Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Gujarati

(C) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 2 \\ 0 & 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(1 - \lambda)[(2 - \lambda)^2 - 0] - 1[0 - 1] + 2[0 - (2 - \lambda)] = 0$
$(1 - \lambda)(4 - 4\lambda + \lambda^2) + 1 - 4 + 2\lambda = 0$
$4 - 4\lambda + \lambda^2 - 4\lambda + 4\lambda^2 - \lambda^3 - 3 + 2\lambda = 0$
$-\lambda^3 + 5\lambda^2 - 6\lambda + 1 = 0$
$\lambda^3 = 5\lambda^2 - 6\lambda + 1$
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^3 = 5A^2 - 6A + I$.
આપણને $A^3 = (aA - I)(bA - I) = abA^2 - (a + b)A + I$ આપેલ છે.
$A^2$ અને $A$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$ab = 5$ અને $a + b = 6$.
આમ,$(a + b)$ ની કિંમત $6$ છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin 2A & \sin C & \sin B \\ \sin C & \sin 2B & \sin A \\ \sin B & \sin A & \sin 2C \end{array} \right|$.
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $C = \pi - (A+B)$,એટલે કે $\sin C = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
તે જ રીતે,$\sin B = \sin(A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$ અને $\sin A = \sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આ નિશ્ચાયકને બે શ્રેણિકોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે અથવા હાર/સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા સરળ બનાવી શકાય છે.
કિંમતો મૂકીને અને હારની પ્રક્રિયાઓ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે હાર સુરેખ રીતે આધારિત છે કારણ કે $A+B+C = \pi$.
ચોક્કસપણે,કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,આ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $C^T = -C$ અને $AA^T = I$.
ધારો કે $X = A^T CA$.
આપણે $(X^{50})^T$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,નોંધો કે $X^2 = (A^T CA)(A^T CA) = A^T C(AA^T)CA = A^T C(I)CA = A^T C^2 A$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$X^n = A^T C^n A$.
તેથી,$X^{50} = A^T C^{50} A$.
હવે,$(X^{50})^T = (A^T C^{50} A)^T = A^T (C^{50})^T (A^T)^T = A^T (C^T)^{50} A$.
કારણ કે $C^T = -C$,તેથી $(C^T)^{50} = (-C)^{50} = (-1)^{50} C^{50} = C^{50}$.
આમ,$(X^{50})^T = A^T C^{50} A$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = (3 \times 2) - (7 \times 1) = 6 - 7 = -1$ શોધીએ.
આપણે $|A^{2011} - 5A^{2010}|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદમાંથી $A^{2010}$ સામાન્ય લેતા: $|A^{2010}(A - 5I)|$.
ગુણધર્મ $|XY| = |X||Y|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A^{2010}||A - 5I| = |A|^{2010}|A - 5I|$ મળે છે.
હવે,$A - 5I = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરીએ.
નિશ્ચાયક $|A - 5I| = (-2 \times -3) - (7 \times 1) = 6 - 7 = -1$.
કિંમતો મૂકતા: $|A|^{2010}|A - 5I| = (-1)^{2010} \times (-1) = 1 \times (-1) = -1$.

(C) આપેલ છે કે $P^2 = I - P$.
આપણે $P$ ની ઉચ્ચ ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$P^3 = P(P^2) = P(I - P) = P - P^2 = P - (I - P) = 2P - I$.
$P^4 = P(P^3) = P(2P - I) = 2P^2 - P = 2(I - P) - P = 2I - 3P$.
$P^5 = P(P^4) = P(2I - 3P) = 2P - 3P^2 = 2P - 3(I - P) = 2P - 3I + 3P = 5P - 3I$.
$P^6 = P(P^5) = P(5P - 3I) = 5P^2 - 3P = 5(I - P) - 3P = 5I - 5P - 3P = 5I - 8P$.
આને $P^n = 5I - 8P$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 6$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A^2B = BA$.
$(AB)$ ના ઘાત માટે આપણે પેટર્ન જોઈએ:
$(AB)^2 = (AB)(AB) = A(BA)B = A(A^2B)B = A^3B^2$.
$(AB)^3 = (AB)^2(AB) = (A^3B^2)(AB) = A^3(B^2A)B$.
$A^2B = BA$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $B^2A = A^4B^2$.
સામાન્ય રીતે,તે સાબિત કરી શકાય છે કે $(AB)^n = A^{2^n-1}B^n$.
$n = 10$ માટે,$(AB)^{10} = A^{2^{10}-1}B^{10}$ મળે.
આને $(AB)^{10} = A^k B^{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2^{10} - 1$ મળે છે.
તેથી,$k = 1024 - 1 = 1023$.

