Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ કારણ કે તે સંમિત શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $|A| = ac - b^2 = 2$.
શ્રેણિક સમીકરણ $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$2a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - 2a$
$2b + c = 2 \Rightarrow c = 2 - 2b = 2 - 2(1 - 2a) = 4a$
$ac - b^2 = 2$ માં $b$ અને $c$ ની કિંમત મૂકતા:
$a(4a) - (1 - 2a)^2 = 2$
$4a^2 - (1 - 4a + 4a^2) = 2$
$4a^2 - 1 + 4a - 4a^2 = 2$
$4a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{4}$
તેથી $b = 1 - 2(\frac{3}{4}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ અને $c = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
હવે,$\alpha$ અને $\beta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\alpha = 3a + \frac{3}{2}b = 3(\frac{3}{4}) + \frac{3}{2}(-\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$\beta = 3b + \frac{3}{2}c = 3(-\frac{1}{2}) + \frac{3}{2}(3) = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{6}{2} = 3$
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $s = a + c = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$.
અંતે,$\frac{\beta s}{\alpha^2} = \frac{3 \times \frac{15}{4}}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{\frac{45}{4}}{\frac{9}{4}} = 5$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix}$,જ્યાં $d = |A| = mq - np \neq 0$.
$A$ નો એડજોઈન્ટ $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} q & -n \\ -p & m \end{bmatrix}$ છે.
આપણને આપેલ છે $|A - d(\operatorname{adj} A)| = 0$.
મેટ્રિક્સ મૂકતા:
$|\begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix} - d \begin{bmatrix} q & -n \\ -p & m \end{bmatrix}| = 0$
$|\begin{bmatrix} m - qd & n + nd \\ p + pd & q - md \end{bmatrix}| = 0$
$|\begin{bmatrix} m - qd & n(1+d) \\ p(1+d) & q - md \end{bmatrix}| = 0$
$(m - qd)(q - md) - np(1+d)^2 = 0$
$mq - m^2d - q^2d + mqd^2 - np(1+d)^2 = 0$
$(mq - np) + d^2(mq - np) - d(m^2 + q^2 + 2np) = 0$
કારણ કે $d = mq - np$,આપણી પાસે છે:
$d + d^3 - d(m^2 + q^2 + 2np) = 0$
$d$ વડે ભાગતા (કારણ કે $d \neq 0$):
$1 + d^2 - (m^2 + q^2 + 2np) = 0$
$1 + d^2 = m^2 + q^2 + 2np$
કારણ કે $(m+q)^2 = m^2 + q^2 + 2mq$,આપણે લખી શકીએ $m^2 + q^2 = (m+q)^2 - 2mq$.
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2mq + 2np$
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2(mq - np)$
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2d$
$1 + 2d + d^2 = (m+q)^2$
$(1+d)^2 = (m+q)^2$.

(C) પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = A$.
કારણ કે $A^2 = A$,તેથી તમામ $n \geq 1$ માટે $A^n = A$ થાય.
$(A + I)^{11}$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(A + I)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} A^k I^{11-k} = \binom{11}{0} I + \sum_{k=1}^{11} \binom{11}{k} A^k$.
$k \geq 1$ માટે $A^k = A$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$(A + I)^{11} = I + A \left( \sum_{k=1}^{11} \binom{11}{k} \right) = I + A (2^{11} - 1) = I + 2047A$.
$(A + I)^{11} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 2047 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2048 & 0 & 0 \\ 0 & 8189 & -2047 \\ 0 & 24564 & -6140 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $2048 + 8189 - 6140 = 4097$ છે.

(D) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,જ્યાં $a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
આપણે $a+b+c+d = S$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે,જ્યાં $S \in \{3, 5, 7, 11\}$.
એક ઘટક માટેનું જનરેટિંગ ફંક્શન $(1+x+x^2+x^3+x^4) = \frac{1-x^5}{1-x}$ છે.
ચાર ઘટકો માટે,જનરેટિંગ ફંક્શન $(1-x^5)^4(1-x)^{-4}$ છે.
$S=3$ માટે: $x^3$ નો સહગુણક $\binom{6}{3} = 20$ છે.
$S=5$ માટે: $x^5$ નો સહગુણક $\binom{8}{5} - 4 = 52$ છે.
$S=7$ માટે: $x^7$ નો સહગુણક $\binom{10}{7} - 4\binom{5}{2} = 80$ છે.
$S=11$ માટે: $x^{11}$ નો સહગુણક $\binom{14}{11} - 4\binom{9}{6} + 6\binom{4}{1} = 52$ છે.
કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $= 20 + 52 + 80 + 52 = 204$.

(A) આપેલ છે $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$.
$C_1 \rightarrow C_1+C_2+C_3$ લેતા,આપણને મળે:
$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}2+\sin 2x & \cos^2 x & \sin 2x \\ 2+\sin 2x & 1+\cos^2 x & \sin 2x \\ 2+\sin 2x & \cos^2 x & 1+\sin 2x\end{array}\right|$
$C_1$ માંથી $(2+\sin 2x)$ સામાન્ય લેતા:
$f(x)=(2+\sin 2x)\left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 x & \sin 2x \\ 1 & 1+\cos^2 x & \sin 2x \\ 1 & \cos^2 x & 1+\sin 2x\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લેતા:
$f(x)=(2+\sin 2x)\left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 x & \sin 2x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = 2+\sin 2x$.
$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ માટે,$2x \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$.
તેથી,$\sin 2x \in \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$.
આમ,$f(x) \in \left[2+\frac{\sqrt{3}}{2}, 3\right]$.
તેથી,$\alpha = 3$ અને $\beta = 2+\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4+\sqrt{3}}{2}$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^2 = I$,તેથી:
$\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p^2 + qr & pq + qs \\ pr + rs & rq + s^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો પરથી,$q(p + s) = 0$ અને $r(p + s) = 0$. કારણ કે $a_{ij} \neq 0$,તેથી $q \neq 0$ અને $r \neq 0$ હોવા જોઈએ,જે સૂચવે છે કે $p + s = 0$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $a = p + s = 0$.
વળી,$p^2 + qr = 1$ અને $s^2 + qr = 1$. કારણ કે $p + s = 0$,$s = -p$,તેથી $p^2 = s^2$,જે સુસંગત છે.
નિશ્ચાયક $b = |A| = ps - qr$.
કારણ કે $s = -p$,$b = -p^2 - qr = -(p^2 + qr) = -1$.
આપણે $3a^2 + 4b^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$a = 0$ અને $b = -1$ મૂકતા:
$3(0)^2 + 4(-1)^2 = 3(0) + 4(1) = 4$.

(C) આપેલ છે કે $P^2 = I - P$.
આપણે $P$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$P^3 = P(I - P) = P - P^2 = P - (I - P) = 2P - I$.
$P^4 = P(2P - I) = 2P^2 - P = 2(I - P) - P = 2I - 3P$.
$P^5 = P(2I - 3P) = 2P - 3P^2 = 2P - 3(I - P) = 5P - 3I$.
$P^6 = P(5P - 3I) = 5P^2 - 3P = 5(I - P) - 3P = 5I - 8P$.
$P^7 = P(5I - 8P) = 5P - 8P^2 = 5P - 8(I - P) = 13P - 8I$.
$P^8 = P(13P - 8I) = 13P^2 - 8P = 13(I - P) - 8P = 13I - 21P$.
હવે,$P^8 + P^6 = (13I - 21P) + (5I - 8P) = 18I - 29P$.
$P^\alpha + P^\beta = \gamma I - 29P$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 8, \beta = 6, \gamma = 18$ મળે છે.
તે જ રીતે,$P^8 - P^6 = (13I - 21P) - (5I - 8P) = 8I - 13P$.
$P^\alpha - P^\beta = \delta I - 13P$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\delta = 8$ મળે છે.
આમ,$\alpha + \beta + \gamma - \delta = 8 + 6 + 18 - 8 = 24$.

