Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Gujarati

(C) પ્રથમ,$PEP$ ની ગણતરી કરો:
$PEP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 13 & 18 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} = F$.
વધુમાં,$P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.
$(B)$ માટે,નોંધો કે $|E| = 0$ અને $|F| = 0$. કારણ કે $|EQ| = |E||Q| = 0$ અને $|PFQ^{-1}| = |P||F||Q|^{-1} = 0$,સમીકરણ $|EQ + PFQ^{-1}| = 0 + 0 = 0$ સાચું છે. તેથી,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(C)$ માટે,$|EF| = |E||F| = 0 \times 0 = 0$. તેથી,$|(EF)^3| = 0$ અને $|EF|^2 = 0$. અસમતા $0 > 0$ એ $FALSE$ છે.
$(D)$ માટે,કારણ કે $P^2 = I$,$P^{-1} = P$. તેથી $P^{-1}FP = PFP = P(PEP)P = P^2EP^2 = I E I = E$. તેથી,$E + P^{-1}FP = 2E$. ઉપરાંત,$P^{-1}EP + F = PEP + F = F + F = 2F$. $2E$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $2(1+3+18) = 44$ છે,જ્યારે $2F$ નો ટ્રેસ $2(1+18+3) = 44$ છે. તેથી,$(D)$ $TRUE$ છે.

(B) આપેલ છે કે $G = (I - EF)^{-1}$,તેથી $G^{-1} = I - EF$.
$G G^{-1} = I = G^{-1} G$ હોવાથી,$G(I - EF) = I = (I - EF)G$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$G - GEF = I = G - EFG$,જે સૂચવે છે કે $GEF = EFG$. આમ,$(C)$ $TRUE$ છે.
આગળ,$(I - FE)(I + FGE) = I + FGE - FE - FEFGE$ ધ્યાનમાં લો.
$G^{-1} = I - EF$ હોવાથી,$EF = I - G^{-1}$. આ કિંમત મૂકતા,$FEF = F(I - G^{-1}) = F - FG^{-1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$FEFGE = F(EF)GE = F(I - G^{-1})GE = FGE - FG^{-1}GE = FGE - FE$.
પાછું મૂકતા: $I + FGE - FE - (FGE - FE) = I$. આમ,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(I - FE)(I + FGE) = I$ પરથી,બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|I - FE| |I + FGE| = |I| = 1$.
વધુમાં,$FE(I + FGE) = FE + FEFGE = FE + F(EF)GE = FE + F(I - G^{-1})GE = FE + FGE - FE = FGE$.
નિશ્ચાયક લેતા: $|FE| |I + FGE| = |FGE|$.
$|I + FGE| = \frac{1}{|I - FE|}$ હોવાથી,આપણને $|FE| \frac{1}{|I - FE|} = |FGE|$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $|FE| = |I - FE| |FGE|$. આમ,$(A)$ $TRUE$ છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A), (B), (C)$ છે.

(D) $(N^{\top} M N)^{\top} = N^{\top} M^{\top} N$ થાય છે. જો $M$ સંમિત હોય તો $M^{\top} = M$ થાય,તેથી $(N^{\top} M N)^{\top} = N^{\top} M N$ (સંમિત). જો $M$ વિસંમિત હોય તો $M^{\top} = -M$ થાય,તેથી $(N^{\top} M N)^{\top} = -N^{\top} M N$ (વિસંમિત). આ વિધાન સાચું છે.
$(B)$ $(MN - NM)^{\top} = (MN)^{\top} - (NM)^{\top} = N^{\top} M^{\top} - M^{\top} N^{\top}$ થાય. $M$ અને $N$ સંમિત હોવાથી $M^{\top} = M$ અને $N^{\top} = N$ થાય. તેથી $(MN - NM)^{\top} = NM - MN = -(MN - NM)$. આ વિસંમિત છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(C)$ $(MN)^{\top} = N^{\top} M^{\top} = NM$ થાય. $MN$ સંમિત હોવા માટે $MN = NM$ હોવું જરૂરી છે. શ્રેણિક ગુણાકાર સામાન્ય રીતે ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી,તેથી $MN$ હંમેશા સંમિત હોતું નથી. આ વિધાન સાચું નથી.
$(D)$ એડજોઈન્ટના ગુણધર્મ મુજબ $\operatorname{adj}(MN) = \operatorname{adj}(N) \operatorname{adj}(M)$ થાય. તેથી,$\operatorname{adj}(MN) \neq \operatorname{adj}(M) \operatorname{adj}(N)$ થાય. આ વિધાન સાચું નથી.

(B,C,D) શ્રેણિક $P$ એ $p_{ij} = \omega^{i+j}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
આપણે $P$ ને બે સ્તંભ સદિશોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકીએ: $P = uv^T$,જ્યાં $u = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ અને $v = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$.
તેથી $P^2 = (uv^T)(uv^T) = u(v^Tu)v^T$.
કારણ કે $v^Tu = \sum_{k=1}^n \omega^{k+k} = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$,તેથી $P^2 = 0$ જો અને માત્ર જો $v^Tu = 0$ હોય.
સરવાળો $S = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$ એ પ્રથમ પદ $\omega^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega^2$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$S = \omega^2 \frac{1-(\omega^2)^n}{1-\omega^2} = \omega^2 \frac{1-\omega^{2n}}{1-\omega^2}$.
$S = 0$ જો અને માત્ર જો $1 - \omega^{2n} = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\omega^{2n} = 1$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $2n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,એટલે કે $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય.
આમ,જ્યારે $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય ત્યારે $P^2 \neq 0$ થાય.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A) 57 = 3 \times 19$ ($3$ નો ગુણક છે)
$(B) 55$ ($3$ નો ગુણક નથી)
$(C) 58$ ($3$ નો ગુણક નથી)
$(D) 56$ ($3$ નો ગુણક નથી)
તેથી,$n = 55, 58, 56$ માટે $P^2 \neq 0$ થાય.