(A) આપેલ છે કે $a_{ij} + a_{ji} = 0 \Rightarrow a_{ij} = -a_{ji}$,જે સૂચવે છે કે $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
$A$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $b_{ij} - b_{ji} = 0 \Rightarrow b_{ij} = b_{ji}$,જે સૂચવે છે કે $B$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.
આપણે $A^4B^3$ નો પ્રકાર શોધવાનો છે.
$|A| = 0$ હોવાથી,ગુણાકારનો નિશ્ચાયક $|A^4B^3| = |A|^4 |B|^3 = (0)^4 |B|^3 = 0$ થાય.
શ્રેણિક $A^4B^3$ નો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,$A^4B^3$ એ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $AB + A + B = 0$ છે.
બંને બાજુ એકમ શ્રેણિક $I$ ઉમેરતા,આપણને $AB + A + B + I = I$ મળે છે.
આને અવયવ પાડતા $A(B + I) + I(B + I) = I$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(A + I)(B + I) = I$ થાય છે.
બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર એકમ શ્રેણિક હોવાથી,તેઓ ક્રમનો નિયમ પાળે છે,એટલે કે $(A + I)(B + I) = (B + I)(A + I) = I$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $AB + A + B + I = BA + B + A + I$ મળે છે.
બંને બાજુથી $A + B + I$ બાદ કરતા,આપણને $AB = BA$ મળે છે.
કારણ કે $A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી દ્વિપદી વિસ્તરણ સાચું ઠરે છે: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ છે.
દરેક ઘટક $a, b, c, d$ કાં તો $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે.
કુલ $4$ સ્થાનો છે અને દરેક માટે $2$ વિકલ્પો હોવાથી,કુલ શક્ય નિશ્ચાયકોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોય તે માટે $\Delta \neq 0$,એટલે કે $ad - bc \neq 0$,અથવા $ad \neq bc$ હોવું જોઈએ.
$a, b, c, d \in \{0, 1\}$ હોવાથી,$ad$ અને $bc$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અથવા $1$ છે.
કિસ્સો $1$: $ad = 1$ અને $bc = 0$.
$ad = 1 \implies a = 1, d = 1$.
$bc = 0 \implies (b=0, c=0), (b=0, c=1), (b=1, c=0)$.
આનાથી $3$ શક્ય નિશ્ચાયકો મળે છે: $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$.
કિસ્સો $2$: $ad = 0$ અને $bc = 1$.
$bc = 1 \implies b = 1, c = 1$.
$ad = 0 \implies (a=0, d=0), (a=0, d=1), (a=1, d=0)$.
આનાથી $3$ શક્ય નિશ્ચાયકો મળે છે: $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $3 + 3 = 6$.
સંભાવના $P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(C) આપેલ છે કે $a = \min \{x^2 + 2x + 3 : x \in R\}$.
$x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$ હોવાથી,ન્યૂનતમ મૂલ્ય $a = 2$ છે.
આપેલ છે કે $b = \lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}$.
લિમિટના સૂત્ર $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$b = \frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,સરવાળો $\sum_{r=0}^{n} a^r \cdot b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^r \cdot (\frac{1}{2})^{n-r}$ ની ગણતરી કરીએ.
$= \sum_{r=0}^{n} 2^r \cdot 2^{r-n} = \sum_{r=0}^{n} 2^{2r-n} = 2^{-n} \sum_{r=0}^{n} 4^r$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $n+1$ પદો છે,પ્રથમ પદ $1$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $4$ છે.
સરવાળો $= 2^{-n} \cdot \frac{4^{n+1} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^n}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2A$ ગણીએ.
તે જ રીતે,$A^3 = A^2 \cdot A = (2A) \cdot A = 2A^2 = 2(2A) = 2^2 A$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$A^n = 2^{n-1} A = \begin{bmatrix} 2^{n-1} & 2^{n-1} \\ 2^{n-1} & 2^{n-1} \end{bmatrix}$.
તેથી $A^n - I = \begin{bmatrix} 2^{n-1} - 1 & 2^{n-1} \\ 2^{n-1} & 2^{n-1} - 1 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક લેતા: $\det(A^n - I) = (2^{n-1} - 1)^2 - (2^{n-1})^2$.
$= (2^{n-1})^2 - 2 \cdot 2^{n-1} + 1 - (2^{n-1})^2 = 1 - 2 \cdot 2^{n-1} = 1 - 2^n$.
આને $1 - \lambda^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda^n = 2^n$ મળે છે,તેથી $\lambda = 2$.

(D) આપેલ છે કે $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ એક અદિશ શ્રેણિક છે. ધારો કે આ અદિશ શ્રેણિક $K = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ છે.
તેથી $A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}^{-1}$.
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}$ થાય.
આમ,$A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & -2k/3 \\ 0 & k/3 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $|3A| = 108$. $A$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોવાથી,$|3A| = 3^2 |A| = 9|A|$.
તેથી,$9|A| = 108 \Rightarrow |A| = 12$.
આપણા પદ પરથી $|A|$ ની ગણતરી કરતા: $|A| = (k)(k/3) - 0 = k^2/3$.
બંનેને સરખાવતા: $k^2/3 = 12 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$.
$k = 6$ માટે,$A = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી $A^2 = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
$k = -6$ માટે,$A = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$,તેથી $A^2 = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
બંને કિસ્સામાં,$A^2 = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(A - 3I)(A - 5I) = O$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - 8A + 15I = O$ મળે છે.
$A$ નોન-સિંગ્યુલર હોવાથી,આપણે બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ:
$A^{-1}(A^2 - 8A + 15I) = A^{-1}O$
$A - 8I + 15A^{-1} = O$
$A + 15A^{-1} = 8I$.
$\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ સ્વરૂપ મેળવવા માટે,આપણે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગીએ:
$\frac{1}{2}A + \frac{15}{2}A^{-1} = 4I$.
$\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{2}$ અને $\beta = \frac{15}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય:
$D = 0(0 - \sin^2 x) - \cos x(0 - \cos^2 x) - \sin x(\sin^2 x - 0) = 0$
$\Rightarrow \cos^3 x - \sin^3 x = 0$
$\Rightarrow \cos^3 x = \sin^3 x$
$\Rightarrow \tan^3 x = 1$
$x \in [0, 2\pi]$ માટે,$\tan x = 1$ ના ઉકેલો $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{5\pi}{4}$ છે.
તેથી,$S = \{ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \}$.
આપણે $\sum_{x \in S} \tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) + \tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} \right)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = -2 - \sqrt{3}$.
$x = \frac{5\pi}{4}$ માટે,$\tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} \right) = -2 - \sqrt{3}$.
સરવાળો $= (-2 - \sqrt{3}) + (-2 - \sqrt{3}) = -4 - 2\sqrt{3}$.