(B) આપેલ છે કે $Q = PAP^{T}$.
આપણે $P^{T}Q^{2007}P$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$Q = PAP^{T}$ હોવાથી,$Q^{2007} = (PAP^{T})(PAP^{T})\dots(PAP^{T})$ ($2007$ વખત).
$Q^{2007} = PA(P^{T}P)A(P^{T}P)A\dots A P^{T}$.
$P$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક હોવાથી,$P^{T}P = I$ થાય.
તેથી,$Q^{2007} = PA^{2007}P^{T}$.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા,$P^{T}(PA^{2007}P^{T})P = (P^{T}P)A^{2007}(P^{T}P) = I \cdot A^{2007} \cdot I = A^{2007}$ મળે.
$A = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ માટે,$A^{n} = \left[\begin{array}{ll}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right]$ થાય.
તેથી,$A^{2007} = \left[\begin{array}{cc}1 & 2007 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$.
આથી $a=1, b=2007, c=0, d=1$ મળે.
હવે $2a+b-3c-4d = 2(1) + 2007 - 3(0) - 4(1) = 2 + 2007 - 4 = 2005$.

(A) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,જ્યાં $a, b, c, d \in \{0, 1, 2\}$.
કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $n(S) = 3^4 = 81$ છે.
$M$ વ્યસ્ત હોય જો અને માત્ર જો $\det(M) = ad - bc \neq 0$ હોય.
અહીં $P(A) = \frac{50}{81}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $A^{T} = \alpha A + I$. બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$A = \alpha A^{T} + I$.
બીજા સમીકરણમાં $A^{T}$ ની કિંમત મૂકતા: $A = \alpha(\alpha A + I) + I = \alpha^2 A + (\alpha + 1)I$.
ગોઠવતા $A(1 - \alpha^2) = (\alpha + 1)I$ મળે.
$\alpha \neq -1$ હોવાથી,$(1 + \alpha)$ વડે ભાગતા $A(1 - \alpha) = I$ મળે,તેથી $A = \frac{1}{1 - \alpha}I$.
તેથી $\det(A) = \frac{1}{(1 - \alpha)^2}$.
વળી,$A - I = \frac{1}{1 - \alpha}I - I = \frac{1 - (1 - \alpha)}{1 - \alpha}I = \frac{\alpha}{1 - \alpha}I$.
તેથી $\det(A - I) = \left(\frac{\alpha}{1 - \alpha}\right)^2$.
આપેલ છે $\det(A^2 - A) = \det(A)\det(A - I) = 4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{(1 - \alpha)^2} \cdot \frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^2} = 4$.
$\frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^4} = 4 \Rightarrow \left(\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2}\right)^2 = 2^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} = 2$ અથવા $\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} = -2$.
કિસ્સો $1$: $\alpha = 2(1 - 2\alpha + \alpha^2) \Rightarrow 2\alpha^2 - 5\alpha + 2 = 0$. ઉકેલ $\alpha = 2$ અને $\alpha = 1/2$ છે.
કિસ્સો $2$: $\alpha = -2(1 - 2\alpha + \alpha^2) \Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0$. વિવેચક $D = 9 - 16 = -7 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
$\alpha$ ના શક્ય મૂલ્યો $2$ અને $1/2$ છે.
સરવાળો $2 + 1/2 = 5/2$ થાય.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+2 & 2c & 3 \\ 3 & a+3c & 2a \\ ac & 1 & 2+3c \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} a+2 & 2c & 3 \\ 3 & a+3c & 2a \\ ac & 1 & 2+3c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A$ સરખાવતા,$(1,1)$ ઘટક માટે: $2ac + 3 = 0 \implies ac = -\frac{3}{2}$.
$(1,2)$ ઘટક માટે: $a + 2 + 3c = 1 \implies a + 3c = -1$.
$c = -\frac{3}{2a}$ ને $a + 3c = -1$ માં મુકતા:
$a + 3(-\frac{3}{2a}) = -1 \implies a - \frac{9}{2a} = -1 \implies 2a^2 + 2a - 9 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-9)}}{2(2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{2}$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = \frac{\sqrt{19} - 1}{2}$.
$4 < \sqrt{19} < 5$ હોવાથી,$3 < \sqrt{19} - 1 < 4$,તેથી $1.5 < a < 2$.
આમ,$a \in (1, 2]$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103x+81)$.
આ સમીકરણ દરેક $x$ માટે સાચું હોવાથી,આપણે $x=0$ મૂકીને તેને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103(0)+81)$
વિકર્ણ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધતા:
$1 \times \lambda \times \lambda^2 = \frac{9}{8} \times 81$
$\lambda^3 = \frac{9^3}{2^3}$
$\lambda = \frac{9}{2}$.
હવે,બીજું બીજ શોધીએ:
$\frac{\lambda}{3} = \frac{9/2}{3} = \frac{3}{2}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha = \frac{9}{2}$ અને $\beta = \frac{3}{2}$ છે.
સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ દ્વારા મળે છે.
$x^2 - (\frac{9}{2} + \frac{3}{2})x + (\frac{9}{2} \times \frac{3}{2}) = 0$
$x^2 - (\frac{12}{2})x + \frac{27}{4} = 0$
$x^2 - 6x + \frac{27}{4} = 0$
$4$ વડે ગુણતા: $4x^2 - 24x + 27 = 0$.

(A) ધારો કે $C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ અને $D = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
અહીં $CD = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$B = CAD$ હોવાથી,$B^n = (CAD)(CAD)...(CAD) = CA^n D$.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ $A^n = \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$B^n = C A^n D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$B^n = \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} + 2 \\ -1 & -\frac{n}{51} - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{n}{51} + 1 & \frac{n}{51} \\ -\frac{n}{51} & 1 - \frac{n}{51} \end{bmatrix}$.
$n=1$ થી $50$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{n=1}^{50} B^n = \begin{bmatrix} \sum_{n=1}^{50} (\frac{n}{51} + 1) & \sum_{n=1}^{50} \frac{n}{51} \\ \sum_{n=1}^{50} (-\frac{n}{51}) & \sum_{n=1}^{50} (1 - \frac{n}{51}) \end{bmatrix}$.
$\sum_{n=1}^{50} n = \frac{50 \times 51}{2} = 1275$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=1}^{50} \frac{n}{51} = \frac{1275}{51} = 25$ મળે.
$\sum_{n=1}^{50} B^n = \begin{bmatrix} 25 + 50 & 25 \\ -25 & 50 - 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 75 & 25 \\ -25 & 25 \end{bmatrix}$.
તમામ ઘટકોનો સરવાળો $75 + 25 - 25 + 25 = 100$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $B = \text{adj}(A)$. આપણે જાણીએ છીએ કે $|B| = |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$. અહીં $n=3$ અને $|A|=2$ છે,તેથી $|B| = 2^{3-1} = 2^2 = 4$.
$B$ નો નિશ્ચાયક ગણતા:
$|B| = 1(8 - 3\alpha) - 3(4 - 3\alpha) + \alpha(\alpha - 2\alpha) = 4$
$8 - 3\alpha - 12 + 9\alpha - \alpha^2 = 4$
$-\alpha^2 + 6\alpha - 4 = 4$
$\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$
$(\alpha - 2)(\alpha - 4) = 0$
$\alpha > 2$ હોવાથી,$\alpha = 4$ મળે.
હવે,$\alpha = 4$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 \end{bmatrix}$
પદાવલિ $X^T B X$ છે જ્યાં $X = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix}$.
$X^T B X = \begin{bmatrix} 4 & -8 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 12 & 12 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix} = 48 - 96 - 32 = -80$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $|A| = 2$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(6 - 1) - 2(2a - 1) + 3(a - 3) = 2$
$5 - 4a + 2 + 3a - 9 = 2$
$-a - 2 = 2 \implies a = -4$.
હવે,$|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(2A))|$ ની કિંમત શોધીએ.
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$|kA| = k^3|A|$ અને $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$.
ધારો કે $M = 2A$,તો $|M| = 2^3|A| = 8(2) = 16$.
$|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(M))| = 2^3 |\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(M))| = 8 |2 \operatorname{adj}(M)|^2 = 8 \cdot (2^3 |\operatorname{adj}(M)|)^2 = 8 \cdot 8^2 \cdot |\operatorname{adj}(M)|^2 = 8^3 \cdot (|M|^2)^2 = 8^3 \cdot |M|^4$.
$|M| = 16 = 2^4$ મુકતા:
$|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(2A))| = (2^3)^3 \cdot (2^4)^4 = 2^9 \cdot 2^{16} = 2^{25} = (2^5)^5 = 32^5$.
આમ,$n = 5$.
આપણે $3n + \alpha$ શોધવાનું છે,જ્યાં $\alpha = a = -4$.
$3(5) + (-4) = 15 - 4 = 11$.