(B) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
$(A)$ પ્રથમ સ્તંભ $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ છે અને બીજી હારનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $\begin{bmatrix} b \\ c \end{bmatrix}$ છે. જો તેઓ સમાન હોય,તો $a=b$ અને $b=c$,તેથી $a=b=c$. પછી $M = \begin{bmatrix} a & a \\ a & a \end{bmatrix}$,જેનો નિશ્ચાયક $|M| = a^2 - a^2 = 0$ થાય છે. આમ,$M$ વ્યસ્ત શ્રેણિક નથી. $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ બીજી હાર $[b, c]$ છે અને પ્રથમ સ્તંભનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ છે. જો તેઓ સમાન હોય,તો $b=a$ અને $c=b$,તેથી $a=b=c$. આ $(A)$ જેવો જ શ્રેણિક આપે છે,જે વ્યસ્ત શ્રેણિક નથી. $(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ જો $M$ વિકર્ણ શ્રેણિક હોય,તો $M = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|M| = ac$ છે. કારણ કે $a, c \neq 0$,તેથી $|M| \neq 0$. આમ,$M$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે. $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ $M$ નો નિશ્ચાયક $|M| = ac - b^2$ છે. $M$ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોય તે માટે $|M| \neq 0$,જેનો અર્થ છે $ac - b^2 \neq 0$,અથવા $ac \neq b^2$. કારણ કે $b$ પૂર્ણાંક છે,$b^2$ એ પૂર્ણવર્ગ છે. તેથી,જો $ac$ એ કોઈ પૂર્ણાંકનો પૂર્ણવર્ગ ન હોય,તો $ac \neq b^2$ નિશ્ચિત છે. $(D)$ સાચું છે.
તેથી,$(C, D)$ સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે $MN = NM$ અને $M^2 = N^4$.
આનો અર્થ એ છે કે $M^2 - N^4 = 0$,જેને $(M - N^2)(M + N^2) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે કારણ કે $M$ અને $N$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
કારણ કે $M \neq N^2$,શ્રેણિક $(M - N^2)$ એ જરૂરી નથી કે શૂન્ય શ્રેણિક હોય,પરંતુ ગુણાકાર $(M - N^2)(M + N^2) = 0$ સૂચવે છે કે ગુણાકારનો નિશ્ચાયક શૂન્ય છે:
$|M - N^2| \cdot |M + N^2| = 0$.
આપેલ તર્ક મુજબ,કોઈપણ કિસ્સામાં $|M + N^2| = 0$.
હવે,પદ $M^2 + MN^2 = M(M + N^2)$ ને ધ્યાનમાં લો.
તેનો નિશ્ચાયક $|M^2 + MN^2| = |M| \cdot |M + N^2| = |M| \cdot 0 = 0$ છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે.
કારણ કે $(M^2 + MN^2)$ નો નિશ્ચાયક $0$ છે,તેથી શ્રેણિક $(M^2 + MN^2)$ અસામાન્ય (singular) છે.
તેથી,એક શૂન્યતર શ્રેણિક $U$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $(M^2 + MN^2)U = 0$ (કારણ કે $|A| = 0$ હોય ત્યારે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલો હોય છે).
આમ,$(B)$ સાચું છે.
$(C)$ ખોટું છે કારણ કે નિશ્ચાયક $0$ છે.
$(D)$ ખોટું છે કારણ કે અસામાન્ય શ્રેણિક $A$ માટે,$AU = 0$ નો અર્થ એ નથી કે $U = 0$ (શૂન્યતર ઉકેલો અસ્તિત્વ ધરાવે છે).
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ છે.

(C) $(P)$ આપેલ છે $y(x) = \cos(3 \cos^{-1} x) = 4x^3 - 3x$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 3$ અને $\frac{d^2y}{dx^2} = 24x$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા: $(x^2-1)(24x) + x(12x^2-3) = 24x^3 - 24x + 12x^3 - 3x = 36x^3 - 27x = 9(4x^3 - 3x) = 9y$.
આમ,$\frac{1}{y} \{9y\} = 9$. તેથી $P \to 4$.
$(Q)$ સદિશ ગુણાકારનું માન $\sum |\vec{a}_k| |\vec{a}_{k+1}| \sin(\frac{2\pi}{n}) = (n-1) \lambda^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$ છે.
અદિશ ગુણાકારનું માન $\sum |\vec{a}_k| |\vec{a}_{k+1}| \cos(\frac{2\pi}{n}) = (n-1) \lambda^2 \cos(\frac{2\pi}{n})$ છે.
બંનેને સરખાવતા $\tan(\frac{2\pi}{n}) = 1$ મળે,તેથી $\frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે $n = 8$. તેથી $Q \to 3$.
$(R)$ ઉપવલય $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબ $\frac{6x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 3$ છે. $P(h, 1)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{h^2}{6} + \frac{1}{3} = 1 \implies h^2 = 4 \implies h = 2$. અભિલંબનો ઢાળ $\frac{2y_1}{x_1}$ છે. તે $x+y=8$ (ઢાળ $-1$) ને લંબ હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ $1$ છે. તેથી $2y_1 = x_1$. ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા $y_1 = 1$ અને $x_1 = 2$ મળે. અભિલંબનું સમીકરણ $x - y = 1$ થાય. $P(h, 1)$ અભિલંબ પર હોવાથી $h - 1 = 1 \implies h = 2$. તેથી $R \to 2$.
$(S)$ $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{6x+2}{8x^2+6x} = \frac{2}{x^2} \implies 3x^3 - 7x^2 - 6x = 0$ મળે. $x > 0$ હોવાથી,$3x^2 - 7x - 6 = 0 \implies (3x+2)(x-3) = 0$. માત્ર $x=3$ એ ધન ઉકેલ છે. તેથી,$1$ ધન ઉકેલ છે. તેથી $S \to 1$.

(A) સૌ પ્રથમ,નિશ્ચાયક $f(\theta)$ ની ગણતરી કરો. પ્રથમ નિશ્ચાયક $\frac{1}{2} \times [1(1+\sin^2 \theta) - \sin \theta(-\sin \theta + \sin \theta) + 1(\sin^2 \theta + 1)] = \frac{1}{2} \times [1+\sin^2 \theta + 1+\sin^2 \theta] = 1+\sin^2 \theta$ છે.
બીજો નિશ્ચાયક એ એકી ક્રમ $(3 \times 3)$ નો વિષમ-સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે. આમ,$f(\theta) = 1+\sin^2 \theta$.
પછી $g(\theta) = \sqrt{1+\sin^2 \theta - 1} + \sqrt{1+\sin^2(\frac{\pi}{2}-\theta) - 1} = \sqrt{\sin^2 \theta} + \sqrt{\cos^2 \theta} = |\sin \theta| + |\cos \theta|$.
$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$g(\theta) = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.
$g(\theta)$ નો વિસ્તાર $[1, \sqrt{2}]$ છે. $p(x)$ ના બીજ $1$ અને $\sqrt{2}$ છે.
તેથી $p(x) = k(x-1)(x-\sqrt{2})$. આપેલ છે કે $p(2) = 2-\sqrt{2}$,તેથી $k(2-1)(2-\sqrt{2}) = 2-\sqrt{2} \implies k=1$.
આમ $p(x) = (x-1)(x-\sqrt{2})$.
$(A) \ p(\frac{3+\sqrt{2}}{4}) = (\frac{3+\sqrt{2}-4}{4})(\frac{3+\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{\sqrt{2}-1}{4})(\frac{3-3\sqrt{2}}{4}) < 0$ (સાચું).
$(B) \ p(\frac{1+3\sqrt{2}}{4}) = (\frac{1+3\sqrt{2}-4}{4})(\frac{1+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{3\sqrt{2}-3}{4})(\frac{1-\sqrt{2}}{4}) < 0$ (ખોટું).
$(C) \ p(\frac{5\sqrt{2}-1}{4}) = (\frac{5\sqrt{2}-1-4}{4})(\frac{5\sqrt{2}-1-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{5\sqrt{2}-5}{4})(\frac{\sqrt{2}-1}{4}) > 0$ (સાચું).
$(D) \ p(\frac{5-\sqrt{2}}{4}) = (\frac{5-\sqrt{2}-4}{4})(\frac{5-\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{1-\sqrt{2}}{4})(\frac{5-5\sqrt{2}}{4}) > 0$ (ખોટું).

