(A))^2$,તેથી $(\operatorname{det}(A))^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{det}(A) = 1$ અથવા $\operatorname{det}(A) = -1$.
જો $\operatorname{det}(A) = 1$ હોય,તો $A$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે અને $A^2 = I$ નો અર્થ છે કે $A = A^{-1}$. $2 \times 2$ શ્રેણિક માટે,જો $\operatorname{det}(A) = 1$ અને $A^2 = I$ હોય,તો $A$ એ $I$ અથવા $-I$ હોવો જોઈએ.
આમ,જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $\operatorname{det}(A) = -1$ હોવું જ જોઈએ. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
હવે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. અહીં $A^2 = I$,$A \neq I$,અને $A \neq -I$ છે.
ટ્રેસ $\operatorname{Tr}(A) = 0 + 0 = 0$ છે.
આમ,આપણને એક એવો કિસ્સો મળ્યો છે જ્યાં $\operatorname{Tr}(A) = 0$ છે જ્યારે $A \neq \pm I$,તેથી વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $|A| = K$.
પ્રથમ,શ્રેણિક $(A - A^T)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $(A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T)$,તેથી શ્રેણિક $(A - A^T)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
કોઈપણ એકી ક્રમ $n$ ના વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય છે. અહીં $n = 3$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$|A - A^T| = 0$ થાય.
હવે,શ્રેણિક $(AA^T)$ ધ્યાનમાં લો.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|XY| = |X||Y|$ અને $|A^T| = |A|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|AA^T| = |A||A^T| = |A||A| = K \cdot K = K^2$.
તેથી,નિશ્ચાયકોનો સરવાળો $|AA^T| + |A - A^T| = K^2 + 0 = K^2$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી તેના વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય છે,એટલે કે $\operatorname{diag}(A) = (0, 0, 0)$.
ધારો કે $D_1 = \operatorname{diag}(a, b, c)$ અને $D_2 = \operatorname{diag}(3, 3, 3) = 3I$,જ્યાં $I$ એકમ શ્રેણિક છે.
શ્રેણિકનો ટ્રેસ (Trace) એ તેના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે.
કોઈપણ વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે,વિકર્ણ શ્રેણિક $D$ અને $A$ નો ગુણાકાર $(DA)$ એવો શ્રેણિક આપે છે જેના વિકર્ણ ઘટકો $d_{ii} \times a_{ii}$ થાય. કારણ કે $a_{ii} = 0$,તેથી $DA$ ના વિકર્ણ ઘટકો $0$ થાય છે.
આમ,$\operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,$\operatorname{diag}(D_1 A) = (0, 0, 0)$,અને $\operatorname{diag}(D_2 A) = (0, 0, 0)$.
હવે,ટ્રેસની અંદરની પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $M = D_1 D_2 A + D_1 D_2 + D_1 A + D_2 A$.
$M$ ના વિકર્ણ ઘટકો $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) + \operatorname{diag}(D_1 A) + \operatorname{diag}(D_2 A) + \operatorname{diag}(D_1 D_2 A)$ છે.
કારણ કે $\operatorname{diag}(D_1 A) = \operatorname{diag}(D_2 A) = \operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,તેથી $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) = (3a, 3b, 3c)$.
તેથી,$\operatorname{Tr}(M) = 3a + 3b + 3c$.
આપણે $\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (a+3) + (b+3) + (c+3) = a + b + c + 9$.
અંતે,$\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (3a + 3b + 3c) - (a + b + c + 9) = 2a + 2b + 2c - 9$.

(B) આપેલ છે $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$.
કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને અનન્ય રીતે $A = P + Q$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $P = \frac{1}{2}(A + A^T)$ એ સંમિત શ્રેણિક છે અને $Q = \frac{1}{2}(A - A^T)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સંમિત શ્રેણિક $P$ માટે $P^T = P$,અને કોઈપણ વિસંમિત શ્રેણિક $Q$ માટે $Q^T = -Q$ થાય છે.
તેથી,$P^T - Q^T = P - (-Q) = P + Q = A$.
આમ,$P^T - Q^T = A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$.

