Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Gujarati

(B) $I$. સાચું. એક ત્રિકોણ $T_1$ લો જેની બાજુઓ $0.9, 0.9, 0.9 \text{ cm}$ (સમબાજુ) હોય,ક્ષેત્રફળ $\approx 0.35 \text{ cm}^2$. એક ત્રિકોણ $T_2$ લો જેનો પાયો $20 \text{ m}$ અને વેધ $10^{-10} \text{ cm}$ હોય. $T_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2000 \text{ cm} \times 10^{-10} \text{ cm} = 10^{-7} \text{ cm}^2$. $0.35 > 10^{-7}$ હોવાથી,વિધાન સાચું છે.
$II$. ધારો કે $a = \frac{1}{x-y}, b = \frac{1}{y-z}, c = \frac{1}{z-x}$. નોંધો કે $a+b+c = 0$. આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0$. આમ $a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)$. આપેલ સમીકરણ દાવો કરે છે કે $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 = 0$,જે ખોટું છે. તેથી,$II$ એ $INCORRECT$ છે.
$III$. ધારો કે $a = \log_3 x, b = \log_4 x, c = \log_5 x$. સમીકરણ $abc = ab+bc+ca$ છે. આ $1/c + 1/a + 1/b = 1$ માં પરિણમે છે. $\log_x 5 + \log_x 3 + \log_x 4 = 1 \implies \log_x 60 = 1 \implies x = 60$. $x=1$ પણ ઉકેલ છે. વિધાન કહે છે "માત્ર એક",પરંતુ $x=1$ અને $x=60$ બંને ઉકેલ છે. તેથી,$III$ એ $INCORRECT$ છે.
$IV$. $12$ ના અવયવો $(1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1)$ છે. આવી $6$ કક્ષાઓ શક્ય છે. આ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $II$ અને $III$ $INCORRECT$ છે. જવાબ $B$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $D$ છે. $R_1$ ને $x$ વડે,$R_2$ ને $y$ વડે અને $R_3$ ને $z$ વડે ગુણતા:
$D = \frac{1}{xyz} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} + x}&{{x^3}y}&{{x^3}z}\\{x{y^3}}&{{y^4} + y}&{{y^3}z}\\{x{z^3}}&{y{z^3}}&{{z^4} + z}\end{array}} \right| = 11$
$C_1, C_2, C_3$ માંથી અનુક્રમે $x, y, z$ સામાન્ય લેતા:
$D = \frac{xyz}{xyz} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 1}&{{x^3}}&{{x^3}}\\{{y^3}}&{{y^3} + 1}&{{y^3}}\\{{z^3}}&{{z^3}}&{{z^3} + 1}\end{array}} \right| = 11$
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$D = (x^3 + y^3 + z^3 + 1) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{{y^3}}&{{y^3} + 1}&{{y^3}}\\{{z^3}}&{{z^3}}&{{z^3} + 1}\end{array}} \right| = 11$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(x^3 + y^3 + z^3 + 1)(1) = 11$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^3 + y^3 + z^3 = 10$.
કારણ કે $x, y, z$ ધન પૂર્ણાંકો છે,શક્ય ઉકેલો $(x, y, z)$ એ $(2, 1, 1)$ ના ક્રમચયો છે.
આ ઉકેલો $(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)$ છે.
આમ,આવા કુલ $3$ ઉકેલો મળે છે.

(D) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $D_1 + D_2 = 0$ છે.
નોંધો કે $D_2$ એ નિશ્ચાયક $D_3$ નો પરિવર્તિત (transpose) છે,જ્યાં $D_3 = \left| \begin{array}{ccc} (1+x)^2 & (1-x)^2 & 1-2x \\ 2x+1 & 3x & 3x-2 \\ x+1 & 2x & 2x-3 \end{array} \right|$ છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય પરિવર્તન કરવાથી બદલાતું નથી,તેથી $D_2 = D_3$.
$D_1$ અને $D_2$ નો સરવાળો કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે નિશ્ચાયકોનો સરવાળો નોંધપાત્ર રીતે સરળ બને છે.
સંયુક્ત નિશ્ચાયકમાં $C_1 \rightarrow C_1 + C_2$ પ્રક્રિયા કરતા,પરિણામી નિશ્ચાયક તમામ $x$ માટે શૂન્ય થાય છે.
આમ,સમીકરણ $0 = 0$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક અને સંકર કિંમતો માટે સાચું છે.
તેથી,સમીકરણને અનંત ઉકેલો છે.

(A) પ્રથમ,ગુણાકાર $BC$ ની ગણતરી કરો:
$BC = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-8 & -12+12 \\ 6-6 & -8+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
કારણ કે $BC = I$,તેથી કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $(BC)^n = I^n = I$ થાય.
આપેલ શ્રેણી $S = Tr(A) + Tr\left( \frac{AI}{2} \right) + Tr\left( \frac{AI^2}{4} \right) + Tr\left( \frac{AI^3}{8} \right) + \dots$ છે.
$S = Tr(A) + \frac{1}{2} Tr(A) + \frac{1}{4} Tr(A) + \frac{1}{8} Tr(A) + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = Tr(A)$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{Tr(A)}{1 - 1/2} = 2 Tr(A)$ થાય.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $Tr(A) = 2 + 1 = 3$.
તેથી,$S = 2(3) = 6$.

(D) પ્રથમ,આપણે લક્ષની કિંમતો શોધીએ:
$a = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x \ln x} = 2$.
$b = \lim_{x \to 0} \frac{x(x^2 - 16)}{x(4 + x)} = -4$.
$c = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \sin x)}{x} = 1$.
$d = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)^3}{3(\sin(x + 1) - (x + 1))} = -2$.
આમ,શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ મળે છે.
હવે $A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^2 = O$ હોવાથી,આ શ્રેણિક શૂન્યઘાતી (Nilpotent) છે.

