Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} \sin^{2} x & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 1+\sin^{2} x & \cos^{2} x & \cos 2x \\ \sin^{2} x & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_{1} \rightarrow C_{1} + C_{2}$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 2 & \cos^{2} x & \cos 2x \\ 1 & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2}$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & \cos^{2} x & \cos 2x \\ 1 & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = -1 \times (2 \sin 2x - \cos 2x) = \cos 2x - 2 \sin 2x$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ થાય.
અહીં $a = 1$ અને $b = -2$ છે.
તેથી,$f(x)_{\max} = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

(B) આપેલ છે $A = XB$,તેથી $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે $\sqrt{3} a_1 = b_1 - b_2$ અને $\sqrt{3} a_2 = b_1 + k b_2$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$3(a_1^2 + a_2^2) = (b_1 - b_2)^2 + (b_1 + k b_2)^2$
$3(a_1^2 + a_2^2) = (b_1^2 + b_2^2 - 2b_1b_2) + (b_1^2 + k^2b_2^2 + 2kb_1b_2)$
$3(a_1^2 + a_2^2) = 2b_1^2 + (1 + k^2)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1)$.
આપણને આપેલ છે $a_1^2 + a_2^2 = \frac{2}{3}(b_1^2 + b_2^2)$,તેથી $3(a_1^2 + a_2^2) = 2b_1^2 + 2b_2^2$.
$3(a_1^2 + a_2^2)$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓની સરખામણી કરતા:
$2b_1^2 + (1 + k^2)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 2b_1^2 + 2b_2^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(k^2 + 1)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 2b_2^2$ મળે.
$(k^2 - 1)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 0$.
$(k - 1)[(k + 1)b_2^2 + 2b_1b_2] = 0$.
શરત $(k^2 + 1)b_2^2 \neq -2b_1b_2$ મુજબ,કૌંસમાં રહેલી પદાવલિ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $k = 1$ મળે.

(D) આપેલ છે $P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$5I - 8P$ ની ગણતરી કરીએ:
$5I - 8P = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 16 & -8 \\ 40 & -24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & 8 \\ -40 & 29 \end{bmatrix}$.
હવે,$P$ ના ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 4 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \cdot P = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix}$.
$P^6 = (P^3)^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & 8 \\ -40 & 29 \end{bmatrix}$.
$P^n$ અને $5I - 8P$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $P^6 = 5I - 8P$ મળે છે.
તેથી,$n = 6$.

(D) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$. $M^{T}M$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો એ $M^{T}M$ નો ટ્રેસ છે,જે $M$ ના તમામ ઘટકોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો થાય છે.
આમ,$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} + f^{2} + g^{2} + h^{2} + i^{2} = 7$.
ઘટકો $\{0, 1, 2\}$ માંથી હોવાથી,આપણે વર્ગોના શક્ય સંયોજનો વિચારીએ જેનો સરવાળો $7$ થાય:
કિસ્સો-$I$: સાત $1$ અને બે $0$.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{9}{7} = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$.
કિસ્સો-$II$: એક $2$ $(2^{2} = 4)$,ત્રણ $1$ $(1^{2} = 1)$,અને પાંચ $0$ $(0^{2} = 0)$.
સરવાળો = $4 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 7$.
રીતોની સંખ્યા = $\frac{9!}{1! 3! 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 504$.
શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા = $36 + 504 = 540$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}$. $A$ સંમિત શ્રેણિક હોવાથી,$A^T = A$ થાય.
આપેલ છે કે $A^2 = I$,તેથી $AA^T = I$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $A$ એ લંબકોણીય (orthogonal) શ્રેણિક છે.
શ્રેણિક $A$ માટે,$AA^T = I$ ની શરત મુજબ:
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$ અને $xy + yz + zx = 0$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$.
કિંમતો મૂકતા,$(x + y + z)^2 = 1 + 2(0) = 1$.
$x + y + z > 0$ હોવાથી,$x + y + z = 1$ મળે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx))$ નો ઉપયોગ કરતા,
$x^3 + y^3 + z^3 - 3(2) = (1)(1 - 0)$.
$x^3 + y^3 + z^3 - 6 = 1$.
$x^3 + y^3 + z^3 = 7$.

(C) આપેલ છે કે $A$ સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^{T} = A$.
આપેલ છે કે $B$ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $B^{T} = -B$.
ધારો કે $C = A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2}$.
હવે,$C$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) લઈએ:
$C^{T} = (A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2})^{T} = (A^{2}B^{2})^{T} - (B^{2}A^{2})^{T}$.
$(PQ)^{T} = Q^{T}P^{T}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$C^{T} = (B^{2})^{T}(A^{2})^{T} - (A^{2})^{T}(B^{2})^{T}$.
કારણ કે $(A^{2})^{T} = (A^{T})^{2} = A^{2}$ અને $(B^{2})^{T} = (B^{T})^{2} = (-B)^{2} = B^{2}$,તેથી:
$C^{T} = B^{2}A^{2} - A^{2}B^{2} = -(A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2}) = -C$.
આમ,$C$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
એકી કક્ષા $n$ (અહીં $n = 3$) ધરાવતા કોઈપણ વિસંમિત શ્રેણિક $C$ માટે,તેનો નિશ્ચાયક હંમેશા શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\det(C) = 0$.
આથી,સમીકરણ સંહતિ $(C)X = O$ માટે $\det(C) = 0$ હોવાથી,સંહતિને અનંત ઉકેલો મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$,$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાન મુજબ,બેકી $n$ માટે $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને એકી $n$ માટે $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{20} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{20} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A^{19} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{19} & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
સમીકરણ $A^{20} + \alpha A^{19} + \beta A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 1+\alpha+\beta & 0 & 0 \\ 0 & 2^{20}+\alpha 2^{19}+2\beta & 0 \\ 3\alpha+3\beta & 0 & 1-\alpha-\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
સરખામણી કરતા: $1+\alpha+\beta = 1 \Rightarrow \alpha+\beta = 0 \Rightarrow \beta = -\alpha$.
વધુમાં,$2^{20} + \alpha 2^{19} + 2\beta = 4$. $\beta = -\alpha$ મૂકતા:
$2^{20} + \alpha 2^{19} - 2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha(2^{19}-2) = 4 - 2^{20}$.
$\alpha = \frac{4 - 2^{20}}{2^{19}-2} = -2$.
તેથી $\beta = 2$.
આમ,$\beta - \alpha = 2 - (-2) = 4$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{2025} - A^{2020} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે $A^6 - A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{2025} - A^{2020} = A^6 - A$.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $A(A^{3} + 3I) = 2I$ છે,જેનો અર્થ છે કે $A^{4} + 3A = 2I$,અથવા $A^{4} = 2I - 3A$.
$A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ K & -1 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda + 1) - 2K = 0 \Rightarrow \lambda^{2} + \lambda - 2K = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^{2} + A - 2KI = 0$,તેથી $A^{2} = 2KI - A$.
હવે,$A^{4} = (A^{2})^{2} = (2KI - A)^{2} = 4K^{2}I - 4KA + A^{2}$.
$A^{4}$ ના પદમાં $A^{2} = 2KI - A$ મૂકતા:
$A^{4} = 4K^{2}I - 4KA + (2KI - A) = (4K^{2} + 2K)I - (4K + 1)A$.
$A^{4}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2I - 3A = (4K^{2} + 2K)I - (4K + 1)A$.
પદોને ગોઠવતા:
$(4K + 1 - 3)A = (4K^{2} + 2K - 2)I$.
$(4K - 2)A = (4K^{2} + 2K - 2)I$.
$2(2K - 1)A = 2(2K^{2} + K - 1)I$.
$2(2K - 1)A = 2(2K - 1)(K + 1)I$.
જો $2K - 1 \neq 0$ હોય,તો $A = (K + 1)I$,જેનો અર્થ થાય છે કે $\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K+1 & 0 \\ 0 & K+1 \end{bmatrix}$.
આનાથી $K+1 = 0$ અને $2 = 0$ મળે છે,જે અશક્ય છે.
તેથી,$2K - 1 = 0$ હોવું જોઈએ,જે $K = \frac{1}{2}$ આપે છે.