(D) વિધાન $I$ ચકાસવા માટે: આપણે $f(x)$ માં $x$ ને બદલે $-x$ મૂકીને $f(-x)$ મેળવીએ છીએ.
$f(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & -\sin(-x) & 0 \\ \sin(-x) & \cos(-x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$f(x) \cdot f(-x)$ ની ગણતરી કરો:
$f(x) \cdot f(-x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 x + \sin^2 x & 0 & 0 \\ 0 & \sin^2 x + \cos^2 x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
કારણ કે $f(x) \cdot f(-x) = I$,તેથી $f(-x)$ એ $f(x)$ નો વ્યસ્ત છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ ચકાસવા માટે: $f(x) \cdot f(y)$ ની ગણતરી કરો:
$f(x) \cdot f(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos y & -\sin y & 0 \\ \sin y & \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x \cos y - \sin x \sin y & -(\cos x \sin y + \sin x \cos y) & 0 \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y & \cos x \cos y - \sin x \sin y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ અને $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) \cdot f(y) = \begin{bmatrix} \cos(x+y) & -\sin(x+y) & 0 \\ \sin(x+y) & \cos(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = f(x+y)$.
આમ,વિધાન $II$ પણ સાચું છે.

(C) સમીકરણ $|A-xI|=0$ એ શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ છે.
આપેલ બીજ $\lambda_1 = -1$ અને $\lambda_2 = 3$ છે.
બીજનો સરવાળો (શ્રેણિક $A$ નો ટ્રેસ) $\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 = -1 + 3 = 2$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર (શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક) $|A| = \lambda_1 \lambda_2 = (-1)(3) = -3$ થાય.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે: $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + |A|I = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $A^2 - 2A - 3I = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A^2 = 2A + 3I$.
બંને બાજુ ટ્રેસ લેતા: $\operatorname{tr}(A^2) = \operatorname{tr}(2A + 3I) = 2\operatorname{tr}(A) + 3\operatorname{tr}(I)$.
અહીં $\operatorname{tr}(A) = 2$ અને $\operatorname{tr}(I) = 1 + 1 = 2$ હોવાથી:
$\operatorname{tr}(A^2) = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એવો ચોરસ શ્રેણિક છે કે જેથી $AA^T = I$ થાય. $A$ ચોરસ શ્રેણિક હોવાથી,$AA^T = I$ નો અર્થ એ છે કે $A^TA = I$ પણ થાય.
હવે,પદ $\frac{1}{2} A[(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2]$ ને ધ્યાનમાં લો.
કૌંસની અંદરના વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A+A^T)^2 = A^2 + AA^T + A^TA + (A^T)^2 = A^2 + I + I + (A^T)^2 = A^2 + (A^T)^2 + 2I$.
$(A-A^T)^2 = A^2 - AA^T - A^TA + (A^T)^2 = A^2 - I - I + (A^T)^2 = A^2 + (A^T)^2 - 2I$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2 = (A^2 + (A^T)^2 + 2I) + (A^2 + (A^T)^2 - 2I) = 2A^2 + 2(A^T)^2$.
આ કિંમતને મૂળ પદમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} A[2A^2 + 2(A^T)^2] = A[A^2 + (A^T)^2] = A^3 + A(A^T)^2$.
કારણ કે $A(A^T) = I$,તેથી $A(A^T)^2 = (AA^T)A^T = I A^T = A^T$.
તેથી,પદનું સાદું રૂપ $A^3 + A^T$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $|P^{-1}AP - 2I| = |P^{-1}AP - 2P^{-1}IP| = |P^{-1}(A - 2I)P|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|ABC| = |A||B||C|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|P^{-1}||A - 2I||P| = |P^{-1}||P||A - 2I| = |I||A - 2I| = |A - 2I|$ મળે છે.
હવે,$A - 2I = \begin{bmatrix} 2-2 & 1 & 2 \\ 6 & 2-2 & 11 \\ 3 & 3 & 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 6 & 0 & 11 \\ 3 & 3 & 0 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A - 2I| = 0(0 - 33) - 1(0 - 33) + 2(18 - 0) = 0 + 33 + 36 = 69$ ની ગણતરી કરતા.
$69$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $3$ અને $23$ છે.
તેથી,અવિભાજ્ય અવયવોનો સરવાળો $3 + 23 = 26$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = \lambda \neq 0$.
કારણ કે $\sin \theta + \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) + \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = 0$,તેથી $x = \frac{\lambda}{\sin \theta}$,$y = \frac{\lambda}{\sin(\theta + 2\pi/3)}$,$z = \frac{\lambda}{\sin(\theta + 4\pi/3)}$.
$\text{Trace}(R) = x + y + z = \lambda \left( \frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\sin(\theta + 2\pi/3)} + \frac{1}{\sin(\theta + 4\pi/3)} \right) = \frac{3\lambda}{\sin(3\theta)} \neq 0$.
આમ,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
વિધાન $(II)$ માટે,$\text{adj}(\text{adj}(R)) = |R| R = (xyz) R = \begin{bmatrix} x^2yz & 0 & 0 \\ 0 & xy^2z & 0 \\ 0 & 0 & xyz^2 \end{bmatrix}$.
$\text{Trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = xyz(x+y+z)$. કારણ કે $x, y, z \neq 0$ અને $x+y+z \neq 0$,તેથી ટ્રેસ શૂન્ય નથી.
શરતી વિધાન "જો $P$,તો $Q$" સાચું હોય છે જો $P$ ખોટું હોય. અહીં પૂર્વધારણા "trace$(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0$" ખોટી હોવાથી,વિધાન $(II)$ ખાલી રીતે (vacuously) સાચું છે.

(B) આપેલ છે કે $A=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$,તેથી $\operatorname{det}(A) = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) - (1)(-1) = 2 + 1 = 3$.
આપેલ છે કે $B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $\operatorname{det}(B) = (1)(1) - (0)(1) = 1$.
$C = ABA^T$ હોવાથી,$C$ નો નિશ્ચાયક $\operatorname{det}(C) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B) \cdot \operatorname{det}(A^T)$ થાય.
$\operatorname{det}(A^T) = \operatorname{det}(A)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\operatorname{det}(C) = \operatorname{det}(A)^2 \cdot \operatorname{det}(B) = (3)^2 \cdot 1 = 9$.
હવે,આપણે $\operatorname{det}(X)$ શોધવાનું છે જ્યાં $X = A^T C^2 A$.
$\operatorname{det}(MN) = \operatorname{det}(M)\operatorname{det}(N)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\operatorname{det}(X) = \operatorname{det}(A^T) \cdot \operatorname{det}(C^2) \cdot \operatorname{det}(A)$.
$\operatorname{det}(C^2) = (\operatorname{det}(C))^2$ હોવાથી,$\operatorname{det}(X) = \operatorname{det}(A) \cdot (\operatorname{det}(C))^2 \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^2 \cdot (\operatorname{det}(C))^2$.
કિંમતો મૂકતા,$\operatorname{det}(X) = (3)^2 \cdot (9)^2 = 9 \cdot 81 = 729$.

(B) આપેલ છે કે $A=I_2-2 MM^{T}$,જ્યાં $M^T M=I_1=1$.
પ્રથમ,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = (I_2-2 MM^{T})(I_2-2 MM^{T})$
$= I_2 - 2 MM^{T} - 2 MM^{T} + 4 MM^{T} MM^{T}$
કારણ કે $M^T M = 1$,તેથી $M^T M M^T = (M^T M) M^T = 1 \cdot M^T = M^T$.
તેથી,$A^2 = I_2 - 4 MM^{T} + 4 M(M^T M) M^T = I_2 - 4 MM^{T} + 4 MM^{T} = I_2$.
શૂન્યતર શ્રેણિક $X$ માટે $AX = \lambda X$ આપેલ હોવાથી:
$A^2 X = A(\lambda X) = \lambda(AX) = \lambda^2 X$.
$A^2 = I_2$ હોવાથી,$I_2 X = \lambda^2 X$,જેનો અર્થ છે કે $X = \lambda^2 X$.
$X \neq 0$ હોવાથી,$\lambda^2 = 1$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -1$.
$\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યો $1$ અને $-1$ છે.
$\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો $(1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$ થાય.