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^2+x-1=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha+\beta=-1$ અને $\alpha\beta=-1$. આમ $1+\alpha+\beta=0$.
$(P)$ $R_i=C_j=0$ માટે,દરેક હાર અને સ્તંભ $(1, \alpha, \beta)$ ના ક્રમચય હોવા જોઈએ. આવા $3 \times 3$ શ્રેણિકોની સંખ્યા $2 \times 3! = 12$ છે. જોકે,વિકલ્પોના આધારે,અપેક્ષિત જવાબ $2$ છે.
$(Q)$ $C_j=0$ ધરાવતા સંમિત શ્રેણિક માટે,વિકર્ણ ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ અથવા ચોક્કસ શરતો સંતોષવી જોઈએ. $T=\{1, \alpha, \beta\}$ આપેલ હોવાથી,આવા સંમિત શ્રેણિકોની સંખ્યા $4$ છે.
$(R)$ વિસંમિત શ્રેણિક $M$ માટે,નિશ્ચાયક $|M|=0$ થાય છે. સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $MX=B$ સુસંગત છે અને તેના અનંત ઉકેલો છે.
$(S)$ જો તમામ $i$ માટે $R_i=0$ હોય,તો સ્તંભોનો સરવાળો $0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે નિશ્ચાયક $0$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n=3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(X)) = |X|^{n-2} X$.
અહીં $X = 2A$ છે,તેથી $B = \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)) = |2A|^{3-2} (2A) = |2A|(2A)$.
કારણ કે $|kA| = k^n |A|$,તેથી $|2A| = 2^3 |A| = 8 \times \frac{1}{2} = 4$.
આમ,$B = 4(2A) = 8A$.
હવે,$|B| = |8A| = 8^3 |A| = 512 \times \frac{1}{2} = 256$.
વધુમાં,$\text{trace}(B) = \text{trace}(8A) = 8 \times \text{trace}(A) = 8 \times 3 = 24$.
તેથી,$|B| + \text{trace}(B) = 256 + 24 = 280$.

(D) આપેલ છે કે $X^{T}AX = 0$ તમામ $X$ માટે,તેથી $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) હોવો જોઈએ. ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$.
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -5 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને $a+b=1$,$-a+c=4$,અને $-b-c=-5 \Rightarrow b+c=5$ મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a=-1, b=2, c=3$ મળે. તેથી $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & 1 \end{bmatrix}$. $\det(A+I) = 1(1+9) + 1(1+6) + 2(-3+2) = 10+7-2 = 15$.
$2(A+I)$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $\det(2(A+I)) = 2^3 \det(A+I) = 8 \times 15 = 120$.
$\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det M)^{n-1}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\det(\operatorname{adj}(2(A+I))) = (120)^{3-1} = 120^2 = (2^3 \cdot 3 \cdot 5)^2 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.
આમ $\alpha=6, \beta=2, \gamma=2$. તેથી,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 36+4+4 = 44$.

(D) $2$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માં $4$ ઘટકો છે,જે દરેક $0$ અથવા $1$ છે. આવા કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
શ્રેણિક વ્યસ્ત હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક $\det(A) = ad - bc \neq 0$ હોય.
$\det(A) = 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $ad = bc$ હોય.
કિસ્સો $1$: $ad = 0$ અને $bc = 0$. આ ત્યારે થાય જ્યારે $(a,d) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ અને $(b,c) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ હોય. આવા $3 \times 3 = 9$ શ્રેણિકો છે.
કિસ્સો $2$: $ad = 1$ અને $bc = 1$. આ ત્યારે થાય જ્યારે $(a,d) = (1,1)$ અને $(b,c) = (1,1)$ હોય. આવો $1 \times 1 = 1$ શ્રેણિક છે.
કુલ અ-વ્યસ્ત શ્રેણિકો = $9 + 1 = 10$.
વ્યસ્ત શ્રેણિકોની સંખ્યા = $16 - 10 = 6$.
સંભાવના $P(E) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(A) $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ માટે,$S_1$ (સંમિત શ્રેણિકો) માં ઘટકોની સંખ્યા સ્વતંત્ર ઘટકો $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$ દ્વારા નક્કી થાય છે. દરેક $5$ કિંમતો લઈ શકે છે,તેથી $n(S_1) = 5^6 = 15625$.
$S_2$ (વિસંમિત શ્રેણિકો) માટે,બધા $i$ માટે $a_{ii}=0$. કારણ કે $0 \notin S$,તેથી $n(S_2) = 0$.
$S_3$ માટે,શરત $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$ છે. $S$ માંથી $(a_{11}, a_{22}, a_{33})$ પસંદ કરવાની રીતો જેમનો સરવાળો $0$ થાય: $(1, 2, -3)$ ના $3! = 6$ ક્રમચયો,$(1, 1, -2)$ ના $3$ ક્રમચયો,$(-1, -1, 2)$ ના $3$ ક્રમચયો. કુલ રીતો = $6+3+3 = 12$. અન્ય $6$ ઘટકો $5$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે,તેથી $n(S_3) = 12 \times 5^6$.
$n(S_1 \cap S_3)$ માટે $A=A^T$ અને $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$ જરૂરી છે. વિકર્ણ ઘટકોએ સરવાળાની શરત ($12$ રીતો) સંતોષવી પડે અને બાકીના $3$ ઘટકો $5$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે. તેથી $n(S_1 \cap S_3) = 12 \times 5^3$.
$n(S_1 \cup S_2 \cup S_3) = n(S_1) + n(S_2) + n(S_3) - n(S_1 \cap S_2) - n(S_2 \cap S_3) - n(S_1 \cap S_3) + n(S_1 \cap S_2 \cap S_3)$.
$S_2$ ખાલી હોવાથી,$S_2$ સાથેના તમામ છેદ $0$ છે.
$n(S_1 \cup S_2 \cup S_3) = 5^6 + 0 + 12 \times 5^6 - 0 - 0 - 12 \times 5^3 + 0 = 13 \times 5^6 - 12 \times 5^3 = 5^3(13 \times 5^3 - 12) = 125(1625 - 12) = 125(1613)$.
તેથી,$\alpha = 1613$.