(D) આપેલ છે કે $a_{r} = e^{i \frac{2 \pi r}{9}}$.
નોંધો કે $a_{r} = (a_{1})^{r}$ થાય.
નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{1}^{2} & a_{1}^{3} \\ a_{1}^{4} & a_{1}^{5} & a_{1}^{6} \\ a_{1}^{7} & a_{1}^{8} & a_{1}^{9}\end{array}\right|$ છે.
$C_{1}$ માંથી $a_{1}$,$C_{2}$ માંથી $a_{1}^{2}$ અને $C_{3}$ માંથી $a_{1}^{3}$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = a_{1} \cdot a_{1}^{2} \cdot a_{1}^{3} \left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a_{1}^{3} & a_{1}^{3} & a_{1}^{3} \\ a_{1}^{6} & a_{1}^{6} & a_{1}^{6}\end{array}\right|$.
અહીં ત્રણેય સ્તંભો સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) આપેલ શરત $(I-A)^3 = I-A^3$ છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $I^3 - 3I^2A + 3IA^2 - A^3 = I - A^3$.
$I^2 = I$ અને $IA = AI = A$ હોવાથી,આ સમીકરણ $I - 3A + 3A^2 - A^3 = I - A^3$ માં પરિણમે છે.
બંને બાજુથી $I$ બાદ કરતા અને $A^3$ ઉમેરતા,આપણને $3A^2 - 3A = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A^2 = A$.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$. તો $A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & ab+bd \\ 0 & d^2 \end{bmatrix}$.
$A^2 = A$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a^2 = a \Rightarrow a \in \{0, 1\}$.
$d^2 = d \Rightarrow d \in \{0, 1\}$.
$ab + bd = b \Rightarrow b(a + d - 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $b = 0$ હોય,તો $a \in \{0, 1\}$ અને $d \in \{0, 1\}$. આનાથી $2 \times 2 = 4$ શ્રેણિકો મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $b \neq 0$ હોય,તો $a + d - 1 = 0$,એટલે કે $a + d = 1$.
શક્ય જોડીઓ $(a, d)$ એ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
દરેક જોડી માટે,$b \in \{-1, 1\}$ હોઈ શકે છે (કારણ કે $b \neq 0$).
આનાથી $2 \times 2 = 4$ શ્રેણિકો મળે છે.
કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા = $4 + 4 = 8$.

(C) આપેલ છે $J_{n, m}=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{n}}{x^{m}-1} d x$.
$i \leq j$ માટે,$a_{i j}=J_{6+i, 3}-J_{i+3,3} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{6+i}-x^{i+3}}{x^{3}-1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{i+3}(x^{3}-1)}{x^{3}-1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{i+3} d x$.
સંકલન કરતા: $a_{i j} = \left[ \frac{x^{i+4}}{i+4} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{(1/2)^{i+4}}{i+4}$.
તેથી,$a_{11} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$,$a_{12} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$,$a_{13} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$.
$a_{22} = \frac{(1/2)^{6}}{6} = \frac{1}{6 \cdot 2^{6}}$,$a_{23} = \frac{(1/2)^{6}}{6} = \frac{1}{6 \cdot 2^{6}}$.
$a_{33} = \frac{(1/2)^{7}}{7} = \frac{1}{7 \cdot 2^{7}}$.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} & \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} & \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} \\ 0 & \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} & \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{7 \cdot 2^{7}} \end{bmatrix}$.
$|A| = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} \cdot \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2^{7}} = \frac{1}{210 \cdot 2^{18}}$.
આપણે $|\operatorname{adj} A^{-1}| = |A^{-1}|^{3-1} = |A^{-1}|^{2} = \frac{1}{|A|^{2}} = (210 \cdot 2^{18})^{2} = (2 \cdot 105)^{2} \cdot 2^{36} = 4 \cdot (105)^{2} \cdot 2^{36} = (105)^{2} \cdot 2^{38}$.

(B) શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -x & 2x+1 \\ -x & 1 & -x \\ 2x+1 & -x & 1 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(1 - x^2) + x(-x + x(2x+1)) + (2x+1)(x^2 - (2x+1))$
$|A| = 4x^3 - 4x^2 - 4x = f(x)$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$f'(x) = 12x^2 - 8x - 4 = 4(3x+1)(x-1) = 0$
તેથી,$x = 1$ અને $x = -\frac{1}{3}$.
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(1) = -4$ (ન્યૂનતમ કિંમત)
$f(-\frac{1}{3}) = \frac{20}{27}$ (મહત્તમ કિંમત)
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો:
$-4 + \frac{20}{27} = -\frac{88}{27}$

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix}$.
કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને $A = P + Q$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $P = \frac{A + A^T}{2}$ સંમિત છે અને $Q = \frac{A - A^T}{2}$ વિસંમિત છે.
$P = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & a \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & \frac{3+a}{2} \\ \frac{3+a}{2} & 0 \end{bmatrix}$.
$Q = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & a \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 0 & \frac{3-a}{2} \\ \frac{a-3}{2} & 0 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $\operatorname{det}(Q) = 9$,તેથી $0 - \left( \frac{3-a}{2} \right) \left( \frac{a-3}{2} \right) = 9$.
$\Rightarrow \frac{(a-3)^2}{4} = 9 \Rightarrow (a-3)^2 = 36 \Rightarrow a-3 = \pm 6$.
આમ,$a = 9$ અથવા $a = -3$.
હવે,$\operatorname{det}(P) = 0 - \left( \frac{3+a}{2} \right)^2 = -\frac{(a+3)^2}{4}$.
$a = 9$ માટે,$\operatorname{det}(P) = -\frac{(9+3)^2}{4} = -\frac{144}{4} = -36$.
$a = -3$ માટે,$\operatorname{det}(P) = -\frac{(-3+3)^2}{4} = 0$.
$\operatorname{det}(P)$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $-36 + 0 = -36$ છે.
સરવાળાનું માન $|-36| = 36$ થાય.