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $M = 2A - A^T$ અને $N = A - 2A^T$. અહીં $M = -N^T$ છે,તેથી $\operatorname{det}(M) = \operatorname{det}(-N^T) = (-1)^3 \operatorname{det}(N) = -\operatorname{det}(N)$.
આપેલ સમીકરણ $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M) \cdot \operatorname{adj}(N)) = 2^8$ છે.
ગુણધર્મ $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(X)) = (\operatorname{det}(X))^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$,આપણને મળે $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M)) = (\operatorname{det}(M))^2$ અને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(N)) = (\operatorname{det}(N))^2$.
તેથી,$(\operatorname{det}(M))^2 \cdot (\operatorname{det}(N))^2 = 2^8$.
કારણ કે $\operatorname{det}(M) = -\operatorname{det}(N)$,તેથી $(-\operatorname{det}(N))^2 \cdot (\operatorname{det}(N))^2 = 2^8$,જેનો અર્થ છે $(\operatorname{det}(N))^4 = 2^8$.
તેથી,$(\operatorname{det}(N))^2 = 2^4 = 16$,એટલે કે $\operatorname{det}(N) = \pm 4$.
હવે,$N = A - 2A^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 & \alpha \\ -3 & 0 & -1 \\ -2\alpha & -1 & -2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક ગણતા: $\operatorname{det}(N) = -1(0 - 1) - 0 + \alpha(3 - 0) = 1 + 3\alpha$.
$1 + 3\alpha = 4$ લેતા (કારણ કે $\alpha > 0$),આપણને $3\alpha = 3$ મળે,તેથી $\alpha = 1$.
હવે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
$\operatorname{det}(A) = 1(0 - 1) - 2(2 - 0) + 1(1 - 0) = -1 - 4 + 1 = -4$.
અંતે,$(\operatorname{det}(A))^2 = (-4)^2 = 16$.

(B) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $A^2 - (\text{tr}(A))A + |A|I = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\text{tr}(A) = -3$ અને $|A| = 2$,તેથી સમીકરણ $A^2 + 3A + 2I = 0$ બને છે.
આપેલ સમીકરણ $A^2 + xA + yI = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ અને $y = 2$ મળે છે.
અતિવલયના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$e^4 + \ell^4 = 78$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$,તેથી આપણને મળે છે:
$a_1 + a_2 + a_3 = 3$
$b_1 + b_2 + b_3 = 3$
$c_1 + c_2 + c_3 = 3$
બધા ઘટકો અ-ઋણ હોવાથી,સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,દરેક હારના ઘટકોનો ગુણાકાર ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે તે હારના બધા ઘટકો સમાન હોય.
હાર $1$ માટે: $a_1 a_2 a_3 \le (\frac{a_1+a_2+a_3}{3})^3 = (\frac{3}{3})^3 = 1$.
તે જ રીતે,હાર $2$ અને હાર $3$ માટે,ગુણાકાર વધુમાં વધુ $1$ છે.
નિશ્ચાયક $\operatorname{det}(A)$ એ ઘટકોના ગુણાકારનો સરવાળો છે. હડમાર્ડની અસમતા અથવા હારના સરવાળાને ધ્યાનમાં લેતા,$n \times n$ શ્રેણિક માટે જેના હારનો સરવાળો $S$ હોય,તેનો મહત્તમ નિશ્ચાયક $S^n$ થાય છે જો શ્રેણિક વિકર્ણ હોય.
અહીં,$S=3$ અને $n=3$ છે,તેથી $\operatorname{det}(A) \le 3^3 = 27$.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે છે જ્યારે $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ હોય,જે $\operatorname{det}(A) = 27$ આપે છે.

(A) આપેલ છે કે $|A|=3$ અને $|B|=2$,જ્યાં શ્રેણિકનો ક્રમ $n=3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|A^T| = |A| = 3$,તેથી $|A^T A| = |A^T||A| = |A|^2 = 3^2 = 9$.
વળી,$|\operatorname{adj}(kA)| = |kA|^{n-1} = (k^n |A|)^{n-1} = (k^3 \cdot 3)^2 = k^6 \cdot 9$.
$k=2$ માટે,$|\operatorname{adj}(2A)| = 2^6 \cdot 3^2 = 64 \cdot 9 = 576$.
$k=4$ માટે,$|\operatorname{adj}(4B)| = (4^3 |B|)^2 = (64 \cdot 2)^2 = 128^2 = 16384$.
$|\operatorname{adj}(AB)| = |AB|^{n-1} = (|A||B|)^{3-1} = (3 \cdot 2)^2 = 6^2 = 36$.
હવે,આપેલ પદાવલિ:
$|A^T A| \cdot |(\operatorname{adj}(2A))^{-1}| \cdot |\operatorname{adj}(4B)| \cdot |(\operatorname{adj}(AB))^{-1}| \cdot |AA^T|$
$= 9 \cdot \frac{1}{576} \cdot 16384 \cdot \frac{1}{36} \cdot 9$
$= \frac{81 \cdot 16384}{576 \cdot 36} = \frac{1327104}{20736} = 64$.

(A) આપેલ છે કે $A_r = \begin{vmatrix} r & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 2r & 2 & n^2 - \beta \\ 3r - 2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$.
આપણે $2A_{10} - A_8$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$2A_{10} - A_8 = \begin{vmatrix} 20 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 40 & 2 & n^2 - \beta \\ 56 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 8 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 16 & 2 & n^2 - \beta \\ 22 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
સ્તંભોની બાદબાકી કરતા: $\begin{vmatrix} 12 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 24 & 2 & n^2 - \beta \\ 34 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
$C_1 \to C_1 - 12C_2$ પ્રક્રિયા કરતા: $\begin{vmatrix} 0 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 0 & 2 & n^2 - \beta \\ -2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા: $-2 \times (1 \times (n^2 - \beta) - 2 \times (\frac{n^2}{2} + \alpha)) = -2(n^2 - \beta - n^2 - 2\alpha) = -2(-\beta - 2\alpha) = 4\alpha + 2\beta$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha \beta \gamma = 45$ અને સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$x(\alpha, 1, 2) + y(1, \beta, 2) + z(2, 3, \gamma) = (0, 0, 0)$
જેને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$1) \alpha x + y + 2z = 0$
$2) x + \beta y + 3z = 0$
$3) 2x + 2y + \gamma z = 0$
કારણ કે $xyz \neq 0$,આ સંહતિનો ઉકેલ શૂન્યતર (non-trivial) છે,જેનો અર્થ છે કે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} \alpha & 1 & 2 \\ 1 & \beta & 3 \\ 2 & 2 & \gamma \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha(\beta \gamma - 6) - 1(\gamma - 6) + 2(2 - 2\beta) = 0$
$\alpha \beta \gamma - 6\alpha - \gamma + 6 + 4 - 4\beta = 0$
$\alpha \beta \gamma = 45$ મૂકતા:
$45 - 6\alpha - \gamma + 10 - 4\beta = 0$
$55 - (6\alpha + 4\beta + \gamma) = 0$
તેથી,$6\alpha + 4\beta + \gamma = 55$.

(C) અહીં $A$ એ $3$ ક્રમનો શ્રેણિક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M)) = (\operatorname{det} M)^{n-1} = (\operatorname{det} M)^2$.
પ્રથમ,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}((\operatorname{det} A) A)))$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $k = \operatorname{det} A$. તો $\operatorname{adj}(kA) = k^2 \operatorname{adj}(A)$.
તેથી,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(k^2 \operatorname{adj} A))) = (\operatorname{det}(2k^2 \operatorname{adj} A))^2 = (2^3 k^6 \operatorname{det}(\operatorname{adj} A))^2 = (2^3 k^6 k^2)^2 = 2^6 k^{16}$.
આપેલ છે કે $2^6 k^{16} = 2^{-10} 3^{-13}$.
હવે,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A)) = (\operatorname{det}(2A))^2 = (2^3 \operatorname{det} A)^2 = 2^6 k^2$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ $m=-4$ અને $n=-1$ લેતા,$|3m+2n| = |3(-4) + 2(-1)| = |-12-2| = 14$.

