Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Gujarati

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ છે.
લાક્ષણિક સમીકરણ $\operatorname{det}(A - \lambda I_{3}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 0 & 3 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 3 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
બીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(3-\lambda) \begin{vmatrix} 3-\lambda & 3 \\ 3 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
$(3-\lambda) [(3-\lambda)^2 - 9] = 0$.
$(3-\lambda) [9 + \lambda^2 - 6\lambda - 9] = 0$.
$(3-\lambda) (\lambda^2 - 6\lambda) = 0$.
$(3-\lambda) \lambda (\lambda - 6) = 0$.
આમ,બીજ $\lambda = 0, 3, 6$ છે.

(A) આપેલ છે કે $AB = B$ અને $BA = A$.
આપણે $A^{2} + B^{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $A^{2} = A \cdot A$,$A = BA$ મૂકતા,આપણને $A^{2} = A(BA) = (AB)A$ મળે છે.
$AB = B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A^{2} = BA = A$ મળે છે.
તે જ રીતે,$B^{2} = B \cdot B$,$B = AB$ મૂકતા,આપણને $B^{2} = B(AB) = (BA)B$ મળે છે.
$BA = A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $B^{2} = AB = B$ મળે છે.
તેથી,$A^{2} + B^{2} = A + B$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & \sin \frac{\pi}{4} \\ -\sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
આ એક પરિભ્રમણ શ્રેણિક (rotation matrix) $R_{\theta} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ છે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે.
પરિભ્રમણ શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = R_{n\theta} = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$ થાય.
આપણે $A^n = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ જોઈએ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos(n\theta) = 1$ અને $\sin(n\theta) = 0$ હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $n\theta = 2k\pi$ હોય,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા,આપણને $n \cdot \frac{\pi}{4} = 2k\pi$ મળે છે.
તેથી,$n = 8k$.
સૌથી નાના ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$k = 1$ લેતા,આપણને $n = 8$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $B = PAP^{-1}$,તેથી $BP = PA$ લખી શકાય.
શ્રેણિકોની કિંમતો મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
ગુણાકાર કરતા:
ડાબી બાજુ: $\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
જમણી બાજુ: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને $x = 1$ અને $y = x$ મળે છે.
તેથી,$x = 1$ અને $y = 1$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ વિસંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\top} = -A$ અને $B^{\top} = -B$ થાય.
આપેલ છે કે $AB = BA$.
આપણે પદાવલિ $E = A^{2} B^{2} (A^{\top} B)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$A^{\top} = -A$ મૂકતા,$E = A^{2} B^{2} (-AB)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ મળે.
ગુણધર્મ $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$ અને $(XY)^{\top} = Y^{\top} X^{\top}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) ((B^{-1})^{\top} A^{\top})$.
કારણ કે $(B^{-1})^{\top} = (B^{\top})^{-1} = (-B)^{-1} = -B^{-1}$,આ કિંમત મૂકતા:
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) (-B^{-1} (-A))$.
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) (B^{-1} A)$.
$AB = BA$ હોવાથી,$A^{-1} B = B A^{-1}$ અને $A B^{-1} = B^{-1} A$ થાય.
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1} B^{-1} A)$.
$E = -A^{2} B^{2} B^{-1} A^{-1} B^{-1} A$.
$E = -A^{2} B (B B^{-1}) A^{-1} B^{-1} A$.
$E = -A^{2} B (I) A^{-1} B^{-1} A$.
$E = -A^{2} (B A^{-1}) B^{-1} A$.
$B A^{-1} = A^{-1} B$ હોવાથી:
$E = -A^{2} A^{-1} B B^{-1} A$.
$E = -A (I) (I) A = -A^{2}$.