(D) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ છે. નિશ્ચાયક $|A| = ad - bc$ છે.
પાસાની $6$ બાજુઓમાંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $6^4 = 1296$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે તમામ ઘટકો $a, b, c, d$ અલગ હોય. ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માંથી $4$ અલગ સંખ્યાઓ પસંદ કરીને શ્રેણિકમાં ગોઠવવાની રીતો $^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ છે.
શ્રેણિક અસામાન્ય (nonsingular) હોય તે માટે $|A| \neq 0$,એટલે કે $ad \neq bc$ હોવું જોઈએ.
આપણે $ad = bc$ હોય તેવા કિસ્સાઓ ગણીએ જ્યાં $a, b, c, d$ અલગ હોય:
$1$. $6 \times 1 = 2 \times 3$: ગણ ${1, 2, 3, 6}$ છે. $ad=bc$ થાય તેવી ગોઠવણીઓ $(6, 2, 3, 1), (6, 3, 2, 1), (1, 2, 3, 6), (1, 3, 2, 6), (2, 6, 1, 3), (3, 6, 1, 2), (2, 1, 6, 3), (3, 1, 6, 2)$ છે. કુલ $8$ કિસ્સાઓ.
$2$. $6 \times 2 = 3 \times 4$: ગણ ${2, 3, 4, 6}$ છે. $ad=bc$ થાય તેવી ગોઠવણીઓ $(6, 3, 4, 2), (6, 4, 3, 2), (2, 3, 4, 6), (2, 4, 3, 6), (3, 6, 2, 4), (4, 6, 2, 3), (3, 2, 6, 4), (4, 2, 6, 3)$ છે. કુલ $8$ કિસ્સાઓ.
$ad = bc$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $8 + 8 = 16$ છે.
સાનુકૂળ કિસ્સાઓ = (અલગ ઘટકો સાથેની કુલ રીતો) - ($ad = bc$ હોય તેવા કિસ્સાઓ) = $360 - 16 = 344$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{344}{1296} = \frac{43}{162}$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
આપેલ શરત $A^n X = X$ એ તમામ $a, b, c, d \in R$ માટે છે.
કારણ કે $X$ કોઈપણ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોઈ શકે છે,આપણે $X = I$ (એકમ શ્રેણિક) લઈ શકીએ છીએ,જે સૂચવે છે કે $A^n = I$.
હવે,$A$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = iI$.
$A^4 = (A^2)^2 = (iI)^2 = i^2 I = -I$.
$A^8 = (A^4)^2 = (-I)^2 = I$.
આમ,$A^n = I$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $n$ એ $8$ નો ગુણક હોય.
આપણે $2$-અંકની એવી સંખ્યાઓ $n$ શોધવાની છે જે $8$ નો ગુણક હોય.
$8$ ના $2$-અંકના ગુણકો $16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96$ છે.
આ ગણતરી કરતા,આપણને કુલ $11$ સંખ્યાઓ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A^{5}=B^{5}$ અને $A^{3} B^{2}=A^{2} B^{3}$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$A^{5}-A^{3} B^{2} = B^{5}-A^{2} B^{3}$
$A^{3}(A^{2}-B^{2}) = B^{5}-A^{2} B^{3}$
પદોને ગોઠવતા:
$A^{3}(A^{2}-B^{2}) + B^{3}(A^{2}-B^{2}) = 0$
$(A^{3}+B^{3})(A^{2}-B^{2}) = 0$
કારણ કે $(A^{2}-B^{2})$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,આપણે તેના વ્યસ્ત $(A^{2}-B^{2})^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ:
$(A^{3}+B^{3})(A^{2}-B^{2})(A^{2}-B^{2})^{-1} = 0 \cdot (A^{2}-B^{2})^{-1}$
$A^{3}+B^{3} = 0$
તેથી,શૂન્ય શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|A^{3}+B^{3}| = |0| = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A = I + N$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે અને $N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
અહીં $N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $N^3 = 0$ થાય છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$A^n = (I+N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2}N^2$.
તેથી,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n^2+n}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે.
$A^n$ ના ઘટકોનો સરવાળો $S_n = 1 + n + \frac{n^2+n}{2} + 0 + 1 + n + 0 + 0 + 1 = 3 + 2n + \frac{n^2+n}{2} = 3 + \frac{5n+n^2}{2}$ છે.
$M$ ના ઘટકોનો સરવાળો $= \sum_{n=1}^{20} S_n = \sum_{n=1}^{20} (3 + \frac{5}{2}n + \frac{1}{2}n^2) = 3(20) + \frac{5}{2} \frac{20(21)}{2} + \frac{1}{2} \frac{20(21)(41)}{6}$.
$= 60 + 525 + 1435 = 2020$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -a + ab \\ 0 & b^2 \end{bmatrix}$.
બધા $n \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ માટે $A^{n(n+1)} = I$ શરતનું પાલન થાય તે માટે,આપણે $A^{n(n+1)} = I$ ની તપાસ કરીએ.
જો $b = 1$ હોય,તો $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \ge 1$ માટે $n(n+1)$ હંમેશા બેકી સંખ્યા હોવાથી,$A^{n(n+1)} = (A^2)^{\frac{n(n+1)}{2}} = I^{\frac{n(n+1)}{2}} = I$.
આમ,જો $b = 1$ હોય,તો $A \in T_n$ બધા $n$ માટે સાચું છે.
જો $b \neq 1$ હોય,તો $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & a(b-1) \\ 0 & b^2 \end{bmatrix}$.
$A^{n(n+1)} = I$ માટે,આપણે $b^{n(n+1)} = 1$ અને ઉપરની જમણી બાજુનો ઘટક $0$ હોવો જરૂરી છે.
$b \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ હોવાથી,$b^{n(n+1)} = 1$ નો અર્થ છે કે $b = 1$ (કારણ કે $b > 0$).
તેથી,માત્ર $b = 1$ વાળા શ્રેણિકો જ તમામ $n$ માટે આ શરતનું પાલન કરે છે.
$b = 1$ સાથે,$a$ એ $\{1, 2, \ldots, 100\}$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે છે.
આવા કુલ $100$ ઘટકો છે.