(D) આપેલ છે કે $BCB^{-1}=A$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(BCB^{-1})(BCB^{-1}) = A^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $BC^2B^{-1} = A^2$ થાય છે.
આપેલ શરત $AB^{-1}=A^{-1}$ પરથી,$A^2 = B$ મળે છે.
$BCB^{-1}=A$ હોવાથી,$A^2 = (BCB^{-1})(BCB^{-1}) = BC^2B^{-1}$ થાય.
આમ,$B = BC^2B^{-1}$,જે સૂચવે છે કે $C^2 = B$.
$C^2 = B$ હોવાથી,$B$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|B-\lambda I| = 0$ થાય.
$|\begin{bmatrix} 1-\lambda & 3 \\ 1 & 5-\lambda \end{bmatrix}| = (1-\lambda)(5-\lambda) - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 5 - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 2 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$C^4 - 6C^2 + 2I = O$.
આને $C^4 + \alpha C^2 + \beta I = O$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -6$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
તેથી,$2\beta - \alpha = 2(2) - (-6) = 4 + 6 = 10$.

(D) આપેલ સમીકરણોનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ છે.
$(A)$ જો $a+b+c \neq 0$ અને $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ હોય,તો $a=b=c \neq 0$ થાય. સમીકરણો $a(x+y+z)=0$ બને છે,જે સમાન સમતલો દર્શાવે છે. તેથી,$(A)-(r)$.
$(B)$ જો $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$ હોય,તો $\Delta=0$ થાય. સમીકરણો અનંત ઉકેલો ધરાવે છે. સમીકરણો ઉકેલતા $x=y=z$ મળે છે. તેથી,$(B)-(q)$.
$(C)$ જો $a+b+c \neq 0$ અને $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$ હોય,તો $\Delta \neq 0$ થાય. સમીકરણોનો અનન્ય ઉકેલ $(0,0,0)$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે સમતલો એક બિંદુએ મળે છે. તેથી,$(C)-(p)$.
$(D)$ જો $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ હોય,તો $a=b=c=0$ થાય. સમીકરણો $0=0$ બને છે,જે સમગ્ર ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ દર્શાવે છે. તેથી,$(D)-(s)$.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2+2x+4}{x+2} = (x+2) + \frac{4}{x+2} - 2$. $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$x > -2$ માટે,$(x+2) + \frac{4}{x+2} \geq 4$. તેથી,$y \geq 2$. ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે (વિકલ્પ $r$).
$(B)$ આપેલ છે કે $(A+B)(A-B) = (A-B)(A+B) \Rightarrow AB = BA$. $A$ સંમિત અને $B$ વિસંમિત હોવાથી,$(AB)^t = B^t A^t = -BA = -AB$. તેથી,$(-1)^k AB = -AB$,જેનો અર્થ છે કે $(-1)^k = -1$. આ $k$ ના એકી મૂલ્યો માટે સાચું છે. ${1, 2, 3}$ માં,$k=1$ અથવા $k=3$ (વિકલ્પો $q, s$).
$(C)$ $a = \log_3 \log_3 2$. $3^{-a} = \log_2 3$. અસમતા $1 < 2^{-k + \log_2 3} < 2 \Rightarrow 1 < 2^{-k} \cdot 3 < 2 \Rightarrow \log_2 3 - 1 < k < \log_2 3$. $0.58 < k < 1.58$ હોવાથી,પૂર્ણાંક $k=1$ મળે. $1$ એ $2$ અને $3$ કરતા નાનો છે (વિકલ્પો $r, s$).
$(D)$ $\sin \theta = \cos \phi \Rightarrow \theta \pm \phi - \frac{\pi}{2} = -2n\pi$. તેથી,$\frac{1}{\pi}(\theta \pm \phi - \frac{\pi}{2}) = -2n$,જે બેકી પૂર્ણાંકો છે. વિકલ્પોમાંથી $0$ બેકી છે (વિકલ્પ $p$).

(A, D, C) $3 \times 3$ સંમિત શ્રેણિક $A$ તેના $6$ ઘટકો દ્વારા નક્કી થાય છે: $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$.
$1.$ કુલ $9$ ઘટકો છે. $5$ એકડા અને $4$ શૂન્ય આપેલા છે. શ્રેણિક સંમિત હોવાથી,$a_{12}=a_{21}, a_{13}=a_{31}, a_{23}=a_{32}$.
ધારો કે વિકર્ણ પર $1$ ની સંખ્યા $k$ છે. વિકર્ણની બહાર $1$ ની સંખ્યા $(5-k)$ હોવી જોઈએ. વિકર્ણની બહારના ઘટકો જોડીમાં હોવાથી,$(5-k)$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. તેથી $k$ એકી સંખ્યા ($1$ અથવા $3$) હોવી જોઈએ.
જો $k=3$ હોય,તો બધા વિકર્ણ ઘટકો $1$ છે. આપણે વિકર્ણની બહાર $5-3=2$ એકડા જોઈએ. આપણે $3$ જોડીમાંથી $1$ જોડી પસંદ કરીએ છીએ (એટલે કે $3$ શ્રેણિકો).
જો $k=1$ હોય,તો એક વિકર્ણ ઘટક $1$ છે. આપણે વિકર્ણની બહાર $5-1=4$ એકડા જોઈએ. આપણે $3$ જોડીમાંથી $2$ જોડી પસંદ કરીએ છીએ (એટલે કે $3 \times 3 = 9$ શ્રેણિકો).
કુલ શ્રેણિકો $= 3 + 9 = 12$.
$2.$ જો $|A| \neq 0$ હોય તો અનન્ય ઉકેલ મળે છે. $12$ શ્રેણિકો તપાસતા,આપણને મળે છે કે $6$ શ્રેણિકો માટે $|A| \neq 0$ છે.
$3.$ બાકીના $6$ શ્રેણિકો માટે જ્યાં $|A| = 0$ છે,આપણે અસંગતતા તપાસીએ છીએ. ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ તપાસતા,આપણને મળે છે કે $2$ શ્રેણિકો અસંગત છે.

(C) આપેલ છે કે $z = \frac{-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \omega$, જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. તેથી, $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$P = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix}$.
$P^2 = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)^{2r} \omega^{2r} + \omega^{4s} & (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} \\ (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} & \omega^{4s} + \omega^{2r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો શૂન્ય થવા માટે: $((-1)^r + 1) \omega^{r+2s} = 0$. કારણ કે $\omega \neq 0$, તેથી $(-1)^r + 1 = 0$ હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $r$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ। આમ, $r \in \{1, 3\}$.
કિસ્સો $1$: $r = 1$. વિકર્ણ ઘટકો પરથી $\omega^2 + \omega^{4s} = -1$ મળે છે. કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$, તેથી $\omega^2 + \omega = -1$. આમ, $\omega^{4s} = \omega$, જેનો અર્થ છે કે $4s \equiv 1 \pmod 3$, તેથી $s \equiv 1 \pmod 3$. $s \in \{1, 2, 3\}$ માટે, $s = 1$.
કિસ્સો $2$: $r = 3$. વિકર્ણ ઘટકો પરથી $\omega^6 + \omega^{4s} = -1$ મળે છે. કારણ કે $\omega^3 = 1$, તેથી $1 + \omega^{4s} = -1$, એટલે કે $\omega^{4s} = -2$. આ અશક્ય છે કારણ કે $|\omega^{4s}| = 1$.
આમ, માત્ર એક જ માન્ય જોડ $(r, s) = (1, 1)$ છે. કુલ જોડોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix}$. ધારો કે $P = I + A$,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 16 & 4 & 0 \end{bmatrix}$.
નોંધો કે $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $A^3 = O$ (શૂન્ય શ્રેણિક).
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P^n = (I+A)^n = I + nA + \frac{n(n-1)}{2}A^2$.
$n=50$ માટે,$P^{50} = I + 50A + \frac{50 \times 49}{2}A^2 = I + 50A + 1225A^2$.
$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 50 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 16 & 4 & 0 \end{bmatrix} + 1225 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 200 & 1 & 0 \\ 800 + 19600 & 200 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 200 & 1 & 0 \\ 20400 & 200 & 1 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $P^{50}-Q=I$,તેથી $Q = P^{50}-I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 200 & 0 & 0 \\ 20400 & 200 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,$q_{31} = 20400$,$q_{32} = 200$,અને $q_{21} = 200$.
તેથી,$\frac{q_{31}+q_{32}}{q_{21}} = \frac{20400+200}{200} = \frac{20600}{200} = 103$.