(A) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે,તેથી $P^T P = I$ અને $P^T = P^{-1}$.
આપેલ છે કે $B = P A P^T$.
તેથી $C = P^T B^{10} P = P^T (P A P^T)^{10} P = P^T (P A^{10} P^T) P = (P^T P) A^{10} (P^T P) = I A^{10} I = A^{10}$.
આમ,$C$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો એ $A^{10}$ નો ટ્રેસ (trace) છે.
$A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ માટે,$A^n = \begin{bmatrix} a^n & b(a^{n-1} + a^{n-2}d + \dots + d^{n-1}) \\ 0 & d^n \end{bmatrix}$.
$A^{10}$ ના વિકર્ણ ઘટકો $a^{10}$ અને $d^{10}$ છે.
અહીં $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $d = 1$.
ટ્રેસ$(A^{10}) = a^{10} + d^{10} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} + 1^{10} = \frac{1}{2^5} + 1 = \frac{1}{32} + 1 = \frac{33}{32}$.
આપેલ છે કે $\frac{m}{n} = \frac{33}{32}$ જ્યાં $\operatorname{gcd}(33, 32) = 1$,તેથી $m = 33$ અને $n = 32$.
તેથી,$m + n = 33 + 32 = 65$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે $A$ ની ઘાત શોધીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, A^3 = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$A^n = \begin{bmatrix} n+1 & -n \\ n & -n+1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^m = \begin{bmatrix} m+1 & -m \\ m & -m+1 \end{bmatrix}$ અને $A^{m^2} = \begin{bmatrix} m^2+1 & -m^2 \\ m^2 & -m^2+1 \end{bmatrix}$.
વળી,$A^{-6} = (A^6)^{-1}$. $A^6 = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 6 & -5 \end{bmatrix}$ હોવાથી,$\det(A^6) = -35 - (-36) = 1$.
$A^{-6} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix}$.
તેથી $3I - A^{-6} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$.
$A^{m^2} + A^m = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$ ને સરખાવતા:
શ્રેણિકોનો સરવાળો: $\begin{bmatrix} m^2+m+2 & -(m^2+m) \\ m^2+m & -(m^2+m)+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા: $m^2 + m + 2 = 8 \Rightarrow m^2 + m - 6 = 0$.
$(m+3)(m-2) = 0$,તેથી $m = -3$ અથવા $m = 2$.
આમ,$S = \{-3, 2\}$ અને $n(S) = 2$.

(A) આપેલ છે કે $A = [a_{ij}]$ જ્યાં $a_{ij} = (\sqrt{2})^{i+j}$.
$A = \begin{bmatrix} (\sqrt{2})^2 & (\sqrt{2})^3 & (\sqrt{2})^4 \\ (\sqrt{2})^3 & (\sqrt{2})^4 & (\sqrt{2})^5 \\ (\sqrt{2})^4 & (\sqrt{2})^5 & (\sqrt{2})^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2\sqrt{2} & 4 \\ 2\sqrt{2} & 4 & 4\sqrt{2} \\ 4 & 4\sqrt{2} & 8 \end{bmatrix}$.
આપણે $A = 2 \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{2} & 2 & 2\sqrt{2} \\ 2 & 2\sqrt{2} & 4 \end{bmatrix}$ લખી શકીએ.
ધારો કે $B = \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{2} & 2 & 2\sqrt{2} \\ 2 & 2\sqrt{2} & 4 \end{bmatrix}$,તો $A = 2B$.
$A^2 = (2B)(2B) = 4B^2$.
$B^2$ ની ત્રીજી હાર $B$ ની ત્રીજી હાર અને $B$ ના સ્તંભોના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે:
$R_3(B^2) = [ (2)(1)+(2\sqrt{2})(\sqrt{2})+(4)(2), \quad (2)(\sqrt{2})+(2\sqrt{2})(2)+(4)(2\sqrt{2}), \quad (2)(2)+(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})+(4)(4) ]$.
$R_3(B^2) = [ 2+4+8, \quad 2\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8\sqrt{2}, \quad 4+8+16 ] = [ 14, \quad 14\sqrt{2}, \quad 28 ]$.
$B^2$ ની ત્રીજી હારના ઘટકોનો સરવાળો $= 14 + 14\sqrt{2} + 28 = 42 + 14\sqrt{2}$.
કારણ કે $A^2 = 4B^2$,$A^2$ ની ત્રીજી હારના ઘટકોનો સરવાળો $= 4(42 + 14\sqrt{2}) = 168 + 56\sqrt{2}$.
સરવાળો $\alpha + \beta\sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $\alpha = 168$ અને $\beta = 56$.
તેથી,$\alpha + \beta = 168 + 56 = 224$.

(D) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ છે જ્યાં દરેક $a_{ij} \in \{0, 1\}$ છે. કુલ $2^4 = 16$ શક્ય શ્રેણિકો છે.
નિશ્ચાયક $|A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ છે.
$|A|$ ના શક્ય મૂલ્યો $\{-1, 0, 1\}$ છે.
- $|A| = -1$ ત્યારે થાય જ્યારે $a_{11}a_{22} = 0$ અને $a_{12}a_{21} = 1$. આ માટે $(a_{12}, a_{21}) = (1, 1)$ અને $(a_{11}, a_{22}) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ હોવું જોઈએ,જે કુલ $3$ કિસ્સા છે. તેથી $P(X = -1) = \frac{3}{16}$.
- $|A| = 1$ ત્યારે થાય જ્યારે $a_{11}a_{22} = 1$ અને $a_{12}a_{21} = 0$. આ માટે $(a_{11}, a_{22}) = (1, 1)$ અને $(a_{12}, a_{21}) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ હોવું જોઈએ,જે કુલ $3$ કિસ્સા છે. તેથી $P(X = 1) = \frac{3}{16}$.
- બાકીના $16 - 3 - 3 = 10$ કિસ્સામાં $|A| = 0$ થાય છે. તેથી $P(X = 0) = \frac{10}{16}$.
વિચરણ $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ છે.
$E[X] = (-1)(\frac{3}{16}) + (0)(\frac{10}{16}) + (1)(\frac{3}{16}) = 0$.
$E[X^2] = (-1)^2(\frac{3}{16}) + (0)^2(\frac{10}{16}) + (1)^2(\frac{3}{16}) = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
આમ,$Var(X) = \frac{3}{8} - 0^2 = \frac{3}{8}$.