(B) ગણ $S$ એ $1$ થી $50$ સુધીની એકી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના વર્ગમૂળનો બનેલો છે. તેથી,$S = \{\sqrt{1}, \sqrt{3}, \dots, \sqrt{49}\}$. $S$ માં પદોની સંખ્યા $25$ છે.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ -1 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = 1(1 - 0) - 0 + a(0 - (-a)) = 1 + a^2$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે. અહીં $n=3$ છે,તેથી $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = |A|^2 = (1 + a^2)^2$.
આપણે $\sum_{a \in S} (1 + a^2)^2$ ની ગણતરી કરવાની છે. કારણ કે $a = \sqrt{n}$,તેથી $a^2 = n$. સરવાળો $\sum_{n \in \{1, 3, \dots, 49\}} (1 + n)^2$ બને છે.
ધારો કે $n = 2k - 1$ જ્યાં $k = 1, 2, \dots, 25$. તો $1 + n = 1 + 2k - 1 = 2k$ થાય.
સરવાળો $\sum_{k=1}^{25} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{25} k^2$ છે.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $4 \times \frac{25(26)(51)}{6} = 4 \times 25 \times 13 \times 17 = 22100$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\sum \operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 100 \lambda$,તેથી $22100 = 100 \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 221$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.
$A$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix} = -4I$.
$A^3 = A^2 \cdot A = -4A$.
$A^4 = (A^2)^2 = (-4I)^2 = 16I$.
સામાન્ય રીતે,$A^{2k} = (-4)^k I$ અને $A^{2k-1} = (-4)^{k-1} A$.
$M = \sum_{k=1}^{10} A^{2k} = \sum_{k=1}^{10} (-4)^k I = I \sum_{k=1}^{10} (-4)^k$. કારણ કે $M$ એ તત્સમ શ્રેણિક $I$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી $M$ સંમિત છે.
$N = \sum_{k=1}^{10} A^{2k-1} = \sum_{k=1}^{10} (-4)^{k-1} A = A \sum_{k=1}^{10} (-4)^{k-1}$. કારણ કે $A$ વિસંમિત છે,$N$ એ $A$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી $N$ વિસંમિત છે.
$N^2 = (\text{અદિશ} \cdot A)^2 = \text{અદિશ}^2 \cdot A^2 = \text{અદિશ}^2 \cdot (-4I)$,જે $I$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી $N^2$ સંમિત છે.
$M$ અને $N^2$ બંને સંમિત છે અને ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $MN^2$ પણ સંમિત છે.
$M$ અને $N^2$ અદિશ શ્રેણિકો હોવાથી,$MN^2$ એ અદિશ શ્રેણિક છે,જે સંમિત છે પરંતુ તત્સમ શ્રેણિક હોવો જરૂરી નથી.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $|A| = \Delta$.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$,આપણને $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $|\operatorname{adj}(24A)| = |\operatorname{adj}(3 \operatorname{adj}(2A))|$.
$|24A|^2 = |3 \operatorname{adj}(2A)|^2$.
$|kA| = k^n|A|$ હોવાથી,$|24A| = 24^3|A|$.
તેથી,$(24^3|A|)^2 = (3^3 |\operatorname{adj}(2A)|)^2$.
$(24^3|A|)^2 = (27 |2A|^2)^2$.
$|2A| = 2^3|A| = 8|A|$ હોવાથી,$|\operatorname{adj}(2A)| = (8|A|)^2 = 64|A|^2$.
આ કિંમત મૂકતા: $(24^3|A|)^2 = (27 \times 64|A|^2)^2$.
$(24^3|A|)^2 = (1728|A|^2)^2$.
$24^3 = 13824$ હોવાથી,$(13824|A|)^2 = (1728|A|^2)^2$.
$13824|A| = 1728|A|^2$ ($|A| \neq 0$ ધારીને).
$|A| = \frac{13824}{1728} = 8$.
આપણે $|A^2| = |A|^2 = 8^2 = 64 = 2^6$ શોધવાનું છે.

(B) આપેલ છે $a = \alpha - i \beta$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
સમીકરણોની સંહતિ:
$4ix + (1 + i)y = 0$
$8(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})x + \bar{a}y = 0$
સંહતિને એક કરતા વધારે ઉકેલ હોવાથી,નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 4i & 1 + i \\ 8e^{i2\pi/3} & \bar{a} \end{vmatrix} = 0$
$4i\bar{a} - (1 + i)8e^{i2\pi/3} = 0$
$4i(\alpha + i\beta) - 8(1 + i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$i\alpha - \beta + 1 + \sqrt{3} - i(\sqrt{3} - 1) = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$\beta = \sqrt{3} + 1$ અને $\alpha = \sqrt{3} - 1$
તેથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = 2 - \sqrt{3}$.

(C) આપેલ છે કે $AB = I$,બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A||B| = |I| = 1$ મળે છે.
કારણ કે $|A| = \frac{1}{8}$,તેથી $\frac{1}{8}|B| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|B| = 8$.
આપણે $|\operatorname{adj}(B \operatorname{adj}(2A))|$ શોધવાનું છે.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$.
આમ,$|\operatorname{adj}(B \operatorname{adj}(2A))| = |B \operatorname{adj}(2A)|^2 = |B|^2 |\operatorname{adj}(2A)|^2$.
કારણ કે $|\operatorname{adj}(2A)| = |2A|^{3-1} = |2A|^2 = (2^3 |A|)^2 = (8 \times \frac{1}{8})^2 = 1^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $|B|^2 \times (1)^2 = 8^2 \times 1 = 64$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,જ્યાં $a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. સરવાળો $S = a + b + c + d = p$,જ્યાં $p \in \{3, 5, 7\}$.
કિસ્સો $(i): S = 3$. $a + b + c + d = 3$ ના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{3+4-1}{4-1} = \binom{6}{3} = 20$ છે.
કિસ્સો $(ii): S = 5$. $a + b + c + d = 5$ ના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{5+4-1}{4-1} = \binom{8}{3} = 56$ છે.
કિસ્સો $(iii): S = 7$. $a, b, c, d \le 5$ સાથે $a + b + c + d = 7$ ના ઉકેલોની સંખ્યા ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન દ્વારા મેળવતા,કુલ ઉકેલો $\binom{10}{3} = 120$ છે. ઓછામાં ઓછો એક ચલ $\ge 6$ હોય તેવા કિસ્સાઓ બાદ કરતા,$120 - 16 = 104$ મળે છે.
શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા = $20 + 56 + 104 = 180$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+i)^2 - i & 1+i \\ -i(1+i) & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2i - i & 1+i \\ -i+1 & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix}$.
$A^4 = (A^2)^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^4 = \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 + (1+i)(1-i) & i(1+i) - i(1+i) \\ i(1-i) - i(1-i) & (1-i)(1+i) + i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2 & 0 \\ 0 & 2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
આપણે $A^n = A$ જોઈએ છે. કારણ કે $A^4 = I$,તેથી $A^{4k+1} = (A^4)^k \cdot A = I^k \cdot A = A$.
આમ,$n$ એ $4k+1$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ જ્યાં $k \ge 0$.
આપેલ છે કે $1 \le n \le 100$,તેથી $1 \le 4k+1 \le 100 \Rightarrow 0 \le 4k \le 99 \Rightarrow 0 \le k \le 24.75$.
કારણ કે $k$ એક પૂર્ણાંક છે,$k \in \{0, 1, 2, \ldots, 24\}$.
આવા $k$ ના $25$ મૂલ્યો છે,તેથી ગણમાં $25$ ઘટકો છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $\operatorname{adj} A$ શોધીએ. $2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$B$ માટેનું પદ દ્વિપદી વિસ્તરણ દ્વારા મળે છે: $B = (I - \operatorname{adj} A)^{5}$.
$I - \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ગણો.
ધારો કે $M = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$. આપણે $M^{5}$ શોધવાની જરૂર છે.
$M^{2} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$M^{3} = M^{2} \cdot M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$M^{4} = M^{2} \cdot M^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$M^{5} = M^{4} \cdot M = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -5 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $B$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $(-1) + (-5) + 0 + (-1) = -7$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $M = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$.
$M^2$ ની ગણતરી કરતા: $M^2 = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\alpha^2 & 0 \\ 0 & -\alpha^2 \end{bmatrix} = -\alpha^2 I$.
હવે,$N = \sum_{k=1}^{49} M^{2k} = M^2 + M^4 + \dots + M^{98}$.
કારણ કે $M^2 = -\alpha^2 I$,તેથી $M^{2k} = (M^2)^k = (-\alpha^2)^k I$.
આમ,$N = \sum_{k=1}^{49} (-\alpha^2)^k I = I \sum_{k=1}^{49} (-\alpha^2)^k$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = -\alpha^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\alpha^2$ છે,જેમાં કુલ $49$ પદો છે.
$N = I \left( \frac{-\alpha^2(1 - (-\alpha^2)^{49})}{1 - (-\alpha^2)} \right) = I \left( \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} \right)$.
આપેલ છે કે $(I - M^2)N = -2I$.
કારણ કે $M^2 = -\alpha^2 I$,તેથી $I - M^2 = I - (-\alpha^2 I) = (1 + \alpha^2)I$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(1 + \alpha^2)I \cdot \left( \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} \right) I = -2I$.
$(1 + \alpha^2) \cdot \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} = -2$.
$-\alpha^2(1 + \alpha^{98}) = -2$.
$\alpha^2(1 + \alpha^{98}) = 2$.
જો $\alpha = 1$ લઈએ,તો $1^2(1 + 1^{98}) = 1(1 + 1) = 2$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,$\alpha$ નું ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય $1$ છે.