(D) $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ ધારો. તેથી $a_n = a_1 + (n-1)d$.
શ્રેણિક $A$ માટે,$|A| = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ a_5 & a_6 & a_7 \end{vmatrix}$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા,આપણને $R_2 = (3d, 3d, 3d)$ અને $R_3 = (d, d, d)$ મળે છે.
$R_2 = 3R_3$ હોવાથી,હાર સુરેખ રીતે આધારિત છે,તેથી $|A| = 0$. આમ,$A$ સિંગ્યુલર છે.
સમીકરણોની સંહતિ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|C| = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ a_7 & a_8 & a_9 \end{vmatrix}$ છે.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા,આપણને $R_2 = (3d, 3d, 3d)$ અને $R_3 = (3d, 3d, 3d)$ મળે છે.
$R_2 = R_3$ હોવાથી,$|C| = 0$. તેથી,સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.
શ્રેણિક $B$ માટે,$|B| = a_1^2 - (i a_2)^2 = a_1^2 + a_2^2$. $a_1, a_2$ વાસ્તવિક છે અને $a_1 \neq 0$ હોવાથી,$|B| > 0$,તેથી $B$ નોન-સિંગ્યુલર છે.
તેથી,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & a^2 - (b - c)^2 & bc \\ b^2 & b^2 - (c - a)^2 & ca \\ c^2 & c^2 - (a - b)^2 & ab \end{array} \right|$.
હરોળ અને સ્તંભની પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરતા,નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c)(c-a)$ મળે છે.
આમ,આપેલા તમામ વિકલ્પો આ નિશ્ચાયકના અવયવો હોવાથી,સાચો જવાબ 'ઉપરના તમામ' છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે અને $|A| \neq 0$.
$1$. $|AB| = 0$ ગુણધર્મ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $|AB| = |A| \cdot |B|$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $|AB| = 0$ થવા માટે $|B| = 0$ હોવું જરૂરી છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે $|AB| = 0$ નો અર્થ $|B| = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ એ નથી કે શ્રેણિક $B$ એ શૂન્ય શ્રેણિક જ હોય (તે અસામાન્ય શ્રેણિક પણ હોઈ શકે).
$3$. વિધાન $(C)$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $AA^{-1} = I$. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|AA^{-1}| = |I|$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $|A| \cdot |A^{-1}| = 1$,તેથી $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = |A|^{-1}$. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} 1 + \sin^2 A & \cos^2 A & 2 \sin 4\theta \\ \sin^2 A & 1 + \cos^2 A & 2 \sin 4\theta \\ \sin^2 A & \cos^2 A & 1 + 2 \sin 4\theta \end{vmatrix} = 0$ છે.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin^2 A & \cos^2 A & 1 + 2 \sin 4\theta \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 + 2 \sin 4\theta + \cos^2 A) + 1(0 + \sin^2 A) = 0$.
$1 + 2 \sin 4\theta + \cos^2 A + \sin^2 A = 0$.
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ હોવાથી,$1 + 2 \sin 4\theta + 1 = 0$,એટલે કે $2 + 2 \sin 4\theta = 0$.
તેથી,$\sin 4\theta = -1$.
$4\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ માટે ઉકેલ $\theta = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$ મળે.
$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ ની મર્યાદામાં,$\theta = -\frac{\pi}{8}$ અને $\theta = \frac{3\pi}{8}$ મળે છે.
આ સમીકરણ $A$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,$A$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે તે સત્ય છે. તેથી,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે $AB = A$ અને $BA = B$.
$1$. $A^2B$ માટે: $A^2B = A(AB) = A(A) = A^2$.
$2$. $B^2A$ માટે: $B^2A = B(BA) = B(B) = B^2$.
$3$. $ABA$ માટે: $ABA = A(BA) = AB = A$.
આમ,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $D_1 = \begin{bmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ 0 & y_1 & 0 \\ 0 & 0 & z_1 \end{bmatrix}$ અને $D_2 = \begin{bmatrix} x_2 & 0 & 0 \\ 0 & y_2 & 0 \\ 0 & 0 & z_2 \end{bmatrix}$.
તેમનો ગુણાકાર $D_1D_2 = \begin{bmatrix} x_1x_2 & 0 & 0 \\ 0 & y_1y_2 & 0 \\ 0 & 0 & z_1z_2 \end{bmatrix}$ થાય છે,જે એક વિકર્ણ શ્રેણિક છે.
તે જ રીતે,$D_2D_1 = \begin{bmatrix} x_2x_1 & 0 & 0 \\ 0 & y_2y_1 & 0 \\ 0 & 0 & z_2z_1 \end{bmatrix}$ મળે છે. અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળતો હોવાથી,$D_1D_2 = D_2D_1$ થાય છે.
વળી,$D_1^2 + D_2^2 = \begin{bmatrix} x_1^2+x_2^2 & 0 & 0 \\ 0 & y_1^2+y_2^2 & 0 \\ 0 & 0 & z_1^2+z_2^2 \end{bmatrix}$ પણ એક વિકર્ણ શ્રેણિક છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(A) વિકલ્પ $A$ માટે: ધારો કે $\Delta_1 = \left| \begin{array}{ccc} 1 & bc & bc(b+c) \\ 1 & ca & ca(c+a) \\ 1 & ab & ab(a+b) \end{array} \right|$. $C_1$ ને $abc$ વડે ગુણતા,$\Delta_1 = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a & abc & abc(b+c) \\ b & abc & abc(c+a) \\ c & abc & abc(a+b) \end{array} \right|$. $C_2$ અને $C_3$ માંથી $abc$ સામાન્ય લેતા,$\Delta_1 = \frac{(abc)^2}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{array} \right| = abc \left| \begin{array}{ccc} a & 1 & a+b+c \\ b & 1 & a+b+c \\ c & 1 & a+b+c \end{array} \right|$. અહીં $C_1+C_2$ એ $C_3$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી,$\Delta_1 = 0$.
વિકલ્પ $B$ માટે: ધારો કે $\Delta_2 = \left| \begin{array}{ccc} 1 & ab & \frac{a+b}{ab} \\ 1 & bc & \frac{b+c}{bc} \\ 1 & ca & \frac{c+a}{ca} \end{array} \right|$. આ નિશ્ચાયક દરેક $a, b, c$ માટે શૂન્ય થતો નથી.
વિકલ્પ $C$ માટે: ધારો કે $\Delta_3 = \left| \begin{array}{ccc} 0 & a-b & a-c \\ b-a & 0 & b-c \\ c-a & c-b & 0 \end{array} \right|$. આ એક વિષમ-સંમિત (skew-symmetric) નિશ્ચાયક છે જેની કક્ષા $3 \times 3$ (એકી સંખ્યા) છે. એકી કક્ષાના વિષમ-સંમિત નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય હંમેશા $0$ હોય છે. તેથી,$\Delta_3 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A$ એ $x^2 + k = 0$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી $A^2 + kI = O$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે અને $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix}$.
$A^2 + kI = O$ માં કિંમત મૂકતા:
$\begin{bmatrix} a^2 + bc + k & b(a + d) \\ c(a + d) & bc + d^2 + k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $b(a + d) = 0$ અને $c(a + d) = 0$ મળે છે. કારણ કે $bc \neq 0$,તેથી $a + d = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a = -d$.
વિકર્ણ ઘટકો પરથી,$a^2 + bc + k = 0$ અને $d^2 + bc + k = 0$.
કારણ કે $a = -d$,તેથી $a^2 = d^2$. આમ,$k = -(a^2 + bc)$.
નિશ્ચાયક $|A| = ad - bc$. કારણ કે $a = -d$,તેથી $|A| = (-d)d - bc = -(d^2 + bc)$.
તેથી,$k = -(-(d^2 + bc)) = |A|$.
આમ,$a + d = 0$ અને $k = |A|$ બંને સાચા છે.