(A) આપેલ છે $A^2 - 5A + 7I = 0$.
વિધાન-$I$ માટે:
$A^2 - 5A = -7I$
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A(A A^{-1}) - 5(A A^{-1}) = -7(I A^{-1})$
$A(I) - 5(I) = -7 A^{-1}$
$A - 5I = -7 A^{-1}$
$A^{-1} = \frac{1}{7}(5I - A)$.
તેથી,વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$ માટે:
આપણી પાસે $A^2 = 5A - 7I$ છે.
તેથી $A^3 = A(5A - 7I) = 5A^2 - 7A = 5(5A - 7I) - 7A = 25A - 35I - 7A = 18A - 35I$.
હવે,આ કિંમતોને $A^3 - 2A^2 - 3A + I$ માં મૂકતા:
$(18A - 35I) - 2(5A - 7I) - 3A + I$
$= 18A - 35I - 10A + 14I - 3A + I$
$= (18 - 10 - 3)A + (-35 + 14 + 1)I$
$= 5A - 20I$
$= 5(A - 4I)$.
તેથી,વિધાન-$II$ સાચું છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધીએ. લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -4-\lambda & -1 \\ 3 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (-4-\lambda)(1-\lambda) + 3 = -4 + 4\lambda - \lambda + \lambda^2 + 3 = \lambda^2 + 3\lambda - 1 = 0$.
તેથી,$A^2 + 3A - I = 0$.
હવે,આપણે $E = A^{2014}(A^2 - 2A - I)$ પદની કિંમત શોધીએ.
$A^2 = \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 3 \\ -9 & -2 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^2 - 2A - I = \begin{bmatrix} 13 & 3 \\ -9 & -2 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 5 \\ -15 & -5 \end{bmatrix}$.
આ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $(20 \times -5) - (5 \times -15) = -100 + 75 = -25$ છે.
અહીં $|A| = (-4)(1) - (-1)(3) = -1$ હોવાથી,$|A^{2014}| = |A|^{2014} = (-1)^{2014} = 1$.
તેથી,$|A^{2016} - 2A^{2015} - A^{2014}| = |A^{2014}| \times |A^2 - 2A - I| = 1 \times (-25) = -25$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
હવે,ઉચ્ચ ઘાતની ગણતરી કરો:
$A^3 = A^2 \cdot A = -I \cdot A = -A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^4 = (A^2)^2 = (-I)^2 = I$.
વિકલ્પો તપાસો:
$A$. $A^2 + I = -I + I = 0$. $A(A^2 - I) = A(-I - I) = A(-2I) = -2A$. કારણ કે $0 \neq -2A$,આ ખોટું છે.
$B$. $A^4 - I = I - I = 0$. $A^2 + I = -I + I = 0$. આમ $0 = 0$ (સાચું).
$C$. $A^3 + I = -A + I$. $A(A^3 - I) = A(-A - I) = -A^2 - A = I - A$. કારણ કે $-A + I = I - A$,આ સાચું છે.
$D$. $A^3 - I = -A - I$. $A(A - I) = A^2 - A = -I - A$. કારણ કે $-A - I = -I - A$,આ સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ વિધાન સાચું નથી.

(A) આપેલ છે કે $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $B^2 = 0$ છે.
$(I + B)^{50}$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(I + B)^{50} = {^{50}C_0}I^{50} + {^{50}C_1}I^{49}B + {^{50}C_2}I^{48}B^2 + {^{50}C_3}I^{47}B^3 + \dots + {^{50}C_{50}}B^{50}$.
કારણ કે $B^2 = 0$,તેથી તમામ $n \ge 2$ માટે $B^n = 0$ થશે.
તેથી,વિસ્તરણનું સાદું રૂપ આ મુજબ થશે:
$(I + B)^{50} = I + 50B + 0 + 0 + \dots + 0 = I + 50B$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\det[(I + B)^{50} - 50B] = \det[I + 50B - 50B] = \det[I]$.
અહીં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક હોવાથી,$\det[I] = 1$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $f(\theta ) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos \theta & 1 \\ - \sin \theta & 1 & - \cos \theta \\ - 1 & \sin \theta & 1 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(\theta ) = 1(1 - (-\sin \theta \cos \theta )) - \cos \theta (-\sin \theta - \cos \theta ) + 1(-\sin^2 \theta + 1)$
$f(\theta ) = 1 + \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + 1$
$f(\theta ) = 2 + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos 2\theta$
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta ) = 2 + \sin 2\theta + \cos 2\theta$.
પદાવલિ $a \sin x + b \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{a^2 + b^2}$ હોય છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = 1$ છે,તેથી $\sin 2\theta + \cos 2\theta$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $A = 2 + \sqrt{2}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $B = 2 - \sqrt{2}$ મળે.
આમ,$(A, B) = (2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2})$.