(A) ધારો કે $A = I + B$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & a & a \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B^3 = 0$ મળે છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$A^n = (I + B)^n = I + nB + \frac{n(n-1)}{2} B^2$.
$A^n = \begin{bmatrix} 1 & na & na + \frac{n(n-1)ab}{2} \\ 0 & 1 & nb \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ શ્રેણિક સાથે સરખાવતા: $na = 48$,$nb = 96$,અને $na + \frac{n(n-1)ab}{2} = 2160$.
$na = 48$ અને $nb = 96$ પરથી $b = 2a$ મળે છે.
ત્રીજા સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $48 + \frac{n(n-1)a(2a)}{2} = 2160 \Rightarrow n(n-1)a^2 = 2112$.
$a = \frac{48}{n}$ મૂકતા,$n(n-1)(\frac{48}{n})^2 = 2112 \Rightarrow (n-1) \frac{2304}{n} = 2112 \Rightarrow 192n = 2304 \Rightarrow n = 12$.
તેથી $a = 4$ અને $b = 8$ મળે છે.
આમ,$n + a + b = 12 + 4 + 8 = 24$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$. $A^2$ ની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = A$.
તેથી, દરેક $n \geq 1$ માટે $A^n = A$.
હવે, $B = A - I = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$.
$B^2$ ની ગણતરી કરતા:
$B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = -B$.
તેથી $B^3 = -B^2 = B$, $B^4 = -B$, $B^5 = B$, અને સામાન્ય રીતે એકી $n$ માટે $B^n = B$ અને બેકી $n$ માટે $B^n = -B$.
સમીકરણ $A + \omega^n B^n = A + B$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega^n B^n = B$.
કિસ્સો $1$: $n$ એકી છે. તો $B^n = B$, તેથી $\omega^n B = B \Rightarrow \omega^n = 1$.
$\omega = e^{i2\pi/3}$ હોવાથી, $\omega^n = 1$ નો અર્થ છે કે $n$ એ $3$ નો ગુણક છે.
તેથી $n \in \{3, 9, 15, \ldots, 99\}$. આ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a=3, d=6, l=99$.
$99 = 3 + (k-1)6 \Rightarrow 96 = (k-1)6 \Rightarrow 16 = k-1 \Rightarrow k = 17$.
કિસ્સો $2$: $n$ બેકી છે. તો $B^n = -B$, તેથી $\omega^n (-B) = B \Rightarrow \omega^n = -1$.
$\omega^n = -1$ નો અર્થ છે કે $n$ એ $3$ નો એકી ગુણક છે, પરંતુ $n$ બેકી હોવો જોઈએ, તેથી અહીં કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ, કુલ $17$ કિંમતો મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ અને $A = A^{-1}$.
આનો અર્થ એ છે કે $A^2 = I$,તેથી $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આનાથી સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) a^2 + bc = 1$
$2) b(a + d) = 0$
$3) c(a + d) = 0$
$4) bc + d^2 = 1$
$(1)$ અને $(4)$ પરથી,$a^2 = d^2$,તેથી $a = d$ અથવા $a = -d$.
કિસ્સો $I$: $a = -d$. ત્યારે $b(a - a) = 0$ હંમેશા સાચું છે. આપણે $a^2 + bc = 1$ ની જરૂર છે.
જો $a = 0$,તો $d = 0$ અને $bc = 1$. કારણ કે $b, c \in \{-1, 0, 1, \ldots, 10\}$,$bc = 1$ નો અર્થ છે $(b, c) = (1, 1)$ અથવા $(-1, -1)$. ($2$ જોડી).
જો $a = 1$,તો $d = -1$ અને $1 + bc = 1 \Rightarrow bc = 0$. આનો અર્થ છે $b=0$ ($c$ માટે $12$ કિંમતો) અથવા $c=0$ ($b$ માટે $12$ કિંમતો). $(0,0)$ ને બાદ કરતાં જે બે વાર ગણાય છે,આપણી પાસે $12 + 12 - 1 = 23$ જોડીઓ છે.
જો $a = -1$,તો $d = 1$ અને $1 + bc = 1 \Rightarrow bc = 0$. તેવી જ રીતે,$23$ જોડીઓ.
કિસ્સો $II$: $a = d$. ત્યારે $b(2a) = 0$ અને $c(2a) = 0$. જો $a \neq 0$,તો $b = c = 0$. કારણ કે $a^2 = 1$,$a = 1$ અથવા $a = -1$. આ $(a, d)$ માટે $(1, 1)$ અને $(-1, -1)$ આપે છે. ($2$ જોડી).
જો $a = 0$,તો $d = 0$,જે $bc = 1$ તરફ દોરી જાય છે,જે કિસ્સા $I$ માં આવરી લેવામાં આવ્યું છે.
કુલ = $2 + 23 + 23 + 2 = 50$.