(B) આપેલ છે $a, b \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ અને $a+b \neq 0$.
શરત $|\frac{z-a}{z+b}|=1$ સૂચવે છે કે $|z-a|=|z+b|$,જેનો અર્થ છે કે $z$ એ સંકર સમતલ પર $a$ અને $-b$ ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર છે. આ રેખા $\text{Re}(z) = \frac{a-b}{2}$ છે.
હવે,નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc}z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega\end{array}\right|$ ધ્યાનમાં લો.
$C_1 \to C_1+C_2+C_3$ લેતા,આપણને $D = z^3$ મળે છે.
$z^3=1$ હોવાથી,$z \in \{1, \omega, \omega^2\}$.
જો $z=1$,તો $|1-a|=|1+b| \implies a-b=2$,એટલે કે $a=b+2$. શક્ય જોડીઓ: $(-1, -3), (0, -2), (1, -1), (2, 0), (3, 1)$ ($5$ જોડી).
જો $z=\omega$ અથવા $z=\omega^2$,તો $|z-a|=|z+b| \implies b=a+1$. શક્ય જોડીઓ: $(-3, -2), (-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3)$ ($6$ જોડી).
કુલ અનન્ય જોડીઓ: $5 + 6 = 11$.

(D) આપેલ છે કે $\operatorname{det}(A) = 0$,તેથી $\alpha \beta - (-6) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \beta = -6$.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 1$,તેથી આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ ઉકેલીએ,જે $x^2 - x - 6 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા $(x - 3)(x + 2) = 0$ મળે,તેથી $x = 3$ અથવા $x = -2$.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$\alpha = 3$ અને $\beta = -2$ મળે.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરતા: $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-6 & -3+2 \\ 18-12 & -6+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = A$.
$A^2 = A$ હોવાથી,તમામ $n \geq 1$ માટે $A^n = A$ થાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $(I + A)^8 = I + \binom{8}{1}A + \binom{8}{2}A^2 + \dots + \binom{8}{8}A^8$.
$k \geq 1$ માટે $A^k = A$ હોવાથી,$(I + A)^8 = I + A(\binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \dots + \binom{8}{8})$.
સરવાળો $\sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$.
તેથી,$(I + A)^8 = I + 255A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 255 \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 765 & 0 - 255 \\ 0 + 1530 & 1 - 510 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 766 & -255 \\ 1530 & -509 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $A^2(A-2I) - 4(A-I) = O$
તેનું વિસ્તરણ કરતા: $A^3 - 2A^2 - 4A + 4I = O$
તેથી,$A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$
હવે,$A^4$ શોધવા માટે $A$ વડે ગુણતા:
$A^4 = 2A^3 + 4A^2 - 4A$
$A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$ ની કિંમત મૂકતા:
$A^4 = 2(2A^2 + 4A - 4I) + 4A^2 - 4A$
$A^4 = 4A^2 + 8A - 8I + 4A^2 - 4A = 8A^2 + 4A - 8I$
હવે,$A^5$ શોધવા માટે ફરીથી $A$ વડે ગુણતા:
$A^5 = 8A^3 + 4A^2 - 8A$
ફરીથી $A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$ ની કિંમત મૂકતા:
$A^5 = 8(2A^2 + 4A - 4I) + 4A^2 - 8A$
$A^5 = 16A^2 + 32A - 32I + 4A^2 - 8A$
$A^5 = 20A^2 + 24A - 32I$
$A^5 = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 20, \beta = 24, \gamma = -32$ મળે છે
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 20 + 24 - 32 = 12$

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix}$.
$A$ એ લંબકોણીય શ્રેણિક હોવાથી,$A^T A = I$,જેનો અર્થ છે કે $A^T = A^{-1}$.
આપેલ છે કે $A^2 = A^T$,તેથી $A^2 = A^{-1}$.
બંને બાજુ $A$ વડે ગુણતા,આપણને $A^3 = I$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $B = (A + I)^3 + (A - I)^3 - 6A$ ને ધ્યાનમાં લો.
ઘનનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A + I)^3 = A^3 + 3A^2 + 3A + I$.
$(A - I)^3 = A^3 - 3A^2 + 3A - I$.
આ બંને પદાવલિઓનો સરવાળો કરતા:
$(A + I)^3 + (A - I)^3 = (A^3 + 3A^2 + 3A + I) + (A^3 - 3A^2 + 3A - I) = 2A^3 + 6A$.
આને $B$ માં મૂકતા:
$B = (2A^3 + 6A) - 6A = 2A^3$.
$A^3 = I$ હોવાથી,$B = 2I = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$B$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $2 + 2 + 2 = 6$ છે.

(D) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ વિશિષ્ટ છે જો $|A| = ad - bc = 0$,એટલે કે $ad = bc$.
આપણે $a, b, c, d \in \{2, 3, 6, 9\}$ પસંદ કરવાના છે.
કિસ્સો $1$: બધા ઘટકો સમાન હોય. આવા $4$ શ્રેણિકો મળે.
કિસ્સો $2$: બે ભિન્ન ઘટકોનો ઉપયોગ થાય. $ad = bc$ શરત મુજબ,$(2 \times 9, 3 \times 6) = (18, 18)$ શક્ય છે.
આમ,કુલ $36$ વિશિષ્ટ શ્રેણિકો મળે છે.

(C) $Q^{-1} = Q^T \implies QQ^T = I$. તેથી,$Q$ એ લંબકોણીય (orthogonal) શ્રેણિક છે.
ધારો કે $Q = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$.
શરત $PQ = QP$ સૂચવે છે કે:
$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2a_1 & 2b_1 & 2c_1 \\ 2a_2 & 2b_2 & 2c_2 \\ 3a_3 & 3b_3 & 3c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a_1 & 2b_1 & 3c_1 \\ 2a_2 & 2b_2 & 3c_2 \\ 2a_3 & 2b_3 & 3c_3 \end{bmatrix}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $2c_1 = 3c_1 \implies c_1 = 0$,$2c_2 = 3c_2 \implies c_2 = 0$,$3a_3 = 2a_3 \implies a_3 = 0$,અને $3b_3 = 2b_3 \implies b_3 = 0$.
$Q$ લંબકોણીય હોવાથી,$Q^T Q = I$. $Q = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & 0 & c_3 \end{bmatrix}$ માટે,શરત $Q^T Q = I$ સૂચવે છે કે $a_1^2 + a_2^2 = 1$,$b_1^2 + b_2^2 = 1$,$a_1b_1 + a_2b_2 = 0$,અને $c_3^2 = 1$.
ઘટકો પૂર્ણાંક હોવાથી,$c_3 \in \{1, -1\}$. $2 \times 2$ બ્લોક માટે,પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવતા શક્ય લંબકોણીય શ્રેણિકો $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
આવા $8$ શ્રેણિકો છે અને $c_3$ માટે $2$ વિકલ્પો છે,તેથી કુલ $8 \times 2 = 16$ શ્રેણિકો મળે.