(D) આપણને નિશ્ચાયક ${\Delta _r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} r&{2r - 1}&{3r - 2} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$ આપેલ છે.
આપણે $\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} $ ની ગણતરી કરવાની છે. નિશ્ચાયકની હારના સંદર્ભમાં સરવાળાનો ઓપરેટર રેખીય હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} r }&{\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {2r - 1} \right)} }&{\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {3r - 2} \right)} } \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$.
સરવાળાની ગણતરી કરતા:
$1. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} r = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}$
$2. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {2r - 1} \right)} = 2\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} - \left( {n - 1} \right) = n(n-1) - (n-1) = {(n-1)^2}$
$3. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {3r - 2} \right)} = 3\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} - 2(n-1) = \frac{{3n(n-1) - 4(n-1)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}$
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}} \end{array}} \right|$.
અહીં પ્રથમ હાર $(R_1)$ અને ત્રીજી હાર $(R_3)$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,આ મૂલ્ય $a$ અને $n$ બંનેથી સ્વતંત્ર છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \alpha \gamma \\ \beta \delta & 0 \end{bmatrix}$.
$BA$ ની ગણતરી કરતા:
$BA = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \beta \\ \delta \alpha & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$AB - BA = \begin{bmatrix} 0 & \alpha \gamma - \beta \gamma \\ \beta \delta - \alpha \delta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \gamma(\alpha - \beta) \\ \delta(\beta - \alpha) & 0 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|AB - BA| = 0 - (\gamma(\alpha - \beta) \cdot \delta(\beta - \alpha)) = \gamma \delta (\alpha - \beta)^2$.
$AB - BA$ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોવા માટે,નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ. આ $\alpha \neq \beta$ અને $\gamma \delta \neq 0$ પર આધાર રાખે છે. જો આ શરતો પૂરી ન થાય,તો તે હંમેશા વ્યસ્ત શ્રેણિક ન હોઈ શકે. જો કે,આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત સંદર્ભમાં જ્યાં $\alpha \neq \beta$ અને $\gamma, \delta \neq 0$ હોય,વિધાન $1$ સાચું ગણાય છે.
વિધાન $2$ માટે: $AB - BA = \begin{bmatrix} 0 & \gamma(\alpha - \beta) \\ -\delta(\alpha - \beta) & 0 \end{bmatrix}$. આ શ્રેણિક એકમ શ્રેણિક $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ બને તે માટે તેના વિકર્ણ ઘટકો $1$ હોવા જોઈએ. અહીં વિકર્ણ ઘટકો $0$ હોવાથી,તે ક્યારેય એકમ શ્રેણિક બની શકે નહીં. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & ab & ac \\ ab & c^2 + a^2 & bc \\ ac & bc & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_1$ ને $a$ વડે,$C_2$ ને $b$ વડે અને $C_3$ ને $c$ વડે ગુણતા અને નિશ્ચાયકને $abc$ વડે ભાગતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a(b^2 + c^2) & ab^2 & ac^2 \\ a^2b & b(c^2 + a^2) & bc^2 \\ a^2c & b^2c & c(a^2 + b^2) \end{array} \right|$.
$R_1, R_2, R_3$ માંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & b^2 & c^2 \\ a^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ a^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & b^2 & c^2 \\ a^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ a^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 - C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ -2c^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ -2b^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right| = -2 \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ c^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ b^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = -2 \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ c^2 & a^2 & 0 \\ b^2 & 0 & a^2 \end{array} \right| = -2 [ -b^2(c^2 a^2) + c^2(-a^2 b^2) ] = -2 [-a^2 b^2 c^2 - a^2 b^2 c^2] = 4a^2 b^2 c^2$.
તેથી $\Delta = k a^2 b^2 c^2$ હોવાથી $k = 4$ મળે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $A = \begin{vmatrix} -2 & 4+d & \sin \theta - 2 \\ 1 & \sin \theta + 2 & d \\ 5 & 2\sin \theta - d & -\sin \theta + 2 + 2d \end{vmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\det(A) = (d+2)^2 - \sin^2 \theta$ મળે છે.
$\det(A)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta \in [0, 1]$ છે.
તેથી,$\min(\det(A)) = (d+2)^2 - 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\min(\det(A)) = 8$,તેથી $(d+2)^2 - 1 = 8 \implies (d+2)^2 = 9$ મળે.
આથી $d+2 = 3$ અથવા $d+2 = -3$ થાય.
તેથી $d = 1$ અથવા $d = -5$ મળે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & b & 1 \\ b & b^2+1 & b \\ 1 & b & 2 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(A) = 2((b^2+1)(2) - b^2) - b(b(2) - b) + 1(b^2 - (b^2+1))$
$\det(A) = 2(2b^2 + 2 - b^2) - b(2b - b) + 1(b^2 - b^2 - 1)$
$\det(A) = 2(b^2 + 2) - b(b) - 1$
$\det(A) = 2b^2 + 4 - b^2 - 1 = b^2 + 3$.
હવે,$b > 0$ માટે $\frac{\det(A)}{b}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધીએ:
$\frac{\det(A)}{b} = \frac{b^2 + 3}{b} = b + \frac{3}{b}$.
$b > 0$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{b + \frac{3}{b}}{2} \ge \sqrt{b \cdot \frac{3}{b}}$
$b + \frac{3}{b} \ge 2\sqrt{3}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2\sqrt{3}$ છે.

(B) ધારો કે $G.P.$ એ $a_n = a \cdot x^{n-1}$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $x > 0$.
ત્યારે $\log_e(a_n^r a_{n+1}^k) = r \log_e(a_n) + k \log_e(a_{n+1}) = r \log_e(a \cdot x^{n-1}) + k \log_e(a \cdot x^n) = r(\log_e a + (n-1)\log_e x) + k(\log_e a + n \log_e x) = (r+k)\log_e a + (r(n-1) + kn)\log_e x$.
ધારો કે $A = \log_e a$ અને $B = \log_e x$. તો પદ $(r+k)A + (r(n-1) + kn)B$ છે.
નોંધો કે નિશ્ચાયકના પદો $n$ માં સુરેખ અભિવ્યક્તિઓ છે. ખાસ કરીને,ધારો કે $f(n) = c_1 n + c_2$.
નિશ્ચાયકની દરેક હાર સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી (જેમ $n$ માં $1$ નો વધારો થાય છે,તેમ કિંમત $rB + kB$ જેટલી બદલાય છે),હાર સુરેખ રીતે આધારિત છે.
ખાસ કરીને,$R_2 - R_1 = R_3 - R_2$,જે સૂચવે છે કે $R_1 - 2R_2 + R_3 = 0$.
હાર સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,કોઈપણ $r, k \in N$ માટે નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ રહે છે.
તેથી,સમૂહ $S$ માં તમામ જોડીઓ $(r, k)$ નો સમાવેશ થાય છે જ્યાં $r, k \in N$,જેનો અર્થ છે કે $S$ માં અનંત ઘટકો છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ ક્રમના શ્રેણિકો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(ABA^T) = \det(A) \det(B) \det(A^T) = \det(A)^2 \det(B) = 8$.
તેમજ,$\det(AB^{-1}) = \det(A) \det(B)^{-1} = \frac{\det(A)}{\det(B)} = 8$,જેનો અર્થ છે કે $\det(A) = 8 \det(B)$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\det(A) = 8 \det(B)$ મૂકતા: $(8 \det(B))^2 \det(B) = 8 \Rightarrow 64 \det(B)^3 = 8 \Rightarrow \det(B)^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow \det(B) = \frac{1}{2}$.
તેથી $\det(A) = 8 \times \frac{1}{2} = 4$.
આપણે $\det(BA^{-1}B^T) = \det(B) \det(A)^{-1} \det(B^T) = \frac{\det(B)^2}{\det(A)}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(1/2)^2}{4} = \frac{1/4}{4} = \frac{1}{16}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\alpha) & -\sin(n\alpha) \\ \sin(n\alpha) & \cos(n\alpha) \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{32} = \begin{bmatrix} \cos(32\alpha) & -\sin(32\alpha) \\ \sin(32\alpha) & \cos(32\alpha) \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $A^{32} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\cos(32\alpha) = 0$ અને $\sin(32\alpha) = 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $32\alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$n=0$ માટે,$32\alpha = \frac{\pi}{2}$,જે આપણને $\alpha = \frac{\pi}{64}$ આપે છે.