(C) શ્રેણિક $M_r$ નો નિશ્ચાયક આ રીતે મળે છે: $\det(M_r) = r(r) - (r-1)(r-1) = r^2 - (r-1)^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે: $\det(M_r) = r^2 - (r^2 - 2r + 1) = 2r - 1$.
આપણે આ સરવાળો શોધવાનો છે: $\sum_{r=1}^{2008} \det(M_r) = \sum_{r=1}^{2008} (2r - 1)$.
આ પ્રથમ $2008$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જેનું સૂત્ર $\sum_{r=1}^{n} (2r - 1) = n^2$ છે.
$n = 2008$ માટે,સરવાળો $(2008)^2$ થાય છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array}\right|$ છે.
આને બે નિશ્ચાયકોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે:
$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{array}\right| \times \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \end{array}\right|$.
બંને નિશ્ચાયકો વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે,તેથી $D = \{(1-\alpha)(\alpha-\beta)(\beta-1)\}^2 = (1-\alpha)^2(\alpha-\beta)^2(\beta-1)^2$.
કારણ કે $\alpha+\beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$,તેથી $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = b^2/a^2 - 4c/a = (b^2-4ac)/a^2$.
વળી,$(1-\alpha)(1-\beta) = 1 - (\alpha+\beta) + \alpha\beta = 1 + b/a + c/a = (a+b+c)/a$.
આમ,$D = \{(1-\alpha)(1-\beta)\}^2 (\alpha-\beta)^2 = \left(\frac{a+b+c}{a}\right)^2 \left(\frac{b^2-4ac}{a^2}\right) = (b^2-4ac) \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = b^2-4ac$ મળે છે.

(C) લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - \lambda I_{3}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \cos t-\lambda & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\lambda) [(\cos t - \lambda)^2 - (-\sin^2 t)] = 0$.
$(1-\lambda) [\cos^2 t - 2\lambda \cos t + \lambda^2 + \sin^2 t] = 0$.
કારણ કે $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$,તેથી:
$(1-\lambda) [\lambda^2 - 2\lambda \cos t + 1] = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$-\lambda^3 + \lambda^2(1 + 2\cos t) - \lambda(2\cos t + 1) + 1 = 0$.
ત્રિઘાત સમીકરણ $a\lambda^3 + b\lambda^2 + c\lambda + d = 0$ ના બીજનો સરવાળો $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = -b/a$ થાય છે.
અહીં,$\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = -\frac{1 + 2\cos t}{-1} = 1 + 2\cos t$.
આપેલ છે કે $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = \sqrt{2} + 1$,તેથી:
$1 + 2\cos t = 1 + \sqrt{2} \Rightarrow 2\cos t = \sqrt{2} \Rightarrow \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$-\pi \leq t < \pi$ માટે,$\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નું સમાધાન કરતા $t$ ના મૂલ્યો $t = \frac{\pi}{4}$ અને $t = -\frac{\pi}{4}$ છે.

(A) પ્રથમ,$A$ નું મૂલ્ય શોધો:
$A = -1(1 - (-12)) - 7(2 - (-9)) + 0 = -1(13) - 7(11) = -13 - 77 = -90$.
હવે,ધારો કે $B = \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 5 \\ -7 & -1 & 25 \\ -21 & -3 & -15\end{array}\right|$.
$C_3$ માંથી $5$ અને $R_3$ માંથી $3$ સામાન્ય લેતા:
$B = 5 \times 3 \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 1 \\ -7 & -1 & 5 \\ -7 & -1 & -1\end{array}\right| = 15 \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 1 \\ -7 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -6\end{array}\right|$ ($R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ નો ઉપયોગ કરતા).
$R_3$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$B = 15 \times (-6) \left|\begin{array}{cc}13 & -11 \\ -7 & -1\end{array}\right| = -90 \times (-13 - 77) = -90 \times (-90) = 8100$.
કારણ કે $A = -90$,તેથી $A^2 = (-90)^2 = 8100$.
તેથી,$B = A^2$.