(B) શ્રેણિક $M \in R$ વ્યસ્ત હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક $|M| \neq 0$ હોય.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$|M| = a(2 \times 0 - 5 \times d) - 3(c \times 0 - 0 \times d) + b(c \times 5 - 2 \times 0)$
$|M| = a(-5d) - 3(0) + b(5c) = 5bc - 5ad = 5(bc - ad)$.
શ્રેણિક વ્યસ્ત હોવા માટે,$|M| \neq 0$,જેનો અર્થ છે $bc - ad \neq 0$,અથવા $bc \neq ad$.
$a, b, c, d$ માટેના મૂલ્યોનો ગણ $S = \{0, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$ છે,જેમાં $8$ ઘટકો છે.
$R$ માં શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $8^4 = 4096$ છે.
આપણે $bc = ad$ હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે.
ધારો કે $X = bc$ અને $Y = ad$.
$1$. જો $ad = 0$,તો $a=0$ અથવા $d=0$. રીતોની સંખ્યા = $8^2 - 7^2 = 15$.
$2$. જો $bc = 0$,તો $b=0$ અથવા $c=0$. રીતોની સંખ્યા = $8^2 - 7^2 = 15$.
$bc = ad = 0$ હોય તેવી કુલ રીતો $15 \times 15 = 225$ છે.
હવે $bc = ad = k$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k \neq 0$.
$bc = ad \neq 0$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $91$ છે.
આમ,$|M| = 0$ હોય તેવા $225 + 91 = 316$ કિસ્સાઓ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિકોની સંખ્યા = $4096 - 316 = 3780$.

(A) ધારો કે $M$ એ $3 \times 3$ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતો શ્રેણિક છે જેથી $M^2 = A$ થાય. તો $\det(M^2) = \det(A)$,જેનો અર્થ છે કે $(\det(M))^2 = \det(A)$. કારણ કે $M$ ના ઘટકો વાસ્તવિક છે,$\det(M)$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી $(\det(M))^2 \ge 0$. આમ,$A$ વાસ્તવિક શ્રેણિકનો વર્ગ હોવા માટે,તેનો નિશ્ચાયક અઋણ હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\det(A) = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -1 < 0$. તેથી,$A$ એ કોઈ શ્રેણિકનો વર્ગ હોઈ શકે નહીં.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\det(B) = \det \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -1 < 0$. તેથી,$B$ એ કોઈ શ્રેણિકનો વર્ગ હોઈ શકે નહીં.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\det(C) = 1 > 0$. તે એકમ શ્રેણિક $I^2 = I$ નો વર્ગ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\det(D) = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = 1 > 0$. તે શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ નો વર્ગ છે.
તેથી,$A$ અને $B$ એ વાસ્તવિક $3 \times 3$ શ્રેણિકોના વર્ગ નથી.

(B) ધારો કે $M = [m_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $m_{ij} \in \{0, 1, 2\}$ છે.
$M^T M$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો એ $M^T M$ નો નિશ્ચાયક (trace) છે,જે $M$ ના તમામ ઘટકોના વર્ગોના સરવાળા બરાબર થાય છે,એટલે કે $\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 m_{ij}^2 = 5$.
કારણ કે $m_{ij} \in \{0, 1, 2\}$,તેથી ઘટકોના વર્ગો $m_{ij}^2 \in \{0, 1, 4\}$ છે.
આપણે $9$ ઘટકો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી તેમના વર્ગોનો સરવાળો $5$ થાય. વર્ગોના શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
કિસ્સો $1$: પાંચ ઘટકો $1$ હોય અને ચાર ઘટકો $0$ હોય. આ રીતે પસંદગી કરવાની રીતો $\binom{9}{5} = 126$ છે.
કિસ્સો $2$: એક ઘટક $2$ હોય (જેનો વર્ગ $4$ થાય),એક ઘટક $1$ હોય (જેનો વર્ગ $1$ થાય),અને સાત ઘટકો $0$ હોય. $2$ ના સ્થાનને પસંદ કરવાની રીતો $\binom{9}{1} = 9$ છે,અને બાકીના $8$ સ્થાનોમાંથી $1$ ના સ્થાનને પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{1} = 8$ છે. આમ,$9 \times 8 = 72$ રીતો મળે.
શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $= 126 + 72 = 198$ થાય.