(D) આપેલ છે કે $2, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી આપણે $b = 2 + d$ અને $c = 2 + 2d$ લખી શકીએ,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & b & c \\ 4 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & b-2 & c-2 \\ 4 & b^2-4 & c^2-4 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\det(A) = (b-2)(c^2-4) - (c-2)(b^2-4)$
$= (b-2)(c-2)(c+2) - (c-2)(b-2)(b+2)$
$= (b-2)(c-2)(c+2 - b - 2) = (b-2)(c-2)(c-b)$
$b = 2+d$ અને $c = 2+2d$ મૂકતા:
$\det(A) = (d)(2d)(2d - d) = (d)(2d)(d) = 2d^3$
આપેલ છે કે $\det(A) \in [2, 16]$,તેથી $2 \le 2d^3 \le 16$,જેનો અર્થ છે $1 \le d^3 \le 8$,તેથી $1 \le d \le 2$.
કારણ કે $c = 2 + 2d$,તેથી $2(1) + 2 \le c \le 2(2) + 2$,જે $4 \le c \le 6$ આપે છે.
આમ,$c \in [4, 6]$.

(D) આપેલ છે કે $A^T A = 3I_3$.
$A^T A$ ની ગણતરી કરતા:
$A^T A = \begin{bmatrix} 0 & 2y & 1 \\ 2x & y & -1 \\ 2x & -y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2x & 2x \\ 2y & y & -y \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4y^2+1 & 2y^2-1 & -2y^2+1 \\ 2y^2-1 & 4x^2+y^2+1 & 4x^2-y^2-1 \\ -2y^2+1 & 4x^2-y^2-1 & 4x^2+y^2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
ઘટકોને સરખાવતા:
$1$) $4y^2 + 1 = 3 \Rightarrow 4y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$) $4x^2 + y^2 + 1 = 3 \Rightarrow 4x^2 + \frac{1}{2} + 1 = 3 \Rightarrow 4x^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow x^2 = \frac{3}{8} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$.
$3$) $4x^2 - y^2 - 1 = 0 \Rightarrow 4(\frac{3}{8}) - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 0$ (સંતોષાય છે).
$4$) $2y^2 - 1 = 0 \Rightarrow 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0$ (સંતોષાય છે).
$x = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$ અને $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$(x, y)$ ની $2 \times 2 = 4$ શક્ય જોડીઓ મળે છે.
શરત $x \neq y$ તપાસતા: $\sqrt{\frac{3}{8}} \approx 0.612$ અને $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ હોવાથી,બધી $4$ જોડીઓ $x \neq y$ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,આવા $4$ મેટ્રિક્સ શક્ય છે.

(D) પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયક ${\Delta _1}$ નું વિસ્તરણ કરતા:
${\Delta _1} = x(-x^2 - 1) - \sin \theta (x \sin \theta - \cos \theta ) + \cos \theta (\sin \theta + x \cos \theta )$
$= -x^3 - x - x \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta + x \cos^2 \theta$
$= -x^3 - x + x(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta ) + 2 \sin \theta \cos \theta$
$= -x^3 - x + x \cos 2\theta + \sin 2\theta$
તે જ રીતે,${\Delta _2}$ માટે,આપણે ${\Delta _1}$ ના પદમાં $\theta$ ની જગ્યાએ $2\theta$ મૂકીએ છીએ:
${\Delta _2} = -x^3 - x + x \cos 4\theta + \sin 4\theta$
આમ,સરવાળો ${\Delta _1} + {\Delta _2} = -2x^3 - 2x + x(\cos 2\theta + \cos 4\theta ) + (\sin 2\theta + \sin 4\theta )$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+x+1=0$ ના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^{2}$ છે. ધારો કે $\alpha = \omega$. તો $\alpha^{2} = \omega^{2}$ અને $\alpha^{4} = \omega^{4} = \omega$ થાય.
શ્રેણિક $A$ એ $A = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix}$ બને છે.
$A^{2} = A \cdot A = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ મળે છે.
હવે,$A^{4} = A^{2} \cdot A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_{3}$ થાય.
તેથી,$A^{4} = I_{3}$ હોવાથી,$A^{31} = A^{28} \cdot A^{3} = (A^{4})^{7} \cdot A^{3} = I_{3}^{7} \cdot A^{3} = A^{3}$ થાય.

(N/A) સૌ પ્રથમ,આપણે $A^{2} = A \cdot A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,આપણે $A^{3} = A \cdot A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix}$
હવે,આ કિંમતોને $A^{3} - 23A - 40I$ પદમાં મૂકીએ:
$A^{3} - 23A - 40I = \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix} - 23 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} - 40 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -23 & -46 & -69 \\ -69 & 46 & -23 \\ -92 & -46 & -23 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -40 & 0 & 0 \\ 0 & -40 & 0 \\ 0 & 0 & -40 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 63-23-40 & 46-46+0 & 69-69+0 \\ 69-69+0 & -6+46-40 & 23-23+0 \\ 92-92+0 & 46-46+0 & 63-23-40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.

સૌ પ્રથમ,$A^{2} = AA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0+4 & 0+0+0 & 2+0+6 \\ 0+0+2 & 0+4+0 & 0+2+3 \\ 2+0+6 & 0+0+0 & 4+0+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{bmatrix}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A^{3} = A^{2}A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5+0+16 & 0+0+0 & 10+0+24 \\ 2+0+10 & 0+8+0 & 4+4+15 \\ 8+0+26 & 0+0+0 & 16+0+39 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,આ કિંમતોને સમીકરણ $A^{3} - 6A^{2} + 7A + 2I$ માં મૂકતા:
$= \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 30 & 0 & 48 \\ 12 & 24 & 30 \\ 48 & 0 & 78 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 & 14 \\ 0 & 14 & 7 \\ 14 & 0 & 21 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 21-30+7+2 & 0-0+0+0 & 34-48+14+0 \\ 12-12+0+0 & 8-24+14+2 & 23-30+7+0 \\ 34-48+14+0 & 0-0+0+0 & 55-78+21+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.