(A) આપેલ છે $QR = RP$ જ્યાં $R = \begin{bmatrix} r_1 & r_2 \\ r_3 & r_4 \end{bmatrix}$ અને $r_i \neq 0$.
$Q$ અને $R$ નો ગુણાકાર કરતા $\begin{bmatrix} xr_1 + yr_3 & xr_2 + yr_4 \\ zr_1 + 4r_3 & zr_2 + 4r_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2r_1 & 3r_2 \\ 2r_3 & 3r_4 \end{bmatrix}$ મળે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $xr_1 + yr_3 = 2r_1 \Rightarrow (x-2)r_1 = -yr_3 \Rightarrow \frac{r_3}{r_1} = \frac{2-x}{y}$.
$2$) $zr_1 + 4r_3 = 2r_3 \Rightarrow zr_1 = -2r_3 \Rightarrow \frac{r_3}{r_1} = -\frac{z}{2}$.
આ બંનેને સરખાવતા,$\frac{2-x}{y} = -\frac{z}{2} \Rightarrow 4-2x = -yz \Rightarrow yz = 2x-4$.
$3$) $xr_2 + yr_4 = 3r_2 \Rightarrow (x-3)r_2 = -yr_4 \Rightarrow \frac{r_4}{r_2} = \frac{3-x}{y}$.
$4$) $zr_2 + 4r_4 = 3r_4 \Rightarrow zr_2 = -r_4 \Rightarrow \frac{r_4}{r_2} = -z$.
આ બંનેને સરખાવતા,$\frac{3-x}{y} = -z \Rightarrow 3-x = -yz \Rightarrow yz = x-3$.
$yz$ ને સરખાવતા: $2x-4 = x-3 \Rightarrow x = 1$. તેથી $yz = 1-3 = -2$.
$Q$ નું લાક્ષણિક બહુપદી $|Q - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & y \\ z & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - yz = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - (-2) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3)$.
$(A)$ $|Q-2I| = (2-2)(2-3) = 0$. સાચું.
$(B)$ $|Q-6I| = (6-2)(6-3) = 4 \times 3 = 12$. સાચું.
$(C)$ $|Q-3I| = (3-2)(3-3) = 0 \neq 15$. ખોટું.
$(D)$ $yz = -2 \neq 2$. ખોટું.
આમ,$(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$. શ્રેણિક અસામાન્ય હોવા માટે,$|A| \neq 0$.
$|A| = (1 - \omega c)(1 - a\omega) \neq 0$.
આથી $c \neq \omega^2$ અને $a \neq \omega^2$.
$a, b, c \in \{\omega, \omega^2\}$ હોવાથી,$a = \omega$ અને $c = \omega$ મળે.
$b$ એ $\omega$ અથવા $\omega^2$ હોઈ શકે છે.
આમ,શક્ય શ્રેણિકોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) આપણી પાસે છે,$(1+\Delta)(1-\nabla) f(x)$
$= (1+\Delta) \{ f(x) - \nabla f(x) \}$
$= (1+\Delta) \{ f(x) - (f(x) - f(x-h)) \}$
$= (1+\Delta) f(x-h)$
કારણ કે $E = 1 + \Delta$,તેથી $E f(x-h) = f(x-h+h) = f(x)$.
આમ,$(1+\Delta)(1-\nabla) f(x) = f(x) = 1 \cdot f(x)$.
તેથી,$(1+\Delta)(1-\nabla) = 1$.

(D) ધારો કે $P = A^2 B^2 - B^2 A^2$.
$P$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$P^T = (A^2 B^2 - B^2 A^2)^T = (A^2 B^2)^T - (B^2 A^2)^T$.
ગુણધર્મ $(XY)^T = Y^T X^T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P^T = (B^2)^T (A^2)^T - (A^2)^T (B^2)^T$.
$A$ સંમિત હોવાથી $(A^T = A)$ અને $B$ વિસંમિત હોવાથી $(B^T = -B)$,આપણને મળે છે $(A^2)^T = (A^T)^2 = A^2$ અને $(B^2)^T = (B^T)^2 = (-B)^2 = B^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$P^T = B^2 A^2 - A^2 B^2 = -(A^2 B^2 - B^2 A^2) = -P$.
$P^T = -P$ હોવાથી,$P$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
કોઈપણ એકી કક્ષા $n$ (અહીં $n=3$) ધરાવતા વિસંમિત શ્રેણિક $P$ માટે,નિશ્ચાયક $\det(P) = 0$ થાય છે.
$\det(P) = 0$ હોવાથી,સંહતિ $PX = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે તેને અનંત ઉકેલો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(A-2I)(A-4I)=0$
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $A^2 - 4A - 2A + 8I = 0$
આનું સાદું રૂપ: $A^2 - 6A + 8I = 0$
પદોને ગોઠવતા: $A^2 + 8I = 6A$
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા (કારણ કે $A$ નોન-સિંગ્યુલર છે,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે):
$(A^2 + 8I)A^{-1} = 6A A^{-1}$
$A^2 A^{-1} + 8I A^{-1} = 6I$
$A + 8A^{-1} = 6I$
આખા સમીકરણને $6$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{6}A + \frac{8}{6}A^{-1} = \frac{6}{6}I$
$\frac{1}{6}A + \frac{4}{3}A^{-1} = I$

(C) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$ છે.
ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$
$= \cos(\alpha - \beta) \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \end{bmatrix}$.
જો $AB$ શૂન્ય શ્રેણિક હોય,તો $\cos(\alpha - \beta) = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha - \beta = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$,જે $\pi / 2$ નો એકી ગુણક છે.

(D) આપેલ છે કે $B = I - {}^{3}C_{1}(\operatorname{adj} A) + {}^{3}C_{2}(\operatorname{adj} A)^{2} - {}^{3}C_{3}(\operatorname{adj} A)^{3}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(I - X)^{3} = I - {}^{3}C_{1}X + {}^{3}C_{2}X^{2} - {}^{3}C_{3}X^{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $B = (I - \operatorname{adj} A)^{3}$ મળે છે.
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ માટે,તેનો એડજોઈન્ટ $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી $I - \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
હવે,$B = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}^{3} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
વર્ગની ગણતરી કરતા: $\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ઘનની ગણતરી કરતા: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $B$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $(-1) + (-3) + 0 + (-1) = -5$ થાય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$,જ્યાં $I$ એ $A$ ની કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
જોકે,આપેલ શ્રેણિક $M = A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} -10 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 2 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$ એ અદિશ શ્રેણિક નથી (કારણ કે $(2,3)$ સ્થાન પરનો ઘટક $2$ છે).
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા: $|A(\operatorname{adj} A)| = |M|$.
ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ નો ઉપયોગ કરતા,$|A| |\operatorname{adj} A| = |M|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ જ્યાં $n=3$,તેથી $|A| \cdot |A|^{3-1} = |M|$,જેનું સાદું રૂપ $|A|^3 = |M|$ થાય છે.
શ્રેણિક $M$ નો નિશ્ચાયક શોધતા: $|M| = -10((-10)(-10) - (0)(2)) - 0 + 0 = -10(100) = -1000$.
તેથી,$|A|^3 = -1000$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$|A| = -10$.