(A) શ્રેણિક $A$ સંમિત હોવા માટે,$A = A^T$. ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 2$,$y = -3$,અને $z = 5$ મળે છે. આમ,$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ -3 & 5 & -6 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = -1(-24 - 25) - 2(-12 + 15) - 3(10 + 12) = -1(-49) - 2(3) - 3(22) = 49 - 6 - 66 = -23$.
શ્રેણિક $B$ વિસંમિત હોવા માટે,$B^T = -B$. આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણના ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ,તેથી $s = 0$. ઉપરાંત,$p = -2$,$q = 3$,અને $r = 4$. આમ,$B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & -4 \\ -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|B| = 0 - 2(0 - 12) + 3(-8 - 0) = 24 - 24 = 0$.
કારણ કે $|B| = 0$,તેથી $|AB| = |A| \times |B| = -23 \times 0 = 0$.
તેથી,$|A| + |B| - |AB| = -23 + 0 - 0 = -23$.

(A) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} \omega^{1+1} & \omega^{1+2} \\ \omega^{2+1} & \omega^{2+2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & \omega^3 \\ \omega^3 & \omega^4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix}$.
$P^2$ ની ગણતરી કરતા: $P^2 = \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^4+1 & \omega^2+\omega \\ \omega^2+\omega & 1+\omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega+1 & -1 \\ -1 & -\omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\omega^2 & -1 \\ -1 & -\omega \end{bmatrix} = -P$.
તેથી $P^2 = -P$,જેનો અર્થ છે કે $P^3 = P^2 \cdot P = (-P) \cdot P = -P^2 = -(-P) = P$.
આમ,$P^3 = P$. $P^k = P$ માટે,$k$ એ $3$ કે તેથી મોટી એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. વિકલ્પો તપાસતા,$57$ એ એકમાત્ર એકી સંખ્યા છે.

(A) આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે,તેથી $|PQ| = |P||Q| = 1$.
$|P| = 9$ હોવાથી,આપણને $|Q| = \frac{1}{9}$ મળે છે.
આપણે $|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))|$ શોધવાનું છે.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\text{adj}(A)| = |A|^2$.
આમ,$|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))| = |P \cdot \text{adj}(3Q)|^2 = |P|^2 \cdot |\text{adj}(3Q)|^2$.
$|\text{adj}(3Q)| = |3Q|^{3-1} = |3Q|^2 = (3^3 |Q|)^2 = (27 |Q|)^2$ હોવાથી.
$|Q| = \frac{1}{9}$ મૂકતા,આપણને $|\text{adj}(3Q)| = (27 \times \frac{1}{9})^2 = 3^2 = 9$ મળે છે.
હવે,$|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))| = |P|^2 \cdot (9)^2 = 9^2 \cdot 9^2 = 9^4$.

(C) $n$ કક્ષાના નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિક $A$ માટે,$|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$. અહીં $n=3$ અને $|A|=a$ છે,તેથી $|\text{adj}(A)| = a^{3-1} = a^2$. આમ,$(A)-(II)$.
$(B)$ આપેલ છે કે $AB=O$ અને $A$ નોન-સિંગ્યુલર છે $(|A| \neq 0)$. ડાબી બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,$A^{-1}(AB) = A^{-1}O \implies (A^{-1}A)B = O \implies IB = O \implies B=O$. તેથી,$B$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે. $(B)-(I)$.
$(C)$ નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ \cos(a-b)y & \cos ay & \cos(a+b)y \\ \sin(a-b)y & \sin ay & \sin(a+b)y \end{vmatrix}$. $C_1 \to C_1 + C_3$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2\cos(ay)\cos(by)$ અને $2\sin(ay)\cos(by)$ વાળા પદો મળે છે. સાદું રૂપ આપતા,નિશ્ચાયક $a$ પર આધારિત નથી. આમ,$(C)-(IV)$.
$(D)$ $B = A - A^T$. તો $B^T = (A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -B$. આમ,$B$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે. $3$ કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિક માટે નિશ્ચાયક $0$ થાય છે. આમ,$(D)-(V)$.

(D) લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - xI| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,આ $x^3 - (\text{tr}(A))x^2 + (\text{મુખ્ય ઉપનિશ્ચાયકોનો સરવાળો})x - |A| = 0$ છે.
અહીં,$\text{tr}(A) = 2 + 3 + 2 = 7$.
મુખ્ય ઉપનિશ્ચાયકો છે:
$M_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4$.
$M_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3$.
$M_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4$.
મુખ્ય ઉપનિશ્ચાયકોનો સરવાળો $= 4 + 3 + 4 = 11$.
આમ,લાક્ષણિક સમીકરણ $x^3 - 7x^2 + 11x - |A| = 0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta + \gamma = 7$ અને $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 11$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (7)^2 - 2(11) = 49 - 22 = 27$.