$L.H.S. = I+A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix} \quad \dots (1)$
$R.H.S. = (I-A) \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
$= \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 & \tan \frac{\alpha}{2} \\ -\tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos \alpha + \sin \alpha \tan \frac{\alpha}{2} & -\sin \alpha + \cos \alpha \tan \frac{\alpha}{2} \\ -\cos \alpha \tan \frac{\alpha}{2} + \sin \alpha & \sin \alpha \tan \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha \end{bmatrix}$
નિત્યસમ $\cos \alpha = \frac{1-\tan^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $t = \tan \frac{\alpha}{2}$.
શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \frac{1-t^2}{1+t^2} + \frac{2t^2}{1+t^2} & \frac{-2t}{1+t^2} + \frac{t(1-t^2)}{1+t^2} \\ \frac{-t(1-t^2)}{1+t^2} + \frac{2t}{1+t^2} & \frac{2t^2}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix} \quad \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$L.H.S. = R.H.S.$

It is given that $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$

To show:  $\mathrm{P}(n)$ $:(a I+b A)^{n}=a^{n} I+n a^{n-1} b A, n \in N$

We shall prove the result by using the principal of mathematical induction. For $n=1,$ we have:

$P(1):(a I+b A)=a I+b a^{\circ} A=a I+b A$

Therefore, the result is true for $n=1$

Let the result be true for $n=k$

That is,

$P(k):(a I+{b} A)^{k}=a^{k} I+k a^{k \cdot \cdot} {b} A$

Now, we prove that the result is true for $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{k}+1$ Consider

$(a I+b A)^{k-1} =(a I+b A)^{k}(a I+b A)$

$=\left(a^{k} I+k a^{k-1} b A\right)(a I+b A)$

$=a^{k-1}+k a^{k} b A I+a^{k} b I A+k a^{k-1} b^{2} A^{2}$

$=a^{k-1} I+(k+1) a^{k} b A+k a^{k-1} b^{2} A^{2} $        .......... $(1)$

Now,      $A^{2}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]=0$

From $(1)$, we have :

$(a I+b A)^{k+1}=a^{k+1}+(k+1) a^{k} b A+0$

$=a^{k+1}+(k+1) a^{k} b A$

Therefore, the result is true for $n=k+1$.

Thus, by the principal of mathematical induction, we have:

$(a I+b A)^{n}=a^{n} I+n a^{n-1} b A$ where $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right], n \in \mathrm{N}$

(N/A) આપેલ છે કે $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવું છે કે $P(n): A^{n}=\begin{bmatrix} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{bmatrix}$ દરેક $n \in N$ માટે સત્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$A^{1} = \begin{bmatrix} 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = A$. આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $A^{k} = \begin{bmatrix} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{bmatrix}$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$A^{k+1} = A \cdot A^{k} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા,પરિણામી શ્રેણિકનો દરેક ઘટક $(1 \cdot 3^{k-1} + 1 \cdot 3^{k-1} + 1 \cdot 3^{k-1}) = 3 \cdot 3^{k-1} = 3^{k} = 3^{(k+1)-1}$ થશે.
આમ,$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \\ 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \\ 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \end{bmatrix}$.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,આ પરિણામ દરેક $n \in N$ માટે સાચું છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $[x \ -5 \ -1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = 0$
પ્રથમ,પ્રથમ બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરો:
$[x(1) + (-5)(0) + (-1)(2) \quad x(0) + (-5)(2) + (-1)(0) \quad x(2) + (-5)(1) + (-1)(3)]$
$= [x - 2 \quad -10 \quad 2x - 8]$
હવે,આ પરિણામનો ત્રીજા શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરો:
$[x - 2 \quad -10 \quad 2x - 8]\begin{bmatrix} x \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = 0$
$(x - 2)(x) + (-10)(4) + (2x - 8)(1) = 0$
$x^2 - 2x - 40 + 2x - 8 = 0$
$x^2 - 48 = 0$
$x^2 = 48$
$x = \pm \sqrt{48} = \pm 4 \sqrt{3}$

(D) આપેલ છે કે $A^{2} = A$.
$(I + A)^{3} - 7A$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા $(I + A)^{3} = I^{3} + 3I^{2}A + 3IA^{2} + A^{3}$ મળે છે:
$(I + A)^{3} - 7A = I + 3A + 3A^{2} + A^{3} - 7A$
કારણ કે $A^{2} = A$,તેથી $A^{3} = A^{2} \cdot A = A \cdot A = A^{2} = A$ થાય.
$A^{2} = A$ અને $A^{3} = A$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= I + 3A + 3(A) + A - 7A$
$= I + 3A + 3A + A - 7A$
$= I + 7A - 7A$
$= I$
તેથી,$(I + A)^{3} - 7A = I$.

(A) દ્વિતીય ક્રમનો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક ઘટક $a, b, c, d \in \{0, 1\}$ છે.
કુલ શક્ય નિશ્ચાયકોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $ad - bc$ છે.
આપણે $ad - bc > 0$ જોઈએ છે,જેનો અર્થ છે $ad > bc$.
$a, b, c, d \in \{0, 1\}$ હોવાથી,બે ઘટકોનો ગુણાકાર માત્ર $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે.
$ad > bc$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $ad = 1$ અને $bc = 0$ હોય.
$ad = 1$ નો અર્થ છે $a = 1$ અને $d = 1$.
$bc = 0$ નો અર્થ છે કે $b$ અથવા $c$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $0$ હોવું જોઈએ.
$(b, c)$ ની શક્ય જોડીઓ જે $bc = 0$ બનાવે છે તે $(0, 0), (0, 1), (1, 0)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ કિસ્સાઓ છે:
$1$. $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 0(0) = 1 > 0$
$2$. $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 0(1) = 1 > 0$
$3$. $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 1(0) = 1 > 0$
કુલ $3$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{3}{16}$ છે.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$.
$AA^{T}$ ના વિકર્ણ ઘટકો એ $A$ ની દરેક હારના ઘટકોના વર્ગોનો સરવાળો છે.
તેથી,વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}+i^{2} = 9$ થાય,જ્યાં $a, b, c, d, e, f, g, h, i \in \{0, 1, 2, 3\}$.
આપણે એવા ઘટકોની સંખ્યા શોધવાની છે જેમના વર્ગોનો સરવાળો $9$ થાય.
$1$. નવ $1$s: $\frac{9!}{9!} = 1$
$2$. એક $3$ $(3^2=9)$: $\frac{9!}{1!8!} = 9$
$3$. એક $2$ $(2^2=4)$ અને પાંચ $1$s $(1^2=1)$: $\frac{9!}{1!5!3!} = 504$
$4$. બે $2$s $(2^2=4)$ અને એક $1$ $(1^2=1)$: $\frac{9!}{2!1!6!} = 252$
કુલ સંખ્યા $= 1 + 9 + 504 + 252 = 766$.