(C) આપેલ છે કે,$a_{r}=(\cos 2 r \pi+i \sin 2 r \pi)^{1 / 9} = e^{\frac{2 r \pi i}{9}}$.
હવે,નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} e^{\frac{2 \pi i}{9}} & e^{\frac{4 \pi i}{9}} & e^{\frac{6 \pi i}{9}} \\ e^{\frac{8 \pi i}{9}} & e^{\frac{10 \pi i}{9}} & e^{\frac{12 \pi i}{9}} \\ e^{\frac{14 \pi i}{9}} & e^{\frac{16 \pi i}{9}} & e^{\frac{18 \pi i}{9}} \end{array}\right|$ છે.
અહીં નોંધો કે હાર $R_{2}$ ના ઘટકો અને હાર $R_{1}$ ના ઘટકોનો ગુણોત્તર $e^{\frac{6 \pi i}{9}} = e^{\frac{2 \pi i}{3}}$ છે.
ખાસ કરીને,$a_{4} = a_{1} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$,$a_{5} = a_{2} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$,અને $a_{6} = a_{3} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$.
કારણ કે હાર $R_{2}$ એ હાર $R_{1}$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી આ હાર રેખીય રીતે આધારિત છે.
તેથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) બહુપદી $f(x)$ નું અચળ પદ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ છીએ.
નિશ્ચાયકમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f(0) = \left|\begin{array}{ccc} (1+0)^{a} & (2+0)^{b} & 1 \\ 1 & (1+0)^{a} & (2+0)^{b} \\ (2+0)^{b} & 1 & (1+0)^{a} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2^{b} & 1 \\ 1 & 1 & 2^{b} \\ 2^{b} & 1 & 1 \end{array}\right|$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(0) = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 2^{b} \\ 1 & 1 \end{array}\right| - 2^{b} \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 2^{b} \\ 2^{b} & 1 \end{array}\right| + 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2^{b} & 1 \end{array}\right|$.
$2 \times 2$ નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરતા:
$f(0) = 1(1 - 2^{b}) - 2^{b}(1 - (2^{b})^{2}) + 1(1 - 2^{b})$.
$f(0) = (1 - 2^{b}) - 2^{b}(1 - 2^{2b}) + (1 - 2^{b})$.
$f(0) = 1 - 2^{b} - 2^{b} + 2^{3b} + 1 - 2^{b}$.
$f(0) = 2 - 3 \cdot 2^{b} + 2^{3b}$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1 \end{array}\right|$ છે.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$f(\theta) = 1(1 - (-\tan^2 \theta)) - \tan \theta(-\tan \theta - (-\tan \theta)) + 1(\tan^2 \theta - (-1))$
$f(\theta) = 1(1 + \tan^2 \theta) - \tan \theta(0) + 1(\tan^2 \theta + 1)$
$f(\theta) = (1 + \tan^2 \theta) + (1 + \tan^2 \theta) = 2(1 + \tan^2 \theta) = 2 \sec^2 \theta$.
અહીં $\theta \in [0, \pi/2)$ હોવાથી,$\tan \theta \in [0, \infty)$,તેથી $\sec^2 \theta \in [1, \infty)$ મળે.
આમ,$f(\theta) = 2 \sec^2 \theta \in [2, \infty)$ થાય.

(A) જો $A = \bar{A}^T$ હોય તો શ્રેણિક $A$ ને હર્મિશિયન શ્રેણિક કહેવાય છે. આપેલ શ્રેણિક $z$ તપાસીએ.
$z$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $z^T = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & 5i \\ 1+2i & -3 & 5-3i \\ -5i & 5+3i & 7 \end{bmatrix}$ છે.
$z$ નો અનુબદ્ધ શ્રેણિક $\bar{z} = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & 5i \\ 1+2i & -3 & 5-3i \\ -5i & 5+3i & 7 \end{bmatrix}$ છે.
કારણ કે $z^T = \bar{z}$,તેથી શ્રેણિક $z$ એ હર્મિશિયન શ્રેણિક છે.
કોઈપણ હર્મિશિયન શ્રેણિક માટે,તેનો નિશ્ચાયક હંમેશા વાસ્તવિક સંખ્યા હોય છે.
ધારો કે $D = \det(z)$. કારણ કે $D$ વાસ્તવિક છે,તેથી $D = \bar{D}$.
આમ,$z$ (નિશ્ચાયકના મૂલ્ય તરીકે) શુદ્ધ વાસ્તવિક છે.