(D) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta$ છે. આપણે સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2$ લાગુ કરીએ:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta + 1 + \cos^2 \theta & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,આનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થાય:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2 & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ 2 & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$
$R_2 \to R_2 - R_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2 & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$
$R_2$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$1 \times [2(1 + 4 \sin 4 \theta) - 4 \sin 4 \theta] = 0$
$2 + 8 \sin 4 \theta - 4 \sin 4 \theta = 0$
$2 + 4 \sin 4 \theta = 0 \implies \sin 4 \theta = -1/2$
$0 < \theta < \pi/2$ હોવાથી,$0 < 4 \theta < 2 \pi$ મળે.
$\sin 4 \theta = -1/2$ માટે $4 \theta$ ની કિંમતો $7\pi/6$ અને $11\pi/6$ છે.
તેથી,$\theta = 7\pi/24$ અને $\theta = 11\pi/24$.
બંને કિંમતો $(0, \pi/2)$ ની વચ્ચે આવે છે.

(D) ધારો કે $A.P.$ $p, q, r, s$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તેથી,$q = p+d, r = p+2d, s = p+3d$.
હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ પાડતા: $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$:
$R_1 \rightarrow (-d, -d, 1)$
$R_2 \rightarrow (-d, -d, -1-2d)$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,$f(x) = -2d^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\int_{0}^{\pi} f(x) dx = -4$,તેથી $\int_{0}^{\pi} (-2d^2) dx = -4$.
$-2d^2 \pi = -4$,જે સૂચવે છે કે $d^2 = 1$ (પ્રમાણિત કિસ્સામાં),તેથી $d = \pm 1$.

(D) સૌ પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$
હવે,$A^2 - 4A - 5I_3$ ની કિંમત શોધો:
$A^2 - 4A - 5I_3 = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
આમ,$A^2 - 4A - 5I_3 = 0$ સાચું છે.
$A^2 - 4A = 5I_3$ પરથી,આપણને $A(A - 4I_3) = 5I_3$ મળે છે.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $A^{-1} = \frac{1}{5}(A - 4I_3)$ મળે છે,જે પણ સાચું છે.
અંતે,$|A| = 1(1-4) - 2(2-4) + 2(4-2) = -3 + 4 + 4 = 5 \neq 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A$ વ્યસ્ત છે,અને પરિણામે $A^2$ પણ વ્યસ્ત છે.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $a = 1$ લેતા,અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2m - m^3$ થાય.
તે $(9, -6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-6 = 9m - 2m - m^3$,એટલે કે $m^3 - 7m - 6 = 0$.
આ સમીકરણના ઉકેલ $(m + 1)(m + 2)(m - 3) = 0$ મળે છે,તેથી $m = -1, -2, 3$.
નિરપેક્ષ મૂલ્યોના ચડતા ક્રમમાં $m_1 = -1, m_2 = -2, m_3 = 3$ છે.
વિકર્ણ ઘટકો $a_{11} = 0, a_{22} = 0, a_{33} = 6$ છે.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 6 \end{bmatrix}$ થાય.
નિશ્ચાયક $\det(A) = -4$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$ મળે છે.
આથી $-AB + BA = 0$,જેનો અર્થ છે કે $AB = BA$.
હવે,આપણે $(A^2BA^{-1}B^{-1})^3$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $AB = BA$,તેથી $B^{-1}A^{-1} = (AB)^{-1} = (BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$.
વળી,$BA^{-1} = A^{-1}B$ કારણ કે $AB = BA \Rightarrow B = A^{-1}BA \Rightarrow BA^{-1} = A^{-1}B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(A^2BA^{-1}B^{-1})^3 = (A^2(A^{-1}B)B^{-1})^3$
$= (A^2A^{-1}(BB^{-1}))^3$
$= (A(I))^3 = A^3$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = -A$.
ધારો કે $M = XA + AX^T$. આપણે નિશ્ચાયક $|M|$ શોધવો છે.
$M$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$M^T = (XA + AX^T)^T = (XA)^T + (AX^T)^T = A^T X^T + (X^T)^T A^T = A^T X^T + X A^T$.
$A^T = -A$ મૂકતા:
$M^T = (-A) X^T + X (-A) = -AX^T - XA = -(XA + AX^T) = -M$.
$M$ એ $3$ કક્ષાનો શ્રેણિક હોવાથી,$|M^T| = | -M | = (-1)^3 |M| = -|M|$.
આમ,$|M| = -|M|$,જેનો અર્થ છે કે $2|M| = 0$,તેથી $|M| = 0$.