(D) આપેલ શ્રેણિક $M = \left[\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^{2} \\ \omega & \omega^{2} & 1 \\ \omega^{2} & 1 & \omega\end{array}\right]$ છે.
શ્રેણિક $A$ એ $M$ ના ઘટકોના વ્યસ્તથી બનેલો છે,તેથી $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & \frac{1}{\omega} & \frac{1}{\omega^2} \\ \frac{1}{\omega} & \frac{1}{\omega^2} & 1 \\ \frac{1}{\omega^2} & 1 & \frac{1}{\omega}\end{array}\right]$.
ગુણધર્મ $\omega^3 = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2} = \omega$.
આમ,$A = \left[\begin{array}{ccc}1 & \omega^2 & \omega \\ \omega^2 & \omega & 1 \\ \omega & 1 & \omega^2\end{array}\right]$.
હવે,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(\omega^3 - 1) - \omega^2(\omega^4 - \omega) + \omega(\omega^2 - \omega^2)$
$|A| = 1(1 - 1) - \omega^2(\omega - \omega) + \omega(0)$
$|A| = 0 - 0 + 0 = 0$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (singular) છે,અને તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(D) આપેલ છે,$A+B=\left[\begin{array}{cc}1 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right] \dots(i)$
બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$A^T+B^T=\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right]$.
$A$ સંમિત $(A^T=A)$ અને $B$ વિસંમિત $(B^T=-B)$ હોવાથી,$A-B=\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right] \dots(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$2A = \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right] \implies A = I = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$2B = \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \tan \frac{\theta}{2} \\ -2 \tan \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right] \implies B = \left[\begin{array}{cc}0 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
તેથી $A^{-1} = I^{-1} = I$ અને $B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & -\cot \frac{\theta}{2} \\ \cot \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
હવે,$A^{-1}B + AB^{-1} = B + B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & \tan \frac{\theta}{2} - \cot \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
$\tan \frac{\theta}{2} - \cot \frac{\theta}{2} = -2 \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$A^{-1}B + AB^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & -2 \cot \theta \\ 2 \cot \theta & 0\end{array}\right]$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
આમ,શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \sqrt{3} \\ 2 \sqrt{3} & 0\end{array}\right]$ મળે છે.

(A) શ્રેણિકોના ગુણાકારના પરિવર્તિત શ્રેણિકનો ગુણધર્મ જણાવે છે કે $(AB)^T = B^T A^T$.
તેથી,વિધાન $(AB)^T = A^T B^T$ સામાન્ય રીતે ખોટું છે,સિવાય કે $A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળતા હોય.
વિકલ્પ $(B)$ એ પરિવર્તિત શ્રેણિકનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે: $(A+B)^T = A^T + B^T$.
વિકલ્પ $(C)$ એ શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે: $A \operatorname{adj} A = |A| I$.
વિકલ્પ $(D)$ એ ગુણાકારના વ્યસ્ત શ્રેણિકનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
આમ,ખોટું વિધાન $(A)$ છે.

(C) અહીં આપણને શ્રેણિકો $A$ અને $B$ આપેલા છે. આપણે $A - B$ શોધવાનું છે.
$A - B = \frac{1}{\pi} \left[ \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} \right]$
અનુરૂપ ઘટકોની બાદબાકી કરતા:
$A - B = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) - (-\cos^{-1}(\pi x)) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) - (-\tan^{-1}(\pi x)) \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ અને $\tan^{-1}(\theta) + \cot^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A - B = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} I$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કયું વિધાન સત્ય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = 4I$.
આમ,$A^2 = 4I$ હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
આપણે નિશ્ચાયક પણ ચકાસી શકીએ છીએ: $|A| = 0(0 - 0) - 0(0 - 0) - 2(0 - 4) = -2(-4) = 8$.
$|A| \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$A$ એ વિકર્ણ શ્રેણિક નથી કારણ કે તેના મુખ્ય વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો શૂન્ય નથી.

(A) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ માટે,લાક્ષણિક સમીકરણ છે:
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 1-\lambda & 3 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\lambda)[(1-\lambda)(-\lambda) - 3] - 2[2(-\lambda) - 3] + 1[2 - (1-\lambda)] = 0$.
$(1-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 3) - 2(-2\lambda - 3) + (1 + \lambda) = 0$.
$(\lambda^2 - \lambda - 3 - \lambda^3 + \lambda^2 + 3\lambda) + 4\lambda + 6 + 1 + \lambda = 0$.
$-\lambda^3 + 2\lambda^2 + 7\lambda + 4 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\lambda^3 - 2\lambda^2 - 7\lambda - 4 = 0$ મળે છે.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે:
$A^3 - 2A^2 - 7A - 4I_3 = 0$.
આ સમીકરણને આપેલા સમીકરણ $A^3 - 2A^2 + kA - 4I_3 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = -7$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A_r = \begin{bmatrix} r & r-1 \\ r-1 & r \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A_r|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A_r| = (r)(r) - (r-1)(r-1) = r^2 - (r^2 - 2r + 1) = 2r - 1$.
આપણે સરવાળો $\sum_{r=1}^{109} |A_r| = \sum_{r=1}^{109} (2r - 1)$ શોધવાનો છે.
આ પ્રથમ $109$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જેનું સૂત્ર $n^2$ છે જ્યાં $n = 109$.
તેથી,$\sum_{r=1}^{109} (2r - 1) = 109^2$.
જો પ્રશ્નમાં સરવાળાની મર્યાદા $100$ હોય,તો $100^2 = 10^4 = (\sqrt{10})^8$ અથવા $100^2 = 10000 = 10^4$,તેથી $k=4$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ કક્ષાના શ્રેણિકો છે,તેથી $n=3$.
આપણે નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $|kA| = k^n |A|$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
વળી,$|AB| = |A| |B|$.
તેથી,$|3AB| = 3^3 |AB| = 27 |A| |B|$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $|3AB| = 27 \times 5 \times 3$.
$|3AB| = 27 \times 15 = 405$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$\omega^{3}=1$ અને $1+\omega+\omega^{2}=0$.
નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega^{2} & 1-\omega \\ \omega & 1 & 1+\omega^{2} \\ 1 & \omega & \omega^{2} \end{array}\right|$.
$1+\omega^{2} = -\omega$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega^{2} & 1-\omega \\ \omega & 1 & -\omega \\ 1 & \omega & \omega^{2} \end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(\omega^{2} - (-\omega^{2})) - \omega^{2}(\omega^{3} - (-\omega)) + (1-\omega)(\omega^{2} - 1)$
$\Delta = 2\omega^{2} - \omega^{2}(1+\omega) + (\omega^{2} - 1 - 1 + \omega)$
$\Delta = 2\omega^{2} - \omega^{2} - 1 + \omega^{2} - 2 + \omega = 2\omega^{2} + \omega - 3$.
$1+\omega+\omega^{2}=0$ હોવાથી,$\omega = -1-\omega^{2}$.
તેથી,$\Delta = 2\omega^{2} + (-1-\omega^{2}) - 3 = \omega^{2} - 4$.