(A) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A$ માટે લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે,તેથી $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + \det(A)I = O$.
આપેલ સમીકરણ $A^2 + \gamma A + 18I = O$ ને લાક્ષણિક સમીકરણ $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + \det(A)I = O$ સાથે સરખાવતા.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $\det(A) = 18$ મળે છે.
આમ,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $18$ છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \beta+\gamma & \gamma+\alpha & \alpha+\beta \end{bmatrix}$.
$R_{3} \rightarrow R_{3} + R_{1}$ લેતા,$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma \end{vmatrix}$.
$R_{3}$ માંથી $(\alpha+\beta+\gamma)$ સામાન્ય લેતા,$|A| = (\alpha+\beta+\gamma) \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,$|A| = -(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)$.
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))))| = |A|^{(n-1)^4} = |A|^{16}$ થાય,જ્યાં $n=3$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{|A|^{16}}{(\alpha-\beta)^{16}(\beta-\gamma)^{16}(\gamma-\alpha)^{16}} = 2^{32} \times 3^{16}$.
જેનું સાદું રૂપ $(\alpha+\beta+\gamma)^{16} = (2^2 \times 3)^{16} = 12^{16}$ થાય.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = 12$.
$\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$ હોવાથી,ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{12-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55$ છે.
આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ ભિન્ન ન હોય. જો $\alpha=\beta=\gamma$ હોય,તો $3\alpha=12 \Rightarrow \alpha=4$,જે $1$ કિસ્સો $(4,4,4)$ છે.
જો બે સંખ્યાઓ સમાન હોય,જેમ કે $\alpha=\beta$,તો $2\alpha+\gamma=12$. $\alpha$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 5$ છે (કારણ કે $\alpha=4$ માટે $\gamma=4$ થાય). દરેક ક્રમચય માટે $4$ જોડીઓ મળે,આમ કુલ $4 \times 3 = 12$ કિસ્સાઓ થાય.
કુલ ભિન્ન ટપલ્સ = $55 - 1 - 12 = 42$.

(D) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ -2 & -5 - \lambda \end{vmatrix} = 0$
$(1 - \lambda)(-5 - \lambda) - (2)(-2) = 0$
$-5 - \lambda + 5\lambda + \lambda^{2} + 4 = 0$
$\lambda^{2} + 4\lambda - 1 = 0$
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી $A^{2} + 4A - I = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A^{2} + 4A = I$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2A^{2} + 8A = 2I$ મળે છે.
આપણને $\alpha A^{2} + \beta A = 2I$ આપેલ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 2$ અને $\beta = 8$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 8 = 10$.

(A) ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ છે.
$A^{T}A$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો એ $A^{T}A$ નો ટ્રેસ છે,જેને $\operatorname{Tr}(A^{T}A)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Tr}(A^{T}A) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Tr}(A^{T}A) = 6$,તેથી $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 6$.
કારણ કે $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,તેથી $a_{ij}^{2}$ માત્ર $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે.
આવા નવ વર્ગોનો સરવાળો $6$ થાય તે માટે,બરાબર $6$ ઘટકો $\pm 1$ હોવા જોઈએ અને $3$ ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $9$ માંથી $3$ સ્થાનો $0$ તરીકે પસંદ કરીએ,જે $\binom{9}{3}$ રીતે કરી શકાય છે.
બાકીના $6$ સ્થાનો માટે,દરેક $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે છે,જે $2^{6}$ શક્યતાઓ આપે છે.
તેથી,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $\binom{9}{3} \times 2^{6} = 84 \times 64 = 5376$ છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A + B = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix}$.
$(A + B)^{2} = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\beta + 1)^{2} & 0 \\ 3(\beta + 1) + 3\alpha & \alpha^{2} \end{bmatrix}$.
$A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 - \alpha \\ 2 + 2\alpha & \alpha^{2} - 2 \end{bmatrix}$.
$\alpha_{1}$ માટે,$(A + B)^{2} = A^{2} + \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 - \alpha \\ 4 + 2\alpha & \alpha^{2} \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$(\beta + 1)^{2} = 1 \implies \beta + 1 = \pm 1$. તેમજ,$1 - \alpha = 0 \implies \alpha_{1} = 1$.
$\alpha_{2}$ માટે,$(A + B)^{2} = B^{2} = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta^{2} + 1 & \beta \\ \beta & 1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$(1,2)$ સ્થાન પરથી $0 = \beta$ મળે છે,અને $(2,2)$ સ્થાન પરથી $\alpha_{2}^{2} = 1$ મળે છે. $(2,1)$ સ્થાન પરથી,$3(\beta + 1) + 3\alpha = \beta$. $\beta = 0$ મૂકતા,$3(1) + 3\alpha = 0 \implies 3\alpha = -3 \implies \alpha_{2} = -1$.
આમ,$|\alpha_{1} - \alpha_{2}| = |1 - (-1)| = |2| = 2$.

(D) આપેલ છે કે $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ અને $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{4} = A^{2} \cdot A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,કોઈપણ બેકી સંખ્યા $k$ માટે,$A^{k} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણને $X^{T} A^{k} X = 33$ આપેલ છે. $A^{k}$ નું પદ મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 33$
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3k+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 33$
$1 + 1 + 3k + 1 = 33$
$3k + 3 = 33$
$3k = 30 \implies k = 10$.
કારણ કે $10$ એ બેકી સંખ્યા છે,તેથી આ ઉકેલ માન્ય છે.

(A) આપેલ છે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} p! & (p+1)! & (p+2)! \\ (p+1)! & (p+2)! & (p+3)! \\ (p+2)! & (p+3)! & (p+4)!\end{array}\right|$.
હાર $1, 2, 3$ માંથી અનુક્રમે $p!$,$(p+1)!$,અને $(p+2)!$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! \left|\begin{array}{ccc} 1 & p+1 & (p+2)(p+1) \\ 1 & p+2 & (p+3)(p+2) \\ 1 & p+3 & (p+4)(p+3)\end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! \left|\begin{array}{ccc} 1 & p+1 & (p+1)(p+2) \\ 0 & 1 & 2(p+2) \\ 0 & 1 & 2(p+3)\end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! [1 \cdot (2(p+3) - 2(p+2))] = p!(p+1)!(p+2)! [2] = 2 \cdot p!(p+1)!(p+2)!$.
$p$ અને $p+2$ અવિભાજ્ય હોવાથી,$p!$ માં $p$ એક વાર આવે છે.
$(p+1)! = (p+1)p!$ હોવાથી,$p$ એ $p!$ અને $(p+1)!$ માં આવે છે,તેથી $p^2$ એ $p!(p+1)!$ ને ભાગે છે. વળી $(p+2)!$ માં $p$ એક વાર આવે છે. તેથી $p^3$ એ $\Delta$ ને ભાગે છે,એટલે કે $\alpha = 3$.
$(p+2)!$ માં $(p+2)$ એક વાર આવે છે. તેથી $(p+2)^1$ એ $\Delta$ ને ભાગે છે,એટલે કે $\beta = 1$.
સરવાળો $\alpha + \beta = 3 + 1 = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $-3 x^4 + \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix} = 0$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D = \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix}$ ની કિંમત શોધીએ.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(x^2 \cdot x^6 - x^4 \cdot x^3) - x(1 \cdot x^6 - x^4 \cdot 1) + x^2(1 \cdot x^3 - x^2 \cdot 1)$
$D = (x^8 - x^7) - x(x^6 - x^4) + x^2(x^3 - x^2)$
$D = x^8 - x^7 - x^7 + x^5 + x^5 - x^4 = x^8 - 2x^7 + 2x^5 - x^4$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$-3x^4 + x^8 - 2x^7 + 2x^5 - x^4 = 0$
$x^8 - 2x^7 + 2x^5 - 4x^4 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$x^4(x^4 - 2x^3 + 2x - 4) = 0$
$x^4(x^3(x - 2) + 2(x - 2)) = 0$
$x^4(x^3 + 2)(x - 2) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x^4 = 0 \implies x = 0$
$x^3 + 2 = 0 \implies x^3 = -2 \implies x = \sqrt[3]{-2}$ (જે પૂર્ણાંક નથી)
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
$x$ પૂર્ણાંક હોવાથી,શક્ય કિંમતો $x = 0$ અને $x = 2$ છે.
આમ,આવા $2$ પૂર્ણાંકો મળે છે.