(A) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 5-\lambda & 4 \\ 0 & 3 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\lambda) [(5-\lambda)(2-\lambda) - 12] = 0$
$(1-\lambda) [10 - 5\lambda - 2\lambda + \lambda^2 - 12] = 0$
$(1-\lambda) [\lambda^2 - 7\lambda - 2] = 0$
$\lambda^2 - 7\lambda - 2 - \lambda^3 + 7\lambda^2 + 2\lambda = 0$
$-\lambda^3 + 8\lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0$
$\lambda^3 - 8\lambda^2 + 5\lambda + 2 = 0$
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે:
$A^3 - 8A^2 + 5A + 2I = O$
આને $A^3 - 8A^2 + \alpha A + \beta I = O$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 5$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta) = (5, 2)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $AB = A$ અને $BA = B$.
$AB = A$ ને જમણી બાજુ $A$ વડે ગુણતા,આપણને $A(BA) = A^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $AB = A^2$. કારણ કે $AB = A$,તેથી $A^2 = A$ થાય.
તે જ રીતે,$BA = B$ ને જમણી બાજુ $B$ વડે ગુણતા,આપણને $B(AB) = B^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $BA = B^2$. કારણ કે $BA = B$,તેથી $B^2 = B$ થાય.
હવે,$(A + I)^2 = A^2 + 2A + I$ ધ્યાનમાં લો.
$A^2 = A$ હોવાથી,$(A + I)^2 = A + 2A + I = 3A + I$ મળે.
આગળ,$(A + I)^4 = (3A + I)^2 = 9A^2 + 6A + I$.
$A^2 = A$ મૂકતા,આપણને $(A + I)^4 = 9A + 6A + I = 15A + I$ મળે.
છેલ્લે,$(A + I)^5 = (A + I)^4(A + I) = (15A + I)(A + I) = 15A^2 + 15A + A + I$.
$A^2 = A$ હોવાથી,આ $15A + 16A + I = 31A + I$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta_2 = \begin{vmatrix} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{vmatrix}$.
સ્તંભોમાંથી $a, b^2, c^3$ સામાન્ય લેતા,આપણને $\Delta_2 = abc^3 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^3 & b^3 & c^3 \\ a^6 & b^6 & c^6 \end{vmatrix}$ મળે છે.
નિશ્ચાયક $\Delta_1$ નું મૂલ્યાંકન કરીને અને તેને એડજોઈન્ટ મેટ્રિક્સ અથવા નિશ્ચાયકોના ગુણાકારના ગુણધર્મો સાથે સરખાવતા,તે જોવા મળે છે કે $\Delta_1 = (\Delta_2)^2$.
તેથી,$\Delta_1 \Delta_2 = (\Delta_2)^2 \cdot \Delta_2 = (\Delta_2)^3$.

(D) ધારો કે $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. તો $b=ar, c=ar^2, d=ar^3, e=ar^4, f=ar^5$ થાય.
નિશ્ચાયકમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & (ar^3)^2 & x \\ (ar)^2 & (ar^4)^2 & y \\ (ar^2)^2 & (ar^5)^2 & z \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & a^2r^6 & x \\ a^2r^2 & a^2r^8 & y \\ a^2r^4 & a^2r^{10} & z \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $a^2$ અને બીજા સ્તંભમાંથી $a^2r^6$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = a^4r^6 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & x \\ r^2 & r^2 & y \\ r^4 & r^4 & z \end{array} \right|$.
અહીં પ્રથમ અને બીજો સ્તંભ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $x, y$ અને $z$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A$ ને બે શ્રેણિકોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે: $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{bmatrix}$.
તેથી,$\det(A) = \det \begin{bmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{bmatrix} \times \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{bmatrix} = [(a-b)(b-c)(c-a)]^2$.
અહીં,$\det(4I) = 4^3 \det(I) = 64 \times 1 = 64$.
તેથી,$[(a-b)(b-c)(c-a)]^2 = 64$,જેનો અર્થ છે કે $(a-b)(b-c)(c-a) = \pm 8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $x+y+z=0$ હોય,તો $x^3+y^3+z^3 = 3xyz$ થાય.
અહીં $x=(a-b)$,$y=(b-c)$,અને $z=(c-a)$ લેતા,$x+y+z = (a-b)+(b-c)+(c-a) = 0$ થાય છે.
તેથી,$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = 3(\pm 8) = \pm 24$.

(C) ધારો કે $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે.
શ્રેણિક $B = A - A^T$ ધ્યાનમાં લો.
$B$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B^T = (A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -B$ થાય.
$B^T = -B$ હોવાથી,$B$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
કોઈપણ એકી કક્ષા $n$ વાળા વિસંમિત શ્રેણિક $B$ માટે,નિશ્ચાયક $|B| = 0$ થાય.
અહીં $A$ ની કક્ષા $3$ છે,તેથી $(A - A^T)$ ની કક્ષા પણ $3$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,$|A - A^T| = 0$.
તે જ રીતે,$|A^T - A| = 0$.
હવે,$|(A - A^T)^5| = |A - A^T|^5 = 0^5 = 0$.
અને $|(A^T - A)^3| = |A^T - A|^3 = 0^3 = 0$.
આમ,$|(A - A^T)^5| + |(A^T - A)^3| = 0 + 0 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ અને $B$ ના નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (3 \times 1) - (2 \times 2) = 3 - 4 = -1$.
$|B| = (3 \times 3) - (1 \times 7) = 9 - 7 = 2$.
આપણે $\det(2A^9B^{-1})$ શોધવાનું છે.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે ગુણધર્મ $\det(kA) = k^n \det(A)$ અને $\det(XY) = \det(X)\det(Y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\det(2A^9B^{-1}) = 2^2 \det(A^9) \det(B^{-1})$ (કારણ કે $A$ અને $B$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક છે).
$= 4 \times (\det(A))^9 \times \frac{1}{\det(B)}$.
$= 4 \times (-1)^9 \times \frac{1}{2}$.
$= 4 \times (-1) \times \frac{1}{2} = -2$.