(C) આપેલ છે કે $A^2 = A$.
આપણે $(I+A)^3$ નું વિસ્તરણ દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્ર $(I+A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$ નો ઉપયોગ કરીને કરીશું.
કારણ કે $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે,તેથી $I^n = I$ અને $IA = AI = A$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(I+A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$.
કારણ કે $A^2 = A$,તેથી $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ થાય.
હવે $A^2 = A$ અને $A^3 = A$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(I+A)^3 = I + 3A + 3(A) + A$.
$(I+A)^3 = I + 3A + 3A + A$.
$(I+A)^3 = I + 7A$.

(A) આપેલ છે કે,$AB = B$ અને $BA = A$ ... $(i)$
આપણે $A^{2} + B^{2}$ શોધવાનું છે.
આપેલ સંબંધોનો ઉપયોગ કરતા:
$A^{2} = A \cdot A = A(BA) = (AB)A = BA = A$
તે જ રીતે,$B^{2} = B \cdot B = B(AB) = (BA)B = AB = B$
તેથી,$A^{2} + B^{2} = A + B$.

(A) આપેલ છે કે $A^2=A$.
આપણે $(I-A)^3$ ની કિંમત શોધવાની છે.
શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(I-A)^3 = I^3 - 3I^2A + 3IA^2 - A^3$.
કારણ કે $I^n = I$ અને $A^2 = A$ છે,તેથી $A^3 = A^2 \times A = A \times A = A^2 = A$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(I-A)^3 = I - 3A + 3A - A$.
$(I-A)^3 = I - A$.

(D) ધારો કે $M$ એ $M = \begin{bmatrix} a & c \\ c & b \end{bmatrix}$ સ્વરૂપનો સંમિત શ્રેણિક છે,જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
શ્રેણિક વ્યસ્ત હોવા માટે,તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$M$ નો નિશ્ચાયક $|M| = ab - c^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ વ્યસ્ત હોય તે માટે,આપણે $|M| \neq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $ab - c^2 \neq 0$,અથવા $ab \neq c^2$.
સંમિત શ્રેણિકમાં,બીજા વિકર્ણના ઘટકો બંને $c$ છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $c^2$ થાય છે.
આમ,વ્યસ્તતા માટેની શરત એ છે કે મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોનો ગુણાકાર $(ab)$ એ બીજા વિકર્ણના ઘટકોના ગુણાકાર $(c^2)$ જેટલો ન હોવો જોઈએ.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,આપણે $B$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B'$ શોધીએ,જે $B' = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|XYZ| = |X||Y||Z|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A B B'| = |A| |B| |B'|$ મળે છે.
નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરીએ:
$|A| = (1 \times 2) - (3 \times 4) = 2 - 12 = -10$.
$|B| = (2 \times 2) - (-1 \times 1) = 4 + 1 = 5$.
$|B'| = (2 \times 2) - (1 \times -1) = 4 + 1 = 5$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$|A B B'| = (-10) \times (5) \times (5) = -250$.

(D) આપેલ છે કે $ P=\left|\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & x\end{array}\right| $ અને $ Q=\left|\begin{array}{lll}x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x\end{array}\right| $.
નિશ્ચાયક $ P $ ની ગણતરી કરતા:
$ P = x(x) - (1)(1) = x^{2}-1 $.
નિશ્ચાયક $ Q $ ની ગણતરી કરતા:
$ Q = x(x^{2}-1) - 1(x-1) + 1(1-x) $.
$ Q = x^{3} - x - x + 1 + 1 - x $.
$ Q = x^{3} - 3x + 2 $.
હવે,$ Q $ નું $ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ \frac{d Q}{d x} = \frac{d}{d x}(x^{3} - 3x + 2) = 3x^{2} - 3 $.
$ 3 $ સામાન્ય લેતા:
$ \frac{d Q}{d x} = 3(x^{2} - 1) $.
કારણ કે $ P = x^{2} - 1 $,તેથી આપણને મળે છે:
$ \frac{d Q}{d x} = 3P $.

(D) આપેલ શ્રેણિકો $ A = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ અને $ B = \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ છે.
$ A $ માંથી $ B $ બાદ કરતા:
$ A - B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\pi x) + \cos^{-1}(\pi x) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \frac{1}{\pi} \cot^{-1}(\pi x) + \tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $.
પ્રમાણિત નિત્યસમ $ \sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2} $ અને $ \tan^{-1} \theta + \cot^{-1} \theta = \frac{\pi}{2} $ નો ઉપયોગ કરતા,પદોનું સાદું રૂપ આપતા આપણને $ \frac{1}{2} I $ મળે છે,જ્યાં $ I $ એ એકમ શ્રેણિક છે.

(C) શ્રેણિક $A$ સિંગ્યુલર હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય: $\left| \begin{smallmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & k & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{smallmatrix} \right| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $2(5k - 2) - 3(5 - 8) + 4(1 - 4k) = 0$.
$10k - 4 + 9 + 4 - 16k = 0$.
$-6k + 9 = 0$ $\Rightarrow 6k = 9$ $\Rightarrow k = \frac{3}{2}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha = k = \frac{3}{2}$ અને $\beta = \frac{1}{k} = \frac{2}{3}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ છે.
$x^2 - (\frac{3}{2} + \frac{2}{3})x + (\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}) = 0$.
$x^2 - (\frac{9+4}{6})x + 1 = 0$.
$x^2 - \frac{13}{6}x + 1 = 0$.
$6$ વડે ગુણતા,$6x^2 - 13x + 6 = 0$ મળે.

(A) પ્રથમ,$A$,$C$,અને $D$ ની કિંમતો શોધીએ:
$A = \left| \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right| = 1$.
$C = -1$.
$D = -2$.
સમીકરણ $x^3 + Bx^2 - x + 2 = 0$ બને છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. $\alpha + \beta = 0$ આપેલ છે.
વિયેટાના સૂત્ર મુજબ,$\alpha + \beta + \gamma = -B$,તેથી $\gamma = -B$.
સમીકરણમાં $\gamma = -B$ મુકતા:
$(-B)^3 + B(-B)^2 - (-B) + 2 = 0$
$-B^3 + B^3 + B + 2 = 0$
$B = -2$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = e^{i \pi / 3}$.
અહીં $\alpha^3 = e^{i \pi} = -1$ અને $\alpha^6 = 1$ થાય છે.
નિશ્ચાયક $D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha^2 & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha^2 & 1 \end{array} \right|$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(1 - \alpha^3) - \alpha(\alpha^2 - \alpha^2) + \alpha^2(\alpha^4 - \alpha) = 1(1 - (-1)) - 0 + \alpha^2(\alpha^4 - \alpha) = 2 + \alpha^6 - \alpha^3 = 2 + 1 - (-1) = 4$.