(A) શ્રેણિક $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેના ઘટકો $S = \{-1000, -999, \ldots, 1000\}$ ગણમાંથી છે. $S$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $2001$ છે.
શક્ય શ્રેણિકો $A$ ની કુલ સંખ્યા $(2001)^9$ છે.
કિસ્સો $1$: $A^2 = -I$. જો $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોય,તો લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - \lambda I) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A$ તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે. જો $A^2 = -I$ હોય,તો ન્યૂનતમ બહુપદી $x^2 + 1$ ને ભાગે છે. કારણ કે ન્યૂનતમ બહુપદીની ઘાત પરિમાણ $3$ ને ભાગવી જોઈએ,અને $x^2+1$ ના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી,તેથી વાસ્તવિક (પૂર્ણાંક) ઘટકો ધરાવતા $3 \times 3$ શ્રેણિક માટે આ અશક્ય છે. આમ,આવા શ્રેણિકોની સંખ્યા $0$ છે.
કિસ્સો $2$: $A$ એ વિકર્ણ શ્રેણિક છે. ધારો કે $A = \text{diag}(a, b, c)$. આવા શ્રેણિકોની સંખ્યા $(2001)^3$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $(2001)^3$ છે.
સંભાવના $P = \frac{(2001)^3}{(2001)^9} = \frac{1}{(2001)^6}$ દ્વારા મળે છે.
આપણી પાસે $P = \frac{1}{(2001)^6} = \frac{1}{(2000 + 1)^6} = \frac{1}{2000^6 (1 + \frac{1}{2000})^6} = \frac{1}{64 \times 10^{18} (1 + \frac{1}{2000})^6}$ છે.
કારણ કે $(1 + \frac{1}{2000})^6 > 1$,તેથી $P < \frac{1}{64 \times 10^{18}} < \frac{1}{10^{18}}$ મળે છે.
આમ,$P < \frac{1}{10^{18}}$.

(C) આપેલ છે કે $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2017 & 2 \\ 1 & 2017 & 4 \\ 1 & 2018 & 8 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A^{-1}|$ ની ગણતરી કરીએ.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$|A^{-1}| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2017 & 4 \\ 1 & 2018 & 8 \end{vmatrix}$.
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$|A^{-1}| = -2(2018 - 2017) = -2(1) = -2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|A| = \frac{1}{|A^{-1}|} = \frac{1}{-2} = -0.5$.
$n=3$ કક્ષાના શ્રેણિક $A$ માટે,$|kA| = k^n |A|$.
તેથી,$|2A| = 2^3 |A| = 8|A| = 8 \times (-0.5) = -4$.
તે જ રીતે,$|2A^{-1}| = 2^3 |A^{-1}| = 8|A^{-1}| = 8 \times (-2) = -16$.
તેથી,$|2A| - |2A^{-1}| = -4 - (-16) = -4 + 16 = 12$.

(D) આપેલ છે કે $P^2 = P$. આ એક આઈડેમપોટન્ટ (idempotent) શ્રેણિક છે.
આપણે $(I+P)^n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(I+P)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} I^{n-k} P^k$
કારણ કે કોઈપણ $m \ge 1$ માટે $I^m = I$ અને બધા $k \ge 1$ માટે $P^k = P$ થાય (કારણ કે $P^2=P, P^3=P^2P=PP=P$,વગેરે),તેથી:
$(I+P)^n = I + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} P$
$(I+P)^n = I + P \left( \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$,તેથી $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - \binom{n}{0} = 2^n - 1$.
તેથી,$(I+P)^n = I + (2^n - 1)P$.

(B) આપેલ છે કે $A B = B A$,$A^k = I$,અને $B^l = 0$ અમુક ધન પૂર્ણાંકો $k$ અને $l$ માટે.
$B^l = 0$ હોવાથી,બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $\operatorname{det}(B^l) = \operatorname{det}(0) = 0$ મળે છે.
$\operatorname{det}(B^l) = (\operatorname{det}(B))^l$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $(\operatorname{det}(B))^l = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{det}(B) = 0$.
હવે,ગુણાકાર $A B$ નો નિશ્ચાયક ધ્યાનમાં લો:
$\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}(A) \times \operatorname{det}(B)$.
કારણ કે $\operatorname{det}(B) = 0$,તેથી $\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}(A) \times 0 = 0$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$.
$A$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$A^3 = A^2 \cdot A = (-I) \cdot A = -A$.
$A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I$.
જેથી $A^4 = I$,$A$ ની ઘાત $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $I, A, -I, -A, I, \dots$.
કોઈપણ ચાર ક્રમિક પદોનો સરવાળો $I + A + A^2 + A^3 = I + A - I - A = 0$ થાય છે.
શ્રેણી $S = I + A + A^2 + \dots + A^{2010}$ છે.
કુલ $2011$ પદો છે. $2011 = 4 \times 502 + 3$ હોવાથી,સરવાળામાં $4$ પદોના $502$ જૂથો (જે દરેકનો સરવાળો $0$ થાય છે) અને બાકીના $3$ પદો વધશે:
$S = 502(0) + (I + A + A^2) = I + A - I = A$.
તેથી,$S = \left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $P(x)$ એક ત્રિઘાત બહુપદી છે. આપણને $x = 1, 2, 3, 4$ માટે $P(x) = 2x$ આપેલ છે.
એક નવી બહુપદી $Q(x) = P(x) - 2x$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
કારણ કે $P(x)$ ત્રિઘાત બહુપદી છે,$Q(x)$ પણ મહત્તમ $3$ ઘાતની બહુપદી છે.
આપેલ શરતો પરથી,$Q(1) = 0, Q(2) = 0, Q(3) = 0, Q(4) = 0$.
આમ,$1, 2, 3, 4$ એ $Q(x)$ ના શૂન્યો છે.
કારણ કે $Q(x)$ મહત્તમ $3$ ઘાતની બહુપદી છે અને તેના $4$ ભિન્ન શૂન્યો છે,તેથી $Q(x)$ એ શૂન્ય બહુપદી હોવી જોઈએ.
તેથી,$P(x) - 2x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P(x) = 2x$.
જોકે,$P(x) = 2x$ એ $1$ ઘાતની બહુપદી છે,$3$ ઘાતની નહીં.
આમ,એવી કોઈ ત્રિઘાત બહુપદી $P(x)$ શક્ય નથી જે આપેલ શરતોનું પાલન કરે.
તેથી,આવી ત્રિઘાત બહુપદીઓની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $A^2 + B = A^2 B$
પદોને ગોઠવતા:
$A^2 = A^2 B - B$
$A^2 = (A^2 - I)B$
અથવા અવયવ પાડવા માટે:
$A^2 B - B = A^2$
$B(A^2 - I) = A^2$
પદ $(A^2 - I)(B - I) = A^2 B - A^2 - B + I$ ને ધ્યાનમાં લો.
$A^2 B = A^2 + B$ કિંમત મૂકતા:
$(A^2 - I)(B - I) = (A^2 + B) - A^2 - B + I = I$
કારણ કે $(A^2 - I)(B - I) = I$,તેનો અર્થ એ છે કે શ્રેણિકો $(A^2 - I)$ અને $(B - I)$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
તેથી,$(A^2 - I)(B - I) = (B - I)(A^2 - I) = I$
$(B - I)(A^2 - I) = I$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$B A^2 - B - A^2 + I = I$
$B A^2 = A^2 + B$
$A^2 + B = A^2 B$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે:
$A^2 B = B A^2$