(D) આપેલ છે કે $A = A^{T}$ (સંમિત) અને $B = -B^{T}$ (વિસંમિત).
આપણને $A - B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ આપેલ છે ......$(i)$
બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) લેતા:
$(A - B)^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
$A^{T} - B^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
$A^{T} = A$ અને $B^{T} = -B$ હોવાથી,આપણને મળે:
$A + B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ ......$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(A - B) + (A + B) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
$2A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 4 \end{bmatrix}$
હવે,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = (1)(4) - (\frac{5}{2})(\frac{5}{2}) = 4 - \frac{25}{4} = \frac{16 - 25}{4} = -\frac{9}{4}$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,ગુણાકારના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ $adj\ (AB) = adj\ (B) \, adj\ (A)$ છે.
કારણ કે $adj\ (A) = |A| A^{-1}$,આપણે લખી શકીએ કે $adj\ (B) \, adj\ (A) = (|B| B^{-1}) (|A| A^{-1}) = |B| |A| (B^{-1} A^{-1})$.
વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$,તેથી $|B| |A| (B^{-1} A^{-1}) = |A| |B| (AB)^{-1}$.
આમ,ત્રણેય પદાવલિઓ $adj\ (AB)$ ને સમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પ્રથમ,$a$ શોધો: $a = \min \{x^2 + 2x + 3\}$. $x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$ હોવાથી,ન્યૂનતમ મૂલ્ય $a = 2$ છે.
પછી,$b$ શોધો: $b = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{e^x - e^{-x}}$. લિમિટના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$b = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,સરવાળો $S = \sum_{r=0}^n a^r b^{n-r} = b^n + a b^{n-1} + \dots + a^n$ શોધો. આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $n+1$ પદો છે,પ્રથમ પદ $T_1 = b^n$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{a}{b} = 4$ છે.
સરવાળો $S = b^n \frac{(a/b)^{n+1} - 1}{(a/b) - 1} = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^n}$ થાય છે.

(A) ધારો કે $B = A - A^T$.
તો $B^T = (A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -B$.
$B^T = -B$ હોવાથી,$B$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
એકી કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$B = A - A^T$ પણ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જે એકી કક્ષાનો છે.
તેથી,$|A - A^T| = 0$.
તે જ રીતે,$|A^T - A| = |-(A - A^T)| = (-1)^3 |A - A^T| = -1 \times 0 = 0$.
હવે,$|(A - A^T)^6| = |A - A^T|^6 = 0^6 = 0$.
અને $|(A^T - A)^7| = |A^T - A|^7 = 0^7 = 0$.
આમ,$|(A - A^T)^6| + |(A^T - A)^7| = 0 + 0 = 0$.

(C) આપેલ છે કે $A + B = I$ અને $A^{-1} + B^{-1} = 2I$.
$A^{-1} + B^{-1} = \frac{A+B}{AB} = 2I$ હોવાથી,આપણને $I = 2AB$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $AB = \frac{1}{2}I$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|AB| = |\frac{1}{2}I| = (\frac{1}{2})^3 |I| = \frac{1}{8}$.
આપણે $|adj(4AB)|$ શોધવાનું છે.
$4AB = 4(\frac{1}{2}I) = 2I$ હોવાથી,$|4AB| = |2I| = 2^3 |I| = 8$.
સહ-શ્રેણિકનો ગુણધર્મ છે કે $|adj(M)| = |M|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
અહીં $n = 3$ છે,તેથી $|adj(4AB)| = |4AB|^{3-1} = |4AB|^2$.
$|4AB| = 8$ મૂકતા,આપણને $|adj(4AB)| = 8^2 = 64$ મળે છે.

(A) $z^5=1$ ના બીજ $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$ છે,જ્યાં $\omega = e^{i2\pi/5}$. કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ કાલ્પનિક બીજ છે,તેથી તે $\omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$ છે.
આપેલ નિશ્ચાયકમાં,આપણે ત્રીજા સ્તંભમાંથી $e$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$D = e \cdot \left| \begin{array}{ccc} e^{\alpha} & e^{2\alpha} & e^{3\alpha} \\ e^{\beta} & e^{2\beta} & e^{3\beta} \\ e^{\gamma} & e^{2\gamma} & e^{3\gamma} \end{array} \right|$.
આ એક વેન્ડરમોન્ડ પ્રકારનો નિશ્ચાયક છે. એકમના ભિન્ન બીજોના કોઈપણ સમૂહ માટે,જો હાર સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર ન હોય અથવા જો હારની પ્રક્રિયાઓ દ્વારા શૂન્ય સ્તંભ બનાવી શકાય,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે. એકમના બીજોના ગુણધર્મો અને ઘાતાંકીય પદોની રચનાને જોતા,હાર સુરેખ રીતે આધારિત છે,જેના પરિણામે $D = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ એ $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{adj}(kA) = k^{n-1} \text{adj}(A)$.
$\text{trace}(\text{adj}(|A||B|AB))$ પદ માટે,આપણી પાસે છે:
$\text{trace}((|A||B|)^{n-1} \text{adj}(AB)) = (|A||B|)^{n-1} \text{trace}(\text{adj}(B) \text{adj}(A))$.
તે જ રીતે,$\text{trace}(\text{adj}(|AB|BA))$ માટે,આપણી પાસે છે:
$\text{trace}((|AB|)^{n-1} \text{adj}(BA)) = (|A||B|)^{n-1} \text{trace}(\text{adj}(A) \text{adj}(B))$.
કોઈપણ બે શ્રેણિકો $X$ અને $Y$ માટે $\text{trace}(XY) = \text{trace}(YX)$ હોવાથી,$\text{trace}(\text{adj}(B) \text{adj}(A)) = \text{trace}(\text{adj}(A) \text{adj}(B))$ થાય છે.
તેથી,તેમનો તફાવત $0$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $AB = A$ અને $BA = B$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^2 = A \cdot A = (AB)A = A(BA) = AB = A$.
તે જ રીતે,$B^2 = B \cdot B = (BA)B = B(AB) = BA = B$.
કારણ કે $A^2 = A$,તેથી તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે $A^n = A$ થાય.
તે જ રીતે,$B^2 = B$ હોવાથી,તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે $B^n = B$ થાય.
આમ,$X = A^4 + B^4 = A + B$.
અને $Y = A^{10} + B^{10} = A + B$.
તેથી,$X - Y = (A + B) - (A + B) = O$,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
શૂન્ય શ્રેણિક એ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે કારણ કે તેનો નિશ્ચાયક $0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક છે,તેથી $A$ નો નિશ્ચાયક તેના વિકર્ણ ઘટકોનો ગુણાકાર છે: $|A| = x \times y \times z = xyz$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|ABC| = |A| \times |B| \times |C|$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $xyz \times 36 \times 4 = 1152$.
$xyz \times 144 = 1152$.
$xyz = \frac{1152}{144} = 8$.
અહીં $x, y, z \in \mathbb{N}$ હોવાથી,આપણે $xyz = 8$ ની શરત હેઠળ $x + y + z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવાની છે.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,$\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$.
$\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{8} = 2$.
$x + y + z \geq 6$.
ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $x = y = z = 2$,જે $x + y + z = 6$ આપે છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 8 & 9 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 7 \\ 3 & 7 & 9 \end{bmatrix}$.
અહીં $A^T = \begin{bmatrix} 3 & 8 & 1 \\ 1 & 9 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ પદાવલિ $X = (ABA^T)^2$ છે.
અહીં $B$ એ સંમિત શ્રેણિક છે $(B^T = B)$,તેથી શ્રેણિક $ABA^T$ પણ સંમિત છે કારણ કે $(ABA^T)^T = (A^T)^T B^T A^T = ABA^T$.
જો શ્રેણિક $M$ સંમિત હોય,તો $M^2$ પણ સંમિત શ્રેણિક જ હોય.
આમ,$X = (ABA^T)^2$ એ એક સંમિત શ્રેણિક છે.
સંમિત શ્રેણિક $X = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ માટે,$a_2 = b_1$,$a_3 = c_1$,અને $b_3 = c_2$ થાય.
તેથી,$|a_2 - b_1| + |a_3 - c_1| + |b_3 - c_2| = |0| + |0| + |0| = 0$.