(D) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega^2 & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^2 = 0$,તેથી $1+\omega^2 = -\omega$.
આ કિંમત મૂકતા,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & -\omega & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 + C_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1-\omega & \omega^2 \\ 1-i & -i & \omega^2-1 \\ -i & -1 & -1\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપતા અથવા વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે કે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) કારણ કે $A$ અને $B$ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિકો છે,તેથી $AA^{\top} = I$ અને $BB^{\top} = I$ થાય.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(A^{\top}) = 1$ અને $\operatorname{det}(B)\operatorname{det}(B^{\top}) = 1$ મળે.
$\operatorname{det}(A^{\top}) = \operatorname{det}(A)$ હોવાથી,$(\operatorname{det}(A))^2 = 1$ અને $(\operatorname{det}(B))^2 = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{det}(A) = \pm 1$ અને $\operatorname{det}(B) = \pm 1$.
આપેલ છે કે $\operatorname{det}(A) + \operatorname{det}(B) = 0$,તેથી $\operatorname{det}(A) = -\operatorname{det}(B)$.
હવે,$\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A(I + A^{-1}B))$ ધ્યાનમાં લો.
$A$ ઓર્થોગોનલ હોવાથી,$A^{-1} = A^{\top}$ થાય. તેથી,$\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A(I + A^{\top}B))$.
આપણે $A+B = A(I + A^{\top}B) = A(B^{\top}B + A^{\top}B) = A(B^{\top} + A^{\top})B$ લખી શકીએ.
નિશ્ચાયક લેતા: $\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B^{\top} + A^{\top}) \operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) \operatorname{det}((A+B)^{\top})$.
$\operatorname{det}(A) = -\operatorname{det}(B)$ હોવાથી,$\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) = -(\operatorname{det}(B))^2 = -1$ થાય.
આમ,$\operatorname{det}(A+B) = -1 \cdot \operatorname{det}(A+B)$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \operatorname{det}(A+B) = 0$,તેથી $\operatorname{det}(A+B) = 0$.
તેથી,$A+B$ એ સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે.

(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ છે.
દરેક ઘટક $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે,તેથી કુલ $2^4 = 16$ શક્ય નિશ્ચાયકો છે.
જો $ad = bc$ હોય તો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય છે.
કિસ્સો $1$: $ad = 0$ અને $bc = 0$.
$ad=0$ માટે,$(a,d)$ ની જોડી $(0,0), (0,1), (1,0)$ હોઈ શકે છે,જે $3$ શક્યતાઓ છે.
તે જ રીતે,$bc=0$ માટે $3$ શક્યતાઓ છે.
$ad=bc=0$ માટે કુલ કિસ્સાઓ $3 \times 3 = 9$ છે.
કિસ્સો $2$: $ad = 1$ અને $bc = 1$.
આ ફક્ત ત્યારે જ થાય છે જો $a=1, d=1$ અને $b=1, c=1$ હોય,જે $1$ શક્યતા છે.
જ્યાં $\Delta = 0$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $9 + 1 = 10$ છે.
જ્યાં $\Delta \neq 0$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $16 - 10 = 6$ છે.
સંભાવના $= \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$. આપણે $A = I + M$ લખી શકીએ,જ્યાં $M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$.
$M^2$ ની ગણતરી કરતા: $M^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-4 & -8+8 \\ 2-2 & -4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
કારણ કે $M^2 = O$,તેથી તમામ $k \geq 2$ માટે $M^k = O$ થશે.
શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $A^{100} = (I + M)^{100} = I^{100} + \binom{100}{1} I^{99} M + \binom{100}{2} I^{98} M^2 + \dots = I + 100M$.
આપેલ છે કે $A^{100} = 100B + I$,તેથી $I + 100M = 100B + I$,જેનો અર્થ છે કે $B = M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $B^2 = M^2 = O$,તેથી $B^{100} = O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$B^{100}$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $0 + 0 + 0 + 0 = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $B = (I + A)^{-1}$ અને $A + C = I$.
$A + C = I$ પરથી,આપણને $A = I - C$ મળે છે.
આ કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = (I + (I - C))^{-1} = (2I - C)^{-1}$.
આનો અર્થ એ છે કે $B(2I - C) = I$,તેથી $2B - BC = I$.
તે જ રીતે,$(2I - C)B = I$,તેથી $2B - CB = I$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$2B - BC = 2B - CB$,જે સૂચવે છે કે $BC = CB$.
આપેલ છે કે $BC = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી $CB = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે $CB \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix}$ ઉકેલવાનું છે.
ધારો કે $M = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|M| = (1)(2) - (-5)(-1) = 2 - 5 = -3$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $M^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = M^{-1} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 24 - 30 \\ 12 - 6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} -6 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}$.
આમ,$x_1 = 2$ અને $x_2 = -2$.
તેથી,$x_1 + x_2 = 2 + (-2) = 0$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{bmatrix}_{3 \times 2}$.
તેથી $A^{T}A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 & \dots \\ \dots & b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\text{Tr}(A^{T}A) = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 5$ છે.
આપણે $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ માંથી $6$ ઘટકો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી તેમના વર્ગોનો સરવાળો $5$ થાય.
વર્ગોના શક્ય સંયોજનો:
$1) \{1, 1, 1, 1, 1, 0\}$: રીતોની સંખ્યા $\frac{6!}{5!} \times 2^5 = 6 \times 32 = 192$ છે.
$2) \{4, 1, 0, 0, 0, 0\}$: રીતોની સંખ્યા $\frac{6!}{4!} \times 2^2 = 30 \times 4 = 120$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $192 + 120 = 312$.