(C) ધારો કે $M = (P^{-1}AP - I)^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(P^{-1}AP - I) = \det(P^{-1}(A - I)P) = \det(P^{-1}) \det(A - I) \det(P) = \det(A - I)$.
તેથી,$\det(M) = (\det(A - I))^{2}$.
હવે,$A - I$ ની ગણતરી કરીએ:
$A - I = \begin{bmatrix} 1 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega-1 & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega \end{bmatrix}$.
ગુણધર્મ $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\omega - 1 = \omega^{2}$ મળે.
$A - I = \begin{bmatrix} 1 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & \omega^{2} & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક શોધતા:
$\det(A - I) = 1(\omega^{2}(-\omega) - (1)(-\omega)) - 7((-1)(-\omega) - 0) + \omega^{2}((-1)(-\omega) - 0)$
$= 1(-\omega^{3} + \omega) - 7\omega + \omega^{3} = -1 + \omega - 7\omega + 1 = -6\omega$.
આમ,$\det(M) = (-6\omega)^{2} = 36\omega^{2}$.
આપેલ છે કે $\det(M) = \alpha \omega^{2}$,તેથી $\alpha = 36$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin^{2} \alpha & 0 \\ 0 & \sin^{2} \alpha \end{bmatrix} = \sin^{2} \alpha I$.
હવે,આ કિંમત નિશ્ચાયકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\det\left(A^{2} - \frac{1}{2} I\right) = \det\left(\sin^{2} \alpha I - \frac{1}{2} I\right) = \det\left(\left(\sin^{2} \alpha - \frac{1}{2}\right) I\right) = 0$.
અહીં $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક હોવાથી,$\det(kI) = k^{2} \det(I) = k^{2}$ થાય.
તેથી,$\left(\sin^{2} \alpha - \frac{1}{2}\right)^{2} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin^{2} \alpha = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,$\alpha$ ની એક શક્ય કિંમત $\frac{\pi}{4}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A^{T} A = I$,તેથી શ્રેણિક $A$ એ લંબકોણીય (orthogonal) શ્રેણિક છે.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$ માટે,$A^{T} A = I$ ની શરત મુજબ:
$a^2 + b^2 + c^2 = 1$
$ab + bc + ca = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 1 + 2(0) = 1$.
તેથી,$a+b+c = \pm 1$.
બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca))$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $2 - 3abc = (\pm 1)(1 - 0) = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: $2 - 3abc = 1 \Rightarrow 3abc = 1 \Rightarrow abc = \frac{1}{3}$.
કિસ્સો $2$: $2 - 3abc = -1 \Rightarrow 3abc = 3 \Rightarrow abc = 1$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,શક્ય કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $Ax_{1} = b_{1}$,$Ax_{2} = b_{2}$,અને $Ax_{3} = b_{3}$.
આ સમીકરણોને એક મેટ્રિક્સ સમીકરણમાં જોડી શકાય છે: $A[x_{1} \ x_{2} \ x_{3}] = [b_{1} \ b_{2} \ b_{3}]$.
ધારો કે $X = [x_{1} \ x_{2} \ x_{3}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = [b_{1} \ b_{2} \ b_{3}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી $AX = B$,જેનો અર્થ છે કે $|A||X| = |B|$.
$X$ નો નિશ્ચાયક શોધતા: $|X| = 1(2 \times 1 - 0 \times 1) = 2$.
$B$ નો નિશ્ચાયક શોધતા: $|B| = 1(2 \times 2 - 0 \times 0) = 4$.
આમ,$|A| \times 2 = 4$,જે આપણને $|A| = 4/2 = 2$ આપે છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & i \sin \theta \\ i \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
આ પ્રકારના શ્રેણિક માટે,$A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n\theta & i \sin n\theta \\ i \sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix}$ થાય.
$n = 5$ માટે,$A^{5} = \begin{bmatrix} \cos 5\theta & i \sin 5\theta \\ i \sin 5\theta & \cos 5\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
તેથી,$a = \cos 5\theta$,$b = i \sin 5\theta$,$c = i \sin 5\theta$,$d = \cos 5\theta$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$a^{2} + b^{2} = \cos^{2} 5\theta + (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta - \sin^{2} 5\theta = \cos 10\theta = \cos(10 \times \frac{\pi}{24}) = \cos(\frac{5\pi}{12}) = \cos 75^{\circ}$. કારણ કે $0 \leq \cos 75^{\circ} \leq 1$,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$a^{2} - d^{2} = \cos^{2} 5\theta - \cos^{2} 5\theta = 0$. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$a^{2} - b^{2} = \cos^{2} 5\theta - (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta + \sin^{2} 5\theta = 1$. વિકલ્પ $C$ માં $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
$a^{2} - c^{2} = \cos^{2} 5\theta - (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta + \sin^{2} 5\theta = 1$. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
તેથી,જે વિધાન સાચું નથી તે $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1-\sin^2 \theta & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1-\cos^2 \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2 \end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1 & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1 & 1 \\ 12 & -2 & -2 \end{array}\right|$.
હવે $C_3 \rightarrow C_3 + C_2$ લાગુ પાડતા:
$f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1 & 0 \\ -\cos^2 \theta & -1 & 0 \\ 12 & -2 & -4 \end{array}\right|$.
$C_3$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(\theta) = -4 [(-\sin^2 \theta)(-1) - (-1)(-\cos^2 \theta)] = -4 [\sin^2 \theta - \cos^2 \theta] = -4 [-\cos 2\theta] = 4 \cos 2\theta$.
આપેલ છે કે $\theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$,તેથી $2\theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$.
જ્યારે $2\theta \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ હોય,ત્યારે $\cos 2\theta$ ની કિંમત $-1$ થી $0$ ની વચ્ચે હોય છે.
તેથી,$f(\theta) = 4 \cos 2\theta$ ની કિંમત $4(-1) = -4$ થી $4(0) = 0$ સુધી મળે છે.
આમ,$m = -4$ અને $M = 0$,તેથી ક્રમયુક્ત જોડ $(m, M) = (-4, 0)$ થાય.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^4 = \begin{bmatrix} \cos 4\theta & \sin 4\theta \\ -\sin 4\theta & \cos 4\theta \end{bmatrix}$.
$B = A + A^4 = \begin{bmatrix} \cos \theta + \cos 4\theta & \sin \theta + \sin 4\theta \\ -(\sin \theta + \sin 4\theta) & \cos \theta + \cos 4\theta \end{bmatrix}$.
ધારો કે $x = \cos \theta + \cos 4\theta$ અને $y = \sin \theta + \sin 4\theta$. તો $B = \begin{bmatrix} x & y \\ -y & x \end{bmatrix}$.
$\det(B) = x^2 + y^2 = (\cos \theta + \cos 4\theta)^2 + (\sin \theta + \sin 4\theta)^2$.
$\det(B) = \cos^2 \theta + \cos^2 4\theta + 2\cos \theta \cos 4\theta + \sin^2 \theta + \sin^2 4\theta + 2\sin \theta \sin 4\theta$.
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ અને $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\det(B) = 1 + 1 + 2\cos(4\theta - \theta) = 2 + 2\cos 3\theta$.
$\theta = \frac{\pi}{5}$ આપેલ હોવાથી,$\det(B) = 2 + 2\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)$.
કારણ કે $\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \cos(108^\circ) = -\sin(18^\circ) = -\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)$.
$\det(B) = 2 + 2\left(-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) = 2 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{4 - \sqrt{5} + 1}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$.
$\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$\det(B) = \frac{5 - 2.236}{2} = \frac{2.764}{2} = 1.382$.
આ કિંમત $(1, 2)$ અંતરાલમાં આવે છે.