(D) આપેલ છે કે $BAC = I$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને $(BAC)^{-1} = I^{-1} = I$ મળે છે.
ગુણધર્મ $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C^{-1}A^{-1}B^{-1} = I$ મળે છે.
ડાબી બાજુ $C$ અને જમણી બાજુ $B$ વડે ગુણતા,આપણને $A^{-1} = CB$ મળે છે.
હવે,ગુણાકાર $CB$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} (-1)(2)+(0)(1)+(1)(-1) & (-1)(6)+(0)(0)+(1)(1) & (-1)(4)+(0)(1)+(1)(-1) \\ (1)(2)+(1)(1)+(3)(-1) & (1)(6)+(1)(0)+(3)(1) & (1)(4)+(1)(1)+(3)(-1) \\ (2)(2)+(0)(1)+(2)(-1) & (2)(6)+(0)(0)+(2)(1) & (2)(4)+(0)(1)+(2)(-1) \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\ 0 & 9 & 2 \\ 2 & 14 & 6 \end{bmatrix}$.

(A) આપણને શ્રેણિકો $A, B, C$ આપેલા છે. આપણે પદાવલિ $X = \left(\left(\left((A B C)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T$ ની કિંમત શોધવાની છે.
શ્રેણિકના પરિવર્તિત (transpose) અને વ્યસ્ત (inverse) ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $(P Q)^{-1} = Q^{-1} P^{-1}$,$(P^T)^{-1} = (P^{-1})^T$,અને $(P^T)^T = P$.
પ્રથમ,$(A B C)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}$.
ત્યારબાદ,$((A B C)^{-1})^T = (C^{-1} B^{-1} A^{-1})^T = (A^{-1})^T (B^{-1})^T (C^{-1})^T = (A^T)^{-1} (B^T)^{-1} (C^T)^{-1}$.
આગળ,$(((A B C)^{-1})^T)^{-1} = ((A^T)^{-1} (B^T)^{-1} (C^T)^{-1})^{-1} = ((C^T)^{-1})^{-1} ((B^T)^{-1})^{-1} ((A^T)^{-1})^{-1} = C^T B^T A^T$.
અંતે,$X = (C^T B^T A^T)^T = (A^T)^T (B^T)^T (C^T)^T = A B C$.
હવે,$AB$ ની ગણતરી કરીએ:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 18 \\ 4 & 2 & 7 \\ 4 & 0 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$(AB)C$ ની ગણતરી કરીએ:
$(AB)C = \left[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 18 \\ 4 & 2 & 7 \\ 4 & 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}64 & 39 & 28 \\ 29 & 16 & 11 \\ 11 & 2 & 5\end{array}\right]$.

(D) આપેલ છે કે $A A^T = I$,તેથી શ્રેણિક $A$ એ લંબકોણીય (orthogonal) શ્રેણિક છે.
લંબકોણીય શ્રેણિક માટે,નિશ્ચાયક $|A| = \pm 1$ થાય.
$A$ નો નિશ્ચાયક શોધતા:
$|A| = p(p^2 - q r) - q(r p - q^2) + r(r^2 - p q)$
$|A| = p^3 - p q r - q r p + q^3 + r^3 - r p q$
$|A| = p^3 + q^3 + r^3 - 3 p q r$
કારણ કે $|A| = \pm 1$,તેથી:
$p^3 + q^3 + r^3 - 3 p q r = \pm 1$
આમ,$p^3 + q^3 + r^3 = 3 p q r \pm 1$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $A^2+A+2I=0$ છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા:
$A(A+I) = -2I$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા:
$|A(A+I)| = |-2I|$.
કારણ કે $A$ એ $3$ કક્ષાનો શ્રેણિક છે,$|kI| = k^3|I| = k^3$.
$|A||A+I| = (-2)^3 |I| = -8(1) = -8$.
કારણ કે $|A||A+I| = -8$,તેનો અર્થ એ છે કે $|A| \neq 0$ અને $|A+I| \neq 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,$A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે.
વળી,એકી કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક હોઈ શકે નહીં.

(B) આપેલ છે,$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$A^2 - 2A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 - 2A = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] - 2\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] \dots (i)$.
આગળ,$A^{-1}$ શોધો. નિશ્ચાયક $|A| = 1(0-1) - 0 + 1(0) = -1$.
સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ છે:
$C_{11} = -1, C_{12} = 0, C_{13} = 0$
$C_{21} = 1, C_{22} = 0, C_{23} = -1$
$C_{31} = -1, C_{32} = -1, C_{33} = 1$
$Adj(A) = C^T = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$.
કારણ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] = -\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$.
આને $(i)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $A^2 - 2A = -A^{-1}$.