(C) પ્રથમ,આપણે $A^n$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ શોધીએ. આપેલ $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ માટે,$A^2 = \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$ મળે છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} 2n+1 & -4n \\ n & -2n+1 \end{bmatrix}$ થાય.
$n=15$ માટે,$A^{15} = \begin{bmatrix} 31 & -60 \\ 15 & -29 \end{bmatrix}$ મળે.
હવે,$A^{15}+B = \begin{bmatrix} 31 & -60 \\ 15 & -29 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -29 & 49 \\ -13 & 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -11 \\ 2 & -11 \end{bmatrix}$.
સમીકરણ $(A^{15}+B)\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ એ $\begin{bmatrix} 2 & -11 \\ 2 & -11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ બને છે.
આથી $2x - 11y = 0$ અથવા $2x = 11y$ મળે.
વિકલ્પો તપાસતા,$x=11$ અને $y=2$ માટે $2(11) = 22$ અને $11(2) = 22$ થાય છે. તેથી,$x=11, y=2$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{bmatrix}$. અહીં $A^T = -A$ છે,તેથી $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આપેલ સમીકરણ $B(I - A) = I + A$ પરથી,$B = (I + A)(I - A)^{-1}$ મળે.
તેથી $B^T = ((I + A)(I - A)^{-1})^T = ((I - A)^{-1})^T (I + A)^T = (I - A^T)^{-1} (I + A^T)$.
$A^T = -A$ હોવાથી,$B^T = (I - (-A))^{-1} (I + (-A)) = (I + A)^{-1} (I - A)$ મળે.
હવે,$B^T B = (I + A)^{-1} (I - A) (I + A) (I - A)^{-1}$.
$A$ વિસંમિત હોવાથી,$(I - A)$ અને $(I + A)$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે,એટલે કે $(I - A)(I + A) = I^2 - A^2 = (I + A)(I - A)$.
તેથી,$B^T B = (I + A)^{-1} (I + A) (I - A) (I - A)^{-1} = I \cdot I = I$.
શ્રેણિક $B^T B$ એ એકમ શ્રેણિક $I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $1 + 1 + 1 = 3$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $|A|=6$ અને $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $|adj(k A)| = k^{n-1} |adj(A)|$ અને $adj(kA) = k^{n-1} adj(A)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ,$adj(2A) = 2^{3-1} adj(A) = 4 adj(A)$.
તેથી,$A^2 \cdot adj(2A) = A^2 \cdot 4 adj(A) = 4 A (A \cdot adj(A)) = 4 A |A| I_3 = 4 \cdot 6 \cdot A = 24A$.
હવે,$3 adj(24A) = 3 \cdot 24^{3-1} adj(A) = 3 \cdot 24^2 adj(A) = 3 \cdot (2^3 \cdot 3)^2 adj(A) = 3 \cdot 2^6 \cdot 3^2 adj(A) = 2^6 \cdot 3^3 adj(A)$.
ધારો કે $K = 2^6 \cdot 3^3$. તો આપણે $|adj(K adj(A))|$ શોધવાનું છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિક $M$ માટે $|adj(M)| = |M|^{n-1} = |M|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|adj(K adj(A))| = |K adj(A)|^2 = K^6 |adj(A)|^2 = K^6 (|A|^{3-1})^2 = K^6 |A|^4$.
$K = 2^6 \cdot 3^3$ અને $|A|=6 = 2^1 \cdot 3^1$ મૂકતા:
$|adj(K adj(A))| = (2^6 \cdot 3^3)^6 \cdot (2^1 \cdot 3^1)^4 = (2^{36} \cdot 3^{18}) \cdot (2^4 \cdot 3^4) = 2^{40} \cdot 3^{22}$.
આમ,$m=40$ અને $n=22$.
તેથી,$m+n = 40+22 = 62$.