(A) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2}$ અને $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{3}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x & 1+\sin 2 x \end{array}\right|$
પ્રથમ હારના આધારે વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -1(0 - (-\sin ^{2} x)) - 1(1 + \sin 2 x + \cos ^{2} x) + 0$
$\Delta = -\sin ^{2} x - 1 - \sin 2 x - \cos ^{2} x$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{2} x + \cos ^{2} x = 1$,તેથી:
$\Delta = -1 - 1 - \sin 2 x = -2 - \sin 2 x$
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \sin 2 x \leq 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત $m$ માટે,$\sin 2 x = 1$,તેથી $m = -2 - 1 = -3$.
મહત્તમ કિંમત $M$ માટે,$\sin 2 x = -1$,તેથી $M = -2 - (-1) = -1$.
આમ,$(m, M) = (-3, -1)$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = (2)(-1) - (3)(0) = -2$.
પ્રથમ,આપણે $\det(A^4) = |A|^4 = (-2)^4 = 16$ ગણીએ છીએ.
આગળ,$\operatorname{adj}(2A)$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $2A = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$,તેનો નિશ્ચાયક $|2A| = 2^2 |A| = 4(-2) = -8$ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$\operatorname{adj}(2A) = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
નોંધો કે $\operatorname{adj}(2A) = -2 \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીને,$n=2$ માટે,$\operatorname{adj}(2A) = 2 \operatorname{adj}(A) = 2 \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
$A$ ના આઈગન મૂલ્યો $\lambda_1 = 2$ અને $\lambda_2 = -1$ છે. $A^{10}$ ના આઈગન મૂલ્યો $2^{10}$ અને $(-1)^{10} = 1$ છે.
$\operatorname{adj}(2A)$ ના આઈગન મૂલ્યો $2 \times (-1) = -2$ અને $2 \times 2 = 4$ છે. તેથી,$(\operatorname{adj}(2A))^{10}$ ના આઈગન મૂલ્યો $(-2)^{10} = 2^{10}$ અને $4^{10} = 2^{20}$ છે.
કારણ કે $A^{10}$ અને $(\operatorname{adj}(2A))^{10}$ બંનેમાં $2^{10}$ આઈગન મૂલ્ય સમાન છે,શ્રેણિક $A^{10} - (\operatorname{adj}(2A))^{10}$ નું ઓછામાં ઓછું એક આઈગન મૂલ્ય $2^{10} - 2^{10} = 0$ થાય છે.
તેથી,$\det(A^{10} - (\operatorname{adj}(2A))^{10}) = 0$.
અંતે,જરૂરી કિંમત $16 + 0 = 16$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x\end{array}\right|=0$.
હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ લાગુ પાડતા:
$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ હોવાથી,પ્રથમ હારના દરેક સ્તંભનો સરવાળો $1 + \sin^{2} x + \cos^{2} x + 4 \sin 2x = 2 + 4 \sin 2x$ થાય છે.
$(2 + 4 \sin 2x)$ સામાન્ય લેતા:
$(2 + 4 \sin 2x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right| = 0$.
$C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ લાગુ પાડતા:
$(2 + 4 \sin 2x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ \cos ^{2} x & 1 & 0 \\ 4 \sin 2 x & 0 & 1 \end{array}\right| = 0$.
આથી $(2 + 4 \sin 2x)(1) = 0$,એટલે કે $\sin 2x = -\frac{1}{2}$.
$0 < x < \pi$ માટે,$0 < 2x < 2\pi$ થાય.
અંતરાલ $(0, 2\pi)$ માં $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ માટે $2x$ ની કિંમતો $2x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ અને $2x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ છે.
તેથી,$x = \frac{7\pi}{12}$ અને $x = \frac{11\pi}{12}$.