(C) ધારો કે $M$ એ $A$ માંનો એક શ્રેણિક છે. શ્રેણિક $M$ નો નિશ્ચાયક,જેને $\det(M)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે માત્ર $\{ -1, 0, 1 \}$ ગણમાંથી જ મૂલ્યો લઈ શકે છે કારણ કે તેના ઘટકો $0$ અથવા $1$ છે.
શ્રેણિક $M$ ની બે હારની અદલાબદલી કરવાની પ્રક્રિયા ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $M'$ એ $M$ ની બે હારની અદલાબદલી કરીને મેળવેલ શ્રેણિક છે. તો $\det(M') = -\det(M)$.
જો આપણે $B$ માંના શ્રેણિક $M$ ની બે હારની અદલાબદલી કરીએ,તો આપણને $C$ માંનો શ્રેણિક $M'$ મળે છે કારણ કે $\det(M') = -\det(M) = -1$.
તે જ રીતે,જો આપણે $C$ માંના શ્રેણિક $M$ ની બે હારની અદલાબદલી કરીએ,તો આપણને $B$ માંનો શ્રેણિક $M'$ મળે છે કારણ કે $\det(M') = -\det(M) = -(-1) = 1$.
આ $B$ અને $C$ ગણ વચ્ચે એક એક સંગતતા (bijection) દર્શાવે છે.
તેથી,$B$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા $C$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા જેટલી જ છે.

(C) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{n=0}^{\infty} D_n$ છે,જ્યાં $D_n = \left|\begin{array}{cc} (1/2)^n & (1/3)^n \\ 3 & 1 \end{array}\right|$.
નિશ્ચાયક $D_n$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$D_n = (1/2)^n \times 1 - 3 \times (1/3)^n = (1/2)^n - 3 \times (1/3)^n$.
હવે,શ્રેણી $S = \sum_{n=0}^{\infty} ((1/2)^n - 3(1/3)^n)$ નો સરવાળો કરીએ.
આને બે અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$S = \sum_{n=0}^{\infty} (1/2)^n - 3 \sum_{n=0}^{\infty} (1/3)^n$.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $|r| < 1$):
પ્રથમ શ્રેણી માટે,$r = 1/2$,તેથી $\sum_{n=0}^{\infty} (1/2)^n = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.
બીજી શ્રેણી માટે,$r = 1/3$,તેથી $\sum_{n=0}^{\infty} (1/3)^n = \frac{1}{1 - 1/3} = 3/2$.
આ કિંમતો $S$ માં મૂકતા:
જો શ્રેણી $n=1$ થી શરૂ થાય,તો $S = \sum_{n=1}^{\infty} ((1/2)^n - 3(1/3)^n) = (2-1) - 3(3/2 - 1) = 1 - 1.5 = -0.5$.
આમ,સાચો જવાબ $-1/2$ છે.