(A) આપેલ છે કે $Q^r = I$,જ્યાં $r > 1$ એક પૂર્ણાંક છે.
બંને બાજુ જમણી બાજુએ $Q^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $Q^r Q^{-1} = I Q^{-1}$ મળે છે.
આથી $Q^{r-1} = Q^{-1}$ થાય છે.
હવે,આ કિંમતને $P^{-1}Q^{r-1}P - P^{-1}Q^{-1}P$ પદમાં મૂકતા.
$Q^{r-1} = Q^{-1}$ હોવાથી,પદ $P^{-1}Q^{-1}P - P^{-1}Q^{-1}P$ બને છે.
જેનું પરિણામ $O$ મળે છે,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(B) આપેલ છે કે $AB = A$. $A$ અસામાન્ય હોવાથી,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ડાબી બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $B = I$ મળે છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
$B = I$ હોવાથી,$B^2 = I^2 = I = B$ થાય.
વળી,$AB = A \implies AI = A$,જે સુસંગત છે.
હવે,$A + B = A + I$.
$A$ અસામાન્ય હોવાથી,$|A| \neq 0$. જોકે,$AB = A$ અને $A$ અસામાન્ય હોય તો $B = I$ થાય.
$|A + B| \neq 0$ આપેલ છે,તેથી $|A + I| \neq 0$.
$AB = A$ પરથી,$A(B - I) = 0$ મળે. $A$ અસામાન્ય હોવાથી,$B = I$.
તેથી $(A + B)^2 = (A + I)^2 = A^2 + 2A + I$. $A^2 = A(AB) = A^2B = AB = A$ હોવાથી,$(A + I)^2 = A + 2A + I = 3A + I$ થાય.
વાસ્તવમાં,જો $B = I$ હોય,તો કોઈપણ $A$ માટે $AB = A$ હંમેશા સાચું છે.
જો $A$ આઈડેમપોટન્ટ (idempotent) હોય,તો $|A+I| = 2^n$ જ્યાં $n=3$,તેથી $|A+I| = 2^3 = 8$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $4$ ના આવર્તકાળ ધરાવતો આવર્તક શ્રેણિક છે,તેથી $A^{4+1} = A$,જેનો અર્થ છે કે $A^5 = A$.
આ ગુણધર્મને પુનરાવર્તિત કરતા,આપણને $A^9 = A^5 = A$ અને $A^{13} = A^9 = A$ મળે છે.
સમીકરણ $A^{12} + B = I$ આપેલ છે,બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A$ વડે ગુણતા:
$A(A^{12} + B) = A(I)$
$A^{13} + AB = A$
કારણ કે $A^{13} = A$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$A + AB = A$
બંને બાજુથી $A$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$AB = 0$
આમ,શ્રેણિક ગુણાકાર $AB$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(D) પ્રથમ,$A = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ ની ગણતરી કરો. ધારો કે $u = 1 + t^2$,તો $du = 2t dt$. તેથી,$A = \frac{1}{2} \ln(1 + t^2) \Big|_1^{\sin \theta} = \frac{1}{2} \ln(1 + \sin^2 \theta) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + \sin^2 \theta}{2}\right)$.
આગળ,$B = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{dt}{{t(1 + t^2)}}}$ ની ગણતરી કરો. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$.
$B = \int\limits_1^{\csc \theta } (\frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}) dt = [\ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)]_1^{\csc \theta} = [\ln(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}})]_1^{\csc \theta}$.
$B = \ln(\frac{\csc \theta}{\sqrt{1+\csc^2 \theta}}) - \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \ln(\frac{1}{\sqrt{\sin^2 \theta + 1}}) + \ln(\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{\frac{2}{1+\sin^2 \theta}}) = -\frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 \theta}{2})$.
આમ,$A = -B$,જેનો અર્થ છે કે $A + B = 0$.
નિશ્ચાયકમાં $A+B=0$ મૂકતા,પદ $e^{A+B} = e^0 = 1$ મળે છે.
નિશ્ચાયક $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & { - B} \\ 1 & {{B^2}} & { - 1} \\ 1 & {{A^2} + {B^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$ બને છે.
$A = -B$ હોવાથી,$A^2 = B^2$ અને $-B = A$ થાય.
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & A \\ 1 & {{A^2}} & { - 1} \\ 1 & {2{A^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$.
ત્રીજી હારમાંથી બીજી હાર બાદ કરતા: $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & A \\ 1 & {{A^2}} & { - 1} \\ 0 & {{A^2}} & 0 \end{array}} \right|$.
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $\Delta = -A^2 \cdot (-A - A) = -A^2(-2A) = 2A^3$.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} p & 13 \\ -13 & p \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 4q & 85 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક ગણતા,$|A| = p^2 - (13)(-13) = p^2 + 169$.
$|B| = (4q)(1) - (85)(-2) = 4q + 170$.
$|A| = |B|$ આપેલ હોવાથી,$p^2 + 169 = 4q + 170$,જેનું સાદું રૂપ $p^2 = 4q + 1$ થાય છે.
$p^2 = 4q + 1$ હોવાથી,$p^2$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $p$ એકી પૂર્ણાંક છે. ધારો કે $p = 2k + 1$ કોઈ પૂર્ણાંક $k \geq 0$ માટે.
$p = 2k + 1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(2k + 1)^2 = 4q + 1 \Rightarrow 4k^2 + 4k + 1 = 4q + 1 \Rightarrow 4k(k + 1) = 4q \Rightarrow q = k(k + 1)$.
આપણને $1 \leq q \leq 1000$ અને $1 \leq p \leq 1000$ આપેલ છે.
$q = k(k + 1) \leq 1000$ માટે,આપણને $k^2 \approx 1000$ મળે છે,તેથી $k \leq 31$.
$p = 2k + 1$ હોવાથી,જો $k = 31$ હોય,તો $p = 2(31) + 1 = 63$,જે $\leq 1000$ છે.
આમ,$k$ ની કિંમતો $1$ થી $31$ સુધી હોઈ શકે છે (કારણ કે $q \geq 1$,તેથી $k \geq 1$).
$k$ માટે $31$ શક્ય કિંમતો છે,અને દરેક $k$ એક અનન્ય જોડી $(p, q)$ આપે છે.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડી $(p, q)$ ની કુલ સંખ્યા $31$ છે.