(B) $1.$ $A$ સંમિત હોવા માટે $b=c$. $A$ વિસંમિત હોવા માટે $a=0$ અને $b=-c$.
જો $A$ સંમિત હોય,તો $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$,$\det(A) = a^2-b^2$. $\det(A) \equiv 0 \pmod{p} \implies a^2 \equiv b^2 \pmod{p} \implies a \equiv \pm b \pmod{p}$.
$a=b$ માટે $p$ વિકલ્પો છે. $a=-b$ માટે $p$ વિકલ્પો છે. $a=b=0$ કિસ્સો બે વાર ગણાયો હોવાથી,કુલ $2p-1$ સંમિત શ્રેણિકો મળે.
જો $A$ વિસંમિત હોય,તો $a=0, b=-c$. $\det(A) = b^2$. $\det(A) \equiv 0 \pmod{p} \implies b=0$. આમ $A$ શૂન્ય શ્રેણિક છે,જે પહેલેથી ગણાઈ ગયો છે.
કુલ સંખ્યા $2p-1$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$2.$ $\text{tr}(A) = 2a$. $p$ એકી અવિભાજ્ય હોવાથી,$2a \not\equiv 0 \pmod{p} \implies a \not\equiv 0 \pmod{p}$. $a$ માટે $p-1$ વિકલ્પો છે.
$\det(A) = a^2 - bc \equiv 0 \pmod{p} \implies bc \equiv a^2 \pmod{p}$.
દરેક $a \in \{1, \ldots, p-1\}$ માટે,$a^2 \not\equiv 0 \pmod{p}$. આમ $b$ માટે $p-1$ વિકલ્પો છે અને $c$ અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે.
કુલ સંખ્યા $(p-1)(p-1) = (p-1)^2$ છે. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
$3.$ $\det(A) = a^2 - bc \not\equiv 0 \pmod{p}$.
$T_p$ માં કુલ શ્રેણિકો $p^3$ છે.
જો $a=0$,$\det(A) = -bc \not\equiv 0 \implies b \neq 0, c \neq 0$. વિકલ્પો: $(p-1)(p-1) = (p-1)^2$.
જો $a \neq 0$,$bc \not\equiv a^2 \pmod{p}$. દરેક $a$ માટે,$p^2 - (p-1)$ જોડીઓ $(b, c)$ મળે છે.
કુલ = $(p-1)^2 + (p-1)(p^2 - p + 1) = p^3 - p^2$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\omega = e^{i 2 \pi / 3}$,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right|$ છે.
પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} z+1+\omega+\omega^2 & \omega & \omega^2 \\ z+\omega+\omega^2+1 & z+\omega^2 & 1 \\ z+\omega^2+1+\omega & 1 & z+\omega \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} z & \omega & \omega^2 \\ z & z+\omega^2 & 1 \\ z & 1 & z+\omega \end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $z$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = z \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & z+\omega^2 & 1 \\ 1 & 1 & z+\omega \end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = z \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & \omega^2 \\ 0 & z+\omega^2-\omega & 1-\omega^2 \\ 0 & 1-\omega & z+\omega-\omega^2 \end{array}\right| = z[(z+\omega^2-\omega)(z+\omega-\omega^2) - (1-\omega^2)(1-\omega)]$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\Delta = z(z^2) = z^3 = 0$ મળે છે.
આમ,$z = 0$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે. ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $M$ અને $N$ સ્કીવ-સિમેટ્રિક શ્રેણિકો છે,તેથી $M^T = -M$ અને $N^T = -N$.
$M$ અને $N$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે,જે નોન-સિંગ્યુલર છે અને $MN = NM$ છે.
આપણે પદાવલિ $E = M^2 N^2 (M^T N)^{-1} (M N^{-1})^T$ નું સાદું રૂપ આપવાનું છે.
પ્રથમ,$M^T = -M$ મૂકતા:
$E = M^2 N^2 (-M N)^{-1} (M N^{-1})^T$.
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(-MN)^{-1} = N^{-1} (-M)^{-1} = -N^{-1} M^{-1}$.
$(AB)^T = B^T A^T$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(M N^{-1})^T = (N^{-1})^T M^T = (N^T)^{-1} M^T = (-N)^{-1} (-M) = (-N^{-1}) (-M) = N^{-1} M$.
હવે આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = M^2 N^2 (-N^{-1} M^{-1}) (N^{-1} M)$.
$MN = NM$ હોવાથી,$M^{-1} N^{-1} = N^{-1} M^{-1}$ અને $M N^{-1} = N^{-1} M$ થાય.
$E = -M^2 N^2 N^{-1} M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 N (N N^{-1}) M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 N I M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 (N M^{-1}) N^{-1} M$.
$N M^{-1} = M^{-1} N$ હોવાથી:
$E = -M^2 M^{-1} N N^{-1} M$.
$E = -M (N N^{-1}) M$.
$E = -M I M = -M^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) શ્રેણિક સમીકરણ પરથી, આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$a + 8b + 7c = 0$
$9a + 2b + 3c = 0$
$7a + 7b + 7c = 0 \implies a + b + c = 0$
આને ઉકેલતા, આપણને $b = 6a$ અને $c = -7a$ મળે છે.
$1.$ આપેલ છે કે $2a + b + c = 1$. $b=6a$ અને $c=-7a$ મૂકતા, આપણને $2a + 6a - 7a = 1 \implies a = 1$ મળે છે. તેથી $b=6, c=-7$. મૂલ્ય $7a + b + c = 7(1) + 6 - 7 = 6$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$2.$ આપેલ છે કે $a=2$, તેથી $b=12, c=-14$. કારણ કે $\omega^3=1$, તેથી $\omega^{12}=1$ અને $\omega^{-14} = \omega^{-14+15} = \omega$. પદાવલિ $\frac{3}{\omega^2} + \frac{1}{\omega^{12}} + \frac{3}{\omega^{-14}} = 3\omega + 1 + 3\omega^2 = 1 + 3(\omega + \omega^2) = 1 + 3(-1) = -2$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$3.$ આપેલ છે કે $b=6$, તેથી $a=1, c=-7$. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 6x - 7 = 0$ છે. બીજ $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$ છે, તેથી $\alpha = 1, \beta = -7$. પછી $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$. સરવાળો $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{6}{7})^n = \frac{1}{1 - 6/7} = 7$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) ધારો કે શ્રેણિક $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિક બિન-શૂન્ય (non-singular) હોવા માટે,તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,એટલે કે $|M| \neq 0$.
$|M| = 1(1 - c\omega) - a(\omega - c\omega^2) + b(\omega^2 - \omega^2) = 1 - c\omega - a\omega + ac\omega^2$.
$|M| = 1 - c\omega - a\omega + ac\omega^2 = (1 - a\omega)(1 - c\omega)$.
$|M| \neq 0$ માટે,$1 - a\omega \neq 0$ અને $1 - c\omega \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $a\omega \neq 1$ અને $c\omega \neq 1$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,આપણી પાસે $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ છે. તેથી,$a \neq \omega^2$ અને $c \neq \omega^2$.
આપેલ છે કે $a, b, c \in \{\omega, \omega^2\}$,તેથી $a \neq \omega^2$ નો અર્થ છે $a = \omega$,અને $c \neq \omega^2$ નો અર્થ છે $c = \omega$.
જોકે,$b$ એ $\omega$ અથવા $\omega^2$ હોઈ શકે છે કારણ કે $b$ નિશ્ચાયકના પદમાં આવતું નથી.
તેથી,$(a, b, c)$ માટે શક્ય કિંમતો $(\omega, \omega, \omega)$ અને $(\omega, \omega^2, \omega)$ છે.
તેથી,અલગ બિન-શૂન્ય શ્રેણિકોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) ધારો કે $z = \cos \theta + i \sin \theta$. તો $\frac{2iz}{1-z^2} = \frac{2i(\cos \theta + i \sin \theta)}{1-(\cos 2\theta + i \sin 2\theta)} = \frac{2i \cos \theta - 2 \sin \theta}{2 \sin^2 \theta - i \sin 2\theta} = \frac{2i \cos \theta - 2 \sin \theta}{2 \sin \theta (\sin \theta - i \cos \theta)} = \frac{2i(\cos \theta + i \sin \theta)}{-2i \sin \theta (\cos \theta + i \sin \theta)} = -\frac{1}{\sin \theta} = -\csc \theta$. કારણ કે $\sin \theta \in [-1, 1] \setminus \{0\}$,તેથી $-\csc \theta \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. આમ,$(A)-(s)$.
$(B)$ $f(x) = \sin^{-1}(\frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}})$ માટે,આપણે $-1 \leq \frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}} \leq 1$ ની જરૂર છે. ધારો કે $u = 3^{x-1}$. તો $\frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}} = \frac{8 \cdot 3^{x-1} \cdot 3^{-1}}{1-(3^{x-1})^2} = \frac{8u/3}{1-u^2}$. $-1 \leq \frac{8u/3}{1-u^2} \leq 1$ ઉકેલતા $u \leq 1/3$ મળે છે,તેથી $3^{x-1} \leq 3^{-1} \Rightarrow x-1 \leq -1 \Rightarrow x \leq 0$. આમ,$(B)-(t)$.
$(C)$ $f(\theta) = 1(1 + \tan^2 \theta) - \tan \theta(-\tan \theta + \tan \theta) + 1(\tan^2 \theta + 1) = 2(1 + \tan^2 \theta) = 2 \sec^2 \theta$. $0 \leq \theta < \pi/2$ માટે,$\sec^2 \theta \in [1, \infty)$,તેથી $f(\theta) \in [2, \infty)$. આમ,$(C)-(r)$.
$(D)$ $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}(3x-10) + x^{3/2}(3) = \frac{3}{2}x^{1/2}(3x-10+2x) = \frac{15}{2}x^{1/2}(x-2)$. $f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 2$. આમ,$(D)-(r)$.

(B) આપેલ છે $M = \alpha I + \beta M^{-1}$. $M$ વડે ગુણતા,આપણને $M^2 = \alpha M + \beta I$ મળે,અથવા $M^2 - \alpha M - \beta I = O$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$M^2 - \text{tr}(M)M + \det(M)I = O$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$\alpha = \text{tr}(M) = \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\theta)$.
કારણ કે $\sin^2(2\theta) \in [0, 1]$,ન્યૂનતમ કિંમત $\alpha^* = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
વળી,$-\beta = \det(M) = \sin^4 \theta \cos^4 \theta + (1+\cos^2 \theta)(1+\sin^2 \theta) = \frac{\sin^4(2\theta)}{16} + 1 + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^4(2\theta)}{16} + 2 + \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$.
ધારો કે $t = \sin^2(2\theta) \in [0, 1]$. તો $-\beta(t) = \frac{t^2}{16} + \frac{t}{4} + 2$.
$\beta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $-\beta$ ની મહત્તમ કિંમત શોધીએ. $f(t) = \frac{t^2}{16} + \frac{t}{4} + 2$ એ $[0, 1]$ પર વધતું વિધેય હોવાથી,તેની મહત્તમ કિંમત $t=1$ આગળ મળે,જે $\frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{32}{16} = \frac{37}{16}$ છે.
આમ,$\beta^* = -\frac{37}{16}$.
તેથી,$\alpha^* + \beta^* = \frac{1}{2} - \frac{37}{16} = \frac{8-37}{16} = -\frac{29}{16}$.