(A) ધારો કે $B = A - A^{T}$.
$B$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B^{T} = (A - A^{T})^{T} = A^{T} - (A^{T})^{T} = A^{T} - A = -(A - A^{T}) = -B$ થાય.
અહીં $B^{T} = -B$ હોવાથી,શ્રેણિક $B = A - A^{T}$ એ વિસંમિત (skew-symmetric) શ્રેણિક છે.
કોઈપણ $n$ કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિક માટે,જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય છે.
અહીં શ્રેણિકની કક્ષા $n = 3$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,$\det(A - A^{T}) = 0$.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A=\left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$,અને $C=\left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$ છે.
શ્રેણિકોના વર્ગની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & (-i)^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$B^2 = \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$C^2 = \left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
વર્ગોનો સરવાળો:
$A^2+B^2+C^2 = (-I) + (-I) + (-I) = -3I = \left[\begin{array}{cc}-3 & 0 \\ 0 & -3\end{array}\right]$.
હવે,$3 A^2 B^2 C^2$ ની ગણતરી કરતા:
$3 A^2 B^2 C^2 = 3(-I)(-I)(-I) = 3(-I)^3 = 3(-I) = -3I$.
આમ,$A^2+B^2+C^2 = -3I$ અને $3 A^2 B^2 C^2 = -3I$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $A^2+B^2+C^2 = 3 A^2 B^2 C^2$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1$ અને $i \neq j$ માટે $a_i a_j+b_i b_j+c_i c_j=0$.
આનો અર્થ એ છે કે શ્રેણિક $A$ ની હાર (અથવા સ્તંભ) ઓર્થોનોર્મલ સદિશો છે.
ચોક્કસ રીતે,જો આપણે $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ લઈએ,તો $AA^T$ એ $A$ અને તેના પરિવર્તિત શ્રેણિકનો ગુણાકાર છે.
$AA^T$ ના $i$-મી હાર અને $j$-મી સ્તંભનો ઘટક એ $A$ ની $i$-મી હાર અને $A$ ની $j$-મી હારનો ડોટ પ્રોડક્ટ છે.
આપેલ શરતો મુજબ,$AA^T = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે.
તેથી,$\det(AA^T) = \det(I) = 1$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\det(A) = 5((-5)(5) - (1)(1)) - \sin^2 \theta((-\sin^2 \theta)(5) - (1)(\cos^2 \theta)) + \cos^2 \theta((-\sin^2 \theta)(1) - (-5)(\cos^2 \theta))$
$= 5(-26) - \sin^2 \theta(-5\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) + \cos^2 \theta(-\sin^2 \theta + 5\cos^2 \theta)$
$= -130 + 5\sin^4 \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 5\cos^4 \theta$
$= -130 + 5(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta)$
નિત્યસમ $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\det(A) = -130 + 5(1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta) = -130 + 5 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta = -125 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta$.
કારણ કે $\sin^2 2\theta \in [0, 1]$,પદ $-125 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta$ ની મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $\sin^2 2\theta = 0$ હોય.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $-125 - 0 = -125$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a_1, a_2, \ldots, a_9$ એ $G.P.$ માં છે.
ધારો કે $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે,તેથી $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$ દરેક $n$ માટે.
ધારો કે $\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log a_2 & \log a_3 \\ \log a_4 & \log a_5 & \log a_6 \\ \log a_7 & \log a_8 & \log a_9 \end{vmatrix}$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log a_2 - \log a_1 & \log a_3 - \log a_2 \\ \log a_4 & \log a_5 - \log a_4 & \log a_6 - \log a_5 \\ \log a_7 & \log a_8 - \log a_7 & \log a_9 - \log a_8 \end{vmatrix}$.
ગુણધર્મ $\log m - \log n = \log(\frac{m}{n})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log(\frac{a_2}{a_1}) & \log(\frac{a_3}{a_2}) \\ \log a_4 & \log(\frac{a_5}{a_4}) & \log(\frac{a_6}{a_5}) \\ \log a_7 & \log(\frac{a_8}{a_7}) & \log(\frac{a_9}{a_8}) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log r & \log r \\ \log a_4 & \log r & \log r \\ \log a_7 & \log r & \log r \end{vmatrix}$.
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\omega$ એ $x+\frac{1}{x}+1=0$ નું બીજ છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2+x+1=0$.
આ સમીકરણના બીજ $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^2=0$ અને $\omega^3=1$.
ધારો કે નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega & 1+\omega+\omega^2 \\ 3 & 4+3 \omega & 5+4 \omega+3 \omega^2 \\ 6 & 9+6 \omega & 11+9 \omega+6 \omega^2\end{array}\right|$ છે.
$1+\omega+\omega^2=0$ નો ઉપયોગ કરીને,ત્રીજી સ્તંભનું સાદુંરૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
સ્તંભ $3$: $C_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 5+4\omega+3\omega^2 \\ 11+9\omega+6\omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3(1+\omega+\omega^2)+2+\omega \\ 6(1+\omega+\omega^2)+5+3\omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2+\omega \\ 5+3\omega \end{bmatrix}$.
તેથી,$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1+\omega & 0 \\ 3 & 4+3\omega & 2+\omega \\ 6 & 9+6\omega & 5+3\omega \end{array}\right|$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1[(4+3\omega)(5+3\omega) - (2+\omega)(9+6\omega)] - (1+\omega)[3(5+3\omega) - 6(2+\omega)]$.
$D = [20 + 12\omega + 15\omega + 9\omega^2 - (18 + 12\omega + 9\omega + 6\omega^2)] - (1+\omega)[15 + 9\omega - 12 - 6\omega]$.
$D = [20 + 27\omega + 9\omega^2 - 18 - 21\omega - 6\omega^2] - (1+\omega)[3 + 3\omega]$.
$D = [2 + 6\omega + 3\omega^2] - 3(1+\omega)^2$.
$D = 2 + 6\omega + 3\omega^2 - 3(1 + 2\omega + \omega^2) = 2 + 6\omega + 3\omega^2 - 3 - 6\omega - 3\omega^2 = -1$.