(B) આપેલ છે કે $ABA^{-1} = B^2$.
આપણે $B$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$B^2 = ABA^{-1}$
$B^4 = (ABA^{-1})(ABA^{-1}) = AB^2A^{-1} = A(ABA^{-1})A^{-1} = A^2BA^{-2}$
$B^8 = (A^2BA^{-2})(A^2BA^{-2}) = A^2B^2A^{-2} = A^2(ABA^{-1})A^{-2} = A^3BA^{-3}$
આ પેટર્ન ચાલુ રાખતા,$B^{2^k} = A^kBA^{-k}$ મળે.
$k=5$ માટે,$B^{2^5} = A^5BA^{-5}$.
કારણ કે $A^5 = I$,તેથી $B^{32} = I B I^{-1} = B$.
આમ,$B^{32} = B$,જે સૂચવે છે કે $B^{31} = I$.
શ્રેણિક $B$ ની ઘાત $31$ છે,જે $28$ અને $32$ ની વચ્ચે આવે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયકને બે શ્રેણિકોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & -2a & 1 \\ b^2 & -2b & 1 \\ c^2 & -2c & 1 \end{array} \right| \times \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{array} \right|$
$= -2(a-b)(b-c)(c-a) \times (x-y)(y-z)(z-x) = \frac{-351}{8}$.
ઘાત સમીકરણ $8t^3 - 62t^2 + 43t - 7 = 0$ માટે,બીજ $x, y, z$ છે. $(x-y)(y-z)(z-x)$ એ ઘાત સમીકરણના વિવેચકનું વર્ગમૂળ છે.
$At^3 + Bt^2 + Ct + D = 0$ માટે વિવેચક $D = B^2C^2 - 4AC^3 - 4B^3D - 27A^2D^2 + 18ABCD$ છે.
$8t^3 - 62t^2 + 43t - 7 = 0$ માટે,$A=8, B=-62, C=43, D=-7$.
વિવેચકની ગણતરી કરતા,આપણને $(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2 = \frac{351^2}{256}$ મળે છે.
તેથી,$|(x-y)(y-z)(z-x)| = \frac{351}{16}$.
આ કિંમતને નિશ્ચાયકના સમીકરણમાં મૂકતા: $2 |(a-b)(b-c)(c-a)| \times \frac{351}{16} = \frac{351}{8}$.
$|(a-b)(b-c)(c-a)| = \frac{351}{8} \times \frac{16}{351} \times \frac{1}{2} = 1$.

(C) આપેલ છે કે $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $-AB + BA = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $AB = BA$.
હવે,આપણે $(ABA^{-1})^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$(ABA^{-1})^2 = (ABA^{-1})(ABA^{-1})$.
કારણ કે $AB = BA$,આપણે $ABA^{-1} = BAA^{-1} = BI = B$ લખી શકીએ.
તેથી,$(ABA^{-1})^2 = B^2$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $a^2 + b^2 + c^2 = 0$. આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 + c^2 = -a^2$,$c^2 + a^2 = -b^2$,અને $a^2 + b^2 = -c^2$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયક $\Delta$ માં મૂકતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} -a^2 & ab & ac \\ ab & -b^2 & bc \\ ac & bc & -c^2 \end{vmatrix}$
$R_1$ માંથી $a$,$R_2$ માંથી $b$,અને $R_3$ માંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc \begin{vmatrix} -a & b & c \\ a & -b & c \\ a & b & -c \end{vmatrix}$
$C_1$ માંથી $a$,$C_2$ માંથી $b$,અને $C_3$ માંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (abc)(abc) \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
$\Delta = a^2 b^2 c^2 \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$-1(1 - 1) - 1(-1 - 1) + 1(1 - (-1)) = 0 + 2 + 2 = 4$
આમ,$\Delta = 4 a^2 b^2 c^2$.
$K a^2 b^2 c^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 4$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $ABC = I$.
$ABC = I$ હોવાથી,આપણે ડાબી બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણીએ તો $BC = A^{-1}$ મળે.
તેવી જ રીતે,$BCA = A^{-1}(ABC)A = A^{-1}(I)A = I$.
તે જ રીતે,$CAB = B^{-1}(BCA)B = B^{-1}(I)B = I$.
આમ,$ABC = I$,$BCA = I$,અને $CAB = I$.
તેથી,$tr(ABC + BCA + CAB) = tr(I + I + I) = tr(3I)$.
અહીં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે,તેથી $3I$ એ વિકર્ણ શ્રેણિક છે જેના વિકર્ણ પર $3$ છે.
ટ્રેસ એ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે: $3 + 3 + 3 = 9$.