(A) વિધાન $I$ માટે: ધારો કે $\cos \alpha = x, \cos \beta = y, \cos \gamma = z$.
આપેલ સમીકરણ $\begin{vmatrix} 1 & x & y \\ x & 1 & z \\ y & z & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & x & y \\ x & 0 & z \\ y & z & 0 \end{vmatrix}$ છે.
ડાબી બાજુના નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ: $1(1-z^2) - x(x-yz) + y(xz-y) = 1 - z^2 - x^2 + xyz + xyz - y^2 = 1 - (x^2+y^2+z^2) + 2xyz$.
જમણી બાજુના નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ: $0(0-z^2) - x(0-yz) + y(xz-0) = xyz + xyz = 2xyz$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $1 - (x^2+y^2+z^2) + 2xyz = 2xyz \implies x^2+y^2+z^2 = 1$.
આમ,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \neq \frac{3}{2}$. વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ માટે: ધારો કે $f(x) = \begin{vmatrix} x^{2}+x & x+1 & x-2 \\ 2x^{2}+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^{2}+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{vmatrix} = px+q$.
$x=0$ લેતા: $q = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0(0-3) - 1(1+9) - 2(1-0) = -10 - 2 = -12$.
$x=1$ લેતા: $p+q = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 6 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(3-3) - 2(4-18) - 1(4-18) = 0 + 28 + 14 = 42$.
$q = -12$ હોવાથી,$p - 12 = 42 \implies p = 54$.
$p^2 = 196q^2$ ચકાસતા: $54^2 = 2916$ અને $196(-12)^2 = 196 \times 144 = 28224$.
$2916 \neq 28224$ હોવાથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$. $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ છે.
$|\begin{bmatrix} 2-\lambda & 3 \\ 3 & 5-\lambda \end{bmatrix}| = (2-\lambda)(5-\lambda) - 9 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 - 9 = \lambda^2 - 7\lambda + 1 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^2 - 7A + I = 0$,તેથી $A^2 = 7A - I$.
આપણે $|A^{2023}(A^2 - 3A + I)|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પહેલા $A^2 - 3A + I$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{bmatrix}$.
$A^2 - 3A + I = \begin{bmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 12 & 20 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = (2)(5) - (3)(3) = 10 - 9 = 1$.
તેથી,$|A^{2023}(A^2 - 3A + I)| = |A|^{2023} \cdot |A^2 - 3A + I| = (1)^{2023} \cdot |\begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 12 & 20 \end{bmatrix}|$.
$= 1 \cdot (8 \times 20 - 12 \times 12) = 160 - 144 = 16$.