(C) આપેલ છે કે $A(\theta)=\begin{bmatrix} i \sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & i \sin \theta \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $\operatorname{det} A(\theta) = (i \sin \theta)(i \sin \theta) - (\cos \theta)(\cos \theta) = i^2 \sin^2 \theta - \cos^2 \theta$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $\operatorname{det} A(\theta) = -\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = -1$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\theta$ થી સ્વતંત્ર અને $-1$ હોવાથી,$\operatorname{det} A(\pi+\theta) = -1$,$\operatorname{det} A(-\theta) = -1$,અને $\operatorname{det} A(\theta) = -1$ થાય.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$: $\operatorname{det} A(\pi+\theta) = -1$ અને $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$. તેથી,$-1 = -1$ (સત્ય).
વિકલ્પ $B$: $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$ અને $\operatorname{det} A(\theta) = -1$. તેથી,$-1 = -1$ (સત્ય).
વિકલ્પ $C$: $\operatorname{det}[A(\theta)]^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det} A(\theta)} = \frac{1}{-1} = -1$. વિધાનમાં $1$ આપેલ છે,જે અસત્ય છે.
વિકલ્પ $D$: $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$ (સત્ય).
તેથી,જે વિધાન સત્ય નથી તે $C$ છે.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = D_1 \times D_2$ છે.
પ્રથમ,$D_1 = \left|\begin{array}{cc}\log _5 729 & \log _3 5 \\ \log _5 27 & \log _9 25\end{array}\right|$ નું સાદું રૂપ આપો.
$\log_a b^n = n \log_a b$ અને $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$D_1 = \left|\begin{array}{cc}6 \log _5 3 & \log _3 5 \\ 3 \log _5 3 & \log _3 5\end{array}\right| = (\log _5 3)(\log _3 5) \left|\begin{array}{cc}6 & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right| = 1 \times (6 - 3) = 3$.
હવે,$D_2 = \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \log _{27} 5 \\ \log _5 9 & \log _5 9\end{array}\right|$ નું સાદું રૂપ આપો.
$D_2 = \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \frac{1}{3} \log _3 5 \\ 2 \log _5 3 & 2 \log _5 3\end{array}\right| = (\log _3 5)(\log _5 3) \left|\begin{array}{cc}1 & 1/3 \\ 2 & 2\end{array}\right| = 1 \times (2 - 2/3) = 4/3$.
આમ,$E = 3 \times \frac{4}{3} = 4$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(d)$ એ $(\log _3 5) \times (\log _5 81) = (\log _3 5) \times (4 \log _5 3) = 4 \times 1 = 4$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $D = \left|\begin{array}{ccc} 1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_3$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(1(1+4 \sin 2 x) - (-1)(\cos ^2 x)) - 0 + (-1)(0 - 1(\sin ^2 x))$
$D = 1 + 4 \sin 2 x + \cos ^2 x - \sin ^2 x$
$\cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$D = 1 + 4 \sin 2 x + \cos 2 x$.
$f(x) = 1 + 4 \sin 2 x + \cos 2 x$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $a \sin \theta + b \cos \theta \in [-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a=4, b=1$ છે,તેથી $4 \sin 2 x + \cos 2 x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{16+1}, \sqrt{16+1}] = [-\sqrt{17}, \sqrt{17}]$ છે.
આમ,મહત્તમ મૂલ્ય $1 + \sqrt{17}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -5 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2 - \text{tr}(A)A + |A|I = 0$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધીએ.
$A$ નો ટ્રેસ $\text{tr}(A) = 1 + (-5) = -4$ છે.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (1)(-5) - (2)(-2) = -5 + 4 = -1$ છે.
આમ,લાક્ષણિક સમીકરણ $A^2 - (-4)A + (-1)I = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $A^2 + 4A - I = 0$ અથવા $A^2 + 4A = I$ થાય છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2A^2 + 8A = 2I$ મળે છે.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સમીકરણ $\alpha A^2 + \beta A = 2I$ સાથે કરતા,આપણને $\alpha = 2$ અને $\beta = 8$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 8 = 10$ થાય છે.

(A) આપેલ છે $M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$M$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$M^3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$M^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. તેથી,$M^{10} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $N = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|N| = (1 \times 2) - (0 \times 0) = 2$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $N^{-1} = \frac{1}{|N|} \text{adj}(N) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$.
હવે,$N M^{10} N^{-1}$ ની ગણતરી કરતા:
$N M^{10} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$(N M^{10}) N^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.