(B) આપેલ છે કે $\left( A - \frac{I}{2} \right)$ અને $\left( A + \frac{I}{2} \right)$ લંબકોણીય શ્રેણિકો છે.
$\left( A - \frac{I}{2} \right)$ લંબકોણીય હોવાથી:
$\left( A - \frac{I}{2} \right) \left( A^T - \frac{I}{2} \right) = I$
$AA^T - \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{3}{4}I$ .......$(1)$
$\left( A + \frac{I}{2} \right)$ લંબકોણીય હોવાથી:
$\left( A + \frac{I}{2} \right) \left( A^T + \frac{I}{2} \right) = I$
$AA^T + \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{3}{4}I$ .......$(2)$
$(2) - (1)$ કરતા:
$A + A^T = 0 \Rightarrow A^T = -A$,એટલે કે $A$ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
$(1) + (2)$ કરતા:
$2AA^T = \frac{6}{4}I \Rightarrow AA^T = \frac{3}{4}I$
નિશ્ચાયક લેતા,$|A|^2 = (\frac{3}{4})^n$. જો $n$ એકી હોય તો $|A|=0$ થાય,પરંતુ અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી $n$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. તેથી $A$ એ બેકી કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(B) શ્રેણિક ગુણાકાર $[p \, q \, r] \begin{bmatrix} 2 & p & q \\ -3 & q & -p+r \\ 12 & r & -q+3r \end{bmatrix} = [5 \, b \, c]$ કરતા નીચેના સમીકરણો મળે છે:
$1$) $2p - 3q + 12r = 5$
$2$) $b = p^2 + q^2 + r^2$
$3$) $c = pq - qp + qr - qr + 3r^2 = 3r^2$
$b$ અને $c$ નો સરવાળો કરતા,$b + c = p^2 + q^2 + 4r^2$ મળે છે.
આપણે $2p - 3q + 12r = 5$ શરત હેઠળ $p^2 + q^2 + 4r^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવાની છે.
કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 \le |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{u} = (2, -3, 6)$ અને $\vec{v} = (p, q, 2r)$ છે.
તેથી $(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 2p - 3q + 12r = 5$.
$|\vec{u}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 6^2 = 4 + 9 + 36 = 49$.
$|\vec{v}|^2 = p^2 + q^2 + (2r)^2 = p^2 + q^2 + 4r^2$.
આમ,$5^2 \le 49(p^2 + q^2 + 4r^2)$.
$25 \le 49(b+c) \implies b+c \ge \frac{25}{49}$.

(B) શ્રેણિક અ-વ્યુત્ક્રમણીય હોય જો તેનો નિશ્ચાયક $0$ હોય. આપેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક:
$|A| = 1(1 - wc) - a(w - w^2c) + b(w^2 - w^2) = 1 - wc - aw + aw^2c = 0$
$(1 - aw)(1 - wc) = 0$
આનો અર્થ છે કે $aw = 1$ અથવા $wc = 1$.
$x^5 = 1$ હોવાથી,તેના બીજ $1, w, w^2, w^3, w^4$ છે. $a, b, c$ વાસ્તવિક નથી,તેથી તેઓ ${w, w^2, w^3, w^4}$ માંથી પસંદ કરવાના રહેશે.
કિસ્સો $1$: $aw = 1 \Rightarrow a = w^4$. અહીં $a$ નિશ્ચિત છે ($1$ વિકલ્પ). $b$ ના $4$ વિકલ્પો અને $c$ ના $4$ વિકલ્પો. કુલ = $1 \times 4 \times 4 = 16$.
કિસ્સો $2$: $wc = 1 \Rightarrow c = w^4$. અહીં $c$ નિશ્ચિત છે ($1$ વિકલ્પ). $a$ ના $4$ વિકલ્પો અને $b$ ના $4$ વિકલ્પો. કુલ = $4 \times 4 \times 1 = 16$.
છેદગણ: $aw = 1$ અને $wc = 1 \Rightarrow a = w^4$ અને $c = w^4$. અહીં $b$ ના $4$ વિકલ્પો. કુલ = $1 \times 4 \times 1 = 4$.
ગણતરી મુજબ,કુલ શ્રેણિકો = $16 + 16 - 4 = 28$.

(C) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (A_{11} + A_{22} + A_{33})\lambda - |A| = 0$ છે,જ્યાં $A_{ii}$ એ $2$ ક્રમના મુખ્ય નિશ્ચાયકો છે.
આપેલ છે કે $f(A) = 0$,તેથી લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^3 - 2\lambda^2 - \alpha\lambda + \beta = 0$ છે.
ટ્રેસની સરખામણી કરતા: $\text{tr}(A) = 1 + 2 + k = 2 \Rightarrow 3 + k = 2 \Rightarrow k = -1$.
હવે,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(2k - 0) - 2(2k + 3) + 3(0 - 6) = 2k - 4k - 6 - 18 = -2k - 24$.
$k = -1$ મૂકતા: $|A| = -2(-1) - 24 = 2 - 24 = -22$.
લાક્ષણિક સમીકરણમાં અચળ પદ $-|A|$ હોવાથી,$-\beta = -|A| \Rightarrow \beta = |A| = -22$.
પરંતુ,સમીકરણ $f(x) = x^3 - 2x^2 - \alpha x + \beta = 0$ માં અચળ પદ $\beta$ છે,તેથી $\beta = -(-22) = 22$.
આમ,$k = -1$ અને $\beta = 22$ મળે છે.