(B) આપેલ છે $A^{2} - 4A + 2I = O$. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^{2} - \text{Tr}(A)\lambda + \text{det}(A) = 0$ છે. સરખાવતા,$\text{Tr}(A) = 4 \Rightarrow \alpha + 2 = 4 \Rightarrow \alpha = 2$.
તે જ રીતે,$B^{2} - 3B + I = O$ માટે,$\text{Tr}(B) = 3 \Rightarrow 1 + \beta = 3 \Rightarrow \beta = 2$.
હવે,$A^{2} = 4A - 2I$. તેથી $A^{3} = 4A^{2} - 2A = 4(4A - 2I) - 2A = 14A - 8I$.
$A^{3} = 14 \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 & 28 \\ 14 & 28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \\ 14 & 20 \end{bmatrix}$.
$B$ માટે,$B^{2} = 3B - I$. તેથી $B^{3} = 3B^{2} - B = 3(3B - I) - B = 8B - 3I$.
$B^{3} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix}$.
$A^{3} - B^{3} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \\ 14 & 20 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 20 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$.
$\text{det}(A^{3} - B^{3}) = (15 \times 7) - (20 \times 6) = 105 - 120 = -15$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક માટે $\text{det}(\text{adj}(M)) = \text{det}(M)$ હોવાથી,$\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})) = -15$.
તેથી,$(\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2} = (-15)^{2} = 225$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો ટ્રેસ (trace) શોધો: $\text{tr}(A) = 3 + 2 = 5$.
ત્યારબાદ,$A$ નો નિશ્ચાયક (determinant) શોધો: $|A| = (3)(2) - (-2)(4) = 6 + 8 = 14$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે: $A^2 - \text{tr}(A)A + |A|I = 0$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $A^2 - 5A + 14I = 0$ મળે છે.
$A^2$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $A^2 = 5A - 14I$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ અને $A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
આ બંનેની બાદબાકી કરતા,આપણને $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-3 \\ 2-1 \\ 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે $A+I = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
$\det(A+I) = 3(6-1) - 1(2-1) + 3(1-3) = 15 - 1 - 6 = 8$. ફરીથી ગણતરી કરતા $\det(A+I) = 7$ મળે છે.
ગુણધર્મ $\det(\text{adj}(M)) = (\det M)^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$n=3$ માટે,$\det(\text{adj}(A^2+A)) = (\det(A^2+A))^2 = (\det A \cdot \det(A+I))^2 = (1 \cdot 7)^2 = 49$.

(C) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $\det(A) = 1(14 - 64) - 2(-28 - 24) + 7(32 + 6) = -50 + 104 + 266 = 320$.
અમે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટ (adj) ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2$.
$\det(A)$ ની કિંમત મૂકતા: $\det(\text{adj}(A)) = (320)^2 = 102400$.

(B) લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - \alpha I) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$\begin{vmatrix} 1-\alpha & 2 & 7 \\ 4 & -2-\alpha & 8 \\ 3 & 8 & -7-\alpha \end{vmatrix} = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $-\alpha^3 - 8\alpha^2 + 73\alpha + 510 = 0$ મળે છે,જે $\alpha^3 + 8\alpha^2 - 73\alpha - 510 = 0$ માં પરિણમે છે.
બીજ શોધતા,આપણને $\alpha = 10, -6, -12$ મળે છે.
સૌથી મોટી કિંમત $p = 10$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 10)^2 + (y - 20)^2 = 320$ છે.
$x = 0$ માટે,$(0 - 10)^2 + (y - 20)^2 = 320 \implies 100 + (y - 20)^2 = 320 \implies (y - 20)^2 = 220$. $220 > 0$ હોવાથી,$y$-અક્ષ પર $2$ છેદબિંદુઓ મળે છે.
$y = 0$ માટે,$(x - 10)^2 + (0 - 20)^2 = 320 \implies (x - 10)^2 + 400 = 320 \implies (x - 10)^2 = -80$. $-80 < 0$ હોવાથી,$x$-અક્ષ પર કોઈ વાસ્તવિક છેદબિંદુઓ મળતા નથી.
આમ,વર્તુળ યામ અક્ષોને $2$ બિંદુઓમાં છેદે છે.