(A) આપેલ છે કે $(\operatorname{adj} M)_{11} = 2 - 3b = -1 \Rightarrow b = 1$.
તે જ રીતે,$(\operatorname{adj} M)_{22} = -3a = -6 \Rightarrow a = 2$.
તેથી,$a+b = 2+1 = 3$. એટલે કે,$(1)$ સાચું છે.
હવે,$\operatorname{det} M = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 8 - 10 = -2$.
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} M^2) = (\operatorname{det}(\operatorname{adj} M))^2 = ((\operatorname{det} M)^2)^2 = ((-2)^2)^2 = 16 \neq 81$. તેથી,$(2)$ ખોટું છે.
$M^{-1} = \frac{\operatorname{adj} M}{\operatorname{det} M}$ હોવાથી,$\operatorname{adj} M = -2M^{-1}$ મળે.
તેથી $(\operatorname{adj} M)^{-1} = ( -2M^{-1} )^{-1} = -\frac{1}{2}M$.
વળી,$\operatorname{adj}(M^{-1}) = \operatorname{det}(M^{-1}) (M^{-1})^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det} M} M = -\frac{1}{2}M$.
આમ,$(\operatorname{adj} M)^{-1} + \operatorname{adj}(M^{-1}) = -\frac{1}{2}M - \frac{1}{2}M = -M$. તેથી,$(3)$ સાચું છે.
$M \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ માટે,$\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = M^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{\operatorname{adj} M}{-2} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = 1$. આમ $\alpha - \beta + \gamma = 1 - (-1) + 1 = 3$. તેથી,$(4)$ સાચું છે.

(B) ધારો કે $Q = \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right]$.
$X = \sum_{k=1}^6 (P_k Q P_k^T)$.
$X^T = \sum_{k=1}^6 (P_k Q P_k^T)^T = \sum_{k=1}^6 (P_k Q^T P_k^T) = \sum_{k=1}^6 (P_k Q P_k^T) = X$ (કારણ કે $Q$ સંમિત છે).
આમ,$X$ એ સંમિત શ્રેણિક છે. વિકલ્પ $(4)$ સાચો છે.
ધારો કે $R = \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$. નોંધો કે તમામ ક્રમચય શ્રેણિકો $P_k$ માટે,$P_k R = R$ અને $P_k^T R = R$.
$X R = \sum_{k=1}^6 P_k Q P_k^T R = \sum_{k=1}^6 P_k Q R = (\sum_{k=1}^6 P_k) Q R$.
$\sum_{k=1}^6 P_k = \left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right]$ અને $Q R = \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}6 \\ 3 \\ 6\end{array}\right]$.
$X R = \left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}6 \\ 3 \\ 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}30 \\ 30 \\ 30\end{array}\right] = 30 R$. તેથી,$\alpha = 30$. વિકલ્પ $(3)$ સાચો છે.
કારણ કે $X R = 30 R$,$(X - 30I) R = 0$,જેનો અર્થ છે કે $X - 30I$ વ્યસ્ત નથી. વિકલ્પ $(1)$ ખોટો છે.
$\text{Trace}(X) = \sum_{k=1}^6 \text{Trace}(P_k Q P_k^T) = \sum_{k=1}^6 \text{Trace}(P_k^T P_k Q) = \sum_{k=1}^6 \text{Trace}(I Q) = 6 \times \text{Trace}(Q) = 6 \times (2+0+1) = 18$. વિકલ્પ $(2)$ સાચો છે.
તેથી,વિકલ્પો $(2), (3), (4)$ સાચા છે.

(A) આપેલ છે $R = PQP^{-1}$.
$\det(R) = \det(PQP^{-1}) = \det(P) \det(Q) \det(P^{-1}) = \det(Q)$.
$\det(Q) = 2(24 - 0) - x(0 - 0) + x(0 - 4x) = 48 - 4x^2$.
વિકલ્પ $(1)$: $x = 1$ માટે,$\det(R) = 48 - 4(1)^2 = 44 \neq 0$. $\det(R) \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણ $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \mathbf{0}$ નો માત્ર શૂન્ય ઉકેલ $\alpha = \beta = \gamma = 0$ મળે. એકમ સદિશ માટે $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$ હોવું જોઈએ,જે શક્ય નથી. તેથી,$(1)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(2)$: $PQ = QP \iff PQP^{-1} = Q \iff R = Q$. આનો અર્થ એ છે કે $PQP^{-1} = Q$. આ ચોક્કસ $P$ માટે,$R$ એ કોઈ પણ $x$ માટે $Q$ ને સમાન નથી. તેથી,$(2)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(3)$: $\det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8 = [2(20 - 0) - x(0 - 0) + x(0 - 4x)] + 8 = (40 - 4x^2) + 8 = 48 - 4x^2 = \det(R)$. તેથી,$(3)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(4)$: $x = 0$ માટે,$Q = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$ અને $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$. $P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}$.
$R = PQP^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2/3 \\ 0 & 4 & 4/3 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$.
$(R - 6I) \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 0$ ઉકેલતા $\begin{bmatrix} -4 & 1 & 2/3 \\ 0 & -2 & 4/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 0$ મળે.
$-2a + 4b/3 = 0 \implies a = 2b/3$. $-4 + a + 2b/3 = 0 \implies -4 + 2b/3 + 2b/3 = 0 \implies 4b/3 = 4 \implies b = 3, a = 2$.
$a + b = 2 + 3 = 5$. તેથી,$(4)$ સાચું છે.

(C) શ્રેણિકના ઘટકો છે:
$a_{11} = \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
$a_{12} = \sum_{k=0}^n {^nC_k} k^2 = n(n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} = n(n+1)2^{n-2}$
$a_{21} = \sum_{k=0}^n {^nC_k} k = n2^{n-1}$
$a_{22} = \sum_{k=0}^n {^nC_k} 3^k = (1+3)^n = 4^n$
નિશ્ચાયક શૂન્ય લેતા:
$\frac{n(n+1)}{2} \cdot 4^n - n(n+1)2^{n-2} \cdot n2^{n-1} = 0$
$\frac{n(n+1)}{2} \cdot 4^n - n^2(n+1)2^{2n-3} = 0$
$n(n+1)2^{2n-3}$ વડે ભાગતા:
$2^2 - n = 0 \implies n = 4$
હવે,$\sum_{k=0}^4 \frac{{^4C_k}}{k+1} = \frac{1}{5} \sum_{k=0}^4 {^5C_{k+1}} = \frac{1}{5} ({^5C_1} + {^5C_2} + {^5C_3} + {^5C_4} + {^5C_5}) = \frac{1}{5} (2^5 - 1) = \frac{31}{5} = 6.20$

(A) આપેલ છે કે $M^{-1} = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3 \times 3$ શ્રેણિક $M$ માટે,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M) = (\operatorname{det} M)^{3-2} M = (\operatorname{det} M) M$.
તેથી,$M^{-1} = (\operatorname{det} M) M$.
બંને બાજુ $M$ વડે ગુણતા,$M^{-1} M = (\operatorname{det} M) M^2$,જેનો અર્થ છે કે $I = (\operatorname{det} M) M^2$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$\operatorname{det}(I) = \operatorname{det}((\operatorname{det} M) M^2)$.
$1 = (\operatorname{det} M)^3 \cdot (\operatorname{det} M)^2 = (\operatorname{det} M)^5$.
કારણ કે $M$ ના ઘટકો વાસ્તવિક છે,$\operatorname{det} M = 1$.
$\operatorname{det} M = 1$ ને $I = (\operatorname{det} M) M^2$ માં મૂકતા,આપણને $I = M^2$ મળે છે.
કારણ કે $M^2 = I$,તેથી $(\operatorname{adj} M)^2 = \operatorname{adj}(M^2) = \operatorname{adj}(I) = I$.
આમ,વિધાનો $B, C,$ અને $D$ હંમેશા સાચા છે.