(B) આપેલ શ્રેણિક અસામાન્ય હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક $0$ થાય:
$\Delta = \begin{vmatrix} \alpha^2 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha^2(c-b) - \alpha(c-a) + (b-a) = 0$
આ સમીકરણ $(a-c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 0$ જેવું જ છે,જ્યાં $\alpha=1$ એ એક બીજ છે કારણ કે $(a-c) + (b-a) + (c-b) = 0$.
ધારો કે $X = a-c$,$Y = b-a$,અને $Z = c-b$. અહીં $X+Y+Z = 0$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{X^2}{YZ} + \frac{Y^2}{XZ} + \frac{Z^2}{XY} = \frac{X^3 + Y^3 + Z^3}{XYZ}$ છે.
$X+Y+Z = 0$ હોવાથી,નિત્યસમ $X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$ નો ઉપયોગ કરતા,
આમ,પદાવલિની કિંમત $\frac{3XYZ}{XYZ} = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & \log_x y & \log_x z \\ \log_y x & 2 & \log_y z \\ \log_z x & \log_z y & 3 \end{bmatrix}$.
ગુણધર્મ $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{\ln y}{\ln x} & \frac{\ln z}{\ln x} \\ \frac{\ln x}{\ln y} & 2 & \frac{\ln z}{\ln y} \\ \frac{\ln x}{\ln z} & \frac{\ln y}{\ln z} & 3 \end{bmatrix}$.
$R_1$ ને $\ln x$ વડે,$R_2$ ને $\ln y$ વડે,અને $R_3$ ને $\ln z$ વડે ગુણતા:
$|A| = \frac{1}{\ln x \ln y \ln z} \begin{vmatrix} \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & 2 \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & 3 \ln z \end{vmatrix}$.
સ્તંભમાંથી $\ln x, \ln y, \ln z$ સામાન્ય લેતા:
$|A| = \frac{\ln x \ln y \ln z}{\ln x \ln y \ln z} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(6-1) - 1(3-1) + 1(1-2) = 5 - 2 - 1 = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)| = |M|^{(n-1)^2}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)| = |A^2|^{(3-1)^2} = |A^2|^4 = (|A|^2)^4 = |A|^8$.
કારણ કે $|A| = 2$,તેથી $|A|^8 = 2^8$.

(B) સમાંતર શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = a_1 + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A_1, A_2, A_3$ ના પ્રથમ પદો $A, A+1, A+2$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે:
$a = A + 6d$
$b = A + 1 + 8d$
$c = A + 2 + 16d$
$a = 29$ હોવાથી,$A + 6d = 29$.
નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{lll} A+6d & 7 & 1 \\ 2(A+1+8d) & 17 & 1 \\ A+2+16d & 17 & 1\end{array}\right| + 70 = 0$
ત્રીજી હારમાંથી બીજી હાર બાદ કરતા:
$\left|\begin{array}{lll} A+6d & 7 & 1 \\ 2A+2+16d & 17 & 1 \\ -A & 0 & 0\end{array}\right| + 70 = 0$
ત્રીજી હારના સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-(-A) \times (7 - 17) + 70 = 0 \Rightarrow 10A + 70 = 0 \Rightarrow A = -7$.
$A + 6d = 29$ હોવાથી,$-7 + 6d = 29 \Rightarrow 6d = 36 \Rightarrow d = 6$.
હવે,$a = 29$,$b = -7 + 1 + 48 = 42$,$c = -7 + 2 + 96 = 91$.
નવી સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $c - a - b = 91 - 29 - 42 = 20$.
સામાન્ય તફાવત $\frac{d}{12} = \frac{6}{12} = 0.5$.
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \frac{20}{2} [2(20) + (19)(0.5)] = 10 [40 + 9.5] = 495$.

(D) આપેલ છે કે $A^2 = 3A + \alpha I$.
$A$ વડે ગુણતા,આપણને $A^3 = 3A^2 + \alpha A$ મળે છે.
$A^3$ ના સમીકરણમાં $A^2 = 3A + \alpha I$ મૂકતા:
$A^3 = 3(3A + \alpha I) + \alpha A = 9A + 3\alpha I + \alpha A = (9 + \alpha)A + 3\alpha I$.
હવે,$A^4$ શોધવા માટે ફરીથી $A$ વડે ગુણતા:
$A^4 = (9 + \alpha)A^2 + 3\alpha A$.
ફરીથી $A^2 = 3A + \alpha I$ મૂકતા:
$A^4 = (9 + \alpha)(3A + \alpha I) + 3\alpha A$.
$A^4 = (27 + 3\alpha)A + (9\alpha + \alpha^2)I + 3\alpha A$.
$A^4 = (27 + 6\alpha)A + (9\alpha + \alpha^2)I$.
આને $A^4 = 21A + \beta I$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$27 + 6\alpha = 21 \Rightarrow 6\alpha = -6 \Rightarrow \alpha = -1$.
અને $\beta = 9\alpha + \alpha^2 = 9(-1) + (-1)^2 = -9 + 1 = -8$.
આમ,$\alpha = -1$ અને $\beta = -8$.