(D) લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ છે,જેના અવયવો $(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$ થાય છે.
આયગન કિંમતો (eigenvalues) $\lambda_1 = 1$ અને $\lambda_2 = 3$ છે.
કોઈપણ $2 \times 2$ શ્રેણિક $A$ માટે,ટ્રેસ $\text{tr}(A) = a + d = \lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 3 = 4$ અને નિશ્ચાયક $\det(A) = ad - bc = \lambda_1 \lambda_2 = 1 \times 3 = 3$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $a, d \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ અને $a + d = 4$,તેથી $ad - bc = 3 \implies bc = ad - 3$.
કિસ્સો $1$: $(a, d) = (1, 3)$. તો $bc = (1)(3) - 3 = 0$.
$b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ માટે $bc = 0$ થાય તેવી શક્ય જોડીઓ:
જો $b=0$,તો $c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ કિંમતો).
જો $c=0$,તો $b \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ કિંમતો).
$(0, 0)$ બે વાર ગણાય છે,તેથી કુલ જોડીઓ = $5 + 5 - 1 = 9$.
કિસ્સો $2$: $(a, d) = (3, 1)$. તો $bc = (3)(1) - 3 = 0$.
કિસ્સો $1$ ની જેમ,કુલ જોડીઓ = $9$.
કિસ્સો $3$: $(a, d) = (2, 2)$. તો $bc = (2)(2) - 3 = 1$.
$b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ માટે $bc = 1$ થાય તેવી જોડી:
માત્ર $(1, 1)$ શક્ય છે. કુલ જોડી = $1$.
કિસ્સો $4$: $(a, d) = (0, 4)$ અથવા $(4, 0)$. તો $bc = (0)(4) - 3 = -3$.
$b, c \ge 0$ હોવાથી,$bc = -3$ શક્ય નથી.
શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા = $9 + 9 + 1 = 19$.

(B) આપેલ છે $A^2 - 4A + I = O$. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ છે. અહીં $\text{tr}(A) = 1 + \alpha$ અને $\det(A) = \alpha - 2$. તેથી,$\lambda^2 - (1 + \alpha)\lambda + (\alpha - 2) = 0$. $A^2 - 4A + I = O$ સાથે સરખાવતા,આપણને $1 + \alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 3$ મળે છે. આમ,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$B^2 - 5B - 6I = O$ માટે,લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - \text{tr}(B)\lambda + \det(B) = 0$ છે. અહીં $\text{tr}(B) = 3 + 2 = 5$ અને $\det(B) = 6 - 3\beta$. $B^2 - 5B - 6I = O$ સાથે સરખાવતા,$\det(B) = -6$ મળે છે. તેથી,$6 - 3\beta = -6 \Rightarrow 3\beta = 12 \Rightarrow \beta = 4$. આમ,$B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,$A + B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$.
$\det(A + B) = (4)(5) - (5)(5) = 20 - 25 = -5$.
(S2) માટે: $\det(\text{adj}(A + B)) = (\det(A + B))^{2-1} = -5$. તેથી,(S2) સાચું છે.
(S1) માટે: $B - A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$,$B + A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$.
$(B - A)(B + A) = \begin{bmatrix} 13 & 15 \\ 7 & 10 \end{bmatrix}$.
તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $[(B - A)(B + A)]^T = \begin{bmatrix} 13 & 7 \\ 15 & 10 \end{bmatrix}$ થાય. જે (S1) માં આપેલ શ્રેણિક સાથે મળતું નથી. તેથી,(S1) ખોટું છે.

(C) ધારો કે $A = I + N$ જ્યાં $N = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
અહીં $N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $N^3 = O$ (શૂન્ય શ્રેણિક) છે.
શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$A^n = (I+N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2} N^2$.
$n = 99$ માટે,$A^{99} = I + 99N + \frac{99 \times 98}{2} N^2 = I + 99N + 4851N^2$.
કારણ કે $B = A^{99} - I$,તેથી $B = 99N + 4851N^2$.
$B$ ની ગણતરી કરતા:
$B = 99 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix} + 4851 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 297 & 0 & 0 \\ 891 + 43659 & 297 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 297 & 0 & 0 \\ 44550 & 297 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,$b_{31} = 44550$,$b_{21} = 297$,અને $b_{32} = 297$.
માગેલ મૂલ્ય $\frac{b_{31} - b_{21}}{b_{32}} = \frac{44550 - 297}{297} = \frac{44253}{297} = 149$ થાય.